北京市一零一中学2019-2020学年高一第二学期期末数学试题(含答案)
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高一数学参考答案
1.
(2019 石景山高三上期末文 9)
4 5
.
2. π.
3. 0.
4.
π 3
或
2π 3
.
5. 充分不必要.
6. 5.
√
7.
2
39 3
.
8. 169π.
9.
(2012
高考江苏
9)
√ 2.
√ 10. (2019 朝阳高三上期末理 14) 2 + 2 2.
的中点, 则三棱锥 E − BCD 的体积是 ＿＿＿＿＿ .
√ 7. 若在 △ABC 中, A = 60◦, b = 1, S △ABC = 3, 则
a+b+c sin A + sin B + sin C
= ＿＿＿＿＿ .
8. 已知直三棱柱 ABC − A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上. 若 AB = 3, AC = 4, AB ⊥ AC,
AA1 = 12, 则球 O 的表面积为 ＿＿＿＿＿ .
√
9. 如图, 在矩形 ABCD 中, AB = 2, BC = 2, 点 E 为 BC 的
中点,
点
F
在边 CD
上,
若
#– AB
·
#– AF
=
√ 2,
则
#– AE
·
#– BF
的值
是 ＿＿＿＿＿ .
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试高一数学 第 1 页（共 3 页）
19.
已知 △ABC
的角
A,
B, C
所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C
+
1 2
c
=
b.
(1) 求角 A 的大小;
(2) 若 a = 1, 求 △ABC 周长 l 的最大值.
20.
如图 1,
在
△ABC
中,
D,
E
分别为
AB,
AC
的 中 点,
O为
DE
的 中 点,
AB
=
AC
=
√ 2 5,
BC = 4. 将 △ADE 沿 DE 折起到 △A1DE 的位置, 使得平面 A1DE ⊥ 平面 BCED, F 为 A1C 的中点, 如图 2.
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试高一数学 第 2 页（共 3 页）
三、解答题共 5 小题，共 55 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.
已知函数
f (x)
=
2 sin(2x −
π 6
).
(1) 求函数 f (x) 的对称轴;
(2)
当
x
∈
[0,
π 2
]
时,
求函数
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试
高一数学
班级：＿＿＿＿＿ 学号：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿ 成绩：＿＿＿＿＿ 一、填空题。共 10 道小题。每道小题 4 分，共 40 分。
1. 已知角 α 的终边经过点 P(−3, 4), 则 sin α = ＿＿＿＿＿ . 2. 已知 f (x) = cos2 x − sin2 x, 则 f (x) 的最小正周期是 ＿＿＿＿＿ . 3. 已知点 A(1, 2), B(2, 3), C(−2, 5), 则 A# B– · A# C– = ＿＿＿＿＿ .
f (x)
的最大值与最小值.
√ 17. 在 △ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 且 c = 2, A = 105◦, C = 30◦. 求:
(1) b 的值;
(2) △ABC 的面积.
18. 如图, 三棱柱 ABC − A1B1C1 中, D, E, F 分别为棱 AB, BC, C1B1 中点. (1) 求证: AC ∥ 平面 B1DE; (2) 求证: AF ∥ 平面 B1DE.
√
√
√
(A) 2 2
(B) 2 3
(C) 10
(D) 12
12. 下列函数中, 最小正周期为 1 的奇函数为 ( )
(A) y = 1 − 2 sin2 πx
(B) y =
sin(2πx +
π 3
)
(C)
y
=
tan
π 2
x
(D) y = sin πx cos πx
13.
要得到函数 y
=
sin(2x −
π 6
个单位长度
(D) 先将横坐标横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 再向右平移
π 3
个单位长度
14.
在 △ABC 中,
c−a 2c
= sin2
B 2
(a, b, c 为角 A, B, C 三对边), 则 △ABC 的形状为 ( )
(A) 直角三角形
(B) 等边三角形
(C) 等腰三角形或直角三角形
(D) 等腰直角三角形
15. 在正方体 AC1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 BCC1B1 内的动点, 且 A1F 与平面 D1AE 的垂线垂直, 如图所示, 下列说法不正确的是 ( )
(A) 点 F 的轨迹是一条线段 (C) A1F 与 D1E 不可能平行
(B) A1F 与 BE 是异面直线 (D) 三棱锥 F − ABD1 的体积为定值
√ 4. 在 △ABC 中, a = 2, b = 2 3, A = 30◦, 则角 B = ＿＿＿＿＿ . 5. 设 α, β 是两个不同的平面, l 是直线且 l ⊂ α, 则 “l ⊥ β” 是 “α ⊥ β” 的 ＿＿＿＿＿ 条件 (参
考选项: 充分不必要, 必要不充分, 充分必要, 既不充分也不必要). 6. 如图, 长方体 ABCD − A1B1C1D1 的体积为 60, E 为 CC1
(1) 求证: EF ∥ 平面 A1BD; (2) 求证: 平面 A1OB ⊥ 平面 A1OC; (3) 线段 OC 上是否存在点 G, 使得 OC ⊥ 平面 EFG? 说明理由.
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试高一数学 第 3 页（共 3 页）
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试
10. 如图, 以正方形的各边为底可向外作四个腰长为 1 的等 腰三角形, 则阴影部分面积的最大值是 ＿＿＿＿＿ .
二、选择题。共 5 道小题，每道小题 5 分，共 25 分。每道小题给出的选项中有且仅有一个选 项正确。
11. 设向量 a, b 满足 |a| = 2, |b| = 1, ⟨a, b⟩ = 60◦, 则 |a + 2b| = ( )
π 3பைடு நூலகம்
)
的图像,
只需将函数
y
=
sin
x
的图像上所有的点
( )
(A) 先向右平移
π 3
个单位长度, 再将横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变
(B) 先向右平移
π 6
个单位长度, 再将横坐标缩短为原来的
1 2
倍, 纵坐标不变
(C) 先将横坐标横坐标缩短为原来的
1 2
倍, 纵坐标不变, 再向右平移
1.
(2019 石景山高三上期末文 9)
4 5
.
2. π.
3. 0.
4.
π 3
或
2π 3
.
5. 充分不必要.
6. 5.
√
7.
2
39 3
.
8. 169π.
9.
(2012
高考江苏
9)
√ 2.
√ 10. (2019 朝阳高三上期末理 14) 2 + 2 2.
的中点, 则三棱锥 E − BCD 的体积是 ＿＿＿＿＿ .
√ 7. 若在 △ABC 中, A = 60◦, b = 1, S △ABC = 3, 则
a+b+c sin A + sin B + sin C
= ＿＿＿＿＿ .
8. 已知直三棱柱 ABC − A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上. 若 AB = 3, AC = 4, AB ⊥ AC,
AA1 = 12, 则球 O 的表面积为 ＿＿＿＿＿ .
√
9. 如图, 在矩形 ABCD 中, AB = 2, BC = 2, 点 E 为 BC 的
中点,
点
F
在边 CD
上,
若
#– AB
·
#– AF
=
√ 2,
则
#– AE
·
#– BF
的值
是 ＿＿＿＿＿ .
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试高一数学 第 1 页（共 3 页）
19.
已知 △ABC
的角
A,
B, C
所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C
+
1 2
c
=
b.
(1) 求角 A 的大小;
(2) 若 a = 1, 求 △ABC 周长 l 的最大值.
20.
如图 1,
在
△ABC
中,
D,
E
分别为
AB,
AC
的 中 点,
O为
DE
的 中 点,
AB
=
AC
=
√ 2 5,
BC = 4. 将 △ADE 沿 DE 折起到 △A1DE 的位置, 使得平面 A1DE ⊥ 平面 BCED, F 为 A1C 的中点, 如图 2.
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试高一数学 第 2 页（共 3 页）
三、解答题共 5 小题，共 55 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.
已知函数
f (x)
=
2 sin(2x −
π 6
).
(1) 求函数 f (x) 的对称轴;
(2)
当
x
∈
[0,
π 2
]
时,
求函数
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试
高一数学
班级：＿＿＿＿＿ 学号：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿ 成绩：＿＿＿＿＿ 一、填空题。共 10 道小题。每道小题 4 分，共 40 分。
1. 已知角 α 的终边经过点 P(−3, 4), 则 sin α = ＿＿＿＿＿ . 2. 已知 f (x) = cos2 x − sin2 x, 则 f (x) 的最小正周期是 ＿＿＿＿＿ . 3. 已知点 A(1, 2), B(2, 3), C(−2, 5), 则 A# B– · A# C– = ＿＿＿＿＿ .
f (x)
的最大值与最小值.
√ 17. 在 △ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 且 c = 2, A = 105◦, C = 30◦. 求:
(1) b 的值;
(2) △ABC 的面积.
18. 如图, 三棱柱 ABC − A1B1C1 中, D, E, F 分别为棱 AB, BC, C1B1 中点. (1) 求证: AC ∥ 平面 B1DE; (2) 求证: AF ∥ 平面 B1DE.
√
√
√
(A) 2 2
(B) 2 3
(C) 10
(D) 12
12. 下列函数中, 最小正周期为 1 的奇函数为 ( )
(A) y = 1 − 2 sin2 πx
(B) y =
sin(2πx +
π 3
)
(C)
y
=
tan
π 2
x
(D) y = sin πx cos πx
13.
要得到函数 y
=
sin(2x −
π 6
个单位长度
(D) 先将横坐标横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 再向右平移
π 3
个单位长度
14.
在 △ABC 中,
c−a 2c
= sin2
B 2
(a, b, c 为角 A, B, C 三对边), 则 △ABC 的形状为 ( )
(A) 直角三角形
(B) 等边三角形
(C) 等腰三角形或直角三角形
(D) 等腰直角三角形
15. 在正方体 AC1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 BCC1B1 内的动点, 且 A1F 与平面 D1AE 的垂线垂直, 如图所示, 下列说法不正确的是 ( )
(A) 点 F 的轨迹是一条线段 (C) A1F 与 D1E 不可能平行
(B) A1F 与 BE 是异面直线 (D) 三棱锥 F − ABD1 的体积为定值
√ 4. 在 △ABC 中, a = 2, b = 2 3, A = 30◦, 则角 B = ＿＿＿＿＿ . 5. 设 α, β 是两个不同的平面, l 是直线且 l ⊂ α, 则 “l ⊥ β” 是 “α ⊥ β” 的 ＿＿＿＿＿ 条件 (参
考选项: 充分不必要, 必要不充分, 充分必要, 既不充分也不必要). 6. 如图, 长方体 ABCD − A1B1C1D1 的体积为 60, E 为 CC1
(1) 求证: EF ∥ 平面 A1BD; (2) 求证: 平面 A1OB ⊥ 平面 A1OC; (3) 线段 OC 上是否存在点 G, 使得 OC ⊥ 平面 EFG? 说明理由.
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试高一数学 第 3 页（共 3 页）
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期期末考试
10. 如图, 以正方形的各边为底可向外作四个腰长为 1 的等 腰三角形, 则阴影部分面积的最大值是 ＿＿＿＿＿ .
二、选择题。共 5 道小题，每道小题 5 分，共 25 分。每道小题给出的选项中有且仅有一个选 项正确。
11. 设向量 a, b 满足 |a| = 2, |b| = 1, ⟨a, b⟩ = 60◦, 则 |a + 2b| = ( )
π 3பைடு நூலகம்
)
的图像,
只需将函数
y
=
sin
x
的图像上所有的点
( )
(A) 先向右平移
π 3
个单位长度, 再将横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变
(B) 先向右平移
π 6
个单位长度, 再将横坐标缩短为原来的
1 2
倍, 纵坐标不变
(C) 先将横坐标横坐标缩短为原来的
1 2
倍, 纵坐标不变, 再向右平移