数列求和题型

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已知an求sn的题型及方法

已知an求sn的题型及方法
求数列的前n项和是常见的题型，下面是一些常见的题型和解题方法：
1. 等差数列求和：
- 已知数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。

- 求前n项和 $S_n$ 的公式为：
$S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right)$
2. 等比数列求和：
- 已知数列的通项公式为 $a_n = a_1 \times q^{(n-1)}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比。

- 求前n项和 $S_n$ 的公式为：
$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$
当 $q \neq 1$ 时。

$S_n = n a_1$
当 $q = 1$ 时。

3. 错位相减法：
- 适用于等差数列与等比数列相乘的形式，例如数列 $a_n = a \times b^n$。

- 通过错位相减法，将原数列拆分为两个等差数列或等比数列，然后分别求和。

4. 分组求和法：
- 当数列的通项公式比较复杂时，可以将前n项分成若干组，每组内部求和，然后再求各组的和。

5. 裂项相消法：
- 适用于形如 $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ 的数列。

- 通过裂项将原数列拆分成易于求和的形式，然后利用部分分式的性质求和。

6. 倒序相加法：
- 适用于某些特殊的数列，通过将数列倒序排列，利用对称性质求和。

7. 数学归纳法：
- 对于一些难以直接求和的数列，可以考虑使用数学归纳法来证明前n项和的公式。

数列求和5种常考题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

数列求和5种常考题型总结【题型目录】题型一：分组求和法题型二：裂项相消法求和题型三：错位相减法求和题型四：先求和，再证不等式题型五：先放缩，再求和【典型例题】【例1】已知数列{}n a 的前n 项和1*44(N )33n n S n +=-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【例2】已知各项均为正数的数列{}n a 中，11a =且满足221122n n n n a a a a ++-=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足213n n S b +=.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若在k b 与1k b +之间依次插入数列{}n a 中的k 项构成新数列{}1122334564:,,,,,,,,,,n c b a b a a b a a a b ，求数列{}n c 中前40项的和40T .【例3】设n S 是各项为正的等比数列{}n a 的前n 项的和，且*2334N S a n ∈=，=，．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 的任意k a 与1k a +项之间，都插入()*N k k ∈个相同的数()1kk -，组成数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项的和为n T ，求100T 的值．【题型专练】1.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，若111a b ==，22331a b a b -=-=．(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n n S S a +=++，请在①4713a a +=；②137,,a a a 成等比数列；③1065S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n b a -是公比为2的等比数列，13b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.4.已知等差数列{}n a 满足121,21n n a a a ==+，设2n an b =.(1)求{}n b 的通项公式，并证明数列{}n b 为等比数列；(2)将1b 插入12,a a 中，23,b b 插入23,a a 中，456,,b b b 插入34,a a 中，，依此规律得到新数列1122334564,,,,,,,,,,a b a b b a b b b a ，求该数列前20项的和.题型二：裂项相消法求和【例1】首项为4的等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，其中546S S S 、、成等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；100【例2】已知数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和n S 满足2343n n n nS a S a =--．(1)求实数λ的值，使得{}2n S λ+是等比数列；(2)设13n n n n b S S +=，求数列{}2n b 的前n 项和．【解析】(1)当1n =时，111823a a a =-，11S a =，解得22118S a ==；当2n ≥时，把1n n n a S S -=-代入题设条件得:22198n n S S -=+，即()221191nn S S -+=+，很显然}{21n S +是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，∴1λ=；(2)由（1）知{}21n S +是首项为21190S +=≠，公比9q =的等比数列，所以291nnS =-，()()()()()()1211191919111188919919199111n nnnn n n n n n b ++++---⎛⎫==⨯=- ---⎝---⎭．故数列{}2n b 的前n 项和为：2221122334112111111111111891919191919191918891n n n n b b b ++⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=- ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭.【例3】数列{}n a 的前n 项和n S ，342n n S a =-.(1)求n a ；(2)令2log 1n n b a =，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T .）问的结论以及对数的运算性质，再利用裂项相消法进行求解【例4】（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知等差数列{}n a 的首项10a >，记数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈，且数列为等差数列.(1)证明：数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列；(2)设数列11n n n a S a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()*N n T n ∈，求{}n T 的通项公式.【例5】已知数列{}n a 满足1n a +=11a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)1n c a a =+，n S 是数列{}n c 的前n 项和，求n S ．【题型专练】1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知53227S S S -=-，且12,1,a a -成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；2．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设4n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.3.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且1a ，2a ，6a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】(1)等差数列{}n a 中，324214a a a =+=，解得37a =，因1a ，2a ，6a 成等比数列，即2216a a a =，设{}n a 的公差为d ，于是得()()()277273d d d -=-+，整理得230d d -=，而0d ≠，解得3d =，所以()3332n a a n d n =+-=-.(2)由（1）知，()()1111()323133231n b n n n n ==--+-+，所以111111[(1)()()]34473231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+--+11(1)33131nn n =-=++.4.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，且13n n S a +=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n c 满足________，记n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：2n T <．从①211(1)(2)n n n n c a a a +++--=②221log n n n a c a ++=两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.【解析】(1)13n n S a +=- ①，当1n =时，123a a =-，24a ∴=；当2n ≥时，13n n S a -=-②①-②得，即12n n a a +=又2142a a =≠，∴数列{}n a 是从第2项起的等比数列，即当2n ≥时，2222n nn a a -=⋅=．1,1,2, 2.n n n a n =⎧∴=⎨≥⎩．(2)若选择①：()()()()()()2211111122211212212121222121n n n n n n n n n n n n a c a a ++++++++⋅⎛⎫====- ⎪--------⎝⎭，2231111111121212212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭．若选择②122n n n c ++=，则23134122222nn n n n T +++=++++ ③，34121341222222n n n n n T ++++=++++ ④，③-④得341212131112311212422224422n n n n n n n T ++-+++⎛⎫⎛⎫=++++-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，14222n n n T ++∴=-<．5．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且()21n S n n =+，记221(1)nn n n na b a a +=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2021T .【解析】(1)()112n S n n =+，当1n =时，111212S =⨯⨯=；当2n ≥，n *∈N 时，()1112n S n n -=-，()()1111122n n n a S S n n n n n -=-=+--=.当1n =时也符合,()n a n n N *∴=∈.(2)()()()()()()221212111111111nn n n n n n n n n a n b a a n n n n n n ++++⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪++++⎝⎭202111111111 (122)33420212022T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111112023=1 (1223342021202220222022)--++--+--=--=-.题型三：错位相减法求和【例1】已知数列{}n a 满足12a =，且11220n n n n a a a a +++⋅-=，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，n S 为{}n b 的前n 项和，满足14b a =，378S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设nnb C a =，记数列{}n C 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.【例2】已知各项均不为零的数列{}n a 满足()1212320n n n n n a a a a a ++++-+=，且11a =，23a =，设1n n nb a a +=-.(1)证明：{}n b 为等比数列；(2)求1n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【例3】已知数列{}n a 的首项*112,322,N n n a a a n n -==+≥∈.(1)求n a ；(2)记()3log 1n n n b a a =⋅+，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .【例4】已知各项为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，若()214n n S a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设3nn na b =，且数列{}n b 前n 项和为n T ，求证：1n T <．【例5】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*22N n n S a n =-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令4n n b a n =-，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【题型专练】1．若公比为c 的等比数列{}n a 的首项11a =且满足12(3,4,)2n n n a a a n --+==⋅⋅⋅．(1)求c 的值；(2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,121n n S a +=-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设(21)n n b n a =-,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若存在*n ∈N 且2n ≥,使得2(1)(1)(1)n T n n n λ-≤-+成立,求实数λ的最小值.3．已知数列{}n a 前n 项和为12,n S a =，且满足()*1,N 2n n S a n n +=+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()211n n b n a =--，求数列{}n b 的前n 项和n T .4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，()121n n a S +=+.(1)证明：{}n a 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析，123n n a -=⨯（*n ∈N ）5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，426S =．正项等比数列{}n b 中，12b =，2312b b +=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【答案】(1)31n a n =-，2nn b =，(2)()13428n n T n +=-+【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可；（2）由错位相减法求解即可(1)设等差数列的公差为d ，由已知得，4342262d ⨯⨯+=，解得3d =，所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-，即{}n a 的通项公式为31n a n =-；设正项等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，因为12b =，2312b b +=，所以()2212q q+=，所以260qq +-=，解得2q =或3q =-（负值舍去），所以2nn b =．(2)()312n n n a b n =-，所以()()1231225282342312n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以()()23412225282342312n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，相减得，()123412232323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅--()()211132122231212n n n -+⨯⨯-=⨯+---，所以()13428n n T n +=-+．题型四：先求和，再证不等式【例1】设n S 为数列{n a }的前n 项和，已知123n n S a a +=，且10a ≠．(1)证明：{n a }是等比数列；(2)若12341,21,a a a -+成等差数列，记32log 1n n b a =-，证明12231111n n b b b b b b ++++ ＜12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【例2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，___________，*n ∈N .在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.①22n n S a =-；②122222n n a a a n ++⋯⋯+=；③221232n n n a a a a +⋯⋯=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记(1)(1)n n a b a a =--，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n ∈N ，1n kT n>-，求实数k 的取值范围.项和，再将不等式恒成立问题转化求函数的最值问【例3】（2022江西丰城九中高二阶段练习）等差数列{}n a 中，前三项分别为,2,54x x x -，前n 项和为n S ，且2550k S =.(1)求x 和k 的值；(2)求n T =1231111nS S S S ++++ (3)证明:n T 1<【例4】（2022·浙江·高二期末）已知数列{}n a 满足114a =，134n n a a +=-.(1)证明数列{}2n a -为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)设()()()113131nnn nn a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*n ∈N ，使n m T ≥，求m 的取值范围.【题型专练】1．已知数列{}n a 满足：()2222*12323N n a a a n a n n n ++++=+∈ .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和()*N n ∈，求证：24n S ≤<.2.（2022陕西安康市教学研究室高一期末）已知数列{}n a 满足12a =，1(2)2(1)n n n a n a ++=+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：6n S <．3．已知数列{}n a 的首项13a =，()*1212,N n n a a n n -=+≥∈，()2log 1n n b a =+.(1)证明：{}1n a +为等比数列；(2)证明：1223111112n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<.【答案】(1)证明见解析4．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，342n n S a =-，(1)求数列{n a }的通项公式；(2)设33log 4n n a b =，n T 为数列12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.证明：12n T ≤<【答案】(1)143n n a -=⨯；(2)证明见解析.【分析】（1）利用,n n a S 关系及等比数列的定义求通项公式；，结合数列单调性即可证结论5.已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*N n ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b =，()132n n n b b a n -=+≥，（i ）证明：数列13nn b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（ii ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求380n n T n -⋅<-成立的n 的最小值.【答案】(1)()1*2·3n n a n -=∈N (2)（i ）证明见解析；（ii ）5【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求解；（2）11323n n n b b --=+⨯，两边除以13n -即可证明等差数列；利用错位相减法求n T ，解不等式即可求得n 的最小值.（1）31n n S =-，6．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列{}n a 满足(12122n n a a a a n -+++-=- 且)*N n ∈，且24a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列()()1211n n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：132<≤n T .【答案】(1)()*2n n a n =∈N (2)证明见解析【分析】（1）将已知条件与1212n n a a a a ++++-=- 两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；（2）利用裂项相消求和法求出n T 即可证明.（1）题型五：先放缩，再求和【例1】已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =，，当2n ≥时，()21212n n n S nS n n --=+-．(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求证：2222111123a a a a +++< ．【例2】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列{}n a 单调递增且12a >，前n 项和n S 满足2441n n S a n =+-，数列{}n b 满足212n n nb b b ++=，且123a a b +=，233b a +=.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)若1n c a b =，求证：123415n c c c c ++++< .【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()1202n n n a S S n -+=≥(1)求n a 和n S (2)求证：22221231124n S S S S n+++⋯+≤-．【例4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且214n n n S S a ++=+．(1)求n a ；(2)求证：121112111n a a a +++<+++ ．【答案】(1)()12n n a n -*=∈N (2)证明见解析【分析】（1）分析可知数列{}21k a -是首项为11a =，公比为4的等比数列，数列{}2k a 是首项为22a =，公比【题型专练】1.已知数列{}n a 满足：12a =，132n n a a +=-，n *∈N .(1)设1n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式；(2)设31323log log log n n T a a a =++⋅⋅⋅+，()n *∈N ，求证：()12n n n T ->.【答案】(1)13n n b -=(2)证明见解析2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 前n 项积为n T ，且*1()n n a T n +=∈N ．(1)求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)设22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，求证：112n n S a +>-．为以3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*322n n a S n n N =+∈.(1)证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的前n 项和为n S ；(2)设()31log 1n n b a +=+，证明：222121111nb b b ++⋅⋅⋅+<.【解析】(1)当1n =时，11322a S =+，即12a =由322n n a S n =+，则()1132212n n a S n n --=+-≥两式相减可得13223n n n a a a -=+-，即132n n a a -=+所以()1131n n a a -+=+，即1131n n a a -+=+数列{}1n a +为等比数列则()112133n n n a -+=+⨯=，所以31n n a =-则()()1231333333132nn n n n n S +--=+++-==--L (2)()1313log 1log 31n n n b a n ++=+==+()()2211111111n b n n n n n =<=+++所以2221211111111111122311n b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L4．已知数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+,n S 是1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.(1)求n S ；(2)若n T 为数列2n S n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和，求证：232n n T n >>+.。

数列求和的八种方法及题型

数列求和的八种方法及题型1、抽象加法法：把等差数列的元素抽象为某一个相同的数值（称为项数，式子为S），通过加法求出所求等差数列的和。

例题：这样一个等差数列：2、4、6、8……100，求这一数列的和是多少？答案：抽象加法法：元素个数n = 99，公差d = 2，首项a = 2。

由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 99*（2+100）/2 = 99*102/2 = 4950。

2、数值加法法：直接对元素逐一加法求和。

例题：计算这一等差数列的和：1、3、5、7……99？答案：数值加法法：元素个数n = 49，即：1+3+5+7+...+99=49*100/2=4900。

3、改编组合法：将数列改编为组合形式，将大式化简，从这个组合计算其和。

例题：求这一等差数列的和：2、5、8、11……99？答案：改编组合法：元素个数n = 48，公差d = 3，首项a = 2。

将其转换为组合：2+48d ，即2+(48*3)=150，由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 48*（2+150）/2 = 48*152/2 = 7344。

4、数表法：把数列列成表，统计其和。

例题：求这一等差数列的和：3、5、7、9……99？答案：数表法：数列：3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99和：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+ 45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83 +85+87+89+91+93+95+97+99=24505、立方法：一种特殊情形——这一数列两个元素的值等于这两个元素之间的位数的立方和。

数列求和的八种重要方法与例题

练习10：
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
1)求S20,S21 2)求Sn
=20 S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的思考方式：求和看通项（怎样的类型）若无通项，则须先求出通项方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法

1 (1 3
2n )

5
n
12 3
1 (2n 5n 1) 3
热点题型3：递归数列与数学归纳法.
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)

1 2
an (4

an ).
（1）证明an<an+1<2(nN) （2）求数列{an}的通项公式an
用数学归纳法证明：
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n

数列求和题型归纳总结

类型七：利用数列的通项求和
• 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前项和，是一个重要的方法.
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数列求和
•七大类型
类型一：公式法（定义法）
类型二：倒序相加法
• 如果一个数列 an ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，
那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可
以得到n个 (a1 an ) .
• 例题3
类型三：错位相减法
类型四：裂项相消法
类型五：分段（组）求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，可把数列பைடு நூலகம்每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
类型六：并项求和法：
• 在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特殊数列，可将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论.

数列求和练习题(含答案)

2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16D.130B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )A ．9B ．18C ．36D ．72B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4，∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.]已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． [解](1)由已知得⎩⎨⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，3分所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，8分所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.12分已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2nna a ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋12×3×(3－1)d ＝6，5a 1＋12×5×(5－1)d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.3分∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .5分 (2)由(1)得b n ＝a n 2a n＝n2n ，6分∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n－n 2n ＋1，10分 ∴T n ＝2－12n －1－n2n .12分一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )【导学号：31222189】A ．n 2＋1－12n B ．2n 2－n ＋1－12n C ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.] 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π2，n ∈N *，则S 2 016＝__________. 0 [a n ＝sin n π2，n ∈N *，显然每连续四项的和为0. S 2 016＝S 4×504＝0.]9．已知数列{a n }中，a 1＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n (n ∈N *)是公差为1的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . [解](1)∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是首项为2，公差为1的等差数列，∴2na n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，3分解得a n ＝2n (n ＋1).5分(2)∵a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.12分3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3.3分∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n .5分(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n ，7分 ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n ，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6－(2n －2)·3n ＋1.10分 ∴T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分法二：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n .7分 ∵(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n ] ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分。

必考题型高考数学：数列求和问题大全

必考题型高考数学：数列求和问题大全第26练数列求和问题大全题型一分组转化法求和例1等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.破题切入点(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得an；(2)可以分组求和：将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(－1)nlnan}前n项的和．解(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2 ＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N)．(2)因为bn ＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n ＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝题型二错位相减法求和例2已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n(n∈N)．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn＝nan(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn.破题切入点(1)代入求解即可．(2)由Sn＝2an－n得Sn－1＝2an－1－(n－1)，n≥2，两式相减构造数列求通项公式．(3)错位相减求和．解(1)Sn＝2an－n.令n＝1，解得a1＝1；令n＝2，解得a2＝3.(2)Sn＝2an－n，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N)，两式相减得an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N)，又因为a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以an＋1＝2n，即通项公式an＝2n－1(n∈N)．(3)bn＝nan，所以bn＝n(2n－1)＝n·2n－n，所以Tn＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n·2n－n)，Tn＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)－(1＋2＋3＋…＋n)．令Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，②①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，－Sn＝－n·2n＋1，Sn＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1，所以Tn＝2＋(n－1)·2n＋1－(n∈N)．题型三倒序相加法求和例3已知函数f(x)＝(x∈R)．(1)证明：f(x)＋f(1－x)＝；(2)若数列{an}的通项公式为an＝f()(m∈N，n＝1,2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；(3)设数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝b ＋bn，Tn＝＋＋…＋，若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m，Sm1)中的结论，构造倒序求和．(3)由已知条件求出Tn的最小值，将不等式转化为最值问题求解．(1)证明因为f(x)＝，所以f(1－x)＝＝＝.所以f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝.(2)解由(1)，知f(x)＋f(1－x)＝，所以f()＋f(1－)＝(1≤k≤m－1，k∈N)，即f()＋f()＝.所以ak＋am－k＝，am＝f()＝f(1)＝.又Sm＝a1＋a2＋…＋am－1＋am，①Sm＝am－1＋am－2＋…＋a1＋am，②由①＋②，得2Sm＝(m －1)×＋2am＝－，即Sm＝－(m∈N)．(3)解由b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，显然对任意n∈N，bn>0，则＝＝－，即＝－，所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝3－.因为bn＋1－bn＝b>0，所以bn＋1>bn，即数列{bn}是单调递增数列．所以Tn关于n递增，所以当n∈N时，Tn≥T1.因为b1＝，b2＝()2＋＝，所以Tn≥T1＝3－＝.由题意，知Sm裂项相消法求和例4在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．(1)已知数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差．破题切入点(1)列方程组(两个条件)确定an.(2)可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式，再和已知Tn＝－对比求得公差．解设数列{an}的公差为d，由a 1，a4，a8成等比数列可得a＝a1·a8，即(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，∴a＋6a1d＋9d2＝a＋7a1d，而d≠0，∴a1＝9d.(1)由数列{an}的前10项和为45可得S10＝10a1＋d ＝45，即90d＋45d＝45，故d＝，a1＝3，故数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)·＝(n＋8)．(2)bn＝＝，则数列{bn}的前n项和为Tn＝[＋＋…＋]＝＝＝＝－.所以＝1，d＝±1.故数列{an}的公差d＝1或－1.总结提高数列求和的主要方法：(1)分组求和法：一个数列既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并，或对字母n分类讨论后再求和．(2)错位相减法：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求{an·bn}的前n项和，其中{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法：这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的前n项和，其中{an}若为等差数列，则＝·(－)．其余还有公式法求和等．1．若数列{an}的通项公式为an＝，则其前n项和Sn为()A．1－B.－－C.－－D.－－答案D解析方法一因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－＝－－.故选D.方法二因为a1＝，a2＝，所以S1＝a1＝.令n＝1，选项B中，－1－＝0，选项C中，－1－＝，故排除B，C.又S2＝＋＝，选项A中，令n＝2，则1－＝，故排除A，应选D.2．已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为()A．n2＋1－B．n2＋2－C．n2＋1－D．n2＋2－答案A解析因为an＝2n－1＋，则Sn＝n＋＝n2＋1－.3．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm －1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.4．在数列{an}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N满足an＋T＝an，则称{an}是周期数列，T叫作它的周期．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝a(a≤1)，xn＋2＝|xn＋1－xn|，当数列{xn}的周期为3时，则{xn}的前2013项和S2013等于()A．1340B．1342C．1344D．1346答案B解析由xn＋2＝|xn＋1－xn|，得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，x4＝|x3－x2|＝|1－2a|，因为数列{xn}的周期为3，所以x4＝x1，即|1－2a|＝1，解得a＝0或a＝1.当a＝0时，数列{xn}为1,0,1,1,0,1，…，所以S2013＝2×671＝1342.当a＝1时，数列{xn}为1,1,0,1,1,0，…，所以S2013＝2×671＝1342.综上，S2013＝1342.5．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于( )A．2008B．2010C．1D．0答案B解析由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.故数列的前8项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2014＝6×335＋4，∴S2014＝S4＝2008＋2009＋1＋(－2008)＝2010.6．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．答案1830解析∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1830.7．在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.答案解析设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－.则数列的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1 －＝.8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1.{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.答案2n＋1－n－2解析因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－n－2.9．定义：若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数．(1)证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an＋1)}为等比数列；(2) 设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn＝(2a1＋1)·(2a2＋1)·…·(2an＋1)，求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式．(1)证明由题意得an＋1＝2a＋2an，得2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2.所以数列{2an＋1}是“平方递推数列”．令cn＝2an＋1，所以lgcn＋1＝2lgcn.因为lg(2a1＋1)＝lg5≠0，所以＝2.所以数列{lg(2an＋1)}为等比数列．(2)解因为lg(2a1＋1)＝lg5，所以lg(2an＋1)＝2n－1·lg5，所以2an＋1＝52n－1，即an＝(52n－1－1)．因为lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝＝(2n－1)lg5.所以Tn＝52n－1.10．(2014·湖南)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.故数列{an}的通项公式为an ＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2.B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.11．(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋n＋1＋＝3(an＋)．又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝(1－)。

考点37数列求和(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练(新高考版)

考点37数列求和（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．【知识点】数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：S n＝＝.(2)等比数列的前n项和公式：S n＝{na1，q＝1，.2．分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项技巧(1)1n(n＋1)＝1n－1n＋1.(2)1n(n＋2)＝12(1n－1n＋2).(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1).1(5)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12[1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)].常用结论常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.(3)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.(4)13＋23＋33＋…＋n 3＝[n (n ＋1)2]2【核心题型】题型一　分组求和与并项求和　(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和．(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝{a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和【例题1】（2024·河北·模拟预测）已知首项为2的数列{}n a 满足114522n n n n a a a a ++--=，当{}n a 的前n 项和16n S ³时，则n 的最小值为（）A ．40B ．41C ．42D ．43【变式1】（2024·四川攀枝花·三模）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =-，*(1)(N )n n na S n n n =+-Î，设(1)nn n b a =-，则数列{}n b 的前51项之和为（）A ．149-B ．49-C ．49D ．149【变式2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和为13,1,2n S a a ==，且213n n n n a a a a +++=，则16S 的最小值为．【变式3】（2024·全国·高考真题）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的前n 项和.题型二　错位相减法求和(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．②应用等比数列求和公式时必须注意公比q 是否等于1，如果q ＝1，应用公式S n ＝na 1【例题2】（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11121440,2n n n a a a a a +--+===，其前n 项和为n S ，则使得625n n S a -<成立的n 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，()122nn n a a +=+，不等式21212820n n a S n l +--+£对任意的*n ÎN 恒成立，则实数l 的取值范围为（）A ．(],32-¥B ．(],16-¥C ．[)32,+¥D ．(],8¥-【变式2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）数列{}n a 满足12a =，且123132nn a a n n -=+-（*n ÎN 且1n >），若{}n a 的前n 项和为n S ，则满足21732n S >的最小正整数n 的值为 .【变式3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,()21n n S n a =+且2132a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若2nn na b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .题型三　裂项相消法求和裂项相消法的原则及规律(1)裂项原则一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项【例题3】（2024·福建泉州·一模）记数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若{}n a 是等差数列，且6512590,1n n n S S a b a +=+==，则10T =（）A ．245B ．845C ．1041D ．4041【变式1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项的积为n T ，1nn n T a T =-，则使得212024ni i a =<å成立的n 的最大值为（）A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【变式2】（2024·山西阳泉·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则数列()()12n n n a a a ìüïïíý++ïïîþ的前100项和100T = ．【变式3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}2n S n +也是等差数列．(1)求数列{}n a 的公差；(2)若11a =-，求数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和n T ．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列{}n a 各项为正数，{}n b 满足21n n n a b b +=，112n n n a a b +++=，若12a =，11b =，则122024111a a a +++=L （）A ．10121013B ．10111012C ．20242025D ．202320242．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11S =，23S =，且132+n a 是2n a ，2n a +的等差中项，则使得1509128ni i i a =>å成立的最小的n 的值为（）A ．8B ．9C ．10D ．113．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数232024i 2i 3i 2024i Z =+++×××+的虚部是（）A ．1012B ．1011C ．1011-D ．1012-4．（2024·河北张家口·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111,1,2,n n n a n a a a n ++ì==íî为奇数为偶数，则100S =（）A ．5132156´-B ．5132103´-C ．5032156´-D ．5032103´-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知2n n a =，31n b n =-，数列{}n a 和{}n b 的公共项由小到大排列组成数列{}n c ，则（）A ．432c =B ．{}n c 为等比数列C ．数列n n b a ìüíýîþ的前n 项和[)1,5n S ÎD6．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 中，123,2a a ==，当n 为奇数时，23n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +=，则（）A ．数列{}n a 是递减数列B ．814a =C ．101110aa <D ．10019i i a =<å三、填空题7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，131,6a S ==，则数列11n n a a +ìüíýîþ的前10项和为 .8．（2023·河南·模拟预测）已知数列{}n a 满足212n a a a n ++×××+=，则1212222n n a a a ×+×+×××+×= .9．（2024·陕西·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则数列{}2n n a 的则前n 项和n T = .四、解答题10．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知数列的前n 项和为()12n n +.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：()()33221331n n n a a a n +-=++，并求数列{}n a 的前n 项和n S .11．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n项和，是首项与公差均为1的等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()(1)1n n n na b S -+=，求数列{}n b 的前2024项的和2024T ．【综合提升练】一、单选题1．（2024·浙江杭州·二模）设数列{}{},n n a b 满足11111,2,2n n n n n a b a b n a b ++==+=+=．设nS 为数列{}n n a b +的前n 项的和，则7S =（）A ．110B ．120C ．288D ．3062．（2024·安徽·三模）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2111,321n n a S S n n +=+=++，则20S =（）A ．590B ．602C ．630D ．6503．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列{}n a 满足：11a =，()12n n a a n n -=+³，且1n nb a =，则数列{}n b 前n 项的和n S 为（）A ．1n n S n =+B ．21n nS n =+C ．2n nS n =+D ．232n n S n =+4．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*)2(13)(n n S a n +=ÎN ，若11n n n n a b S S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2024T =（）A ．202511231--B ．202411231--C ．20241131--D ．20251131--5．（2023·江苏南通·三模）复数22021202212i 3i 2022i 2023i z =+++++L 的虚部为( ).A ．1012B ．1011-C ．1011D ．20226．（2024·全国·二模）数列{}n a 的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，22a =，34a a =，47S =，则（）A ．*221,N k k a a k +<Î，且2k ³B ．当5n ³，且*N n Î时，数列{}n a 是递减数列C ．101110a a <D ．1009S <7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：3820a a +=，且5a 是2a 与14a 的等比中项，设数列{}n b 满足()*11N n n n b n a a +=Î，则数列{}n b 的前n 项和n S 为（）A ．1212121nn n -=++B ．12212121n n n ++=++C ．1112212+1æö-=ç÷+èønn n D ．11+112212+1æö+=ç÷+èøn n n 8．（2024·河南·三模）已知等差数列{}n a 的公差大于0且1624a a a +=，若246k ==，则5a =（）A ．134B ．94C ．74D ．54二、多选题9．（2024·安徽淮北·二模）已知数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若121,22n n n a n T +=-=-，则（）A ．10100S =B ．101024b =C ．11n n a a +ìüíýîþ的前10项和为919D ．1n b ìüíîþ的前10项和为1023102410．（23-24高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，11223n n a T T +=-=，*n ÎN （），则（）A ．31=-n n T B ．{}n a 为递增数列C ．13131n n n a --=-D ．{}n T 的前n 项和为13322n n +--11．（2024·山东济南·二模）数列{}n a 满足11a =，*1*1,N 41,N 4n n n n a a n a --ìÎïï=íï+Ïïî，2n ³，m b 表示{}n a 落在区间)12,2m m +éë的项数，其中*m ÎN ，则（）A ．310b =B ．33344n n n a +££C ．42163==+ånk k a n nD ．()214413n nk k b ==-å三、填空题12．（2024·江苏泰州·模拟预测）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112nn n n S a =--，n *ÎN ，则（1）1a = ；（2）12100S S S ++×××+= .13．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，如[]1.21=，{}1.22=.设函数()[]{}f x x x =在定义域[)()*0,N n n Î上的值域为n C ，记n C 中元素的个数为n a ，则2a =，12111na a a +++=L 14．（2023·全国·模拟预测）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，35a =，且2514,,a a a 成等比数列，设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.53=，[]1.52-=-，记[]2log n nb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2024S = .四、解答题15．（2024·山东·模拟预测）设数列{}n a 满足()122n n na n a +=+，且14a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求{}n a 的前n 项和n S ．16．（2024·河北衡水·三模）已知数列{}n a 满足：1212122n n n a a a a a ++==+=,,．(1)请写出324354a a a a a a ---，，的值，给出一个你的猜想，并证明；(2)设213n n b na +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（2024·福建泉州·二模）己知数列{}n a 和{}n b 的各项为正，且3118a b =，{}n b 是公比3的等比数列．数列{}n a 的前n 项和n S 满足242n n n S a a =+．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()()333cos π31n n nn n b C a n b b +++=+--，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（2024·广西·模拟预测）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，有23322n n n S =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对所有正整数m ，若14mk k a a +<<，则在k a 和1k a +两项中插入4m ，由此得到一个新数列{}n b ，求{}n b 的前91项和．19．（2024·四川·模拟预测）已知数列{}n a 满足1111,02n n n n a a a a a ++=--=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足，122121211,n n n n nb b b b b a -+=-=-=，求证：24211134n b b b +++<L ．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2023·江苏徐州·模拟预测）函数()f x 满足x ∀、y ÎR ，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则（）A ．122f æö=ç÷èøB ．数列(){}f n 单调递减C ．()()121222f x f x x x f ++æö£ç÷èøD ．()04242nni ni f i =+éù×=-ëûå2．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足13a =，215a =，且2128n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122024403440344034a a a éù++×××+=êúëû（）A ．2015B ．2016C ．2017D ．20183．（2024·陕西西安·模拟预测）数列{}n a 满足()1122421n n a a n a n n n -+-==³-，，则12320241111a a a a ++++=L （）A ．20212025B ．10122025C ．10124048D ．202340484．（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n S n n =+，若首项为12的数列{}n b 满足111n n na b b +-=，则数列{}n b 的前2024项和为（）A ．10122023B ．20252024C ．20232024D ．20242025二、多选题5．（2023·山西大同·模拟预测）已知数列{}n a 满足()121nn n a a ++=´-，n Î*N ，且51a =，则下列表述正确的有（）A ．15a =-B ．数列{}21n a -是等差数列C ．数列{}n a 是等差数列D ．数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和为1449nn -6．（2023·浙江·二模）定义：若存在正实数M 使()*N n a M n £Î，则称正数列{}n a 为有界正数列．已知数列{}n a 满足()2ln 11n n a n +=+，n S 为数列{}n a 的前n 项和．则（）A ．数列{}n a 为递增数列B ．数列{}n S 为递增数列C ．数列{}n a 为有界正数列D ．数列{}n S 为有界正数列三、填空题7．（2023·陕西西安·模拟预测）已知数列{}n a 和数列{}n b ，21n a n =-，2nn b -=.设n n n c a b =×，则数列{}n c 的前n 项和n S = .8．（2024·四川·三模）在数列{}n a 中，已知112a =，()12n n n a na ++=，则数列{}n a 的前2024项和2024S =．9．（2023·陕西铜川·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(),n n a S 总在直线21y x =-上，则数列{}n n a ×的前n 项和n T = .四、解答题10．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221n n S a n =+-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知()23n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和.11．（2024·江苏宿迁·三模）在数列{}n a 中，113(2,2*)n n n a a n a +==Î+×N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 满足12111444nnb b b b n a ---=L ；①求证：数列{}n b 是等差数列；②若23b =，设数列1n n n nb bc a +=的前n 项和为n T ，求证：14n T <．。

数列求和专项练习(含答案)

数列求和专项练习1.在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a ，求前20项之和。

2.已知等差数列{}n a 的公差是正数，且,4,126473-=+-=a a a a 求它的前20项之和。

3.等差数列{}n a 的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n (m>n )，求前m+n 项和S n+m4.设y x ≠，且两数列y a a a x ，，，，321和4321b y b b x b ，，，，，均为等差数列，求1243a a b b --5.在等差数列{}n a 中，前n 项和S n ,前m 项和为S m ，且S m =S n , n m ≠，求S n+m6.在等差数列{}n a 中，已知1791,25S S a ==，问数列前多少项为最大，并求出最大值。

7.求数列的通项公式：(1){}n a 中，23,211+==+n n a a a(2){}n a 中，023,5,21221=+-==++n n n a a a a a9.求证：对于等比数列前n 项和S n 有)(32222n n n n n S S S S S +=+10. 已知数列{}n a 中，前n 项和为S n ，并且有1),(241*1=∈+=+a N n a S n n (1)设),(2*1N n a a b n n n ∈-=+求证{}n b 是等比数列；(2)设),(2*N n a c nn ∈=求证{}n b 是等差数列；11.设数列满足，（Ⅰ)求数列的通项公式：（Ⅱ）令，求数列的前n 项和.【规范解答】（Ⅰ)由已知，当时，而，满足上述公式，所以的通项公式为. （Ⅱ）由可知，①从而 ②①②得{}n a 12a ={}n a n n b na ={}n b n S 1n ≥[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21232(1)13(222)22n n n --+-=++++=12a ={}n a 212n n a -=212n n n b na n -==•35211222322n n n s -=•+•+•++•23572121222322n n n s +=•+•+•++•-3521212(12)22222n n n n s -+-=++++-•即 12.已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.【答案】(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+-13.已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；211(31)229n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ，可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n qa a . （Ⅰ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【解析】所以，13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩1363623n n +=-⨯ ，又1T 适合此式.13631243nnn T +=-⨯ 15.知等差数列满足：，，的前n 项和为．（1）求及；（2）令(n N *)，求数列的前n 项和．【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】（1）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有，解得，所以；==. （2）由（1）知，所以b n ===，所以==，即数列的前n 项和=.{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S n b =211n a -∈{}n b n T n a nS n b {}n a 37a =5726a a +=112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩13,2a d ==321)=2n+1n a n =+-（n S n(n-1)3n+22⨯2n +2n 2n+1n a =211n a -21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅111(-)4n n+1⋅n T 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-11(1-)=4n+1⋅n4(n+1){}n b n T n4(n+1)。

高考数学：数列求和——三大类高频题型的命题规律和满分答题要点

高考数学：数列求和——三大类高频题型的命题规律和满分答题要点近几年出题频率较高的三类数列求和题型有：错位相减法、裂项相消法、分类讨论法等。

下面将它们的解题程序归纳如下：1.错位相减法求和一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是在等式的两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解.若{bn}的公比为参数(字母),则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和.例题：2.利用裂项相消法探求数列的前n项和如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项。

从而求出该数列的前n项和．破解此类题的关键点如下：①裂项技巧．一般将an通过恒等变形拆成形如an=f(n)-f(n-k)的形式(k=1，2，……) ②抵消规律.正、负项相互抵消后，所剩项的一般规律是：前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，注意剩下的项有前后对称的特点，否则，极易出错．例题：[2018长春市高三第一次质量监测,17]总结：利用裂项相消法求数列的和时，要过好三关：一是通过基本运算快速求出数列的通项；二是根据所求通项的结构特点，借助常见的裂项技巧，找准裂项方向，准确裂项；三是把握消项规律，准确求和，切忌出现丢项或多项的问题，导致结果错误．3.利用分类讨论法探求数列的前n项和若数列的通项公式为分段函数、周期函数或形如(-1)^nan，|an|等形式，在求数列的前n项和时，没有固定的方法可套用，观察数列的规律，发现按照某种标准分类后，每类均可求和，最后相加即可得出结果，在解决问题的过程中渗透着转化与化归、分类讨论数学思想方法。

对项数的奇偶进行分类讨论求数列的前n项和时，一般是先求项思路分析：数为偶数的一组，但要注意n的取值变化不再是1，2，3，…，而是2，4，6，…，当代入公式求和时．注意首项、公差(比)和项数都会对应发生改变；项数为奇数求和时，可代入相应公式求和，也可利用偶数项的结论(Sn=S↓(n-1)+bn)，能简化求和过程．总结：破解此类题的关键点如下．①找规律．根据数列的通项公式或递推公式去发现或证明存在某一规律：如通项公式为分段函数的形式等．②定标准．根据规律确定如何分类，是以项数的奇偶分类还是其他.③分类求和．若该类是等差(比)数列可直接求和，但要注意新首项、新公差(比)、新项数分别是多少；若不是特殊数列，再转化为其他方法求和．。

题型-数列求和之错位相减法

题型-数列求和之错位相减法数列求和之错位相减法一、题型要求：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）。

二、例题讲解：1、求和：$S_n=1+3x+5x^2+7x^3+。

+(2n-1)x^{n-1}$，其中$x=2$。

2、求数列$2,3.n$前$n$项的和。

三、练巩固：1、（2012-信宜二模）设$\{a_n\}$为等比数列，$T_n=na_1+(n-1)a_2+。

+2a_{n-1}+a_n$，已知$T_1=1$，$T_2=4$。

1）求数列$\{a_n\}$的首项和公比；2）求数列$T_n$的通项公式；2、（2015-漳浦校级模拟）等差数列$\{a_n\}$中，$a_7=4$，$a_{19}=2a_9$。

数列$\{b_n\}$满足$b_n=a_n\times2$。

1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$；4、（2014-肇庆高三期末）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in N^*$）。

1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）设$b_n=\frac{a_{2n}}{n}$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求$T_n$；5、（2014-惠州调研）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且有$S_n=1-a_n$。

数列$\{b_n\}$满足$2b_n=(2n-7)a_n$。

1）求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$；6、（2014-珠海六校联考）已知数列$\{a_n\}$为等差数列，且$a_5=14$，$a_7=20$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$3S_n=S_{n-1}+2$（$n\geq2$，$n\in N^*$），$b_1=$。

数列求和9种常见题型总结

第7讲数列求和9种常见题型总结【题型目录】题型一：等差等比通向求和公式应用题型二：分析通项，构造新数列求和题型三：错位相减法求和题型四：分组求和法题型五：裂项相消法求和题型六：倒序相加法求和题型七：并项求和问题题型八：先求和，再证不等式题型九：先放缩，再求和【典型例题】题型一：等差等比通向求和公式应用根据通项公式的特点求和：（1）等差数列求和公式：()1122p q n n a a a a S n n p q n ++=⋅=⋅+=+()112n n n S a n d -=+（2）等比数列求和公式：()111,11,1n n a q q S q a n q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩【例1】（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））已知数列{}n a 为等差数列，2616a a +=，510a =．(1)求数列{}n a 的通项；(2)设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【例2】（2022陕西·安康市教学研究室一模）已知数列{}n a 为等比数列，13a =，且2a 是1a 与33a -的等差中项．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例3】（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（文））已知数列{}n a 的前n 项和1*44(N )33n n S n +=-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【例4】（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））己知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足39a =，___________.在①36S a =，②430S =，③25845a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2na n nb a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【题型专练】1.（2022·广东汕尾·高二期末）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知23S =-，39S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列并说明理由.2.（2022·广东·江门市第二中学高二期中）设{}n a 是首项为1的等比数列，且1a 、23a 、39a 成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，求{}n S 的前n 项和n T ．3.（2022·北京八中高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n n S S a +=++，请在①4713a a +=；②137,,a a a 成等比数列；③1065S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n b a -是公比为2的等比数列，13b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .题型二：分析通项，构造新数列求和【例1】（2022·全国·模拟预测（文））在公差不为零的正项等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，请在①135720a a a a +++=，236a a a +=；②()()221n n n S a a =+-；③1a ，3a ，7a 成等比数列，23a =三个条件中，任选一个完成下面的问题．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)正项数列{}n b 满足2log n n b a =，求13521n b b b b -++++ ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【例2】（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）在等差数列{}n a 中，已知28a =，10185S =，(1)求此数列的通项公式；(2)若从此数列中依次取出第二项，第四项，第八项，……，第2n 项，……并按原来的先后顺序组成一个新的数列{}n b ，求数列{}n b 的通项公式与前n 项和n T .【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求()1132211+--++-n n n a a a a a a .【题型专练】1．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.2．（2022·全国·高三专题练习）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且171,28a S ==，记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][0.90,lg991⎡⎤==⎣⎦.(1)求111101b b b ､､；(2)求数列{}n b 的前2022项和.3．（2022·云南·高三阶段练习）已知等差数列{}n a 满足121,21n n a a a ==+，设2n a n b =.(1)求{}n b 的通项公式，并证明数列{}n b 为等比数列；(2)将1b 插入12,a a 中，23,b b 插入23,a a 中，456,,b b b 插入34,a a 中，，依此规律得到新数列1122334564,,,,,,,,,,a b a b b a b b b a ，求该数列前20项的和.4．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））已知数列{}n a 满足213,21n n a a a +==+，设1n n b a =+.(1)证明：{}n b 是等比数列；(2)求13521n a a a a +++++ .。

高考数列求和的八种重要方法与例题

典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
Q S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n
0,
bn
)
n
bn1
4 3
2(bn
4), 3
b1
4 3
2 3
0,
{bn
4}是首项为 3
2 3
,公比q
2的等比数列
bn
4 3
1 3
2n
,即bn
1 2n 3
4 3
(n
1).
1 (1 2n ) 3
5
n
12 3
1 (2n 5n 1) 3
热点题型3：递归数列.
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
1
数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记bn
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；
an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
bn
an
1
1 2
得an
4 6
bn1bn bn1
3 bn
b1n 012,即, 代b入n1递推2关bn系843an,1aSnn1a612nabn(nb11122bban2n1L5

第四章数列(数列求和)典型例题复习附答案

1(n f n-+{}a n f n ⎛+ +⎝{}n a 是递增的等差数列，8n a ∴=-（2）设82n b +=(02n S ∴=()()2121321242n n n n a b a a a b b b --++=+++++++()41n- ·山东·枣庄市第三中学高三期中）在①22n n S a =-；②314S =；③3S ，22S +，1S 成等差数列这三个条件是各项均为正数的等比数列，前n 项和为n S ，12a =且______． 2，又∵，∴22q +2，∴n a 31S S =+，123a a a ++22q --=2，1(n f n-+n f n -⎛+ ⎝2n -⎫+⎪⎭()1f ++12n + ·全国·高二课时练习）已知函数()f x .2020122020202120212021b g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①20191202020191202120212021b b g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②)1=，20202020=， ·全国·高二课时练习）已知函数()21122f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为4951=a a 4915ln 2ln a a a ==98)(ln (ln f a f a +=399(ln )(ln )++a f a ①，97(ln )f a ＋…＋1(ln )f a ②，992=. 1122,),(,)x y B x y 是函数n f n ⎛+ +⎝的横坐标为12，故x 21log x x =+-1n n ⎛+- ⎝·河南信阳·高二期中（文））在等差数列{}n a ，求证：16n T <131n ⎛+ -⎝·贵州师大附中高二月考（理））数列的前n 项和）12n a a +=由此可得数列{a 2的等比数列，利用等比数列通项公式得：所以数列{}n a 的通项公式为：）由（1）得)121n c =++n c +1121n ⎛⎫++ +⎛⎝= ⎝题型四：错位相减法·宁夏·六盘山高级中学高二期中（理））已知数列{}n a 的首项，n n c a b =1}为等比数列；3n n ⋅，①13n n ++⋅，②3++-n n )113n n +-⋅=1n b -++()221n ++-()321n ++-322n n +++-)(1121n n n +-+⋅=·全国·高二课时练习）求数列2n + (n ∈N *). 2n n+，①4132n n+++，②231111122222nn n ，2或q =((20212,2021,nn n -()12222n n -++=1022021T =-).11≥ ·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 的前55n n > n b a +-)()155552n n n b a a b a b ++-+-++-=-12222,54294,5n n n n n n ++--+>. ·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 的前n 项和为214n S n n =-..n a ++3,4,n q a ==60. (k a pn =+n a +)n a +()323124nn n n ⎤+-+++-=⎦2n a a +++)345n a a a a +++++()1232n a a a a +-++()22111431121622n n n n ++++-⋅-=-·广东福田·高三月考）已知{}的通项公式；()2na =-)()(2124531n n -+-++++=-217422n n n n S +++-=-+； 12342n b b b b b S S --++++=-+2174,3,23.n n n ++++<.。

数列求和经典练习题(含答案解析)

1.在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34 得4a 1＋38d ＝34＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17 S 20＝1702.已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4 再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二由等差数列的性质可得： a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4 又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知： a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2又＝＋×S 20a d 20120192解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 41111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列 ∴a 3＝－6，a 7=23. 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一设{a n }的公差d 按题意，则有=－(m ＋n)解法二设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m ∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1 故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n) 即S m+n ＝－(m ＋n)4.设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝S na d m S ma d n (m n)a d =n mn 1m11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n++=++++-=+++-+12121211()()()()()Am Bm n An Bn m22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪b b y b 234，，，均为等差数列，求．b b a a 4321--5.在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．且S m ＝S n ，m ≠n∴S m+n ＝06. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等分析解 d =y x 51(1)=y x52(2)可采用＝由a a m na ab b m n ----------21433264(2)(1)÷，得b b a a 432183--=解 S (m n)a (m n)(m n 1)d(m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d(m n)a (m n)(m n 1)=011112122d即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∵a 1＝25，S 9＝S 17∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169．解法三利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0 而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14 ∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0 ∴S 13=169最大．解法四根据等差数列前n 项和的函数图像，确定取最大值时的n ． ∵{a n }是等差数列 ∴可设S n ＝An 2＋Bn二次函数y=Ax 2＋Bx 的图像过原点，如图3．2－1所示∵S 9＝S 17，∴取n=13时，S 13＝169最大差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩∴对称轴 x =9+172=137．求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到+2说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．8. 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----⇒aq 2=4a ＋②解法二按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)解法三任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列a 1，a 2＋4，a 3成等差数列得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509⇒8b d =162－①⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509得：①a =a a 2213说明将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成简化计算过程的作用．9.证 ∵S n =a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1 S 2n =S n ＋(a 1q n ＋a 1q n+1＋…＋a 1q 2n-1) =S n ＋q n (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n-1) =S n ＋q n S n =S n (1＋q n )类似地，可得S 3n =S n (1＋q n ＋q 2n )说明本题直接运用前n 项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 10．数列{a n }是等比数列，其中S n =48，S 2n =60，求S 3n ．解法一利用等比数列的前n 项和公式若q=1，则S n =na 1，即na 1=48，2na 1=96≠60，所以q ≠1①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq＋＋．S S =S (S S )n 22n 2n 2n 3n ∴＋＋＋＋S +S =S [S (1q )]=S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n2n 2nS (S S )=S [S (1q )S (1q q )]=S (22q q )S S =S (S S )n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2nn 22n 2n 2n 3n ＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋∵S =a (1q )1n 1n --q=S n (1＋q n ＋q 2n )解法二利用等比数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列 ∴ (60－48)2=48·(S 3n －60) ∴ S 3n =63．解法三取特殊值法取n=1，则S 1=a 1=48，S 2n =S 2=a 1＋a 2=60 ∴ a 2=12∵ {a n }为等比数列S 3n =S 3=a 1＋a 2＋a 3=6311．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n ＋2(n ∈N*)，a 1=1(1)设b n =a n+1－2a n (n ∈N*)，求证：数列{b n }是等比数列；解 (1)∵ S n+1=4a n ＋2 S n+2=4a n+1＋2S =a (1)a (1)(1+)1q 2n 11--=--=+q qq q S q nn n n n 211()∴q =14S =a (1q )1qn 3n 13n --=-++-a q q q qn n n 12111()()∴S =48(1+116)=633n +14∴ q =a a a =3213=14(2)c =a 2(n N*){c }n nnn 设∈，求证：数列是等差数列．两式相减，得S n+2－S n+1=4a n+1=4a n (n ∈N*) 即：a n+2=4a n+1－4a n变形，得a n+2－2a n+1=2(a n+1－2a n ) ∵ b n =a n+1－2a n (n ∈N*) ∴ b n+1=2b n由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列．由S 2=a 1＋a 2=4a 1＋2，a 1=1 可得a 2=5，b 1=a 2－2a 1=3 ∴ b n =3·2n-1将b n =3·2n-1代入，得说明利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决(2) c =a 2(n N*)c =b 2n nnn+1n n+1∵∈∴-=-=-++++c a a a a n n n n n n nn 11112222c c =34(n N*)n+1n －∈由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项，故＋－·即：{c }d =34c =a 2c =(n 1)C =34n 11n n =-12123414n。

数列求和汇总例题与答案

数列求和汇总答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：例1、已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－练习：求的和。

解：由等差数列的求和公式得二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例2求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设……………………….②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴练习：求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①………………………………②（设制错位）①－②得（错位相减）∴三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例3求的值解：设………….①将①式右边反序得…………..②（反序）又因为①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.52、求和：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4、求和:解:原式===练习：求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝练习：求数列的前n项和。

解：五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：例5求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝练习：求13，115，135，163之和。

高考数列求和的八种重要方法与例题

分裂通项法：
把数列旳通项拆成两项之差，即数列旳每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时某些正负项相互抵消，于是前 n项旳和变成首尾若干少数项之和，这一求和措施称为分裂通项法. （见到分式型旳要往这种措施联想）
拆项分组求和: 典例-1，求该数列旳前n项和.
(nN)（2）求数列{an}旳通项公式an
1 2
an
(4
an ).
an1
1 2
an
(4
an )
1 2 [(an
2)2
4],
2(an1 2) (an 2)2
令bn an 2,
则bn
1 2
b2 n1
1 2
1 2
b2 n2
2
1 2
12
2n1
b2n 0
又b0=－1
bn
1 2
2n
1
,
总旳方向： 1.转化为等差或等比数列旳求和 2.转化为能消项旳思索方式：求和看通项（怎样旳类型）若无通项，则须先求出通项措施及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法
5.拆项分组求和法 6.并项求和法
热点题型1：递归数列与极限.
设数列{an}旳首项a1=a≠
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n

考向27 数列求和经典题型归纳(十二大经典题型)(原卷版)

考向27 数列求和经典题型归纳经典题型一：通项分析法经典题型二：公式法经典题型三：错位相减法经典题型四：分组求和法经典题型五：裂项相消法经典题型六：倒序相加法经典题型七：并项求和经典题型八：先放缩后裂项求和经典题型九：分段数列求和经典题型十：含绝对值、取整、取小数等数列求和经典题型十一：数列插项求和经典题型十二：数列奇偶项求和（2022·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<．（2022·天津·高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=． (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．一．公式法（1）等差数列{}n a 的前n 项和11()(1)22++==+n n n a a n n S na d ，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列{}n a 的前n 项和111(1)11，，=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩n n na q S a q q q，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n 项和： ①112123(1)==++++=+∑nk k n n n ；122462(1)==++++=+∑nk k n n n②21(21)135(21)=-=++++-=∑n k k n n ； ③22222116123(1)(21)==++++=++∑nk k n n n n ；④3333321(1)2123[]=+=++++=∑nk n n k n二．几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．（4）倒序相加法：如果一个数列{}n a 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）111(1)1=-++n n n n （2）1111()()=-++n n k k n n k（3）21111()4122121=---+n n n （4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦n n n n n n n（5）211111()(1)(1)(1)2(1)(1)==---+-+n n n n n n n n n（6）22111414(21)(21)⎡⎤=+⎢⎥-+-⎣⎦n n n n （7）314(1)(3)11114()()(1)(2)(3)(1)(2)(3)2312++-+==---++++++++++n n n n n n n n n n n n n（8）[]1(1)(1)(2)(1)(1).3+=++--+n n n n n n n n （9）[]1(1)(2)(1)(2)(3)(1)(1)(2)4++=+++--++n n n n n n n n n n n （10）1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦n n n n n n n n n n（11）2222211111)(()+=-++n n n n n （12）222211112)42)((⎡⎤+=-⎢⎥++⎣⎦n n n n n 积累裂项模型2：根式型（111=+++n n n n（21(=+++n k n kn k n（31(2121)22121=+--++n n n n（42211(1)11111(1)(1)1++++==+-+++n n n n n n n n （533322221121+++-+-+n n n n n 3333322233111(21121)+-+-++--+n nn n n n n n n（62(1)1(1)1(1)11(1)(1)+-++-+===++++⎡⎤+-+⎣⎦n n n n n n n n n n n n n n n n n n积累裂项模型3：指数型（1）11112(21)(21)11(21)(21)(21)(21)2121++++---==-------n n n n n n nn n （2）113111()(31)(31)23131++=-----n n n n n（3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2-++-⎛⎫==-⋅=- ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n （4）1111(41)31911333(2)2(2)22-+--⎛⎫⎡⎤-⋅=-⋅=- ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭n n n n n n n n n n n（5）11(21)(1)(1)(1)(1)++⋅---=-++n n n n n n n n （6）1 3-=⋅n n a n ，设1()3[(1)]3-=+--+⋅n n n a an b a n b ，易得11,24==-a b ，于是111(21)3(23)344-=---⋅n n n a n n（7）222111(1)2(1)(1)(42)2(1)(42)2(1)2(1)2(1)2+++-++++-++-++==⋅⋅+⋅+⋅+⎡⎤⎣⎦nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n1111(1)1111(1)(1)(1)()22(1)2222(1)2++++⎡⎤⎡⎤---=+-+=-+-⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⋅+⋅⎣⎦⎣⎦n n n n n n n n n n n n n n 积累裂项模型4：对数型 11log log log ++=-n a n aa a n na a a 积累裂项模型5：三角型（1）11(tan tan )cos cos sin()=--αβαβαβ（2）[]11tan(1)tan cos cos(1)sin1=+︒-︒︒+︒︒n n n n（3）1tan tan (tan tan )1tan()=---αβαβαβ（4）[]tan tan(1)tan tan(1);tan1tan (1)1tan tan(1)--=⋅-=--=+⋅-n n n a n n n n n ，则tan tan(1)tan tan(1)tan tan(1)1,1tan1tan1----⋅-=-=-n n n n n n n a积累裂项模型6：阶乘（1）1!(1)!1(1)!+=-+n n n n （2）2(2)(2)!(1)!(221111=-!(1)!!(2)!!(2)!2)++++++===++++++n n n n n n n n n n n n n 常见放缩公式：（1）()()21111211<=-≥--n n n n n n ；（2）()2111111>=-++n n n n n ；（3）2221441124412121⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭n n n n n ；（4）()()()11!111112!!!11+=⋅=⋅<<=-≥---rr n r r n T C r n r n r n r r r r r；（5）()1111111312231⎛⎫+<+++++< ⎪⨯⨯-⎝⎭nn n n；（6(()2121=<=--≥+-+n nn n n n n n ；（7(211=>=++++n n n n n n n ；（8222212111212122=<==--++-++-++n n nn nn n n n ；（9）()()()()()()()1211222211212121212122212121---=<==----------nn n n n n n n n n n n n()2≥n ；（10()()()()3211111111+--=<+---+-+⋅n n n n n n n n n n n n n()()1121111211⎡⎤++-⎢==+---+⎢-+⎣n n n n n n n n n n n ()2211<≥-+n n n ；（11()()()3221111-+--+-⋅+⋅n n n nn n n n nn n n n()()21211--=≥--n nn n nn n；（12）()()01211122221111111=<==--++-+++-n n n n n C C C n n n n ；（13）()()()111121122121212121---<=-≥-----n n n nn n n ．（14）21211112()2()+-+++--=<<=-n n n n n nnn n ．经典题型一：通项分析法1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））数列112，134，158，1716，，()1212n n -+，的前n 项和n S 的值等于_____________2．（2022·湖南·模拟预测）已知单调递减的正项数列{}n a ，2n ≥时满足()()()22111111210n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----+++-++=．112n a S =，为{}n a 前n 项和．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：11n S n >+3．（2022·全国·高三专题练习）求和()()()22122323322332322n n n n n S --=+++⋅++⋅⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+．4．数列9，99，999，⋯的前n 项和为( )A ．10(101)9nn -+ B ．101n - C ．10(101)9n- D ．10(101)9nn --经典题型二：公式法5．已知等差数列{}n a 中，29a =，521a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）令2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．6．如图，从点1(0,0)P 做x 轴的垂线交曲线x y e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ⋯；n P ，n Q ，记k P 点的坐标为(k x ，0)(1k =，2，⋯，)n ．（Ⅰ）试求k x 与1k x -的关系(2)k n ；（Ⅱ）求112233||||||||n n PQ P Q PQ P Q +++⋯+．经典题型三：错位相减法7．（2022·浙江·高三开学考试）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,1n n a S a +==-，数列{}n b 为等差数列，且4365231,7a b S b =+=. (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)记nn n b c a=，求{}n c 的前n 项和为n T .8．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且38n n S a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n na 的前n 项和为n T ，证明：329n T <.9．（2022·河南·高三开学考试（文））在①121n n a a +=+；②122n n S n +=--；③2n n S a n =-，三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，______． (1)n a ；(2)设n n b na =求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．10．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）在数列{}n a 中，11111,1,421n n n n a a b a a +==-=-，其中N n *∈. (1)证明数列{}n b 是等差数列，并写出证明过程； (2)设122n nn b b c -=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ；经典题型四：分组求和法11．（2022·河南省杞县高中高三开学考试（文））已知数列{}n a 满足213,21n n a a a +==+，设1n n b a =+.(1)证明：{}n b 是等比数列； (2)求13521n a a a a +++++.12．（2022·广东·高三开学考试）已知数列{}n a 满足13a =，22a =，21,213,2n n n a n k a a n k+-=-⎧=⎨=⎩.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项的和2n S .13．（2022·甘肃·高台县第一中学高三开学考试（文））已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =．若5a ，2a ，1a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知等比数列{}n a 的公比大于1，26a =，1320a a +=. (1)求{}n a 的通项公式； (2)若12331log log 22n n n n b a a a ++=+，求{}n b 的前n 项和n T .15．（2022·河南·高三开学考试（理））已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的公差为2d ，且13b =，36S =，73a b =． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设112nan n n c b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n C ．经典题型五：裂项相消法16．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知数列{}n a 满足：()12121,3,21,n n n a a a a a n *++==+=+∈N ．(1)证明数列{}1n n a a +-为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式．(2)若524n n c a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，证明：121111nc c c +++<．17．（2022·黑龙江·高三开学考试）已知数列{}n a 的首项为1，满足3434a a a a -=，且2n na a +，21n n a a ++，1成等差数列. (1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：1232343451214n n n a a a a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.18．（2022·浙江·高三开学考试）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且21244,,,a a a a =成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，令1(1)n n n na b S +=-，求数列{}n b 的前2022项和.19．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1nn n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .20．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列{}n a 满足(12122n n a a a a n -+++-=-且)*Nn ∈，且24a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列()()1211n n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：213n T <.21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，1436n n n a a S ++=+.(1)求n a ；(2)求数列()21n n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和.22．（2022·河南·高三开学考试（文））已知数列{}n a 是递增的等差数列，3a 是1a 与11a 的等比中项，且25a =.若1n n n b a a +{}n b 的前n 项和n S =（） A 322n +B 352n +C 325n +D 355n +经典题型六：倒序相加法23．（2022·全国·高三专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对123100+++⋯⋯+的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数()22x x f x +{}n a 满足()121(0)(1)N n n a f f f f f n n n n *-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若12n n n b a +=，则{}n b 的前n 项和n S =_________．24．（2022·全国·高三专题练习）设函数()12ln xf x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______．25．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对123100++++的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数4()42xx f x =+，则1232018()()()()2019201920192019f f f f ++++等于（） A ．1008B ．1009C ．2018D ．201926．（2022·全国·高三专题练习）函数()ln f x x =，其中()()2f x f y +=，记()()()11*ln ln ln ln nn n nn S x x y xyy n N --=++++∈，则202211i iS==∑（）A ．20222023 B ．20232022 C ．20234044D ．40442023经典题型七：并项求和27．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足12(1)31n n n a a n +++-=-，前16项和为540，则2a =__．28．（2022·全国·高三专题练习（文））在等差数列{an }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{an cos nπ}的前2020项的和为（） A ．1009B ．1010C ．2019D ．202029．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为(1)sin 2n n a n n π=+⋅(n ∈+N )，其前n 项和为n S ，则8S =_______.30．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足120a a +=，(1)22(1)2n n n n a a +++-=，则数列{}n a 的前2020项的和为（）A ．0B ．1010C ．2020D ．202431．（2022·河北唐山·一模）已知数列{}n a 满足11a =-，()11112nn n a a n ++-=-，记数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求101S 的值；（2）求n S 的最大值.经典题型八：先放缩后裂项求和32．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112a =，()1202n n n a S S n -+=≥(1)求n a 和 n S(2)求证：22221231124n S S S S n+++⋯+≤-．33．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 前n 项和为n S 满足12S =，()132n n S S n N *+=+∈.（1）求通项公式n a ；（2）设()n n n a S b n N *=∈，求证：1221 (32)n b b b n +++-≤.34．（2022·全国·高三专题练习）求证:11114313213217n -+++<+⨯+⋅+.经典题型九：分段数列求和35．（2022·湖南·高三阶段练习）已知数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +=，令2n n b a =.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若222,2log log nn n n b n c n b b +⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前14项和.36．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，1,,2,.n n na n a a n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数 (1)令2n nb a =，求1b ，2b 及{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .37．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,为奇数为偶数⎧=⎨⎩n n n S n n（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前20项和20T ．38．（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和()2n S n n R λλ=+∈，且36a =，正项等比数列{}n b 满足：11b a =，2324b b a a +=+. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2021n n c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .经典题型十：含绝对值、取整、取小数等数列求和 39．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列{}n a 满足222320nn a a n n--=（n *∈N ）. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令π3|sin |124n n a b =-，记{}n b 的前n 项和为n S ，求2021S .40．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和()2n S n n R λλ=+∈，且36a =，正项等比数列{}n b 满足：11b a =，2324b b a a +=+. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2021n n c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .41．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，5(4)n S n n =+(1)求{}n a 的通项公式；(2)设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=．42．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（） A ．67B ．68C ．134D ．16743．（2022·上海中学高三期中）已知数列{}n x 满足00x =且112,k k x x k N *-+=+∈，则1232021++++x x x x 的最小值是___________．44．（2022·全国·高三专题练习）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]2=，[]1.52-=-在数列{}n a 中，[]lg ,n a n n N +=∈，记n T 为数列{}n a 的前n 项和，则2021T = ___________. 45．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列24nn a n =-，则数列{}n a 的前n 项和n S =___________.经典题型十一：数列插项求和46．（2022·广东广州·高三开学考试）已知集合{}21,A x x n n *==-∈N ，{}=3,n B x x n *=∈N ，将A 与B 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{}n a （若有相同元素，按重复方式计入排列）为1，3，3，5，7，9，9，11，….,设数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)若27m a =，求m 的值； (2)求50S 的值.47．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为2n a n =，2n n b =，现从数列{}n a 中剔除{}n a 与{}n b 的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列{}n c ，则数列{}n c 的前150项之和为（） A ．23804B ．23946C ．24100D ．2461248．（2022·全国·高三专题练习）“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，，则下列说法中，正确的是（） A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9832410⋅+C ．“提丢斯数列”前31项和为30321211010⋅+D ．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项经典题型十二：数列奇偶项求和49．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 是公差大于零的等差数列，已知13a =，22424a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足sin ()cos ()n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求122021b b b ++⋅⋅⋅+.50．（2022·广东佛山·三模）设各项非零的数列{}n a 的前n 项和记为n S ，记123n n T S S S S =⋅⋅⋅⋅⋅，且满足220n n n n S T S T --=．(1)求1T 的值，证明数列{}n T 为等差数列并求{}n T 的通项公式；(2)设(1)nn nc na -=，求数列{}n c 的前n 项和n K ．51．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，15a =，且()*121n n a a n N +=-∈.(1)证明：{}1n a -为等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .52．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足15a =，214321n n a a n n +=-++.(1)证明：数列{}2n a n-为等比数列.(2)求数列(){}1nn a -的前n 项和n S .53．（2022·江苏·高三专题练习）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1)()2n n n nS a n N +=-∈，则数列{}n S 的前7项和为________.1．（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+==∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S <<2．（2020·江苏·高考真题）设{an }是公差为d 的等差数列，{bn }是公比为q 的等比数列．已知数列{an +bn }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．3．（2022·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<．4．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．5．（2020·天津·高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．6．（2020·全国·高考真题（理））设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．7．（2020·全国·高考真题（理））设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ．8．（2021·全国·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .。

求和练习题

求和练习题一、基础求和题1. 计算下列各数列的和：1 +2 +3 + + 102 + 4 + 6 + + 203 + 6 + 9 + + 365 + 10 + 15 + + 502. 求下列等差数列的和：首项为2，末项为20，公差为2首项为3，末项为30，公差为3首项为4，末项为40，公差为4首项为5，末项为45，公差为5 3. 求下列等比数列的和：首项为2，公比为2，项数为5首项为3，公比为3，项数为4首项为4，公比为4，项数为3首项为5，公比为5，项数为2二、混合求和题4. 计算下列各数列的和：1 + 3 + 5 + + 19 + 212 + 4 + 6 + + 18 + 203 + 6 + 9 + + 24 + 274 + 8 + 12 + + 40 + 445. 求下列等差数列和等比数列的和：等差数列：首项为2，末项为20，公差为2；等比数列：首项为3，公比为3，项数为5等差数列：首项为3，末项为30，公差为3；等比数列：首项为4，公比为4，项数为4等差数列：首项为4，末项为40，公差为4；等比数列：首项为5，公比为5，项数为3等差数列：首项为5，末项为45，公差为5；等比数列：首项为6，公比为6，项数为26. 求下列混合数列的和：1 +2 +3 + + 10 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + + 2^103 + 6 + 9 + + 36 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + + 3^64 + 8 + 12 + + 40 + 4^1 + 4^2 + 4^3 + + 4^55 + 10 + 15 + + 50 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + + 5^4三、复杂求和题7. 求下列数列的和：1^2 + 2^2 + 3^2 + + 10^21^3 + 2^3 + 3^3 + + 5^31^4 + 2^4 + 3^4 + + 4^41^5 + 2^5 + 3^5 + + 3^58. 求下列数列的和：1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/101/2 + 1/4 + 1/6 + + 1/201/3 + 1/6 + 1/9 + + 1/271/4 + 1/8 + 1/12 + + 1/409. 求下列数列的和：sin(1) + sin(2) + sin(3) + + sin(10)cos(1) + cos(2) + cos(3) + + cos(10)tan(1) + tan(2) + tan(3) + + tan(5)cot(1) + cot(2) + cot(3) + + cot(4)四、四、多项式求和题10. 求下列多项式的和：(1 + 2x + 3x^2) + (4 + 5x + 6x^2) + + (10 + 11x + 12x^2)(x^3 + 2x^2 + 3x) + (4x^3 + 5x^2 + 6x) + + (10x^3 + 11x^2 + 12x)(1 + x + x^2 + x^3) + (2 + 2x + 2x^2 + 2x^3) + + (5 + 5x + 5x^2 + 5x^3)(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5) + (2x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 5x + 6) + + (5x^4 + 6x^3 + 7x^2 + 8x + 9)五、分数求和题11. 求下列分数数列的和：1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/1001/2 + 1/4 + 1/6 + + 1/2001/3 + 1/6 + 1/9 + + 1/3001/4 + 1/8 + 1/12 + + 1/40012. 求下列分数数列的和：1/1 1/2 + 1/3 1/4 + + 1/99 1/1001/2 1/4 + 1/6 1/8 + + 1/198 1/2001/3 1/6 + 1/9 1/12 + + 1/297 1/3001/4 1/8 + 1/12 1/16 + + 1/396 1/400六、特殊数列求和题13. 求下列特殊数列的和：Fibonacci数列前20项的和（Fibonacci数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ）Catalan数列前10项的和（Catalan数列：1, 1, 2, 5, 14, 42, ）Lucas数列前15项的和（Lucas数列：2, 1, 3, 4, 7,11, ）Harmonic数列前30项的和（Harmonic数列：1, 1/2, 1/3, 1/4, ）14. 求下列数列的和：平方数的和：1^2 + 2^2 + 3^2 + + 50^2立方数的和：1^3 + 2^3 + 3^3 + + 20^3第四次幂的数列和：1^4 + 2^4 + 3^4 + + 10^4第五次幂的数列和：1^5 + 2^5 + 3^5 + + 8^5七、组合求和题15. 求下列组合数列的和：C(1,1) + C(2,1) + C(3,1) + + C(10,1)C(2,2) + C(3,2) + C(4,2) + + C(9,2)C(3,3) + C(4,3) + C(5,3) + + C(8,3)C(4,4) + C(5,4) + C(6,4) + + C(7,4)16. 求下列组合数列的和：C(5,0) + C(6,1) + C(7,2) + + C(10,5)C(6,0) + C(7,1) + C(8,2) + + C(11,6)八、函数求和题17. 求下列函数在指定区间内的和：f(x) = x 在区间 [1, 10] 上的和g(x) = x^2 在区间 [1, 5] 上的和h(x) = x^3 在区间 [1, 3] 上的和j(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的和18. 求下列函数在指定区间内的和：f(x) = e^x 在区间 [0, 1] 上的和g(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的和h(x) = √x 在区间 [1, 10] 上的和j(x) = cos(x) 在区间[0, 2π] 上的和九、数列变换求和题19. 求下列数列变换后的和：原数列：1, 2, 3, , 100；变换后数列：1^2, 2^2, 3^2, , 100^2原数列：2, 4, 6, , 100；变换后数列：2^3, 4^3, 6^3, , 100^3原数列：3, 6, 9, , 99；变换后数列：3^4, 6^4, 9^4, , 99^4原数列：4, 8, 12, , 100；变换后数列：4^5, 8^5,12^5, , 100^520. 求下列数列变换后的和：原数列：1/1, 1/2, 1/3, , 1/100；变换后数列：1/1^2, 1/2^2, 1/3^2, , 1/100^2原数列：1/2, 1/4, 1/6, , 1/100；变换后数列：1/2^3, 1/4^3, 1/6^3, , 1/100^3原数列：1/3, 1/6, 1/9, , 1/99；变换后数列：1/3^4, 1/6^4, 1/9^4, , 1/99^4原数列：1/4, 1/8, 1/12, , 1/100；变换后数列：1/4^5, 1/8^5, 1/12^5, , 1/100^5十、综合求和题21. 求下列数列的和：1 + 3 + 5 + + 97 + 99 + 2/1 + 2/2 + 2/3 + + 2/502 + 4 + 6 + + 98 + 100 + 3/1 + 3/2 + 3/3 + + 3/333 + 6 + 9 + + 96 + 99 + 4/1 + 4/2 + 4/3 + + 4/254 + 8 + 12 + + 100 + 104 + 5/1 + 5/2 + 5/3 + +5/2022. 求下列数列的和：(1 + 2 + 3 + + 50) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/50)(1 + 2 + 3 + + 100) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/100)(1 + 2 + 3 + + 150) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/150)(1 + 2 + 3 + + 200) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/200)十一、矩阵求和题23. 求下列矩阵所有元素的和：3x3 矩阵：[ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ]4x4 矩阵：[ [1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16] ]5x5 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9, 10], [11, 12, 13, 14, 15], [16, 17, 18, 19, 20], [21, 22, 23, 24, 25] ] 6x6 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5, 6], [7, 8, 9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16, 17, 18], [19, 20, 21, 22, 23, 24], [25, 26, 27, 28, 29, 30], [31, 32, 33, 34, 35, 36] ]24. 求下列矩阵对角线元素的和：主对角线：3x3 矩阵：[ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8,9] ]副对角线：4x4 矩阵：[ [1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16] ]主对角线：5x5 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9, 10], [11, 12, 13, 14, 15], [16, 17, 18, 19, 20], [21, 22, 23, 24, 25] ]副对角线：6x6 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5, 6], [7, 8, 9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16, 17, 18], [19, 20, 21, 22, 23, 24], [25, 26, 27, 28, 29, 30], [31, 32, 33, 34, 35, 36] ]十二、多项式乘积求和题25. 求下列多项式乘积的和：(x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x + 2)(x + 3)(x + 4) + +(x + 10)(x + 11)(x + 12)(x^2 + 1)(x^2 + 2)(x^2 + 3) + (x^2 + 2)(x^2 + 3)(x^2 + 4) + + (x^2 + 5)(x^2 + 6)(x^2 + 7)(x^3 + 1)(x^3 + 2)(x^3 + 3) + (x^3 + 2)(x^3 + 3)(x^3 + 4) + + (x^3 + 4)(x^3 + 5)(x^3 + 6)(x^4 + 1)(x^4 + 2)(x^4 + 3) + (x^4 + 2)(x^4 + 3)(x^4 + 4) + + (x^4 + 3)(x^4 + 4)(x^4 + 5)26. 求下列多项式乘积的和：(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) + (2 + x)(2 + 2x)(2 + 3x) + + (10 + x)(10 +答案：一、基础求和题1. 552. 2103. 9454. 220二、混合求和题5. 1056. 2807. 330三、复杂求和题8. 3859. 9.6462510. 1.57079633四、多项式求和题11. 33012. 33013. 33014. 330五、分数求和题15. 2.8289682516. 1.48829558六、特殊数列求和题17. 1771018. 22019. 489520. 816七、组合求和题21. 20422. 204八、函数求和题由于函数求和通常涉及到定积分，这里只给出一些常见函数在指定区间内的和的近似值：17. f(x) = x 在区间 [1, 10] 上的和约为 55g(x) = x^2 在区间 [1, 5] 上的和约为 55h(x) = x^3 在区间 [1, 3] 上的和约为 36j(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的和约为 218. f(x) = e^x 在区间 [0, 1] 上的和约为 e 1g(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的和约为 e 1h(x) = √x 在区间 [1, 10] 上的和约为 2.82896825 j(x) = cos(x) 在区间[0, 2π] 上的和约为 0九、数列变换求和题19. 945020. 9450十、综合求和题21. 429022. 4290十一、矩阵求和题23. 9, 34, 65, 13624. 15, 15十二、多项式乘积求和题25. 由于这些多项式乘积的和涉及到高阶多项式的展开和求和，通常需要使用数学软件或手动展开来计算，这里只给出一些近似值： (x + 1)(x + 2)(x + 3) + + (x + 10)(x + 11)(x + 12) 的和将是一个关于 x 的多项式，具体值需要展开后计算。

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