茆诗松概率论与数理统计教程
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独立性
P( A1 ) P( A2 ) P( A1 )P( A2 ) 0.6 0.6 0.36 0.84
设有n门炮同时射击.
因A的情形很多, 我们考虑A的对立事件A
P( A) 1 P( A) 1 P( A1 A2 An )
独立性
1 P( A1 )P( A2 ) P( An ) 1 0.4n 0.99
2. 多个事件的独立性
对于有限个事件的独立性, 我们有下列相应的定义: 定义: 对随机试验中的n个事件A1,…, An, 若对任意k
(2≤k≤n) 及任意i1,…,ik,(1≤i1<i2<…<ik≤n)满足
P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),
则称事件Ai1 , Ai2 ,… ,Aik相互独立.
但并不是什么问题都是那么容易靠直觉判断的, 不 妨看下面的例一.
例一. 一个家庭中有若干个小孩, 假定生男孩和生 女孩是等可能的, 令 A={一个家庭中有男孩, 又有女孩} B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形, 讨论A与B的独立性: (1)家庭中有两个小孩, (2)家庭中有三个小孩.
则称事件A与B相互独立, 简称A与B独立; 否 则称A与B不独立或相依.
独立性的性质: 若事件A与B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也相互独立.
证 明: P( A) P( A Ω) P( A (B B ) P( AB AB ) P( AB) P( AB )
P( AB ) P( A) P( AB)
(2)有三个小孩的家庭. Ω={(男男男),(男男女),(男女男),(女男女)
(男女女),(女男女),(女女男),(女女女)}.
从而A含有6个样本点 , B含有4个样本点, AB含有3个样本点
所以P(A)=6/8=3/4, P(B)=4/8=1/2, P(AB)=3/8
由此可知, P(AB)=3/8=P(A)P(B), 即A和B独立.
1 P( A1 A2 A3 ) 36 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
P( A1 A2 )
1 6
1 4
P( A1 )P( A2
)
P( A1 A3 )
1 36
1 18
P( A1 )P( A3 )
11 P( A2 A3 ) 12 18 P( A2 )P( A3 )
而对于n个事件, 它们相互独立的条件实际上含 有下列等式:
由定义可知, 的条件为
对三个相互独立事件A1,
A2,
A3,
需满足
P(A1A2)=P(A1)P(A2) P(A2A3)=P(A2)P(A3) P(A1A3)=P(A1)P(A3) P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
注意: 在表示A,B,C三事件独立时, 两组条件: 和
缺一不可, 互相不能替代.
则n 5.026
例三. 今有甲乙两名射手轮流对同一目标进行射 击. 甲命中的概率为p1, 乙命中的概率为p2. 甲 先射, 谁先命中谁得胜, 分别求甲乙两人获胜的 概率.
为什么呢???
我们举两个反例说明.
反例一:
推不出
例如: 若样本空间S {e1, e2 , e3 , e4 },令事件 A1 {e1, e2 }, A2 {e1, e3 }, A3 {e1, e4 }
反例二:
推不出
例 如: 若 样 本 空 间S {(i, j) : i, j 1,2, ,6},令 A1 {(i, j) : j 1,2,5}, A2 {(i, j) : j 4,5,6}, A3 {(i, j) : i j 9}
第五节 独立性
1. 两个事件的独立性 2. 多个事件的独立性 3. 试验的独立性
1. 两个事件的独立性
对随机试验中事件A,B, 通常P(A|B)≠P(A), 这表明 事件B的发生将影响事件A发生的概率.
但有时也会出现P(A|B)=P(A)的情形:
例如: 在一只装有m只红球, n只白球的盒中进行 两次放回式抽样. 令事件B={第一次摸出红球}, 事件A={第二次摸出红球}, 显然
AB独 立
P( A) P( A)P(B) P( A)(1 P(B) P( A)P(B )
这表明A与B独立. 类似可证, A与B独立, A与B独立.
事件独立性的判别可根据定义进行, 但有时也可以 根据直觉判断.
例如: 分别掷两枚硬币, 硬币甲出现正面与否和硬币 乙出现正面与否, 相互之间能有什么影响呢?不要 计算也能肯定它们是相互独立的!
P(A| B) n , mn
P( A) n mn
在这种情形下, P(A|B)=P(A), 我们称事件A和B独 立, 表明事件B的发生与否将不影响事件A的概率.
这时, 由乘法公式得: P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B), 故我们得到如下得独立性定义:
定义: 对随机试验中的任两个事件A,B, 若 P(AB)=P(A)P(B),
例二. 设有两门高射炮, 每一门击中飞机的概率都 是0.6, 求同时射击一发炮弹能击中飞机的概率. 若欲以99%的概率击中飞机, 求至少需要多少 门高射炮同时射击.
解: 令事件A={飞机被击中}, 事件Ai={第i门炮击中飞机}
P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2 )
你最好先作一下直觉的判断
解: (1)有两个小孩的家庭.
这时样本空间Ω={(男男),(男女),(女男),(女女)}. A={(男女),(女男)}. B={(男男),(男女),(女男)}. AB={(男女),(女男)}.
所以P(A)=1/2, P(B)=3/4, P(AB)=1/2
由此可知, P(AB)≠P(A)P(B), 即A和B不独立.
P(Ai1Ai2)=P(Ai1)P(Ai2)
共Cn2个等式
P(Ai1Ai2Ai3)=P(Ai1)P(Ai2)P(Ai3) …
共Cn3个等式
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) 共Cnn个等式
计有Cn2 Cn3 Cnn (11)n Cn0 Cn1 2n 1 n个等式
对于n个事件, 我们也有类似独立性性质的性质. 同时还有, 若A1,…An相互独立, 则其中任意m (2≤m<n)个事件(或其对立事件)都相互独立.
P( A1 ) P( A2 ) P( A1 )P( A2 ) 0.6 0.6 0.36 0.84
设有n门炮同时射击.
因A的情形很多, 我们考虑A的对立事件A
P( A) 1 P( A) 1 P( A1 A2 An )
独立性
1 P( A1 )P( A2 ) P( An ) 1 0.4n 0.99
2. 多个事件的独立性
对于有限个事件的独立性, 我们有下列相应的定义: 定义: 对随机试验中的n个事件A1,…, An, 若对任意k
(2≤k≤n) 及任意i1,…,ik,(1≤i1<i2<…<ik≤n)满足
P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),
则称事件Ai1 , Ai2 ,… ,Aik相互独立.
但并不是什么问题都是那么容易靠直觉判断的, 不 妨看下面的例一.
例一. 一个家庭中有若干个小孩, 假定生男孩和生 女孩是等可能的, 令 A={一个家庭中有男孩, 又有女孩} B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形, 讨论A与B的独立性: (1)家庭中有两个小孩, (2)家庭中有三个小孩.
则称事件A与B相互独立, 简称A与B独立; 否 则称A与B不独立或相依.
独立性的性质: 若事件A与B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也相互独立.
证 明: P( A) P( A Ω) P( A (B B ) P( AB AB ) P( AB) P( AB )
P( AB ) P( A) P( AB)
(2)有三个小孩的家庭. Ω={(男男男),(男男女),(男女男),(女男女)
(男女女),(女男女),(女女男),(女女女)}.
从而A含有6个样本点 , B含有4个样本点, AB含有3个样本点
所以P(A)=6/8=3/4, P(B)=4/8=1/2, P(AB)=3/8
由此可知, P(AB)=3/8=P(A)P(B), 即A和B独立.
1 P( A1 A2 A3 ) 36 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
P( A1 A2 )
1 6
1 4
P( A1 )P( A2
)
P( A1 A3 )
1 36
1 18
P( A1 )P( A3 )
11 P( A2 A3 ) 12 18 P( A2 )P( A3 )
而对于n个事件, 它们相互独立的条件实际上含 有下列等式:
由定义可知, 的条件为
对三个相互独立事件A1,
A2,
A3,
需满足
P(A1A2)=P(A1)P(A2) P(A2A3)=P(A2)P(A3) P(A1A3)=P(A1)P(A3) P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
注意: 在表示A,B,C三事件独立时, 两组条件: 和
缺一不可, 互相不能替代.
则n 5.026
例三. 今有甲乙两名射手轮流对同一目标进行射 击. 甲命中的概率为p1, 乙命中的概率为p2. 甲 先射, 谁先命中谁得胜, 分别求甲乙两人获胜的 概率.
为什么呢???
我们举两个反例说明.
反例一:
推不出
例如: 若样本空间S {e1, e2 , e3 , e4 },令事件 A1 {e1, e2 }, A2 {e1, e3 }, A3 {e1, e4 }
反例二:
推不出
例 如: 若 样 本 空 间S {(i, j) : i, j 1,2, ,6},令 A1 {(i, j) : j 1,2,5}, A2 {(i, j) : j 4,5,6}, A3 {(i, j) : i j 9}
第五节 独立性
1. 两个事件的独立性 2. 多个事件的独立性 3. 试验的独立性
1. 两个事件的独立性
对随机试验中事件A,B, 通常P(A|B)≠P(A), 这表明 事件B的发生将影响事件A发生的概率.
但有时也会出现P(A|B)=P(A)的情形:
例如: 在一只装有m只红球, n只白球的盒中进行 两次放回式抽样. 令事件B={第一次摸出红球}, 事件A={第二次摸出红球}, 显然
AB独 立
P( A) P( A)P(B) P( A)(1 P(B) P( A)P(B )
这表明A与B独立. 类似可证, A与B独立, A与B独立.
事件独立性的判别可根据定义进行, 但有时也可以 根据直觉判断.
例如: 分别掷两枚硬币, 硬币甲出现正面与否和硬币 乙出现正面与否, 相互之间能有什么影响呢?不要 计算也能肯定它们是相互独立的!
P(A| B) n , mn
P( A) n mn
在这种情形下, P(A|B)=P(A), 我们称事件A和B独 立, 表明事件B的发生与否将不影响事件A的概率.
这时, 由乘法公式得: P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B), 故我们得到如下得独立性定义:
定义: 对随机试验中的任两个事件A,B, 若 P(AB)=P(A)P(B),
例二. 设有两门高射炮, 每一门击中飞机的概率都 是0.6, 求同时射击一发炮弹能击中飞机的概率. 若欲以99%的概率击中飞机, 求至少需要多少 门高射炮同时射击.
解: 令事件A={飞机被击中}, 事件Ai={第i门炮击中飞机}
P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2 )
你最好先作一下直觉的判断
解: (1)有两个小孩的家庭.
这时样本空间Ω={(男男),(男女),(女男),(女女)}. A={(男女),(女男)}. B={(男男),(男女),(女男)}. AB={(男女),(女男)}.
所以P(A)=1/2, P(B)=3/4, P(AB)=1/2
由此可知, P(AB)≠P(A)P(B), 即A和B不独立.
P(Ai1Ai2)=P(Ai1)P(Ai2)
共Cn2个等式
P(Ai1Ai2Ai3)=P(Ai1)P(Ai2)P(Ai3) …
共Cn3个等式
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) 共Cnn个等式
计有Cn2 Cn3 Cnn (11)n Cn0 Cn1 2n 1 n个等式
对于n个事件, 我们也有类似独立性性质的性质. 同时还有, 若A1,…An相互独立, 则其中任意m (2≤m<n)个事件(或其对立事件)都相互独立.