二次函数总结及相关典型题目
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二次函数总结及相关典型题目
二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax
y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2
ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.
（2）函数2
ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最
低点；
②当0 高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的 解析式形式为2 ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数 c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a b ac k a b h 4422 -=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形 式：① 2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时， 开口向上；当0 a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别 地，y 轴记作直线0=x . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函 数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开 口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置 不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法： a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422 --，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为 (h ,k )，对称轴是直线h x =. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对 称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连 线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称 轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称 性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于 抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线 a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0 b （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的 位置. 当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交 于正半轴；③0 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成 立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则