基本初等函数 复合函数 双曲函数 反双曲函数的定义
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一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念
（三）连续的概念
基本初等函数
复合函数 初等函数
函 数 的定义
反函数 隐函数
函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
Байду номын сангаас
1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数 x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x )．
1
o
1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l ) D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
1
y x [ x]
y
称f ( x )为偶函数; 称f ( x )为奇函数; y
y x
y x
3
o
o
x
偶函数
x
奇函数
(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 x1 x2，当 x1 x2时，恒有： 及 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 y
cosh x sinh x 1 ; sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
2 2
cosh 2 x cosh x sinh x .
2 2
反双曲正弦 y arsinh x ; 反双曲余弦 y ar cosh x ; 反双曲正切 y artan x ;
o
x
6、基本初等函数
1）幂函数
y x
(是常数)
x
2）指数函数 y a
(a 0, a 1)
3）对数函数 y log a x 4）三角函数 y sin x;
y tan x;
(a 0, a 1)
y cos x;
y cot x;
5）反三角函数 y arcsin x; y arccos x;
2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若对于每一个 x D ,仅有一个值 y f ( x ) 与之对 应,则称 f ( x ) 为单值函数,否则就是多值函数.
y
ye
x
y
( x 1) y 1
2 2
o o
x
x
(2) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
o
1
x
3、反函数
由y f ( x )确定的y f
y sinh x
1
( x )称为反函数.
y f
1
( x ) ar sinh x
4、隐函数
由方程F ( x , y ) 0所确定的函数 y f ( x )称为隐函数.
如 y x e 0
y
5、反函数与直接函数之间的关系
y x
2
当 x 0 时为减函数; 当 x 0 时为增函数;
o
x
(4) 函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在( ,0)及(0, )上无界; 在( ,1]及[1, )上有界.
9、双曲函数与反双曲函数
双曲正弦 sinh x 双曲余弦 cosh x e e
x x
2 e e
x x
双曲正切 tanh x
2 sinh x
e e
x
x x
cosh x
e e
x
双曲函数常用公式
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
设函数f ( x )是一一对应
y
函数, 则
y f
1
( x)
1 f ( f 1 ( x )) f 1 ( f ( x ))
x x Df
( f ( x ), x )
y f ( x)
( x , f ( x ))
2 y f ( x )与y f 1 ( x )的
图象对称于直线y x .
数集 D 叫做这个函数的定义域， 叫做自变量， x y 叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域.
函数的分类
代 数 函 数
有 理 函 数
有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
函 数
初 等 函 数
无理函数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
y arctan x; y arc cot x
7、复合函数
设函数 y f (u ) 的定义域 D f ,而函数u ( x ) 的 值 域 为 Z, 若 D f Z , 则 称 函 数
y f [( x )]为 x 的复合函数.
8、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
（一）函数的定义 （二）极限的概念
（三）连续的概念
基本初等函数
复合函数 初等函数
函 数 的定义
反函数 隐函数
函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
Байду номын сангаас
1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数 x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x )．
1
o
1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l ) D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
1
y x [ x]
y
称f ( x )为偶函数; 称f ( x )为奇函数; y
y x
y x
3
o
o
x
偶函数
x
奇函数
(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 x1 x2，当 x1 x2时，恒有： 及 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 y
cosh x sinh x 1 ; sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
2 2
cosh 2 x cosh x sinh x .
2 2
反双曲正弦 y arsinh x ; 反双曲余弦 y ar cosh x ; 反双曲正切 y artan x ;
o
x
6、基本初等函数
1）幂函数
y x
(是常数)
x
2）指数函数 y a
(a 0, a 1)
3）对数函数 y log a x 4）三角函数 y sin x;
y tan x;
(a 0, a 1)
y cos x;
y cot x;
5）反三角函数 y arcsin x; y arccos x;
2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若对于每一个 x D ,仅有一个值 y f ( x ) 与之对 应,则称 f ( x ) 为单值函数,否则就是多值函数.
y
ye
x
y
( x 1) y 1
2 2
o o
x
x
(2) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
o
1
x
3、反函数
由y f ( x )确定的y f
y sinh x
1
( x )称为反函数.
y f
1
( x ) ar sinh x
4、隐函数
由方程F ( x , y ) 0所确定的函数 y f ( x )称为隐函数.
如 y x e 0
y
5、反函数与直接函数之间的关系
y x
2
当 x 0 时为减函数; 当 x 0 时为增函数;
o
x
(4) 函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在( ,0)及(0, )上无界; 在( ,1]及[1, )上有界.
9、双曲函数与反双曲函数
双曲正弦 sinh x 双曲余弦 cosh x e e
x x
2 e e
x x
双曲正切 tanh x
2 sinh x
e e
x
x x
cosh x
e e
x
双曲函数常用公式
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
设函数f ( x )是一一对应
y
函数, 则
y f
1
( x)
1 f ( f 1 ( x )) f 1 ( f ( x ))
x x Df
( f ( x ), x )
y f ( x)
( x , f ( x ))
2 y f ( x )与y f 1 ( x )的
图象对称于直线y x .
数集 D 叫做这个函数的定义域， 叫做自变量， x y 叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域.
函数的分类
代 数 函 数
有 理 函 数
有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
函 数
初 等 函 数
无理函数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
y arctan x; y arc cot x
7、复合函数
设函数 y f (u ) 的定义域 D f ,而函数u ( x ) 的 值 域 为 Z, 若 D f Z , 则 称 函 数
y f [( x )]为 x 的复合函数.
8、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.