圆和扇形的面积

五年级奥数圆和扇形的周长与面积二

加油站
C B
答案：1
【例6】（★★★★）（北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）（2）如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形
各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外
各边的中点分别以大正方形各边的一半为直径向外
做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半
圆，形成个月牙形个月牙形
圆，形成8个“月牙形”。

这8个“月牙形”的总面积
为32平方厘米，问大正方形EFGH的面积是多少？
A
H
D
加加点睛
三个转化：化未知为已知；
化不规则为规则；为不可求为可求
四个基本方法：割补、变换、
差不变、整体、
重点例题：例1，例2，例3，例4，例5。

六年级数学圆和扇形知识点总结

六年级数学圆和扇形知识点总结一、圆的认识圆是一种几何图形，由一个动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线。

1、圆的各部分名称圆心：用字母“O”表示，圆中心的一点叫做圆心，它决定了圆的位置。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r”表示。

半径决定了圆的大小。

直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。

2、圆的特征在同一个圆内，有无数条半径，所有的半径都相等；有无数条直径，所有的直径也都相等。

在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，即 d ＝ 2r 或 r ＝ d÷2。

圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。

3、圆的周长圆的周长是指围成圆的曲线的长度。

圆的周长计算公式：C ＝πd 或 C ＝2πr （其中 C 表示圆的周长，π是圆周率，通常取值 314，d 表示圆的直径，r 表示圆的半径）4、圆的面积圆的面积是指圆所占平面的大小。

圆的面积计算公式：S ＝πr² （其中 S 表示圆的面积）二、扇形的认识扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。

1、扇形的各部分名称圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧：圆上两点之间的部分叫做弧。

2、扇形的特征扇形是圆的一部分。

扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。

圆心角越大，扇形越大；半径越长，扇形越大。

3、扇形的面积扇形的面积公式：S ＝（n÷360）×πr² （其中 S 表示扇形的面积，n 表示圆心角的度数，r 表示扇形所在圆的半径）三、圆和扇形的应用1、计算圆的周长和面积已知圆的半径或直径，直接代入相应的公式计算。

例如：一个圆的半径是 5 厘米，求它的周长和面积。

周长：C ＝2πr ＝ 2×314×5 ＝ 314（厘米）面积：S ＝πr² ＝ 314×5²＝ 785（平方厘米）2、计算扇形的面积已知扇形的圆心角和半径，代入扇形面积公式计算。

(精品)数学讲义六年级秋季班-第16讲：圆和扇形的面积

圆和扇形的面积是六年级数学上学期第四章第二节的内容．本讲主要讲解圆的面积和扇形面积的求解方法，及它们之间的关系；重点是掌握圆的面积和扇形面积的基本计算方法，难点是在不同的图形中根据题目条件灵活解答相关问题．1、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积．设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积2S r r rππ=⨯=．圆和扇形的面积内容分析知识结构模块一：圆的面积知识精讲例题解析【例1】（1）圆的半径是4厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留π）（2）圆的直径是6米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（π取3.14）（3）圆的周长是25.12分米，它的面积是______平方分米．（π取3.14）【难度】★【答案】（1）50.24；（2）18.84；28.26；（3）50.24．【解析】（1）和（2）直接利用基本公式进行计算，（3）中先根据周长求出，圆的半径为：25.12÷3.14÷2 = 4米，故面积为：3.14×4×4 = 50.24平方米．【总结】考查圆的周长及面积的计算．【例2】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积是与大圆面积的比是______．【难度】★【答案】3；9；1:16．【解析】圆的周长与半径成正比，圆的面积与半径的平方成正比．【总结】考查圆的面积与圆的周长与圆的半径的关系．【例3】有一只羊栓在草地的木柱上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到______平方米的草．（π取3.14）【难度】★【答案】50.24．【解析】S = 4×4×3.14 = 50.24平方米．【总结】考查圆的面积在实际问题中的运用．2/ 16【例4】在一个边长为20厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】314．【解析】剪出的最大圆的直径即为正方形的边长，所以圆的半径为10厘米，所以圆的面积是：10×10×3.14 = 314平方厘米．【总结】本题主要考查正方形中剪出最大圆的问题．【例5】用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（π取3.14）【难度】★★【答案】19.625平方分米．【解析】由题意，可得圆的半径为：（16-0.3）÷3.14÷2 = 2.5分米，故这个圆的面积为：2.5×2.5×3.14 = 19.625平方分米．【总结】考查圆的面积的计算，注意本题中铁丝的总长度剪出接头处的长度即为圆的周长．【例6】一种铝制面盆是用直径20厘米的圆形铝板冲压而成的，要做100个这样的面盆至少需要铝板______平方米．（π取3.14）【难度】★★【答案】3.14．【解析】圆的半径为：20÷2 = 10厘米，要做100个这样的面盆至少需要铝板：100×3.14×10×10=31400平方厘米= 3.14平方米．【总结】考查圆的面积的计算的简单应用，注意单位的换算．【例7】周长相等的长方形、正方形和圆，______的面积最大．【难度】★★【答案】圆【解析】在所有周长相等的图形中，圆的面积最大．【总结】通过周长求面积，考查学生的转换能力．4 / 16【例8】两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】50.24平方厘米．【解析】圆环的面积为：3.14×（25-9）= 50.24平方厘米．【总结】考查圆环的面积的计算．【例9】一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】138.16平方米．【解析】圆心水池的半径为：62.8÷3.14÷2=10米，则路面的面积为： 3.14×（144-100）= 138.16平方米．【总结】考查圆环的面积在实际问题中的应用．【例10】如图，已知大圆半径是6厘米，那么阴影部分面积占大圆面积的______．（用分数表示）【难度】★★ 【答案】41．【解析】阴影部分的面积即为小圆的面积，故阴影部分面积占大圆面积的91364ππ【总结】考查圆的面积的计算．【例11】两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】1100．【解析】设大圆的半径为10r ，小圆半径为9r ，所以大圆面积占两圆面积的100181，所以大圆面积为：1991÷181×100=1100平方厘米．【总结】考查圆的面积的计算【例12】有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近．【难度】★★【答案】直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，直径3米、5米和8米的三个花圃交给另一个班管理．【解析】由于面积与半径的平方成正比，故几个花圃面积之比是9:16:25:64:81，因为16+81=97；9+25+64=98，所以符合要求，所以把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，其余交给另一个班管理．【总结】本题一方面考查圆的面积与半径的关系，另一方面考查圆面积计算的简单应用．【例13】大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的415，是小圆面积的35，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】7.5厘米．【解析】由题意，可得：415S S =阴影大圆，35S S =阴影小圆，则43155S S =小圆大圆，设大圆半径为R ，则22435155R ππ⨯⨯=⨯⨯，解得：7.5R =．即大圆的半径为7.5厘米．【总结】本题综合性较强，要根据阴影部分的面积表示出大圆面积和小圆面积的关系，从而求出大圆的半径．【例14】如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】2.58平方厘米．【解析】设正方形的边长为a ，则212a =，则圆的面积为： 223.14 3.14 3.1439.4224a a ⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，故阴影部分面积为：12-9.42 = 2.58平方厘米．【总结】本题主要考查圆面积计算的简单应用．6 / 16ABO【例15】如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】20.5厘米．【解析】由图可知，这个长方形的宽等于圆的半径，长方形的面积等于圆的面积，所以长方形的长等于圆的周长的一半，故阴影部分的周长=长方形的长×2+长方形的宽-圆的半径+41×圆的周长 =16.4+16.4÷4=20.5厘米．【总结】考查不规则图形的周长的计算，注意计算周长是要包含组成图形的所有的线段和弧长．===1、扇形的概念由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形．如图，空白部分记作扇形AOB ． 2、扇形的面积设组成扇形的半径为r ，圆心角为n °，弧长为l ，那么：213602n S r lr π==扇形．【例16】一个扇形的面积是它所在圆面积的15，这个扇形的圆心角是______．【难度】★ 【答案】72°．【解析】360°÷5 = 72°．【总结】考查扇形的面积与所在的圆的面积的关系．模块二：扇形的面积知识精讲例题解析【例17】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是60°，则此扇形的面积是______平方厘米，周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】13.08；15.23．【解析】扇形的面积为：60×3.14×5×5÷360=13.08平方厘米；此扇形的周长为：60×3.14×5÷180 + 5×2 = 15.23厘米．【总结】考查扇形面积及周长的计算，注意扇形的周长还包含了两条半径的长．【例18】已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】157．【解析】1131.41015722S lr ==⨯⨯=平方厘米．【总结】考查扇形面积的计算．【例19】一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍．【难度】★ 【答案】3，9．【解析】213602n S r lr π==扇形．【总结】考查扇形的面积与扇形的圆心角及所在的圆的半径之间的关系．【例20】一个圆心角为60°的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】121.5π．【解析】由题意，可得：22960()2360r ππ⨯⨯⨯=，解得：2121.5r =，故此扇形所在圆的面积为：2121.5r ππ=．【总结】考查扇形面积的计算，注意先根据题目中的条件计算出半径的平方，再求面积．8 / 16ABCDEFA BC D【例21】一个圆心角为45°的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】6.28平方厘米．【解析】设扇形所在圆的半径为r ，则由题意可得：4522 3.1411.14360r r +⨯⨯⨯=，解得：4r =厘米，故此扇形的面积为：245 3.144 6.28360⨯⨯=平方厘米．【总结】本题一方面考查扇形的半径的计算，另一方面考查扇形面积的计算．【例22】如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】24π-．【解析】229022S 2224360S S ππ⨯=-=⨯-=-正阴影扇形．【总结】本题主要考查形如“树叶”状的图形的面积的计算．【例23】等腰直角三角形ABC 中，以直角顶点A 为圆心，以高AD 为半径，画一条弧，交AB 、AC 分别于E 、F ，AD = 2厘米，图中阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】0.86．【解析】21124 3.1424 3.140.8624ABCAEF S SS =-=⨯⨯-⨯⨯=-=阴影扇形．【总结】考查阴影部分的面积的计算，注意用规则图形的面积去表示不规则图形的面积．【例24】如图，扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的113倍，那么CAB ∠是______度．【难度】★★ 【答案】60【解析】因为半圆的直径为扇形的半径，所以设半圆的半径为r ，则扇形的半径为2r ，故由题意，可得：()22241803360360n r r ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，解得：60n =．即CAB ∠是60度．【总结】本题要认真观察，先分析半圆的半径与扇形半径的关系，然后再进行计算．ABCH【例25】如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】1.57平方厘米．【解析】由图可知：阴影部分的面积是三个扇形的面积之和，三个扇形的半径分别为1，圆心角之和为180°，故阴影部分面积为：180×3.14×1×1÷360=1.572cm ．【总结】考查阴影部分的面积，本题的关键是求出三个扇形的圆心角之和．【例26】如图，ABC ∆的三条边都是6厘米，高AH 为5.2厘米，分别以A 、B 、C 三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】25.32平方厘米．【解析】一个小扇形的面积是：60×3.14×6×6÷360=18.84平方厘米，等边三角形的面积为：6×5.2÷2=15.6（平方厘米），所以这三段弧所围成的图形的面积是：18.84×3-15.6×2=56.52-31.2=25.32（平方厘米）【总结】本题主要是利用割补法将不规则图形的面积问题转化为规则图形的面积计算．【例27】如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】48.125．【解析】22113.1410105 3.14548.12544S =⨯⨯-⨯-⨯⨯=阴影（）．【总结】本题中阴影部分的面积等于大扇形的面积减去长方形的面积再加上小扇形的面积．10 / 16【例28】如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是31.5π平方厘米，求图中三角形的面积．【难度】★★★ 【答案】18平方厘米．【解析】圆的面积为：6636ππ⨯⨯=，空白部分的扇形的面积为：3631.5 4.5πππ-=，设空白部分的扇形的圆心角为n ，则36 4.5360nππ⨯=，解得n =45，所以空白部分的三角形是等腰直角三角形，故面积为6×6×0.5=18平方厘米．【总结】本题主要是根据扇形的面积公式求出圆心角的度数，从而求出三角形的面积．【例29】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】175.84平方米．【解析】根据图可知：大扇形的圆心角为360-60=300度，小扇形的圆心角为：180-60=120度，故总面积为：22300120822175.84360360ππ⨯⨯+⨯⨯⨯=平方米．【总结】本题中要注意小狗活动的范围包含了三个扇形．【例30】已知C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB 长为10，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★★【答案】256π．【解析】连接CD 、OD 、OC ，则阴影部分面积为CD BDCS S 弓形+∆．因为C 、D 把半圆弧AB 三等分，所以AB CD ODC BCD ∆∆∥，所以、等底等高，所以阴影部分面积=CD BDC S S 弓形+∆=()260102253606OCD S ππ⨯⨯÷==扇形．【总结】本题综合性较强，考查了一些几何的内容，教师可以选择性的讲解．ABC D【习题1】扇形的面积是314平方米，其所在圆的面积是1256平方米，则这个扇形的圆心角为______°．【难度】★ 【答案】90．【解析】314÷1256×360°= 90°．【总结】考查扇形面积公式的逆运用．【习题2】一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是6米，有效杀伤面积是______平方米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】113.04．【解析】36×3.14=13.04平方米．【总结】考查圆的面积的计算在实际问题中的运用．【习题3】若一扇形所在的圆心角缩小为原来的12，半径扩大为原来的2倍，则它的面积（）A ．扩大为原来的2倍B ．扩大为原来的4倍C ．是原来的12 D ．不变【难度】★ 【答案】A 【解析】213602n S r lr π==扇形．【总结】考查扇形的面积与扇形的圆心角及扇形所在的圆的半径之间的关系．【习题4】如果用整个圆来表示班级共有40名学生，那么被评为三好学生的8名同学应该用圆心角为______的扇形来表示．【难度】★★ 【答案】72°．【解析】8÷40×360°= 72°．【总结】考查圆心角在实际问题中的运用．随堂检测12 / 16【习题5】环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】15.7平方厘米．【解析】外圆的半径长为：18.84÷3.14÷2=3cm ；内圆半径长为：4÷2=2cm ；故环形的面积为：3.14×（3×3-2×2）=15.7平方厘米．【总结】考查圆环的面积的计算．【习题6】两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的119倍，求小圆的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】891平方厘米．【解析】因为大圆的周长是小圆的周长的119倍，故大圆与小圆的面积之比为：100:81，因为两个圆的面积之差是209平方厘米，所以小圆的面积为： 209÷（100-81）×81 = 209÷19×81= 891平方厘米．【总结】本题主要是根据大小两圆的周长比确定出面积比．【习题7】一时钟的分针长6分米，从上午9点到上午10点40分，分针扫过的面积是多少平方分米？【难度】★★【答案】188.4平方分米．【解析】从上午9点到上午10点40分，分针走过的度数为：600°，故分针扫过的面积为：2600 3.146188.4360⨯⨯=平方分米．【总结】时针走过一小时，则分针走了360度，本题主要是确定出分针转过的度数．A B2 2【习题8】如图，正方形的边长为4，求阴影部分的面积．【难度】★★ 【答案】4.56．【解析】2145444822360S S S ππ=-=⨯⨯-⨯⨯=-空三角形扇形，14(82)48 4.562S S S πππ=-=⨯⨯--=-=阴影半圆空．【总结】本题主要考查阴影部分的面积计算．【习题9】如图所示的阴影部分分别为三种标点符号：句号、逗号和问号．已知大圆半径为R ，小圆半径为r ，且R = 2r ．哪一个标点符号的面积最小？【难度】★★★ 【答案】问号．【解析】句号的面积：22243r r r ππ-=（）；逗号的面积：224r 22r ππ⨯÷=；问号的面积：22223134r 44r r r πππ-+=（）．【总结】本题中主要考查阴影部分的面积，注意计算方法．【习题10】如图，A 与B 是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积相差______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】1.42平方厘米．【解析】两个阴影部分的面积差为大扇形的面积减去长方形的面积，再减去小扇形的面积，即：22113.144 3.1422444⨯⨯-⨯⨯-⨯= 1.42平方厘米．【总结】本题要注意认真审题，看清楚求的是两部分的面积差，然后转化为规则图形的面积的差．空14 / 16【作业1】下列判断中，正确的是（）A ．半径越大的扇形，面积越大B ．所对圆心角越大的扇形，面积越大C ．所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大D ．半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小【难度】★ 【答案】C 【解析】213602n S r lr π==扇形．【总结】考查扇形面积的影响因素．【作业2】圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了______平方厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】141.3．【解析】3.14×（81-36）=141.3平方厘米．【总结】考查圆的面积的计算【作业3】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是72°，这个扇形的周长是______分米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】1.628【解析】72×3.14×5÷180＋5＋5=16.28厘米=1.628分米．【总结】考查扇形周长的计算，注意单位的换算．课后作业【作业4】一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下______平方厘米的纸没有用．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】286．【解析】30×20-3.14×10×10=286平方厘米．【总结】考查长方形纸片上剪出最大圆的面积的计算．【作业5】一个扇形的面积是78.5平方厘米，圆心角为36°，当这个扇形的半径不变而圆心角增加了108°以后，这个扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】314．【解析】扇形所在圆的面积是785平方厘米，故增加的面积为（108＋36）÷360×785=314．【总结】考查扇形的面积与所在圆的面积的计算．【作业6】某大楼上有一石英制的时钟，已知时针与分针分别长60厘米和80厘米，则时针走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方分米？（π取3.14）【难度】★★【答案】191.54平方分米．【解析】时针走1小时，走过的圆心角度数为30°，而分针走过了360°，故面积差为： 3.14×80×80-30×3.14×60×60÷360=19154平方厘米=191.54平方分米．【总结】本题考查扇形的面积在钟表问题中的运用，注意确定表针走过的度数．【作业7】如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为8，中半圆直径为20，则阴影部分面积与大半圆的面积之比是多少？【难度】★★ 【答案】4:7．【解析】2221111410456222S ππππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=阴影；2114982S ππ=⨯⨯=大半圆，故阴影部分面积与大半圆的面积之比是：56984:7ππ=：．【总结】考查半圆面积的计算．16 / 16红红红红蓝蓝蓝蓝【作业8】一辆汽车的车轮直径为1米，试计算当汽车以120千米/时的速度行驶时，车轮的转速是每秒多少周？（3π≈，结果保留整数位）【难度】★★ 【答案】11．【解析】车轮转速：120×10003113600÷=周．【总结】考查圆的周长计算的简单应用【作业9】如图是对称图形，红色部分的面积大还是蓝色部分的面积大？【难度】★★★ 【答案】一样大【解析】设大圆R =2，则小圆r =1．蓝色部分的面积：211(21)42422r ππ-⨯⨯⨯=-；红色部分的面积为：()2244(424)24R r S ππππππ--=--+=-蓝色，所以两部分面积一样大．【总结】考查不规则图形的面积，注意认真分析，转化为规则图形的计算．【作业10】如图，扇形AOB 为14个圆，半径为4厘米，以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，求阴影部分的面积．【难度】★★★ 【答案】4.56平方厘米．【解析】通过割补，可以将“树叶”状的阴影转化到上面两个弓形处，故13.14444424.564S S S =-=⨯⨯⨯-⨯÷=阴影扇形直角三角形平方厘米．【总结】本题主要考查利用割补法求阴影部分的面积．。

学而思-----第二讲圆和扇形的周长与面积

D
E
D
E
A
A
B
C
F
B
C
F
4、旋转法（例 6）旋转法是本讲的重点与难点，对于“羊吃草”的问题还是比较简单的。关键是直线型旋转面积，学员无法想到
直线旋转后所扫发到过的面积，其实，由教师讲解后你会发现，一般情况下直线所扫过一周的面积（有特例，如：钝
角三角形的长边绕钝角顶点旋转时）就是一个圆环的面积。所以旋转多少度就再乘以即可。
够活动的最大范围是多少？（
）
分析：如图，羊活动的范围是受绳子的牵制的，所以羊活动的最大范围即绳子 AE 所扫过的总面积。（三部分）
（1）红色部分为按绳长 30 米所能达到的最大范围（绳子不受任何牵制），此图形为半径 30，
圆心角 270 度的扇形。
（2）黄色部分为按绳长 10 米所能达到的最大范围（绳子受点 D 牵制），所以之后只能按半径
由第三个图可知：所求面积已转化为扇环的面积，圆心角度数为 120 度。所以阴影=
（
）
S=
E
E
E
C
C
G
C
G
A
B
D
A
F
B
D
A
F
B
D
第二讲圆和扇形的周长和面积 2.2
五年级秋季班第二讲圆和扇形的周长与面积
曹威
拓展练习：“羊吃草 ”问题
草场上有一个长 20 米，宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈外的一角，用长 30 米的绳子拴着一只羊，问这只羊能
B
C
C
B
O
A
O
A
分析：与丄题同理 A 点移到 O 点，阴影面积变为扇形 OBC 的面积，注意：圆心角 COB=60 度。

六年级秋季班-第16讲：圆和扇形的面积(1)

圆和扇形的面积是六年级数学上学期第四章第二节的内容．本讲主要讲解圆的面积和扇形面积的求解方法，及它们之间的关系；重点是掌握圆的面积和扇形面积的基本计算方法，难点是在不同的图形中根据题目条件灵活解答相关问题．1、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积．设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积2S r r rππ=⨯=．圆和扇形的面积内容分析知识结构模块一：圆的面积知识精讲例题解析【例1】（1）圆的半径是4厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留π）（2）圆的直径是6米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（π取3.14）（3）圆的周长是25.12分米，它的面积是______平方分米．（π取3.14）【难度】★【答案】（1）50.24；（2）18.84；28.26；（3）50.24．【解析】（1）和（2）直接利用基本公式进行计算，（3）中先根据周长求出，圆的半径为：25.12÷3.14÷2 = 4米，故面积为：3.14×4×4 = 50.24平方米．【总结】考查圆的周长及面积的计算．【例2】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积是与大圆面积的比是______．【难度】★【答案】3；9；1:16．【解析】圆的周长与半径成正比，圆的面积与半径的平方成正比．【总结】考查圆的面积与圆的周长与圆的半径的关系．【例3】有一只羊栓在草地的木柱上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到______平方米的草．（π取3.14）【难度】★【答案】50.24．【解析】S = 4×4×3.14 = 50.24平方米．【总结】考查圆的面积在实际问题中的运用．【例4】在一个边长为20厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】314．【解析】剪出的最大圆的直径即为正方形的边长，所以圆的半径为10厘米，所以圆的面积是：10×10×3.14 = 314平方厘米．【总结】本题主要考查正方形中剪出最大圆的问题．【例5】用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（π取3.14）【难度】★★【答案】19.625平方分米．【解析】由题意，可得圆的半径为：（16-0.3）÷3.14÷2 = 2.5分米，故这个圆的面积为：2.5×2.5×3.14 = 19.625平方分米．【总结】考查圆的面积的计算，注意本题中铁丝的总长度剪出接头处的长度即为圆的周长．【例6】一种铝制面盆是用直径20厘米的圆形铝板冲压而成的，要做100个这样的面盆至少需要铝板______平方米．（π取3.14）【难度】★★【答案】3.14．【解析】圆的半径为：20÷2 = 10厘米，要做100个这样的面盆至少需要铝板：100×3.14×10×10=31400平方厘米= 3.14平方米．【总结】考查圆的面积的计算的简单应用，注意单位的换算．【例7】周长相等的长方形、正方形和圆，______的面积最大．【难度】★★【答案】圆【解析】在所有周长相等的图形中，圆的面积最大．【总结】通过周长求面积，考查学生的转换能力．【例8】两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】50.24平方厘米．【解析】圆环的面积为：3.14×（25-9）= 50.24平方厘米．【总结】考查圆环的面积的计算．【例9】一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】138.16平方米．【解析】圆心水池的半径为：62.8÷3.14÷2=10米，则路面的面积为： 3.14×（144-100）= 138.16平方米．【总结】考查圆环的面积在实际问题中的应用．【例10】如图，已知大圆半径是6厘米，那么阴影部分面积占大圆面积的______．（用分数表示）【难度】★★ 【答案】41．【解析】阴影部分的面积即为小圆的面积，故阴影部分面积占大圆面积的91364ππ=．【总结】考查圆的面积的计算．【例11】两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】1100．【解析】设大圆的半径为10r ，小圆半径为9r ，所以大圆面积占两圆面积的100181，所以大圆面积为：1991÷181×100=1100平方厘米．【总结】考查圆的面积的计算【例12】有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近．【难度】★★【答案】直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，直径3米、5米和8米的三个花圃交给另一个班管理．【解析】由于面积与半径的平方成正比，故几个花圃面积之比是9:16:25:64:81，因为16+81=97；9+25+64=98，所以符合要求，所以把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，其余交给另一个班管理．【总结】本题一方面考查圆的面积与半径的关系，另一方面考查圆面积计算的简单应用．【例13】大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的415，是小圆面积的35，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】7.5厘米．【解析】由题意，可得：415S S =阴影大圆，35S S =阴影小圆，则43155S S =小圆大圆，设大圆半径为R ，则22435155R ππ⨯⨯=⨯⨯，解得：7.5R =．即大圆的半径为7.5厘米．【总结】本题综合性较强，要根据阴影部分的面积表示出大圆面积和小圆面积的关系，从而求出大圆的半径．【例14】如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】2.58平方厘米．【解析】设正方形的边长为a ，则212a =，则圆的面积为： 223.14 3.14 3.1439.4224a a ⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，故阴影部分面积为：12-9.42 = 2.58平方厘米．【总结】本题主要考查圆面积计算的简单应用．ABO【例15】如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】20.5厘米．【解析】由图可知，这个长方形的宽等于圆的半径，长方形的面积等于圆的面积，所以长方形的长等于圆的周长的一半，故阴影部分的周长=长方形的长×2+长方形的宽-圆的半径+41×圆的周长 =16.4+16.4÷4=20.5厘米．【总结】考查不规则图形的周长的计算，注意计算周长是要包含组成图形的所有的线段和弧长．===1、扇形的概念由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形．如图，空白部分记作扇形AOB ． 2、扇形的面积设组成扇形的半径为r ，圆心角为n °，弧长为l ，那么：213602n S r lr π==扇形．【例16】一个扇形的面积是它所在圆面积的15，这个扇形的圆心角是______．【难度】★ 【答案】72°．【解析】360°÷5 = 72°．【总结】考查扇形的面积与所在的圆的面积的关系．模块二：扇形的面积知识精讲例题解析【例17】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是60°，则此扇形的面积是______平方厘米，周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】13.08；15.23．【解析】扇形的面积为：60×3.14×5×5÷360=13.08平方厘米；此扇形的周长为：60×3.14×5÷180 + 5×2 = 15.23厘米．【总结】考查扇形面积及周长的计算，注意扇形的周长还包含了两条半径的长．【例18】已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】157．【解析】1131.41015722S lr ==⨯⨯=平方厘米．【总结】考查扇形面积的计算．【例19】一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍．【难度】★ 【答案】3，9．【解析】213602n S r lr π==扇形．【总结】考查扇形的面积与扇形的圆心角及所在的圆的半径之间的关系．【例20】一个圆心角为60°的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】121.5π．【解析】由题意，可得：22960()2360r ππ⨯⨯⨯=，解得：2121.5r =，故此扇形所在圆的面积为：2121.5r ππ=．【总结】考查扇形面积的计算，注意先根据题目中的条件计算出半径的平方，再求面积．ABCDE F A BC D【例21】一个圆心角为45°的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】6.28平方厘米．【解析】设扇形所在圆的半径为r ，则由题意可得：4522 3.1411.14360r r +⨯⨯⨯=，解得：4r =厘米，故此扇形的面积为：245 3.144 6.28360⨯⨯=平方厘米．【总结】本题一方面考查扇形的半径的计算，另一方面考查扇形面积的计算．【例22】如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】24π-．【解析】229022S 2224360S S ππ⨯=-=⨯-=-正阴影扇形．【总结】本题主要考查形如“树叶”状的图形的面积的计算．【例23】等腰直角三角形ABC 中，以直角顶点A 为圆心，以高AD 为半径，画一条弧，交AB 、AC 分别于E 、F ，AD = 2厘米，图中阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】0.86．【解析】21124 3.1424 3.140.8624ABC AEF S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=-=V 阴影扇形．【总结】考查阴影部分的面积的计算，注意用规则图形的面积去表示不规则图形的面积．【例24】如图，扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的113倍，那么CAB ∠是______度．【难度】★★ 【答案】60【解析】因为半圆的直径为扇形的半径，所以设半圆的半径为r ，则扇形的半径为2r ，故由题意，可得：()22241803360360n r r ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，解得：60n =o ．即CAB ∠是60度．【总结】本题要认真观察，先分析半圆的半径与扇形半径的关系，然后再进行计算．ABCH【例25】如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】1.57平方厘米．【解析】由图可知：阴影部分的面积是三个扇形的面积之和，三个扇形的半径分别为1，圆心角之和为180°，故阴影部分面积为：180×3.14×1×1÷360=1.572cm ．【总结】考查阴影部分的面积，本题的关键是求出三个扇形的圆心角之和．【例26】如图，ABC ∆的三条边都是6厘米，高AH 为5.2厘米，分别以A 、B 、C 三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】25.32平方厘米．【解析】一个小扇形的面积是：60×3.14×6×6÷360=18.84平方厘米，等边三角形的面积为：6×5.2÷2=15.6（平方厘米），所以这三段弧所围成的图形的面积是：18.84×3-15.6×2=56.52-31.2=25.32（平方厘米）【总结】本题主要是利用割补法将不规则图形的面积问题转化为规则图形的面积计算．【例27】如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】48.125．【解析】22113.1410105 3.14548.12544S =⨯⨯-⨯-⨯⨯=阴影（）．【总结】本题中阴影部分的面积等于大扇形的面积减去长方形的面积再加上小扇形的面积．【例28】如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是31.5π平方厘米，求图中三角形的面积．【难度】★★★ 【答案】18平方厘米．【解析】圆的面积为：6636ππ⨯⨯=，空白部分的扇形的面积为：3631.5 4.5πππ-=，设空白部分的扇形的圆心角为n ，则36 4.5360nππ⨯=，解得n =45o ，所以空白部分的三角形是等腰直角三角形，故面积为6×6×0.5=18平方厘米．【总结】本题主要是根据扇形的面积公式求出圆心角的度数，从而求出三角形的面积．【例29】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】175.84平方米．【解析】根据图可知：大扇形的圆心角为360-60=300度，小扇形的圆心角为：180-60=120度，故总面积为：22300120822175.84360360ππ⨯⨯+⨯⨯⨯=平方米．【总结】本题中要注意小狗活动的范围包含了三个扇形．【例30】已知C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB 长为10，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★★【答案】256π．【解析】连接CD 、OD 、OC ，则阴影部分面积为CD BDCS S 弓形+∆．因为C 、D 把半圆弧AB 三等分，所以AB CD ODC BCD ∆∆∥，所以、等底等高，所以阴影部分面积=CD BDC S S 弓形+∆=()260102253606OCD S ππ⨯⨯÷==扇形．【总结】本题综合性较强，考查了一些几何的内容，教师可以选择性的讲解．ABC DO【习题1】扇形的面积是314平方米，其所在圆的面积是1256平方米，则这个扇形的圆心角为______°．【难度】★ 【答案】90．【解析】314÷1256×360°= 90°．【总结】考查扇形面积公式的逆运用．【习题2】一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是6米，有效杀伤面积是______平方米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】113.04．【解析】36×3.14=13.04平方米．【总结】考查圆的面积的计算在实际问题中的运用．【习题3】若一扇形所在的圆心角缩小为原来的12，半径扩大为原来的2倍，则它的面积（）A ．扩大为原来的2倍B ．扩大为原来的4倍C ．是原来的12 D ．不变【难度】★ 【答案】A 【解析】213602n S r lr π==扇形．【总结】考查扇形的面积与扇形的圆心角及扇形所在的圆的半径之间的关系．【习题4】如果用整个圆来表示班级共有40名学生，那么被评为三好学生的8名同学应该用圆心角为______的扇形来表示．【难度】★★ 【答案】72°．【解析】8÷40×360°= 72°．【总结】考查圆心角在实际问题中的运用．随堂检测【习题5】环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】15.7平方厘米．【解析】外圆的半径长为：18.84÷3.14÷2=3cm ；内圆半径长为：4÷2=2cm ；故环形的面积为：3.14×（3×3-2×2）=15.7平方厘米．【总结】考查圆环的面积的计算．【习题6】两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的119倍，求小圆的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】891平方厘米．【解析】因为大圆的周长是小圆的周长的119倍，故大圆与小圆的面积之比为：100:81，因为两个圆的面积之差是209平方厘米，所以小圆的面积为： 209÷（100-81）×81 = 209÷19×81= 891平方厘米．【总结】本题主要是根据大小两圆的周长比确定出面积比．【习题7】一时钟的分针长6分米，从上午9点到上午10点40分，分针扫过的面积是多少平方分米？【难度】★★【答案】188.4平方分米．【解析】从上午9点到上午10点40分，分针走过的度数为：600°，故分针扫过的面积为：2600 3.146188.4360⨯⨯=平方分米．【总结】时针走过一小时，则分针走了360度，本题主要是确定出分针转过的度数．A B2 2【习题8】如图，正方形的边长为4，求阴影部分的面积．【难度】★★ 【答案】4.56．【解析】2145444822360S S S ππ=-=⨯⨯-⨯⨯=-空三角形扇形，14(82)48 4.562S S S πππ=-=⨯⨯--=-=阴影半圆空．【总结】本题主要考查阴影部分的面积计算．【习题9】如图所示的阴影部分分别为三种标点符号：句号、逗号和问号．已知大圆半径为R ，小圆半径为r ，且R = 2r ．哪一个标点符号的面积最小？【难度】★★★ 【答案】问号．【解析】句号的面积：22243r r r ππ-=（）；逗号的面积：224r 22r ππ⨯÷=；问号的面积：22223134r 44r r r πππ-+=（）．【总结】本题中主要考查阴影部分的面积，注意计算方法．【习题10】如图，A 与B 是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积相差______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】1.42平方厘米．【解析】两个阴影部分的面积差为大扇形的面积减去长方形的面积，再减去小扇形的面积，即：22113.144 3.1422444⨯⨯-⨯⨯-⨯= 1.42平方厘米．【总结】本题要注意认真审题，看清楚求的是两部分的面积差，然后转化为规则图形的面积的差．空【作业1】下列判断中，正确的是（）A ．半径越大的扇形，面积越大B ．所对圆心角越大的扇形，面积越大C ．所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大D ．半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小【难度】★ 【答案】C 【解析】213602n S r lr π==扇形．【总结】考查扇形面积的影响因素．【作业2】圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了______平方厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】141.3．【解析】3.14×（81-36）=141.3平方厘米．【总结】考查圆的面积的计算【作业3】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是72°，这个扇形的周长是______分米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】1.628【解析】72×3.14×5÷180＋5＋5=16.28厘米=1.628分米．【总结】考查扇形周长的计算，注意单位的换算．课后作业【作业4】一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下______平方厘米的纸没有用．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】286．【解析】30×20-3.14×10×10=286平方厘米．【总结】考查长方形纸片上剪出最大圆的面积的计算．【作业5】一个扇形的面积是78.5平方厘米，圆心角为36°，当这个扇形的半径不变而圆心角增加了108°以后，这个扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】314．【解析】扇形所在圆的面积是785平方厘米，故增加的面积为（108＋36）÷360×785=314．【总结】考查扇形的面积与所在圆的面积的计算．【作业6】某大楼上有一石英制的时钟，已知时针与分针分别长60厘米和80厘米，则时针走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方分米？（π取3.14）【难度】★★【答案】191.54平方分米．【解析】时针走1小时，走过的圆心角度数为30°，而分针走过了360°，故面积差为： 3.14×80×80-30×3.14×60×60÷360=19154平方厘米=191.54平方分米．【总结】本题考查扇形的面积在钟表问题中的运用，注意确定表针走过的度数．【作业7】如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为8，中半圆直径为20，则阴影部分面积与大半圆的面积之比是多少？【难度】★★ 【答案】4:7．【解析】2221111410456222S ππππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=阴影；2114982S ππ=⨯⨯=大半圆，故阴影部分面积与大半圆的面积之比是：56984:7ππ=：．【总结】考查半圆面积的计算．红红红红蓝蓝蓝蓝【作业8】一辆汽车的车轮直径为1米，试计算当汽车以120千米/时的速度行驶时，车轮的转速是每秒多少周？（3π≈，结果保留整数位）【难度】★★ 【答案】11．【解析】车轮转速：120×10003113600÷=周．【总结】考查圆的周长计算的简单应用【作业9】如图是对称图形，红色部分的面积大还是蓝色部分的面积大？【难度】★★★ 【答案】一样大【解析】设大圆R =2，则小圆r =1．蓝色部分的面积：211(21)42422r ππ-⨯⨯⨯=-；红色部分的面积为：()2244(424)24R r S ππππππ--=--+=-蓝色，所以两部分面积一样大．【总结】考查不规则图形的面积，注意认真分析，转化为规则图形的计算．【作业10】如图，扇形AOB 为14个圆，半径为4厘米，以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，求阴影部分的面积．【难度】★★★ 【答案】4.56平方厘米．【解析】通过割补，可以将“树叶”状的阴影转化到上面两个弓形处，故13.14444424.564S S S =-=⨯⨯⨯-⨯÷=阴影扇形直角三角形平方厘米．【总结】本题主要考查利用割补法求阴影部分的面积．。

圆面积扇形面积公式

圆面积扇形面积公式圆是几何中的基本图形之一，它有许多重要的性质和公式。

其中，圆的面积和扇形的面积是我们经常需要计算的。

本文将介绍圆的面积和扇形的面积公式，以及它们的应用。

1. 圆的面积公式圆的面积公式是数学中最基本且最重要的公式之一。

在计算圆的面积时，我们需要知道圆的半径。

圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。

圆的面积公式为：S = πr^2，其中π是一个常数，约等于3.14159。

例如，如果一个圆的半径是5厘米，那么它的面积就是：S = 3.14159 * 5^2 = 78.54平方厘米。

2. 扇形的面积公式扇形是圆的一部分，它由圆心、圆弧和两条半径组成。

计算扇形的面积时，我们需要知道扇形的圆心角和圆的半径。

扇形的面积公式是：S = (θ/360) * πr^2，其中θ是扇形的圆心角，可以用度数或弧度表示。

例如，如果一个扇形的圆心角是60度，半径是5厘米，那么它的面积就是：S = (60/360) * 3.14159 * 5^2 = 13.09平方厘米。

3. 圆与扇形的应用圆和扇形的面积公式在日常生活和工作中有广泛的应用。

以下是一些例子：(1) 建筑设计：在建筑设计中，圆和扇形的面积公式可以用来计算房间的面积、花坛的面积等。

(2) 圆桌布料：如果我们知道圆桌的直径或半径，可以利用圆的面积公式计算所需的桌布面积，以便购买合适尺寸的桌布。

(3) 园艺设计：在园艺设计中，扇形的面积公式可以用来计算花坛或草坪的面积，以便购买足够的土壤或草坪。

(4) 圆形广告牌：如果我们想在一个圆形广告牌上放置广告，可以利用扇形的面积公式计算广告的面积，帮助我们确定广告的尺寸和设计。

总结：圆的面积和扇形的面积是几何中重要的概念和公式。

圆的面积公式是S = πr^2，扇形的面积公式是S = (θ/360) * πr^2，其中θ是扇形的圆心角。

这些公式在日常生活和工作中有广泛的应用，可以帮助我们计算房间面积、购买桌布、设计花坛等。

圆和扇形的面积一、知识要点 1、圆的面积（1）圆的面积是指圆周所围成的平面区域的大小。

它的计算公式为2r S π=。

（2）圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积。

即：S 圆环)(2222r R r R -=-=πππ。

2、扇形的面积（1）公式推导：已知圆心角为︒1的扇形面积为圆的面积的3601，那么圆心角为︒n 的扇形面积是圆面积的360n。

（2）扇形面积的公式为：S 扇形⨯=360n S 圆2360r n π=。

二、经典例题例1、已知一个圆环，外圆的周长是25.12厘米，环宽是1厘米，求圆环的面积。

例2、如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米?例 3、长方形的宽8cm ，则阴影部分的面积是多少？例 4、如图，在一块长为a 、宽为b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c 个单位），求阴影部分草地的面积。

三、巩固提升1.一根绳子用去51，正好用去6.28米。

剩下的绳子围成一个圆，圆的面积多少？2．一个扇形的圆心角为 60，所对的弧长为6.28厘米，求扇形的面积。

3. 已知甲圆的半径长等于乙圆的直径长，且它们的面积之和是100平方厘米，那么甲圆的面积是多少？4.两个圆的周长之比是3∶2，面积之差是10平方厘米，两个圆的面积之和是多少？5.一个水缸，从里面量，缸口直径是 50厘米，缸壁厚 5厘米。

要制做一个缸盖，使它正好盖住缸口的外沿，这个缸盖的面积是多少平方厘米？如果在缸盖的边沿贴上一圈金属（不计接头），这个金属条长多少厘米？6.如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB=120°，则阴影部分面积是（） A 、4πB 、2πC 、π34D 、π7.求阴影部分的面积。

8.如图，等腰直角三角形的一腰的长是8厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么阴影部分的面积共有多少平方厘米?( 取3.14)9.求图中阴影部分的面积。

六年级数学圆和扇形知识点总结

六年级数学圆和扇形知识点总结一、圆的认识圆是由一条曲线围成的封闭图形。

在日常生活中，我们能看到许多圆形的物体，比如车轮、硬币、盘子等。

圆有以下几个重要的元素：1、圆心圆心是圆的中心，一般用字母“O”表示。

圆心决定了圆的位置。

2、半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母“r”表示。

半径决定了圆的大小。

在同一个圆中，半径有无数条，并且所有的半径长度都相等。

3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母“d”表示。

在同一个圆中，直径有无数条，并且所有的直径长度都相等。

直径是圆中最长的线段，其长度等于半径的 2 倍，即 d ＝ 2r 。

二、圆的周长圆的周长是指绕圆一周的长度。

圆的周长计算公式是：C ＝πd 或 C ＝2πr （其中 C 表示圆的周长，π是圆周率，通常取值 314，d 表示圆的直径，r 表示圆的半径）。

例如，如果一个圆的直径是 6 厘米，那么它的周长就是 314×6 ＝1884 厘米；如果一个圆的半径是 4 厘米，那么它的周长就是 2×314×4＝ 2512 厘米。

在计算圆的周长时，要注意根据已知条件选择合适的公式。

三、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。

圆的面积计算公式是：S ＝πr² （其中 S 表示圆的面积，π是圆周率，r 表示圆的半径）。

例如，如果一个圆的半径是 5 厘米，那么它的面积就是 314×5²＝785 平方厘米。

在推导圆的面积公式时，我们把圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形。

这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。

因为长方形的面积＝长×宽，所以圆的面积＝圆周长的一半×半径＝πr×r ＝πr² 。

四、扇形1、扇形的认识扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。

2、扇形的面积扇形的面积公式为：S ＝（n/360）×πr² （其中S 表示扇形的面积，n 表示扇形圆心角的度数，π是圆周率，r 表示扇形所在圆的半径）。

六年级秋季班-第16讲：圆和扇形的面积(1)

圆和扇形的面积是六年级数学上学期第四章第二节的内容．本讲主要讲解圆的面积和扇形面积的求解方法，及它们之间的关系；重点是掌握圆的面积和扇形面积的基本计算方法，难点是在不同的图形中根据题目条件灵活解答相关问题．1、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积．设圆的半径长为r ，面积为S ，那么：圆的面积2S r r r ππ=⨯=．圆和扇形的面积内容分析知识结构模块一：圆的面积知识精讲例题解析【例1】（1）圆的半径是4厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留π）（2）圆的直径是6米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（π取3.14）（3）圆的周长是25.12分米，它的面积是______平方分米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例2】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积与大圆面积的比是______．【难度】★【答案】【解析】【例3】有一只羊栓在草地的木柱上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到______平方米的草．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例4】在一个边长为20厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例5】用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例6】一种铝制面盆是用直径20厘米的圆形铝板冲压而成的，要做100个这样的面盆至少需要铝板______平方米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例7】周长相等的长方形、正方形和圆，______的面积最大．【难度】★★【答案】【解析】【例8】两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例9】一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例10】如图，已知大圆半径是6厘米，那么阴影部分面积占大圆面积的______．（用分数表示）【难度】★★【答案】【解析】【例11】两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例12】有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近．【难度】★★ 【答案】【解析】【例13】大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的415，是小圆面积的35，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】【例14】如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】【例15】如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】B1、扇形的概念由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形．如图，空白部分记作扇形AOB ． 2、扇形的面积设组成扇形的半径为r ，圆心角为n °，弧长为l ，那么：213602n S r lr π==扇形．【例16】一个扇形的面积是它所在圆面积的15，这个扇形的圆心角是______．【难度】★ 【答案】【解析】【例17】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是60°，则此扇形的面积是______平方厘米，周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】【解析】【例18】已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】【解析】模块二：扇形的面积知识精讲例题解析【例19】一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍．【难度】★ 【答案】【解析】【例20】一个圆心角为60°的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】【解析】【例21】一个圆心角为45°的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例22】如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】【解析】【例23】等腰直角三角形ABC 中，以直角顶点A 为圆心，以高AD 为半径，画一条弧，交AB 、AC 分别于E 、F ，AD = 2厘米，图中阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】ABCDABCH【例24】如图，扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的113倍，那么CAB ∠是______度．【难度】★★ 【答案】【解析】【例25】如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例26】如图，ABC ∆的三条边都是6厘米，高AH 为5.2厘米，分别以A 、B 、C 三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例27】如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例28】如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是31.5π平方厘米，求图中三角形的面积．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例29】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】【例30】已知C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB 长为10，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题1】扇形的面积是314平方米，其所在圆的面积是1256平方米，则这个扇形的圆心角为______°．【难度】★【答案】【解析】【习题2】一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是6米，有效杀伤面积是______平方米．（取3.14）【难度】★【答案】【解析】【习题3】若一扇形所在的圆心角缩小为原来的12，半径扩大为原来的2倍，则它的面积（）A．扩大为原来的2倍B．扩大为原来的4倍C．是原来的12D．不变【难度】★【答案】【解析】【习题4】如果用整个圆来表示班级共有40名学生，那么被评为三好学生的8名同学应该用圆心角为______的扇形来表示．【难度】★★【答案】【解析】随堂检测【习题5】环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【习题6】两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的119倍，求小圆的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【习题7】一时钟的分针长6分米，从上午9点到上午10点40分，分针扫过的面积是多少平方分米？【难度】★★ 【答案】【解析】【习题8】如图，正方形的边长为4，求阴影部分的面积．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题9】如图所示的阴影部分分别为三种标点符号：句号、逗号和问号．已知大圆半径为R ，小圆半径为r ，且R = 2r ．哪一个标点符号的面积最小？【难度】★★★ 【答案】【解析】A B2 2【习题10】如图，A与B是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积相差______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】下列判断中，正确的是（）A．半径越大的扇形，面积越大B．所对圆心角越大的扇形，面积越大C．所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大D．半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小【难度】★【答案】【解析】【作业2】圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】课后作业【作业3】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是72°，这个扇形的周长是______分米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【作业4】一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下______平方厘米的纸没有用．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业5】一个扇形的面积是78.5平方厘米，圆心角为36°，当这个扇形的半径不变而圆心角增加了108°以后，这个扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业6】某大楼上有一石英制的时钟，已知时针与分针分别长60厘米和80厘米，则时针走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方分米？（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业7】如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为8，中半圆直径为20，则阴影部分面积与大半圆的面积之比是多少？【难度】★★【答案】【解析】红红红红蓝蓝蓝蓝【作业8】一辆汽车的车轮直径为1米，试计算当汽车以120千米/时的速度行驶时，车轮的转速是每秒多少周？（3π≈，结果保留整数位）【难度】★★【答案】【解析】【作业9】如图是对称图形，红色部分的面积大还是蓝色部分的面积大？【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】如图，扇形AOB为14个圆，半径为4厘米，以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，求阴影部分的面积．【难度】★★★【答案】【解析】。

爱提分圆和扇形的周长及面积公式

一：周长与面积公式知识精讲在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．点O就称为该圆的圆心；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA）叫做半径；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径．直径长恰好是半径长的两倍．圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率，用希腊字母表示．圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值．一．圆的周长与面积公式1．直径长度通常用字母d表示，半径长度通常用r表示，圆周长通常用C 表示，圆面积通常用字母S表示．2．圆周长公式：蜜蜂飞行：无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆的直径，那么它们的周长之和也等于大圆的周长．3．圆面积公式：二．扇形的周长与面积公式扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以了．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．1．扇形弧长公式：2．扇形面积公式：3．温馨提示：扇形的弧长不是它的周长，扇形的周长还必须加上两条半径．三点剖析重难点：扇形周长公式，需要加上两条半径题模精讲题模一圆的周长与面积公式例、已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为_________厘米，面积为_________平方厘米．答案：；解析：周长为厘米，面积为平方厘米．例、已知一个圆的周长为厘米，那么这个圆的直径为_________厘米．答案：16解析：直径为厘米．例、有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米（取）答案：（1）米（2）米解析：小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆．例、如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少（取）答案：解析：长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为，可求出小圆的面积是，那么阴影部分的面积是．例、如图，在一块面积为平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米（取）答案：平方厘米解析：，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为平方厘米．例、已知大圆的直径为10厘米，有四个大小不等的圆，圆心都在大圆的一条直径上，并且它们的直径之和与大圆相等．那么4个小圆的周长之和是________厘米．（取）答案：解析：假设中间4个小圆的直径分别为a、b、c、d，则有，4个小圆的周长之和为厘米．例、如图，直角三角形的面积是40平方厘米，圆的面积是________平方厘米（π取3）．答案：240解析：直角三角形的直角边即为圆的半径，所以，，圆的面积是平方厘米．题模二扇形的周长与面积公式例、如图3，圆P的直径OA是圆O的半径，，，则阴影部分的面积是__________．（π取3）答案：75解析：阴影部分的面积等于大圆面积的一半减去小圆的面积，即．例、一个扇形的半径为6平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的周长是__________厘米．（取）答案：解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个扇形的弧长是cm，扇形的周长是厘米．例、一个扇形的面积为平方厘米，圆心角为45°，这个扇形的周长是_______厘米．（取）解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个圆的半径的平方是，所以这个圆的半径是4厘米，所以扇形的半径是4厘米，扇形的周长是厘米．例、在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为，，．这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即下图中阴影部分所示的图形．那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为__________（圆周率用π表示）答案：πm解析：鞋匠刀形的周长是由3条半圆形弧线组成，所以周长为m．例、如图，等边三角形ABC的边长是1，依次以A、C、B为圆心，以BA、CD、BE为半径画扇形，那么三个扇形的面积和是多少（结果保留π）答案：解析：各扇形圆心角均为，半径分别为1、2、3，因此三个扇形的面积和是．例、一个半径为3分米的扇形，面积为平方分米，那么它的圆心角是__________，它的弧长又是__________分米．答案：80°，根据题意得，，所以，所以圆心角是度．弧长为．例、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是________（结果保留π）．答案：解析：连结AC、FB．易知，故，．例、如图，有三个同心半圆，它们的直径分别为2，6，10，用线段分割成9块，如果每块字母代表这一块的面积并且相同的字母代表相同的面积，那么(A＋B)：C ＝_______答案：55：48解析：设A的半径为，B的半径为，C的半径为A的面积：B的面积：3B=，．C的面积：5C=，．．题模三捆圆的周长和面积已知下图中的每个小圆的半径均为1，这个图形的面积是__________．（取）答案：解析：如图，对图形进行分割后可知这个图形的面积相当于8个边长为2的正方形和一个半径为1的圆的面积的和．面积为．例、如图，有8个半径为1的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．那么花瓣图形的周长和面积分别是多少答案：周长，面积解析：如图，做辅助线后可以看出周长为4个的圆弧加上4个半圆弧，所以周长为；而面积为正方形减去4个半圆加上4个圆，即．例、如图，每个圆的面积都为，求该图形的外周长．答案：解析：圆半径为2．图形外周长可以分为三段长为4的线段和三段120°角的圆弧，则外周长为．如图，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米答案：解析：如图，作辅助线后可以发现外周长是由6段长度为5的线段和6个60°角的圆弧组成，所以皮筋长度为．随堂练习随练、已知一个圆的直径是12厘米，那么这个圆的面积为__________平方厘米（取）答案：解析：直径为12厘米，那么半径为6厘米，面积是平方厘米．随练、已知一个圆的面积为314平方厘米，那么这个圆的直径为_______厘米（取）答案：20解析：这个圆的半径为平方是，所以这个圆的半径是10厘米，直径是20厘米．随练、半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米（取）答案：厘米解析：圆的周长公式为，周长之和为厘米．随练、如图，在一块面积为平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米（取）答案：平方厘米解析：大圆的面积是平方厘米，可求出大圆的半径是2厘米，那么小圆的半径是1厘米，面积是平方厘米．阴影部分的面积是平方厘米．随练、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为3、1、2厘米，则大圆周长为多少厘米（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．随练、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________（结果保留π）．答案：解析：阴影部分面积为梯形ABFE与扇形ABC的面积之和减去三角形FEC的面积，易得为．随练、已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是，那么：（1）这个扇形所在圆的周长是_________厘米，扇形的圆心角占圆周角的_________，它的弧长占圆周长的_________，这个扇形的弧长是_________厘米，周长是_________厘米．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的_________，是_________平方厘米．答案：（1）；；；；（2）；解析：（1）这个扇形所在圆的周长是厘米，扇形的圆心角占圆周角的，它的弧长占圆周长的，这个扇形的弧长是厘米，周长是．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的，面积是平方厘米．随练、半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，是的__________倍．答案：5解析：为，为，所以是的5倍．随练、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是4，因此整个圆角矩形的面积就是．随练、如图，有七根直径为4厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．课后作业作业1、已知圆的直径为20米，那这个圆的周长为多少米（π取近似值）答案：解析：圆周长的计算公式为：C圆=π×D．作业2、把两根横截面半径都是10厘米的钢管用铁丝紧紧捆在一起，如果捆绑处不计，至少要用铁丝____________厘米．答案：解析：厘米．作业3、一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽米，直径是米．前轮转动一周，压路的面积是______平方米．答案：平方米解析：轮子压一周，周长为米，即压在路面上的长是米，压路的面积=长×宽平方米．作业4、已知圆的面积是314平方米，那圆的周长是多少米（π取近似值）答案：解析：由圆的面积可以求出半径的平方，算出半径后可由公式计算圆的周长，为．作业5、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为1、2、3厘米，则大圆周长为多少厘米（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．作业6、如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米答案：8平方厘米解析：小圆的半径是整个大圆半径的，因此小圆的面积是大圆面积的，为平方厘米；大圆去掉7个小圆后剩下的面积是平方厘米．作业7、已知一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积是________，周长是________（π取）．答案：面积，周长解析：扇形的面积；周长．作业8、如图，求各图中阴影部分的面积．（取）答案：解析：阴影部分面积为半径为4的半圆面积减去对角线为8的等腰直角三角形面积．阴影部分面积为．作业9、已知扇形的半径为3米，面积为米，那扇形的圆心角为多少度（π取近似值）答案：180解析：扇形所在圆的面积≈×32=平方米，由此可知该扇形是它所在圆的．那么圆心角应该是360°的二分之一．作业10、已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为厘米，这个扇形的面积是多少答案：解析：因为扇形的弧长为厘米，所以，可得．扇形面积为平方厘米．作业11、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是，因此整个圆角矩形的面积就是．作业12、如图，三个圆的半径都是4，那整个图形的外周长是多少（π取近似值）答案：解析：整个外周长可以分为3段直线和3段弧形．作业13、如图，有七根直径为10厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．。

六年级秋季班-第16讲：圆和扇形的面积

圆和扇形的面积是六年级数学上学期第四章第二节的内容．本讲主要讲解圆的面积和扇形面积的求解方法，及它们之间的关系；重点是掌握圆的面积和扇形面积的基本计算方法，难点是在不同的图形中根据题目条件灵活解答相关问题．1、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积．设圆的半径长为r ，面积为S ，那么：圆的面积2S r r r ππ=⨯=．圆和扇形的面积内容分析知识结构模块一：圆的面积知识精讲例题解析【例1】（1）圆的半径是4厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留π）（2）圆的直径是6米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（π取3.14）（3）圆的周长是25.12分米，它的面积是______平方分米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例2】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积与大圆面积的比是______．【难度】★【答案】【解析】【例3】有一只羊栓在草地的木柱上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到______平方米的草．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例4】在一个边长为20厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例5】用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例6】一种铝制面盆是用直径20厘米的圆形铝板冲压而成的，要做100个这样的面盆至少需要铝板______平方米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例7】周长相等的长方形、正方形和圆，______的面积最大．【难度】★★【答案】【解析】【例8】两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例9】一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例10】如图，已知大圆半径是6厘米，那么阴影部分面积占大圆面积的______．（用分数表示）【难度】★★【答案】【解析】【例11】两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例12】有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近．【难度】★★【答案】【解析】【例13】大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的415，是小圆面积的35，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（π取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】【例14】如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】【例15】如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（π取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】B1、扇形的概念由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形．如图，空白部分记作扇形AOB ． 2、扇形的面积设组成扇形的半径为r ，圆心角为n °，弧长为l ，那么：213602n S r lr π==扇形．【例16】一个扇形的面积是它所在圆面积的15，这个扇形的圆心角是______．【难度】★ 【答案】【解析】【例17】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是60°，则此扇形的面积是______平方厘米，周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】【解析】【例18】已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】【解析】模块二：扇形的面积知识精讲例题解析【例19】一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍．【难度】★ 【答案】【解析】【例20】一个圆心角为60°的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】【解析】【例21】一个圆心角为45°的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例22】如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】【解析】【例23】等腰直角三角形ABC 中，以直角顶点A 为圆心，以高AD 为半径，画一条弧，交AB 、AC 分别于E 、F ，AD = 2厘米，图中阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】ABCDABCH【例24】如图，扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的113倍，那么CAB ∠是______度．【难度】★★ 【答案】【解析】【例25】如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例26】如图，ABC ∆的三条边都是6厘米，高AH 为5.2厘米，分别以A 、B 、C 三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例27】如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例28】如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是31.5π平方厘米，求图中三角形的面积．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例29】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】【例30】已知C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB 长为10，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题1】扇形的面积是314平方米，其所在圆的面积是1256平方米，则这个扇形的圆心角为______°．【难度】★【答案】【解析】【习题2】一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是6米，有效杀伤面积是______平方米．（取3.14）【难度】★【答案】【解析】【习题3】若一扇形所在的圆心角缩小为原来的12，半径扩大为原来的2倍，则它的面积（）A．扩大为原来的2倍B．扩大为原来的4倍C．是原来的12D．不变【难度】★【答案】【解析】【习题4】如果用整个圆来表示班级共有40名学生，那么被评为三好学生的8名同学应该用圆心角为______的扇形来表示．【难度】★★【答案】【解析】随堂检测【习题5】环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【习题6】两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的119倍，求小圆的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【习题7】一时钟的分针长6分米，从上午9点到上午10点40分，分针扫过的面积是多少平方分米？【难度】★★【答案】【解析】【习题8】如图，正方形的边长为4，求阴影部分的面积．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】如图所示的阴影部分分别为三种标点符号：句号、逗号和问号．已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R = 2r．哪一个标点符号的面积最小？【难度】★★★【答案】【解析】AB22【习题10】如图，A 与B 是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积相差______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业1】下列判断中，正确的是（）A ．半径越大的扇形，面积越大B ．所对圆心角越大的扇形，面积越大C ．所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大D ．半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小【难度】★ 【答案】【解析】【作业2】圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了______平方厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】【解析】课后作业【作业3】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是72°，这个扇形的周长是______分米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【作业4】一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下______平方厘米的纸没有用．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业5】一个扇形的面积是78.5平方厘米，圆心角为36°，当这个扇形的半径不变而圆心角增加了108°以后，这个扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业6】某大楼上有一石英制的时钟，已知时针与分针分别长60厘米和80厘米，则时针走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方分米？（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业7】如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为8，中半圆直径为20，则阴影部分面积与大半圆的面积之比是多少？【难度】★★【答案】【解析】红红红红蓝蓝蓝蓝【作业8】一辆汽车的车轮直径为1米，试计算当汽车以120千米/时的速度行驶时，车轮的转速是每秒多少周？（3π≈，结果保留整数位）【难度】★★ 【答案】【解析】【作业9】如图是对称图形，红色部分的面积大还是蓝色部分的面积大？【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业10】如图，扇形AOB 为14个圆，半径为4厘米，以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，求阴影部分的面积．【难度】★★★ 【答案】【解析】。

圆与扇形题型归类

圆与扇形——公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识．圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d ，半径记作r ，如图1所示．所以，圆的周长2C d r ππ=⨯=⨯⨯，圆的面积2S r π=⨯．如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．dr图1n°r图3扇形的圆心角为n °时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360n ．我们先来熟悉一下这些公式．练习：1. 半径是2的圆的面积和周长分别是多少？2.3.4. 直径是5的圆的面积和周长分别是多少？5.6.7. 周长是10π的圆的面积是多少？8.9.10. 面积是9π的圆的周长是多少？11.12.例题一、基本公式运用例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）60°例题4.随堂练习：1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45，这个扇形的半径和周长各是多少？2.3.4.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？5.6.如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B，C为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A是多少度？（π取3.14）AB C7.二、圆中方，方中圆8.如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________．9.10.随堂练习：1.已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）2.二、割补法11.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：2（1）（2）随堂练习：7求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：（1）（2）4求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：22（1）（2）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）12.已知图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为________．（答案用表示）13.14.15.16.根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取3.14）417.作业：1.半径为4厘米的圆的周长是________厘米，面积是________平方厘米；2.3.半径为4厘米，圆心角为90︒的扇形周长是________厘米，面积是________平方厘米．（π取3.14）4.5.家里来客人了，淘气到超市买了4瓶啤酒，售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示），捆4圈至少要用绳子________厘米．（π取3.14，接头处忽略不计）O 7厘米1 16.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：7.（1）（2）10109.10.下列图形中的正方形的边长为2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______、______．（π取3.14）11.12.用一块面积为36π平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？O圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．例题：一、重叠问题例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率?取3.14）例题2.例题3.下图中有一个等腰直角三角形ABC ，一个以AB 为直径的半圆，和一个以BC 为半径的扇形．已知10AB BC ==厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）例题4.随堂练习1. 如图17-13，以AB 为直径做半圆，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度．（?取3.14．） 2. 3.4.5.6.例题5.如图，直角三角形的两条直角边分别为3和5，分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为______．ABB例题6.例题7.例题8.例题9.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）图1 AB A B60 图2C例题11.例题12.例题13.二、动态扫面积问题例题14.如图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为________平方厘米．（取3.14）例题15.例题16.例题17.例题18.例题19.例题20.例题21.例题22.例题23.例题24.如图所示，以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心，分别以AB、CD、AE为半径画弧，这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线，如果正三角形ABC的边长为3厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米？例题例题26.例题27.三、运动圆扫面积例题28.图中正方形的边长是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）例题29.例题30.随堂练习1.图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）2.例题31.图中等边三角形的边长是3厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）例题32.例题33.例题34.例题35.思考题如图所示，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）狗作业：1.图17-14由一个长方形与两个90?角的扇形构成，其中阴影部分的面积是_______平方厘米．（?取3.14．）图17-143.4.图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形，那么两个阴影部分的面积相差为_______．（π取3.14）6. 如图，直角三角形的两条直角边长分别是10cm 和6cm ，分别以直角边为直径作出两个半圆，这两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是_______cm 2．（?取3.14）7. （17??30）8.9. 图1是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图2所示，让A 点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是_______平方厘米（π取3.14）10cm6cm图1 AB A BC 40 图2C11.图中正方形的边长是6厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有______．（π取3.14）12.13.图中等边三角形的边长是5厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有________．（π取3.14）14.。

圆和扇形的面积

1. 圆的半径长扩大到原来的3倍，圆的面积也扩大到原来的3倍2. 半径长为2厘米的圆的周长与面积相等3. 若甲圆的周长是乙圆周长的13，那么甲圆的面积也是乙圆面积的13练习：1. 一个圆的半径扩大3倍，则下列结论正确的是（）A 圆直径扩大6倍B圆周长扩大6倍C圆面积扩大3倍D圆面积扩大9倍2. 如果大圆的半径是小圆的直径，则小圆的面积是大圆面积的（填几分之几）例4如图，已知外圈的周长是内圈的4倍，外圆的周长是50.24cm，求阴影部分的面积。

练习：1. 已知两圆周长之和是40 厘米，且小圆半径是大圆半径的23，求两圆的面积2. 环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，则环形的面积是例5用三根同样长的铁丝分别围成圆、正方形、长方形，这三个图形中，面积最大的是（）A 圆 B 正方形 C 长方形 D三者相等练习：1. 一张长方形纸片长10厘米，宽9厘米，在这张纸片中剪出一个最大的圆，这个圆的面积是。

例6以三角形ABC的三个顶点为圆心，以10毫米长为半径，在三角形ABC内画弧可得三条弧，阴影部分的面积是例7 已知小圆的半径是6，大圆的半径是8，AOC BOC AOB ∠∠∠,,都为120°，三角形面积为93，且被均匀的分成了3份，求阴影部分的面积。

（π取3）练习：已知下图圆C 的半径与圆B 的半径相加正好是圆A 的半径，若圆C 与圆B 的半径比试3:4，求白色部分的面积与阴影部分的面积之比是多少（π取3）考点2 扇形面积例1 圆心角为n °的扇形的面积是它所在圆面积的（填几分之几）CE1D1考点4 扇形图例：一所中学准备搬迁到新校舍，在迁入新校舍之前就该校500名学生如何到新校舍的问题进行了一次调查，得到如下数据：步行90人，骑自行车160人，坐公共汽车220人，其他30人，请算出各部分学生数占学生总数的百分比，并用扇形统计图表示。

考点5综合性应用题例1钟表问题台钟的时针长10厘米，从早上7点到中午12点，则时针扫过的面积是练习：1. 三点十五分，时针与分针的夹角是2. 时针长5厘米，分针长8厘米，秒针长1分米，从上午9点到上午10点40分，时针、分针扫过的面积分别是多少平方厘米？例2 箭靶问题射箭运动的箭靶由10个同心圆组成，两个相邻的同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，最里面的小圆是10环，最外面的圆环是1环，问：（1）10环面积是1环面积的几分之几？（2）9环面积是1环面积的几分之几？例3 图形运动1. 如图，一只羊被栓在边长均为3米的三角形建筑物墙角A处，周围都是草地，绳长4米，（1）求羊所能吃到草的地方的总面积；（2）如果有一堆鲜草距A处有4.1米，请问这只羊能够吃到这堆鲜草吗？【自我测试】1. 在一个周长为100毫米的硬纸正方形内，要剪下一个最大的圆，这个圆的周长和面积分别是_______。

第十五讲圆和扇形的面积

第十五讲圆和扇形的面积【典型例题1】在一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路．求路面的面积．解析：1014.328.622=⨯==πC r （米） S=S 大圆-S 小圆=πr 2-πR 2=3.14×（10+2）2-3.14×102=138.16（平方米）答:路面的面积是138.16平方米．点评：绕着这个水池修一条宽2米的水泥路的情况如图所示，因此路的面积就是大圆面积减小圆面积，其中大圆的半径是小圆半径加上2米．【知识点】1. 圆周长公式用字母C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，那么C=πd 或C=2πr ．能解根据实际问题中的半径或直径求周长，能解根据圆的周长求圆的半径或直径．2．圆的面积圆所占的平面的大小叫做圆的面积．3．圆的面积公式设圆的半径为r ，面积为S ，那么圆的面积S=πr 2．【基本习题限时训练】1、一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下（）平方厘米的纸没用A 、2226B 、106.5C 、286D 、656【解】C2、如图阴影部分的面积是（）A 、19.625B 、78.5C 、39.25D 、以上都不对【解】A3、将半径为3厘米的圆，扩大到半径为5厘米的大圆，面积增加了（）A 、9π平方厘米B 、725π平方厘米C 、15π平方厘米D 、16π平方厘米【解】D【拓展题1】用同样的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，它们的面积是否相等？如果不相等，哪个面积大，为什么？【解析】面积不相等，圆的面积大.设铁丝的长为x，由此分别算出正方形的边长是a=x4，圆的半径r=x2π，那么S正方形=x216，S圆=x24π.因为16＞4π，所以x216＜x24π.【点评】圆的周长和面积的大小都由半径的长度决定，所以先由周长表示出半径，再由半径求出面积，再与正方形相比较。

【拓展题2】把三角板放在桌面上，绕着点C将三角板旋转一周后形成如下的图形，如果AB=4厘米，BC=3厘米，AC=5厘米，那么直角边AB所覆盖的面积是多少平方厘米？【解析】S= S大圆-S小圆=πAC2-πBC2=25π-9π=16π=50.24（平方厘米）【点评】AB所覆盖的面积是一个环形，其中外圆的半径是AC的长，内圆的半径是BC的长【典型例题2】一块正方形的草皮，边长为4米，在两个相对的角上各有一棵树，树上各栓一只羊，绳长4米，问两只羊都能吃到的草的草皮有多少？解析： πππ44414122=⨯⨯=r （平方米） 21绿色阴影部分=4π-21×4×4=4π-8（平方米）阴影部分面积=2×（4π-8）=8π-16=8×3.14-16=9.12（平方米）答阴影部分的面积是9.12平方米．点评：根据题意先画出图1，由于栓羊的绳长4米，所以一只羊只能草的的面积正好是以树心为圆心，4米长为半径的圆的四分之一，故两只羊都能吃到的草的面积就是绿色的阴影部分图2．先求阴影部分的一半如图3、图4．【知识点】圆的面积公式设圆的半径为r ，面积为S ，那么圆的面积S=πr 2．【基本习题限时训练】1、有一只羊栓在草地的木桩上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到（）平方米的草A 、50.24B 、25.12C 、12.56D 、 16【解】A2、学校的操场由一个长方形和两个半圆组成，则这个操场的面积是（）平方米。

爱提分圆和扇形的周长及面积公式

一：周长与面积公式知识精讲在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．点O就称为该圆的圆心；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA）叫做半径；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径．直径长恰好是半径长的两倍．圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率，用希腊字母表示．圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值．一．圆的周长与面积公式1．直径长度通常用字母d表示，半径长度通常用r表示，圆周长通常用C 表示，圆面积通常用字母S表示．2．圆周长公式：蜜蜂飞行：无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆的直径，那么它们的周长之和也等于大圆的周长．3．圆面积公式：?二．扇形的周长与面积公式扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以了．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．1．扇形弧长公式：2．扇形面积公式：3．温馨提示：扇形的弧长不是它的周长，扇形的周长还必须加上两条半径．三点剖析重难点：扇形周长公式，需要加上两条半径题模精讲题模一?圆的周长与面积公式例、已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为_________厘米，面积为_________平方厘米．答案：；解析：周长为厘米，面积为平方厘米．?例、已知一个圆的周长为厘米，那么这个圆的直径为_________厘米．答案：16解析：直径为厘米．?例、有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米？（取）答案：（1）米（2）米解析：小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆．?例、如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（取）答案：解析：长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为，可求出小圆的面积是，那么阴影部分的面积是．?例、如图，在一块面积为平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（取）答案：平方厘米解析：，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为平方厘米．?例、已知大圆的直径为10厘米，有四个大小不等的圆，圆心都在大圆的一条直径上，并且它们的直径之和与大圆相等．那么4个小圆的周长之和是________厘米．（取）答案：解析：假设中间4个小圆的直径分别为a、b、c、d，则有，4个小圆的周长之和为厘米．?例、如图，直角三角形的面积是40平方厘米，圆的面积是________平方厘米（π取3）．答案：240解析：直角三角形的直角边即为圆的半径，所以，，圆的面积是平方厘米．?题模二?扇形的周长与面积公式例、如图3，圆P的直径OA是圆O的半径，，，则阴影部分的面积是__________．（π取3）答案：75解析：阴影部分的面积等于大圆面积的一半减去小圆的面积，即．?例、一个扇形的半径为6平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的周长是__________厘米．（?取）答案：解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个扇形的弧长是cm，扇形的周长是厘米．?例、一个扇形的面积为平方厘米，圆心角为45°，这个扇形的周长是_______厘米．（取）答案：解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个圆的半径的平方是，所以这个圆的半径是4厘米，所以扇形的半径是4厘米，扇形的周长是厘米．?例、在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为，，．这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即下图中阴影部分所示的图形．那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为__________（圆周率用π表示）答案：πm解析：鞋匠刀形的周长是由3条半圆形弧线组成，所以周长为m．?例、如图，等边三角形ABC的边长是1，依次以A、C、B为圆心，以BA、CD、BE 为半径画扇形，那么三个扇形的面积和是多少？（结果保留π）答案：解析：各扇形圆心角均为，半径分别为1、2、3，因此三个扇形的面积和是．?例、一个半径为3分米的扇形，面积为平方分米，那么它的圆心角是__________，它的弧长又是__________分米．答案：80°，解析：根据题意得，，所以，所以圆心角是度．弧长为．?例、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是________（结果保留π）．答案：解析：?连结AC、FB．易知，故，．?例、如图，有三个同心半圆，它们的直径分别为2，6，10，用线段分割成9块，如果每块字母代表这一块的面积并且相同的字母代表相同的面积，那么(A＋B)：C ＝_______答案：55：48解析：设A的半径为，B的半径为，C的半径为A的面积：B的面积：3B=，．C的面积：5C=，．．?题模三?捆圆的周长和面积例、已知下图中的每个小圆的半径均为1，这个图形的面积是__________．（取）答案：解析：如图，对图形进行分割后可知这个图形的面积相当于8个边长为2的正方形和一个半径为1的圆的面积的和．面积为．?例、如图，有8个半径为1的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？答案：周长，面积解析：如图，做辅助线后可以看出周长为4个的圆弧加上4个半圆弧，所以周长为；而面积为正方形减去4个半圆加上4个圆，即．?例、如图，每个圆的面积都为，求该图形的外周长．答案：解析：圆半径为2．图形外周长可以分为三段长为4的线段和三段120°角的圆弧，则外周长为．?例、如图，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？答案：解析：如图，作辅助线后可以发现外周长是由6段长度为5的线段和6个60°角的圆弧组成，所以皮筋长度为．?随堂练习随练、已知一个圆的直径是12厘米，那么这个圆的面积为__________平方厘米？（取）答案：解析：直径为12厘米，那么半径为6厘米，面积是平方厘米．?随练、已知一个圆的面积为314平方厘米，那么这个圆的直径为_______厘米？（取）答案：20解析：这个圆的半径为平方是，所以这个圆的半径是10厘米，直径是20厘米．?随练、半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（取）答案：厘米解析：圆的周长公式为，周长之和为厘米．?随练、如图，在一块面积为平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（取）答案：平方厘米解析：大圆的面积是平方厘米，可求出大圆的半径是2厘米，那么小圆的半径是1厘米，面积是平方厘米．阴影部分的面积是平方厘米．?随练、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为3、1、2厘米，则大圆周长为多少厘米？（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．?随练、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________（结果保留π）．答案：解析：阴影部分面积为梯形ABFE与扇形ABC的面积之和减去三角形FEC的面积，易得为．?随练、已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是，那么：（1）这个扇形所在圆的周长是_________厘米，扇形的圆心角占圆周角的_________，它的弧长占圆周长的_________，这个扇形的弧长是_________厘米，周长是_________厘米．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的_________，是_________平方厘米．答案：（1）；；；；（2）；解析：（1）这个扇形所在圆的周长是厘米，扇形的圆心角占圆周角的，它的弧长占圆周长的，这个扇形的弧长是厘米，周长是．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的，面积是平方厘米．?随练、半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，是的__________倍．答案：5解析：为，为，所以是的5倍．?随练、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是4，因此整个圆角矩形的面积就是．?随练、如图，有七根直径为4厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．?课后作业作业1、已知圆的直径为20米，那这个圆的周长为多少米？（π取近似值）答案：解析：圆周长的计算公式为：C=π×D．?作业2、把两根横截面半径都是10厘米的钢管用铁丝紧紧捆在一起，如果捆绑处不计，至少要用铁丝____________厘米．答案：解析：厘米．?作业3、一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽米，直径是米．前轮转动一周，压路的面积是______平方米．答案：平方米解析：轮子压一周，周长为米，即压在路面上的长是米，压路的面积=长×宽平方米．?作业4、已知圆的面积是314平方米，那圆的周长是多少米？（π取近似值）答案：解析：由圆的面积可以求出半径的平方，算出半径后可由公式计算圆的周长，为．?作业5、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为1、2、3厘米，则大圆周长为多少厘米？（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．?作业6、如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？答案：8平方厘米解析：小圆的半径是整个大圆半径的，因此小圆的面积是大圆面积的，为平方厘米；大圆去掉7个小圆后剩下的面积是平方厘米．?作业7、已知一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积是________，周长是________（π取）．答案：面积，周长解析：扇形的面积；周长．?作业8、如图，求各图中阴影部分的面积．（取）答案：解析：阴影部分面积为半径为4的半圆面积减去对角线为8的等腰直角三角形面积．阴影部分面积为．?作业9、已知扇形的半径为3米，面积为米，那扇形的圆心角为多少度？（π取近似值）答案：180解析：扇形所在圆的面积≈×3=平方米，由此可知该扇形是它所在圆的．那么圆心角应该是360°的二分之一．?作业10、已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为厘米，这个扇形的面积是多少？答案：解析：因为扇形的弧长为厘米，所以，可得．扇形面积为平方厘米．作业11、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是，因此整个圆角矩形的面积就是．?作业12、如图，三个圆的半径都是4，那整个图形的外周长是多少？（π取近似值）答案：解析：整个外周长可以分为3段直线和3段弧形．作业13、如图，有七根直径为10厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．。

圆与扇形的面积运算

圆与扇形的面积运算在几何学中，圆和扇形是常见的图形，它们的面积计算是基础知识。

下面我将分别介绍圆和扇形的面积运算方法。

一、圆的面积运算圆是一个闭合于一个平面上所有点到一个固定点的距离相等的图形。

圆的面积计算公式为：面积= π * r^2，其中π是一个常数，约等于3.14159，r是圆的半径。

例如，如果给定一个圆的半径为5 cm，则该圆的面积为：面积= π * 5^2= 3.14159 * 25≈ 78.53975 平方厘米二、扇形的面积运算扇形是由一个圆心角和与其相应的两条半径所围成的图形。

扇形的面积计算依赖于圆的面积，根据圆的面积比例可以得到扇形的面积计算公式。

扇形的面积计算公式为：面积= (θ/360°) * π * r^2，其中θ是圆心角的度数，r是扇形的半径。

例如，如果给定一个扇形的圆心角为60°，半径为5 cm，则该扇形的面积为：面积 = (60/360) * 3.14159 * 5^2≈ 0.16667 * 3.14159 * 25≈ 13.08996 平方厘米在实际问题中，我们常常需要计算不完整的扇形面积。

如果给定的圆心角θ小于360°，我们可以使用相应的圆心角和整个圆的面积比值，再乘以整个圆的面积，即可得到不完整扇形的面积。

例如，如果给定的圆心角θ为120°，半径仍为5 cm，我们可以计算不完整扇形的面积如下：面积 = (120/360) * 3.14159 * 5^2≈ 0.33333 * 3.14159 * 25≈ 26.17993 平方厘米结论：通过以上的解释与计算实例可知，圆和扇形的面积计算方法相对简单。

圆的面积只需根据圆的半径运用公式Area = π * r^2进行计算，而扇形的面积则需要额外考虑圆心角的影响，应用公式Area = (θ/360°) *π * r^2来计算。

这些计算方法在几何学和实际应用中具有广泛的使用场景，对于我们理解和解决与圆和扇形相关的问题非常有帮助。

【小学奥数】专题：如何计算圆和扇形组合的图形面积

面积的 2 ，那么这个扇形的圆心角是多少度？
5
解：因为 S扇形 n
S 360
所以
2 n , 5 360
n 2, 360 5
解得 n=144
答：扇形的圆心角是144度.
二.应数用学举一例百分
例题5 解答题：
※（2）如果扇形的圆心角变为原来的5倍，半
径变为原来的 1/3 ，那么这个扇形的弧长变为
黄颜色部分的面积 R2 r2
R2 r2
数学一百分三.巩固练习
2．在面积是720平方毫米的圆上，有一个面积为45平方毫米的同半径的扇形，这个扇形的圆心角的度数是多少度？
解： S=720平方毫米，S扇形 45 平方毫米， S扇形 = n , 45 = n , n 22.50. S 360 720 360
例题3 （1）圆的直径是4米，周长是多少米？面积是多少平方米？
解：（1）d=4米，r=2米，
C=πd =3.14×4 =12.56(m) .
S r2 =3.14×4 =12.56(平方米).
答：圆的周长是12.56米，面积是12.56平方米.
数学一百分二.应用举例
例题3 （2）扇形的半径为3厘米，圆心角为 120°，求扇形的面积及扇形的弧长.
20cm，求扇形的面积？
解：（3）r=6cm, l=20-2×6=8(cm),
S扇形
1 lr 2
1 86 2
24
或 l n r , 6 n 8, nπ=240，
180 180
S扇形
n r2
360
240 36 360
24（平方厘米）.
答：扇形的面积为24平方厘米.
数学一百分
二.应用举例

沪教版六年级圆和扇形的面积,带答案

圆和扇形的面积知识精要1、圆的面积（1）圆的概念：_______________________叫做圆的面积。

（2）圆的面积公式：设圆的半径为r，面积为S，那么圆的面积为_______________。

2、扇形的面积（1）扇形的概念：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

（2）扇形的面积公式：设组成扇形的半径为r，圆心角为0n，弧长为l，则___________________________________3、扇形统计图扇形统计图是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图。

扇形统计图有时也称做_________________，扇形统计图可以直观地反映出各个部分数量在总量中所占的份额。

热身练习1、已知圆的周长为12.56厘米，则这个圆的面积是_______平方厘米。

2、已知圆的面积是50.24平方厘米，那么这个圆的半径是_______厘米。

3、已知扇形面积是1.413平方分米，圆心角是72°，那么它的半径是_______厘米。

4、一个雷达圆形屏幕的半径是50厘米，那么屏幕的面积是_______平方厘米。

5、在一边长是12厘米的正方形铁片上，剪一个最大的圆，剪去的面积是_______平方厘米。

6、大圆半径是小圆半径的3倍，大圆的面积是84.78平方厘米，则小圆的面积是_______平方厘米。

精解名题例1、新华学校有个圆形花池，池边周围栏杆长50.24米，那么这个花池的圆形底面积是多少平方米？例2、某挂钟的分针长6厘米，如果走过20分钟，这根分针在钟面上扫过的面积是多少平方厘米？例3、一所中学准备搬迁到新校舍，在迁入新校舍之前就该校500名学生如何到新校舍的问题进行了一次调查，得到如下数据：步行90人，骑自行车160人，坐公共汽车220人，其他30人，请算出各部分学生数占学生总数的百分比，并用扇形统计图表示。

沪教版六年级T同步(圆和扇形的面积2星)

圆和扇形的面积★★1．理解圆的面积的推导方法；2．掌握圆的面积的计算公式；3．理解圆的面积与扇形面积的关系；4．掌握扇形面积的两个计算公式；5．掌握常见的圆和扇形的面积计算题目.建议3分钟从Ａ到Ｂ有甲、乙、丙三条路程，这三条路程都由半圆组成，则这三条路线哪一条近？采用课堂提问的方式，提问内容涵盖本节课的基本知识点。

建议7分钟回顾圆的周长公式是？回顾弧长的公式是什么？弧长与圆周长的关系是什么？圆的面积公式是？圆的面积与扇形的面积的关系是？扇形的面积公式是？建议20分钟题型Ⅰ（圆的面积）（★★）计算下面两个圆的面积。

（单位：厘米）4 12【答案】50.24, 113.04 ．（★★）街心公园里有一个直径10米的圆形喷水池，这个喷水池的占地面积是多少平方米？．【答案】78.5 ．π 3.14，试计算圆环（★★★）如图，一个圆环的外圆半径为4cm，内圆半径为3cm，取≈的面积。

【答案】21.98 ．（★★★）如图，半径为6的圆恰容于一个正方形内，试用π表示正方形内圆以外部分的面积．【答案】30.96 ．（★★）若一个圆的半径扩大3倍，则它的周长与面积分别扩大了（）A.3倍，3倍B.3倍，6倍C.6倍，3倍D.3倍，9倍【答案】D ．（★★）若一个圆的直径扩大3倍，则它的周长与面积分别扩大了（）A.3倍，3倍B.3倍，6倍C.6倍，3倍D.3倍，9倍．【答案】D ．（★★★）若一个圆的周长扩大3倍，则它的周长与面积分别扩大了（）A.3倍，3倍B.3倍，6倍C.6倍，3倍D.3倍，9倍【答案】D ．（★★★）一个圆的半径扩大至4倍，面积增加了（）A.4倍B.8倍C.16倍D.15倍【答案】D ．题型Ⅱ（扇形的面积）36，所在圆的半径为10cm，则它的面积为多少？．（★）一个扇形的圆心角为0【答案】31.4 ．30，求扇形AOB的面积.（★★）如图，半径ＯＡ＝60cm，∠ＢＡＯ＝0．【答案】942 ．120的扇形弧长为12.56厘米，则扇形的面积是平（★★）已知圆心角为0方厘米。

圆和扇形的面积

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圆与扇形题型归类

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