克里格方法内插生成高程曲面
5.GRD建模与内插
3.2、 3.2、双线性内插
基本思路： 基本思路：
基本思路： 基本思路：
使用最靠近插值点的三个已知数据点， 使用最靠近插值点的三个已知数据点，确定一个 平面，继而求出内插点的高程值。基于TIN TIN的内插广 平面，继而求出内插点的高程值。基于TIN的内插广 泛采用这种简便的方法。 泛采用这种简便的方法。
函数形式 ：
Z = a0 + a1X + a2Y
DEM内插方法分类 DEM内插方法分类
数据分布
规则分布内插法 不规则分布内插法 等高线数据内插法 整体内插法 局部内插法 逐点内插法 纯二维内插 曲面 内插 内插 线 高 插 插 内插法 内插法 内插法 曲面 内插法 内插 分 内插 数内插法 线 插
内插范围 DEM DEM DEM DEM DEM DEM 内 插 内插曲面与采 点
内插
数
二 Kriging法 Kriging法
2、模型整体内插
整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近地形表面 整体内插：在整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近地形表面
模型整体内插原理
特点： 特点：
就是在整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近地形表 就是 在 整个研究区域 用一个数学曲面函数来逼近地形表 整体内插函数通常采用高次多项式 高次多项式。 面，整体内插函数通常采用高次多项式。不能提供内插区域 的局部特性，因此常被用于模拟大范围内的宏观变化趋势 宏观变化趋势。 的局部特性，因此常被用于模拟大范围内的宏观变化趋势。
克里格空间插值法
1.7 区域变量
在有趋势的情况下，假设数据是弱平稳的，并假设对于 所有的h，增量Z（x）-Z（x+h）的方差是有限的，而且只 是相隔h的函数。在该假设成立的情况下，定义半方差为：
其中，n是相隔距离为h的样点对的个数。将r（h）和h 作为纵、横坐标作图即可获得实验半方差函数图（图 7.10）。实验方差函数图不受数据的非平稳性影响，是空 间变异性研究中的一个有力工具，也是区域变量定量描述 的第一步。
1.8 方差变异函数
2）曲线从较低的方差值升高，到一定的间隔值时 到达基台值，这一间隔称为变程（range）。在理 论函数模型中，变程用a表示。 变程是半方差函数中最重要的参数，它描述 了该间隔内样点的空间相关特征。在变程内，样 点越接近，两点之间相似性、即空间上的相关性 越强。很明显，如果某点与已知点距离大于变程， 那么该点数据不能用于数据内插（或外推），因 为空间上的自相关性不复存在。 变程的高低取决于观测的尺度，说明了相互 作用所影响的范围。不同的属性，其变程值可以 变化很大。
空间插值分析是将离散点的测量数据转 换为连续的数据曲面的方法。其作用是便于 与其它空间现象的分布模式进行比较。 空间插值的理论假设是空间位置上越靠 近的点，越可能具有相似的特征值；而距离 越远的点，其特征值相似的可能性越小。
1.1空间插值法简述
空间插值法包括了空间内插和外推两种算法 1 内插算法是一种通过已知点的数据推 求同一区域其它未知点数据的计算方法； 2 空间外推算法则是通过已知区域的数 据，推求其它区域数据的方法
1.8 方差变异函数
图 典型试验方差函数和拟合曲线
1.9理论变异函数模型
1．线性模型(Linear model_)
克立格插值_2
n
l 0,1,k
泛克立格估值的最优条件
E[ Z
2 E n * UK
Z ( x)] E[ Z ( x ) Z ( x)]2
2
n
1
E{[ Z ( x )] 2 Z ( x )Z ( x) [ Z ( x)]2 }
1 1 1
{E[ Z ( x )]} 2 E[ Z ( x)]{ E[ Z ( x )]} {E[ Z ( x)]}2
2
n
n
1
1
* * {E[ ZUK ( x)]}2 2 E[ Z ( x)]E[ ZUK ( x)] {E[ Z ( x)]}2
2 k l 0
k
（2）求x处的Z(x)值
Z UK ( x) Z ( x )
*
n
1
（2）求x处的Z(x)值
无偏条件
* E[ Z UK ( x 1 1
n
n
m( x ) al f l ( xa )
k0 1
k0
] mk0 k
k k0
nk
k 1
nk0 k0 1 k0 1 无偏条件 nk k 0 k 1,2....K , k k0 k 1
协同克立格方程组的条件
估计方差
2 * E E[ ZV ZV ]2
1 1 1
n
{C ( x, x) E 2 [ Z ( x)]} C ( x , x ) 2 C ( x , x ) C ( x, x)
1 1
n n n n
1
应用Kriging插值方法插补干涉雷达DEM奇异值斑块
11]
。 K rig ing
插值包括点插值和块插值。本文所采用 的是点插值 法 , 以 下
( 2)
式中 , i = 1, 2, , n , K ^ (B) i 为 与测 定点 有关 的权 重。 Z ( 3)
i= 1
E Ki =
1
( 4)
在 B 点估计值的方差为真值与估计值差平方的期望值 : R2 E ( B) = E Z( B) - Z ^ (B)
n n
2
E [ Z( X i) -
Z( X i + h) ]
2
( 1) = 2
它是点对间差异 的一 半 , 因此 将 r ( h) 称 为半方 差变 异 函数。半方差变异函 数用半方 差变异 函数图 来描述 , 如图 2 所示。半方差变异函数图中有三个 基本参数 : 变程 ( Rang e) 、 基台值( Sill) 和块金 方差 C 0 ( Nugget v ar iance) 。 变程 是用 来 度量空间相关性的最大距离。一般来说 , 随采样 点间距离 增 大 , 半方差值趋于增 大 , 使半 方差函 数达 到一 定的平 稳值 时 的空间距离 叫做变程 R 。半 方差函 数在 变程 处达到 的平 稳 值叫基台值 ( C 0 + C ) 。当 h = 0 时 , 其半方差值应为 0, 但是 , 由于诸多因素的影响 , 比如抽样和实 验误差以及 小尺度的 变 异 , 半方差不为 0 。在原点 h = 0 附近 , 非零 的半方 差函数 值 称为块金值 C 0。另 外 , 由于 样本半 方 差变 异函 数图 是由 一 定顺序的离散数据组成 , 需要一个数 学模型去拟 合半方差 变 异函数图的变化趋势 , 常用模型有球 状模型、 高斯模 型、 指数 模型等。 其中
ArcGIS中的地统计克里格插值法及其应用汇总
第7卷%第12期软件导刊2008年12月Software GuideVol.7No.12Dec. 2008ArcGIS 中的地统计克里格插值法及其应用王艳妮，谢金梅，郭祥（中国地质大学资源学院，湖北武汉430074）摘要：ArcGIS 软件的地统计分析扩展模块是一个功能强大、简单易用的数据分析与表面建模工具，应用领域广泛。
首先介绍了地质统计学的概念和克里格插值的各种方法，然后从地统计的角度出发，运用ArcGIS 软件中地统计分析模块，探讨了克里格插值法在土地平整工程中的应用。
关键词：GIS ；ArcGIS 地统计分析；克里格插值；土方量中图分类号：TP312文献标识码：A文章编号：1672-7800（2008）12-0036-030引言地质统计学是上个世纪60年代法国人Matheron 在前人的它是数学地质领域中一门发展迅速且有着广泛应用前景的新兴学科。
经过广大数学地质工作者、地质统计学工作者、矿山地质和采矿设计专家及其他地质统计学应用者和爱好者的不断努力，现在已经形成了一套独立的理论体系，成为数学地质中比较活跃的一个分支。
基础上总结并提出的，它又称为克里格方法（Kriging ）。
地质统计学中的克里格插值方法，由于其具有插值和估计的双重特点，在许多领域中都得到了广泛应用，已成为空间统计学上的一个重要分支，同时也成为许多专业、商业软件的重要组成部分。
近几十年来，地理信息系统（Geographic Information Sys -——空间tem ，简称GIS ）技术发展很快，作为其重要的组成部分—信息分析，也已经发展出一些重要的理论模型方法。
空间分析的应用领域含盖面极广，包含空间分析、空间数据分析、空间统计、地质统计学等。
在目前众多的GIS 软件中，虽有许多都涉足了空间分析领域，但其中有关地质统计学方面的内容却非常少。
ArcGIS8及以上版本软件中，将地质统计学单独作为一个分析扩展模块（即Geostatistical Analyst ，简称GA ）纳入到了整个1.2克里格插值基础克里格插值（Kriging ）又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一。
[教程]克里格法插值法
![[教程]克里格法插值法](https://img.taocdn.com/s3/m/9edda396d5d8d15abe23482fb4daa58da0111ca4.png)
克里格法插值法克里格法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
其特点是线性，无偏，方差小，适用于空间分析。
所以很适合地质学、气象学、地理学、制图学等。
相对于其他插值方法。
主要缺点：由于他要依次考虑（这也是克里格插值的一般顺序）计算影响范围，考虑各向异性否，选择变异函数模型，计算变异函数值，求解权重系数矩阵，拟合待估计点值，所以计算速度较慢。
而那些趋势面法，样条函数法等。
虽然较快，但是逼近程度和适用范围都大受限制。
克里格插值又分为：简单，普通，块，对数，指示性，泛，折取克里格插值等。
克里格插值的变异函数有球形模型，指数模型，高斯模型，纯块金模型，幂函数模型，迪维生模型等。
克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。
克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。
克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。
随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里格方法。
如与分形的结合，发展了分形克里格法；与三角函数的结合，发展了三角克里格法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里格法等等。
应用克里格法首先要明确三个重要的概念。
一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数。
它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
kriging插值
∧
−∞
xp( x)dx
(∑ zi )
i =1Βιβλιοθήκη NN(2)方差 方差 为随机变量ξ的离散性特征数。若数学期望 E[ξ-E(ξ)]2存在，则称它为ξ的方差，记为D(ξ)， 或Var(ξ)，或σξ2。 D(ξ)= E[ξ-E(ξ)]2 其简算公式为 D(ξ)=E(ξ2) –[E(ξ)]2 方差的平方根为标准差，记为σξ
第一节 基本原理
一、随机变量与随机函数 1. 随机变量
为一个实值变量，可根据概率分布取不同的值。 为一个实值变量，可根据概率分布取不同的值。 每次取值（观测）结果z为一个确定的数值，称为 每次取值（观测）结果 为一个确定的数值， 为一个确定的数值 随机变量Z的一个实现。 随机变量 的一个实现。
P
φ
离散型地质变量
（范畴变量） 范畴变量） 类型变量
构造深度 砂体厚度 有效厚度 孔隙度 渗透率 含油饱和度
砂体 相 流动单元 隔夹层 断层
随机变量的特征值： 随机变量的特征值：
(1)数学期望 数学期望 是随机变量ξ的整体代表性特征数。 是随机变量 的整体代表性特征数。 的整体代表性特征数 ①设离散型随机变量ξ的所有可能取值为 离散型随机变量 的所有可能取值为 x1，x2，…，其相应的概率为 ， P (ξ=xk)= pk, k=1,2,…. 则当级数 ∑ x k p k 绝对收敛时，称此级数的 k =1 和为ξ的数学期望，记为E(ξ)，或Eξ。 E(ξ) =
第二讲
克里金插值
克里金方法（ 克里金方法（Kriging）, 是以南非矿业 ） 工程师D.G.Krige (克里格 名字命名的一项 工程师 克里格)名字命名的一项 克里格 实用空间估计技术， 实用空间估计技术，是地质统计学 的重要 组成部分，也是地质统计学的核心。 组成部分，也是地质统计学的核心。
(武汉大学)摄影测量学教学课件-第六章-第三节-数字高程模型的内插方法
第三节 数字高程模型的内插方法
主要内容
移动曲面内插方法 多面函数内插方法 有限元内插方法
一 移动曲面拟合法
根据参考点上的高程求出其它待定点 上的高程,
整体函 数内插 局部函 数内插 逐点 内插法
2. 移动曲面拟合法步骤
建立局部坐标
对DEM每一个格网点,将坐标原点 移至该DEM格网点P(Xp,Yp)
Z = f ( X ,Y ) = ∑a j q( X ,Y , X j,Yj )
j =1 n
= a1q( X ,Y , X1,Y1) + a2q( X ,Y , X 2 ,Y2 ) + L+ anq( X ,Y , X n ,Yn )
1.核函数
q( X , Y , X j , Y j ) = [( X X j ) 2 + (Y Y j ) ]
X
i
= X
i
X
p
p
Yi = Yi Y
选取邻近数据点
y
di =
X i2 + Y i 2 < R
P
Hale Waihona Puke dix列出误差方程式
Z = Ax + Bxy+ Cy + Dx + Ey + F
2 2
误差方程式
vi = X A + X iYi B + Yi C + X i D + Yi E + F
2 i 2
由n个数据点列出的误差方程为
2 2
1 2 2
q( X , Y , X j , Y j ) = [( X X j ) + (Y Y j ) + δ ]
克里格方法内插生成高程曲面
交叉验证结果
图9
（15泛）克里在格弹内出插的生成Va预li测da图tion 对话框中，点击 Finish 按钮。泛克立格法内插结果如图 10所示。
图 10
（16） 双击 jyg 层面，在弹出的属性对话框中，选 择 Symbology 选项卡，展开 Quantities列表，选中 Graduated Symbols，在 Value 中选择 STATION， 将符号大小的变化范围 Symbol Size from…to…里 改为 4 到 16，如图 11 所示，单击应用，再单击确定。
Kriging方法
训练数据的选择
图4
检验数据的选择
（10）在弹出的对话框中，展开泛克里格Universal Kriging，在下面的选项中点击预测图（Prediction Map），在 DataSet1 选项卡中的 Transformation 里选择 None变换方式，在 Order of Trend 里选择 First，点击 Next 按钮（见图 5）
图 13
转换成栅格数 据的参数设置
6. 结论：
由图上可以看出，原始数据点层按高程值的大小 以符号大小来表示，预测表面也是按高程值的大 小以颜色深浅来表示。两个层面都表现出东高西 低的趋势，与前面趋势分析的结果也一致。在图 幅的中心位置，数据点的值相差不大，在预测表 面上也以同一颜色表示。而在图幅的右上角，两 侧的数据点比中间的数据点高程值略大，在预测 表面上也表现出这一特点。通过以上分析可以看 出，对于此例，利用泛克里格方法进行内插是适 合的。
4. 数据：某地区的高程采样点（jyg.shp）；数据存
放于Chp10\ex1。
5.
操作步骤：
帆 布 校 服 拽 天下请 你滚i你 那狗样 i农村滴 娃，拽 i丑是 丑但是 劳资有 户口我 很吊.你 要 怎 样 i....百 毒 不侵 唯此女 子 i贱 人处处 可贱i服 从我！ 玩不起 的衮i去 你麻痹 的幸福 天 下 我 最 跩 老娘是 你打不 垮的@和 狗不 熟i发光 发光发 你妹！ 发光费 电i青楼满座骚 逼 贱 货 °劳 资 眼里没 把你当 人看贱 出风格 ,贱出 水平爱 情它算 个屌？ 我火了 一脚把 你 踹 飞 °我 顶 你个肺 坟 场 蹦 迪c土 狗放 洋屁@动 她 @ ， 你试 试日久 贱人心！！！ △ 我 宣 你 你 造吗女 生今年 必得男 神贱人 就会瞎 BB做梦 无罪i在 她葬 礼上唱 好日子 弄 不 死 你 i没 必要@好 姑娘 何患无 夫@、 金钱打 造势力 狗。枪 打装逼 狗!麻 利 的 滚 EXO≠LOL别 摆 脸 趁 早 收 手 你不配 质疑我 ！给我 唱征服 有本事 来咬我 ~没死 就别把 自 己 当 废 物 。℡玩 玩你而 已。我 是萌妞 服不服 i不爱了 滚。o屌 丝屌 炸天°揍 性！要 走 趁 早 老 娘 今生认 定了你 贱人不 一定矫 情姐不 会英文 只会拼 音一边 去@24k纯帅@ 分 手 后 的 思 念是犯 贱放血 爱她毁 我你真 瞎@贱 人与狗 素颜姑 娘从不 怕雨淋 矫情时 代 脏了别 捡活了 个该 @双贱合 璧去吧 无人及 我作死 吗 !狗 逼 社会 °你别来 ，我无 恙。 闺 蜜 继 续 做 、朋友 直接走 人至骚 则无敌 @你咬 我啊我 的拽你 学不起 滚！你 碍我眼
插值方法总结
克里格插值方法：克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。
考虑待估点位置与已知数据位置的相互关系，而且还考虑变量的空间相关性。
通过无偏估计和估计值和实际值的插值的方差最小这两个约束条件来求得权重，进而插值。
不足：计算步骤繁琐，插值速度慢。
反距离权重法：IDW的适用于呈均匀分布且密集程度足以反映局部差异的样点数据集；优点:简便易行；可为变量值变化很大的数据集提供一个合理的插值结果；不会出现无意义的插值结果而无法解释;优点：综合了泰森多边形的自然邻近法和多元回归渐变法的长处，在插值时为待估点为邻近区域内所有数据点的距离加权平均值，当有各向异性时，还要考虑方向权重。
是一种精确的插值法，即插值生成的表面中预测的样点值与实测样点值完全相等。
不足:对权重函数的选择十分敏感；易受数据点集群的影响，结果常出现一种孤立点数据明显高于周围数据点的“鸭蛋”分布模式；距离反比很少有预测的特点，内插得到的插值点数据在样点数据取值范围内。
最邻近法（泰森多边形插值法）：特征：用泰森多边形插值方法得到的结果图变化只发生在边界上，在边界内都是均质的和无变化的。
适用于较小的区域内，变量空间变异性也不很明显的情况，同时只有少数缺失值时，对缺失值进行填补。
优点：不需其他前提条件，方法简单，效率高；缺点:受样本点的影响较大，只考虑距离因素，对其他空间因素和变量所固有的某些规律没有过多地考虑。
实际应用中，效果常不十分理想。
自然邻近法：本质上是对最邻近插值法的一种改进，它对研究区域内各点都赋予一个权重系数，插值时使用邻点的权重平均值决定待估点的权重。
每完成一次估值就将新值纳入原样点数据集重新计算泰松多边形并重新赋权重，再对下一待估点进行估值运算。
对于由样点数据展面生成栅格数据而言，通过设置栅格大小（cell size)来决定自然邻近插值中的泰森多边形的运行次数n，即，设整个研究区域的面积area，则有：n=area/cell size。
克里金方法内插生成高程曲面
克里金方法内插生成高程曲面一、实验背景与目的背景：现有某地区一系列高程采样点，需要通过内插生成该地区的高程层面，为后续研究提供合理的数据层面信息。
目的：通过熟练掌握并理解统计模块里的六中克里金插值方法，原理和过程，体会在具体应用中的适用性。
二、实验步骤(一)数据准备某地区的高程采样点，存放于chp10\EX1中。
(二)操作步骤1.1数据准备与模块启用1.2子集要素1.启用地理统计模块2.输入要素jyg，选择训练的子集要素和测试的子集要素的输出路径，选择训练子集要数所占总要数的比例：80（80%），其他默认。
单击ＯＫ。
3.训练要素（绿色）和测试要素（红色）分布图如下1.3正态分布检测1.按图找到直方图统计工具，查看数据是否符合正太分布。
注：统计源为上一步的训练数据，不是原始数据和测试数据。
2.QQ正态图工具由以上两个统计图，得到数据分布符合正态分布的假设，不需要进行数据变换。
1.4趋势分析检测按图找到趋势分析工具，下图为趋势分析的结果图，南北方向具有微弱的趋势（蓝线），而东西方向具有明显的东高西低的趋势（绿线），后续要进行趋势剔除操作。
1.5克里金插值与精度评价（泛克里金插值）1.按照下图找到地理统计导向工具2.按图选择插值方法Kring/CoKinging，右边的数据集为训练数据，字段为默认。
3.克里金的类型选择泛克里金，并进行趋势剔除（Order of trend removal 为First）4.趋势剔除示意图5.下图为半变异/协方差建模图，将Number of Lag 设为10（在设置分组时，尽量保持每组的样本数大于10）6.搜索领域图7.交叉验证结果图，显示了对模型的评价，发现Number of Lag 设为10的精度较好。
符合以下模型是最优的，标准平均值最接近于0，均方根最小，平均值误差最接近于均方根误差，平均标准误差最接近于1。
8.克里金插值方法参数报表1.6克里金插值结果1.7jyg图层的符号化1.找到iyg的属性，找符号化界面，参数如下2.符号化结果图1.8插值结果转栅格1.右键插值结果图，按图选择转栅格工具。
在CAD软件中利用引导线和插值进行复杂曲面设计
在CAD软件中利用引导线和插值进行复杂曲面设计曲面设计是CAD软件中常见且重要的功能之一。
利用引导线和插值方法可以帮助我们快速而精确地设计复杂曲面。
本文将介绍在CAD 软件中如何利用引导线和插值进行复杂曲面设计的技巧与方法。
引导线是指通过指定的线条或曲线来定义曲面的形状。
在CAD软件中，我们可以使用已有的线条或通过绘制新的线条来作为引导线。
首先，选中引导线工具，在绘图界面上选择起点和终点，绘制一条直线，或者选取一段已有的线条作为引导线。
在选择引导线之后，我们需要确定曲面的各个特征点。
这些特征点将会决定曲面的形状。
在CAD软件中，通过插值方法可以帮助我们确定这些特征点。
插值是一种通过已知点和相应的特征值来确定未知区域的方法。
在CAD软件中，我们可以使用线性插值或非线性插值方法。
线性插值是指通过已知的两个点来确定曲面上的其他点的位置。
非线性插值则通过已知的多个点和相应的特征值来计算未知区域的点的位置。
选择适当的插值方法可以根据设计的需要来确定。
在确定曲面的特征点之后，我们可以开始进行实际的曲面设计。
在CAD软件中，可以选择曲面设计工具来根据引导线和特征点来绘制曲面。
根据设计的需要，我们可以选择不同的曲面类型，如直线曲面、弯曲曲面或复杂曲面等。
绘制曲面时，需要注意一些设计原则。
首先，曲面的形状应该与引导线相符合，以确保曲面的流畅性和连续性。
其次，特征点的位置和距离应该根据设计的要求进行合理的调整，以获得满意的曲面效果。
最后，曲面的节点数量和分布应该适当，以确保曲面的精确性和稳定性。
在进行复杂曲面设计时，还可以使用其他的CAD工具来优化曲面效果。
例如，可以使用平滑工具来调整曲面的光滑度和平整度。
另外，还可以使用旋转工具或缩放工具来调整曲面的大小和形状。
这些工具可以帮助我们更加灵活地进行曲面设计。
总之，在CAD软件中利用引导线和插值进行复杂曲面设计是一个精确而高效的方法。
通过合理选择引导线和特征点，并灵活运用插值方法和其他CAD工具，我们可以设计出满足需求的复杂曲面。
ArcGIS中几种空间插值方法
ArcGIS 中几种空间插值方法1. 反距离加权法(IDW)ArcGIS 中最常用的空间内插方法之一，反距离加权法是以插值点与样本点之间的距离为权重的插值方法，插值点越近的样本点赋予的权重越大，其权重贡献与距离成反比。
可表示为：1111()()n nip p i i i i Z Z D D ===∑∑ 其中Z 是插值点估计值，Z i (i=1Λn)是实测样本值，n 为参与计算的实测样本数，D i 为插值点与第i 个站点间的距离，p 是距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。
2.多项式法多项式内插法(Polynomial Interpolation)是根据全部或局部已知值，按研究区域预测数据的某种特定趋势来进行内插的方法,属统计方法的范畴。
在GA 模块中，有二种类型的多项式内插方法，即全局多项式内插和局部多项式内插。
前者多用于分析数据的全局趋势；后者则是使用多个平面来拟合整个研究区域，能表现出区域内局部变异的情况。
3.样条函数内插法样条函数是一个分段函数，进行一次拟合只有少数点拟合，同时保证曲线段连接处连续，这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线。
样条函数的一些缺点是：样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些“块”拼成复杂曲面,又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。
4.克里格插值法克里格法是GIS 软件地理统计插值的重要组成部分。
这种方法充分吸收了地理统计的思想，认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的，不能用简单的平滑数学函数进行模拟，可以用随机表面给予较恰当的描述。
这种连续性变化的空间属性称为“区域性变量”，可以描述象气压、高程及其它连续性变化的描述指标变量。
地理统计方法为空间插值提供了一种优化策略，即在插值过程中根据某种优化准则函数动态的决定变量的数值。
Kriging 插值方法着重于权重系数的确定，从而使内插函数处于最佳状态，即对给定点上的变量值提供最好的线性无偏估计。
基于Kriging的地形高程插值
目前构建地形高程模型的主要途径是散乱点数 方差函数和变差函数曲线图 (图 1) [6 ] ,即可直接显示
据插值 ,通常采用三角插值和距离加权插值两种方 变量 Z(x) 的空间变异特点 。
法[1 ,2] 。Kriging(克立格) 法是国际上公认的空间插值
方法 ,也是地统计学的主要方法 ,它基于变量相关性
Kλ= D
(8)
r1 ,1 r1 ,2 … r1 ,n 1
λ1
M1 ,v
r2 ,1 r2 ,2 … r2 ,n 1
λ2
M2 ,v
式中 : K = ⁝ ⁝ ω ⁝ ⁝ λ, = ⁝ ,D = ⁝
rn ,1 rn ,2 … rn ,n 1
λn
Mn ,v
1 1 …1 0
μ
1
K 是样本点间半方差值组成的矩阵 ,称为普通
用变差函数表示的 Kriging 方程组 :
∑nλjri ,j +μ= ri ,v (i = 1 ,2 , …,n)
j=1 n
(7)
∑λi = 1
i=1
式中 :ri ,j表示高程点 i 与 j 的半方差 。
(4) 解 Kriging 方程组得到权重系数及待插点的
高程值 ,同时得到插值误差 。用矩阵形式表示为[7 ] :
以点 v 为例 ,估计其高程 ^Zv =
n
∑λiZi ,它是周围 n 个高
i=1
程值的线性组合 。区域化变量满足平稳假设条件
时 ,可得到点 v 的高程 Z 的估计方差公式 :
σ2E = E[ Zv - ^Zv ]2 = E[ Zv -
n
∑λi Zi ]2
i=1
nn
n
= ∑ ∑λλi jCi ,j - 2 ∑λiCi ,v + Cv ,v