反三角函数
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例 试判断下列函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性，并画出大致图像。 （1）()sin arcsin y x =。 （2）()arcsin sin y x =。 解：（1）()()sin arcsin y f x x x ===。
定义域为[]1,1-。值域为[]1,1-。奇函数。
()f x 不是周期函数，且再[]1,1-上单调递增，如图。 （2）()()arcsin sin y f x x ==。
定义域为R 。值域为,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦。奇函数。
()f x 是周期函数，周期为2π。
下面讨论单调性： ① 当,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，()()arcsin sin f x x x ==，为增函数。 ② 当3,22x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，()()()arcsin sin arcsin sin f x x x x ππ==-=-⎡⎤⎣⎦，为减函数。 由函数的周期性，得 ① 区间2,22
2k k π
πππ⎡⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
（k Z ∈）为函数()f x 的递增区间，此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x x k x k ππ==-=-⎡⎤⎣⎦，k Z ∈。
② 区间32,22
2k k π
πππ⎡
⎤
+
+
⎢⎥⎣
⎦
（k Z ∈）为函数()f x 的递减区间，此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x k x k x ππππ==+-=+-⎡⎤⎣⎦，k Z ∈。
所以()2,2,222arcsin sin 32,2,222x k x k k y x k x x k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈-+⎪⎢⎥⎪⎣
⎦==⎨⎡⎤
⎪+-∈++⎢⎥⎪⎣⎦⎩
，k Z ∈。如图。
1（1）19arcsin sin
12π⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
512π-。
（2）若12arctan
34π
α-=，则tan α
= （3）函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =
{}[]0,
11,1,01
a a a a ⎧=⎪⎨
-+-<<⎪⎩。 （4）函数()21arcsin 2y x x =
-的值域是1
1,arcsin 42
4π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。 解：（1）191955arcsin sin
arcsin sin 2arcsin sin 12121212πππππ⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
。 （2）1arctan 432
π
α+=
，
因此11sin arctan arctan 4343tan tan 121cos arctan 4
3ππαπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭===⎛⎫++ ⎪
⎝⎭。 （3）由11110x a x a a -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>⎩⇔11110a x a
a x a a --≤≤-⎧⎪
-+≤≤+⎨⎪>⎩
。
当11a a -+>-，即1a >时，x 不存在。 当11a a -+=-，即1a =时，{}0x ∈。
当11a a -+<-，即01a <<时，[]1,1x a a ∈-+-。
（4）由22
2
11124411
x x x x x ⎧⎛⎫-=--+≤⎪ ⎪⎨⎝
⎭⎪-≤-≤⎩⇒2
114x x -≤-≤ ⇒()()21111arcsin 1arcsin arcsin 4
2224
x x π
-
=
-≤-≤。
x
y
O
2
π
2
π
-
2
π
2
π
-
32
π32
π- ()
arcsin sin y x =
2（1）已知1cos 3x =-（32
x ππ<<），那么以下四个式子 ①1arccos
3π- ②1arccos 3⎛⎫
- ⎪⎝⎭
③1arccos 3π+
④arcsin 3π+中可以表示x 的式子是（B ）
（A ）①②。 （B ）③④。 （C ）②④。 （D ）①④。 （2）已知等腰三角形的顶角为1arccos 3⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则底角的正切值是（A ）
（A
）
2
。 （B ）13-。 （C ）3。 （D ）13。
（3
）化简：4arccos 5+=（C ） （A ）7arcsin
25。 （B ）7arcsin 25-。 （C ）7arcsin 25π-。 （D ）7arcsin 225
π+。 （4）函数1
arctan arcsin 2
y x x =+的值域是（D ）
（A ）(),ππ-。 （B ）33,44ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦。 （C ）33,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭。 （D ）,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
。 （5）设函数arctan y x =的图像沿x 轴正方向平移2个单位后得到图像与图像C 关于原点对称，那么图像C 所对应的函数是（C ）
（A ）()arctan 2y x =--。 （B ）()arctan 2y x =-。 （C ）()arctan 2y x =+。 （D ）()tan 2y x =+。 （6）使arcsin arccos x x >成立的x 取值范围是（B ） （A
）0,
2⎛
⎝⎦。 （B
）,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦。 （C
）1,2⎡-⎢⎣
⎭。 （D ）[)1,0-。 解：（2）底角1arccos 113
arccos 223
πβ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=
=。
所以1sin arccos 113tan tan arccos 12321cos arccos 3β⎛
⎫ ⎪
⎝⎭===⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭。