数字信号处理第四章附加习题及答案-new
数字信号处理教程课后习题及答案
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题+答案+图)
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明
理由。
1 N 1 N k 0 （2） y(n)=x(n)+x(n+1)
第 1 章
（2） 令输入为
x(n－n0) 输出为
Байду номын сангаас
时域离散信号和时域离散系统
y′(n)=2x(n－n0)+3
y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)
故该系统是非时变的。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。
m
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题7图
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
第 1 章
解法（二）
时域离散信号和时域离散系统
采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为
n n0 k n n0
|x(k)|≤|2n0+1|M， 因
此系统是稳定的； 假设n0>0， 系统是非因果的， 因为输出
数字信号处理第四章习题
第四章习题4.1 (a) By expanding the equation()()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰--∞→∞→2200021T T Ft j T xx T xx dt e t x T E lim F P E lim F 00πΓ taking the expected value, and finally taking the limit as ∞→0T ,show that the right-hand side converges to )(f xx Γ.(b) Prove that2102211)(1)(∑∑-=---+-==N n fn j fm j N N m xx en x N e m r ππ.4.2 For zero-mean, jointly Gaussian random variables, X 1, X 2, X 3, X 4, itis well known that)()()()()()()(3241423143214321X X E X X E X X E X X E X X E X X E X X X X E ++=. Use this result to derive the mean-square value of ()m r xx and the variance, given by()[][]()()()[]∑∞-∞=+-+-≈n xx xx xx xx m n m n n m N N m r γγγ*22varwhich is defined as[][][]22(()(var m r E m r E m r xx xx xx -=. 4.3 By use of the expression for the fourth joint moment for Gaussianrandom variables, show that(a)()()[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=2212122121421)(sin )(sin )(sin )(sin 1f f N N f f f f N N f f f P f P E x xx xx ππππσ (b)[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=2212122121421)(sin )(sin )(sin )(sin )()(cov f f N N f f f f N N f f f P f P x xx xx ππππσ(c)[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=242sin 2sin 1)(var f N fN f P x xx ππσ under the condition that the sequence ()n x is a zero-mean white Gaussian noise sequence with variance 2x σ.4.4 Generalize the results in Problem 4.3 to a zero-mean Gaussian noiseprocess with power density spectrum )(f xx Γ, as given by()[]()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=222sin 2sin 1var f N fN f f P xx xx ππ (Hint: Assume that the colored Gaussian noise process is the output of a linear system excited by white Gaussian noise.)4.5 Show that the periodogram values at frequencies,1,1,0,/-==L k L k f k given by (4.1.35), can be computed by passing the sequence through a bank of L IIR filters, where each filter has an impulse response )()(/2n u e n h N nk j k π-= and then computing the magnitude-squared value of the filter outputs at n=N. Note that each filter has a pole on the unit circle at the frequency f k .4.6 The Bartlett method is used to estimate the power spectrum of asignal x(n). We know that the power spectrum consists of a single peak with a 3 dB bandwidth of 0.01 cycle per sample, but we do not know the location of the peak.(a) Assuming that N is large, determine the value of M=N/K so thatthe spectral window is narrower than the peak.(b) Explain why it is not advantageous to increase M beyond thevalue obtained in part (a).4.7 The N-point DFT of a random sequence x(n) is ∑-=-=10/2)()(N n N nk j e n x k X π.Assume that E[x(n)]=0 and E[x(n)x(n+m)]=)(2m w δσ (in other words,x(n) is a white noise process).(a) Determine the variance of X(k).(b) Determine the autocorrelation of X(k).4.8 An AR(2) process is described by the difference equation)()2(81.0)(n n x n x ω+-=, where w(n) is a white noise process withvariance 2ωσ.(a) Determine the parameters of the MA(2), MA(4), and MA(8)models that provide a minimum mean-sequare error fit to thedata x(n).(b) Plot the true spectrum and those of the MA (q), q=2,4,8spectra and compare the results. Comment on how well theMA(q) models approximate the AR (2) process.4.9 An MA (2) process is described by the difference equation )2(81.0)()(-+=n n n x ωω, where w(n) is a white noise process withvariance 2ωσ.(a) Determine the parameters of the AR(2), AR(4), and AR(8)models that provide a minimum mean-square error fit to the data x(n).(b) Plot the true spectrum and those of the AR(p), p=2,4,8, andcompare the results. Comment on how well the AR(p) modelsappoximate the MA (2) process.4.10 The autocorrelation sequence for an AR process x(n) ismxx m ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41)(γ (a) Determine the difference equation for x(n)(b) Is your answer unique? If not, give any other possiblesolutions.4.11 Suppose that we represent an ARMA(p,q) process as a cascade ofan MA(q) followed by an AR(p) model. The input-output equation for the MA(q) model is ∑=-=qk k k n w b n v 0)()(, where w(n) is a whitenoise process. The input-output equation for the AR(p) model is∑==-+pk k n v k n x a n x 1)()()((a) By computing the autocorrelation of v(n), show thatq m d b b m mq k m w m k k w vv ≤≤==∑-=+0)(022σσγ(b) Show that 1)()(00=+=∑=a k m a m pk vx k vv γγ4.12 Suppose that the AR(2) process in Problem 4.8 is corrupted by anadditive white noise process v(n) with variance 2v σ. Thus, we havey(n)=x(n)+v(n)(a) Determine the difference equation for y(n) and thusdemonstrate that y(n) is an ARMA(2,2) process. Determinethe coefficients of the ARMA process.(b) Generalize the result in part (a) to an AR(p) process∑=+--=pk k n w k n x a n x 1)()()( and )()()(n v n x n y +=.4.13 The harmonic decomposition problem considered by Pisarenko maybe expressed as the solution to the equationa a a Γa H w yy H 2σ=The solution for a may be obtained by minimizing the quadratic form a Γa yy H subject to the constraint that a a H =1. The constraint can be incorporated into the performance index by means of a Lagrange multiplier. Thus the performance index becomes()a a a Γa H yy H 1-+=λζ.By minimizing ζ with respect to a , show that this formulation is equivalent to the Pisarenko eigenvalue problem given in (4.4.9), with the Lagrange multiplier playing the role of the eigenvalue. Thus,show that the minimum of ζ is the minimum eigenvalue 2w σ.4.14 The autocorrelation of a sequence consisting of a sinusoid withrandom phase in noise is)(2cos )(21m m f P m w xx δσπγ+=where 1f is the frequency of the sinusoidal, P its power, and 2w σthe variance of the noise. Suppose that we attempt to fit an AR(2) model to the data.(a) Determine the optimum coefficients of the AR(2) model as afunction of 2w σ and 1f .(b) Determine the reflection coefficients 1K and 2K correspondingto the AR(2) model parameters.(c) Determine the limiting values of the AR(2) parameters and (1K ,2K )as 02→w σ.4.15 This problem involves the use of cross-correlation to detect a signalin noise and estimate the time delay in the signal. A signal x(n) consists of a pulsed sinusoid corrupted by a stationary zero-mean white noise sequence. That is, 10),()()(0-≤≤+-=N n n w n n y n x ,where )(n w is the noise with variance 2w σ and the signal is⎩⎨⎧-≤≤=otherwise M n n A n y ,010,cos )(0ω. The frequency 0ω is known, but the delay 0n , which is a positiveinteger, is unknown, and is to be determined by cross-correlating x(n) with y(n). Assume that 0n M N +>. Let∑-=-=10)()()(N n xy n x m n y m rdenote the cross-correlation sequence between x(n) and y(n). In the absence of noise, this function exhibits a peak at delay 0n m =. Thus,0n is determined with no error. The presence of noise can lead toerrors in determining the unknown delay.(a) For 0n m =, determine ()[]0n r E xy . Also, determine thevariance ()[]0var n r xy , due to the presence of the noise. In bothcalculations, assume that the double-frequency term averages to zero. That is, 0/2ωπ>>M .(b) Determine the signal-to-noise ratio, defined as []{}[])(var )(020n r n r E SNR xy xy = (c) What is the effect of the pulse duration M on the SNR?。
数字信号处理教程课后习题及答案
6.试判断:
是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?
分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， T [a1 x1 (n ) + a 2 x2 (n )] = a1T [ x1 (n )] + a2T [ x2 (n )] 移不变性：输入与输出的移位应相同 T[x(n-m)]=y(n-m)。
,
(2)x(n) = R3(n)
,
(3)x(n) = δ (n − 2) ,
(4)x(n) = 2n u(−n − 1) ,
h(n) = R5(n) h(n) = R4 (n) h(n) = 0.5n R3(n) h(n) = 0.5n u(n)
分析：
①如果是因果序列 y (n ) 可表示成 y (n ) ={ y (0) ， y(1) ， y(2) ……}，例如小题（2）为
y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = 0 y1 (2) = ay1 (1) + x1 (2) = 0
┇
8
y1(n) = ay1(n − 1) + x1(n) = 0 ∴ y1 (n) = 0 , n ≥ 0 ii) 向 n < 0 处递推，将原方程加以变换
y1(n + 1) = ay1(n) + x1(n + 1)
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
数字信号处理课后答案+第4章(高西全丁美玉第三版)
6*． 按照下面的IDFT算法编写MATLAB语言 IFFT程 序， 其中的FFT部分不用写出清单， 可调用fft函数。 并分 别对单位脉冲序列、 矩形序列、 三角序列和正弦序列进行 FFT和IFFT变换， 验证所编程序。
解： 为了使用灵活方便， 将本题所给算法公式作为函 数编写ifft46.m如下： %函数ifft46.m %按照所给算法公式计算IFET function xn=ifft46(Xk， N) Xk=conj(Xk)； %对Xk取复共轭 xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算IFFT 分别对单位脉冲序列、 长度为8的矩形序列和三角序列 进行FFT， 并调用函数ifft46计算IFFT变换， 验证函数 ifft46的程序ex406.m如下：
快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)= DFT［h(n)］已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和 一次N点IFFT。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc 约为
Fs <
1024 = 15 625 次 /秒 65536 × 10−6
Fs 15625 = = 7.8125 kHz 2 2
1 x ( n) = IDFT[ X ( k )] = [DFT[ X * ( k )]]* N
%程序ex406.m %调用fft函数计算IDFT x1n=1； %输入单位脉冲序列x1n x2n=［1 1 1 1 1 1 1 1］； %输入矩形序列向量x2n x3n=［1 2 3 4 4 3 2 1］； %输入三角序列序列向量x3n N=8； X1k=fft(x1n， N)； X2k=fft(x2n， N)； X3k=fft(x3n， N)； %计算x1n的N点DFT %计算x2n的N点DFT %计算x3n的N点DFT
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
n
（8）y(n)=x(n)sin(ωxn(m) )
m0
解： （1） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题8解图（一）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（一）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（二）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（三）
分别求出输出y(n)。
（1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)
解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=
《现代数字信号处理》第4章习题答案
（a）试求
AR（2）模型的系数 a2
=
⎡⎣1, a2 (1), a2 (2)T
⎤⎦
（表示为 w0 ,
σ
2 w
和
P
的函数形式。）
（b）求AR（2）模型对应的反射系数Γ1和Γ2。
（c）当 σ
2 w
→
0
时，AR（2）参数和反射系数的极限值是多少？
解：(a)
rx (0) =
P
+
σ
2 w
,
rx (1) =
P cosω0,
{ } E
ei− (n) x∗ (n − k )
=
E
⎧⎪⎡ ⎨⎢
x
(
n
− i) +
i
∑ ai∗
(
j)
x(n
−i
+
j)⎤⎥ ⋅
x∗
(n
−
k )⎫⎪⎬
⎪⎩⎣
j =1
⎦
⎪⎭
i
= rx (k − i) + ∑ ai∗ ( j) rx (k − i + j) j =1
=
⎡ ⎢rx
(i
−
k
)
+
i
∑ ai
(
j)
rx
1 6
2 3
⎤ ⎥ ⎦
，
且：
b
(0)
=
rx
(
0)
+
a
(1)
rx
(1)
+
a
(
2)
rx
(
2)
=
1
−
1 6
×
1 2
−
2 3
数字信号处理第四章答案
第四章习题参考解答4-1对于系统函数，试用一阶系统的级联形式，画出该系统可能实现的流图。
解：4-2一线性时不变因果系统，其系统函数为对应每种形式画出系统实现的信号流图。
（1）直接Ⅰ型。
（2）直接Ⅱ型。
（3）用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型。
（4）用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型。
解：直接Ⅰ型直接Ⅱ型用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型4-3已知模拟滤波器的传输函数，试用脉冲响应不变法将转换成数字传输函数。
（设采样周期T＝0.5）解：4-4若模拟滤波器的传输函数为，试用脉冲响应不变法将转换成数字传输函数。
（设采样周期T＝1）解：4-5用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字低通滤波器，采样频率，截至频率。
解：,4-6用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字高通滤波器，采样频率，截至频率。
解：，，归一化，4-7用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字带通滤波器，采样频率，上下边带截至频率分别为，。
解：，，，4-8设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截至频率为，将双线性变换应用于模拟巴特沃滋滤波器。
解：一阶巴特沃滋，4-9试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足：通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且无起伏；频率在处的衰减为－3.01dB；在处的幅度衰减至少为15dB。
解：设,则：，通带：,即阻带：，即阶数：，查表得二阶巴特沃滋滤波器得系统函数为双线性变换实现数字低通滤波器4-10一个数字系统的采样频率，已知该系统收到频率为100Hz的噪声干扰，试设计一个陷波滤波器去除该噪声，要求3dB的边带频率为95Hz和105Hz,阻带衰减不小于14dB。
解：，令，，，，设N=2，则。
数字信号处理第4章答案 史林 赵树杰编著
第四章练习题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4.3 周期序~()x n 的共轭对称序列~()e x n 和共轭反对称序列~()o x n 分别表示为~~~*1()()()2e x n x n x n ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦ ~~~*1()()()2o x n x n x n ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦试证明{}~~()R e ()e D FS x n X k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦{}~~()Im ()o D FSx n j X k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦证明：利用DFS 的共轭对称性 因为~~**()()x n X k -=所以{}~~~*~~*~~~*1()()()21()()21()()R e ()2e D F S x n D F S x n x n D F S x n D F S x n X k X k X k ⎧⎫⎡⎤⎡⎤=--⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎧⎫⎡⎤⎡⎤=--⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎛⎫=-= ⎪⎝⎭同理{}~~()Im ()o D FS x n j X k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4.6 设序列()x n 的N 点离散傅里叶变换为[]()()(01)X k DFT x n k N =≤≤-。
现已知下列各()j X k 分别求其离散傅里叶逆变换()()j j x n IDFT X k ⎡⎤=⎣⎦。
（3）3()()N X k R k = （4）4,2(),20,j j N e k m N X k ek N m θθ-⎧=⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪⎪⎩其他解：离散傅里叶逆变换定义 （3）[]121201()ID FT ()()11111111,00,N -knNk -kN j k N -knN N-k j kk NNx n X k X k W NW e W NN N Wek k ππ-=-===--===--=⎧=⎨≠⎩∑∑（4）[]()122j j j -j 1()ID FT ()()1e e e e 222cos 0,1,,1N -knNk nm N -m n N N x n X k X k W NN N N nm n N N ππθθπθ-===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭∑上式中的结果来于：()22j jeeN -m nmnNNππ-=%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4.9已知()x n 是长度为N 的有限长度序列，其N 点离散傅里叶变换为[]()()(01)X k DFT x n k N =≤≤-。
数字信号处理教程课后习题及答案
x(n
− m)sin
2π 9
+
π 7
即 T [x(n − m)] = y(n − m)
∴系统是移不变的
T [ax1(n) + bx2 (n)]
=
[ax1
(n)
+
bx2
(n
)]sin(
2π 9
+
π 7
)
即有 T [ax1(n)+ bx2 (n)]
= ay1(n) + by2 (n)
∴系统是线性系统
(1) T [ x(n)] = g(n)x(n) (2) (3) T [ x(n)] = x(n − n0 ) (4)
(c)
x (n )
=
e
j
(
n 6
−π )
分析：
序列为 x (n ) = A cos( ω 0n + ψ ) 或 x(n) = A sin( ω 0n +ψ ) 时，不一定是周期序列，
①当 2π / ω 0 = 整数，则周期为 2π / ω 0 ；
7
②当 2π = P ,（有理数 P、Q为互素的整数）则周期 为 Q ； ω0 Q
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
∴所给系统在 y(0) = 0 条件下是线性系统。
6.试判断:
数字信号处理 答案 第四章
z −1
r sin θ
− r sin θ r cos θ
y ( n)
z −1
网络Ⅱ 解 网络Ⅰ：根据信号流程图写出差分方程
y (n) = 2r cos θ y (n − 1) − r 2 y (n − 2) + x(n)
由差分方程得系统函数
H1 ( z ) =
Y ( z) 1 = X ( z ) 1 − 2r cos θ z −1 + r 2 z −1 1 )(rz −1 − e jθ )
（4）并联型
x ( n)
z −1
1/4 10/3
-7/3
y ( n)
z −1
1/2 将系统函数写成部分分式形式
H ( z) =
−7 / 3 10 / 3 + 1 −1 1 1− z 1 − z −1 4 2
4.4 用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构实现以下系统函数； (1)
H(z)=
−5 + 2 z −1 − 0.5 z −2 1 + 3z −1 + 3z −2 + z −3
3z 3 + 2 z 2 + 2 z + 5 (2) H(x)=0.8 3 z + 4 z 2 + 3z + 2
解 (1)根据系统函数写出差分方程
y (n) + 3 y (n − 1) + 3 y (n − 2) + y (n − 3) = −5 x(n) + 2 x(n − 1) − 0.5 x(n − 2)
可见网络Ⅰ和网络Ⅱ具有相同极点。 4.3 一个因果线性离散系统由下列差分方程描述：
3 1 1 y(n)- y(n-1)+ y(n-2)=x(n)+ x(n-1) 4 8 3
数字信号处理第四章附加习题及答案-new
第四章附加题1. 请推导出三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，设1/c rad s Ω=。
解：幅度平方函数是：2261()()1A H j Ω=Ω=+Ω令： 22s Ω=- ,则有：61()()1a a H s H s s -=- 各极点满足121[]261,26k j k s ek π-+==所得出的6个 k s 为：15==j es 2321321jes j +-==π12-==πj e s 2321343jes j --==π2321354j es j -==π2321316j es j +==π15==j e s 2321321je s j +-==π12-==πj e s 2321343je s j --==π2321354j es j -==π2321316j es j +==π122))()(()(233210+++=---=s s s k s s s s s s k s H a 1221)(23+++==s s s s H a 代入s=0时, ,可得,故:1=)s (H a 10=k2. 设计一个满足下列指标的模拟Butterworth 低通滤波器，要求通带的截止频率6,p f kHz =，通带最大衰减3,p A dB =，阻带截止频率12,s f kHz =，阻带的最小衰减25s A dB =，求出滤波器的系统函数。
解： 2,2s s p p f f ππΩ=Ω= 0.10.1101lg 101N 2lg()s pA A sp⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥ΩΩ=4.15取N=5，查表得H(p)为：221()(0.6181)( 1.6181)(1)H p p p p p p =+++++因为3,p A dB =所以c p Ω=Ω[]52222()()0.618 1.618cs p c c c c c c H s H p s s s s s =Ω=Ω=⎡⎤⎡⎤+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω⎣⎦⎣⎦3. 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率 f p =3kHz ，通带衰减要不大于0.2dB ，阻带截止频率 f s = 12kHz ，阻带衰减不小于 50dB 。
数字信号处理(第三版)教程及答案第4章
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
4.4 例
［例4.4.1］ 例
题
设FIR滤波器的系统函数为
1 H ( z ) = (1 + 0.9 z −1 + 2.1z − 2 + 0.9 z −3 + z − 4 ) 10
求出其单位脉冲响应， 判断是否具有线性相位， 画出直 接型结构和线性相位结构（如果存在）。
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
4.1 教材第 章学习要点 教材第5章学习要点
数字信号处理系统设计完毕后， 得到的是该系统的系 统函数或者差分方程， 要实现还需要按照系统函数设计一 种具体的算法。 不同的算法会影响系统的成本、 运算的复 杂程度、 运算时间以及运算误差等。 教材第5章的学习要点 如下： (1) 由系统流图写出系统的系统函数或者差分方程。
: 解： 上式的分子分母是因式分解形式， 再写成下式:
− 8 + 20 z −1 − 6 z −2 H ( z ) = 16 + (1 − 0.5 z −1 )(1 − z −1 + 0.5 z −2 )
上式的第二项已是真分式， 可以进行因式分解。
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现41教材第5章学习要点42按照系统流图求系统函数或者差分方程43按照系统函数或者差分方程画系统流图44例题45教材第章学习要点46教材第章习题与上机题解答时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现41教材第5章学习要点数字信号处理系统设计完毕后得到的是该系统的系统函数或者差分方程要实现还需要按照系统函数设计一种具体的算法
− 8 + 20 z −1 − 6 z −2 H1 ( z) = (1 − 0.5 z −1 )(1 − z −1 + 0.5 z − 2 )
数字信号处理-答案第四章
2
2 0
n2 0 n1 0 ( 3 k1 k 0 ) n0 W30 W5n0 k 2
n1k 0 n1k1 W6 W2
流图如下图所示:
7. 研究一个长度为 M 点的有限长序列 x(n) , x(n), x ( n) 0, 0 n M -1 其他 n
令 X 1 (k0 , n1 , n0 )
n2 0
x(n , n , n )W
2 1 0 1 ' 1
2
n2 k 0 3
,
k0 0,1,2
X 1' (k0 , n1 , n0 ) X 1 (k0 , n1 , n0 )W6n1k 0 X 2 (k0 , k1 , n0 )
n1 0
n2 2
n 0,1,,7
[ g ( k ) h( k )]
, k 0,1,,9
5. 试用 N 为组合数时的FFT算法求 N 12 的结果(采用基 3 4) , 并画出流图。
解：依题意： N 3 4 r1r2 , 对于0 n N , 有 n1 0,1,2 n0 0,1,2,3 同样： 令 N r2 r1 n n1r2 n0 ,
解： (a) 若 N M , 依题意 X (e
j 2 k N M 1 n 0
)
x ( n )e
N 1 n 0
j 2 n k N
设 (l 1) N M lN X (e
2 N 1 n N j 2 k N
)
x ( n )e
j 2 n k N
nk X ( k ) x ( n )W12 n 0 11
数字信号处理习题集(附答案)
第一章数字信号处理概述简答题:1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答:在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时,采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器.在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化,故又称之为“平滑”滤波器.判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
( ）答：错.需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理.（ ) 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析,再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础.第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器,如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应)，把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器.（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于,求整个系统的截止频率. （b)对于kHz T 201=，重复(a ）的计算.解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响,故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定,是625Hz 。
数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题+答案+图)
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题2解图（一）
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题2解图（二）
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题2解图（三）
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题2解图（四）
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
n n0 k n n0
|x(k)|≤|2n0+1|M， 因
此系统是稳定的； 假设n0>0， 系统是非因果的， 因为输出
还和x(n)的将来值有关。
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
（4）假设n0>0， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入 有关。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M， 因此系统是稳定的。 （5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果 |x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM， 因此系统是稳定的。 7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。 解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(n－m)
δ(n－2)］
1 2
=2x(n)+x(n－1)+
x(n－2)
将x(n)的表示式代入上式， 得到
1 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) 2
+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
第 1 章
数字信号处理课后习题Ch4
= ( n−2 α )π sin[( n − α ) wc ] sin[( n − α ) w0] 因为 h(n)=hd (n)W R (n)= hd(n) R N (n) 所以（1）当 N 为奇数时 h（n）= { (0 ≤ n ≤ N − 1) ; 0 , 其他 （2）当 N 为偶数时 h（n）的表达式与 N 为奇数时相同 （3）若采用汉明窗设计 h(n)= h d (n)W(n) = ( n−2 α )π sin[( n − α ) wc ] sin[( n − α ) w0] [0.54-0.46cos (
N ⎧ 2 1 ⎪ H (ω ) = b ( n ) c o s [ω ( n − )] ∑ ⎪ 2 n =1 ∴ ⎨ ⎪ N b (n ) = 2 h ( − 1 + n) ⎪ 2 ⎩
∴ （1）当 N 为奇数时
2
sinωc (n − α ) ⎧ RN (n), 0 ≤ n ≤ N − 1 ⎪2cosω0 (n-α ) π (n − α ) h( n) = ⎨ ⎪0, 其他 ⎩
（2）当 N 为偶数时 h(n)的表达式与 N 为奇数时的相同； （3）若用汉明窗设计
h( n) = hd (n)ω (n) = 2 cos ω0 ( n − α ) sin ωc ( n − α ) 2π n [0.54 − 0.46 cos( )]RN (n) π (n − α ) N −1
(1 ).h d ( n ) = =
1 2π
∫
2π 0
H d (e
jω
)e
jn ω
dω
1 π + ω c − j ( ω − π ) α jn ω e e dω 2 π ∫π − ω c π +ωc 1 = e jπ α ∫ e j ( n −α )ω d ω π −ω c 2π 1 1 = e jπ α e j ( n − α ) ω 2π j ( n − α ) 1 e jπ α [e = 2π j ( n − α )
(完整版)数字信号处理习题库选择题附加答案
第1章选择题1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 B 。
A.离散值；连续值 B.离散值；离散值C.连续值；离散值D.连续值；连续值2．数字信号的特征是（ B ）A ．时间离散、幅值连续B ．时间离散、幅值量化C ．时间连续、幅值量化D ．时间连续、幅值连续3．下列序列中属周期序列的为（ D ）A ．x(n) = δ(n)B ．x(n) = u(n)C ．x(n) = R 4(n)D ．x(n) = 14．序列x(n)=sin 的周期为（ D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛n 311A ．3B ．6 C ．11 D ．∞5. 离散时间序列x (n )=cos(-)的周期是 ( C )n 73π8πA. 7 B. 14/3 C. 14 D. 非周期6．以下序列中（ D ）的周期为5。
A ． B. )853cos()(ππ+=n n x 853sin()(ππ+=n n x C. D. )852()(π+=n j e n x )852()(ππ+=n j e n x 7．下列四个离散信号中，是周期信号的是（ C ）。
A ．sin100n B. n j e 2C. D. n n ππ30sin cos +n j n j e e 5431π-8．以下序列中 D 的周期为5。
A.)853cos()(π+=n n x B.853sin()(π+=n n x C.)852()(π+=n j e n x D.)852()(ππ+=n j e n x 9．离散时间序列x (n )=cos 的周期是( C )⎪⎭⎫ ⎝⎛+353ππn A.5 B.10/3C.10 D.非周期10.离散时间序列x(n)=sin （）的周期是( D )5n 31π+A.3 B.6C.6π D.非周期11.序列x (n )=cos 的周期为( C )⎪⎭⎫ ⎝⎛n 5π3A.3 B.5C.10 D.∞12．下列关系正确的为（ C ）A ．u(n)= (n)B ．u(n)= (n)∑=n k 0δ∑∞=0k δC ．u(n)= (n)D ．u(n)= (n)∑-∞=nk δ∑∞-∞=k δ13．设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（ C ）A ．当n>0时，h(n)=0B ．当n>0时，h(n)≠0C ．当n<0时，h(n)=0D ．当n<0时，h(n)≠014.下列系统(其中y(n)是输出序列，x(n)是输入序列)中______属于线性系统。
数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题+答案+图)
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题4解图（一）
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题4解图（二）
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
题4解图（三）
第 1 章
(4) 很容易证明：
时域离散信号和时域离散系统
x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可 以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输 出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(n－n0) （4）y(n)=x(－n) n0为整常数
δ(n－2)］
1 2
=2x(n)+x(n－1)+
x(n－2)
将x(n)的表示式代入上式， 得到
1 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) 2
+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)
第 1 章
（5） y(n)=x2(n) 令输入为
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第四章附加题1. 请推导出三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，设1/c rad s Ω=。
解：幅度平方函数是：2261()()1A H j Ω=Ω=+Ω令： 22s Ω=- ,则有：61()()1a a H s H s s -=- 各极点满足121[]261,26k j k s ek π-+==所得出的6个 k s 为：15==j es 2321321jes j +-==π12-==πj e s 2321343jes j --==π2321354j es j -==π2321316j es j +==π15==j e s 2321321je s j +-==π12-==πj e s 2321343je s j --==π2321354j es j -==π2321316j es j +==π122))()(()(233210+++=---=s s s k s s s s s s k s H a 1221)(23+++==s s s s H a 代入s=0时, ,可得,故:1=)s (H a 10=k2. 设计一个满足下列指标的模拟Butterworth 低通滤波器，要求通带的截止频率6,p f kHz =，通带最大衰减3,p A dB =，阻带截止频率12,s f kHz =，阻带的最小衰减25s A dB =，求出滤波器的系统函数。
解： 2,2s s p p f f ππΩ=Ω= 0.10.1101lg 101N 2lg()s pA A sp⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥ΩΩ=4.15取N=5，查表得H(p)为：221()(0.6181)( 1.6181)(1)H p p p p p p =+++++因为3,p A dB =所以c p Ω=Ω[]52222()()0.618 1.618cs p c c c c c c H s H p s s s s s =Ω=Ω=⎡⎤⎡⎤+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω⎣⎦⎣⎦3. 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率 f p =3kHz ，通带衰减要不大于0.2dB ，阻带截止频率 f s = 12kHz ，阻带衰减不小于 50dB 。
解：26000224000p p s s f f ππππΩ==Ω==切比雪夫滤波器的参数 ε为：0.2171ε==滤波器阶数 N 为：113.8659[/]s p ch N ch ε--⎢⎢⎥⎣⎦==ΩΩ，取整数 N ＝4。
归一化的传输函数 H(p)为： 4(1)1111()2()1.7368()NN k k k k H p p p p p ε-====⋅--∏∏其中222121sin cos 22k k k p sh jch N N φπφπ++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 0,1,21k N =-12110.5580sh N φε-== 以上也可以通过查表获得。
实际的传输函数H(s) 为：162828()()7.268710(16731 4.77910)(40394 4.77910)Psp H s H p s s s s =Ω=⨯=++⨯++⨯4. 数字滤波器经常以下图描述的方式来处理带限模拟信号。
在理想情况下，模—数变换器把模拟信号取样，产生序列()()a x n x nT =，而数—模变换器又将取样()y n 变成限带波形()()()()sin a n T t nT y t y n T t nT ππ∞=-∞-=-∑整个系统等效于一个线性时不变模拟系统。
(1)如果系统()h n 的截止频率是8rad s π，110T kHz =，等效模拟滤波器的截止频率是多少？(2)设120kHz =，重复(1)。
()()()()()()()T T a x t x n y n y t a h n −−−→−−−→−−−→−−−→模-数变换器数-模变换器周期周期解： (1) 根据题意，当8ωπ≥时，()0j H e ω=，所以()()()0j j j Y e X e H e ωωω==在模—数变换器中()1j a j Y e X T T ωω⎛⎫=⎪⎝⎭所以8c c T πω==Ω对应于模拟滤波器的截止频率为18cc TTωπΩ==11000062521616c c f T πΩ====截止频率为625Hz 。
(2) 根据题意，当8c πω=，120T kHz =时，模拟滤波器的截止频率为18cc TT ωπΩ==120000125021616c c f T πΩ====截止频率为1250Hz 。
5. 一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述()()()()10.51y n x n x n y n =----(1) 系统函数()H Z ，判断系统属于FIR 和IIR 中的哪一类以及它的滤波特性。
(2) 若输入()()2cos 0.55x n n π=+ ()0n ≥，求系统稳态输出的最大幅值。
解: (1) 根据题意，方程两边求Z 变换得()()()()110.5Y Z X Z Z X Z Z Y Z --=--()()()11110.5Y Z Z H Z X Z Z---==+ 因为从()11110.5Z H Z Z---=+看到，它既有零点，也有极点，所以它是IIR （FIR 只有零点）。
()110.5j j j e H e eωωω---=+ 可由上式画出方程的幅频特性()j H e ω，判断得这是一个高通滤波器（或者根据公式计算0ω=，2πω=，ωπ=三点时的()j H e ω基本就可以判断滤波特性了）。
(2) 根据题意，()()2cos 0.55x n n π=+ ()0n ≥，所以2πω=时输出幅值最大。
()222116210.55510.5jj jej H ej j πωππω=--===--+()2j H e ωπω==()max2y ω==6. 设()a h t 表示一模拟滤波器的单位冲激响应，()0.9,00,0t a e t h t t -⎧≥=⎨<⎩用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转化成数字滤波器（()h n 表示单位取样响应，即()()a h n Th nT =）。
确定系统函数()H z ，并把T 作为参数，T 为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。
解：模拟滤波器系统函数为()0.9010.9t st a H s e e dt s ∞--==+⎰ ()a H s 的极点10.9s =-，数字滤波器系统函数应为()110.91111s T T TH z Te z e z ---==-- ()H z 的极点为0.91T z e -=，0.91T z e -=所以，0T >时，11z <，()H z 满足稳定条件。
对1T =和0.5T =，画出()j H e ω曲线如图1中实线和虚线所示。
图1由图可见，该数字滤波器近似为低通滤波器。
且T 越小，滤波器频率混叠越小，滤波特性越好（即选择性越好）。
反之，T 越大，极点0.91T z e -=离单位圆越远，ωπ=附近衰减越小，而且频率混叠越严重，使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。
7. 用冲激响应不变法将以下变换为,抽样周期为T 。
（1）。
（2），n 为任意正整数。
解 （1） 由推出由冲激响应不变法可得：()()()()[]()2a jb nT a jb nT a Th n Th nT e e u n -+--==+110112211()()[]2111cos()12cos()n aT jbT aT jbT n aTaT aT T H z h n z e e z e e ze z bT T e z bT e z ∞------=------==+---=⋅-+∑（2） 先引用拉氏变换的结论，可得：01()()(1)!s t n a Ae t h t u k n -=-按Z 变换11()1k a u k az -↔-，且()()dX z kx k z dz↔-可得 0011111011()()()()()(1)!(1)!1n n n s T kn k s T k k T AT d H z h k z TA k z e z n n dz e z--∞∞----=====----∑∑ 可以递推求得000111,11(),2,3,...(1)S T S T n S T nATn e z H z AT e z n e z ---⎧=⎪-⎪=⎨⎪=⎪-⎩8. 用冲激响应不变法设计一个离散时间低通滤波器，连续时间巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为()()2211/a Nc H j j j Ω=-ΩΩ滤波器的技术指标为()110j p p H e ωδωω-≤≤≤≤()j ss H e ωδωωπ≤≤≤假设没有混叠，问冲激响应不变法中所用的采样周期值对设计结果是否有影响，并说明理由。
解：冲激响应不变法是在ωπ<内由()a H j Ω到()j H e ω的线性映射，该映射为()()sj a T H e H j ωωωπ=Ω=Ω≤若没有混叠，所需的滤波器阶数为()2211lg12lgps p sN δδ-----≥ΩΩ其中p p s pss s sT T ωωωωΩ==Ω。
很显然，所需的滤波器阶数与s T 无关。
将巴特沃斯滤波器的系统函数进行部分分式展开，就有()1Nka k kA H s s s ==-∑极点k s 为()1220,1,,1N k jNk c s ek N π++=Ω=-对于冲激响应不变法，离散时间滤波器的系统函数变成()111k s Nks T k A H z ez -==-∑这样()H z 的极点位于()1221,2,,1c s k s N k T js T Nz e ek N π++Ω===-c c s T ω=Ω是低通滤波器在离散时间域的3dB 截止频率，由滤波器的技术指标确定，所以()H z 的极点也不受采样周期s T 的影响。
综上，冲激响应不变法中所用的采样周期值对设计结果没有影响。
9. 图示是由RC 组成的模拟滤波器，写出其传输函数()a H s ，并选用一种合适的转换方法，将()a H s 转化成数字滤波器()H z ，最后画出网络结构图。
题9图解：模拟RC 滤波网络的频率响应函数为()11a R j H j R j j CRCΩΩ==+Ω+Ω显然，()a H j Ω具有高通特性，用脉冲响应不变法必然会产生严重的频率混叠失真。
所以应选用双线性变换法，将()a H j Ω中的j Ω用s 代替，可得到RC 滤波网络的系统函数用双线性变换法设计公式可得()()1111112111121111,121112111a z s T z z z TT z H z H s a a z a RCz a T z RC-------=⋅-+--⋅-+===⋅=--++⋅+++ ()H z 的结构图如题8解图所示。