5-3 电偶极辐射解析
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2 2
1
x
r
x
P y
x 2 2 n x 2 x r R 1 R 2 R 由二项式展开得到（略去 x 2 / R 2 等高次项）：
, J
r R n x
由此得到
0 J ( x)eik ( R n x) A( x ) dV 4 V R n x
ikR e (1) J d V p p 由于 ，所以 A ( x ) 0 4 R V
V
J ( x)dV
可见A(1)表示振荡电偶极矩产生的辐射，简称为电 偶极辐射。 由于讨论远区场时，只保留1/R的最低次项，因而 算符▽不需作用到分母上，而仅需作用到相因子 ikR e 上即可达到要求。
在近区内， kr <<1 ，推迟因子 eikr~1 ，因而场保持
稳恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，
磁场也和稳恒场相似。 b) 远区（辐射区）r>>λ，而且也保证r>>l。
1 1 在此区域中场强E和B均可略去 的高次项， R | x |
该区域内的场主要是横向电磁场。
c) 感应区（过渡区），r ~ λ，但满足r>>l。 这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和辐射区
的过渡区域中。
2. 辐射场的矢势展开式（远区） 选坐标原点在电流分布区域内，则 x 与l 同数 量级， R x ,
z
r x x 。
r
l o
x
, J
P
x
y
x
由图可知：
r | x x | | x | x 2 x x
2 2 2
2
z
l o
R x 2 Rn x
作用结果相当于代换： ikn , i t 由此得到，辐射场为 i0 k ikR B A ikn A e n p 4R
1 1 ikR ikR n e i n p e p 3 3 40 c R 40 c R
ic ic E B ikn B cB n k k 1 ikR n) n e ( p 2 40 c R
如果取球坐标，原点在电荷电流分布
区域内，并以 p 方向为极轴，则由上
式可知： B沿纬线上振荡，E沿经线上振荡。
z
1 ikR | sin( )e ˆ B e | p 3 40 c R
则有
0 J ( x)eikr A( x ) dV 4 V r
式中因子eikr是推迟作用因子，它表示电磁波传到场 点时有相位滞后kr。 由电荷守恒定律，在一定频率的交变电流情形中有
i J
可见，只要电流密度给定，则电荷密度也自然确定， 标势也随之确定。 r
( x, t )
§5.3 电偶极辐射
电磁波是交变运动的电荷系统辐射 出来的，在宏观情形电磁波由载有交变 电流的天线辐射出来；在微观情形，变 速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。 本节研究宏观电荷系统在其线度远 小于波长情形下的辐射问题。
一、计算辐射场的一般公式 当电流分布 J ( x, t ) 给定时，计算辐射场的基础是 推迟势： A( x, t ) 0 J ( x, t )dV r 4 V
根据小区域的意义
l ~| x | ,
l ~| x | r.
因此，在计算辐射场时只须保留1/R的最低次项。 而 R r , r | x |，所以分母中可以去掉 n x 项。但分子不能去掉 n x 项，这是因为这项贡献 一个相因子： ikn x i 2n x /
结论：
1 ikR | sin( )e ˆ E e | p 2 40 c R
磁力线是围绕极轴的圆周，B总是横向的;电场线是经面上 的闭合曲线，由于在空间中 E 0 ，E线必须闭合。因此E不 可能完全横向，只有当略去1/E的高次项后，才近似为横向。
dV
从而得到矢势A的展开式为：
0 eikR 1 2 A( x ) J ( x ) 1 ik n x ( ik n x ) 4 R V 2!
展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。
三、电偶极辐射
展开式的第一项
ikR e A(1) ( x ) 0 4 R
注意到其中三个线度问题：
第一，电荷分布区域的线度l ，它决定积分区域 内| x’ |的大小；
2 第二，波长 的线度； k
第三，电荷到场点的距离r。 我们研究分布于一个小区域内的电流所产生的辐 射。所谓小区域是指：l 对于r 和λ的关系，可分为三种情况：
l r
a) 近区（似稳区） r , 但仍满足 r l
( x, t )
40 r
c dV
由此可见，由矢势公式就可以完全确定电磁场。 磁场
Biblioteka Baidu
ic 电场（在电荷分布区域外面） Ε Β k 二、矢势A的展开式
1. 小区域内的电流所产生的辐射的特点： 对于矢势
Β Α
0 J ( x)eikr A( x ) dV 4 V r
若电流 J ( x, t ) 是一定频率ω的交变电流，有
J ( x, t ) J ( x)e
因此
it
式中 k c 为波数
0 J ( x)ei ( k r t ) Α( x, t ) dV 4 r
如果令 A( x, t ) A( x )e it
e
e
所以涉及的是小参数 x 而不是 x R ，相位差
2n x 一般是不能忽略的，因此 x
要保留，
ik ( R n x ) 所以， A( x ) 0 J ( x )e dV 4 V R
把相因子对 kn x 展开，得
e
ikn x
1 2 1 ikn x (ikn x ) 2!
1
x
r
x
P y
x 2 2 n x 2 x r R 1 R 2 R 由二项式展开得到（略去 x 2 / R 2 等高次项）：
, J
r R n x
由此得到
0 J ( x)eik ( R n x) A( x ) dV 4 V R n x
ikR e (1) J d V p p 由于 ，所以 A ( x ) 0 4 R V
V
J ( x)dV
可见A(1)表示振荡电偶极矩产生的辐射，简称为电 偶极辐射。 由于讨论远区场时，只保留1/R的最低次项，因而 算符▽不需作用到分母上，而仅需作用到相因子 ikR e 上即可达到要求。
在近区内， kr <<1 ，推迟因子 eikr~1 ，因而场保持
稳恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，
磁场也和稳恒场相似。 b) 远区（辐射区）r>>λ，而且也保证r>>l。
1 1 在此区域中场强E和B均可略去 的高次项， R | x |
该区域内的场主要是横向电磁场。
c) 感应区（过渡区），r ~ λ，但满足r>>l。 这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和辐射区
的过渡区域中。
2. 辐射场的矢势展开式（远区） 选坐标原点在电流分布区域内，则 x 与l 同数 量级， R x ,
z
r x x 。
r
l o
x
, J
P
x
y
x
由图可知：
r | x x | | x | x 2 x x
2 2 2
2
z
l o
R x 2 Rn x
作用结果相当于代换： ikn , i t 由此得到，辐射场为 i0 k ikR B A ikn A e n p 4R
1 1 ikR ikR n e i n p e p 3 3 40 c R 40 c R
ic ic E B ikn B cB n k k 1 ikR n) n e ( p 2 40 c R
如果取球坐标，原点在电荷电流分布
区域内，并以 p 方向为极轴，则由上
式可知： B沿纬线上振荡，E沿经线上振荡。
z
1 ikR | sin( )e ˆ B e | p 3 40 c R
则有
0 J ( x)eikr A( x ) dV 4 V r
式中因子eikr是推迟作用因子，它表示电磁波传到场 点时有相位滞后kr。 由电荷守恒定律，在一定频率的交变电流情形中有
i J
可见，只要电流密度给定，则电荷密度也自然确定， 标势也随之确定。 r
( x, t )
§5.3 电偶极辐射
电磁波是交变运动的电荷系统辐射 出来的，在宏观情形电磁波由载有交变 电流的天线辐射出来；在微观情形，变 速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。 本节研究宏观电荷系统在其线度远 小于波长情形下的辐射问题。
一、计算辐射场的一般公式 当电流分布 J ( x, t ) 给定时，计算辐射场的基础是 推迟势： A( x, t ) 0 J ( x, t )dV r 4 V
根据小区域的意义
l ~| x | ,
l ~| x | r.
因此，在计算辐射场时只须保留1/R的最低次项。 而 R r , r | x |，所以分母中可以去掉 n x 项。但分子不能去掉 n x 项，这是因为这项贡献 一个相因子： ikn x i 2n x /
结论：
1 ikR | sin( )e ˆ E e | p 2 40 c R
磁力线是围绕极轴的圆周，B总是横向的;电场线是经面上 的闭合曲线，由于在空间中 E 0 ，E线必须闭合。因此E不 可能完全横向，只有当略去1/E的高次项后，才近似为横向。
dV
从而得到矢势A的展开式为：
0 eikR 1 2 A( x ) J ( x ) 1 ik n x ( ik n x ) 4 R V 2!
展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。
三、电偶极辐射
展开式的第一项
ikR e A(1) ( x ) 0 4 R
注意到其中三个线度问题：
第一，电荷分布区域的线度l ，它决定积分区域 内| x’ |的大小；
2 第二，波长 的线度； k
第三，电荷到场点的距离r。 我们研究分布于一个小区域内的电流所产生的辐 射。所谓小区域是指：l 对于r 和λ的关系，可分为三种情况：
l r
a) 近区（似稳区） r , 但仍满足 r l
( x, t )
40 r
c dV
由此可见，由矢势公式就可以完全确定电磁场。 磁场
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ic 电场（在电荷分布区域外面） Ε Β k 二、矢势A的展开式
1. 小区域内的电流所产生的辐射的特点： 对于矢势
Β Α
0 J ( x)eikr A( x ) dV 4 V r
若电流 J ( x, t ) 是一定频率ω的交变电流，有
J ( x, t ) J ( x)e
因此
it
式中 k c 为波数
0 J ( x)ei ( k r t ) Α( x, t ) dV 4 r
如果令 A( x, t ) A( x )e it
e
e
所以涉及的是小参数 x 而不是 x R ，相位差
2n x 一般是不能忽略的，因此 x
要保留，
ik ( R n x ) 所以， A( x ) 0 J ( x )e dV 4 V R
把相因子对 kn x 展开，得
e
ikn x
1 2 1 ikn x (ikn x ) 2!