弹簧双振子问题的处理
解析弹簧振子和简谐振动的问题
解析弹簧振子和简谐振动的问题弹簧振子和简谐振动是物理学中常见的问题，它们在自然界和科学实验中都有广泛的应用。
本文将从基本概念、数学表达式、物理意义、示例等方面对弹簧振子和简谐振动进行解析。
一、基本概念弹簧振子是指通过弹簧连接的质点在受力的作用下发生的振动现象。
它由一个质点和一个弹簧组成，当质点偏离平衡位置时，弹簧会受到拉力或压力，从而产生恢复力，将质点拉回平衡位置。
弹簧振子的振动是由弹性势能和动能之间的转化导致的。
简谐振动是指质点在恢复力的作用下以正弦或余弦函数形式进行的振动。
它的特点是振动周期固定，且同一周期内各物理量的变化满足正弦或余弦函数关系。
二、数学表达式弹簧振子和简谐振动可以用数学函数表达。
以弹簧振子为例，当质点偏离平衡位置x时，弹簧所受恢复力与位移成正比。
根据胡克定律，弹簧受力F与位移x之间的关系可以表示为F=-kx，其中k为弹簧的劲度系数。
结合牛顿第二定律，可以得到质点的运动方程：m(d^2x/dt^2)=-kx。
这是一个二阶常微分方程，可以通过求解得到函数x(t)的表达式。
对于简谐振动，质点的加速度与质点的位移成反比。
根据牛顿第二定律，可以得到简谐振动的运动方程：m(d^2x/dt^2)=-kx。
解这个方程可以得到简谐振动的位移函数x(t)。
三、物理意义弹簧振子和简谐振动在物理学中具有广泛的应用。
例如，在钟表、摆钟等时间计量仪器中，弹簧振子的振动周期可以用来测量时间。
在音乐乐器中，琴弦、乐器管等的振动也遵循简谐振动规律，决定了乐器的音色和音调。
此外，弹簧振子和简谐振动还在工程设计和科学研究中发挥着重要作用。
例如，在建筑工程中，通过研究弹簧振子的振动特性可以保证建筑结构的稳定性和安全性。
在电子领域，振荡电路中的电容电感电路也可以看作是简谐振动的一种应用。
四、示例分析为了更好地理解弹簧振子和简谐振动的概念，让我们以弹簧振子为例进行具体分析。
假设一个弹簧的劲度系数为k，质点的质量为m，初时刻质点的位移为A，初速度为0。
用v—t图像破解弹簧双振子问题
用v—t图像破解弹簧双振子问题作者：武莲实来源：《中学生数理化·学研版》2015年第05期弹簧双振子是高中物理的重要物理模型之一其特点是质点在振动过程中无固定的悬点。
本模型涉及力和运动动量和能量等多方面的联系。
下面就常见的三类弹簧双振子问题来分析它们运动的一般规律。
一、系统质心静止不动质心系中物体相对质心做简谐振动图例如图所示两物体A、用轻质弹簧相连静止在光滑水平面上现同时对A、两物体施加等大反向的水平恒力F、F使A、同时由静止开始运动在运动过程中对A、两物体及弹簧组成的系统正确的说法是整个过程中弹簧不超过其弹性限度））。
A。
机械能守恒。
机械能不断增加C。
当弹簧伸长到最长时系统的机械能最大D。
当弹簧弹力的大小与F、F的大小相等时A、两物体速度为零。
解析：F、F加在A、上以后A、向两侧做加速度a=F-kx减小的加速运动。
当F=kx后加速度为零速度达到最大以后kx>FA、向两侧做减速运动到速度减为零时弹簧伸长到最长以后弹簧伸长量减小F、F开始做负功则系统的机械能减少。
从A、开始运动到弹簧伸长到最长的过程F、F都一直做正功使系统的机械能增加以后再分别沿原来的反方向先做加速运动再做减速运动速度同时减小到零后重复上述过程显然在F=F=kx时A、两物体的速度最大动能最大。
在整个过程中F与F既有做正功的过程也有做负功的过程所以机械能既有增加的过程又有减少的过程则只有C正确。
v-t如图所示图在t=0时刻A向左运动向右运动t时刻两个速度均达最大t时刻两物速度均为零弹簧拉到最长F、F做正功系统的机械能最大t3到t时间内F、F均做负功t时刻两物体回到原位置。
答案为C。
二、系统质心做匀速直线运动质心系中物体相对质心做简谐振动图3例如图3所示质量相等的a、b两木块用轻弹簧连接静止在光滑的水平面上现给木块b一个向左的初速度此后）。
A。
弹簧有最大压缩量时a的速度一定比b的速度大。
弹簧有最大伸长量时两木块的速度都等于零C。
弹簧专题之弹簧振子
弹簧专题之弹簧振子【模型构建】定义弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑空气阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子（金属小球）的大小和形状的理想化的物理模型。
用来研究简谐振动的规律。
弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。
若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。
在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。
当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。
但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。
动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。
这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。
势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。
在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。
弹簧振子的固有周期和固有频率与弹簧劲度系数和振子质量有关，与振幅大小无关。
右图为其运动图像。
（注意复习受迫振动，阻尼振动等相关知识）在简谐运动中，我们一般对模型甲（图１）比较熟悉，但模型乙（图２）也经常出现在试题中。
特别注意：模型甲乙都做简谐运动，甲中回复力（弹力），加速度，速度，位移各量都关于平衡位置Ｏ点对称。
但是乙是由弹簧弹力和弹簧重力一起提供回复力，弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称的，但是回复力（加速度）仍然是对称的。
特征图３1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F与回复加速度a大小相等，方向相反。
平衡位置合力为零，加速度为零，速度最大。
正负位移最大处回复力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。
２：如图３所示，O为平衡位置，假设一弹簧振子在A、B两点间来回振动，振动周期为T，C、D两点关于平衡位置O点对称。
从振子向左运动到C点开始计时，到向右运动到D点为止，即振子由C→A→C→O→D的运动时间为３：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即在振动过程中，振子在任意位置，弹簧振子的机械能不变，弹簧振子的机械能表现为振子的动能与弹簧储存的弹性势能之和。
高考物理弹簧类问题的几种模型及其处理方法归纳
弹簧类问题的几种模型及其处理方法学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化，加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂。
其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。
还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。
根据近几年高考的命题特点和知识的考查，笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析，供读者参考。
一、弹簧类命题突破要点1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。
当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态。
2．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。
3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解。
同时要注意弹力做功的特点：弹力做功等于弹性势能增量的负值。
弹性势能的公式，高考不作定量要求，可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。
二、弹簧类问题的几种模型1．平衡类问题例1．如图1所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。
现施力将m1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。
在此过程中，m2的重力势能增加了______，m1的重力势能增加了________。
分析：上提m1之前，两物块处于静止的平衡状态，所以有：，，其中，、分别是弹簧k1、k2的压缩量。
重点高中物理必修一弹簧问题
精心整理高中物理弹簧模型问题一、物理模型：轻弹簧是不计自身质量，能产生沿轴线的拉伸或压缩形变，故产生向内或向外的弹力。
二、模型力学特征：轻弹簧既可以发生拉伸形变，又可发生压缩形变，其弹力方向一定沿弹簧方向，弹簧两端弹力的大小相等，方向相反。
三、弹簧物理问题：1．弹簧平衡问题：抓住弹簧形变量、运动和力、促平衡、列方程。
2．弹簧模型应用牛顿第二定律的解题技巧问题：（1） 弹簧长度改变，弹力发生变化问题：要从牛顿第二定律入手先分析加速度，从而分析物体运动规律。
而物体的运动又导致弹力的变化，变化的规律又会影响新的运动，由此画出弹簧的几个特殊状态（原长、平衡位置、最大长度）尤其重要。
（2） 弹簧长度不变，弹力不变问题：当物体除受弹簧本身的弹力外，还受到其它外力时，当弹簧长度不发生变化时，弹簧的弹力是不变的，出就是形变量不变，抓住这一状态分析物体的另外问题。
（3） 弹簧中的临界问题：当弹簧的长度发生改变导致弹力发生变化的过程中，往往会出现临界问题：如“两物体分离”、“离开地面”、“恰好”、“刚好”……这类问题找出隐含条件是求解本类题型的关键。
3．弹簧双振子问题：它的构造是：一根弹簧两端各连接一个小球（物体），这样的装置称为“弹簧双振子”。
本模型它涉及到力和运动、动量和能量等问题。
本问题对过程分析尤为重要。
1．弹簧称水平放置、牵连物体弹簧示数确定【例1】物块1、2放在光滑水平面上用轻弹簧相连，如图1所示。
今对物块1、2分别施以相反的水平力F1、F2，且F1>F2，则：A ．弹簧秤示数不可能为F1B ．若撤去F1，则物体1的加速度一定减小C ．若撤去F2，弹簧称的示数一定增大D ．若撤去F2，弹簧称的示数一定减小即正确答案为A 、D【点评】对于轻弹簧处于加速状态时要运用整体和隔离分析，再用牛顿第二定律列方程推出表达式进行比较讨论得出答案。
若是平衡时弹簧产生的弹力和外力大小相等。
主要看能使弹簧发生形变的力就能分析出弹簧的弹力。
“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用
“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用简谐运动在高中阶段的物理学习中占据重要地位，其中“弹簧双振子模型”是师生共同面对的较为艰深的问题，出错率较高，在物理竞赛中是重要的考点。
“弹簧双振子模型”是简谐运动的理想模型。
该模型在运动过程中，设计机械能转化、动量、周期性变化等内容，是物理竞赛中频繁出现的知识，目的就是为了考验参赛者对于各部分知识的综合运用能力。
笔者将在下文探讨“弹簧双振子模型”的含义以及该模型在物理竞赛中的应用。
标签：弹簧双振子模型；物理竞赛；应用；动量；机械能一、“弹簧双振子模型”的含义振动是自然界中常见的物理现象，物理教学中对于振动部分的教学，一般将其提炼为质点沿弹簧方向振动的模型进行讨论。
实际生活中，较为理想的影响因素较少的简谐运动并不常见，质点除了在弹簧方向的振动以外，还会受到不同方向外力影响。
例如两个孩子手拉手在冰面上活动，冰面情况不可能为理想的阻力为零的情况。
对于这类问题，可以建立弹簧双振子模型进行研究，讨论其在其他方向的小振幅振动。
“弹簧双振子模型”一般由一个弹簧与两个振子组成。
振子质量远远大于弹簧质量，研究模型时忽略弹簧质量对模型的影响。
弹簧对振子产生的力为变力，力随着弹簧拉升压缩不停变化，振子运动遵循胡克定律，为简谐运动。
如果力是一直变化的，那么运用牛顿力学定律解决问题则不太实用，经典力学所需条件较为理想，采用动量守恒与能量守恒部分知识更容易解决弹簧双振子模型的问题。
近年来的物理竞赛频频出现“弹簧双振子模型”相关问题，表明了竞赛思想在于锻炼学生知识综合运用能力。
二、高中物理中弹簧特性在高中物理阶段，弹簧的弹力是变力，弹簧产生的弹力遵循胡克定律：F=-kx。
其中x是弹簧形变的大小而非弹簧的位移，符号表示的是弹簧的弹力与形变方向是相反的。
中学阶段，学生已经学习了势能知识，弹簧具有弹性势能，弹性势能的表达式为对于量是没有要求的，这就要求在高中物理阶段需要定量探讨弹簧问题，需要通过动量守恒、能量守恒等知识来进行量化。
高中物理谐振问题解题步骤详解
高中物理谐振问题解题步骤详解谐振是物理学中一个重要的概念，涉及到弹簧振子、简谐振动等内容。
在解谐振问题时，我们需要掌握一定的解题步骤和技巧。
本文将详细介绍高中物理谐振问题的解题步骤，以及一些常见的考点和解题技巧，以帮助高中学生或他们的父母更好地理解和解决这类问题。
一、问题分析首先，我们需要仔细阅读问题，了解问题所给的条件和要求。
在分析问题时，需要注意以下几个方面：1. 确定问题类型：谐振问题通常涉及到弹簧振子、简谐振动等内容，因此需要明确题目中涉及的物理现象和概念。
2. 确定已知量和未知量：通过阅读问题，找出已知量和未知量，并将其列出来。
已知量是我们已经知道的物理量，未知量是我们需要求解的物理量。
3. 确定问题的求解方法：根据问题的要求，确定问题的求解方法。
谐振问题通常可以通过使用谐振的基本公式来求解。
二、基本公式应用在解谐振问题时，我们需要掌握一些基本公式，如弹簧振子的周期公式、频率公式等。
下面以一个实际的例子来说明如何应用这些公式：例题：一个质量为m的物体通过一根劲度系数为k的弹簧与一水平面接触，当物体受到一个外力F时，处于谐振状态。
已知外力F的大小和方向，求物体的振动频率。
解题步骤：1. 阅读问题，确定问题类型为弹簧振子问题，已知量为质量m、劲度系数k和外力F，未知量为振动频率f。
2. 根据弹簧振子的频率公式f=1/2π√(k/m)，将已知量和未知量代入公式中，即可求解出振动频率。
三、考点分析在解谐振问题时，我们需要注意一些常见的考点，下面列举几个常见的考点并进行详细解析：1. 劲度系数与振动频率的关系：根据弹簧振子的频率公式可知，振动频率与劲度系数成正比，与质量的平方根成反比。
因此，当劲度系数增大时，振动频率也会增大；当质量增大时，振动频率会减小。
2. 外力对谐振状态的影响：在谐振状态下，外力的大小和方向会对振动频率产生影响。
当外力的大小等于弹簧的恢复力时，物体处于谐振状态；当外力的大小大于弹簧的恢复力时，物体将超调，不再处于谐振状态。
探析弹簧双振子的运动规律
难点挑战Җ㊀湖南㊀胡连冬㊀㊀弹簧振子的运动问题涉及运动和力的关系㊁动量能量观念．尤其是 弹簧双振子 运动问题,其运动情况较为复杂,物理情境难以想象,因此 弹簧双振子运动问题往往成为历年中学物理竞赛的题型之一．１㊀弹簧振子的定义如图１所示,把轻弹簧的一端固定,另一端连接小球(或滑块),当轻弹簧发生形变后,小球或滑块就在平衡位置附近做往复运动,这种现象叫简谐振动,其中弹簧和小球(或滑块)组成的系统称为弹簧振子．如图２所示,在轻弹簧的两端各连接一个小球,当弹簧发生形变后,该系统中的两个小球就相对系统的质心做简谐振动,这样的系统称为 弹簧双振子模型 ,弹簧振子是一种理想化模型．图１图２２㊀弹簧振子的运动问题２ １㊀弹簧单振子运动规律在如图１所示的弹簧单振子模型中,振子在回复力作用下做简谐振动,振子相对平衡位置的位移和速度可分别表示为x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),其中A 为振子的振幅,振子的频率ω＝k m ,振子的周期T ＝２πmk ,φ０为初相,t 为振动时间,k 为弹簧劲度系数．A 和φ０由初始条件决定．２ ２㊀弹簧双振子运动规律１)弹簧双振子系统质心处于静止状态例１㊀将原长为l ０㊁劲度系数为k 的轻弹簧连接A ㊁B 两振子,A ㊁B 质量分别为m １㊁m ２．将弹簧压缩为l 后锁定置于光滑水平面上,如图３所示．当弹簧突然解除锁定后,试分析振子A ㊁B 的运动情况．图３压缩的弹簧解除锁定后,系统在水平方向上不受外力,且系统的总动量为零,根据动量守恒定律可知,系统质心C 的速度为零．若弹簧锁定时质心C 到两振子的距离分别为l １和l ２．如图３所示,由系统质心位置分布规律得m １l １＝m ２l ２,l １＋l ２＝l ,则l １＝m ２l m １＋m ２,l ２＝m １lm １＋m ２．当弹簧处于原长时,质心C 到两振子的距离分别为l １０和l ２０．如图４所示,同理可得弹簧处于原长时,两振子离质心C 的距离l １０＝m ２l ０m １＋m ２,l ２０＝m １l ０m １＋m ２．图４把两振子之间的轻弹簧等效为两根原长分别为l １０和l ２０的轻弹簧在质心C 处串联,两根轻弹簧对应的劲度系数分别为k １和k ２．这两根轻弹簧的形变量为x １＝l １０－l １,x ２＝l ２０－l ２．整根弹簧的形变量x ＝x １＋x ２．由胡克定律得F ＝k １x １＝k ２x ２＝k x ,①则１k ＝１k １＋１k ２．②结合质心位置分布规律有m １x １＝m ２x ２．③由式①③得k １m １＝k ２m ２．④由式②④得k １＝m １＋m ２m ２k ,k ２＝m １＋m ２m １k ．⑤㊀㊀弹簧解除锁定后,振子A ㊁B 分别在质心C 两边２４难点挑战轻弹簧的弹力作用下相对质心C 做简谐振动,两振子振动的频率和周期均相同,即ω＝m １＋m ２m １m ２k ,T ＝２πm １m ２(m １＋m ２)k．以水平向右为x 轴正方向,根据弹簧单振子的振动方程x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),结合两振子的初始条件x A ０＝m ２m １＋m ２(l ０－l ),v A ０＝０,x B ０＝－m １m １＋m ２(l ０－l ),v B ０＝０．分别求得两振子振动的位移和速度:x A ＝m ２(l ０－l )m １＋m ２c o s ωt ,v A ＝－m ２ω(l ０－l )m １＋m ２s i n ωt ,x B ＝－m １(l ０－l )m １＋m ２c o s ωt ,v B ＝m １ω(l ０－l )m １＋m ２si n ωt ．㊀㊀图５㊀㊀A ㊁B 两振子的速度 时间图象如图５所示(振幅不一定相同,由振子质量决定)．２)弹簧双振子系统质心处于匀速直线运动状态例２㊀如图６所示,振子A ㊁B 和轻弹簧连接静止在光滑水平面上,两振子A ㊁B 质量分别为m １㊁m ２,C 表示系统的质心位置,现给A 一个水平向右大小为v ０的初速度,试分析A ㊁B 两物块的运动情况．图６A ㊁B 和弹簧组成的系统动量和能量守恒,即m １v ０＝(m １＋m ２)v C ．质心C 做匀速直线运动的速度v C ＝m １v ０m １＋m ２．由例１分析可知A ㊁B 两物块相对质心做简谐振动,振动的频率和周期均不变,其中ω＝m １＋m ２m １m ２k ,T ＝２πm １m ２(m １＋m ２)k．以质心C 为坐标原点O ᶄ,v ０的方向为正方向,建立质心坐标系,如图７所示．在任意时刻t ,A 相对质心C 的速度v A 相＝v ０－v C ＝m ２v ０m １＋m ２,A 在质心坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离x A 相＝０．图７由单振子振动方程x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),结合初始条件可以得到物块A 相对质心C 的振动方程为x A 相＝m ２v ０(m １＋m ２)ωc o s (ωt ＋３π２),v A 相＝－m ２v ０m １＋m ２s i n (ωt ＋３π２)．即x A 相＝m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,v A 相＝m ２v ０m １＋m ２c o s ωt ．A 相对质心C 的位置为x ᶄA ＝m ２l ０m １＋m ２＋m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ．如果以t ＝０时刻B 物块所在位置为坐标原点,向右为x 正方向建立如图７所示的地面坐标系,则在任意时刻A 的坐标x A ＝x ᶄA ＋m １l ０m １＋m ２＋v C t ,即x A ＝l ０＋m １v ０t m １＋m ２＋m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ．⑥A 相对地面坐标系的速度v A ＝m １v ０m １＋m ２＋m ２v ０m １＋m ２c o s ωt ．⑦㊀㊀在t ＝０时刻,B 物块相对质心C 振动的初始条件为v B 相＝－m １v ０m １＋m ２,x B 相＝０,则B 相对质心C 的振动方程x B 相＝－m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,v B 相＝－m １v ０m １＋m ２c o s ωt ．同理可得B 物块在任意时刻t 相对质心坐标系O ᶄx ᶄ的位置x ᶄB ＝－m １l ０m １＋m ２－m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,B 相对地面参考系O x 的位置为x B ＝x ᶄB ＋m １l ０m １＋m ２＋v C t ,即x B ＝m １v ０m １＋m ２t －m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,⑧B 物块相对地面参考系的速度v B ＝m １v ０m １＋m ２－m １v ０m １＋m ２c o s ωt ．⑨３４难点挑战㊀㊀由式⑦⑨可作出A ㊁B 物块在质量m １＝m ２时相对地面的v Ｇt 图象,如图所示．图８３)弹簧双振子系统质心处于匀变速直线运动状态㊀㊀图９例３㊀劲度系数为k 的轻弹簧两端各系质量为m A 和m B 的小球A ㊁B ,A 用细线悬于天花板上,系统处于静止状态．如图９所示,此时弹簧长度为l ,现将细线烧断,并以此时为计时起点,试分析任意时刻两小球的运动情况(系统距地面足够高)．㊀图１０若弹簧的自由长度为l ０,细线烧断前弹簧的伸长量Δl ＝l －l ０＝m Bg k．细线烧断后系统做自由落体运动,即质心C 做自由落体运动,小球A ㊁B 相对质心C 做简谐振动,它们的频率和周期均相同,其中ω＝m A ＋m Bm A m Bk ,T ＝２πm A m B(m A ＋m B )k ,以质心C 为坐标原点,竖直向下为正方向,建立如图１０所示的质心参考坐标系O ᶄx ᶄ．以烧断细线瞬间为计时起点,在t ＝０时刻小球A 在质心参考坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离x ０＝m B l m A ＋m B －m B l ０m A ＋m B ＝m ２Bg k (m A ＋m B )．A 相对平衡位置的速度v ０＝０．由弹簧单振子的振动方程可得A 球相对质心的振动方程分别为x A 相＝m ２Bgk (m A ＋m B )c o s (ωt ＋π)＝－m ２Bgk (m A ＋m B )c o s ωt ,v A 相＝－m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n (ωt ＋π)＝m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀在任意时刻t ,A 球在质心坐标系O ᶄx ᶄ中的位置和速度分别为x ᶄA ＝－m B l ０m A ＋m B －m ２Bg k (m A ＋m B )c o s ωt ,v ᶄA ＝m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀以烧断细线时A 所在位置为坐标原点O ,竖直向下为正方向,建立如图１０所示的地面参考坐标系O x ．则在任意时刻A 在O x 坐标系中的位置和速度分别为x A ＝m B l m A ＋m B －m B l ０m A ＋m B －m ２B gk (m A ＋m B )c o s ωt ＋１２g t ２＝m ２B g k (m A ＋m B )(１－c o s ωt )＋１２g t ２,v A ＝m ２B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ＋g t ．㊀㊀以烧断细线时刻为计时起点,B 在质心参考坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离和速度分别为x ０＝m A l m A ＋m B －m A l ０m A ＋m B ＝m A m B g k (m A ＋m B )．v ０＝０．㊀㊀同理可得B 相对质心的振动方程分别为x B 相＝m A m Bg k (m A ＋m B )c o s ωt ,v B 相＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀任意时刻B 相对质心坐标系O ᶄx ᶄ的位置和速度分别为x ᶄB ＝m A l ０m A ＋m B ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ,v ᶄB ＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀因此任意时刻t ,B 相对地面坐标系O x 的位置为x B ＝m A l ０m A ＋m B ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ＋m B l m A ＋m B ＋１２gt ２．把l ０＝l －Δl 及Δl ＝m Bg k代入得x B ＝l －m A m B g (m A ＋m B )k ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ＋１２gt ２．B 相对地面坐标系O x 的速度为v B ＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ＋g t ．综上所述,弹簧双振子具有相似的运动规律,双振子的运动是振子相对系统质心的简谐振动和系统质心某种运动的合运动．(作者单位:湖南长沙宁乡市第七高级中学)４４。
弹簧振子碰撞问题归类分析
-co数理化解题研究2021年第01期总第494期弹簧振子碰撞问题归类分析胡连冬(湖南省长沙宁乡市第七高级中学410635)摘要：基于力学中“弹簧振子模型”的特点，运用运动和力的关系结合动量和能量的观点对弹簧振子的碰撞问题和遵循的规律进行归类分析，为处理弹簧振子的碰撞问题提供教学参考•关键词：弹簧振子模型；碰撞;动量；能量中图分类号:G632文献标识码：A文章编号：1008-0333(2021)01-0082-04弹簧振子的碰撞问题涉及相互作用观、运动观、动量和能量观,知识综合性强，物理现象复杂,运动过程多变;这类问题能很好的区分学生的综合素养，因而成为历年高考命题的重要素材之一.一、弹簧振子的定义如图1所示,把轻弹簧的一端固定，另一端连接小球或滑块,当轻弹簧发生形变后,小球或滑块就在平衡位置附近作往复运动,这种现象叫简谐振动,其中弹簧和小球或滑块组成的系统称为弹簧振子•如图2中在轻弹簧的两端各连接一个小球，当弹簧发生形变后,该系统中的两个小球就相对系统的质心作简谐振动,这样的系统称为“弹簧双振子模型”，弹簧振子是一种理想化模型.簧下端固定在地上•平衡时弹簧的压缩量为%0,如图3所示.一物块从钢板正上方距离为3%0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m时,它们恰能回到。
点.若物块质量图3为2m,仍从A处自由落下，则物块与钢板回到0点时，还具有向上的速度•求物块向上运动到达的最高点与0点的距离•解析当物块质量为m时，物块与钢板碰撞前作自由落体运动,碰撞前物块的机械能守恒,若碰撞前物块速度为V.则有:mg3%0=2mF2,V二典g%0•图2二、弹簧振子的碰撞问题1•竖直弹簧振子的碰撞问题例1质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹物块与钢板碰撞时,由于作用时间极短,所以物块与钢板组成的系统动量守恒,设物块与钢板碰撞后瞬间的速度为V].则有:mV=2mV1，V]=；0•设弹簧压缩%0时的弹性势能为Ep.在物块与钢板碰撞后直到物块恰好回到0点的过程中,物块与钢板及弹簧组成的系统机械能守恒,即：E p+12mV2=2mg%0 (1)若物块质量为2m.物块仍从A处自由落下，物块与钢板碰前速度仍为V=6g%0•物块与钢板碰撞后瞬间的速度为V2•2由动量守恒得：2mV=3mV2.即V2=36g%0收稿日期：2020-10-05作者简介：胡连冬，男，中学高级教师，从事物理教学研究.—82—2021年第01期总第494期数理化解题研究物块与钢板回到0点时，还具有向上的速度％•同理物块与钢板及弹簧组成的系统机械能守恒，则：E p + ；3 mF 2-3 mg%0+ ；3 mT ；(2)物块返回0点后作竖直上抛运动，物块向上运动到 达的最高点与0点的距离为h m .此过程物块机械能守恒,1 2mT 3 -2m g h m(3)把 j6^。
坐标法解“弹簧双振子模型”
物理与数学上的推导 ， 得到 了确 定双振子任意时刻位 置的简洁普遍公式。运 用公式对“ 弹簧双振子模 型” 的各种情 况进行处理 ， 结果正确 ， 这表明“ 弹簧双振子模型” 的运动情况可以由所得公式表 示。
关键词 ： 弹簧双振子 ； 物理模型；坐标 ；矢量
中图分类号： １８ Ｏ ７ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０４ ２７ ２０ ｝６ ０３ ６ １０ —２３ （０８０ —０３ —０
有
ｎ口 Ａ ） 理 得 ： ， ｍ ａ Ｋ（
．
（ 一ｎ ）＝一 （ ｎ △ ）
１３ 确 定相关 物理量 ．
２ 。
¨、 口 Ｘ¨， ¨、曰 ０¨ ¨分别 为 Ａ、 Ｂ在 Ｏｎ Ａ ｎ、
１３ １ 系统质心在第～个坐标系 Ｏ ．． 中位置 ， ｃ在弹簧 自由伸展时其距离 Ａ为 ｆ ， ＾ 距离 Ｂ为 ， ： ｃ 有
ｍＡＡ Ｉｃ ｍ￣ ｎ ｌｃ。 ＩＣ ＋ ｌｃ Ａ ｎ ｌ ｏ
Ｋ
给 Ａ以 ｏ 的沿弹簧 水平瞬 间速度 ， Ｂ以 给 加的沿 弹簧 水平瞬 间速度 ， 试
０’ ———————
确定任意时刻 ＡＢ的 、 位置。
Ｉ１ 分 析 ： ．
０ 三
ｔ ０—
。 ‘
，
如图 ｌ因 为弹簧振 子在水平 方 向不受 外 力 ， 弹簧 形变 只有 弹性 力 ， 且
科 研研 究 祭 金 重点 资 助 琐 ¨（０ｇＯ ） ２０ ．１
作者简介 ： 陈 ｆ １７ 一） 男 ，湖『 （９ ３ ， 萄株洲人 ， Ｌ 硕 研究牛 ， 研究 州 ： 物理 课程 教学论 ｊ
３ ４
上 饶 师 范 学 院 学 报
２０ （ ２ 卷 ） ０８ 第 ８
此时， 系统 动量守恒 有 ： ｏ： １ Ｉｏ Ｐ ７ ／ ＋ｍＢＢ ￣Ａ Ａ ＶＯ＝ （ Ａ＋ ｍ ） ｍ
弹簧调谐装置实验技术的常见问题解析
弹簧调谐装置实验技术的常见问题解析弹簧调谐装置作为一种常见的实验设备，在物理、机械及其他相关实验中得到广泛使用。
然而，使用过程中常常会遇到一些问题，这就需要我们对这些问题进行解析和解决。
本文将针对弹簧调谐装置实验技术的常见问题，对其进行详细的解析。
一、弹簧松动问题在实验中，弹簧松动是经常遇到的问题之一。
为了解决这个问题，需要我们首先检查弹簧的连接是否牢固。
如果发现松动，则可以采取以下步骤进行处理。
1.检查螺丝连接：弹簧调谐装置通常由多个组件组成，其中包含了与弹簧连接的螺丝。
我们需要检查螺丝是否松动，如果松动，可以适当拧紧以确保连接牢固。
2.检查固定架：另一个可能导致弹簧松动的原因是固定架的松动。
我们可以仔细检查固定架，如果发现松动，则需要重新固定。
二、弹簧调谐装置读数不准确问题在进行实验时，我们经常会遇到弹簧调谐装置的读数不准确的情况。
这可能会影响实验结果的准确性。
以下是我们可以采取的一些解决方法。
1.检查示数盘：弹簧调谐装置通常配备有示数盘，用于读取弹簧的伸长量。
我们可以检查示数盘是否损坏或变形，这可能会导致读数不准确。
如果发现这种情况，应及时更换示数盘。
2.校正仪器：另一个解决方法是校正弹簧调谐装置的读数。
我们可以使用已知质量的物体，通过实验来检验示数是否准确。
如果发现读数不准确，可以进行相应的校正或调整。
三、弹簧调谐装置震动问题在使用弹簧调谐装置进行实验时，有时会遇到装置发生震动的情况。
这可能会对实验结果产生不利影响，因此需要解决这个问题。
以下是一些可能的解决方法。
1.检查支撑点：弹簧调谐装置在使用过程中必须要有稳定的支撑点。
我们需要确保支撑点牢固稳定，不会出现松动、摇晃的情况。
2.调整实验环境：有时，实验环境本身可能导致弹簧调谐装置的震动。
我们可以将实验装置放置在平稳的桌面上，避免与其他设备产生干扰，确保实验环境的稳定。
结语弹簧调谐装置作为实验教学中常用的设备，其技术问题的解析及解决对于保证实验结果的准确性和实验过程的顺利进行非常重要。
弹簧双振子模型与匀减速直线运动的合成
弹簧双振子模型与匀减速直线运动的合成
弹簧双振子模型是一个由两个质点和一个连接它们的弹簧组成的系统。
两个质点可以沿着相互垂直的直线方向上运动，并受到弹簧力的作用。
弹簧的力与位移成正比，满足胡克定律。
匀减速直线运动是一个在一条直线上的匀减速运动，即速度随时间匀减。
将弹簧双振子模型与匀减速直线运动合成的过程是将两个系统的运动叠加在一起。
具体步骤如下：
1. 求解弹簧双振子模型：根据系统的初始条件和弹簧的力学特性，求解出两个质点的运动轨迹和速度函数。
2. 求解匀减速直线运动：根据匀减速运动的初始条件和加速度，求解出质点在直线上的运动轨迹和速度函数。
3. 将两个系统的运动叠加在一起：将双振子系统的两个质点的位移和速度与直线运动的质点的位移和速度进行矢量相加，得到合成后的位移和速度。
4. 对于位移合成，将双振子系统的两个质点的位移与直线运动的质点的位移进行矢量相加。
合成后的位移可以通过求解初始条件下的位移方程得到。
5. 对于速度合成，将双振子系统的两个质点的速度与直线运动的质点的速度进行矢量相加。
合成后的速度可以通过求解初始
条件下的速度方程得到。
通过以上步骤完成了弹簧双振子模型与匀减速直线运动的合成，得到了合成后的位移和速度函数。
这个合成可以帮助我们更好地理解、分析和预测这个复杂系统的运动行为。
双弹簧振子
压缩，产生弹力，由受力分析易得弹力阻碍 mB 前进，促进 mA 前进，显然当 vA vB ，两者
之间的间距是最短的，也就是压缩量最大的时候。所以上面的 1.2、1.3 可以改为
0
0
1 2
(m0
mB )v12
1 2
k
2
1 2
(m0
mB
mA )vB2
1.6
0 0 m0v0 (m0 mB mA )vB
x
2 A
(mA
mB
)2
x
2 A
mB2 d
2
FB k cos kB xB kd
(x)2 (x)2 d 2
kB xB kd
(mA
mB
)2
x
2 B
(mA mB )2 xB2 mA2 d 2
(x)2 (x)2 d 2
值随 x 增大而增大（趋向于 1）。由上面两式子通过简单分析易知，两物体
坐标系的建立，它不是仅仅借用正方向列式子，而是利用物体对应的坐标求解，这样做的 有点在于可以依靠坐标系自动调整正负性，同时，也非常好理解。所以，在探究图 1-1 和图 2-1 中两物体是不是在做简谐振动时，可以利用坐标法，这也是本次探究最重要的出发点， 有了这个方法，解决此类问题方便了许多。
探究与证明
mA mB mA
k
3.由上面式子得，两根弹簧作简谐振动的周期分别为：
TA 2
mA 2 kA
mAmB (mA mB )k
， TB
2
mB 2 kB
mAmB (mA mB )k
弹簧双振子的不动点解法
弹簧双振子的不动点解法1不动点综述我们这里所谓的不动点，即双振子的质心，质心不动，即以质心为参考系.因为此类方法前人已有很多描述，这里我们仅稍作梳理. [TP6GW68.TIF，Y#]如图1所示在光滑水平面上由原长为L、劲度系数为k的轻弹簧连接着A、B两个小球（可看作质点），质量分别为m、2m，易知质心O与A、B距离之比为2∶1，初始时弹簧无形变.现分三类简单情况研究稳态振动.（1）将弹簧压缩后无初速释放；（2）不压缩弹簧，但给A一个初速度v0；（3）既不压缩也无初速，但对B施加一个恒力F.那么在质心参考系中看到的两个振子各自的振动情况将如图2所示.以向右为正方向.我们仅研究其中一个球的位移情况，另一个的读者可自行推导.第一种情况如图2上，最基本也核心：质心O是一个不动的点，相当于将弹簧固定在O点，切开分配，A、B两个小球分别接在原长为2L/3、L/3的固定弹簧上振动；根据劲度系数反比于弹簧长度，kA=3k/2，故A振动的圆频率为ω=kA/m=3k/2m，可以证明B亦然；且O系中二者初始时均无速度，即处于振动中的最大位移，则A的振幅是初始压缩量的2/3.（图中OA、OB为A、B在质心系中振动的平衡位置，即弹簧无形变）.有了这些参数，A振动位移为xA=AAcosωt.[TP6GW69.TIF，Y#]第二种情况如图2中：质心具有v0/3向右的平动速度，无加速度；故A、B的初始位置为平衡位置（弹簧无形变），且各自相对于质心的速度如图；但这并不影响弹簧的按质心分配，故二者振动的圆频率同上.A相对于OA的振幅可根据平衡位置的速度vAm=AAω解出，从而质心系中A的振动位移为xA=AAcos（ωt+3π/2），转到地面参考系时只需再叠加O本身的位移即可.第三种情况如图2下：质心具有a0=F/3m的平动加速度，则以其为参考系时，A、B初始位于最大位移（速度为0），但受到恒力作用：A受到惯性力ma0=F/3，B受到的是F与惯性力之差：F-2ma0=F/3.作为恒力，它们不影响振动频率，但影响平衡位置；两小球在质心系中具有的新平衡位置OA′、OB′可以这样确定：OA′在OA左方AA=（F/3）/kA=2F/9k处，再代入xA=AAcosωt即可.对于更复杂的情况，可以将第二、三两种情况结合起来，以能量等关系求解振幅、初相位等；但以质心为不动点模式下的弹簧分配不受影响，振动频率始终不变.2复杂的稳态振动模式在大学里，这类问题多是先列位移再求导之类的枯燥解法，能不能改变一下？例1如图3所示完全相同的两个单摆并排悬挂，摆长均为l，摆球质量均为m，且用原长等于悬点间距的、劲度系数为k的轻弹簧相连，试研究这周期性运动模式：初始时A球离开原位置一小段距离A，而B未动，然后由静止释放后的运动.解如图4左所示是两球的回复力情况，其中F=kA，F′=mgsinθ≈mgA/l.以向右为正，质心O的初始位移是A/2，如图4右，加速度大小a0F+F′-F2mgA2l；在质心系中，A球相对其平衡位置的初位移（即左半弹簧缩短量）为A/2，回复力大小为FA=F+F′-ma0=kA+mgA2l.二者初始均无速度，为最大位移，故质心为振幅A/2、圆频率ω0=a0/（A/2）=g/l的单摆运动，其位移x0=（A/2）cosω0t.而质心系中A的振幅亦为A/2，圆频率为ω=FA/（A/2）m=g/l+2k/m，不是简单的半根弹簧！故A的位移为x=（A/2）cosωt.回到地面系，A相对于其原平衡位置的位移为xA=x+x0=（A/2）×（cosω0t+cosωt）.例2图5对学习竞赛的同学来说应是非常熟悉，这里我们把原题复杂化一下：光滑水平面上，中央是质量为M的大球，1、2两小球质量分别为m1、m2，球均可视为质点.要想形成两小球始终反向而大球不动的振动模式，k1、k2要满足什么关系呢？结论当然是圆频率相等，即k1/m1=k2/m2.此条件下我们来分析两小球同向、大球反向动的模式.如图6所示，大球左边受到的是挤压力，右边受到的是拉伸力，如果将其竖切，总能找到一个切面，是挤压力到拉伸力的转折点，则该面上应是无作用力的；想象由此将大球分成左右两份，左边质量为λM，右边为（1-λ）M，它们在振动中将互不影响.三振子系统被分割成了两个相互独立的双振子系统，其中O1、O2分别为左、右系统的不动点（质心），剩余三条虚线为三球各自的平衡位置.根据分配特性，λM相当于接在左弹簧中长为m1L/（m1+λM）的一段（L为左弹簧原长）上，其劲度系数为kA=（m1+λM）k1/m1.同理（1-λ）M相当于接在劲度系数为.kB=[m2+（1-λ）M]k2/m2的弹簧上.欲两系统振动圆频率相同，则需kA/λM=kB/[（1-λ）M]，整理得λ=m1/（m1+m2），过程中已用到图5的结论.最后，ωkAλM=（m1+m2+M）k1/Mm1，而各球的位移就不缁述了.最后我们反观一下，果真可以这样切开吗？注意大球，它在左右两个系统中的位移是一样大的，我们假设为x；则左部的加速度aA=kAx/λM=x×kA/λM；右部加速度为aB=kBx/（1-λ）M=x×kB/[（1-λ）M]，显然我们的λ可使aA=aB，满足分离条件，因此将大球拆分符合实际规律，可以等效替代.3评价其实不动点法不见得能比求导解析快捷，但二者恰好体现了两类顺序：是先建立物理模型，再代数运算；还是先数学运算，再分析模型？二者并无优劣之分，解析法的适用范围更广.质心系的最大意义在于展现简易生动的运动情景，避免学生堕入只有公式和运算的形而上学的怪圈，进而有利于培养学生对自然科学的兴趣和感知能力.。
坐标法解_弹簧双振子模型_
收稿日期:2008-06-18基金项目:贵州师范大学学生科研研究基金重点资助项目(2008.01)作者简介:陈卫国(1973-),男,湖南株洲人,硕士研究生,研究方向:物理课程与教学论。
坐标法解“弹簧双振子模型”陈卫国1,余 雷1,汤 捷2,龙家础3(1.贵州师范大学理学院,贵州贵阳550001;2.株洲县第六中学,湖南株洲412100;3.贵阳市第六中学,贵州贵阳550001) 摘 要:根据理想“弹簧双振子模型”的物理特点,运用矢量与坐标相结合的方法,对“弹簧双振子模型”进行了物理与数学上的推导,得到了确定双振子任意时刻位置的简洁普遍公式。
运用公式对“弹簧双振子模型”的各种情况进行处理,结果正确,这表明“弹簧双振子模型”的运动情况可以由所得公式表示。
关键词:弹簧双振子;物理模型;坐标;矢量中图分类号:O178 文献标识码:A 文章编号:1004-2237(2008)06-0033-06引言矢量既有大小,又有方向[3]。
如果被运算的矢量在同一条直线上,那么,我们就可以用一个带有正负号的数值把矢量的大小和方向都表示出来[2]。
为此,我们沿矢量所在的直线建立坐标,规定凡是方向跟坐标正方向相同的矢量都取正值,方向相反的矢量都取负值。
根据数值的正负号就可以知道矢量的方向,而矢量的大小等于它们的绝对值。
理想弹簧双振子模型[1]涉及速度、动量[4]、位移、位置等矢量,且这些矢量都在同一直线上。
因此,用坐标法处理弹簧双振子模型能够帮助学生对矢量的概念有初步的认识,更方便地研究和处理一些涉及到矢量运算的物理问题[5]。
图1 弹簧双振子模型图1 弹簧双振子模型分析一个双振子轻弹簧,自由长度l 0,初始时长为l ,二振子的质量分别为m A 、m B ,中间连一个弹性系数为K 的轻弹簧,静止置于光滑水平面上。
现给A 以νA 0的沿弹簧水平瞬间速度,给B 以νB 0的沿弹簧水平瞬间速度,试确定任意时刻A 、B 的位置。
谈弹簧双振子振动周期的求解
谈弹簧双振子振动周期的求解
陈俊
【期刊名称】《《物理教学探讨》》
【年(卷),期】2004(022)006
【摘要】如图1所示，质量为m1和m2的两木块，用一根劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的桌面上，这就构成了一个双弹簧振子。
它的特点是质点在振动过程中无固定的悬点。
【总页数】1页(P27)
【作者】陈俊
【作者单位】湖北省黄石二中湖北 435000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨 [J], 周俊敏;王玉梅
2.利用振动的分解求解双振子弹簧系统 [J], 杨植宗
3.双弹簧振子振动周期的实验验证 [J], 王晓勇;刘伟
4.谈弹簧双振子振动周期的求解 [J], 陈俊
5.考虑弹簧质量后弹簧振子的振动周期 [J], 曹罗平;邹雪青
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弹簧双振子问题的处理
如图一所示，木块A 、B ，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。
现用水平恒力F 推木块A ，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：
1A 、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？
2A 、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？
本题的解答，一般都用v-t 图像，作图时依据以下三点作出：①开始时A 的加速度为A
A m F a =，而
B 的加速度为0，②随着弹簧的压缩，A 的加速度开始减小，B 的加速度增大，③当A 、B 速度相等的时候，弹簧被压缩到最短。
其v-t 图像则一般被描绘为图二所示：
于是很容易得出结论为：①A 、B 速度相同时（t 2时刻），a A <a B ，②A 、B 加速度相同时（t 1时刻），v A >v B 。
得出结论②，依据开始时a A >a B ，最终a A <a B ，则中间一定有a A =a B 的时候。
但A 、B 的v-t 图像也有可能如图三那样，即在A 、B 速度相等之前，A 的加速度可能已减小到零（t 3时刻）甚至反向了——这是因为在弹簧被压缩到最短的过程中弹簧弹力一直在增大，中间某个时刻弹簧弹力有可能增加到与F 相等，而此时仍有v A >v B ，此后A 的速度开始减小，B 的速度继续增加，当二者速度相等时，弹簧被压缩到最短。
从上面的定性分析中，我们得承认两种情况都有可能存在，因此上述结论①“A 、B 速度相同时，a A <a B ”便不一定成立了。
那么，到底存不存在图三所示的情形呢？或者说，什么时候是图二所示的情形，什么时候是图三所示的情形？给出具体数据后，该如何描绘A 、B 的v-t 图像呢？下面以质心参考系来研究这一问题。
设A 、B （包括弹簧）系统的质心O 对地的加速度为a ，则由牛顿第二定律，有：
a
m m F B A )(+=
选质心O 为参考系，则B 受到一个恒力——惯性力F B =m B a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度为a m F a B
B B =='，方向与a 相反，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'B 随时间t 的变化曲线如图五所示：
选质心O 为参考系，则A 受到力F 和惯性力F A =m A a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度a m m m a m a m m m F F a A
B A A B A A A A =-+=-=)('，方向与a 相同，若m A >m B ，则a’A <a ，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'A 随时间t 的变化曲线如图六所示。
很容易证明A 、B 作简谐运动的周期是相同的*，设为T ，则图五、图六合在一起，如图七所示，其中实线表示a'A 随时间的变化曲线，虚线表示a'B 随时间的变化曲线。
由a 绝对=a 相对+a 牵连，可知A 、B 对地的加速度a A 、a B 随时间的变化图象如图八所示，其中实线表示a A 随时间的变化曲线，虚线表示a B 随时间的变化曲线。
若m A <m B ，则图八变为图九所示。
从上述讨论中还可以知道，在t=T /4时，A 、B 的加速度相等，且都等于a ；在t=T /2时，A 、B 都运动到距O 最近的位置，此时弹簧被压缩到最短。
则从0~T /2这段时间内A 、B 的速度随时间的变化曲线为：
而且当弹簧压缩到最短时，A 、B 的共同速度为2
T a v ⨯=，a B =2a 等等。
若A 、B 的质量相等，则有：
当弹簧被压缩到最短时，A 的加速度恰好为零，弹簧弹力恰为F 。
*设A 到质心O 的距离为r A ，B 到质心O 的距离为r B ，则有
A
B B A m m r r =…………………………①OA 段的劲度系数为k A ，OB 段的劲度系数为k B ，则有：
A
B B A r r k k =…………………………②1②联立可得
B
B A A k m k m =…………………………③而弹簧振子的周期为k m T π2=，则由③式可知T A =T B ，即A 、B 的振动周期相同。