三角函数恒等变换练习题
完整版简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换复习、公式体系(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos()cos cossin sincoscossin sincos()(3) tan(tan tan去分母得tan tan i tan()(1 tantan )1 tan tantantantan()(1 tantan 、倍角公式的推导及其变形：(1) sin 2sin( ) sin coscos sin2 sin cossin1 .cos— sin 2221 sin 2(sincos(2) cos 2cos() cos cos sin sin cos 2 sin 2cos 2cos 2 sin 2 (cossin )(cossin )cos 22• 2 cos 厶 sin2 2COS (1 cos )把1移项得 1 cos22 cos 2或 -4- GQS -2-c2 cos 212【因为 是-的两倍，所以公式也可以写成2cos2 cos 2一 1 或 1 cos 2 cos 2或 - 1 cos —cos 22222因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成cos 42 cos 221 或 1 2Once 厶或nee? O12cos 2 22 cossin(1 sin 2) sin 2把1移项得1cos 22s in 2或 -4-1 2sin 22【因为是—的两倍，所以公式也可以写成2cos1 2 sin 2—或1 cos2 sin 2或 4 ---- eos-sin 22222因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成21、和差公式及其变形: 2) )2sin 2、基本题型1、已知某个三角函数，求其他的三角函数:注意角的关系，如(),(4 (1)已知，都是锐角，sin -，cos(5) ， (-4)_5 ，求sin的值13)(—)等等4 5(2)已知COS(—) 1,—，sin( )U,0 —,求sin( )的值4 5 4 4 4 13 4. 3(提不：(——)(—) ,只要求出sin( )即可)2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数(1)已知，都是锐角，sin —，cos5,求角的弧度103、T()公式的应用(2) A ABC 中，角A、B 满足(1 tan A)(l tan B) 2 ,求A+B 的弧度4、弦化切,即已知tan ,求与sin, cos相关的式子的值：化为分式,分子分母同时除以cos 或cos? 等(1)已知tansin2 ,求SmQ 1Q in 9 rnQ 7,3sin 2cos2 的值3sin cos 1 sin 2 cos 25、切化弦，再通分，再弦合一(1)、化简：① sin 50° (13 t#TiO°)sin 35°sin 2x x(2)、证明： ________ (1 tan x tan _) tan x2 cos x 26、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合②(tan 10 01) cos-100...化简(2 sin2 2 cos4cos 20° sin 40° 的值等于（）3cos cos2 的值等于（ )——5 511A .C. 2D ・ 4424、已知0AiL cos A 3 那么卡in 2A 等于（）2547-_ 12 24A.B .C ・D ・25252525215已知tan （)——,tan( )，则）的值等升（ : )544413313 3A •B.—c.-一D.182222186、sinl65o= ()——1A •B.3C. 62 D. 62 22，4J广 47sinl4ocos 16o+sin76ocos74o 的值是 ()1、sin 20°cos40°A. 1B. 3c.1 D. 342r 244 72、若 tan3 , tan,则 tan(）等于（)31 1 A. 3B. 3-c.D.33A・3 B . 18、已知2x ( ,0),£,COS X24 一,则tan 2x (A . 7 2B —579、化简242s in (JI—x) —• sin (24n:+x), 其结果是4 4A. sin2x cos2x —10 、sin —3 cos 的值是( )12 12A . 0 £-211 、1 tan 2 75 的值为（)ji V tan 753 1c. D.2 J 2)24 24C・ D .7 7( )C .—cos2x D. —sin2x5c. 2 D . 2 sin12A. 2 3。
三角函数与三角恒等变换-经典测试题-附答案
三角函数与三角恒等变换(A)一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)1. 半径是r，圆心角是α(弧度)的扇形的面积为________.2. 若，则tan(π＋α)＝________.3. 若α是第四象限的角，则π－α是第________象限的角.4. 适合的实数m的取值范围是_________.5. 若tanα＝3，则cos2α＋3sin2α＝__________.6. 函数的图象的一个对称轴方程是___________.(答案不唯一)7. 把函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则的最小正值为___________.8. 若方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则常数k的取值范围是__________.9. 1－sin10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝__________.10. 角α的终边过点(4，3)，角β的终边过点(－7，1)，则sin(α＋β)＝__________.11. 函数的递减区间是___________.12. 已知函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，那么__________.13. 若函数y＝sin(x＋)＋cos(x＋)是偶函数，则满足条件的为_______.14. tan3、tan4、tan5的大小顺序是________.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)已知，求的值.16. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx).(1) 求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2) 在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间上的图象.17. (本小题满分14分)求函数y＝4sin2x＋6cosx－6()的值域.18. (本小题满分16分)已知函数的图象如图所示.(1) 求该函数的解析式；(2) 求该函数的单调递增区间.19. (本小题满分16分)设函数(x∈R).(1) 求函数f(x)的值域；(2) 若对任意x∈，都有|f(x)－m|＜2成立，求实数m的取值范围.20. (本小题满分16分)已知奇函数f(x)的定义域为实数集，且f(x)在［0，＋∞)上是增函数.当时，是否存在这样的实数m，使对所有的均成立?若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由.三角函数与三角恒等变换(B)一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)1.______.2._______.3. 已知，则的值为_________.4. 已知，则________.5. 将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________.6. 已知函数是R上的偶函数，则__________.7. 函数的单调递减区间为________.8. 已知函数，且，则函数的值域是_________.9. 若，则的值是___________.10. 已知都是锐角，且，则的值是_________.11. 给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是_______.① 若，则，k∈Z；② 函数的图象关于对称；③ 函数(x∈R)为偶函数；④ 函数y＝sin|x|是周期函数，且周期为2π.12. 已知函数的图象如图所示，，则f(0)＝_________.13. 若，且，则______.14. 已知函数(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的最小值是______.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)如图是表示电流强度I与时间t的关系在一个周期内的图象.(1) 写出的解析式；(2) 指出它的图象是由I＝sint的图象经过怎样的变换而得到的.16. (本小题满分14分)化简.17. (本小题满分14分)已知函数y＝sinx·cosx＋sinx＋cosx，求y的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的值.18. (本小题满分16分)设，曲线和有4个不同的交点.(1) 求的取值范围；(2) 证明这4个交点共圆，并求圆的半径的取值范围.19. (本小题满分16分)函数f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g(a)，a∈R.(1) 求g(a)的表达式；(2) 若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值.20. (本小题满分16分)已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线对称，当x≥时，函数f(x)＝sinx.(1) 求的值；(2) 求y＝f(x)的函数表达式；(3) 如果关于x的方程f(x)＝a有解，那么在a取某一确定值时，将方程所求得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能取值及相对应的a的取值范围.三角函数与三角恒等变换（A）1.2. ±3. 三4.5.6. x＝【解析】对称轴方程满足2x＋＝kπ＋，所以x＝（k∈Z）.7.8.9.【解析】∵ sin10°·sin30°·sin50°·sin70°＝＝∴ 原式＝1－10. －11.12. －1 【解析】f（5）＝－f（－5）＝－f（－1）＝－1，∴ 原式＝sin＝－1.13.＝kπ＋（k∈Z） 14. tan5＜tan3＜tan415. 2＋sinθcosθ－cos2θ＝2＋＝16. （1） f（x）＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝1＋(sin2xcos－cos2xsin)＝1＋sin(2x－).所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1＋.（2）列表.xy 1 1 1 故函数y＝f（x）在区间上的图象是17. y＝4sin2x＋6cosx－6＝4（1－cos2x）＋6cosx－6 ＝－4cos2x＋6cosx－2 ＝－4∵ －≤x≤，∴ －≤cosx≤1，∴ y∈.18. （1）由图象可知：T＝2＝πω＝＝2.A＝＝2，∴ y＝2sin（2x＋）.又∵为“五点画法”中的第二点，∴ 2×＋＝＝.∴ 所求函数的解析式为y＝2sin（2）∵ 当2x＋∈（k∈Z）时，f（x）单调递增，∴ 2x∈x∈（k∈Z）.19. （1） f（x）＝4sinx·＋cos2x＝2sinx（1＋sinx）＋1－2sin2x＝2sinx＋1.∵ x∈R，∴ sinx∈［－１，1］，故f（x）的值域是［－1，3］.（2）当x∈时，sinx∈，∴ f（x）∈［2，3］.由|f（x）－m|＜2－2＜f（x）－m＜2，∴ f（x）－2＜m＜f（x）＋2恒成立.∴ m＜［f（x）＋2］min＝4，且m＞［f（x）－2］max＝1.故m的取值范围是（1，4）.20. 因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）（x∈R），所以f （0）＝0.所以f（4m－2mcosθ）－f（2sin2θ＋2）＞0，所以f（4m－2mcosθ）＞f（2sin2θ＋2）.又因为f（x）在［０，＋∞）上是增函数，且f（x）是奇函数，所以f（x）是R上的增函数，所以4m－2mcosθ＞2sin2θ＋2.所以cos2θ－mcosθ＋2m－2＞0. 因为θ∈，所以cosθ∈［０，１］.令l＝cosθ(l∈［０，1］). 满足条件的m应使不等式l2－ml＋2m－2＞0对任意l∈［0，1］均成立. 设g（l）＝l2－ml＋2m－2＝－＋2m－2.由条件得解得，m＞4－2.三角函数与三角恒等变换（B）1.2.3.【解析】原式＝4. 25. y＝2cos2x6.7.（k∈Z）【解析】∵ sin＞0，且y＝是减函数，∴ 2kπ＜2x＋≤＋2kπ，（k∈Z），∴ x∈（k∈Z）.8.【解析】y＝sinx＋cosx＝2sin，又≤x＋≤∴ sin∈，∴ y∈［－，2］.9.【解析】tanθ＝，∴ cos2θ＋sin2θ＝10.【解析】由题意得cosα＝，sin（α＋β）＝.∴ sinβ＝sin［（α＋β）－α］＝sin（α＋β）·cosα－cos（α＋β）·sinα＝.11. ①②④ 12.13.【解析】tanα＝tan（α－β＋β）＝，∴ tan（2α－β）＝tan［（α－β）＋α］＝.∵ β∈（０，π）,且tanβ＝－∈（－1，0），∴ β∈，∴ 2α－β∈∴ 2α－β＝－.14.【解析】由已知，周期为π＝，∴ ω＝2.则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，sin＝±cos2x，故min=.15. （1） I＝300sin.(2) I＝sintI＝sinI＝sinI＝300sin.16. 原式＝sin6°·cos48°·cos24°·cos12°＝＝＝…=17. 令sinx＋cosx＝t.由sinx＋cosx＝sin，知t∈［－，］，∴ sinx·cosx＝，t∈［－，］.所以y＝＋t＝（t＋1）2－1，t∈［－，］.当t＝－1，即2sin＝－1，x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1；当t＝，即sin＝， x＝2kπ＋（k∈Z）时，ymax＝.18. （1）解方程组故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为∵ 0＜θ＜，∴ 0＜θ＜.（2）设四个交点的坐标为（xi，yi）（i＝1，2，3，4），则＋＝2cosθ∈（，2）（i＝1，2，3，4）.故此四个交点共圆，并且这个圆的半径r＝.19. f（x）＝1－2a－2acosx－2sin2x＝1－2a－2acosx－2（1－cos2x）＝2cos2x－2acosx－1－2a＝2－1－2a－（a∈R）.（1）函数f（x）的最小值为g（a）.① 当＜－1，即a＜－2时，由cosx＝－1，得g（a）＝2－1－2a－＝1；。
三角恒等变换练习题及答案
角函数公式两角和公式sin(A+B)=sin(A-B)=cos(A+B)=cos(A-B)=tan(A+B)=tan(A-B)=倍角公式tan2α=cos2α=sin2α=半角公式sin^2( α/2)=cos^2( α/2)=tan^2( α/2)=和差化积2sinAcosB=2cosAsinB=2cosAcosB=-2sinAsinB=积化和差公式sinαsinβ=cosαcos=βsin αco=sβ万能公式sin(α)= (2tαn(α/2))/(1+t αn^2(α/2)) cos(α)= (1-t αn^2(α/2))/(1+t αn^2( α/2)) tαn(α)= (2tαn(α/2))/(1-t αn^2( α/2))角函数公式两角和公式sin(Α+B)=sin ΑcosB+cosΑsinB sin(Α-B)=sinΑcosB-sinBcosΑcos(Α+B)=cosΑcosB-sinΑsinB cos(Α-B)=cosΑcosB+sinΑsinBt αn(Α+B)=(tαnΑ+tαnB)/(1-t αnΑt αnB) tαn(Α-B)=(tαnΑ-t αnB)/(1+tαnΑt αnB) 倍角公式cos2 cos 2sin 2 2 c os 2 1 1 2 sin 2；。
sin 2 tan2 2sin2 tancos ；1 tan2半角公式sin^2( α/2)=(1-cos α)/2cos^2( α/2)=(1+cos α)/2tαn^2( α/2)=(1-cos α)/(1+cos α)和差化积2sinΑcosB=sin(Α+B)+sin( Α-B) 2cosΑsinB=sin(Α+B)-sin(Α-B) ) 2cosΑcosB=cos(Α+B)+cos(Α-B)-2sinΑsinB=cos(Α+B)-cos(Α-B)积化和差公式sin(α)sin(β)=—1/2*[cos( α+β)-cos(α-β)] cos(α)cos(β)=1/2*[cos( α+β)+cos(α-β)] sin(α)cos(β)=1/2*[sin( α+β)+sin(α-β)]1. 三角函数式的化简（1）降幂公式sin cos 1sin 22；sin1 cos22；cos1 cos2。
三角恒等变换(测试题及答案)
三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。
A。
0.B。
1/2.C。
1/4.D。
1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。
π。
B。
2π。
C。
4π。
D。
π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。
-2/3.B。
-1/3.C。
1/3.D。
2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。
-7/24.B。
-1/8.C。
1/8.D。
7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。
[0,1]。
B。
[-1,1]。
C。
[-1/2,1/2]。
D。
[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。
向右平移π/4个单位。
B。
向左平移π/4个单位C。
向右平移π/2个单位。
D。
向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。
x=π/4.B。
x=π/6.C。
x=π/2.D。
x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。
12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。
高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换精品练习(含解析)新
5.5.2 简单的三角恒等变换知识点三 三角恒等变换的应用7.函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π48．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A2＝1.9．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？关键能力综合练 一、选择题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2 C ．－21＋a2D ．－21－a22．若2sin x ＝1＋cos x ，则tan x2的值等于( )A.12B.12或不存在学科素养升级练1．(多选题)对于函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，给出下列选项其中不正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (α)＝1C ．存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，使函数f (x ＋α)的图象关于y 轴对称D ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立 2．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．3．(学科素养—数学建模)如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．5．5.2 简单的三角恒等变换必备知识基础练1．解析：∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，∵3π<θ<7π2，∴3π2<θ2<7π4.则tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1＋451－45＝－3. 答案：B2．解析：因为2π<θ<3π，所以π<θ2<3π2.又cos θ＝m ，所以sin θ2＝－1－cos θ2＝－1－m2，故选A. 答案：A3．解析：y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12sin 2x ，是奇函数．故选A.答案：A4．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]，故选B. 答案：B5．解析：∵f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∴f (x )∈[－2,2]． 答案：[－2,2]6．解析：(1)2(cos x －sin x )＝2×2⎝⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos x －sin π4sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(2)315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝65cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.7．解析：y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4.答案：B8．证明：∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角， ∴A ＋B ＋C ＝π，从而有A ＋C 2＝π2－B2.左边＝tan B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan A2＋tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1＝右边， ∴等式成立．9.解析：设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．关键能力综合练1．解析：若5π<θ<6π，则5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2＝－21－a2. 答案：D2．解析：由已知得sin x 1＋cos x ＝12，tan x2＝sinx2cosx2＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝sin x 1＋cos x ＝12.当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，tan x2不存在．答案：B3．解析：由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.答案：C 4．解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.故选A.答案：A5．解析：由cos α＝－45，α是第三象限角，可得sin α＝－1－cos 2α＝－35.所以1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A6．解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4. 答案：C7．解析：1＋sin 2＝sin 21＋cos 21＋2sin 1cos 1 ＝sin 1＋cos 12＝|sin 1＋cos 1|，因为1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin 1>0，cos 1>0，则1＋sin 2＝sin 1＋cos 1. 答案：sin 1＋cos 18．解析：由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos2θ2＝1＋cos θ2得cos2θ2＝925. 又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.答案：±359．解析：y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．答案：π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z10．证明：左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2＝tan x2＝右边． 所以原等式成立．学科素养升级练1．解析：函数f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，对于A ：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，当x ＝π6时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝2，不能得到函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．∴A 不对．对于B ：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，可得α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，f (α)∈(3，2]，不存在f (α)＝1.∴B 不对．对于C ：函数f (x ＋α)的对称轴方程为：x ＋α＋π3＝π2＋k π，可得x ＝k π＋π6－α(k ∈Z )，当k ＝0，α＝π6时，可得图象关于y 轴对称．∴C 对．对于D ：f (x ＋α)＝f (x ＋3α)说明2α是函数的周期，函数f (x )的周期为2π，故α＝π，∴不存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，∴D 不对．故选A ，B ，D.答案：ABD2．解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时， 原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32123.word - 11 - / 11解析：如图所示， 设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC 的中点，在Rt△ONC 中，＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值，此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
三角函数恒等变换经典习题
三角恒等变换单元练习题一、选择题：1.cos 2π8 －12 的值为 ( ) A.1B. 12C. 22D. 242.化简22cos ()sin ()44ππαα---等于 （ ） A. sin 2α B. sin 2α- C. cos2α D. cos 2α-3. 函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是 （ ）A.5π B. 2πC. πD. 2π4. sin89cos14sin1cos76+= （ ）A.B.C.D.5.已知cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为 （ ）A.1813 B. 1811 C. 97 D. 1-6．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）A.y=sin2xB.y=cos 2xC .y=sin2x+cos2x D. y=x x 22tan 1tan 1+-7.化简cos()sin()44cos()sin()44ππααππαα+-++++的值等于 （ ） A. tan 2xB. tan 2xC. tan x -D. tan x8.若1sin()63πα-=，则cos(2)3πα+的值等于（ ）A.2B. 1C.D.9． 要得到函数y=cos(42π-x )的图象，只需将y=sin 2x 的图象 （ ）A ．向左平移2π个单位 B.同右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位10．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则此三角形为 ( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题 11已知cos(α+β)=31，cos(α-β)=51，则tanα·tanβ=________. 12已知sin α＝13 ，2π＜α＜3π，那么sin α2 ＋cos α2 ＝_____.13. tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝ . 14. 已知函数()sin cos f x x x =+，给出下列四个命题：①若[0,]x π∈，则()f x ∈②4x π=是函数()f x 的一条对称轴.③在区间5[,]44ππ上函数()f x 是增函数.④函数()f x 的图像向左平移4π个单位长度得到()f x x =的图像.其中正确命题的序号是 三、计算题：15．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14 ，求cos4x 的值.16.已知函数22sin sin 23cos y x x x =++，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。
三角恒等变换经典例题
三角恒等变换经典例题删除明显有问题的段落，改写每段话如下：三角恒等变换半角公式是根据角度所在的象限来选择符号的。
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：1）sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ2）cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ3）tan(α+β)=tanα+tanβ/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=tanα-tanβ/(1+tanαtanβ)2.万能公式：tan(α-β)=tanα-tanβ/(1+tanαtanβ)，tan(α+β)=tanα+tanβ/(1-tanαtanβ)3.角度的三角函数值：sinα=1/2，cosα=1/2，tanα=24.降幂公式：sin^2α=(1-cos2α)/2，cos^2α=(1+cos2α)/2，tan^2α=(1-cos2α)/(1+cos2α)5.辅角公式：asinθ+bcosθ=sqrt(a^2+b^2)sin(θ+φ)，其中辅助角φ所在象限由点(a,b)所在的象限决定，sinφ=b/sqrt(a^2+b^2)，cosφ=a/sqrt(a^2+b^2)，tanφ=b/a6.二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos^2α-sin^2α=1-2sin^2α=2cos^2α-17.常见数据：sin15°=cos75°=(sqrt(6)-sqrt(2))/4，sin75°=cos15°=(sqrt(6)+sqrt(2))/4.1.cos2a = 1 + cos2a2.sin2a = 1 - cos2atan15° = 2 - √3.tan75° = 2 + √34.升幂公式：1) 1 + cosα = 2cos2α/22) 1 - cosα = 2sin2α/23) 1 ± sinα = (sinα ± cosα)2/24) 1 = sin2α + cos2α1.解：sin20cos10 - cos160sin10 = sin20cos10 + cos20sin10 = sin30 = 1/2，选B。
三角恒等变换含答案
三角恒等变换一、单选题1．已知α是第二象限角，tan()74πα-=-，则sin()3πα+=（ ）A B C D 2．已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A ．19-B C ．19D ． 3．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。
如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于（ ）A ．45B ．725C ．725-D ．354．已知锐角α满足3cos()65πα+=，则sin(2)3πα+=（ ） A ．1225B ．1225±C ．2425D ．2425±5．sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D6．已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=则3s i n πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．3B ．3C ．3±D ．3±7．若,αβ都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β= （ ）A B C D 8．已知方程x 2+3ax +3a +1=0（a ＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，则α+β=（ ）. A ．34π或34π-B ．4π-或4πC ．4π D ．34π-9．已知角,αβ均为锐角，且cos αβ==αβ-的值为（ ） A ．3πB ．4π C ．4π-D ．4π或4π-10．已知 πsin()4α+=，则 3πsin()4α-的值为 ( )．A ．B ．2C ．－12D ．1211．已知函数()212cos 2f x x x =+-，若其图象是由sin 2y x =图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位得到，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．56π C ．12πD ．512π 12．已知函数()sin sin 3f x x x =-，[0,2]x πÎ，则()f x 的所有零点之和等于（ ） A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π13．若函数()sin cos f x a x b x =+在3x π=处取得最大值4，则ab=（ ）A ．1B C ．2D ．314．已知函数()sin f x a x x =-图象的一条对称轴为6x π=-，若()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．3π B ．πC ．23π D ．43π二、填空题15．计算：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++=_______________.16．cos102cos20cos10-⋅=____________． 17．已知()2sin 3αβ+=，()2sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为__________；18．已知αβ，均为锐角，1sin())663ππαβ-=+=，cos()αβ+=________. 19．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 20．若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式()()cos2sin sin 0f x x f x a ++-≤恒成立，则a 的最大值是_____．21．已知等腰三角形顶角的余弦值为725-，则这个三角形底角的正切值．．．为______ 22．o o oosin58+cos60sin2cos2=____________.23．已知π1sin cos 63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．24．设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则sin 2θ=______．25．若函数2()4sin sin cos 2(0)42x f x x x πωωωω⎛⎫=⋅++>⎪⎝⎭在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是____________.26．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC a =，ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，当a 固定，θ变化时，则12S S 的最小值是__________．27．已知函数()()()cos sin sin cos f x a x b x =-没有零点，则22a b +的取值范围是_______三、解答题 28．（1cos103sin10-；（2）求值tan 70tan 503tan 70tan 50+-= 29．已知()222x x x f x sincos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ （1）求实数a 的值；（2）若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 30．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()c o s αβ-的值.31．（1）求值: sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）已知10sin cos ,25x x x π-<<+=，，求sin cos x x -的值. 32．已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值 33．已知32ππα<<，32ππβ<<，sin α=，cos β=αβ-的值. 34．已知α，β为锐角，且17cos α=，()1114cos αβ+=-．求sinβ的值． 35．计算（1）已知2sin cos 0αα-=，求sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-+++-的值； （2）求()214cos 102sin10︒+︒-︒的值. 36．已知2sin cos 3αα+=，且2παπ<<，求下列各式的值（1）sin cos αα-（2）cos()24sin()4πααπα+++37．已知sin(2)7αβ-=11cos(2)14αβ-=-， 042ππβα<<<<，(1)求tan(2)αβ-的值； (2)求cos()αβ+以及αβ+的值38．计算（1）23sin12(4cos 122)--； （240sin 50(13tan10).701cos 40+++39．已知函数2()2cos cos cos .22x xf x x x =+ (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.40．已知函数2()sinsin 1(02f x x x x πωωωω⎫⎛⎫=+⋅+-> ⎪⎪⎝⎭⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求ω的值；（2）当,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 41．如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．42．已知函数2()sin cos (0)f x x x x =>ωωωω的最小正周期为2π， （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()()g x =f x +m 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上有两个零点，求实数m 的取值范围. 43．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若23EF =米，2AOB θ∠=，5412ππθ≤≤.（1）当3πθ=时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值.参考答案1．C 【解析】 由tan 74πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得171tan tan αα-=-+，解得34tan α=-. 又α是第二象限角，可得34sin ,cos 55αα==-.则314sin 333525sin cos cos sin πππααα⎛⎫+=+=⨯-= ⎪⎝⎭. 故选C. 2．D 【解析】分析：由二倍角公式得cos 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再由5cos ?cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合同角三角函数关系可得解.详解：由2sin 263θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得28112sin 12699θπ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，即1cos 39πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由θ为锐角，且1cos 039πθ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以3πθ+因为锐角，所以sin 03πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭.5cos cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选D.点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件在解题中的整体作用． 3．B 【解析】 【分析】根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长,进而用三角函数表示边长求出三角函数值,再利用二倍角公式求解即可. 【详解】由大正方形面积为25,小正方形面积为1.易得大正方形边长为5,小正方形边长为1.由图有15cos 5sin 1cos sin 5θθθθ-=⇒-=,故221cos sin 5cos sin 1θθθθ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ ,因为较小的锐角为θ,故4cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故2247cos 22cos 121525θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了由图像求解三角函数值的问题,需要根据图像到三角函数的关系式再求解,属于中等题型. 4．C 【解析】 【分析】利用诱导公式，求得sin()6πα+的值，再利用倍角公式，即可求解.【详解】因为锐角α满足3cos()65πα+=，所以6πα+也是锐角，由三角函数的基本关系式可得4sin()65πα+==， 则24sin(2)2sin()cos()36625πππααα+=++=，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】根据sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭和0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭和cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，将所求的cos α转化为cos 33ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式，得到答案.【详解】因为sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 33πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， 所以cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12⎛=- ⎝⎭36+=. 故选：B. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的余弦公式，属于简单题. 6．B 【解析】 【分析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为()54sin 3αβ--=，再根据22ππαβ-<-<得出6παβ=+，代入2cos sin αβ+=.【详解】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩， 两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 2ββ+=，所以sin 63πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，需熟记两角和与差的公式以及常见的三角函数值，属于中档题. 7．A 【解析】 【分析】先计算出()cos αβ+，再利用余弦的和与差公式，即可. 【详解】因为,αβ都是锐角，且1cos 2α=<，所以,32ππα<<又()31sin 52αβ+=>，所以2παβπ<+<，所以()4cos 5αβ+==-sin α==，cos β=()()()cos cos cos sin sin αβααβααβα+-=+++ 25=，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目(附解析)
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目（附解析） 一、三角函数的定义若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)．1.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cosθ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43.[答案] －45 －43 注：利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．2．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13 B ．±13 C ．－3D ．±3解析：选C 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)． 则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.4．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限． 解析：∵θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限． 答案：三二、同角三角函数的基本关系及诱导公式①牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．②诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．5.已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.注：三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．6．若sin(π＋α)＝35，且α是第三象限角，则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝()A．1B．7 C．－7 D．－1解析：选B由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35.又α是第三象限角，所以cos α＝－4 5，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝7.7．已知sin θ＋cos θ＝43，且0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13D ．－13解析：选B ∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，则2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，所以sin θ－cos θ＜0，故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.8．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m,2sin αcos α＝m 2，则m 的值为________．解析：由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得4m 2＝1＋m 2，即m 2＝13.又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，则m <0，所以m ＝－33.答案：－339．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12. 又0＜α＜π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12.又0＜β＜π，故cos β＝±32.三、简单的三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.10.已知tan α＝2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.注：条件求值的解题策略(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．11．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3等于( )A ．－45 B ．－35 C.35D.45解析：选D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－435，所以32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，所以－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，即－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π3＝－435，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，故选D.13．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29D.79解析：选A 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2 α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79.14．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，函数f (x )＝a ·b .(1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．解：(1)∵a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，∴f (x )＝a ·b ＝sin x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝sin x －3cos x .∵f (θ)＝0，即sin θ－3cos θ＝0，∴tan θ＝3，∴2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θtan θ＋1＝1－33＋1＝－2＋ 3.(2)由(1)知f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )min ＝－3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )max ＝2，∴当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域为[－3，2]．。
数学课程三角恒等变换练习题及答案
数学课程三角恒等变换练习题及答案1. 练习题1.1 简单练习题1. 计算下列三角函数值，并化简为有理数：(1) sin 30°(2) cos 45°(3) tan 60°2. 利用三角恒等变换证明以下等式：(1) sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 1 + tan^2 x = sec^2 x3. 使用三角恒等变换求解以下方程：(1) sin 2x = 0.5(2) cos 2x - sin 2x = 01.2 提高练习题1. 利用三角恒等变换化简下列表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x2. 解下列方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0(2) tan^2 x + sec x = 22. 答案2.1 简单练习题答案1.(1) sin 30° = 1/2(2) cos 45° = 1/√2(3) tan 60° = √32. 证明以下等式：(1) 三角恒等变换：sin^2 x + cos^2 x = 1证明：根据三角恒等变换公式 sin^2 x + cos^2 x = 1代入 sin x = cos (90° - x)，可得：cos^2 (90° - x) + cos^2 x = 1sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 三角恒等变换：1 + tan^2 x = sec^2 x证明：根据三角恒等变换公式 1 + tan^2 x = sec^2 x代入 tan x = sin x / cos x，可得：1 + (sin x / cos x)^2 = (1 / cos x)^21 + sin^2 x / cos^2 x = 1 / cos^2 x(cos^2 x + sin^2 x) / cos^2 x = 1 / cos^2 x1 / cos^2 x = 1 / cos^2 x2.2 提高练习题答案1. 化简以下表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x= sin x + 1(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x= (cos^2 x / sin^2 x) + 1 - (1 / sin^2 x)= (cos^2 x + sin^2 x) / sin^2 x= 1 / sin^2 x2. 解以下方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0首先，利用三角恒等变换将方程中的 cos x 表示为 sin x：2 (1 - cos^2 x) - 3 cos x - 1 = 02 - 2 cos^2 x -3 cos x - 1 = 0-2 cos^2 x - 3 cos x + 1 = 0然后，令 t = cos x，将方程转化为关于 t 的二次方程：-2 t^2 - 3 t + 1 = 0解这个二次方程可得 t = -1 或 t = 1/2。
三角恒等变换基础过关练习
三角恒等变换基础过关练习一．选择题（共20小题）1．（2015?XX）若tanα=，tan（α+β）= ，则tanβ=（）A．B．C．D．2．（2015?XX）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．3．（2015?XX三模）已知sin（）= 则cos（x）等于（）A．﹣B．﹣C．D．4．（2015?XX模拟）化简cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣5．（2015?XX一模）已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=（）A．﹣B．C．﹣D．6．（2015?XX校级学业考试）若3sinx﹣cosx=2sin（x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣7．（2015?XX模拟）若△ABC中，cosA=，cosB= ，则cosC的值为（）A．B．﹣C．﹣D．8．（2012?XX）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．39．（2011?新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（2010?全国卷Ⅰ）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣11．（2012?XX）=（）A．﹣B．﹣C．D．12．（2013?XX）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．13．（2015?XX模拟）已知α是△ABC的一个内角，tanα=，则cos（α+ ）等于（）A．B．C．D．14．（2016?XX一模）设α为锐角，若cos =，则sin 的值为（）A．B．C．﹣D．﹣15．（2015?XX模拟）计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（）A．B．C．D．16．（2016?XX一模）已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B．C．D．317．（2015?汇川区校级三模）若 sin（﹣α）=，则cos（+α）=（）A．±B．﹣C．﹣D．18．（2011?XX）若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．619．（2010?XX）函数f（x）=2sinxcosx是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数20．（2015春?澄城县期末）在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）21．（2011春?迎泽区校级期中）已知，则tanα的值为．22．（2009?XX区一模）函数y=sinx+ cosx的最小值是．23．（2013春?荔城区校级期中）若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．24．（2015秋?XX校级期末）已=2，则tanθ．25．（2007?XX一模）已知角α的终边在直线上，则2sinα+cosα的值是．26．（2011?XX模拟）若sinθ=﹣，tanθ＞0，则tan2θ=．三．解答题（共4小题）27．（2008?XX）已知，，α，β∈（0，π）（1）求tan（α+β）的值；（2）求函数的最大值．2f（x）=2cosx+228．（2014?XX模拟）设函数sinxcosx﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若0＜x≤，求y=f（x）的值域．229．（2013?江门一模）已知函数f（x）=2sinx?cosx+2cosx﹣1，x∈R．（1）求f（x）的最大值；（2）若点P（﹣3，4）在角α的终边上，求的值．30．（2015秋?通州区校级期末）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．三角恒等变换基础过关练习参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015?XX）若tanα=，tan（α+β）= ，则tanβ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，故选：A．2．（2015?XX）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．3．（2015?XX三模）已知sin（）= 则cos（x）等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=．故选：D．4．（2015?XX模拟）化简cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：cos15°cos45°﹣cos75°sin45°=cos15°cos45°﹣sin15°sin45°=cos（15°+45°）=cos60°=故选A．5．（2015?XX一模）已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵sinx+cosx=，∴2（sinx+cosx）=，∴2cos（﹣x）=∴cos（﹣x）=故选：B6．（2015?XX校级学业考试）若3sinx﹣cosx=2sin（x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：3sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）=2sin（x﹣φ），∴φ=2kπ+，k∈Z，∵φ∈（﹣π，π），∴φ=，故选：B．7．（2015?XX模拟）若△ABC中，cosA=，cosB= ，则cosC的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：△ABC中，cosA=，cosB=，即有sinA==，sinB==，则cosC=﹣cos（A+B）=﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）=﹣（×﹣×）=故选：D．8．（2012?XX）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）===﹣3．故选A9．（2011?新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ= = =，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．10．（2010?全国卷Ⅰ）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：法一，所以tan100°=﹣tan80°=．：法二cos（﹣80°）=k?cos（80°）=k，=11．（2012?XX）=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：===sin30°=．故选C12．（2013?XX）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选C13．（2015?XX模拟）已知α是△ABC的一个内角，tanα= ，则cos（α+ ）等于（）A．B．C．D．【解答】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=，则=，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=（负值舍去）．则cos（α+）=coscosα﹣sinsinα=×（﹣）=．故选B．14．（2016?XX一模）设α为锐角，若cos=，则sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵α为锐角，cos=，∴∈，∴==．则sin===．故选：B．15．（2015?XX模拟）计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=．故选A16．（2016?XX一模）已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B．C．D．3【解答】解：∵角α，β均为锐角，且cosα=，∴sinα=，tanα=，又tan（α﹣β）===﹣，∴tanβ=3，故选：D．17．（2015?汇川区校级三模）若 sin（﹣α）= ，则cos（+α）=（）A．±B．﹣C．﹣D．【解答】解：cos（α+）转化成cos[﹣（﹣α）]=sin（﹣α）=．故选：D．18．（2011?XX）若tanα=3，则的值等于（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：==2tanα=6故选D19．（2010?XX）函数f（x）=2sinxcosx是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数【解答】解：∵f（x）=2sinxcosx=sin2x，∴f（x）为周期为π的奇函数，故选C20．（2015春?澄城县期末）在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．【解答】解：由tanA+tanB+=tanAtanB可得tan（A+B）==﹣=因为A，B，C是三角形内角，所以A+B=120°，所以C=60°故选A二．填空题（共6小题）21．（2011春?迎泽区校级期中）已知，则tanα的值为﹣．【解答】解：tanα===﹣，故答案为﹣．22．（2009?XX区一模）函数y=sinx+cosx的最小值是﹣2．【解答】解∵y=2sin（x+），∴y的最小值是﹣2．故答案为：﹣2．23．（2013春?荔城区校级期中）若 tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．【解答】解：tan（α﹣β）===，故答案为．24．（2015秋?XX校级期末）已=2，则tanθ3．【解答】解：∵∴=2∴tanθ=3故答案为：325．（2007?XX一模）已知角α的终边在直线上，则2sinα+cosα的值是或．【解答】解：∵角α的终边在直线上，∴tanα=﹣，角α的终边在二象限或四象限．当角α的终边在二象限时，cosα=﹣，sinα= ，2sinα+cosα= ﹣=．角α的终边在四象限时，cosα=，sinα=﹣，2sinα+cosα=﹣+ =﹣．故答案为或．26．（2011?XX模拟）若sinθ=﹣，tanθ＞0，则tan2θ= ﹣．【解答】解：∵，故θ是第三象限角，∴cosθ=﹣，tanθ==，∴tan2θ==﹣，故答案为﹣．三．解答题（共4小题）27．（2008?XX）已知，，α，β∈（0，π）（1）求tan（α+β）的值；（2）求函数的最大值．【解答】解：（1）由，β∈（0，π）得，所以tanβ=2，于是tan（α+β）=．（2）因为所以= 故f（x）的最大值为．2（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若0＜x≤，求y=f（x）的值域．【解答】解：（1）因为f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=1﹣cos2x+ sin2x﹣1=2sin（2x+ ）．所以f（x）的最小正周期是T= ．（2）∵0 ，∴，∴∴，故函数y=f（x）的值域为[1，2]．229．（2013?江门一模）已知函数f（x）=2sinx?cosx+2cosx﹣1，x∈R．（1）求f（x）的最大值；（2）若点P（﹣3，4）在角α的终边上，求的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x⋯（2分）=⋯（5分）所以f（x）的最大值为⋯（6分）．（2）由（1）得⋯（7分）=⋯（8分）P（﹣3，4）在角α的终边上，⋯（10分）所以⋯（11分）=⋯（12分）．30．（2015秋?通州区校级期末）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．第11页（共12页）11 / 12【解答】解：（Ⅰ）由三角函数的定义知，角α终边与单位圆相较于点，∴sinα=y=，cosα=x=﹣，tanα==﹣．（Ⅱ）原式====﹣11．（Ⅲ）cos2α=2cos2α﹣1=2?﹣1= ，tan（α+ ）==﹣．第12页（共12页）12 / 12。
三角函数及三角恒等变换测试题及答案
三角函数及恒等变换考试试卷一、选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1、（5分）（2018•陕西）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A、没有根B、有且仅有一个根C、有且仅有两个根D、有无穷多个根2、（5分）（2018•天津）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A、f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B、f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C、f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D、f（x）在区间[4π，6π]上是减函数3、（5分）（2018•山东）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A、B、C、2 D、34、（5分）（2018•辽宁）已知函数，y=f（x）的部分图象如图，则=（）A、B、C、D、5、（5分）（2018•重庆）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A、ω=1，φ=B、ω=1，φ=﹣C、ω=2，φ=D、ω=2，φ=﹣6、（5分）（2018•重庆）下列关系式中正确的是（）A、sin11°＜cos10°＜sin168°B、sin168°＜sin11°＜cos10°C、sin11°＜sin168°＜cos10°D、sin168°＜cos10°＜sin11°7、（5分）（2018•山东）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A、y=2cos2xB、y=2sin2xC、D、y=cos2x8、（5分）（2018•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A、B、C、D、39、（5分）（2018•江西）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）A、﹣B、﹣C、D、10、（5分）（2018•广东）函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A、最小正周期为π的奇函数B、最小正周期为π的偶函数C、最小正周期为的奇函数D、最小正周期为的偶函数11、（5分）（2018•天津）设，，，则（）A、a＜b＜cB、a＜c＜bC、b＜c＜aD、b＜a＜c12、（5分）已知函数f（x）=sin（2x﹣），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（）A、B、C、D、二、填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13、（4分）（2018•辽宁）已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=_________．14、（4分）（2018•四川）已知函数（ω＞0）在单调增加，在单调减少，则ω=_________．15、（4分）（2007•四川）下面有5个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点；④把函数的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；⑤角θ为第一象限角的充要条件是sinθ＞0其中，真命题的编号是_________（写出所有真命题的编号）16、（4分）若=_________．三、解答题（共7小题，满分74分）17、（10分）（2018•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值．18、（10分）（2018•北京）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19、（10分）（2018•陕西）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？20、（10分）（2018•浙江）已知函数，x∈R，A＞0，．y=f（x）的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0），，求A的值．21、（10分）（2018•江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？22、（10分）（2018•广东）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．23、（14分）已知函数，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）画出函数的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．答案与评分标准一、选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1、（5分）（2018•陕西）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A、没有根B、有且仅有一个根C、有且仅有两个根D、有无穷多个根考点：余弦函数的图象。
三角函数恒等变换
三角函数恒等变换一．选择题（共1小题）1．已知0≤x≤2π，且sinx＜cosx，则x的取值范围是（）A．B．C．D．二．解答题（共31小题）2．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．3．已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+，x∈R．（I）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间．4．已知函数f（x）=sin（2ωx）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）．（1）若ω=1，求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离为，求函数f（x）在[0，]上的值域．5．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求f（2x0）的值．6．已知函数f（x）=sinωx+cosωx．（1）当f（﹣）=0，且|ω|＜1，求ω的值；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b+c=3，当ω=2，f（A）=1时，求bc的值．7．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．8．已知f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x+），求：（Ⅰ）f（）的值；（Ⅱ）f（x）在[0，]的取值范围．9．已知函数f（x）=cos（2x+φ）+sin2x（0≤φ＜π）（1）若φ=，求f（x）的值域；（2）若f（x）的最大值是，求φ的值．10．已知sinα=，cos（β﹣α）=，且0＜β＜α＜．（1）求tan2α的值；（2）求β的值．11．计算：已知角α终边上的一点P（7m，﹣3m）（m≠0）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求2+sinαcosα﹣cos2α的值．12．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间．（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最值．13．已知，求（Ⅰ）的值；（Ⅱ）tanα的值．14．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．15．已知函数f（x）=2cos（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）若对任意x∈[0，]，[f（x）+]﹣2m=0成立，求实数m的取值范围．16．=（3sinx，cosx），=（cosx，cosx），f （x）=•．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）x∈[﹣，]时，g（x）=f（x）+m的最大值为，求g（x）的最小值及相应的x值．17．已知（1）若|﹣|2，求f（x）的表达式．（2）若函数f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，求g（x）的解析式．（3）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在上是增函数，求实数λ的取值范围．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）若a=2，A=，且△ABC的面积S=2，求b，c的值；（2）若sin（C﹣B）=sin2B﹣sinA，试判断△ABC的形状．19．已知函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，]上的值域．20．已知函数f（x）=sinωx+λcosωx，其图象的一个对称中心到最近的一条对称轴的距离为，且在x=处取得最大值．（1）求λ的值．（2）设在区间上是增函数，求a的取值范围．21．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若，求边c．22．已知函数f（x）=sinx+tanx﹣2x．（Ⅰ）讨论函数f（x）在（﹣，）上的单调性；（Ⅱ）若x∈（0，），f（x）＞mx2，求m的取值范围．23．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0）（1）求实数a的值；（2）设g（x）=[f（x）]2﹣2，求当x∈（，）时，函数g（x）的值域；（3）若g（）=﹣（＜a＜），求cos（α+）的值．24．已知函数．（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若，不等式|x﹣m|＜3的解集为B，A∩B=A，求实数m的取值范围．25．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则（1）求f（x）的解析式；（2）设h（x）=f（x）+．26．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及减区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最值，及取得最值时自变量x的值．27．已知、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）．（1）求证：+与﹣垂直；（2）若α∈（﹣，），β=，且|+|=，求sinα．28．已知A（﹣2，t）是角α终边上的一点，且sinα=﹣．（I）求t、cosα、tanα的值；（Ⅱ）求的值．29．已知函数f（x）=x+m在上的最大值是6．（1）求m的值以及函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=5，a=4，且△ABC 的面积为，求b+c的值．30．已知函数f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）若存在实数t∈[0，]，使得sf（t）﹣2=0成立，求实数s的取值范围．31．已知f（x）=2sin4x+2cos4x+cos22x﹣3．（1）求函数f（x）的最小正周期．（2）求函数f（x）在闭区间[]上的最小值并求当f（x）取最小值时，x的取值集合．32．已知函数f（x）=sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+（0≤ϕ≤）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．三角函数恒等变换参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．已知0≤x≤2π，且sinx＜cosx，则x的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】在单位圆中画出正弦线，余弦线，结合题意即可得到选项．【解答】解：画出单位圆以及0≤x≤2π，sinx=MP，cosx=OM，因为0≤x≤2π，且sinx＜cosx，从图中可知x的取值范围是故选：D．【点评】本题是中档题，考查三角函数不等式的解法，利用单位圆或者三角函数的图象解答这类问题，简单易行．考查数形结合思想．二．解答题（共31小题）2．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r，则sin（α+π）的值可得；（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin（α+β）sinα代值计算得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．3．已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+，x∈R．（I）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）利用余弦型函数的性质求出函数的周期和单调区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+，x∈R．=+，=，所以：f（）=cos（）+1=．（Ⅱ）由于f（x）=，所以T=．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，4．已知函数f（x）=sin（2ωx）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）．（1）若ω=1，求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离为，求函数f（x）在[0，]上的值域．【分析】（1）由已知利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合复合函数的单调性求得函数f（x）的单调增区间；（2）由已知求得周期，进一步求得ω，再由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）在[0，]上的值域可求．【解答】解：（1）f（x）=sin（2ωx）+2cos2ωx﹣1==．当ω=1时，f（x）=sin（），令，k∈Z可得≤x≤，k∈Z．∴函数f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z；（2）由函数f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离为，得T=，即可知ω=，则f（x）=sin（），由x∈[0，]得，[]，则f（x）∈[]．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．5．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求f（2x0）的值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角和辅助角公式化简即可求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据，，利用和与差的公式即可求解f（2x0）的值．【解答】解：（Ⅰ）=．即．所以f（x）的最小正周期T=π．（Ⅱ）由，得，又因为=，所以，即．所以==．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．6．已知函数f（x）=sinωx+cosωx．（1）当f（﹣）=0，且|ω|＜1，求ω的值；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b+c=3，当ω=2，f（A）=1时，求bc的值．【分析】（1）利用辅助角公式化简，f（﹣）=0，且|ω|＜1，即可求解ω的值；（2）由a=，b+c=3，当ω=2，f（A）=1时，利用余弦定理即可求解bc的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx）．∵f（﹣）=0，即=kπ，k∈Z且|ω|＜1，∴．（2）由ω=2，f（A）=1，即2sin（2A）=1∵0＜A＜π∴A=由余弦定理，cosA=即bc=（b+c）2﹣bc﹣a2解得：bc=2．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质和余弦定理的计算，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．7．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．【分析】（1）根据辅助角公式即可求得f（x），即可求得f（x）最小正周期及单调递减区间；（2）由f（C）=1，即可求得C，利用余弦定理及正弦定理即可求得a和b的值．【解答】解：由，…（2分）（1）周期为T=π，…（3分）因为，…（4分）所以，∴函数的单减区间为；…（6分）（2）因为，所以；…（7分）所以，a2+b2﹣ab=3，…（9分）又因为sinB=2sinA，所以b=2a，…（10分）解得：a=1，b=2，∴a，b的值1，2．…（12分）【点评】本题考查辅助角公式，正弦函数的性质，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查转化思想，属于中档题．8．已知f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x+），求：（Ⅰ）f（）的值；（Ⅱ）f（x）在[0，]的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换，求函数的解析式，可得f（）的值．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在[0，]的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x+）=﹣=cos（2x+）﹣cos（2x+）=cos（2x+）+sin2x=cos2x+sin2x=sin（2x+），∴f（）=sin=．（Ⅱ）在[0，]上，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f（x）∈[﹣，]．即f（x）在[0，]的取值范围为）[﹣，]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，求三角函数的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．9．已知函数f（x）=cos（2x+φ）+sin2x（0≤φ＜π）（1）若φ=，求f（x）的值域；（2）若f（x）的最大值是，求φ的值．【分析】（1）φ=时，化简函数f（x），利用三角函数的性质求出f（x）的值域；（2）化简函数f（x），根据三角函数的图象与性质求出φ的值．【解答】解：（1）φ=时，函数f（x）=cos（2x+φ）+sin2x=cos（2x+）+=（cos2xcos﹣sin2xsin）+﹣cos2x=cos2x﹣sin2x+=cos（2x+）+，由﹣1≤cos（2x+）≤1，得0≤cos（2x+）+≤1，∴f（x）的值域为[0，1]；（2）函数f（x）=cos（2x+φ）+sin2x=cos2xcosφ﹣sin2xsinφ+=（cosφ﹣）cos2x﹣sinφsin2x+，且f（x）的最大值是，即+=1，∴﹣cosφ+=1，解得cosφ=0，又0≤φ＜π，∴φ=．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是综合题．10．已知sinα=，cos（β﹣α）=，且0＜β＜α＜．（1）求tan2α的值；（2）求β的值．【分析】（1）首先，求解cosα的值，然后，得到tanα的值，从而求解tan2α的值；（2）根据β=（β﹣α）+α，从而确定β的值．【解答】解：（1）由，，得，∴，∴；（2）由，得，又∵，∴，由β=（β﹣α）+α，得cosβ=cos[（β﹣α）+α]=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=，∴由，得．【点评】本题重点考查了二倍角公式、角的灵活拆分等知识，属于中档题．11．计算：已知角α终边上的一点P（7m，﹣3m）（m≠0）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求2+sinαcosα﹣cos2α的值．【分析】首先利用三角函数的坐标法定义求出tanα；然后利用三角函数的诱导公式以及倍角公式求三角函数值．【解答】解：依题意有；（1）原式==（5分）（2）原式=2+=2+=2﹣=（5分）【点评】本题考查了三角函数值的求法；用到了三角函数的坐标法定义、诱导公式、倍角公式等；属于基础题．12．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间．（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最值．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递增区间；（2）根据x∈[0，]时求出sin（2x+）的取值范围，从而求出f（x）的最大、最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2（cos2x+sin2x）=2sin（2x+）；∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]；∴x=0时，f（x）取得最小值为1，x=时，f（x）取得最大值为2．【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．13．已知，求（Ⅰ）的值；（Ⅱ）tanα的值．【分析】（Ⅰ）根据分式进行通分，结合平方关系即可求的值；（Ⅱ）构造方程组求出sinα﹣cosα的值，解方程组即可tanα的值．【解答】解：∵，∴平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=，即1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=﹣1=﹣＜0，则sinαcosα=﹣．则sinα＞0，cosα＜0，即0＜α＜．（Ⅰ）===﹣；（Ⅱ）∵（sinα﹣cosα）2=sin2α﹣2sinαcosα+cos2α=1﹣（﹣）=，∴sinα﹣cosα=，∵sinα+cosα=，∴sinα=，cosα=﹣，则tanα===﹣．【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用同角的函数关系，结合平方法以及建立方程组法是解决本题的关键．14．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围，求出f（x）的取值范围，即得最值；（2）先根据f（C）=0求出C的值，再根据向量共线以及正弦、余弦定理求出a、b的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1．…（3分）∵﹣≤x≤，∴，∴，从而﹣1﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤0．则f（x）的最小值是，最大值是0．…（7分）（2），则，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴，解得C=．…（10分）∵向量与向量共线，∴sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=2．…（15分）【点评】本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了平面向量的应用以及正弦余弦定理的应用问题，是综合性题目．15．已知函数f（x）=2cos（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）若对任意x∈[0，]，[f（x）+]﹣2m=0成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）化简函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期和值域；（2）对任意x∈[0，]，[f（x）+]﹣2m=0成立，等价于sin（2x+）=m；求出x∈[0，]时sin（2x+）的值域即可．【解答】解：（1）函数f（x）=2cos（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]=2cos（x+）sin（x+）﹣2cos2（x+）=sin（2x+）﹣2•=sin（2x+）﹣cos（2x+）﹣=2sin[（2x+）﹣]﹣=2sin（2x+）﹣，∴函数f（x）的最小正周期为T===π；又﹣1≤sin（2x+）≤1，∴﹣2﹣≤2sin（2x+）﹣≤2﹣，即f（x）的值域为[﹣2﹣，2﹣]；（2）对任意x∈[0，]，[f（x）+]﹣2m=0成立，∴[2sin（2x+）﹣+]﹣2m=0，即sin（2x+）=m；由x∈[0，]，得2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴实数m的取值范围是m∈[，1]．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是中档题．16．=（3sinx，cosx），=（cosx，cosx），f （x）=•．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）x∈[﹣，]时，g（x）=f（x）+m的最大值为，求g（x）的最小值及相应的x值．【分析】（1）根据平面向量的数量积计算并化简f （x），求出f（x）的单调递减区间；（2）根据x的取值范围，求出f（x）的值域，再根据g（x）的最大值求出m，从而求出g（x）的最小值与对应x的值．【解答】解：（1）=（3sinx，cosx），=（cosx，cosx），∴f （x）=•=3sinxcosx+3cos2x=sin2x+=3sin（2x+）+；令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴3sin（2x+）+∈[﹣，]；∴f（x）的值域是[﹣，]，∴g（x）=f（x）+m的最大值为+m=，解得m=1，∴g（x）=f（x）+1；∴g（x）的最小值为﹣+1=﹣，此时x=﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象和性质的应用问题，是中档题．17．已知（1）若|﹣|2，求f（x）的表达式．（2）若函数f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，求g（x）的解析式．（3）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在上是增函数，求实数λ的取值范围．【分析】（1）根据，可求得=（﹣2cosx，2sin﹣2cos），=4cos2x+4﹣4sinx，从而可求得f（x）的表达式；（2）函数y=f（x）的图象上任一点M（x0，y0），它关于原点的对称点为N（x，y），x0=﹣x，y0=﹣y，利用点M在函数y=f（x）的图象上，将其坐标代入y=f（x）的表达式即可；（3）可令t=sinx，将h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在转化为：h（t）=﹣（1+λ）t2+2（1﹣λ）t+1（﹣1≤t≤1），对t2的系数﹣（1+λ）分类讨论，利用一次函数（λ=﹣1）与二次函数（λ≠﹣1）的性质讨论解决即可．【解答】解（1）：，=2+sinx﹣cos2x﹣1+sinx=sin2x+2sinx（2）：设函数y=f（x）的图象上任一点M（x0，y0）关于原点的对称点为N（x，y）则x0=﹣x，y0=﹣y，∵点M在函数y=f（x）的图象上∴﹣y=sin2（﹣x）+2sin（﹣x），即y=﹣sin2x+2sinx∴函数g（x）的解析式为g（x）=﹣sin2x+2sinx（3）∵h（x）=﹣（1+λ）sin2x+2（1﹣λ）sinx+1，设sinx=t，∵x∈∴﹣1≤t≤1，则有h（t）=﹣（1+λ）t2+2（1﹣λ）t+1（﹣1≤t≤1）．①当λ=﹣1时，h（t）=4t+1在[﹣1，1]上是增函数，∴λ=﹣1，②当λ≠﹣1时，对称轴方程为直线ⅰ）λ＜﹣1时，，解得λ＜﹣1ⅱ）当λ＞﹣1时，，解得﹣1＜λ≤0综上，λ≤0．【点评】本题考查三角函数的化简求值，二次函数的性质，难点在于通过三角换元得到“h（t）=﹣（1+λ）t2+2（1﹣λ）t+1（﹣1≤t≤1）”后，对t2的系数﹣（1+λ）分类讨论，也是易错点，属于难题．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）若a=2，A=，且△ABC的面积S=2，求b，c的值；（2）若sin（C﹣B）=sin2B﹣sinA，试判断△ABC的形状．【分析】（Ⅰ）根据△ABC的面积S和余弦定理，组成方程组求出b、c的值；（2）由题意，利用三角形的内角和定理与三角恒等变换公式，化简求值，得出ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：a=2，A=，△ABC的面积S=2，∴S=bcsinA=2，可得：bc=8；…•①由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入化简得：（b+c）2=36，∴b+c=6；…②连立①②得：b=2，c=4或b=4，c=2；…6分（2）由题意知：sin（C﹣B）=sin2B﹣sinA，∴sin（C+B）+sin（C﹣B）=sin2B，化简得：sinCcosB=sinBcosB，∴cosB=0或sinC=sinB；又A，B∈（0，π），所以B=或C=B；即ABC为直角三角形或等腰三角形．…12分【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是中档题．19．已知函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，]上的值域．【分析】（I）化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期；（Ⅱ）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出f（x）的值域．【解答】解：（I）函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）=﹣sin2x+sinxcosx=﹣×+sin2x=sin2x+cos2x﹣=sin（2x+）﹣，∴函数f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴函数f（x）在[0，]上的值域为[﹣，1﹣]．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数恒等变换的应用问题，是中档题．20．已知函数f（x）=sinωx+λcosωx，其图象的一个对称中心到最近的一条对称轴的距离为，且在x=处取得最大值．（1）求λ的值．（2）设在区间上是增函数，求a的取值范围．【分析】（1）化简f（x）为正弦型函数，利用函数的周期和最值求出ω、λ的值；（2）由f（x）写出g（x）的解析式，利用换元法和复合函数的单调性，即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=sinωx+λcosωx=sin（ωx+φ），其中tanφ=λ；由题可得=，∴T=π，∴ω==2，∵x=处取得最大值，∴+φ=，∴φ=，∴λ=tan=；（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+），∴=2asin（2x+）+cos（4x﹣）=2asin（2x+）+2cos2（2x﹣）﹣1=2asin（2x+）+2sin2（2x+）﹣1；设t=sin（2x+），其中x∈（，），∴2x+∈（，π），0＜sin（2x+）＜，函数t=sin（2x+）是单调减函数，且0＜t＜；∴函数g（t）=2t2+2at﹣1，在对称轴t=﹣的左侧单调递减，令﹣≥，解得a≤﹣1，∴a的取值范围是a≤﹣1．【点评】本题考查了三角函数的化简与应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．21．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若，求边c．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）由f（A）求出A的值，再利用三角恒等变换求出sinC的值，利用正弦定理求出c的值．【解答】解：（1）函数=（sin2x+cos2x）+（sin2x﹣cos2x）+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∴函数f（x）的最小正周期为T===π，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，解得kπ﹣≤x≤kπ+，其中k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由f（x）=2sin（2x+）+1得f（A）═2sin（2A+）+1=3，解得sin（2A+）=1；又△ABC中，B=，∴0＜A＜，∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=；∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sin（+）=sin cos+cos sin=；由正弦定理知=，∴c===．【点评】本题考查了三角恒等变换和正弦定理的应用问题，是中档题．22．已知函数f（x）=sinx+tanx﹣2x．（Ⅰ）讨论函数f（x）在（﹣，）上的单调性；（Ⅱ）若x∈（0，），f（x）＞mx2，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用切化弦，通过导函数研究其在（﹣，）上的单调性；（Ⅱ）利用导函数的性质讨论单调性，对m进讨论即可求解．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=cosx+﹣2∵x∈（﹣，），∴cosx∈（0，1]，于是f′（x）=cosx+﹣2≥cos2x+﹣2≥0（等号当且仅当x=0时成立）．故函数f（x）在（﹣，）上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在（0，）上单调递增，又f（0）=0，所以f（x）＞0，（ⅰ）当m≤0时，f（x）＞0≥mx2成立．（ⅱ）当m＞0时，令p（x）=sinx﹣x，则p′（x）=cosx﹣1，当x∈（0，）时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，又p（0）=0，所以p（x）＜0，故x∈（0，）时，sinx＜x．（*）由（*）式可得f（x）﹣mx2=sinx+tanx﹣2x﹣mx2＜tanx﹣x﹣mx2，令g（x）=tanx﹣x﹣mx2，则g′（x）=tan2x﹣2mx由（*）式可得g′（x）＜﹣2mx=（x﹣2mcos2x），令h（x）=x﹣2mcos2x，得h（x）在（0，）上单调递增，又h（0）＜0，h（）＞0，∴存在t∈（0，）使得h（t）=0，即x∈（0，t）时，h（x）＜0，∴x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（0）=0，∴g（x）＜0，即x∈（0，t）时，f（x）﹣mx2＜0，与f（x）＞mx2矛盾．综上，满足条件的m的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．还考查了利用导函数的性质研究其单调性，最值问题．属于难题．23．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0）（1）求实数a的值；（2）设g（x）=[f（x）]2﹣2，求当x∈（，）时，函数g（x）的值域；（3）若g（）=﹣（＜a＜），求cos（α+）的值．【分析】（1）把点（，0）代入解析式，求出a的值；（2）先利用两角差的正弦公式化简f（x），代入g（x）利用二倍角公式化简，由x的范围求出的范围，利用余弦函数的性质求出g（x）的值域；（3）代入解析式化简g（）=﹣，由α的范围和平方关系求出的值，利用两角和的正弦公式求出sinα的值，利用诱导公式化简cos（α+）后即可求值．【解答】解：（1）因为函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0），所以sin+acos=0，解得a=﹣；（2）由（1）可得，f（x）=sinx﹣cosx=，所以g（x）=[f（x）]2﹣2=﹣2==，由x∈（，）得，∈（，），则，所以，则函数g（x）的值域：[﹣2，1）；（3）因为g（）=﹣，所以=﹣，即，因为＜a＜，所以，则=﹣，所以sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=﹣×（）+=，则cos（α+）=sinα=．【点评】本题考查三角恒等变换的公式，平方关系、三角函数值的符号的应用，以及余弦函数的性质，注意角之间的关系和角的范围，属于中档题．24．已知函数．（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若，不等式|x﹣m|＜3的解集为B，A∩B=A，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用二倍角公式、诱导公式、两角差的正弦函数化简函数的表达式，通过正弦函数的单调增区间，求出函数的单调增区间．（2）通过（1）根据x的范围求出集合A，利用A∩B=A，求出集合B，得到不等式组，求出m的范围即可．【解答】解：（1），…（5分）由解得：，∴f（x）在区间上单调递增．…（8分）（2），不等式|x﹣m|＜3的解集为B，A∩B=A，，∴，∴A=[1，2]，又解得B=（m﹣3，m+3）…（12分）而A∩B=A⇒A⊆B∴，得﹣1＜m＜4…（16分）．【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式两角差的正弦函数的应用，考查计算能力，转化思想．25．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则（1）求f（x）的解析式；（2）设h（x）=f（x）+．【分析】（1）根据题意求出ω、φ的值，得出f（x）的解析式；（2）根据f（x）写出h（x）并化简，根据三角函数的图象与性质求出h（x）的单调减区间．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的最小正周期为T=2×（﹣）=2π，即=2π，ω=1；…（2分）∴f（x）=sin（x+φ）；令x+φ=kπ+，k∈Z，…（3分）将x=代入可得φ=kπ+，k∈Z；∵0＜φ＜π，∴φ=；…（4分）∴f（x）=sin（x+）；…（5分）（2）∵f（x）=sin（x+），∴h（x）=f（x）+cos（x+）=sin（x+）+cos（x+）=2×[sin（x+）+cos（x+）]=2sin（x+），…（8分）令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z；∵x∈[0，π]，∴h（x）的单调减区间为[0，]．…（12分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．26．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及减区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最值，及取得最值时自变量x的值．【分析】（Ⅰ）首先，化简函数解析式，然后，结合正弦函数的单调性确定单调区间；（Ⅱ）首先，根据x∈[0，]，然后，得到，再结合正弦函数的单调性求解其最值．【解答】解：（Ⅰ）﹣﹣﹣﹣（2分）∴T=π，﹣﹣﹣﹣﹣（3分）当时，即时，f（x）为减函数﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴y=f（x）减区间为﹣﹣﹣﹣﹣（6分）；（Ⅱ）当时，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当时，函数有最大值，最大值为f（x）max=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当时，函数有最小值，最小值为f（x）min=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题综合考查了三角函数公式、三角恒等变换公式的灵活运用，属于中档题．27．已知、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）．（1）求证：+与﹣垂直；（2）若α∈（﹣，），β=，且|+|=，求sinα．【分析】（1）利用平面向量的坐标运算与数量积为0，即可证明+与﹣垂直；（2）利用平面向量的数量积与模长公式，结合三角恒等变换与同角的三角函数关系，即可求出sinα的值．【解答】解：（1）证明：、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），．∴+=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），﹣=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），∴（+）•（﹣）=（cos2﹣cos2β）+（sin2α﹣sin2β）=（cos2α+sin2α）﹣（cos2β+sin2β）=1﹣1=0，∴+与﹣垂直；（2）∵=（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2=2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2+2cos（α﹣β），且β=，|+|=，∴2+2cos（α﹣）=，解得cos（α﹣）=；又α∈（﹣，），∴α﹣∈（﹣，0），∴sin（α﹣）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=﹣×+×=﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，也考查了同角的三角函数关系与三角恒等变换的应用问题，是综合性题目．28．已知A（﹣2，t）是角α终边上的一点，且sinα=﹣．（I）求t、cosα、tanα的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）根据三角函数的定义先求出t的值即可得到结论．（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式进行化简进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A（﹣2，t）是角α终边上的一点，且sinα=﹣．∴sinα===﹣，且t＜0，平方得==，即5t2=4+t2，即t2=1，则t=﹣1．∴A（﹣2，﹣1），则cosα===﹣、tanα==；（Ⅱ）====tanα=．【点评】本题主要考查三角函数的定义以及三角函数的诱导公式的应用，根据三角函数的定义求出参数t的值是解决本题的关键．29．已知函数f（x）=x+m在上的最大值是6．（1）求m的值以及函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=5，a=4，且△ABC 的面积为，求b+c的值．【分析】（1）化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出时f（x）的最大值，解得m的值，再求f（x）的单调增区间；（2）由f（A）求得A的值，再由余弦定理和三角形面积公式求出b+c的值．【解答】解：（1）函数f（x）=x+m=sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+）+1+m；当时，2x+∈[，]，∴f（x）max=2+1+m=6，解得m=3；…（4分）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴函数f（x）的单调增区间为；…（6分）（2）由f（A）=2sin（2A+）+4=5，得sin（2A+）=；又A∈（0，π），∴2A+∈（，），∴2A+=，解得；…（8分）∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bccos=42，即b2+c2﹣bc=16①；又S=bcsinA=bcsin=，△ABC化简得bc=4②，…（10分）由①②解得．…（12分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是综合题．30．已知函数f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）若存在实数t∈[0，]，使得sf（t）﹣2=0成立，求实数s的取值范围．【分析】（1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将f（x）化成cos2x，最后根据余弦函数的对称性求出对称轴方程即可；（2）根据t的范围，求出2t的范围，再结合余弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出t的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x=[2（sinxcos+cosxsin）+sinx]cosx﹣sin2x=[﹣sinx+cosx+sinx]cosx﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos2x，由2x=kπ，得：x=，（k∈z），∴f（x）图象的对称轴方程是：x=，（k∈z），（2）当t∈[0，π]时，2t∈[0，π]，cos（2t）∈[﹣，1]，从而f（t）∈[﹣，]，由sf（t）﹣2=0可知：s≥或s≤﹣．【点评】本题主要考查了余弦函数的对称性，以及余弦函数的值域，属于中档题．31．已知f（x）=2sin4x+2cos4x+cos22x﹣3．（1）求函数f（x）的最小正周期．（2）求函数f（x）在闭区间[]上的最小值并求当f（x）取最小值时，x的取值集合．【分析】通过同角三角函数的基本关系式，二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，（1）利用周期公式求出函数的最小正周期．（2）通过x∈[]，求出4x∈[]，利用函数的单调性，求出函数的最小值，以及x的集合即可．【解答】解：f（x）=2（sin2x+cos2x）2﹣4sin2xcos2x+cos22x﹣3=2×1﹣sin22x+cos22x﹣3=cos22x﹣sin22x﹣1=cos4x﹣1（1）函数的最小正周期T==．（2）x∈[]4x∈[]∴f（x）=cos4x﹣1在[]是减函数当x=时f（x）有最小值f（）=cos﹣1=﹣﹣1，此时x的集合是【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，函数在闭区间上的最值的求法，考查计算能力．32．已知函数f（x）=sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+（0≤ϕ≤）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．【分析】（I）把函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，即为函数解析式的最简形式，即可求出最小正周期以及单调区间；（II）由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的对称中心即可．【解答】解：（I）函数f（x）=sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+=sin（2x﹣2φ）﹣（2cos2φ﹣1）=sin（2x﹣2φ）﹣cos（2x﹣2φ）=sin（2x﹣2φ）函数f（x）为偶函数，则﹣2φ=kπ，k∈z∵0≤ϕ≤∴φ=∴f（x）=sin（2x﹣π）=﹣sin2x∴函数的最小正周期T==π令2x∈[﹣+2kπ，+2kπ]k∈Z 解得：﹣+kπ≤x≤+kπ∴函数f（x）的单调递减区间为[﹣+kπ，+kπ]k∈Z（II）由（I）知f（x）=﹣sin2x由题意知g（x）=﹣sin[2（x﹣）]=﹣sin（2x﹣）令2x﹣=kπ（k∈Z），则x=+（k∈Z），∴函数的对称中心坐标为（+，0）（k∈Z）．【点评】本题主要考查了三角变换公式在三角化简和求值中的应用，y=Acos （ωx+φ）型函数的图象和性质，简单的三角方程的解法．。
数学三角恒等变换
【点评】在三角函数的综合问题分析求解 过程中，三角函数的化简是通常的变换途径， 进行有效的化简时，应分析已知和目标式的结 构特征，采用恰当的变形方法．
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二、求值 例 2 如 图 ， 以 Ox 为 始 边 作 角 α 与 β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于 点 P、Q，已知点 P 的坐标为(－35，45)． (1)求sin2α1＋＋ctoans2αα＋1的值． (2)若OP •OQ 0 ，求 sin(α＋β)的值．
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〔备选题〕例 5 在△ABC 中，AACB＝ccoossCB. (1)证明：B＝C； (2)若 cosA＝－31，求 sin(4B＋π3)的值．
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【解析】(1)证明：在△ABC 中，由正弦定 理及已知，
得ssiinnCB＝ccoossCB， 于是 sinBcosC－sinCcosB＝0， 即 sin(B－C)＝0. 因为－π＜B－C＜π，从而 B－C＝0， 所以 B＝C.
＝2.
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三、三角恒等式的证明 例 4 已知 f(x)＝22tacnos4π4x－－x2scions22xx＋＋21π4. (1)证明：2f(x)＝cos2x； (2)若 f(x)＝52，且 x∈(0，π2)，证明：3tanx＝1.
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【证明】(1)∵f(x)＝212cs4oincso4ππ4s－－ 4x－xx·4ccooss22xπ4＋－1x ＝4sin24πc－osx2xc－os1π42－x ＝2sicno2πs2－2x2x＝2ccoos2s22xx＝21cos2x， ∴2f(x)＝cos2x.
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一、化简 例 1 已知 0<α<π4，β 为 f(x)＝cos(2x＋π8)的最小正周 期，a＝(tan(α＋14β)，－1)，b＝(cosα，2)，且 a·b＝m， 求2cosc2αo＋sα－sins2inαα＋β的值．
高一数学必修四三角函数与三角恒等变换期末练习
高一数学必修四三角函数与三角恒等变换期末练习一、选择题（每小题5分, 共50分.在每小题给出的四个选项中, 仅有一个选项是正确的）1．角α的终边上有一点P （a, a ）, a ∈R 且a ≠0, 则sin α值为 （ ）A. B. C. 1 D. 或2. 函数 是（ ）A. 最小正周期为2π的偶函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π的奇函数3. 的值为（ ）（A ）426+ （B ）462- （C ）426+- （D ）426- 4. 可化为（ ）（A ）)6cos(απ+ （B ）)3cos(απ+ （C ）)3sin(απ- （D ）)3sin(απ+5. =（ ） A. B. C. 1 D. 6．sin αcos α＝ , 且 ＜α＜ , 则cos α－sin α的值为 （ ）A. B. C. D.7．函数 的部分图象如图所示, 则函数表达式为（ ）A.B ．)48sin(4π-π=x yC. D ．)48sin(4π+π=x y 8. 若 , 则 的值为（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）21 （D ）21-9. 已知 , 则 等于（ ）（A ）m 2- （B ）m 2 （C ）m - （D ）m10. 如果 则（ ）（A ）c b a >> （B ）c a b >> （C ）a b c >> （D ）a c b >>二、填空题（每小题4分, 共28分。
把正确答案填写在题中的横线上, 或按题目要求作答。
）11.︒︒-︒︒14cos 74sin 14sin 74cos =__________12. 的单调递增区间是_____________.13. = .14. 函数 的最大值是 .15．若sin( －2x)＝ , 则tan2x ＝________.[][]1212116/sin ,0,2,/cos 0,2,22171)02()4cos(2);6(3)()06N f x y f x y x y f x θθθπθθθπππππ⎧⎫⎪⎪⎧⎫≥∈=≤-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭⋂∈=-==-=-、设Ｍ＝则ＭＮ＝__________。
三角函数恒等变换练习试题及答案解析详细讲解
两角和与差的正弦、余弦、正切1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．知识点回顾1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β) 2．二倍角公式sin 2α＝ααcos sin 2；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．[难点正本 疑点清源]三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 热身训练1．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为_______．2．函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．3．(2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝45，则 4．(2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于() A ．－34B.34C ．－43D.435．(2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于( ) A ．－79B ．－19 C.19 D.79典例分析题型一 三角函数式的化简、求值问题例1 (1)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2的值为________．题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πα＝－19，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2＝23，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β. 题型三 三角变换的简单应用例3 已知f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+x tan 11sin 2x －2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．已知函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx ＋2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-12πx (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值时x 的集合．利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx －1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值． 总结方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a)有a 2＋b 2≥|y |.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．过手训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·山东)若θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35B.45C.74D.34 2．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πβ＝14，那么tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.163．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( ) A ．最大值是1，最小值是－1 B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4，则sin 2α＝________. 5．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4＝1213，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 6．设x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________． 三、解答题7．(13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx (其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 课后习题(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( ) A.15B.14C.13D.122．(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( )A ．－53B ．－59 C.59D.533．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于( ) A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44．(2011·福建)若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C.2D. 3 二、填空题(每小题5分，共15分)5．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值为________． 6.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 7．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则α＋β＝____________. 三、解答题(共22分)8．(10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合． 9．(12分)已知α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2，求cos β的值．。
数学中的三角函数恒等变换模拟试题
数学中的三角函数恒等变换模拟试题题1：化简下列三角函数：（1）$sin^2 x - cos^2 x$（2）$cot^2 x - 1$（3）$1 + sec^2 x$（4）$tan^2 x + 1$（5）$cosec^2 x - cot^2 x$题2：证明下列三角函数等式：（1）$tan x = \frac{sin x}{cos x}$（2）$cot x = \frac{cos x}{sin x}$（3）$sec x = \frac{1}{cos x}$（4）$cosec x = \frac{1}{sin x}$题3：使用三角函数的基本恒等变换，化简下列三角函数：（1）$tan x \cdot sin x$（2）$sec x \cdot cos x$（3）$\frac{sin x}{1 + cos x}$（4）$\frac{cos x}{1 - sin x}$（5）$\frac{1 - sin^2 x}{1 - cos^2 x}$解答如下：题1：（1）$sin^2 x - cos^2 x$根据三角函数恒等变换 $sin^2 x = 1 - cos^2 x$，将其代入原式：$sin^2 x - cos^2 x = 1 - cos^2 x - cos^2 x = 1 - 2cos^2 x$（2）$cot^2 x - 1$根据三角函数恒等变换 $cot^2 x = \frac{cos^2 x}{sin^2 x}$，将其代入原式：$cot^2 x - 1 = \frac{cos^2 x}{sin^2 x} - 1 = \frac{cos^2 x - sin^2x}{sin^2 x}$在分子上应用三角函数恒等变换 $cos^2 x - sin^2 x = -sin^2 x + cos^2 x = cos^2 x - sin^2 x = cos 2x$：$cot^2 x - 1 = \frac{cos^2 x - sin^2 x}{sin^2 x} = \frac{cos 2x}{sin^2 x}$（3）$1 + sec^2 x$根据三角函数恒等变换 $sec^2 x = 1 + tan^2 x$，将其代入原式：$1 + sec^2 x = 1 + 1 + tan^2 x = 2 + tan^2 x$（4）$tan^2 x + 1$根据三角函数恒等变换 $tan^2 x + 1 = sec^2 x$，直接应用该恒等变换：$tan^2 x + 1 = sec^2 x$（5）$cosec^2 x - cot^2 x$根据三角函数恒等变换 $cosec^2 x = 1 + cot^2 x$，将其代入原式：$cosec^2 x - cot^2 x = 1 + cot^2 x - cot^2 x = 1$题2：（1）证明 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$已知 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$，将等式两边都除以 $cos x$，得到：$tan x = \frac{sin x}{cos x}$（2）证明 $cot x = \frac{cos x}{sin x}$已知 $cot x = \frac{cos x}{sin x}$，将等式两边都除以 $sin x$，得到：$cot x = \frac{cos x}{sin x}$（3）证明 $sec x = \frac{1}{cos x}$已知 $sec x = \frac{1}{cos x}$，将等式两边都求倒数，得到：$sec x = \frac{1}{cos x}$（4）证明 $cosec x = \frac{1}{sin x}$已知 $cosec x = \frac{1}{sin x}$，将等式两边都求倒数，得到：$cosec x = \frac{1}{sin x}$题3：（1）$tan x \cdot sin x$根据三角函数恒等变换 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$，将其代入原式：$tan x \cdot sin x = \frac{sin x}{cos x} \cdot sin x = sin^2 x$（2）$sec x \cdot cos x$根据三角函数恒等变换 $sec x = \frac{1}{cos x}$，将其代入原式：$sec x \cdot cos x = \frac{1}{cos x} \cdot cos x = 1$（3）$\frac{sin x}{1 + cos x}$将分式的分子进行分解：$\frac{sin x}{1 + cos x} = \frac{sin x}{1 + cos x} \cdot \frac{1 - cos x}{1 - cos x} = \frac{sin x (1 - cos x)}{1 - cos^2 x}$应用三角函数恒等变换 $1 - cos^2 x = sin^2 x$，化简分式：$\frac{sin x (1 - cos x)}{1 - cos^2 x} = \frac{sin x (1 - cos x)}{sin^2 x}= \frac{1 - cos x}{sin x}$（4）$\frac{cos x}{1 - sin x}$将分式的分母进行分解：$\frac{cos x}{1 - sin x} = \frac{cos x}{1 - sin x} \cdot \frac{1 + sin x}{1 + sin x} = \frac{cos x (1 + sin x)}{1 - sin^2 x}$应用三角函数恒等变换 $1 - sin^2 x = cos^2 x$，化简分式：$\frac{cos x (1 + sin x)}{1 - sin^2 x} = \frac{cos x (1 + sin x)}{cos^2 x} = \frac{1 + sin x}{cos x}$（5）$\frac{1 - sin^2 x}{1 - cos^2 x}$根据三角函数恒等变换 $1 - sin^2 x = cos^2 x$，将其代入原式：$\frac{1 - sin^2 x}{1 - cos^2 x} = \frac{cos^2 x}{1 - cos^2 x} = cot^2 x$。
三角恒等变换练习题
三角恒等变换练习题1. 证明： sin^2(x) + cos^2(x) = 1解析：根据三角恒等变换公式 sin^2(x) + cos^2(x) = 1，我们需要证明这个公式的正确性。
下面是证明过程：由于 sin(x) = opp/hyp 和 cos(x) = adj/hyp，其中 opp 表示对边，adj 表示邻边，hyp 表示斜边。
根据勾股定理，我们知道在一个直角三角形中，斜边的平方等于对边的平方与邻边的平方之和。
即 hyp^2 = opp^2 + adj^2。
将 opp/hyp 和 adj/hyp 代入上述公式，则得到：sin^2(x) + cos^2(x) = (opp/hyp)^2 + (adj/hyp)^2 = opp^2/hyp^2 +adj^2/hyp^2 = (opp^2 + adj^2)/hyp^2由于 opp^2 + adj^2 = hyp^2，代入上面的等式可以得到：sin^2(x) + cos^2(x) = (opp^2 + adj^2)/hyp^2 = hyp^2/hyp^2 = 1因此，sin^2(x) + cos^2(x) = 1 成立，证毕。
2. 化简：tan(x) / (sec(x) - 1)解析：我们需要将表达式 tan(x) / (sec(x) - 1) 进行化简。
下面是化简过程：首先，我们知道 tan(x) = sin(x) / cos(x) 和 sec(x) = 1 / cos(x)。
将上述等式代入表达式 tan(x) / (sec(x) - 1)，得到：(sin(x) / cos(x)) / (1 / cos(x) - 1)接下来，我们需要找到表达式中的公共分母，并进行合并。
首先，将 1 / cos(x) 相减得到：1 / cos(x) - 1 = (1 - cos(x)) / cos(x)代入原表达式，得到：(sin(x) / cos(x)) / ((1 - cos(x)) / cos(x))接下来，我们将除法转化为乘法，并得到：(sin(x) / cos(x)) * (cos(x) / (1 - cos(x)))cos(x) 可以约去，得到最终的结果：sin(x) / (1 - cos(x))因此，化简后的结果为 sin(x) / (1 - cos(x))。
简单的三角恒等变换专题及答案
简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。
答案：B。
通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。
2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。
答案：C。
通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。
答案：B。
通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。
答案：B。
通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。
5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。
答案：D。
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三角函数恒等变换练习题
1．（2019•四川模拟）在ABC ∆中，若1tan tan tan tan ++=B A B A ，则=C cos （ ）
A ．22-
B ．2
2 C ．21-
D ．2
1 2．（2019•重庆模拟）在锐角ABC ∆ 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C b a sin 2=，则C B A tan tan tan ++的最小值是（ ）
A ．4
B ．33
C ．8
D ．36 3．（2018•云南期末）=84tan 36tan 3-84tan 36tan ︒︒︒+︒（ ）
A ．3-
B ．3
C ．33-
D ．3
3 4．（2018•武汉期末）=︒︒+︒︒+︒18tan 12tan 18tan 60tan 12tan 3（ ）
A ．33
B ．3
C ．1
D ．3
5．（2018•青羊期末）=24tan tan21+tan24+tan21︒︒︒︒（ ）
A ．1
B ．1-
C ．3
D ．3-
6．（2018•贵阳期中）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若32=c ，
B A tan tan +
B A tan tan 33-=，则AB
C ∆的面积的取值范围是（ ）
A ．),3[∞+
B ．
C ．1(2
D ． 7．（2018•江西期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c ，0=++GC GB GA ，且0=⋅GB GA ，若
C m B A B A tan tan tan tan tan =+，则实数m 的值是（ ） A ．21 B ．31 C ．41
D ．5
1 8．（2018•武汉模拟）在ABC ∆中，︒=60C ，12tan 2tan =+B A ，则=⋅2
tan 2tan B A ． 9．（2018•金安期末）在ABC ∆中，若B A B A tan tan 3333tan tan =+
+，则角=C ． 10．（2018•金水期中）在ABC ∆中，已知三内角满足C A B +=2，则
2
tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值为 ． 11．（2018•上海期中）在锐角ABC ∆中，若C B A sin sin 3sin =，则C B A tan tan tan ⋅⋅的最小值是 ．
12．（2017•浙江月考）在ABC ∆中，12tan 2tan =+B A ，则2
tan C 的取值范围为 ． 13．（2018•江苏模拟）在锐角ABC ∆中，若A tan ，B tan ，C tan 依次成等差数列，则C A tan tan ⋅
的值为 ．
14．（2017•江苏模拟）ABC ∆中，角A ，B 满足A B A tan 3)tan(=+，则B tan 取到最大值时角=C ．
15．（2018•甘肃二模）在ABC ∆中，若3:2:1tan :tan :tan =C B A ，则=∠A ．
16．（2018•杭州月考）已知ABC ∆中，A tan ，B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根．
（1）若8-=a ，求C tan 的值；
（2）求C tan 的最小值，并指出此时对应的A tan ，B tan 的值．
17．（2018•四川模拟）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C a b sin 2
=． （1）求11tan tan A C
的值； （2）求B tan 的最大值．。