浅说函数与几何综合题的解题策略及复习

浅说函数与几何综合题的解题策略及复习

Last revision on 21 December 2020

浅说函数与几何综合题的解题策略及复习

函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；这一特点在孝感市近三年的中考数学试卷中表现得尤为突出；如2001年的中考压轴题是以直角三角形为背景，揉合一次函数、相似形、直线与圆的位置关系等知识构成；2002年的中考压轴题是以矩形为背景，揉合轴对称、二次函数、几何证明等知识构成；2003年的压轴题是以二次函数为背景，揉合直角三角形的知识构成；因此，将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是我市中考命题的一大特点，也是今后中考命题的一大趋势；

函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题；本文特从2003年各地的中考试题中略选几例，谈一谈解决这类问题的策略和复习方法，以期达到抛砖引玉的目的。

一、函数与几何综合题例析

（一）“几函”问题：

1、线段与线段之间的函数关系：

由于这类试题的主要要素是几何图形，因此，在解决此类问题时首先要观察几何图形的特征，然后依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几何元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的

取值范围。

例1 如图，AB是半圆的直径，O为圆心

AB=6，延长BA到F，使FA=AB，若P为线段

AF上的一个动点（不与A重合），过P点作半

圆的切线，切点为C，过B点作BE⊥PC交PC

的延长线于E，设AC=x，AC+BE=y，求y与x

的函数关系式及x的取值范围。（2003年山东省烟台市中考题）O

评析：这是一道集圆、直角三角形、相似三角形与函数的综合题，由于已知条件中有切线，因此可以联想切线的性质、切割线定理、弦切角定理、切线长定理；又因为有直径这一已知条件，又可联想构造直径所对的圆周角。 因此，连结BC ，构造出“双直角三角形”和弦切角定理的典型图形，然后利用两对相似三角形中的一对建立比例式，再结合勾股定理解决问题。

解：连结BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB=90°，∴BC 2=36-x 2

又∵PC 切⊙O 于C ，∠ECB=∠BCA ；

由BE ⊥PC 于E 可知，∠ACB=∠CEB=90°，∴ΔACB ∽ΔCEB ；

BE

BC BC AB =，即6622x AB BC BE -== ∴662++-=x x y ； 当P 点与A 点重合时，AC=0最小，但P 点与A 点不重合， ∴x ＞0；

当P 点与F 点重合时，x=AC 最大，此时有PC 2=PA·PB=6×12， ∴26=PC

又∠P=∠P ，∠PCA=∠PBC ∴ΔPCA ∽ΔPBC

12

26==∴BC AC PB PC CB AC 即 ∴BC=AC 2 由勾股定理得，()36222=+AC AC ,32=∴AC

函数关系式为：()

)32066

2

≤<++-=x x x y 2、面积与线段间的函数关系的建立： 解决此类问题除了掌握第一类型的知识外，还要注意到以下两点：（1）常见图形的面积公式，（2）学会灵活地将非特殊图形的面积转

例2如图所示，已知A 、（28，0）和（0，28），动点AO 上以每秒3直线EF 从x 轴开始以每秒1平移（即EF ∥x 于E 、F 点，连结FP ，设动点发，运动时间为t 秒。

（1）当t=1时，求梯形积是多少

（2）当梯形OPFE （3）设t 的值分别取t 1、t 2AF 2P 2（

评析：这是一道综合性较强的中考压轴题，它将几何与代数“相邀”于平面直角坐标系中，使“数”与“形”、“动”与“静”相互转化，综合考查了梯形面积计算、勾股定理、相似三角形、二次函数的性质等多个知识点，同时利用图形的变化，渗透数形结合的数学思想、函数的思想、方程的思想；第（1）小题中前面的“静”为后面的“动”作准备，而后面的“动”是前面的“静”的升华，让学生懂得静止是相对的而运动是绝对的，在“动”中求“静”，在考题中向学生渗透辩证唯物主义思想，从而不被“动”所迷惑；第（2）小题在第（1）小题的基础上，首先建立梯形、三角形面积与t 的函数关系式，再利用方程的思想解决，考查了学生的知识迁移能力；在求得t 值后，要决定取舍，考查了学生思维的批判性；第（3）小题是一个探索性问题，考查了学生的探索能力。象这种计算量小、坡度较缓、综合性强、能力要求高的“双动”问题是今后各地中考命题的一大趋势。 解：（1） A （28，0），B （0，28）， ∴OA=28，OB=28，∴Δ AOB 是等腰直角三

角形；

当t=1秒时， OE=1，AP=3； ∴OP=28-3=25，BE=28-1=27；

又∴EF ∥OA ，∴ ΔBEF ∽Δ BOA ，∴ΔBEF 也是等腰直角三角形；

∴EF=EB=27； ()()262

127252=⨯+=+=∴OE PF OP S OPFE 梯形 因此，当t=7秒时，梯形OPFE 的面积最大，最大面积为98。

（2）t t S OPFE 2822+-=梯形 而2

3232

t t t S AFP =⋅=∆ 解之：t 1=8（秒）t 2=0（舍去）

过F 点作FH ⊥AO 垂足为H ，

∠OAB=45°，∴AH=FH=8，∴16883=-⨯=PH ；

在Rt Δ FHP 中，581682222=+=+=PH FH FP

（3）当运动时间为t 秒时，过P 点作PG ⊥OA 于G ，则FG=GA=t ，

由勾股定理得：t FA 2=，AP=3t ，FA ∶AP=3∶2为一定值，

而 ∠FAP=45°， ∴ Δ AF 1P 1 ∽ ΔAF 2P 2

（ 二）“函几”问题：

纵观历年各地的中考试题，几乎无一例外地出现函数中的几何问题，这些题目从难度上来看大多数是难题，少数属于中档题，在题型上来看，绝大多数是探索题，只有少数是计算题，在设计方法上都注重创新，都注重在初中数学主干知识的交汇处进行命题，在考查意图上，都突出对数学思想方法和能力（特别是对思维能力、探究能力、创新能力、综合运用知识能力）的考查；因此在解决这类问题时要灵活运用函数的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐藏条件，注意数形结合、数学建模、分类讨论等数学思想的运用；下面谈一谈这类问题的分类及其解法。

1、三类基本初等函数中的图形面积问题：

解决这类问题时，通常要将坐标系中的图形进行分割，一般情况是将它分割成一些两边（或三边）在坐标轴上或者两边（或三边）平行于坐标轴的三角形（或梯形、矩形）