数字信号处理第四章附加习题及答案-new

第四章附加题

1. 请推导出三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，设1/c rad s Ω=。 解：幅度平方函数是：2

26

1

()()1A H j Ω=Ω=

+Ω

令： 22s Ω=- ,则有：6

1

()()1a a H s H s s -=- 各极点满足121[]26

1,26k j k s e

k π-+==

所得出的6个 k s 为：

1

5==j e

s 23213

2

1j

e

s j +-==π

1

2-==πj e s 2

32

13

43j

e

s j --==π2

3213

54j e

s j -==π2

3213

16j e

s j +==π

1

5==j e s 2321

3

2

1j

e s j +-==π1

2-==πj e s 2

32

1343j

e s j --==π2

3213

54j e

s j -==π2

3213

16j e

s j +==π

1

22))()(()(23

3210+++=---=

s s s k s s s s s s k s H a 1

221

)(23+++==

s s s s H a 代入s=0时, ,

可得,故:1=)s (H a 10=k

2. 设计一个满足下列指标的模拟Butterworth 低通滤波器，要求通带的截止频率

6,p f kHz =，通带最大衰减3,p A dB =，阻带截止频率12,s f kHz =，阻带的最

小衰减25s A dB =，求出滤波器的系统函数。

解： 2,2s s p p f f ππ

Ω=Ω= 0.10.1101lg 101N 2lg()

s p

A A s

p

⎛⎫

- ⎪

-⎝⎭≥ΩΩ=4.15

取N=5，查表得H(p)为：

221

()(0.6181)( 1.6181)(1)

H p p p p p p =

+++++

因为3,p A dB =所以c p Ω=Ω

[]

5

2

222

()()

0.618 1.618c

s p c c c c c c H s H p s s s s s =

Ω=Ω=⎡⎤⎡⎤+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω⎣⎦⎣⎦

3. 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率 f p =3kHz ，通带衰

减要不大于0.2dB ，阻带截止频率 f s = 12kHz ，阻带衰减不小于 50dB 。 解：

26000224000p p s s f f ππππ

Ω==Ω==

切比雪夫滤波器的参数 ε为：

0.2171ε==

滤波器阶数 N 为：

1

1

3.8659[/]

s p ch N ch ε--⎢⎢⎥⎣⎦==ΩΩ，取整数 N ＝4。

归一化的传输函数 H(p)为： 4

(1)1

11

1

()2()

1.7368()

N

N k k k k H p p p p p ε-===

=

⋅--∏∏

其中

222121sin cos 22k k k p sh jch N N φπφπ++⎡⎤⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝

⎭⎣⎦⎣⎦， 0,1,21k N =-

12110.5580sh N φε

-=

= 以上也可以通过查表获得。 实际的传输函数H(s) 为：

16

2

828()()

7.268710(16731 4.77910)(40394 4.77910)

P

s

p H s H p s s s s =

Ω=⨯=++⨯++⨯

4. 数字滤波器经常以下图描述的方式来处理带限模拟信号。在理想情况下，模

—数变换器把模拟信号取样，产生序列()()a x n x nT =，而数—模变换器又将取样()y n 变成限带波形

()()

()()

sin a n T t nT y t y n T t nT ππ∞

=-∞

-=

-∑

整个系统等效于一个线性时不变模拟系统。 (1)

如果系统()h n 的截止频率是8rad s π，110T kHz =，等效模拟滤波器的截止频率是多少？

(2)

设120kHz =，重复(1)。

()

()

()

()

()

()

()

T T a x t x n y n y t a h n −−−→

−−−→

−−−→

−−−→

模-数变换器

数-模变换器

周期周期

解： (1) 根据题意，当8ωπ≥时，()0j H e ω=，所以

()()()0j j j Y e X e H e ωωω==

在模—数变换器中

()1j a j Y e X T T ωω⎛⎫

=

⎪⎝⎭

所以

8

c c T π

ω=

=Ω

对应于模拟滤波器的截止频率为