基本初等函数 复合函数 双曲函数 反双曲函数的定义
高数16个基本初等函数
高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。
这些函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。
一、常数函数常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。
这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。
常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。
二、幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。
幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
幂函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。
三、指数函数指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。
指数函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
指数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细胞的增长等。
四、对数函数对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。
对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。
对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。
五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波动的曲线，它们的周期为2π。
正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。
三角函数在实际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。
六、反三角函数反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。
反三角函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。
反三角函数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。
七、双曲函数双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
初等函数的求导问题双曲函数与反双曲函数的导数
切线斜率
在几何上，导数等于曲线在某一点处 的切线斜率。
导数的计算方法
链式法则
对于复合函数的导数，链式法 则是重要的计算方法，即求内 层函数的导数后再乘以外层函
数的导数。
乘积法则
两个函数的乘积的导数是两个 函数分别求导后再求和。
商的导数公式
商的导数是分子和分母分别求 导后再相减。
幂函数的导数
幂函数的导数根据指数的不同 有不同的公式，如指数为1时， 幂函数的导数为y' = nx^(n-1)
实例
求双曲函数$y = sinh(2x)$的导
数。根据求导公式，$y'
=
cosh(2x)$。
反双曲函数求导实例
反双曲函数求导公式
对于反双曲函数$y = arcsin(x)$，其 导数为$y' = frac{1}{sqrt{1 - x^2}}$。
实例
求反双曲函数$y = arcsin(frac{1}{2})$的导数。根据求导 公式，$y' = frac{1}{sqrt{1 (frac{1}{2})^2}} = frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} = frac{sqrt{3}}{3}$。
应用实例分析
应用实例
在物理学中，双曲函数和反双曲函数常用于描述某些物理现 象，如波动、振动等。通过求导，可以进一步研究这些现象 的变化规律和性质。
应用实例
在经济学中，反双曲函数也常用于描述某些经济现象，如投 资回报率、风险评估等。通过求导，可以进一步研究这些现 象的变化趋势和最优解。
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利用导数研究函数的图像
总结词
通过求导可以绘制出函数的图像，并 了解其变化趋势。
详细描述
1-4复合函数,反函数,初等函数
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 2 1).
D : [1, )
y ar cosh x
在 [1,) 内单调增加.
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
解
10
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
当( x ) 1时,
x 1;
或 x 0, ( x ) x 2 1,
数学分析
2 或 x 0, ( x ) x 1 1,
1-4复合函数,反函数,初等函数
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
y
y tan x
y tan x的性质：
•周期为的周期函数 •无界函数：
lim tan x
x 0 2
y tan x
lim
x 0 2
tan x
2
O
2
x
•渐进线：x •特殊值：
tan(k ) 0 k 0,1,2,.
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
（3）.对数函数
y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
数学分析
y
1-4复合函数,反函数,初等函数
1
2
y sin x
3 2
复变函数1-5
i i 2 ki 2
e
2 k 2
其中 k 0,1,2,.
课堂练习 计算 ( 3) 5 . 答案 ( 3)
5
3 5 [cos 5( 2 k 1) i sin 5( 2 k 1)]. ( k 0,1,2,)
特殊地, 当 z x 0 时, Lnz 的主值 ln z ln x , 是实变数对数函数 .
10
. 例3 求 Ln2, Ln( 1) 以及与它们相应的主值
解
因为 Ln2 ln 2 2ki ,
所以 Ln2 的主值就是 ln2.
因为 Ln( 1) ln 1 iArg( 1) ( 2k 1)i ( k为整数) 所以 Ln(1) 的主值就是i .
e
1 1 cos ln 2 i sin ln 2 2 2
其中 k 0,1,2,. 1 i 故 (1 i ) 的辐角的主值为 ln2. 2
20
四、三角函数和双曲函数
1. 三角函数的定义
因为 e iy cos y i sin y,
b
即 a b e bLna .
(1) 当b 为整数时, a e
b
bLna
e
b[ln a i ( arg a 2 k )]
15
e
b (ln a iarg a ) 2 kbi
e b ln a , a b具有单一的值.
p ( 2) 当 b ( p与q为互质的整数, q 0)时, q
1 n 1 Lna n
e
1 ln a n
arga 2k arga 2k i sin cos n n
(完整版)高等数学上册知识点
高等数学上册第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
初等函数
1 2 e
e
cos(2 2k ) i sin(2 2k ),
(k 0, 1, 2,...)
i e
i
iLni
e
iiArg(i )
e
i i 2 k i 2
e
2 k 2
.
(k 0, 1, 2,...)
y y e cos x e cos x y y e sin x e sin x
解得 y 0, x k ,即z x iy k，其中 . k 0, 1,
盐城工学院基础部应用数学课程组
五、反三角函数 1. 定义
设 z cos w, 那么称w 为z 的反余弦函数, 记作
cos( Argz ) i sin( Argz )
ln z (ln z iargz ) 主值： z e e
i i Ln(1+i ) (1 i ) e 例如，
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例4 求 1 解
2
和 i 的值.
2Ln1
i
1 1.
22 k i
e x1 x2 [(cos y1 cos y2 sin y1 sin y2 )] i[(sin y1 cos y2 cos y1 sin y2 )]
和差角公式
e x1 x2 [cos( y1 y2 ) i sin( y1 y2 )]
e x1 x2 iy1 iy2 ez1 z2
注意: 在复数域内，负数具有对数; 正实数的对 数有无穷多值.
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例3 解
解方程 e z 1 3i 0.
高数第一章初等函数
2）反余弦函数 余弦函数
反余弦函数
y cos x
y
1
0
2
x [0, ]
y arccos x x [1,1]
y
y [1,1]
y [0, ]
x
1
1
0
x 1
余弦函数 y cos x 在 [0, ] 上的反函数，称为
反余弦函数，记为 y arccos x x [1,1] y [0, ]
10
例2 判断函数 f ( x) ln ( x 2 1 x) 的奇偶性. 解
f x f x
ln [ x 2 1 x] [ x 2 1 x]
ln1 0
则此函数为奇函数
11
（4）三角函数 1）正弦函数的性质
y sin x
x ,
解：
x e ln x , x 0
ln x 1 0 e 1 f ln x ln x ln x e e 1
ye
y
x
1 f x x e
0 e 1
x
e 1
x
0,1
x
1 x 0 f x x e 0 x
22
反余弦函数的性质
y arccos x
x [1,1]
y
y [0, ]
（1）在[ -1, 1 ]是有界函数；
0 arccos x
（2）是非奇非偶函数；
1
0
x 1
（3）在 [1, 1] 上是单调减函数。
23
3）反正切函数 正切函数 y tan x 在 (
数学分析第一章 习题课
n n 3 n1 n 2 lim 2 2 2 n n 1 n 2 n n 2 1 a 例7 设x1 0, 证明xn1 ( xn )有极限(a 0) 2 xn 证 显然 xn 0 1 a xn 1 ( xn ) a 2 xn
解
注意到分子成等差数列
( n 1) ( n 2) ( n n) 2 n n ( n 1) ( n 2) ( n n) n2 1
n( 3n 1) n( 3n 1) 即 2 2( n n) 2( n2 1) n( 3n 1) 3 lim 2 n 2( n n ) 2 n( 3n 1) 3 lim 2 n 2( n 1) 2
② lim(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ), (| x | 1)
2 4 n
2n
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) 原式 lim n 1 x 2 n 1 1 x 1 lim n 1 x 1 x
1 x 1 2( x 1) ) f ( ) , 1 x x x
解联立方程组
x 1 f ( x) f ( x ) 2 x 1 2 ) f ( x) f ( 1 x 1 x 1 x 1 2( x 1) f (1 x ) f ( x ) x
p( x ) x 3 例8 设p( x )是多项式, 且 lim 2, 2 x x p( x ) lim 1, 求p( x ). x 0 x 3 解 lim p( x ) 2 x 2, x x 可设p( x ) x 3 2 x 2 ax b(其中a , b为待定系数 ) p( x ) 又 lim 1, x 0 x p( x ) x 3 2 x 2 ax b ~ x ( x 0)
1.1 初等函数
余割函数
y = csc x
y = csc x
（5）反三角函数 ）
反正弦函数 y = arcsin x
y = arcsin x
反余弦函数 y = arccos x
y = arccos x
反正切函数 y = arctan x
y = arctan x
反余切函数 y = arccot x
y =arccot x
y
y = f ( x)
f ( x)
-x o
f ( x )
x
x
奇函数
（4）函数的周期性 ）
设函数 f ( x )的定义域为 D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 x ∈ D, ( x ± l ) ∈ D.且 f ( x + l ) = f ( x )
恒成立 . 则称f ( x )为周 期函数 , l称为 f ( x )的周期 .
(1,0 )
(a > 1)
y = log 1 x
a
（4）三角函数 ） 正弦函数 y = sin x
y = sin x
余弦函数 y = cos x
y = cos x
正切函数 y = tan x
y = tan x
余切函数 y = cot x
y = cot x
正割函数 y = sec x
y = sec x
y
y = x2
1
(1,1)
y= x
y= x
o
1 y= x
1
x
（2）指数函数 y = a ）
x
(a > 0, a ≠ 1) y = e x
1 x y =( ) a
y = a x (a > 1)
高中数学知识点大全总结苏教版
高中数学知识点大全总结苏教版高中数学知识点大全总结（苏教版）一、函数与导数1. 函数的概念与性质- 函数的定义- 函数的表示方法- 函数的域与值域- 函数的奇偶性- 函数的单调性与周期性2. 基本初等函数- 幂函数、指数函数与对数函数- 三角函数及其性质- 反三角函数- 双曲函数3. 函数的极限与连续性- 极限的概念与性质- 无穷小与无穷大- 函数的连续性与间断点4. 导数与微分- 导数的定义与几何意义- 常见函数的导数- 高阶导数- 微分的概念与应用5. 导数的应用- 函数的极值与最值问题- 曲线的切线与法线- 洛必达法则- 函数的单调区间与曲线的凹凸性二、三角函数与解三角形1. 三角函数的图像与性质- 三角函数的图像- 三角函数的基本性质- 三角函数的和差化积与积化和差2. 三角函数的恒等变换- 同角三角函数的基本关系- 恒等变换公式3. 解三角形- 三角形的边角关系- 正弦定理与余弦定理- 三角形面积的计算三、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列- 数列的基本概念- 等差数列与等比数列的定义、通项公式与求和公式2. 数列的极限- 数列极限的概念- 极限的四则运算3. 数学归纳法- 数学归纳法的原理- 证明方法与步骤四、平面向量与解析几何1. 平面向量- 向量的基本概念与运算- 向量的模、方向角与投影2. 直线与圆的方程- 直线的点斜式、两点式与一般式方程- 圆的标准方程与一般方程3. 圆锥曲线- 椭圆、双曲线与抛物线的方程及其性质五、立体几何1. 空间直线与平面- 空间直线的方程- 平面的方程- 直线与平面的位置关系2. 立体图形的性质- 棱柱、棱锥与圆柱、圆锥、圆台的体积与表面积 - 球的体积与表面积六、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件与概率的定义- 条件概率与独立事件2. 随机变量及其分布- 离散型随机变量与连续型随机变量- 概率分布与概率密度函数3. 统计初步- 总体与样本- 统计量的概念与计算- 线性回归与相关分析以上是苏教版高中数学的主要知识点总结，涵盖了函数、三角函数、数列、向量、解析几何、立体几何、概率与统计等多个领域。
复变函数2.2
19
思考题
实变三角函数与复变三角函数在性质上有 哪些异同? 哪些异同
20
思考题答案
两者在函数的奇偶性、周期性、 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是 类似的, 而且导数的形式、 类似的 而且导数的形式、正余弦函数的平方和等 公式也有相同的形式. 公式也有相同的形式 最大的区别是, 实变三角函数中, 最大的区别是 实变三角函数中 正余弦函数都 是有界函数, 但在复变三角函数中, 是有界函数 但在复变三角函数中
| cos z | = cos x + sinh
2 2 2
y
12
(8) | sin z |≤ 1, | cos z |≤ 1在复数域内不再成立 .
例
求 cos(1 + i ) 的值.
e i (1+ i ) + e − i (1+ i ) 解 cos(1 + i ) = 2 1 −1 = [e (cos 1 + i sin 1) + e(cos 1 − i sin 1)] 2 1 −1 1 −1 = (e + e ) cos 1 + (e − e )i sin 1 2 2 = cos 1 cosh 1 − i sin 1 sinh 1.
,
例3
e
1 z
z2
=e
x2 − y2
;
x −y +i 2 2 x2 + y2 x + y
( 2) e = e
1 z
1 x + yi
=e
,
. 求函数 f (z) =e 的周期
z 5
Re(e ) = e
x x2 + y2
y cos 2 . 2 x +y
高考常考的超越函数—双曲函数
高考常考的超越函数—双曲函数戴又发双曲函数是工程技术中的一类常用函数，也是一类最重要的初等函数.尽管在高中数学教学中没有对双曲函数进行系统学习，但随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点.一．定义我们定义函数2sinh x x e e x --=为双曲正弦函数．函数2cosh xx e e x -+=为双曲余弦函数．函数 xx xx ee e e x --+-=tanh 为双曲正切函数． 并将它们统称为双曲函数．二．双曲函数的图象与基本性质1．双曲正弦函数2sinh xx e e x --=的图象和基本性质定义域：R ； 值域：R ； 单调性：增函数；奇偶性：奇函数，图象关于原点对称； 零点：0=x ； 反函数：)1ln(sinh21x x x ++=-．2．双曲余弦函数2cosh xx e e x -+=的图象和基本性质定义域：R ； 值域：),1[+∞； 单调性：在)0,(-∞上单调减函数； 在),0(+∞上单调增函数； 奇偶性：偶函数； 最小值：1．3．双曲正切函数xx xx e e e e x --+-=tanh 的图象和基本性质定义域：R ； 值域：)1,1(-； 单调性：增函数； 奇偶性：奇函数； 反函数：xxx +-=-11ln21tanh 1三．重要关系 1．商数关系：xxx cosh sinh tanh =；2．平方关系： 1sinh cosh 22=-x x3．加法公式：y x y x y x sinh cosh cosh sinh )sinh(⋅+⋅=+y x y x y x sinh sinh cosh cosh )cosh(⋅+⋅=+ yx yx y x tanh tanh 1tanh tanh )tanh(⋅++=+4．减法公式：y x y x y x sinh cosh cosh sinh )sinh(⋅-⋅=-y x y x y x sinh sinh cosh cosh )cosh(⋅-⋅=- yx yx y x tanh tanh 1tanh tanh )tanh(⋅--=-5．二倍数公式：x x x cosh sinh 22sinh ⋅=1sinh 21cosh 2sinh cosh 2cosh 2222+=-=+=x x x x xxxx 2tanh 1tanh 22tanh +=四．导数性质1． x x cosh )(sinh ='； 2．x x sinh )(cosh =' 3．x x 2tanh 1)(tanh -='五．高考试卷中的双曲函数例1.【 2009年山东理科第6题】函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为 【解析】函数有意义，需使0xxe e--≠，其定义域为{}0|≠x x ，排除C ，D ，又因为22212111x x x x x x xe e e y e e e e --++===+---，所以当0x >时函数为减函数，故选A ． 答案：A ．【命题立意】本题选取双曲正切函数的倒数作为研究对象，这个函数也叫双曲余切函数．考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的双曲余切函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内考察其余的性质．例2.【 2015年新课标Ⅰ第13题】若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则=a 【解析】因为函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，由0)]ln([)ln()()(22≡++---++=--x a x x x a x x x f x f ， 得 0)ln()ln(22≡++-+++x a x x a x ，1x y 1OA xyO 11B xyO 1 1 C x y 1 1 DO0ln ln(22==-+a x x a ）．所以1=a ．【命题立意】本题已知函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，能得到函数)ln()(2x a x x g ++=应为奇函数，而函数)1ln(2x x ++正是双曲正弦函数2x x e e --的反函数，且为奇函数，故1=a ．本题的根仍为双曲函数．例3. 【 2015年湖北文科卷21】设函数)(x f ，)(x g 的定义域均为，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，x e x g x f =+)()(，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求)(x f ，)(x g 的解析式，并证明：当0>x 时，0)(>x f ，1)(>x g ； （Ⅱ）设，，证明：当时，)1()()()1()(b x bg xx f a x ag -+<<-+. 【解析】（Ⅰ）由)(x f ，)(x g 的奇偶性及x e x g x f =+)()(①得： xe x g xf -=+-)()( ②联立①②解得)(21)(x x e e x f --=，)(21)(x x e e x g -+= 当0>x 时，1>x e ，10<<-x e ，故0)(>x f ③又由基本不等式，有1)(21)(=>+=--x x x xe e e e x g ，即1)(>x g ④ （Ⅱ）由（Ⅰ）得)(21)(x x e e xf --=，)(21)(x x e e x g -+= )()(21)(x g e e x f x x=+='-， ⑤ )()(21)(x f e e x g x x=-='-， ⑥ 当0>x 时，)1()()(a x ag xx f -+>等价于x a x axg x f )1()()(-+>， ⑦)1()()(b x bg xx f -+<等价于x b x bxg x f )1()()(-+< ⑧ 设函数x c x cxg x f x h )1()()()(---= ，由⑤⑥，有)1()()()()(c x cg x g cx x f x h ---'-'='R 0x >0a ≤1b ≥0x >)(]1)()[1()1()()()(x cxf x g c c x cg x cxf x g ---=----=，当0>x 时，（1）若0≤c ，由③④，得0)(>'x h ，故)(x h 在),0[+∞上为增函数，从而0)0()(=>h x h ，即x c x cxg x f )1()()(-+>，故⑦成立（2）若1≥c ，由③④，得0)(<'x h ，故)(x h 在),0[+∞上为减函数，从而0)0()(=<h x h ，即x c x cxg x f )1()()(-+<，故⑧成立)1()()()1()(b x bg xx f a x ag -+<<-+ 综合⑦⑧，得 )1()()()1()(b x bg xx f a x ag -+<<-+. 【命题立意】本题正是一道较全面研究双曲正弦函数和双曲余弦函数的试题．涉及双曲函数的奇偶性、单调性、值域和导数性质，是一道综合性较强的试题．例4.【 2014年江苏第19题】已知函数xxe e xf -+=)(，其中e 为自然对数的底数．（1）证明：)(x f 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式1)(-+≤-m ex mf x在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立，试比较1-a e 与1-e a 的大小，并证明你的结论．【解析】（1）函数)(x f 的定义域为R ，又)()(x f e e x f x x=+=--，所以，)(x f 是R 上的偶函数．（2）因为),0(+∞∈x 时，22)(=>+=--x x xx e e e e x f ，原不等式可变为1]1)([-≤--xex f m ，即1]1[-≤-+--x x x e e e m ，命题转化为：关于x 的不等式11-+-≤--xx x e e e m 在),0(+∞上恒成立． 令 11)(-+-=--x x x e e e x g ，则43)21(111)(2+--=-+-=--xxxxxe e e e e x g ，当2ln =x 时，)(x g 取得最小值31-， 所以实数m 的取值范围为31-≤m ． （3）要比较1-a e 与1-e a 的大小，需先找到正数a 的范围．将)3()(0300x x a x f +-<化为000331x x ee x x a -++-<． 令 xx e e x x x h -++-=3)(3，),1[+∞∈x ，条件等价于max )(1x h a <． 由 232)())(3())(33()(x x x x x x e e e e x x e e x x h ---+-+--++-='，再令))(3())(33()(32xxxxe e x x e e x x t ---+--++-=．+-+-++-='--))(33())(6()(2x x x x e e x e e x x t))(3())(33(32x x x x e e x x e e x --+-+--+ ))(9(3x x e e x x -+-=．在),1[+∞∈x 上，))(9(3x x e e x x -+-存在零点3=x ．当31<≤x 时，0)(<'x t ，此时0)1()(<<t x t ，0)(<'x h ， 1m a x 2)1()(-+==ee h x h ． 当3≥x 时，0)(<x h ，所以1max 2)(1-+=<e e x h a ，即21-+>e e a ．要比较两正数1-a e 与1-e a 的大小，只需比较e a ln )1(-与a e ln )1(-的大小．作函数1ln )(-=x x x u ，则2)1(ln 1)(---='x xx x x u ， 再令x x x x v ln 1)(--=，则22111)(xx x x x v -=-='． 当1>x 时，有0)(<'x v ，0)1()(=≤v x v ．0)(<'x u ．所以1ln )(-=x xx u 在1>x 时，为减函数． 当e a e e <<+-21时，1ln 1ln ->-e e a a ，即>-1e a 1-a e ； 当e a =时， =-1e a 1-a e ； 当e a >时，1ln 1ln -<-e ea a ，即<-1e a 1-a e ．【命题立意】本题所给函数xxee xf -+=)(正是双曲余弦函数的2倍．涉及双曲函数的奇偶性、单调性和导数的应用，也是一道综合性较强的试题．此外，在很多高考辅导资料或高考模拟试卷中，也常能找到与双曲函数有关的试题．例 5.在工程技术中，常常用到双曲正弦函数2xx e e s h x --=和双曲余弦函数2xx e e c h x -+=，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余弦函数有y x y x y x sin sin cos cos )cos(-=+成立．而关于双曲正、余弦函数满足shxshy chxchy y x ch +=+)(． 请你类比此关系式，写出关于双曲正、余弦函数的一个新关系式 ．【解析】这是一道类比推理题．考生可以有很多新关系式可以填，例如shy chx chy shx y x sh ⋅-⋅=-)(，当然要保证符号不错，考生用类比的方法找到关系式后，需要简单的证明． 其实考生可以利用双曲正、余弦函数的奇偶性，在所给关系式中用y -代替y ，得到y x y x y x sinh sinh cosh cosh )cosh(⋅-⋅=-也可以将替y 换成x ，得到x x x 22sinh cosh 2cosh +=等等．双曲函数是初等函数，也是高考试卷中常出现的一类超越函数．针对学有余力的考生，适当的引导他们寻找一部分高考试题的根，系统研究一下双曲函数，对发展思维，提高能力，搞定那些雷人的高考题是非常必要的．。
基本初等函数与初等函数
2、反双曲函数
反双曲正弦
y arshx ln( x x2 1)
D : (,)
奇函数,
在 (,)内单调增加.
y arshx
反双曲余弦 y archx
y archx ln( x x2 1).
y archx
D :[1,) 在 [1,) 内单调增加.
记作U
(a,
).
2.函数概念 定义
设数集X、Y为两个非空实数集合，对任意X中的元 素x，按照某一对应规则f ，Y中都有唯一的一个数y与之 对应，则称规则f : X Y为定义在X上的函数, 通常简记 为 yf(x),
其中x称为自变量, y称为因变量, X称为定义域, 记作 Df, 即DfX.
(a 1)
y log 1 x
a
4）三角函数 与反三角函数
正弦函数 y sin x
定义域：R，值域：[-1,1]
求y sin x , x [ , ]的反函数:
22
x arcsin y y arcsin x
反正弦函数
余弦函数 y cos x
定义域x [1,1], 值域 y
2
2
求y cos x , x [0, ]的反函数:
y arccos x 反余弦函数
定义域x [1,1], 值域0 y
正切函数 y tan x
定义域：x k，值域：R
2
求y tan x , x ( , )的反函数:
22
y arctan x 反正切函数
1. y 1 ln 1 x . 2 1 x
2.y ln(x x2 1)
ex ex 3. y
双曲函数
arsh x= ln(x+ x 2 1)的证明： y=arsh x是x=sh y的反函数，因此满足
x= 2 (ey-e-y) ，
令u=ey， 由上式得 u2-2xu- 1=0， 解方程得
1
u=x + x 2 1 ，
即 ey=x + x 2 1 ， y= ln(x+ x2 1 )
两边取对数得
2．反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数，它们都是多值函数. 反正弦函数： y=Arcsin x， 定义域为[-1，1]. 反正弦函数的主值： y y
y=Arcsin x
y=Arccos x
p 2
y=arcsin x， 其值域规定为[ p ， p ]. 2 2 反余弦函数： y=Arccos x． 定义域为[-1，1]．
域为D2，u称为中间变量．
u=j(x) D2 y =f [j(x)] D1
y =f(u)
例 函数y=arctan (x)2可看作是由y=arctan x和u=x2复合而成
的．
函数y= 1 ln 2 x 可看作是由y= u ，u=1+v2，v=lnx 复合而成的．其中u， v 都是中间变量． x 函数y= u ，u=cot v，v= 经复合可得函数 2 y=
§1．2
初等函数
一、幂函数 二、指数函数与对数函数
指数函数、 对数函数
三、三角函数与反三角函数
正弦和余弦函数、 正切和余切函数、正割和余割函数、 反正弦和反余弦函数、 反正切函数、 反余切函数
四、复合函数
初等函数
复合函数、基本初等函数与初等函数
五、双曲函数与反双曲函数
双曲函数、 双曲函数的性质、 反双曲函数
高考常考的超越函数——双曲函数
高考常考的超越函数——双曲函数
双曲函数是工程技术中的一类常用函数，也是一类最重要的初等函数.尽管在高中数学教学中没有对双曲函数进行系统学习，但随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点.
一．双曲函数的定义
二．双曲函数的图象与基本性质
三．双曲函数的重要关系
四．双曲函数的导数性质
双曲函数与三角函数很相似五．高考试卷中的双曲函数
随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点.
再看看近几年高考试卷中的双曲函数．
此外，在很多高考辅导资料或高考模拟试卷中，也常能找到与双曲函数有关的试题．
双曲函数是初等函数，也是高考试卷中常出现的一类超越函数．针对学有余力的考生，适当的引导他们寻找一部分高考试题的根，系统研究一下双曲函数，对发展思维，提高能力，搞定那些雷人的高考题是非常必要的．。
复变函数第二章2-3
例6 求下列各式的值:
(1)Ln( 2 3i ); ( 2)Ln( 3 3i ); ( 3)Ln( 3).
解
(1)Ln ( 2 3i )
ln 2 3i iArg(2 3i )
1 3 ln 13 i arctan 2k . 2 2
例1 设 z x iy , 求(1) e
i 2 z
; ( 2) e ; ( 3) Re(e );
z2
1 z
解
因为 e z e x iy e x (cos y i sin y )
所以其模 e z e x , 实部 Re(e z ) e x cos y.
5
(1) e
i 2 z
13
例5
解方程 e z 1 3i 0.
解
因为 e z 1 3i ,
所以 z Ln(1 3i )
ln 1 3i i 2k 3 ln 2 i 2k 3
( k 0, 1, 2,)
14
d ln z 1 1 w . dz de z dw
[证毕]
18
三、乘幂 a 与幂函数
1. 乘幂的定义
b
设 a 为不等于零的一个复数 , b 为任意一个 复数, 乘幂 a b 定义为 e bLna ,
注意:
由于 Lna ln a i (arga 2k) 是多值的, 因而 a 也是多值的.
如果 a z 为一复变数, 就得到一般的幂函数 w zb;
1 当 b n 与 时, 就分别得到通常的幂函 数 w zn n 及 z w n 的反函数 w z n z .
1 n
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
2.5初等函数(下)
ii
பைடு நூலகம்
e iLni
ei
i 2
2ki
e
2k 2
其中k
0,1,2,.
课堂练习 计算 (3) 5 .
答案(3) 5 3 5[cos 5(2k 1) i sin 5(2k 1)]. (k 0,1,2,)
5
解析性 因为 Lnz 在除去原点和负实轴的复平面内
2 1z
15
复变初等函数是一元实变初等函数在复数 范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基 本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:
1. 指数函数具有周期性 ( 周期为 2πi ) 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性
sin z 1与 cos z 1不再成立.
是解析的, 所以幂函数 z eLnz 在该区域上解析。 并且根据复合函数求导公式, 可得
z eLnz 1 eLnz z1. z
6
1. 三角函数的定义 (Trigonometric Function)
我们定义余弦函数为
eiz eiz
cos z
,
正弦函数为
2 sinz eiz eiz .
单值函数.
2i
容易证明, sin z 是奇函数, cosz 是偶函数. 奇偶性
sin(z) sin z, cos(z) cos z.
正弦函数和余弦函数都是以 2 为周期的. 周期性 sin(z 2) sin z, cos(z 2) cos z.
7
正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数. (sin z) cos z, (cos z) sin z. 解析性
(2) shz,chz是以 2 i为周期的周期函数.
初等函数
y cot x
余切函数是以 为周期的周期函数 ,它是奇函数 .
D x : x R, x n，n Z .
正割函数
y sec x
y sec x
1 sec x , cos x
正割函数是以 2为周期的周期函数 .
余割函数 y csc x
y csc x
1 csc x . sin x
y arshx
ln( x x 2 1)
y arshx
D ( ,)
奇函数,
在 ( ,) 内单调增加. Nhomakorabea反双曲余弦 y archx
y archx ln( x x 2 1)
y archx
D [1,)
在 [1,) 内单调增加.
反双曲正切 y arthx
余割函数是以 2为周期的周期函数 .
5.反三角函数
反正弦函数
y arcsin x
y arcsin x
D 1,1 , W , . 2 2
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
D 1,1 , W 0, .
反正切函数 y arctan x
第二节
初等函数
一、基本初等函数
二、复合函数
初等函数
三、双曲函数与反双曲函数
一、基本初等函数
1.幂函数 y x ( 是常数)
y
y x2
1
(1,1)
y x
y x
o
1 y x
1
x
y x , y x , y x 2的图象过(0,0)和(1,1)，且在
2
1
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（一）函数的定义 （二）极限的概念
（三）连续的概念
基本初等函数
复合函数 初等函数
函 数 的定义
反函数 隐函数
函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
Байду номын сангаас
1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数 x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x )．
1
o
1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l ) D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
1
y x [ x]
y
称f ( x )为偶函数; 称f ( x )为奇函数; y
y x
y x
3
o
o
x
偶函数
x
奇函数
(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 x1 x2，当 x1 x2时，恒有： 及 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 y
cosh x sinh x 1 ; sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
2 2
cosh 2 x cosh x sinh x .
2 2
反双曲正弦 y arsinh x ; 反双曲余弦 y ar cosh x ; 反双曲正切 y artan x ;
o
x
6、基本初等函数
1）幂函数
y x
(是常数)
x
2）指数函数 y a
(a 0, a 1)
3）对数函数 y log a x 4）三角函数 y sin x;
y tan x;
(a 0, a 1)
y cos x;
y cot x;
5）反三角函数 y arcsin x; y arccos x;
2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若对于每一个 x D ,仅有一个值 y f ( x ) 与之对 应,则称 f ( x ) 为单值函数,否则就是多值函数.
y
ye
x
y
( x 1) y 1
2 2
o o
x
x
(2) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
o
1
x
3、反函数
由y f ( x )确定的y f
y sinh x
1
( x )称为反函数.
y f
1
( x ) ar sinh x
4、隐函数
由方程F ( x , y ) 0所确定的函数 y f ( x )称为隐函数.
如 y x e 0
y
5、反函数与直接函数之间的关系
y x
2
当 x 0 时为减函数; 当 x 0 时为增函数;
o
x
(4) 函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在( ,0)及(0, )上无界; 在( ,1]及[1, )上有界.
9、双曲函数与反双曲函数
双曲正弦 sinh x 双曲余弦 cosh x e e
x x
2 e e
x x
双曲正切 tanh x
2 sinh x
e e
x
x x
cosh x
e e
x
双曲函数常用公式
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
设函数f ( x )是一一对应
y
函数, 则
y f
1
( x)
1 f ( f 1 ( x )) f 1 ( f ( x ))
x x Df
( f ( x ), x )
y f ( x)
( x , f ( x ))
2 y f ( x )与y f 1 ( x )的
图象对称于直线y x .
数集 D 叫做这个函数的定义域， 叫做自变量， x y 叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域.
函数的分类
代 数 函 数
有 理 函 数
有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
函 数
初 等 函 数
无理函数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
y arctan x; y arc cot x
7、复合函数
设函数 y f (u ) 的定义域 D f ,而函数u ( x ) 的 值 域 为 Z, 若 D f Z , 则 称 函 数
y f [( x )]为 x 的复合函数.
8、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.