五年级数学培优：容斥问题
五年级数学培优-容斥问题与盈亏问题
五年级数学培优-容斥问题与盈亏问题【专题分析】容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排斥原理，也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中去掉重复的部分.容斥原理：对于n个事物，如果采用两种白不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb+Nab.在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余.盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参与分配的人数.解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系.【名题精讲】例1、一个班有48人，老师问：“谁做完语文作业了？请举手.”有37人举手.又问：“谁做完数学作业了？请举手.”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.分析：如图所示，完成语文作业的有37，完成数学作业的有42人，一共有37+42=79人，多于全班人数.这是因为语文数学作业都完成的人数在统计做语文作业人数时计算过一次，在统计做数学作业人数时有计算了一次，这样就多算了一次.所以，这个班语文、数学作业都完成的人数：78-48=31人.37+42-48=31（人）答：这个班语文、数学作业都完成的人有31人.想一想下列算式的道理：1、37-（48-42）=31（人）2、42-（48-37）=31（人）做完语文作业的有37人.做完数学作业的有42人.？人48人五年级有122名学生参加语文数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文优秀的有65人，数学优秀的有87人，语文数学都优秀的有多少人？例2、某班有36个同学在一次测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两题都答得不对？分析：如图所示，已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25-15=10人.又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10+23=33人.所以，两题都答得不对的有36-33=3人.36人五（1）班有40个同学，其中有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了.那么，有多少人两个小组都没有参加？例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56-25=31人，再求出两科竞赛同时参加的人数：28+27-31=24人.28+27-（56-25）=24（人）答：同时参加语文、数学两科竞赛的有24人.一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的友谊18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例4、一个植树小组植树.如果每人栽5棵，还剩14棵，如果每人栽7棵，就缺4棵.这个植树小组多少人，一共有多少棵树？分析：根据题意，植树人数和棵树是不变的，比较两种分配方式，结果相差14+4=18棵树，这时因为第二种方案每人多植树2棵.所以，小组有18 ÷2=9人.一共有5×9+17=59棵树.（14+4）÷（7-5）=9（人）5×9+17=59（棵）答：这个小组有9人，一共植树59棵.一个幼儿园把一些积木分给小朋友.如果每人分2个，则剩20个；如果每人分3个，则差40个，幼儿园有多少小朋友？一共有多少个积木？例5、学校将一批铅笔奖给三好学生.如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支.三好学生有多少人？铅笔有多少支？分析：这是两亏的问题.由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变的.比较两种分配方案，，结果相差45-7=38支.这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9-7=2支.所以，三好学生有38÷2=19人，铅笔有19×7-7=126支.（45-7）×(9-7)=19（人）19×7-7=126（支）答：三好学生有19人，铅笔有126支.将月季花插入一些花瓶中.如果每瓶差8朵，则缺少15朵；如果每瓶改插6朵，则缺少1朵.求花瓶的个数和月季花的朵数？例6、学校给一批新入学的小时分配宿舍.如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间.求学生宿舍有多 少间？住宿学生有多少人？分析：把“每个房间住14人，则空出4个房间”转化为“每个房间住 14人，则少14×4=56人”，比较两种分配方案，结果相差34+56=90人，每个房间相差14-12=2人，所以，房间数为90÷2=45间，学生数为：12× 45+34=574人.（34+14×4）÷（14-12）=45（间）12×45+34=574（人）答：学生宿舍有45间，住宿学生有574人.育才小学学生乘汽车去春游.如果每车坐65人，则有15人不能乘车； 如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车.问一共有几辆车？有多少学生？【实战演练】1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹 电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，这个文艺组一共有 多少人？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？练习十一二3、一个俱乐部有103人，其中会下象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？4、学校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位.问宿舍有多少间？学生有多少人？5、老师给美术小组的同学分发图画纸.如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张.美术小组有多少学生？老师一共有多少图画纸？6、育才小学学生乘汽车去春游.如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车.问一共有多少辆车，一共有多少人？。
五年级奥数：用例题讲解【容斥问题】的解题方法
五年级奥数：用例题讲解【容斥问题】的解题方法
容斥问题是指在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。
例题
五年级（2）班有45人，其中有35人参加了美术兴趣小组，有21人参加了体育兴趣小组，并且每个人至少参加了一个兴趣小组。
那么，两个兴趣小组都参加的有多少人？
解题方法一
分析
因为：
两个兴趣小组的总人数是：35+21=56（人），五年级（2）班只有45人，就出现了（多出了）：56-45=11（人）。
所以：
这个多出的11人就是35和21重叠（重复）的部分。
我们在计算时既不能重复，也不能遗漏。
这个题目里重复的部分（11人）就是两个兴趣小组都参加的人数。
列式
（1）35+21=56（人）
（2）56-45=11（人）
答：两个兴趣小组都参加的有11人
解题方法二
1、我们来看下面的图解法：
2、根据题意以及图解，可以得出：
（1）35+21=56（人）
（2）56-45=11（人）
3、答：两个兴趣小组都参加的人数是11人。
练习题
1、五年级（1）班有46人，参加音乐兴趣小组的有30人，参加舞蹈兴趣小组的有25人，并且每个人至少参加了一个兴趣小组。
你知
道两个小组都参加的有多少人吗？
2、1-500这500个数字中，能被5或7整除的数一共有多少个？
（附练习题答案：第1题9人；第2题157个）。
五年级数学培优之容斥定理
容斥定理例1.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.例2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),.例3. 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
例6 某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？例7对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则有既喜欢看球赛又喜欢看电影的有多少人?A1. 某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人A.57B.73C.130D.692.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.3.在100个学生要么对音乐有兴趣要么对体育有兴趣,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人有人4. 电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人？5 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。
问两科都在90分以上的有多少人?6 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?B7、某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?8、某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人;同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人;三个小组都参加的有2人。
容斥问题应用题解题技巧及公式
容斥问题应用题解题技巧及公式容斥原理是一种组合数学中常用的计数方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。
常见的应用有如下几种情况：
1.求集合的并：当求两个集合的并集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。
公式为|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，其中|A∪B|表示A和B的并集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∩B|表示A和B的交集大小。
2.求集合的交：当求两个集合的交集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。
公式为|A∩B| = |A| + |B| - |A∪B|，其中|A∩B|表示A和B的交集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∪B|表示A和B的并集大小。
3.求不满足某个条件的情况：当求满足某个条件的情况时，可以使用容斥原理来求不满足该条件的情况。
假设有n个事件，A1到An，分别表示这些事件，那么不满足任何一个事件的情况数目为S =
∑|Ai| - ∑|Ai∩Aj| + ∑|Ai∩Aj∩Ak| - ... +/-
|A1∩A2∩...∩An|。
其中|Ai|表示事件Ai发生的情况数目，
|Ai∩Aj|表示事件Ai和Aj同时发生的情况数目，依此类推。
在应用容斥原理解题时，需要注意对问题进行合理的划分，避免出现重复计数或者漏计的情况。
同时，需要对问题进行适当的拓展和转化，以便更好地利用容斥原理解决更复杂的计数问题。
苏教版五年级数学下册奥数培优 第15讲 容斥原理
第15讲容斥原理知识概述求和问题，通常只要直接相加就可以直接得出答案。
例如:五(1)班有男生24人，女生26人，五(1)班一共有学生多少人?24+26＝50(人)但是，有的求和问题，却不能直接求出答案。
例如:五(2)班一次期末测验中，语文得“优”的有24人，数学得“优”的有26人・两门都得“优”的有10人，五(2)班共有学生多少人?很显然，求全班的学生人数，不能用24和26直接相加，把24和26相加时，把语文、数学都得“优”的10人多加了一次，因此全班人数应当是: 24+26-10＝40(人)像这道有重复包含情况的数学题，就是包含与排除问题，在解题时应考虑排除由于重复、相互包含而引起的多加的数。
如图，两张圆纸的面积分别为A和B，它们相互包含的部分的面积为C。
求覆盖在桌面上的面积。
因为:A＝D+C，B＝C+E，所以A＋B＝D＋C＋C＋ED＋C＋E＝A＋B－C也就是说，A和B的覆盖面积等于它们的面积之和减去它们相互包含部分的面积例1、一次数学竞赛，只有两道题。
结果做对第1题的有24人，做对第2题的有36人，两道题都做对的有8人，参加竞赛的有多少人?练习1、1、五(3)班学生在期中考试时，语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都得100分的有6人，五(3)班参加语文、数学考试中至少有1门得100分的共有多少人?2、五年级学生到书店去买书，每个人都买了书，其中买语文书的有30人，买数学书的有26人，语文、数学两种书都买的有12人，五年级学生共有多少人?3、大华纺织厂的女工每人至少参加业余唱歌、舞蹈组中的一个组，有30人参加唱歌组，有36人参加舞蹈组，两个组都参加的有10人，大华纺织厂有女工多少人?例2、一张长10厘米、宽5厘米的长方形纸片，一张面积是40平方厘米的圆形纸片，两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米。
求两张纸片重合部分的面积是多少平方厘米。
练习2、1、五(1)班有50人，参加数学课外兴趣小组的有35人，参加语文课外兴趣小组的有30人，每人至少参加数学、语文中的一个组，问两个组都参加的有几人？2、有长10厘米、宽8厘米的长方形与边长5厘米的正方形如图放在桌面上(阴影部分是两个图形的重叠部分)。
五年级奥数题及答案：容斥原理_题型归纳
五年级奥数题及答案：容斥原理_题型归纳
五年级奥数题及答案：容斥原理_题型归纳
容斥原理
有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。问绳子共被剪成了多少段。
解答：1-180中，3的倍数有60个，4的倍数有45个，而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数，这样的数有18012=15个。注意到180厘米处无法标上记号，所标记记号有：(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，绳子被剪成90段。
小学数学培优之容斥原理
容斥原理1.志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学而思各学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？2.火星小学四年级有45人参加了慰问坚守在青年宫、防洪纪念塔、九站三个地段抗洪的解放军叔叔的活动，去过青年宫慰问的有19人，去过防洪纪念塔的有18人，去过九站的有16人；去过青年宫、防洪纪念塔两处的有7人，去过青年宫、九站两处的有6人，去过防洪纪念塔、九站两处的有5人；有3人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？3.某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？4.五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。
5.在1到2004的所有自然数中，既不是2的倍数，也不是3、5的倍数的数有多少个？6.分母是385的最简真分数有多少个？7.有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3， (2000)然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？8.图书室有100本书，借阅图书者需要在图书上签名。
五年级数学思维容斥原理专题训练
五年级数学思维容斥原理专题训练常规训练1.一次数学课有两道课堂练习题，全班 36 人中，做对第一道题的有28 人，做对第二道题的有 16 人，每人至少做对一道，问:两道题都做对的有几人？2.某校五年级共有六个班,除一班外共有 146名学生,除二班外共有150名学生二班的共有 60名。
问:五年级一班有多少名学生？3.全班 36名同学参加校庆，每人不是持彩旗，就是举鲜花。
现有 8名男同学持彩旗,25名举鲜花。
如果全班有 17 名女同学问她们中有多少名举鲜花？4.某班 28 名学生，星期一有 16 名学生迟到，星期二有 13 名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果在这三天中每人至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少名？5.100 亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号分别为 1，2，3，+··100。
将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下;再将编号为3 的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数有多少盏？6.某年级共有 118 人，每人至少参加了一个课外小组。
其中参加美术小组的有56 人，参加舞蹈小组的有 45 人，参加航模小组的有 88 人，同时参加美术和舞蹈两个小组的有 21人，同时参加舞蹈和航模两个小组的有 18 人，同时参加美术和航模两个小组的有 35 人，那么三个小组都参加的有多少人？7.五(1)班的全体学生进行短跑、跳高、跳远三个项目的测试，全班每人至少有一个项目达到了优秀。
其中短跑达到优秀的有 18 人、跳高达到优秀的有 16 人、跳远达到优秀的有 20 人、短跑、跳高都达到优秀的有9人、跳高跳远都达到优秀的有 8 人、短跑、跳远都达到优秀的有 10 人，三个项目都达到优秀的有6人。
请问五(1)班共有多少人？8.如图所示，三个圆纸片叠在一起，每个纸片的面积都是 60 平方厘米。
圆纸片A与 B、B与C、C与A 的重叠部分的面积分别为14 平方厘米，7平方厘米，10 平方厘米。
小学数学典型应用题22：容斥问题(含解析)
小学数学典型应用题22：容斥问题（含解析）容斥问题【含义】容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。
【数量关系】★A∪B = A+B - A∩B★A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C解题思路和方法先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
可画文氏（韦恩）图来解题。
例1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。
钉成的木板长_____ 厘米。
解：1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。
解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。
2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。
例2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（）厘米。
A、2B、4C、8D、16解：1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。
孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考.没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。
2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。
选择B。
例3：某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀.下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？解：根据题意画图2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。
五年级容斥原理
容—包括 斥—排除
排队问题：从前面数，从后面数， 丽丽都排第6，这一排共有几个 人？
6＋6－1=11（人）
答：共有11人。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重 复计数，应从它们的和中排除重复部分。
原理1
设A、B是两类有重叠部分的量，如图，A 与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类的 总量可以用下面的方法计算： 总量=A+B-ab
答：乒乓球组都不会参加的有106人。
练习
全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人， 会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒 乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球 的有多少人？
练习时间：容斥原理
探索之旅
1、五年级96名学生都订了刊物，有64人订了 少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都 订的有多少人？
例 3：
有50个学生，他们穿的裤子是白色或黑色的，上 衣是蓝色的或红色的。若有14人穿的是蓝色上衣、白 裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上 衣、黑裤子的学生有多少人？
操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18 名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名，跳绳 的女生有多少名？
例4 ： 1、罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明 和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳 和赵刚共有34本。问：他们三人各有几本书？
语文 优秀 的人 数： 65人 两科 都优 秀的 人数： 30 数学 优秀 的人 数： 87人
65＋87－30=122（人）
答：五年级一共有122人。
？人
练习： 1 、五年级学生参加了数学和语文考试，其中语文 得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得 100 分的有 26 人，两门都得 100 分的有 8 人，求这个 班共有多少人？
五年级数学 --- 容斥原理(一)
【例 1】森林里住着 100 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃 白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的 2 倍， 而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 3 倍。它们 当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？
【例 2】有 100 位旅客，其中有 10 人既不懂英语，又不懂俄语，有 75 人懂英语，有 83 人懂俄语。那么这 100 位旅客中既懂英语又懂俄语的 有多少人。
【例 3】在7 整除的数有 个； ⑵能同时被 3，5，7 整除的有 个； ⑶能被 3 整除，但不能被 5 和 7 整除的有 ⑷能被 5 和 7 整除，但不能被 3 整除的有
个； 个。
【例 4】体育课上，60 名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左 到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是 4 的倍数的同 学向后转，接着又让所报的数是 5 的倍数的同学向后转，最后让所报 的数是 6 的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人。 【例 5】中国田径队的 40 名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男 运动员有 20 名，训练长跑的运动员有 15 名，训练竞走的女运动员有 8 名，那么训练长跑的男运动员有多少名？
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容斥问题 题型
容斥问题题型讲解
容斥问题，也被称为集合问题，是一种在数学和计算机科学中常见的题型。
它主要考察了我们对集合运算的理解和运用。
容斥问题的关键在于理解“包含”和“排斥”的含义，并根据题目条件正确使用集合的运算性质。
容斥问题一般以“两个集合A和B的并集，与集合C的交集，等于集合D”的形式出现。
在解题过程中，我们需要先明确各个集合的元素，然后根据集合的运算性质进行计算。
对于容斥问题，我们需要理解以下两个关键点：
1.包含：当一个元素属于某个集合时，它也属于该集合的并集。
2.排斥：当一个元素同时属于两个集合时，它只会被计算一次，以避免重
复计数。
在解题过程中，我们通常需要使用以下公式：
|A ∪ B ∩ C| = |A ∪ B| - |B ∩ C| + |A ∩ C|
其中，|A ∪ B|表示集合A和B的并集的元素个数，|B ∩ C|表示集合B 和C的交集的元素个数，|A ∩ C|表示集合A和C的交集的元素个数。
这个公式是基于集合的运算性质推导出来的，可以帮助我们快速解决容斥问题。
在实际解题过程中，我们还需要注意以下几点：
1.仔细阅读题目，理解题意，明确各个集合的元素。
2.根据题目条件，选择合适的公式进行计算。
3.在计算过程中，要注意避免重复计数和遗漏。
4.对于复杂的问题，可以使用图示或表格来帮助理解和计算。
通过以上讲解和示例，相信大家已经对容斥问题有了更深入的理解。
在解决这类问题时，我们要灵活运用集合的运算性质，仔细分析题目条件，并选择合适的方法进行计算。
五年级奥数容斥问
五年级奥数容斥问题：容斥原理（1）如果被计数的事物有a、b两类，那么，a类或b类元素个数= a类元素个数+b类元素个数—既是a类又是b类的元素个数。
容斥原理（2）如果被计数的事物有a、b、c三类，那么，a类或b类或c类元素个数= a类元素个数+b类元素个数+c类元素个数—既是a类又是b类的元素个数—既是a类又是c类的元素个数—既是b类又是c类的元素个数+既是a类又是b类而且是c类的元素个数1、艺术小学举行学生画展，其中18幅画不是六年级的，20幅画不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画。
问其他年级展出多少幅？分析：18幅不是六年级，那就是五年级和其他年级的，20幅不是五年级，就是六年级和其他年级，已知五六年级展出22幅，所以其他年级展出就是八幅。
（18+20-22）/2=8（幅）2、某地区100个外语教师中，每人至少懂英语和日语中的一种语言。
已知懂英语的75人，懂日语的有45人。
问只懂英语的有几人？分析；两种语言都懂的人为；懂英语的和懂日语和减外语教师总数。
只懂英语的就是75减两种都懂得了。
75+45-100=20（人）75-20=55（人）3、在1至100的整数中,能被2整除或能被3整除的数共有几个?分析：100中，能被2整除的有100/2=50个，能被3整除的有100/3=33个，同时能被2和3整除的100/6=16个，注意这16个包括在能被2和3整除的，要去掉。
就是100内能被或3整除的。
50+33-16=67个4、全班50人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人，两样都不会的有多少人？分析：骑自行车：27人会滑旱冰：15人都会：4人都不会的：50-（27+15-4）=12人画个图就可以看出来了，4个人是多加的，所以要减去。
5、六年级有52人，其中喜欢绘画的36人，喜欢书法的有42人，喜欢唱歌的有48人，喜欢跳舞的有34人，这个班最少有多少学生对这四项活动都喜欢？分析：52-36=16个人不喜欢绘画，52-42=10个人不喜欢书法，52-48=4个人不喜欢唱歌，52-34=18个人不喜欢跳舞。
五年级数学思维训练——容斥问题
容斥问题知识导航在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
关于这类的问题就称为容斥问题。
由于容斥原理用公式解答容斥问题涉及到集合，学生较难理解，故本节主要教学生画文氏图来解答相关问题，生动形象，容易理解又富趣味性。
精典例题例1：五年甲班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？。
思路点拨根据题目，画个圆圈写上无，整圈代表了甲班参加无线电小组的人数。
同样的，画个圆圈写上航，代表了甲班参加航模小组的人数。
两个圆圈重叠部分代表了两组都参加的人数。
把17人和14人相加得31人，怎么人数比原来参加的总数26人还多出了5个人？原来那5个人就是重叠部分被重复计算了的人数，也就是两组都参加的有5人。
模仿练习50名同学参加兴趣小组，参加科技组的有40人，参加数奥数组的有28人，两个兴趣小组都参加的有几人？例2：五年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？思路点拨同样把已知条件画图来表示，图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。
（人）模仿练习五年乙班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？例3：1到200中，能同时被3跟5整除的数共有多少个？思路点拨此题要先求出1到200中被3整除的有几个，被5整除的有几个，再画文氏图求解。
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五年级数学培优：容斥问题
１、甲乙两数的和是125，乙丙两数的和是143，丙丁两数的和是136，求甲、丁两数的和。
２、将边长分别为3厘米和4厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图），两块正方
形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？
3
厘 1.5厘米
米
4
厘
米
３、一个生产车间，上半月完成全月计划的53，下半月完成全月计划的7
4，这个车间本月份完成的任务超过了全月计划的几分之几？
４、五（7）班有57名学生，订阅《小学生数学报》的有14人，订阅《海安日报·教育专
刊》的有9人，这两种报纸都订的有6人。
①订阅两种报纸的总人数是多少？②全班两种报纸都没订的有多少人？
５、五⑻班学生中，会骑车的有38人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有6人，已
知全班两样都不会的有8人，求全班共多少人？
６、从期末成绩统计表上可以看出：数学成绩在90分以上的有25人，语文成绩在90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，求两科都在90分以上的人数。
７、A、B两地相距90千米，甲、乙两人驾车从A、B两地同时相向开出。
甲每小时行40千米，乙每小时行50千米，相遇后他们继续向前行驶，甲、乙两人分别穿过B、A两地，他们共行3小时后停下来，这时，甲、乙两人相距多少千米？
８、在300名同学中，能唱歌的有180人，善跳舞的有98人，其中能歌善舞的有50人，那么不能唱歌又不会跳舞的有多少人？
９、在前1000个自然数中，能被5或13整除的数有多少个？
10、学校运动会上，参加田赛的有120名男生、80名女生，参加径赛的有120名女生、80
名男生，已知全校共有260名学生参加了运动会，其中有70名男生田赛和径赛都参加了，那么只参加田赛而没有参加径赛的女生有多少人？
11、在海陵小学举行的各年级都参加的一次书法比赛中，五年级和六年级共有20人获奖，
在获奖者中有16人不是六年级的，有12人不是五年级的，该书法比赛获奖的总人数是多少？
12、有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一个记号，每4厘米也作一个记号，
共做多少个记号？然后将作有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？。