反三角函数

例 试判断下列函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性，并画出大致图像。

（1）()sin arcsin y x =。

（2）()arcsin sin y x =。

解：（1）()()sin arcsin y f x x x ===。

定义域为[]1,1-。

值域为[]1,1-。

奇函数。

()f x 不是周期函数，且再[]1,1-上单调递增，如图。

（2）()()arcsin sin y f x x ==。

定义域为R 。

值域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

奇函数。

()f x 是周期函数，周期为2π。

下面讨论单调性： ① 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()arcsin sin f x x x ==，为增函数。

② 当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()arcsin sin arcsin sin f x x x x ππ==-=-⎡⎤⎣⎦，为减函数。

由函数的周期性，得 ① 区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）为函数()f x 的递增区间，此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x x k x k ππ==-=-⎡⎤⎣⎦，k Z ∈。

② 区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）为函数()f x 的递减区间，此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x k x k x ππππ==+-=+-⎡⎤⎣⎦，k Z ∈。

所以()2,2,222arcsin sin 32,2,222x k x k k y x k x x k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈-+⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎡⎤⎪+-∈++⎢⎥⎪⎣⎦⎩，k Z ∈。

如图。

1（1）19arcsin sin12π⎛⎫= ⎪⎝⎭512π-。

（2）若12arctan34πα-=，则tan α= （3）函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D ={}[]0,11,1,01a a a a ⎧=⎪⎨-+-<<⎪⎩。

（4）函数()21arcsin 2y x x =-的值域是11,arcsin 424π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

解：（1）191955arcsin sinarcsin sin 2arcsin sin 12121212πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦。

（2）1arctan 432πα+=，因此11sin arctan arctan 4343tan tan 121cos arctan 43ππαπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭===⎛⎫++ ⎪⎝⎭。

（3）由11110x a x a a -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>⎩⇔11110a x aa x a a --≤≤-⎧⎪-+≤≤+⎨⎪>⎩。

当11a a -+>-，即1a >时，x 不存在。

当11a a -+=-，即1a =时，{}0x ∈。

当11a a -+<-，即01a <<时，[]1,1x a a ∈-+-。

（4）由22211124411x x x x x ⎧⎛⎫-=--+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≤-≤⎩⇒2114x x -≤-≤ ⇒()()21111arcsin 1arcsin arcsin 42224x x π-=-≤-≤。

xyO2π2π-2π2π-32π32π- ()arcsin sin y x =2（1）已知1cos 3x =-（32x ππ<<），那么以下四个式子 ①1arccos3π- ②1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭③1arccos 3π+④arcsin 3π+中可以表示x 的式子是（B ）（A ）①②。

（B ）③④。

（C ）②④。

（D ）①④。

（2）已知等腰三角形的顶角为1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭，则底角的正切值是（A ）（A）2。

（B ）13-。

（C ）3。

（D ）13。

（3）化简：4arccos 5+=（C ） （A ）7arcsin25。

（B ）7arcsin 25-。

（C ）7arcsin 25π-。

（D ）7arcsin 225π+。

（4）函数1arctan arcsin 2y x x =+的值域是（D ）（A ）(),ππ-。

（B ）33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

（C ）33,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

（D ）,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

（5）设函数arctan y x =的图像沿x 轴正方向平移2个单位后得到图像与图像C 关于原点对称，那么图像C 所对应的函数是（C ）（A ）()arctan 2y x =--。

（B ）()arctan 2y x =-。

（C ）()arctan 2y x =+。

（D ）()tan 2y x =+。

（6）使arcsin arccos x x >成立的x 取值范围是（B ） （A）0,2⎛⎝⎦。

（B）,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦。

（C）1,2⎡-⎢⎣⎭。

（D ）[)1,0-。

解：（2）底角1arccos 113arccos 223πβ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==。

所以1sin arccos 113tan tan arccos 12321cos arccos 3β⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

（3）设4arccos0,52πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，,42ππβ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则32,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭。

又()sin 2sin cos2cos sin2αβαβαβ+=+=33447555525⎛⎫⋅-+⋅=⎪⎝⎭， 所以72arcsin25αβπ+=- （4）函数()1arctan arcsin 2y f x x x ==+在定义域[]1,1-上单调递增，所以值域为()()1,1,22f f ππ⎡⎤-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦。

3、关于t 的方程()2253172230848t x t x x +++++=有两个不同的实数根，求函数sin y x =的反函数。

解：由()22531723420848x x x ⎛⎫∆=+-⨯++>⎪⎝⎭，得2680x x -+<，解得24x <<。

函数sin y x =，()2,4x ∈的值域为()sin 4,sin 2。

由()sin sin y x x π==-，且,22x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，有arcsin x y π-=， 即arcsin x y π=-。

将x 与y 互换得到原函数的反函数为：()1arcsin y fx x π-==-，()sin 4,sin 2x ∈。

4、已知a 、b 是Rt ABC ∆的两条直角边，c 为斜边，且11arcsinarcsin 2a b π+=，求证：lg lg lg c a b =+。

证明：由11arcsinarcsin 2a b π+=⇒11arcsin arcsin 2a bπ=-⇒111sin arcsin sin arcsin cos arcsin 2a b b π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒1a =⇒22111a b +=⇒2221c a b=⇒222c a b =⇒()2lg 2lg lg c a b =+⇒lg lg lg c a b =+，得证。

5、求1arctan arctan1xy x x-=++的值。

解：函数的定义域为()(),11,-∞--+∞ 。

221111tan tan arctan arctan 111111xx x x x y x x x x x x-+-+⎛⎫+=+=== ⎪-++⎝⎭-⋅+。

由1x ≠-，111xx-≠-+，有 arctan ,,2442x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12arctanarctan 1,,112442x x x ππππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∈--- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又tan 1y =，所以4y π=或34π-。

（1）当1x >-时，有arctan ,42x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，12arctan arctan 1,1142x x x ππ-⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以,2y ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭⇒4y π=。

（2）当1x <-时，有arctan ,24x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，12arctan arctan 1,1124x x x ππ-⎛⎫⎛⎫=-∈-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以,2y ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭⇒34y π=-。

此外，可以验证1arctan arctan12x y x x π-=+≠±+。

因此，3,114arctan arctan 1,14x x y x x x ππ⎧-<-⎪-⎪=+=⎨+⎪>-⎪⎩。

6、若11x -≤≤，比较()cos arcsin x 与()arcsin cos x 。

解：由arcsin ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得()cos arcsin x =。

下面研究()arcsin cos x 的值。

（1）当01x ≤≤时，有,222x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，于是 ()arcsin cos arcsin sin 22x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

（2）当10x -≤<时，有,222x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，于是 ()arcsin cos arcsin sin 22x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

所以，当11x -≤≤时，()arcsin cos 2x x π=-。

因为()()cos arcsin arcsin cos 22x x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭2π≤（*）02π=<。

所以()()arcsin arcsin cos x x <，11x -≤≤。

注：1、（*）利用了基本不等式的变形2a b +≤a b + 2、本题也可用数形结合求得结果。

在同一坐标系中分别作出函数()cos arcsin y x ==()arcsin cos 2y x x π==-，11x -≤≤。

易发现它们的大小关系。

x。