高三理科数学一轮复习试题.doc

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百师联盟2021届高三一轮复习联考(二)全国卷数学(理) Word版含答案

百师联盟2021届高三一轮复习联考(二)全国卷I理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合U ＝{x||x|≤4且x ∈Z}，集合B ＝{x|x ∈U 且62x-∈U}，则UB ＝A.{－4，－3，－2，1，2，3}B.{－3，－2，1，2，3}C.{－3，－2，0，1，2，3}D.{－3，1，2，3} 2.已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则|z ·(z ＋1)|＝B.2C.103.函数f(x)＝()2log x x 2f x 1x 2≥⎧⎪⎨+<⎪⎩，，，则f(0)＝A.－1B.0C.1D.24.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑。

其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”。

注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为A.3B.12C.24D.485.已知α和β表示两个不重合的平面，a 和b 表示两条不重合的直线，则平面α//平面β的一个充分条件是A.a//b ，a//α且b//βB.a ⊂α，b ⊂α且a//β，b//βC.a ⊥b ，a//α且b ⊥βD.a//b ，a ⊥α且b ⊥β 6.已知等差数列{a n }的前项和为S n ，若93S S ＝6，则126SS ＝ A.177 B.83 C.143 D.1037.已知实数x ，y 满足约束条件x y 10x 2y 202x y 20+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z ＝y 3x 1--的取值范围为A.(－∞，－1]∪[2，＋∞)B.[－1，2]C.[0，3]D.(－∞，0]∪[3，＋∞) 8.如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝22，∠BAC ＝135°，D 为边BC 的中点，且AM MD =，则向量BM 的模为26 52 26或5226529.将函数f(x)＝2(cosx ＋sinx)·cosx －1的图象向左平移24π个单位后得到函数g(x)的图象，且当x ∈[1124π，1912π]时，关于x 的方程g 2(x)－(a ＋2)g(x)＋2a ＝0有三个不等实根，则实数a 的取值范围为A.[－1，0]B.(－2，－1]C.[－1，2]D.[－2，－1] 10.已知函数f(x)＝lnx ，若函数g(x)＝kx －12与函数y ＝f(|x|)的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是 A.(0，12e-) B.(－12e-，12e-) C.(－12e-，0)∪(0，12e-) D.(－12e-，0)∪(0，12e )11.如图，某市一个圆形公园的中心为喷泉广场，A 为入口，B 为公园内紧贴围墙修建的一个凉亭，C 为公园内紧贴围墙修建的公厕，已知AB ＝300m ，BC ＝500m ，∠ABC ＝120°，计划在公园内D 处紧贴围墙再修建一座凉亭，若要使得四条直线小路AB ，BC ，CD 和DA 的总长度L 最大，则DC 的长度应为(凉亭和公厕的大小忽略不计)A.500mB.700m 3m D.140033m 12.直线y ＝2x ＋m 与函数f(x)＝xe x －2lnx ＋3的图象相切于点A(x 0，y 0)，则x 0＋lnx 0＝ A.2 B.ln2 C.e 2 D.－ln2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学理科一轮复习试卷详解

高三数学理科一轮复习试卷详解第1页共14页高三单元滚动检测卷数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测四三角函数、解三角形第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(湖北重点中学第三次月考)已知角α的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角α的最小正值为( )A.5π6B.5π3C.11π6D.2π32．(河南中原名校高三期中)已知sin 2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α等于( ) A ．－15B.15 C ．－75 D.753．(广西贵港市模拟)已知sin(π3－x )＝35，则cos(x ＋π6 )等于( ) A ．－35B ．－45 C.45 D.354．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里第2页共14页C ．10海里D ．103海里5．(安庆市大观区模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a b ＝b ＋3c a，sin C ＝23sin B ，则tan A 等于( )A. 3B ．1 C.33 D ．－36．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A 0，ω0，|φ|π2 )的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为( )A ．ω＝π，φ＝π3B ．ω＝2π，φ＝π3C ．ω＝π，φ＝π6D ．ω＝2π，φ＝π67．(泉州模拟)在△ABC 中，若B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23，则△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 3C.233D.4338．(湖北省教学合作联考)将函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数g (x )( )A ．有最大值，最大值为3＋1B ．对称轴方程是x ＝7π12＋k π，k ∈Z C ．是周期函数，周期T ＝π2D ．在区间[π12，7π12]上单调递增9．已知函数f (x )＝sin 4(ωx ＋π4)－cos 4(ωx ＋π4)(ω0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－32，则ω的值为( )A.34B.12第3页共14页C ．1 D.3210．(龙泉中学模拟)关于函数f (x )＝sin(2x －π4)，有下列命题：①其表达式可写成f (x )＝cos(2x ＋π4)；②直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴；③f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到；④存在α∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立．其中真命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④11．(徐州质检)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2＝θ(θ为钝角)．若sin(θ＋π4)＝35，则x 1x 2＋y 1y 2的值为( ) A.55B ．－1010C ．－210 D.1010 12．(上饶模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b，则sin C sin A的值为( ) A ．2 B.13C ．2 3D ．3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．第4页共14页15．(陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ????π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．16．(湖南师大附中月考)将函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(惠州第三次考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 0，ω0，－π2φπ2)，其部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，求sin ∠MNP 的值．18.(12分)(北京)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．19．(12分)(醴陵一中模拟)在△ABC 中，已知A ＝π4，cos B ＝255.第5页共14页(1)求cos C 的值；(2)若BC ＝25，D 为AB 的中点，求CD 的长．20．(12分)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(|φ|π2)，且函数y ＝f (2x ＋π4)的图象关于直线x ＝7π24对称．(1)求φ的值；(2)若π3α5π12，且f (α)＝45，求cos 4α的值；(3)若0θπ8时，不等式f (θ)＋f (θ＋π4 )|m －4|恒成立，试求实数m 的取值范围．第6页共14页21.(12分)(广雅中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 0，ω0,0φπ)，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M (0,1)．(1)求f (x )的解析式；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且f (A )＝35，f (B )＝513，求f (C )的值．22．(12分)(河北正定中学月考)已知向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，2)，b ＝(2cos ωx ,0)(ω0)，函数f (x )＝a b 的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在[0，b ](b 0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．第7页共14页答案解析1．B2．B [∵α∈(－π4，0)，∴sin α＋cos α0，∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝125，∴sin α＋cos α＝15，故选B.] 3．D [cos(x ＋π6)＝cos[π2－(π3－x )]＝sin(π3－x )＝35.故选D.] 4．C [如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10.在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．] 5．C [由sin C ＝23sin B ，变形得：sin C sin B＝23，利用正弦定理化简得：sin C sin B ＝c b＝23，即c ＝23b ，由a b ＝b ＋3c a，整理得：a 2－b 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，∴A ＝30°，则tan A ＝33，故选C.]6．C [由函数的图象可得A ＝2，根据14T ＝142πω＝56－13＝12，求得ω＝π. 再由五点法作图可得π×56＋φ＝π，第8页共14页解得φ＝π6，故选C.]7．B [∵在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23，∴由正弦定理AC sin B ＝AB sin C得：sin C ＝AB sin B AC ＝2×3223＝12，∴C ＝30°，∴A ＝90°，则S △ABC ＝12AB AC sin A ＝23，故选B.]8．D [化简函数得y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π6)，所以g (x )＝2sin(2x －2π3)易求最大值是2，周期是π，由2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程是x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．根据正弦函数的单调递增区间可得－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )?π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，故选D.] 9．B [f (x )＝sin 4(ωx ＋π4)－cos 4(ωx ＋π4) ＝[sin 2(ωx ＋π4)－cos 2(ωx ＋π4)][sin 2(ωx ＋π4)＋cos 2(ωx ＋π4)] ＝sin 2(ωx ＋π4)－cos 2(ωx ＋π4) ＝－cos(2ωx ＋π2)＝sin 2ωx ，所以2ωx ∈[－2π3ω，π2ω]，所以满足－2π3ω≥－π2且－2π3ω＝－π3的ω＝12 ，故选B.] 10．C [f (x )＝sin(2x －π4)＝22(sin 2x －cos 2x )．①f (x )＝cos(2x ＋π4)＝22(cos 2x －sin 2x )．与原函数不是同一个函数，①错误．②x ＝－π8时，f (x )＝sin[2×(－π8)－π4]＝sin(－π2)＝－1，函数取得最小值，所以直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴，第9页共14页②正确．③将g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到图象对应的解析式是y ＝sin 2(x －π4 )＝sin(2x －π2)＝－cos 2x ，与f (x )不是同一个函数，③错误．④取α＝π2，f (x ＋α)＝f (x ＋π2)＝sin[2(x ＋π2)－π4]＝sin(2x ＋3π4)，f (x ＋3α)＝f (x ＋3π2)＝sin[2(x ＋3π2)－π4]＝sin(2x ＋3π－π4)＝sin(2x ＋2π＋π－π4)＝sin(2x ＋3π4)，所以存在α＝π2∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，④正确．故选C.]11．C [因为x 1x 2＋y 1y 2＝OP 1→OP 2→＝cos θ，所以cos θ＝cos(θ＋π4－π4)＝22[cos(θ＋π4)＋sin(θ＋π4)]．因为θ∈(π2，π)，θ＋π4∈(3π4，5π4)，所以cos(θ＋π4)＝－45，cos θ＝－210.故选C.] 12．D [由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A sin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C sin A＝3.] 13．0解析原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α0，cos α0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 14．－14解析∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c ，∴b ＝32c .第10页共14页代入b －c ＝14a 得a ＝2c ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14. 15．8解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.16.3π4解析函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，根据图象平移规律可得平移后图象对应的函数解析式为y ＝2sin(x ＋π4＋φ)，又所得函数图象关于原点对称，∴π4＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π4(k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小值为3π4. 17．解(1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8，所以T ＝2πω＝8，ω＝π4. 又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2φπ2，所以－π4π4＋φ3π4，π4＋φ＝π2，φ＝π4. 所以f (x )＝sin(π4x ＋π4)．(2)因为f (－1)＝sin[π4×(－1＋1)]＝0，f (1)＝sin[π4×(1＋1)]＝1，f (5)＝sin[π4×(5＋1)]＝－1，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)，|MN |＝5，|MP |＝37，|PN |＝20，从而cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35，由∠MNP ∈(0，π)，第11页共14页得sin ∠MNP ＝1－cos 2∠MNP ＝45 . 18．解(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ????x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ????－3π4＝－1－22. 19．解(1)∵cos B ＝255且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝55，cos C ＝cos(π－A －B )＝cos(3π4－B )＝cos 3π4cos B ＋sin 3π4sin B ＝－*****＋2255＝－1010. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝1－(－1010)2＝*****，由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C，即2522＝AB 31010，解得AB ＝6.在△BCD 中，CD 2＝(25)2＋32－2×3×25×255＝5，所以CD ＝5.20．解(1)f (x )＝sin(2x ＋φ)，则y ＝f (2x ＋π4)＝sin(4x ＋π2＋φ)＝cos(4x ＋φ)．又y ＝cos x 的图象的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，第12页共14页令4x ＋φ＝k π(k ∈Z )，将x ＝7π24代入可得φ＝k π－7π6(k ∈Z )，而|φ|π2，故φ＝－π6. (2)由f (α)＝45可得sin(2α－π6)＝45，而π22α－π62π3，故cos(2α－π6)＝－35，故sin 2α＝sin[(2α－π6)＋π6]＝43－310，故cos 4α＝1－2sin 22α＝243－750. (3)f (θ)＋f (θ＋π4)＝sin(2θ－π6)＋cos(2θ－π6) ＝2sin(2θ＋π12)，因为0θπ8，所以π122θ＋π12π3，故f (θ)＋f (θ＋π4)2×32＝62，故只需|m －4|≥62，即m ≤4－62或m ≥4＋62，即实数m 的取值范围是(－∞，4－62]∪[4＋62，＋∞)．21．解(1)因为函数f (x )的最大值是1，且A 0，所以A ＝1.因为函数f (x )的最小正周期是2π，且ω0，所以T ＝2πω＝2π，解得ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为函数f (x )的图象过点M (0,1)，所以sin φ＝1.因为0φπ，所以φ＝π2. 所以f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x . (2)由(1)得f (x )＝cos x ，第13页共14页所以f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513. 因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，sin B ＝1－cos 2B ＝1213 . 因为A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以cos C ＝cos(π－(A ＋B ))＝－cos(A ＋B )，所以f (C )＝cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(35×513－45×1213)＝3365. 22．解(1)函数f (x )＝a b ＝4sin(ωx ＋2π3)cos ωx ＝[4×(－12)sin ωx ＋4×32cos ωx ]cos ωx ＝23cos 2ωx －sin 2ωx＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx＝2cos(2ωx ＋π6)＋3，由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，故f (x )＝2cos(2x ＋π6)＋3. 令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，∴y ＝2cos(2x ＋π6)＋3的单调递增区间为[k π－7π12，k π－π12](k ∈Z )．当k ＝1时，函数的单调递增区间为[5π12，11π12 ]．当k ＝2时，函数的单调递增区间为[17π12，23π12]．∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为[5π12，11π12]，[17π12，23π12]．(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )＝2cos 2x ＋3的图象．令g (x )＝0，得x ＝k π＋5π12或x ＝k π＋7π12，k ∈Z ，第14页共14页∴函数g (x )在每个周期内恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ](b 0)上至少含有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，∴b 的最小值为4π＋7π12＝55π12.。

高考理科数学一轮复习《第7章不等式》7.4 基本(均值)不等式及其应用试题

A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A ．1 B.1110C.65D ．2【解析】由题意，2ab ＝8，∴b ＝4a .∵2≤a ≤10，∴1b ＋1＋9a ＋9＝14a ＋1＋9a ＋9＝1＋5a ＋36a＋13≤1＋52a ·36a＋13＝65，当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65.【答案】 C3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315B ．2 C.94D ．3 【解析】由题意知，x ＋2＞0，y ＋1＞0， (x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋24（y ＋1）x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94.【答案】 C4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2，2]D ．[0，＋∞) 【解析】当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2， ∴－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.【答案】 B5．(2016·武汉模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0【解析】由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x ＞0，y ＞0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8. 【答案】 A6．(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 【答案】 C7．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( ) A ．2－2 B.2－1 C ．3＋22 D ．3－2 2【解析】 ∵圆心为(1，2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2ba ＋ab≥3＋2 2.当且仅当2ba＝ab，即a＝2－2，b＝2－1时等号成立．【答案】C8．(2016·安徽安庆二中第一次质检)若x＞0，y＞0，则x＋yx＋y的最小值为()A. 2 B．1C.22 D.12【解析】设t＝x＋yx＋y，则t＞0，∵t2＝x＋yx＋y＋2xy ≥x＋yx＋y＋x＋y＝12，∴t≥22，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋yx＋y的最小值为22.故选C.【答案】C9．(2016·湖北华师一附中等八校联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．【解析】因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.【答案】210．(2016·南京金陵中学第一次联考)已知实数x，y满足x－x＋1＝y＋3－y，则x＋y的最大值为________．【解析】∵x－x＋1＝y＋3－y，∴x＋y＝x＋1＋y＋3≤2x＋y＋42，则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.【答案】411．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0， ∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20 ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组专项能力提升 (时间：20分钟)12．(2016·重庆巴蜀中学期中)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵y ＝f (x )在x ＝1处有极值，∴a ＋b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值等于9.故选D.【答案】 D13．(2016·云南大理祥云一中第二次月考)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ）≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab，a （a －b ）＝1a （a －b ）时取等号，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝22. ∴a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值为4.【答案】 D14．(2016·天津河西模拟)函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)的最小值为________．【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝2＝1，即x ＝3时取等号．∴函数f (x )的最小值为f (3)＝4. 【答案】 415．(2016·广东北师大东莞石竹附中期中)已知x ＞0，y ＞0，若不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，则m 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立．又∵⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋xy ≥6＋29y x ·x y ＝12，当且仅当9y x ＝xy，即x ＝3y 时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )的最小值为12.由m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，得m ≤12，即m 的最大值为12. 【答案】 1216．(2016·山东齐鲁名校第二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100，当且仅当12x ＝45 000x ，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(2)获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12(x －400)2＋35 000.因为x ∈[300，600]，所以S ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．。

2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷理数(含答案)

2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A xx =<<∣，{||1}B x x =≤∣，则A B ⋃=（）A.[)12-，B.()2-∞，C.[)13-， D.[]12-，2.已知复数()i i 1z =+，则z =（）A.1B.C.D.23.已知命题p ：x ∀∈R ，220x x m -+>，则满足命题p 为真命题的一个充分条件是（）A.m>2B.0m <C.1m < D.m 1≥4.若函数()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（）A.2- B.2C.3- D.35.已知{}n a 是各项不全为零的等差数列，前n 项和是n S ，且2024S S =，若()2626m S S m =≠，则正整数m =（）A.20B.19C.18D.176.已知平面向量a ，b满足a =，(b =，2a b -= ，则a 在b上的投影为（）A.B.1C.2D.7.函数()2e e 1x xf x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,)M m ，且sin 3α=-，则tan 2α=（）A.55-B.C.55-D.55或9.已知等比数列{}n a 满足21q ≠，24m n a a a =，（其中m ，*n ∈N ），则91m n+的最小值为（）A .6B.16C.32D.210.已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A .403π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B.2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D.2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11.设4sin1a =，3sin2b =，2sin3c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<12.已知函数14sin π,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩,若关于x 的方程2[()](2)()10f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（）A.()35，B.[]35，C.()31--，D.[]31--，二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14.设m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有___________（只填序号）.①m α⊂，//m β②m α⊂，n β⊥，n m ⊥③αγ⊥，βγ⊥④m α⊥，m β⊥15.已知数列{}n a 为递减数列，其前n 项和22n S n n m =-++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知点A ，B ，C 均在球O 的球面上运动，且满足3AOB π∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为___________.三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，12bc =，12A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长.18.已知数列{}n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，cos cos 2cos a A c C b B +=.（1）求tan A .（2）若c =，求ABC 的面积.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.已知函数()1ln 1f x x x=-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明，对()0x ∀∈+∞，，均有()()11e 2ln 1f x x -+<++.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与与曲线C '有公共点，试求a的取值范围.23.已知函数()22f x x x t =++-（0t >），若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若a b c ，，均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】12 ##-0.5【14题答案】【答案】④【15题答案】【答案】()2,-+∞【16题答案】【答案】三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.【17题答案】【答案】（1）π3（2）13【18题答案】【答案】（1）21n a n =-；（2）2122323n n n T ++-=【19题答案】【答案】（1）tan 3A =（2）12【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）63【21题答案】【答案】（1）240x y +-=（2）证明见解析【22题答案】【答案】（1）:20l x a -=，2214x y +=（2）[]1,1-【23题答案】【答案】（1）3t =（2）16 3。

高三理科数学一轮复习考试试题精选()分类汇编集合含答案

广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于（） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则（）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是（）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。

高三一轮复习基础知识检测数学(理)试题

甘肃省天水市高三一轮复习基础知识检测数学（理）试题第Ⅰ卷选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<<，则 ()A.A∩B=∅B.A ∪B=RC.B ⊆AD.A ⊆B2. i 为虚数单位，则=+-2)11(i i （）1- B. 1 C. i - D. i3.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>）则C 的渐近线方程为（）A.14y x =± B.13y x=± C.12y x =± D.y x =±4.82)x 二项展开式中的常数项为（） A. 56 B. 112 C. -56 D. -112 5．以下四个命题中：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40. ②线性回归直线方程a xb yˆˆˆ+=恒过样本中心),(y x ③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(2,) (0)N σσ>．若ξ在(,1)-∞内取值的概率为0.1，则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4 ；其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．36．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．6 B ．23 C ．3 D ．337．已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ,且132455,,24nn S a a a a a +=+=则（）A ．4n-1B ．4n-1C ．2n-1D ．2n-18.同时具有性质“⑴ 最小正周期是π；⑵ 图象关于直线6x π=对称；⑶ 在[,]63ππ上是减函数”的一个函数可以是A.5sin()212x y π=+ B.sin(2)3y x π=- C.2cos(2)3y x π=+D.sin(2)6y x π=+9.如图所示程序框图中，输出S = （） A. 45 B. 55- C. 66- D. 6610．已知函数2()f x x = 的图像在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相垂直并交于一点P ,则点P 的坐标可能为（）A.3(,3)2-B.(0,4)- C (2,3) D.1(1,)4- 11.在ABC ∆中，6A π=,,3AB AC ==， D 在边BC 上，且2CD DB =,则AD =（）ABC ．5 D．12.已知函数()2log ,02sin(), 2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足()()()1234()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（） A.(20，32) B.(9,21) C.(8,24) D.(15，25) 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设()f x 是定义在R上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。

高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行，令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n：， + ， + + ， + + + ，，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列满足，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时，，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ；即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前项和．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前项和为，且是与的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为，已知．（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为，且 b = 4n nn +1，若对任意都成立，求实数的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述的取值范围为．第 7 单元数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为，，（），则（）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则．．故选 B ．满足：，若数列是等比数列，则的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列的前项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足：，，成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为（）A ．115【答案】C【解析】由，，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ，（ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪琪琪琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前项和为，且，，数列满足，（1）求数列（2）令【答案】（1），的通项公式；，求数列的前项和．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时，，即，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为，首项为的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理是偶数时是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前项和为，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

【2019最新】人教版高考理科数学一轮复习练习：阶段检测试题(四) Word版含解析

(C)42π(D)36π该几何体下半部分是高为的圆柱的一半,所以其体积为B.,βπ(D)16π22,所以x=π,所以旋转体一个几何体的三视图如图所示(B)(D)+2,该几何体由两个三棱锥组成A.)(C)③④(D)②④经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点由三视图知其直观图为两个圆台的组合体水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大)(A)1 (B)2-D)2-ABC,1=,BD==,AB=BC=AD=DC=,=,=1,(B) cm3(D) cm3中的虚线长为图,A.则该几何体的外接球的表面积为(D)由三视图知该几何体为四棱锥,分别是对应边的中点,的正方形,h=,R2=,B.为底面的中心(D)建立空间直角坐标系.设A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,),M(0, 0,),P(x,y,0),=(0,1,),=(x,y,-).ABCDA1B1C1D1的内切球(B)根据正方体的几何特征知每小题5分解析:由三视图可知,该几何体有两个面是直角三角形,如图,底面是正三角形,最大的面是边长分别为2,=2,=2的面,其面积为×2×=.答案:14.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为.解析:取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示坐标系,设BC=1,则A(0,0,),B(0,-,0),D(,0,0).所以=(0,0,),=(0,,),=(,,0).设平面ABD的法向量为n=(x0,y0,z0),则·n=0,且·n=0,x0=1,的一个法向量n=(1,-,1).sin<n,>=.:已知函数轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周.已知一个三棱锥的所有棱长均为,,AE==.R2=(-R)2+,即内切球的半径是.三、解答题ADEF;所成角的正弦值.EM=AD,则EO⊥平面ABCD,故以轴的正方向建立空间平面直角坐标系E(0,0,),A(3,0,0),C(-1,4,0),F(2,0,),所以=(3,0,-),=(-4,4,0),=(3,-4,).为平面EAC的法向量,则x=1,可得n=(1,1,),cos<,n>===,所成角的正弦值为EF;OEF所成角的正弦值.的边长为2,点E是xyz,O(0,0,1),G(,,0),=(0,1,-1),=(1,0,-1),=(,,-2).n=(1,1,1),==,与平面OEF.求直线PB与平面.于点M,连接FM.是平行四边形.E(0,0,0),B(3,0,0),P(0,0,m),C(3,2,0),F(,1,),的一个法向量为n=(x,y,z),由得z=1,得n=(0,-m,1).的一个法向量为cos<n,a>===.m=2.所成角.PBE==,.正三棱柱ABCA1B1C1底边长为2,E,F分别为BB1,AB的中点.(1)已知M为线段B1A1上的点,且B1A1=4B1M,求证:EM∥平面A1FC;(2)若二面角EA1CF所成角的余弦值为,求AA1的值.(1)证明:取B1A1中点为N,连接BN,则BN∥A1F,又B1A1=4B1M,N为B1A1的中点,则M为B1N的中点.所以EM为△BNB1中位线,则EM∥BN,所以EM∥A1F.因为EM⊄平面A1FC,A1F⊂平面A1FC,故EM∥平面A1FC.(2)解:如图,以F为坐标原点建立空间直角坐标系,设AA1=a.则F(0,0,0),A1(-1,0,a),E(1,0,),C(0,,0),=(-1,,-),=(0,,0),=(2,0,-),=(1,,-a).设平面A1CF法向量为m=(x,y,z),则取z=1,得m=(a,0,1).设平面A1EC法向量为n=(x1,y1,z1),取x1=a,得n=(a,a,4).设二面角EA1CF的平面角为,,=cos<m,n>==.a2=,AA1=.本小题满分所成角的正弦值为,求AD的长.ABCD,而AD⊂平面ABCD,平面PBD,所以AD两两互相垂直轴建立如图所示的空间直角坐标系BDC=可得A(λ,,0),P(0,0,4),,0,-4),=(-,,0),=(0,0,4).由题意可得y=3,则x=4,z=0,得平面PCD的一个法向量22.(本小题满分四边形ABCD为矩形在棱DF上..所以AF⊥B(1,0,0),E(,0,1),P(0,1,),C(1,2,0),=(-,0,1),=(-1,-1,),==,.ADF,所以平面ADF的一个法向量n1==(1,0,0).,=(0,,),=(1,2,0).|==..。

人教A版高三数学理科一轮复习滚动检测试卷(五)含答案

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是() A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)3．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)4．(·河南名校联考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A·tan Btan C(tan A＋tan B)的值为()A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0165．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺6．(·渭南模拟)已知椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，且椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值为( ) A ．2 001 B ．2 000 C ．1 999D ．1 9987．(·河北衡水中学第二次调研考试)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1639．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[16，1]B ．[16，2 2 ]C ．[16，413]D ．[213，1]10．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33B.22C.23D.3411．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或712．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )A ．[0,1－2lg 2]B ．[1，52]C ．[12，lg 2]D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ； ②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)14．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．15．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.16．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．18．(12分)(·咸阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.19.(12分)如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB、A1B1分别为圆O、圆O1的直径且AA1⊥平面P AB.(1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A1－APB的体积．20．(12分)(·保定调研)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．21．(12分)如图，P －AD －C 是直二面角，四边形ABCD 是∠BAD ＝120°的菱形，AB ＝2，P A ⊥AD ，E 是CD 的中点，设PC 与平面ABCD 所成的角为45°.(1)求证：平面P AE ⊥平面PCD ；(2)试问在线段AB (不包括端点)上是否存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°？若存在，请求出AF 的长，若不存在，请说明理由．22．(12分)(·合肥第二次质检)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA →＋μCB →，且λμ＝14.(1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k 的值，若不存在，说明理由．答案解析1．C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9．D [t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18，因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围是[213，1]．]10．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →.又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)，∴|A G →|＝13A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4.∵|A G →|＝13AB →2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]11．A [因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.]12．A [如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域．因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率．由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值；点P 在点C 处时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数，所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]．而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]．故选A.] 13．①③⑤解析当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ，故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值，故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值，故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影，均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故⑤正确．14．a >6解析以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，如图所示．则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE →＝(3，x ，－b )，DE →＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE →＝0， ∴9＋x (x －a )＝0，即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根， ∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6. 15．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11x d x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 16．36解析由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC ＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4zy ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)． 17．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1，将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)． (2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]． 18．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， ∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0， ∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12. 19．(1)证明易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23， ∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3. 20．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1，经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 －f (x )极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a＜0，所以a ＞1. 综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．21.(1)证明因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0，令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13，所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)．而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22，整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)，因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.22．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3，因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3，所以|CM →|≥3，当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6. (2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )，因为CM →＝λC A →＋μC B →，所以⎩⎨⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎨⎧ x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1，所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。

世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：课时提能演练(三) 1.3

课时提能演练(三)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.（2012·福州模拟）已知命题“∃x∈R,x2+2ax+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是（）(A)（-∞,-1）(B)(1,+∞)(C)(-∞,-1)∪(1,+∞) (D)(-1,1)2.如果命题“⌝(p∨q)”是假命题，则下列说法正确的是( )(A)p、q均为真命题(B)p、q中至少有一个为真命题(C)p、q均为假命题(D)p、q至少有一个为假命题3．（预测题）下列命题是假命题的为( )(A)∃x0∈R,0xlge=0(B)∃x0∈R，0tanx=x0π),sinx＜1(C)∀x∈(0,2(D)∀x∈R，e x＞x+14.已知命题p：存在x0∈(-∞,0),00x x<；命题q：△ABC中，若sinA>sinB，23则A>B，则下列命题为真命题的是( )(A)p∧q (B)p∨(⌝q)(C)(⌝p)∧q (D)p ∧(⌝q)5.（2012·厦门模拟）命题：（1）⌝x ∈R,2x-1>0,(2) ∀x ∈N *,(x-1)2>0, (3)∃x 0∈R,lgx 0<1,(4)若p:1x 1- >0,则⌝p:1x 1-≤0,(5)∃x 0∈R,sinx 0≥1其中真命题个数是（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.(2012·南昌模拟)已知命题p:“∀x ∈［0,1］,a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，20x +4x 0+a=0”，若命题“p ∧q ”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,4］ (B)(-∞,1)∪(4,+∞) (C)(-∞,e)∪(4,+∞) (D)(1,+∞) 二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知命题p: ∃x 0∈R ，3200x x -+1≤0，则命题⌝p 是_________. 8.(2012·江南十校联考)命题“∃x 0∈R ，220x -3ax 0+9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是_______.9.若∀a ∈(0,+∞), ∃θ∈R ，使asin θ≥a 成立，则cos(θ- 6π)的值为________.三、解答题(每小题15分，共30分)10.（易错题）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)q: ∀x ∈R ，x 不是5x-12=0的根; (2)r:有些素数是奇数; (3)s: ∃x 0∈R ，|x 0|＞0.11.（2012·南平模拟）已知命题p:A={x|x2-2x-3<0,x∈R},q:B={x|x2-2mx+m2-9<0, x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=(1,3)，求实数m的值；（2）若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【探究创新】(16分)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在［-1，1］上有解；命题q:只有一个实数x0满足不等式2x+2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围.答案解析1.【解析】选C.“∃x∈R,x2+2ax+1<0”是真命题，即不等式x2+2ax+1<0有解，∴Δ＝（2a）2-4>0,得a2>1即a>1或a<-1.2.【解析】选B.因为“⌝(p∨q)”是假命题，则“p∨q”是真命题，所以p、q中至少有一个为真命题.3．【解析】选D.当x=0时,e x=x+1，故选D.)x>1，即2x>3x，所以命题p为假，4.【解析】选C.因为当x＜0时，(23从而⌝p为真．△ABC中，由sinA>sinB⇒a>b⇒A>B，所以命题q为真.故选C.5.【解析】选C.（1）根据指数函数的性质，正确；（2）当x=1时，不成≤0立，故错误；（3）x=1时，lgx=0<1，故正确；（4）⌝p应为：“1-x1π使sinx≥1成立，故真命题有3个.或x=1”,故错误；（5）存在x=26.【解题指南】“p∧q”为假命题是“p∧q”为真命题的否定，故可先求出“p∧q”为真命题时a的取值范围，再根据补集的思想求“p∧q”为假命题时a的取值范围.【解析】选C.当p为真命题时，a≥e；当q为真命题时,x2+4x+a=0有解，则Δ=16-4a≥0，∴a≤4.∴“p∧q”为真命题时，e≤a≤4.∴“p∧q”为假命题时，a＜e或a＞4.7.【解析】命题p是特称命题，其否定为全称命题.答案：∀x∈R，x3-x2+1＞08.【解析】因为命题“∃x0∈R，22x-3ax0+9<0”为假命题，所以“∀x∈R，2x2-3ax+9≥0”为真命题.a≤∴Δ=9a2-4×2×9≤0⇒答案：【误区警示】本题易出现不知利用命题及其否定的关系来求解，而使用直接法求a 的取值范围，导致结果错误或计算繁杂的情况. 9.【解析】∵∀a ∈(0,+∞)，asin θ≥a, ∴sin θ≥1，又sin θ≤1,∴sin θ=1,∴θ=2k π+2π(k ∈Z),∴cos(θ- 6π)=sin 6π= 12. 答案：1210.【解析】(1)⌝q: ∃x 0∈R ，x 0是5x-12=0的根，真命题. (2)⌝r:每一个素数都不是奇数，假命题. (3)⌝s:∀x ∈R ，|x|≤0，假命题.11.【解析】（1）A={x|-1<x<3,x ∈R},B={x|m-3<x<m+3,x ∈R,m ∈R}, ∵A ∩B=(1,3),∴m=4.(2)∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件， ∴﹁q ⇒﹁p, ﹁p ﹁q, ∴﹁p ⇒﹁q, ﹁q﹁p,∴AB,1m 3,0m 2.3m 3-≥-⎧∴∴≤≤⎨≤+⎩【探究创新】【解析】由2x 2+ax-a 2=0,得(2x-a)(x+a)=0, ∴x=a2或x=-a,∴当命题p 为真命题时,|a 2|≤1或|-a|≤1, ∴|a|≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式20x +2ax 0+2a ≤0”,即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2.∴当命题q为真命题时,a=0或a=2.∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<-2. 即a的取值范围为a>2或a<-2.。

2023届河南省中原名校高三一轮复习检测联考卷数学(理)试题(解析版)

中原名校联考高三一轮复习检测理科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}{}122|,2|-==++-==x y y B x x y x A ，则=B A （） A.{}20|≤≤x x B.{}20|≤<x x C.{}1|-≥x x D.{}1|->x x2.已知复数z 满足()()i i z 212=++，则其共轭复数z 在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城，团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.折线图展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例数量的中位数与新增疑似病例数量的中位数相同C.16天中新增确疹、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于2000D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和4.已知抛物线px y 22=的焦点为()0,1F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，l PA ⊥，垂足为A ，若直线AF 的倾斜角为32π，则PAF ∆的面积为（） A.32 B.34 C.8 D.385.人类对于地震的认识还十分有限，比如还无法准确预报地震，以做好地震前的人员疏散和重要设施的保护工作.科学家通过观测研究发现，地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震时里氏震级M 之间的关系为.4.18.4lg M E +=则2011年3月11日日本东北部海域发生的里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比为（）A.5.110B.1.5C.5.1lgD.5.110-6.函数x x x f cos )(+=的大致图象是（）7.已知()3112⎪⎭⎫ ⎝⎛--x mx 的展开式中的常数项为8,则实数m 的值为（） A.-3 B.3 C.-2 D.28.将曲线x x f y 2cos )(=上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得到的曲线向右平移4π个单位，得到曲线x y 2cos =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛36ππf f 的值是（） A.2 B.-2 C.32 D.32-9.已知()()αββαβαβ,53sin cos cos sin =---为第三象限的角,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos πα( )A. 1027B.1027-C.102D.102- 10.现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当按如图所示水平放置时，水面的高度正好为棱长的一半.若将正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水平的最大高度为（）A.1B.2C.3D.2211.设b a ,为非零向量，则命题“b a b a +=+”是命题“a 与b 共线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉.为了纪念数学家高斯，人们把函数R x x y ∈=],[称为高斯函数，其中][x 表示不超过x 的最大整数.设{}][x x x -=，则函数{}12)(--=x x x x f 的所有零点之和为（）A.-1B.0C.1D.2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》《好玩的数学》《故事中的数学》等书，题材广泛，妙趣横生，深受广大读者喜爱.《好玩的数学》中《五分钟内挑出埃及分数》这篇文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数31与151的和表示52等.从1011,1001,41,31,21，⋅⋅⋅这100个埃及分数中选出不同的3个，使它们的和为1,这3个分数是.(按从大到小的顺序排列）14.数列{}()2,1:2121>+===--n F F F F F F n n n n ，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》之中.若数列{}n F 的每项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项的和=50S .15.已知F 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的右焦点，B A ,是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，0=⋅BF AF 且线段AF 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率=e .16.已知三棱锥ABC P -的四个顶点在球O 的表面上，⊥PA 平面4,2,32,6====BC AC AB PA ABC ，，则球O 的表面积为；若D 是BC 的中点，过D 作球的截面，则截面面积的最小值是 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个题考生都必作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知向量()B a c m sin ,-=,()C A a b n sin sin ,+-=,且m ∥n .（1）求角C 的值；（2）若a b c 336=+，求A sin 的值.18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，AD CD AD ,⊥∥BC ， .3,2====BC CD AD PA 过点A 作四棱锥ABCD P -的截面AEFG ，分别交PB PC PD ,,于点G F E ,,.已知E PB PG ,3:2:=为PD 的中点.(1) 求证：AG ∥平面PCD ；(2) 求AF 与平面PAB 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）为了普及传染病防治知识，增强学生的健康意识和疾病防犯意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[)80,70内的学生获三等奖，得分在[)90,80内的学生获二等奖，得分在[]100,90内的学生获一等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生恰有一名学生获奖的概率.（2）若该校所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布()2,σμN ，其中μσ,15=为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数（结果四舍五入到整数）；②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于10000）随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,σμN ，则(),6827.0≈+≤<-σμσμX P (),9545.022≈+≤<-σμσμX P ().9973.033≈+≤<-σμσμX P20.（本小题满分12分）设A 为椭圆12:22=+y x L 上的一个动点，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，AC AB ,分别为过21,F F 的弦，且.,222111C F AF B F AF λλ==（1）求证：21λλ+为定值；（2）求AC F 1∆的面积S 的最大值.21.（本小题满分12分）设n 是正整数，().12x ne n x n x xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= （1）求证：当1≤x 时，().112x e x x ≤-- （2）求证：当n x ≤时，().n x f ≥（二）选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中,已知圆C 的圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πC ,半径.3=r （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈4,0πα，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2，直线l 交圆于B A ,两点，求AB 的取值范围.23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()().31R a a x x f ∈-= （1）当2=a 时，解不等式()131≥+-x f x ；（2）设不等式x x f x ≤+-)(31的解集为M ，若M ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31，求实数a 的取值范围.中原名校联考高三一轮复习检测数学（理）参考答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.B【解析】由022≥++-x x ，得022≤--x x ，21≤≤-x ，即{}21|≤≤-=x x A ，由021>=-x y ，得{}0|>=x x B ，故{}20|≤<=x x B A .2. C 【解析】因为()()()i i i i i i i z +=-+-=+=+11112122，所以z =1+i ，1z i =--，其对应的点位于第三象限.3. C【解析】对于A ，从折线图可以看出，19日至20日新增确诊病例数量呈上升趋势，故A 错误；对于B ，从折线图可以看出，每日新增确诊病例数量的中位数位于500—1000之间，每天新增疑似病例数量的中位数位于1000—1500之间，所以每日新增确诊病例数量的中位数小于每日新增疑似病例数量的中位数，故B 错；对于C ，从折线图可以看出，16天中每日新增确疹病例数量最低在250以下，最高在2500以上，极差大于2000,而每日新增疑似病例数量最低在250以下，最高在2250以上，极差大于2000,每日治愈病例数量最低在1500以下，最高在3500以上，极差大于2000,故C 正确；对于D ，从折线图可以看出，20日新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例数量之和，故D 错误.4. B【解析】由题意，知2=p ，抛物线方程为x y 42=，设准线与x 轴的交点为K （图略），则2=KF .因为直线AF 的倾斜角为32π，所以3π=∠AFK ，则4=AF .由抛物线的定义可知||||PF PA =且3π=∠PAF ，所以△PAF 是边长为4的正三角形， .34234421=⨯⨯⨯=∆PAF S 5. A 【解析】由lg 4.8 1.5E M =+，可得M E 5.18.410+=，设日本东北部海域发生的里氏9.0级地震-与我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量分别为21,E E ，则.1010105.185.18.495.18.421==⨯+⨯+E E6. A【解析】因为()x f 的定义域为R ，()x x x f cos +-=-，)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-，故该函数既不是奇函数又不是偶函数，排除B 、C ；又当2π=x 时，x x x =+cos ，即)(x f 的图象与直线x y =的图象的交点中有一个点的坐标为2π，排除D ，故只能选A. 7. D【解析】由二项式定理，得311⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 的通项rr r x C T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+131，则()3112⎪⎭⎫ ⎝⎛--x mx 展开式中的常数项为()m x C mx C 32121303+=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-+⨯，所以832=+m ，解得.2=m 8. D【解析】将曲线x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，得到曲线 x x x y 2sin 22cos 42cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ的图象，再将所得曲线上的所有点的横坐标缩短到原来的21，得到曲线x y 4sin -=.由题意，得x x f x 2cos )(4sin =-，所以 x xx x x x x f 2sin 22cos 2cos 2sin 22cos 4sin )(-=-=-=，则.3232sin 23sin 236-=--=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛ππππf f9. D【解析】由题知，()()()[]53sin sin sin cos cos sin =-=--=---αβαβββαβαβ，所以53sin -=α，又α为第三象限的角,则().102sin cos 224sin sin 4cos cos 4cos -=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπαπαπα 10. B【解析】因为正方体的面对角线的长为22，故将正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转的最大高度是22.又因为容器里水的体积正好是容器体积的一半，所以容器时水面的最大高度是面对角线长度的一半，即容器中水面的最大高度为.2 11. Ab a b a +=+a 与b 共线且方向相同，故充分性成立；但当a 与b 共线且b a b a +≠+，故必要性不成立.因此，命题b a b a =+”是命题“a 与b 共线”的充分而不必要条件.)12. A【解析】因为{}][x x x -=，当x 为整数时，{}().1,0--==x x f x 令()01=--=x x f ，得.1-=x 当x 不为整数时，{}{}.11][][],[1][+-=+-=---=---=-x x x x x x x x 因为{}12)(--=x x x x f ，所以 (){}{}(){}1211212--=-++--=-+-⋅-=-x x x x x x x x x x f ，此时)()(x f x f =-，即)(x f 为偶函数，图象关于y 轴对称，故x 不为整数时，对称区间的零点之和为0,所以所有零点之和为 1.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.61,31,21【解析】因和为1,故3个数中必有一个大于31，也必有一个小于31，在这个原则下验算得1613121=++，所以3个埃及分数按从大到小的顺序依次为61,31,21. 14.34【解析】斐波那契数列{}n F 为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…将数{}n F 的每一项除以2所得余数构成-的新数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,…这是一个周期数列，周期为3,又216350⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷，故数列{}n a 的前50项的和为.3411216=++⨯ 15. 15-【解析】因为F 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的右焦点，所以()0,c F .由题知双曲线的一条渐过线的方程为x a b y =，不妨设()0,000>⎪⎭⎫ ⎝⎛x x a b x A ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛--00,x a b x B ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000,,,x a b x c BF x a b x c AF ，则()()020222202200=-=-+-=⋅x a c c x a b x c x c BF AF ，由此得.220a x =因此点A 的坐标为()b a A ,，线段AF 的中点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+2,2b c a ，因为它在双曲线上，所以1222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a c a ，化简得512=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a c ，解得.15-==a c e16. 52π 4π【解析】由已知得222BC AC AB =+，则AC AB ⊥.因为⊥PA 平面ABC ，所以可将三棱锥ABC P -补成以AP AC AB ，，分别为长、宽、高的长方体，则三棱锥ABC P -的外接球直径为长方体的体对角线的长，即()13262322222222=++=++=AP AC AB R （R 为外接球的半径），所以13=R ，所以球O 的表面积为.5242ππ=R 因为D AC AB ，⊥为BC 中点，所以D 为ABC Rt ∆的外接圆圆心，且⊥OD 平面ABC ，所以过点D 作球O 的截面，面积最小的截面即为ABC ∆的外接圆面，外接圆的半径为22==BCr ，所以面积的最小值为.42ππ=r 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个题考生都必作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一）必考题：共60分.17.（1）因为m ∥n ，所以()()()B a b C A a c sin sin sin -=+-，……………(2分)由正弦定理，得()()()b a b c a a c -=+-，化简得ab c b a =-+222，……………(4分)所以，.2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 又()π,0∈C ，所以.3π=C ………………………………………(6分) （2）由（1）知A B -=32π，由题设及正弦定理，得A A C sin 332sin 3sin 6=⎪⎭⎫⎝⎛-+π，整理，得0sin 21cos 2322=-+A A ，即.223sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA ……………………(8分) 因为320π<<A ，所以333πππ<-<-A ，.223cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA …………………(10分) 故.4263sin 3cos 3cos 3sin 33sin sin +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππA A A A…………………………………………………………………………………………(12分)18.（1）如图所示，在PC 上取点H ，且满足3:2:=PC PH ，……………………(2分)连接HD GH ,，则GH ∥BC ，所以AD ∥GH ，且GH AD =，所以四边形ADHG 是平行四边形.则AG ∥.HD ………………………(4分)又因为⊂HD 平面AG PCD ,不在平面PCD 内，所以AG ∥平面PCD .…………………………………(6分)（2）过点A 作AM ∥CD 交BC 于点M ，易证AD AP AM ,,两两垂直，所以以M 为原点，AM 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立平面直角坐标系,xyz A -则有()()()().0,1,2,1,1,0,32,32,34,0,2,2,2,0,0-⎪⎭⎫⎝⎛-B E GC P ………………(8分) 设平面AEFG 的法向量为()z y x n ,,=，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0AE n AG n即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-,0,0323234z y z y x 令1=z ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.1,1,1z y x 所以，()1,1,1--=n 是平面AEFG 的一个法向量.因为点F 在PC 上，所以()().22,2,21λλλλλ-=-+=AP AC AF 因为⊂AF 平面AEFG ，所以02222=-+--=⋅λλλn AF ，解得31=λ，所以.34,32,32⎪⎭⎫⎝⎛=AF ……………………………………(10分)设平面PAB 的法向量为()1111,,z y x n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,011AB n AP n 即⎩⎨⎧=-=,02,02111y x z 令11=x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===.0,2,1111z y x所以，()0,2,11=n 是平面PAB 的一个法向量，1030cos 1=n AF ，即AF 与平面PAB 所成角的正弦值为.1030………………………………(12分)19.（1）由样本频率分布直方图，得样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖.……………………………………(2分)从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为.2100C 设“抽取两名学生中有一名学生获奖”的事件为A ，则事件A 包含的基本事件的个数为130170C C .……(4分)因为每个基本事件出现的可能性相等，所以().33142100130170==C C C A P 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为.3314………………………………(6分) （2）由样本频率分布直方图得样本平均数估计值+⨯⨯=10006.035μ+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10008.08510016.07510034.06510018.05510012.045,6410006.095=⨯⨯所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布().15,642N ……(8分)①因为79=+σμ，所以()15865.026827.0179=-≈>X P ，参赛学生中成绩超过79分的人数约为.15871000015865.0=⨯②由64=μ，得()2164=>X P ，即从所有学生中随机抽取1名学生，该生的成绩在64分以上的概率为21，所以随机变量ξ服从二项分布⎪⎭⎫⎝⎛21,3B ，随机变量ξ的可能值为0,1,2,3,且()812112103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ，()832112112113=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， ()832112121223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，().812112130333=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ所以随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P8183 83 81……………………………(10分)随机变量ξ的数学期望().23813832831810=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………(12分) 20.（1）易求得()().0,1,0,121F F -设点C B A ,,三点的坐标依次为()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ,由C F AF B F AF 222111,λλ==，得()()2211,1,1y x y x +=---λ,()()3311,1,1y x y x -=--λ……………………(2分)由此得()()11,11321211-=-+=--x x x x λλ，进而得.11,11213112+-=-+-=λλx x x x…………………………………(4分)由椭圆的性质可知，22211++=x x λ，将11112-+-=λx x 代入，得3211+=x λ；同理得31222x x --=λ，将11213+-=λx x 代入，得.3212+-=x λ 因此，632321121=+-+=+x x λλ为定值.……………………(6分) （2）因为.213131211y y y y F F S AC F -=-⋅⋅=∆………………………………………(8分) 设直线AC 的方程为1+=my x ，与椭圆方程联立得().012222=-++my y m………………………………(10分)从而21111222222222231≤+++⋅=++=-m m m m y y ，当且仅当0=m 时，即直线AC 的方程为1=x 时，AC F 1∆的面积S 取到最大值.2……………(12分)21.（1）记()xe x x x g -+=1)(2,则()()xex x g -='2.易知，当()0,∞-∈x 时，()0<'x g ；当()2ln ,0∈x 时，()0>'x g ，当(]1,2ln ∈x 时，()0<'x g .……………(2分)所以，)(x g 在()0,∞-上单调递减，在()2ln ,0上单调递增，在(]1,2ln 上单调递减,进而知)(x f 的最小值()()(){}minmin 0,1 1.f x g g ⎡⎤==⎣⎦故()1≥x g ,即()112≥-+xe x x ,().112x e x x≤--…………………………………(4分)（2）由()x ne n x n x xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12，得 ().121112112⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='--n xn n x n x e x n n x n n x n e x x f当1=n 时,由(1)知()1)(≥=x g x f ,命题成立.………………………(6分)当2≥n 时，令()11n xx h x e n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()12211()1111.n n n xxx x x x x h x e e n e n n n n n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+⋅--⋅-=⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知，当()1,∞-∈x 时，()0h x '>，当[]n x ,1∈时，()0h x '<.所以，在区间()1,∞-上函数()h x 单调递增，在区间[]n ,1上函数()h x 单调递减.所以，当1=x 时，()h x 取得最大值11(1)1.n h e n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………………………(8分)由于熟知结论n n 111ln -<⎪⎭⎫ ⎝⎛-，得nn e -⎪⎭⎫⎝⎛-<11，于是.21111111≤-=⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫⎝⎛---n n n n e n …………………………(10分)因此，0121>⎪⎭⎫⎝⎛---n xn x e ，故当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减，当(]n x ,0∈时，()0>'x f ，()x f 单调递增，即()x f 的最小值为()n f =0.所以，n e n x n x x n≥⎪⎭⎫⎝⎛-+12，即().n x f ≥………………………………………(12分)（二）选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（1）因为点⎪⎭⎫⎝⎛4,2πC 的直角坐标为()1,1，所以圆C 的直角坐标方程为()()31122=-+-y x ，…………………(2分)化为极坐标方程即为().01sin cos 22=-+-θθρρ………………………………(4分)（2）将⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2t y t x 代入圆C 的直角坐标方程()()31122=-+-y x ，并化简得().01sin cos 22=-++ααt t …………………………(6分)设点B A ,对应的参数分别为21,t t ，则().1,sin cos 22121-=+-=+t t t t αα 所以，().2sin 2242122121α+=-+=-=t t t t t t AB …………………………(8分)因为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈4,0πα，所以3222,2,02<≤⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈AB πα，即AB 的取值范围是[).32,22……………………………………(10分)23.（1）当2=a 时，原不等式化为3213≥-+-x x ，………………(2分) ①当31≤x 时，3231≥-+-x x ，解得0≤x ，所以0≤x ； ②当231<<x 时，3213≥-+-x x ，解得1≥x ，所以21<≤x ； ③当2≥x 时，3213≥-+-x x ，解得23≥x ，所以2≥x .……………………(4分)综上所述，当2=a 时，不等式的解集为{}10|≥≤x x x 或.……………………(6分)（2）不等式x x f x ≤+-)(31可化为x a x x 313≤-+-，依题意该不等式在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31x 上恒成立.………………………………(8分)所以x a x x 313≤-+-，即1≤-a x ，即11+≤≤-a x a .故⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-,211,311a a 解得3421≤≤-a ，即实数a 的取值范围是.34,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-………………(10分)高三数学（理）参考答案第21页（共21页）。

高考理科数学第一轮复习测试题6

(时间：40分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝________.解析由弦切角定理得， ∠MCA ＝∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC AB ＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55.答案552．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝45°，则∠AEC ＝________.解析如图，连接BC ，由圆周角定理推论2知，∠ACB ＝90°. ∵∠ACD ＝60°，∴∠DCB ＝30°，的度数＝60°.∴∠ADC ＝45°，∴ 的度数＝90°. ∴∠AEC ＝12( )的度数＝75°.答案 75°3．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点．AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，∠DAB ＝80°，则∠ACO ＝________.解析 ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD . 由此得，∠ACO ＝∠CAD ，∵OC ＝OA ，∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠CAD ＝∠CAO ，故AC 平分∠DAB .∴∠CAO ＝40°，又∵∠ACO ＝∠CAO ，∴∠ACO ＝40°. 答案 40°4．如右图所示，已知⊙O 的直径与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC ＝5，则⊙O 的半径为________．解析如图，连接OC ，则有∠COP ＝60°， OC ⊥PC ，可求OC ＝53 3.答案533 5．(2011·深圳模拟)如图，P 是等边三角形ABC 外接圆上任一点，AP 交BC 于点D ，AP ＝4，AD ＝2，则AC ＝________.解析如图，连接PC 、PB ，在等边三角形A BC 中，有∠ABC ＝∠ACB ＝60°，又∠ABC ＝∠APC ，所以∠ACB ＝∠APC . 而∠P AC 是公共角，所以△APC 和△ACD 相似，所以AC AP ＝AD AC，即AC 2＝AP ·AD ＝4×2＝8，即AC ＝2 2. 答案 2 26．(2011·东莞调研)如图，P A 、PB 是圆O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在圆O 上，如果∠P ＝50°，那么∠ACB ＝________.解析连接OA 、OB ，因为P A 、PB 是圆O 的切线，所以∠OBP ＝∠OAP ＝90°，又因为∠P ＝50°，所以∠AOB ＝130°，所以∠ACB ＝65°. 答案 65°7．(2011·汕头调研)如图，已知P A 是圆O (O 为圆心)的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，AC ＝3，∠P AB ＝30°，则圆O 的面积为________．解析连接OA ，由∠P AB ＝30°，得∠OCA ＝∠OAC ＝30°，由余弦定理得，AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC cos 120°＝3OA 2， OA ＝13AC ＝1，因此圆O 的面积等于π×12＝π. 另解由∠P AB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，在Rt △ABC 中， AC ＝3，∴CB ＝2，∴OC ＝1，因此圆O 的面积等于π×12＝π. 答案 π8．(2011·韶关调研)如图所示，CA 和CB 都是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，如果⊙O 的半径为23，且AB ＝6，则∠ACB ＝________.解析如图，连接OC 交于AB 于点D .∵CA 、CB 分别是 ⊙O 的切线，∴CA ＝CB ，OC 平分∠ACB ，故OC ⊥AB . 由AB ＝6，可知BD ＝3，在Rt △OBD 中，OB ＝23，故sin ∠BOD ＝BD OB ＝323＝32，所以∠BOD ＝60°，又因为B 是切点，故OB ⊥BC ，所以∠OCB ＝30°.故∠ACB ＝60°. 答案 60°二、解答题(共20分)9．(10分)如右图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 为圆O 的切线，B 、D 为切点． (1)求证：AD ∥OC ；(2)若圆O 的半径为1，求AD ·OC 的值． (1)证明如图所示，连接OD ，BD ， ∵BC ，CD 为⊙O 的切线，∴BD ⊥OC ， ∴又AB 为圆O 的直径，∴AD ⊥DB ， ∴AD ∥OC .(2)解因为AO ＝OD ，则∠1＝∠A ＝∠3，Rt △BAD ∽Rt △COD ，∴AD OD ＝ABOC ，即AD ·OC＝AB ·OD ＝2.10．(10分)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)解因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD ＝AE AC ，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE .故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE .则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.。

高考理科数学第一轮复习测试题5

(时间：40分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD ＝45，则CD ＝________，BC ＝________.解析在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得AC ＝5，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理CD 2＝AD ·BD ＝4×94＝9，∴CD ＝3.又由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154.答案 31542．(2011·揭阳模拟)如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则EC ＝________.解析依题意得，△ADB ∽△ACE ，∴AD AC ＝AB AE ，则AD ·AE ＝AC ·AB ，即得AD (AD ＋DE )＝AC ·AB ，∴DE ＝6×4－93＝5，∴DB ＝AB 2－AD 2＝7，由DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·AC AD ＝27. 答案 273．(2011·茂名模拟)如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________.解析 ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF，∴4EF ＝BC BC －BF ，BC BF ＝12EF， ∴4(BC －BF )＝12BF ，∴BC ＝4BF ， ∴BC BF ＝14＝12EF ，∴EF ＝3. 答案 34．(2011·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BFFC＝________.解析如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在三角形BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为三角形BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.答案 125．如图所示，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ，又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13.故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶3. 答案 1∶36．如图，AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，AH 交BF 于M ，则BM＝________，CG ＝________.解析 ∵AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，∴AB AD ＝14，BM DH ＝ABAD .∴BM 16＝14，∴BM ＝4. 取BC 的中点P ，作PQ ∥DH 交EH 于Q ，如图，则PQ 是梯形ADHE 的中位线， ∴PQ ＝12(AE ＋DH )＝12(12＋16)＝14.同理：CG ＝12(PQ ＋DH )＝12(14＋16)＝15.答案 4 157．已知在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ，S △FCD ＝5，BC ＝10，则DE ＝________. 解析过点A 作AM ⊥BC 于M ，由于∠B ＝∠ECD，且∠ADC ＝∠ACD ，得△ABC 与△FCD 相似，那么S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4又S △FCD ＝5，那么S △ABC ＝20，由于S △ABC ＝12BC ·AM ，由BC ＝10，得AM ＝4，又因为DE ∥AM ，得DE AM ＝BD BM ，∵DM ＝12DC ＝52，因此DE 4＝55＋52，得DE ＝83.答案 838．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .若DB ＝9，则BM ＝________.解析 ∵E 是AB 的中点， ∴AB ＝2EB .∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形．∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ， ∴△EDM ∽△FBM .∴DM BM ＝DEBF.∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF . ∴DM ＝2BM .∴BM ＝13DB ＝3.答案 3二、解答题(共20分)9．(10分)如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E ，求证：(1)△ABC ≌△DCB ； (2)DE ·DC ＝A E ·BD .证明 (1)∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD . ∵AB ＝DC ，BC ＝CB ， ∴△ABC ≌△D CB . (2)∵△ABC ≌△DCB .∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB . ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ， ∠EAD ＝∠ABC .∴∠DAC ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB . ∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC . ∴∠EDA ＝∠DBC ， ∴△ADE ∽△CBD . ∴DE ∶BD ＝AE ∶CD . ∴DE ·DC ＝AE ·BD .10．(10分)已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC .证明设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23.又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°. ∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD FB.∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°， ∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC .。

高考理科数学第一轮复习测试题7

(时间：40分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．(2011·广东广雅中学5月模拟)如图所示，PB ，PD 是半径为5的圆的两条割线，PB ，PD 分别与圆交于点A 、C ，已知P A ＝4，AB ＝2，PC ＝3，则该圆圆心到弦CD 的距离为________．解析由题意得，P A ·PB ＝PC ·PD ，即4×(4＋2)＝3×(3＋CD )，解得CD ＝5，∴该圆圆心到弦CD 的距离为52－⎝⎛⎭⎫522＝532.答案5322．如图所示，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D ，E 分别是CA ，CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则AB ＝________.解析设BC ＝AD ＝x ，由割线定理，得CA ·CD ＝CB ·CE ，即4(4＋x )＝x (x ＋10)，解得x ＝2，因为AC 是小圆的直径，所以AB ＝AC 2－BC 2＝2 3. 答案 2 33．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝72°，⊙O 过A 、B 两点且与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连接BD ，若B C ＝5－1，则AC ＝________.解析由题易知，∠C ＝∠ABC ＝72°， ∠A ＝∠DBC ＝36°，所以△BCD ∽△ACB ，又易知BD ＝AD ＝BC ，所以BC 2＝CD ·AC ＝(AC －BC )·AC ，解得AC ＝2. 答案 24．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm,4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于D ，则BDDA＝________.解析 ∵∠C ＝90°，A C 为圆的直径， ∴BC 为圆的切线，AB 为圆的割线，∴BC 2＝BD ·AB ，即16＝BD ·5，解得BD ＝165，∴DA ＝BA －BD ＝5－165＝95，∴BD DA ＝169.答案1695．如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为________．解析过A 作AD ⊥l 于D ，由AB 是圆O 直径，∴∠ACB ＝90°，由l 是圆的切线，∴∠ABC ＝∠ACD ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝AC AB ，∴AD ＝AC 2AB ＝AB 2－BC 2AB ＝92. 答案 926．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB P A ＝12，PCPD ＝13，则BCAD的值为________．解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△P AD ，∴PB PD ＝PC P A ＝BC DA ，∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 答案667．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，AD ＝DE ，AB ＝10，BD ＝8，则sin ∠BCE ＝________.解析连接BE ，则在△ABD 和△BCE 中，∠ADB ＝∠BEC ＝90°，且∠ABD ＝∠CBE ，所以∠DAB ＝∠ECB ，故sin ∠BCE ＝sin ∠DAB ＝BD AB ＝45.答案 458．如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，圆心P 在⊙O 上，⊙O 的弦BC 切⊙P 于点B ，CP 及其延长线交⊙P 于D 、E 两点，过点E 作EF ⊥CE ，交CB 的延长线于点F .若CD ＝2，CB ＝22，则由四点B 、P 、E 、F 所确定圆的直径为________．解析连接PB .∵BC 切⊙P 于点B ，∴PB ⊥BC .又∵EF ⊥CE ，且∠PCB ＝∠FCE ，∴Rt △CBP ∽Rt △CEF ，∴∠EPB ＋∠EFB ＝180°，∴四点B ，P ，E ，F 共圆，又∵EF ⊥CE ，PB ⊥BC ，∴四点B 、P 、E 、F 所确定圆的直径就是PF .∵BC 切⊙P 于点B ，且CD ＝2，CB ＝22，∴由切割线定理得CB 2＝CD ·CE ，∴CE ＝4，DE ＝2，∴BP ＝1.又∵Rt △CBP ∽Rt △CEF ，∴EF BP ＝CECB，得EF ＝ 2.连接PF ，则在Rt △FEP 中，PF ＝PE 2＋EF 2＝3，即由四点B ，P ，E ，F 确定圆的直径为 3. 答案3二、解答题(共20分)9．(10分)如图，△A BC 是直角三角形，∠ABC ＝90°.以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点．连结OD 交圆O 于点M .(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； (2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB . 证明 (1)如图，连结OE 、BE ，则BE ⊥EC又∵D 是BC 的中点， ∴DE ＝BD .又∵OE ＝OB ，OD ＝OD ，∴△ODE ≌△ODB ， ∴∠OBD ＝∠OED ＝90°. ∴D ，E ，O ，B 四点共圆． (2)延长DO 交圆O 于点H . 由(1)知DE 为圆O 的切线，∴DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ，[来源:学.科.网Z.X.X.K]∴DE 2＝DM ·⎝⎛⎭⎫12AC ＋DM ·⎝⎛⎭⎫12AB ， ∴2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB .10．(10分)(2011·银川模拟)如图，点A 是以线段BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，连接并延长AF 与CB 的延长线相交于点P .[来源:学&科&网][来源:学#科#网Z#X#X#K](1)求证：BF ＝EF ； (2)求证：P A 是⊙O 的切线．证明 (1)∵BE 是⊙O 的切线，∴EB ⊥BC . 又∵AD ⊥BC ，∴AD ∥BE .可以得知△BFC ∽△DGC ，△FEC ∽△GAC ， ∴BF DG ＝CF CG ，EF AG ＝CF CG ，∴BF DG ＝EF AG ，又∵G 是AD 的中点， ∴DG ＝AG ，∴BF ＝EF .(2)如图，连接AO ，AB .[来源:学科网ZXXK]∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在Rt △BA E 中，由(1)得知F 是斜边BE 的中点，[来源:] ∴AF ＝FB ＝EF . ∴∠FBA ＝∠F AB .又∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO . ∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBO ＝90°.∴∠EBO ＝∠FBA ＋∠ABO ＝∠F AB ＋∠BAO ＝∠F AO ＝90°，∴P A 是⊙O 的切线．。

高三一轮复习数列周测卷

高三理科数学周测卷（数列）（11.7）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是 ( )A ．15B ．30C ．31D ．642．数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．203．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于 ( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1 4．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则 ( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝15．由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项( )A.34103B ．100C.1100D.11046．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于 ( )A ．9B ．8C ．7D ．67．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于 ( )A ．13B ．10C ．9D ．68．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于 ( )A ．6B ．7C ．8D ．99. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( )A ．0B.16C.13D.1210. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为 ( )A.100101B.99101C.99100D.10110011．在△ABC 中，tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则B 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3B.⎝⎛⎦⎤0，π6∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6C.⎣⎡⎭⎫π6，π2D.⎣⎡⎭⎫π3，π212．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是 ( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝________.14．在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.15．数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则{a n }的通项公式a n ＝________.16.在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n =_______时，S n 取得最大值，三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求数列{a n }的通项公式．18．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．19．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且向量a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)求数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1na n 的前n 项和T n .20．(12分)设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.21．(12分)已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ，求T 2 012；(3)若c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n .参考答案：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACCBCBDAAADD13．624 解析 a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .∴(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝24， ∴n ＋1＝25，∴n ＝624. 14．52解析 ∵ log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.15.答案 n (n －1)解析由已知，得a n ＋1－a n ＝2n ，故a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝0＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n (n －1)．∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52.16.解 (1)方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653. ∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，方法二同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.17．解 ∵a 3＋a 13＝2a 8，a 3＋a 8＋a 13＝12，∴a 8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 13＝8，a 3a 13＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a 13＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7，a 13＝1.…………………………………………………………(7分)由a 3＝1，a 13＝7，可知d ＝a 13－a 313－3＝7－110＝35.故a n ＝a 3＋(n －3)·35＝35n －45；……………………………………………………………(9分)由a 3＝7，a 13＝1，可知d ＝a 13－a 313－3＝1－710＝－35.故a n ＝a 3＋(n －3)·⎝⎛⎭⎫－35 ＝－35n ＋445.……………………………………………………………………………(11分)综上可得，a n ＝35n －45，或a n ＝－35n ＋445.……………………………………………(12分)18. 思维启迪：(1)由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1转化成a n 与a n ＋1的递推关系，再构造数列{a n －1}．(2)由c n 求a n 再求b n .(1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∵首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)解由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 19．(1)证明 ∵a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线，∴n (n ＋3)－4S n ＝0，∴S n ＝n (n ＋3)4.……………………………………………………(3分)∴a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋12，……………………………………………………(5分)又a 1＝1满足此式，∴a n ＝n ＋12.………………………………………………………(6分)∴a n ＋1－a n ＝12为常数，∴数列{a n }为首项为1，公差为12的等差数列．………………………………………(7分)(2)解 ∵1na n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，…………………………………………………(9分)∴T n ＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n.＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.……………………………………(12分)20. 思维启迪：(1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积，可用错位相减法．解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n .∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，③∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )，即2S n ＝n ·3n ＋1－3(1－3n)1－3，∴S n ＝(2n －1)3n ＋14＋34.21. 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.[4分]所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .[6分](2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，[8分] 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)[10分]＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).[12分]22.解 (1)当n ＝1时，a 1＝13，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，所以a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝⎛⎭⎫13n.(2)由已知可得f (a n )＝log 3⎝⎛⎭⎫13n＝－n ，则b n ＝－1－2－3－…－n ＝－n (n ＋1)2，故1b n ＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，又T n ＝－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1，所以T 2 012＝－4 0242 013.(3)由题意得c n ＝(－n )·⎝⎛⎭⎫13n ，故U n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝－⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫131＋2×⎝⎛⎭⎫132＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ，则13U n ＝－⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫132＋2×⎝⎛⎭⎫133＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，两式相减可得 23U n ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫131＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝－12＋12·⎝⎛⎭⎫13n ＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，则U n ＝－34＋34·⎝⎛⎭⎫13n ＋32n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1.。

高考理科数学第一轮复习测试题9

(时间：40分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．已知直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则极点到该直线的距离是________．解析由题意知，ρsin θ＋ρcos θ＝1，∴x ＋y －1＝0，由点到直线的距离公式得所求的距离d ＝22. 答案222．(2011·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝⎛⎭⎫4，π6到圆心C 的距离是________．解析将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A ⎝⎛⎭⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为0－232＋2－2 2＝2 3. 答案 2 33．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－22sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析由ρ＝6cos θ－22sin θ⇒ρ2＝6ρcos θ－22ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋22y ＝0，将其化为标准形式为(x －3)2＋(y ＋2)2＝11，故圆心的坐标为(3，－2)，所以过圆心且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3. 答案 ρcos θ＝34．(2011·华南师大模拟)在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎫4，π3到曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋32＝2.答案 25．(2011·广州广雅中学模拟)在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝8的距离的最大值是________．解析把ρ＝4化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝16，把ρ(cos θ＋3sin θ)＝8化为直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d ＝82＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8. 答案 86．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2. 答案27．(2011·湛江模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2＋2ρcos θ＝0，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π2过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切值是________．解析圆C 的极坐标方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x ＋1)2＋y 2＝1，点P 的直角坐标为(0,2)，圆C 的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2，则圆心到切线的距离为|－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34，即tan α＝34.易知满足题意的另一条切线的方程为x ＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为43.答案 438．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径即可，即|3×1＋4×－2 ＋m |5＞1，|m －5|＞5，解得，m ＜0，或m ＞10.答案 (－∞，0)∪(10，＋∞) 二、解答题(共20分)9．(10分)设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ－⎝⎛⎭⎫π2≤θ≤π2，它表示圆心在点⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12的圆．10．(10分)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆 C 以M 为圆心、4为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)试判定直线l 和圆C 的位置关系．解 (1)由题意，直线l 的普通方程是y ＋5＝(x －1)tan π3，此方程可化为y ＋5sin π3＝x －1cos π3，令y ＋5sinπ3＝x －1cos π3＝a (a 为参数)，得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12a ＋1，y ＝32a －5(a 为参数)．如图，设圆上任意一点为P (ρ，θ)，则在△POM 中，由余弦定理，得PM 2＝PO 2＋OM 2－2·PO ·OM cos ∠POM ，∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π2. 化简得ρ＝8sin θ，即为圆C 的极坐标方程． (2)由(1)可进一步得出圆心M 的直角坐标是(0,4)，直线l 的普通方程是3x －y －5－3＝0，圆心M 到直线l 的距离d ＝|0－4－5－3|3＋1＝9＋32＞4，所以直线l 和圆C 相离．。

高考理科数学第一轮复习测试题3

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案 D2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是()．A．2k＋2 B．2k＋3C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3)解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k ＋2)＋(2k＋3)．答案 D3．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．答案 D4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k ＋1时的情况，只需展开()．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．答案 A5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )．A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22[来源:学.科.网] D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2；∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)27．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不等式是________．解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2. 答案 1＋12＋13＜2 8．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n (n ∈N *)行，在这些数中非1的数字之和是________________．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1…解析所有数字之和S n ＝20＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，除掉1的和2n －1－(2n －1)＝2n －2n . 答案 2n －2n三、解答题(共23分)9．(11分)试证：当n ∈N *时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．证明法一 (1)当n ＝1时，f (1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除．当n ＝k ＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k ＋1)－9 ＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)，即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)、(2)可知，对于任意n ∈N *，命题都成立．法二 (1)当n ＝1时f (1)＝64命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除．由归纳假设，设32k ＋2－8k －9＝64m (m 为大于1的自然数)，将32k ＋2＝64m ＋8k ＋9代入到f (k ＋1)中得， f (k ＋1)＝9(64m ＋8k ＋9)－8(k ＋1)－9＝64(9m ＋k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)(2)知，对于任意n ∈N *，命题都成立．10．(12分)已知数列{a n }中，a 1＝a (a ＞2)，对一切n ∈N *，a n ＞0，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1). 求证：a n ＞2且a n ＋1＜a n .证明法一 ∵a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)＞0， ∴a n ＞1，∴a n －2＝a 2n －12(a n －1－1)－2＝(a n －1－2)22(a n －1－1)≥0， ∴a n ≥2.若存在a k ＝2，则a k －1＝2，[来源:学。

高考理科数学第一轮复习测试题8

(时间：40分钟满分：60分)1．已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B .若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标．解 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2. 设A (a ，b )，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A (－2,3)．2．(2011·扬州调研测试)已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M . 解设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 324.3．(2011·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 11－11对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．解设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－11对应的变换作用下得到点Q (x ，y )．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y . 解得⎩⎨⎧x 0＝x －y2，y 0＝x ＋y2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y 2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.4．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求其另一个特征值．解矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1，由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1. 5．求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112的特征值及对应的特征向量．解特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3.由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量．同理，当λ2＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 2有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．解法一在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)． A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′. 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)．由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2 －－2b －4＝0，－2a －－8 －4＝0.解得a ＝2，b ＝3.法二设P (x ，y )为直线x ＋y ＋2＝0上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b4对应的变换作用下得到点Q (x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎝⎛⎭⎫xy ＝⎝⎛⎭⎫x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＝x ′，bx ＋4y ＝y ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4x ′＋ay ′，y ＝bx ′－y ′ab －4.因此－4x ′＋ay ′ab －4＋bx ′－y ′ab －4＋2＝0，即(b －4)x ′＋(a －1)y ′＋(2ab －8)＝0.因为直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0.所以b －41＝a －1－1＝2ab －8－4.解得a ＝2，b ＝3.。

高考理科数学第一轮复习测试题16

A 级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列命题中的假命题是( )． A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0解析对于A ，当x 0＝1时，lg x 0＝0正确；对于B ，当x 0＝π4时，tan x 0＝1，正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0错误；对于D ，∀x ∈R,2x ＞0，正确．答案 C2．(2012·杭州高级中学月考)命题“∀x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( )． A ．∃x 0＞0，x 20＋x 0＞0 B ．∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0 C ．∀x ＞0，x 2＋x ≤0D ．∀x ≤0，x 2＋x ＞0解析根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0. 答案 B3．(★)(2012·郑州外国语中学月考)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )． A ．0＜a ≤1 B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0解析 (筛选法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C. 答案 C4．(2012·合肥质检)已知p ：|x －a |＜4；q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )． A ．a ＜－1或a ＞6 B ．a ≤－1或a ≥6 C ．－1≤a ≤6D ．－1＜a ＜6解析解不等式可得p ：－4＋a ＜x ＜4＋a ，q ：2＜x ＜3，因此綈p ：x ≤－4＋a 或x ≥4＋a ，綈q ：x ≤2或x ≥3，于是由綈p 是綈q 的充分不必要条件，可知2≥－4＋a 且4＋a ≥3，解得－1≤a ≤6. 答案 C5．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( )．A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数解析对于A 只有在a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则f (x )为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f (x )＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f (x )是偶函数．答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·西安模拟)若命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析因为“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2. 答案－22≤a ≤227．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x ＞1，若綈q 且p 为真，则x 的取值范围是________．解析因为綈q 且p 为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3，所以x 的取值范围是x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 故填(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)8．(2012·南京五校联考)令p (x )：ax 2＋2x ＋a ＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵对∀x ∈R ，p (x )是真命题． ∴对∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋a ＞0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2＜0，∴a ＞1. 答案 a ＞1三、解答题(共23分)9．(11分)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题． p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1，所以命题p ：a ≤1；q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f (x 0)＝0，只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2，所以命题q ：a ≥1或a ≤－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2得a ＝1或a ≤－2 ∴实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2. 10．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假． (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|＞0.解 (1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．B 级综合创新备选 (时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分) 1．下列命题错误的是( )．A ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 解析依次判断各选项，易知只有C 是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案 C2．(★)(2011·广东广雅中学模拟)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0.q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )． A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2]D ．[－1,1]解析 (直接法)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假，得∀x ∈R ，mx 2＋2＞0，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假，得∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1. 答案 A【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法. 二、填空题(每小题4分，共8分)3．命题“∃x 0∈R ，x 0≤1或x 20＞4”的否定是______________．解析已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．答案 ∀x ∈R ，x ＞1且x 2≤44．(2012·太原十校联考)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫56，＋∞ 三、解答题(共22分)5．(10分)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0.如果对∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.又∵对∀x ∈R ，当s (x )为真命题时，即x 2＋mx ＋1＞0恒成立有Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2.∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2.当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2.6．(12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．解由命题p 知：0＜c ＜1.由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52要使此式恒成立，则2＞1c ，即c ＞12.又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12.当p 为假，q 为真时，c ≥1.综上，c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪0＜c ≤12或c ≥1.。

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高三理科数学试题五
一、选择题(本大题共12小题；每小题5分，共60分)
1.已知函数/(x) = lg(l-x)的定义域为M,函数y =丄的定义域为N,则McN=( )
A. B. {x|x<lfixO}
C. {x | x > 1}
2.等比数列{色}的各项均为正数，口。

5心=+，则虫3雀+ 30城+弭( )
A.5
B. —5
C.—
D.—
3 3
3.若直线Q+勿一l=0(Q,bw(0,+oo丿丿平分圆x2-ky2-2x-2y-2 = 0f则丄+ ?的最
a b
小值是( )A. 4A/2 B. 3 + 2>/2 C. 2 D. 5 4•函数/(x) = As i rv^x+(/))(A > 0, Q>0, |0|v—) 的部分图象如图示，则将y = /(兀)的图象向右平移?
6 个单位后，得到图象解析式为( )
A. y = sin 2x
B. y = cos2x
5•已知向量o =(兀一12)上=(4』),若a丄4 则9A +3y的最
小值为( )
6.对于直线昭斤和平面a,卩,丫 ,有如下四个命题：
⑴若m// a » m丄n,则ri丄Q (2)若m丄a » m丄n,贝lJn〃Q
(3)若a 丄0, 了丄0,则a // Y (4)若m 丄a, m〃n, n U0,则a 丄0
其中真命题的个数是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y = -(x>0)图彖下
X
方的阴影部分区域，则阴影部
分E的面积为( )
A. In 2
C. 2 — In 2
71
C. y - sin(2x + —)
D. y = sin(2x ------ )
6
I
/
y n\.詁
/o
D. {x| x< 1}
A. 2
B. 2A/3
C. 6
D. 9
B. l-ln2
D. 1 + In 2
&已知函数/(劝是R上的偶函数，若对于x>0 ,都有/(x + 2) = /(x),且当
x e [0,2)0^, /(x) = log2(x+1),则 /(—2011) + /(2010 的值为( )
A. ~2
B.-l
C. 1
D. 2
9.在\ABC中，P是BC边屮点，角A,B,C的对边分别是a,b,c ,若
c A G a PrA bQ,则AABC的形状为( )
A.等边三角形
C.直角三角形
B.钝角三角形
D.等腰三角形但不是等边三角形
10.已知圆C：X2 +y2 -2mx+^y-\-irr =0(m>0)及直线/ ：x+y + 3 = 0,当直线/被圆C截得的弦长为2^/3时,m的值等于( )
A.^2
B.V2-1
C.2-V2
D. >/2 + 1 11 •己知/(兀)=a x~2, g(«x) =
lo&W(a>0,aH1),若/(4)・ g(-4) <0,则
y = f(x).y = g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )
2 2
12.在平面直角坐标系心中，£,鬥分别为椭圆千+务
7
C分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D,若COSZ斥册则
二、填空题：(共16分)
13.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、
侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸(单位：
cm),可得这个儿何体的体积是▲。

直线CD的斜率为( )
13门12门9
A.—— C —
252525
= l(°>b>0)的左、右焦点，B,
y
jr
14.函数y = 2sin(—— x),兀w (0,2龙)的单调递增区间为__________
15.已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为_____________________
4
2x-y + 2>0
16.设实数满足约束条件< 8x-y-4<0,若目标函数z = ^ +評>0,b〉0)的最大值
x>0,y>0 "
为9,贝I] d=y/4a + b的最小值为______________________ .
三、解答题.本大题共6个小题，共74分.
17.(本小题满分12分)
已知向&m = (2cos1 2 x, A/3),n = (1, sin 2x),函数/(x) = m• n.
(1)求函数于(兀)的对称中心;
(2)在中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且f(C) = 3,c = \,ab = 2品,且
已知数列｛匕｝是各项均为正数的等比数列
18.(本小题满分12分)
1 求数列｛色｝的通项公式；
2设"=£・ log2a n ,求数列｛$｝的前n项和s“・
19.如图，四棱锥P-ABCD屮，底面ABCD为菱形，PA丄底面ABCD, AC=2^2 , PA=2,
(I )证明：PC丄平面BED；
(Il)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
20、椭圆茸+斗= i（G>〃>0）与直线x+y = 1交于P、Q两点，且OP丄OQ,其屮0
a2 b2
为坐标原点.
（1）求丄+亠的值；
cr
（2）若椭圆的离心率0满足旦*耳,求椭圆长轴的取值范围.
3 2
21.（木小题满分13分）
已知函数/（Q=E+ G（QW R）.
x
（1）求/（兀）的极值;
（2）若函数/（兀）的图象与函数g（x） = 1的图象在区间（0, 上有公共点，求实数。

的取值范围.
22.（本小题满分14分）
设椭圆C：= l（a>h> 0丿的一个顶点是（0,V2 ) Fi. F2分别是椭圆的左、右
焦点，离心率^ =—,过椭圆右焦点F2的直线/与椭圆C交于M、N两点.
3
（1）求椭圆C的方程；
⑵是否存在直线/,使得ON = —\,若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明
理由;
（3）若AB是椭圆C经过原点0的弦，MN〃AB,求如型1的值.
\MN\。