高考数学一轮复习 44课时作业

高考数学一轮复习 44课时作业

一、选择题

1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *

)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )

A.1

3n ＋2

B.13n ＋13n ＋1

C.

13n ＋1＋1

3n ＋2

D.

13n ＋13n ＋1＋13n ＋2

答案 D

2．已知1＋2×3＋3×32

＋4×33

＋…＋n ×3

n －1

＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *

都成立，则a 、

b 、

c 的值为( )

A ．a ＝12，b ＝c ＝1

4

B ．a ＝b ＝c ＝1

4

C ．a ＝0，b ＝c ＝1

4

D ．不存在这样的a 、b 、c

答案 A

解析 ∵等式对一切n ∈N *

均成立， ∴n ＝1,2,3时等式成立，

即⎩⎪⎨⎪⎧

1＝3a －b ＋c ，1＋2×3＝32

2a －b ＋c ，1＋2×3＋3×32＝333a －b ＋c ，

整理得⎩⎪⎨⎪

⎧

3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，

81a －27b ＋c ＝34，

解得a ＝12，b ＝c ＝1

4

.

3．在数列{a n }中，a 1＝1

3，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )

A.1

n －1

n ＋1

B.1

2n

2n ＋1

C.

1

2n －1

2n ＋1

D.

1

2n ＋1

2n ＋2

答案 C

解析 由a 1＝1

3，S n ＝n (2n －1)a n ，

得S 2＝2(2×2－1)a n ，即a 1＋a 2＝6a 2， ∴a 2＝115＝1

3×5

，S 3＝3(2×3－1)a 3，

即13＋1

15

＋a 3＝15a 3. ∴a 3＝135＝15×7，a 4＝1

7×9.故选C.

二、填空题

4．n 为正奇数时，求证：x n ＋y n

被x ＋y 整除，当第二步假设n ＝2k －1命题为真时，进而需证n ＝________，命题为真．

答案 2k ＋1 三、解答题

5．用数学归纳法证明：当n 是不小于5的自然数时，总有2n >n 2

成立． 解析 ①当n ＝5时，25

>52

，结论成立；

②假设当n ＝k (k ∈N *

，k ≥5)时，结论成立，即2k >k 2

. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝2

k ＋1

＝2·2k >2·k 2＝(k ＋1)2＋(k 2－2k －1)＝(k ＋1)2

＋(k －1

－2)(k －1＋2)>(k ＋1)2＝右边．

也就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．

∴由①②可知，不等式2n >n 2对满足n ∈N *

，n ≥5时的n 恒成立．

6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2

＝a n S n . (1)求S 1，S 2，S 3；

(2)猜想S n 的表达式并证明． 解析 (1)由(S 1－1)2＝S 2

1得：S 1＝12；

由(S 2－1)2

＝(S 2－S 1)S 2得：S 2＝23；

由(S 3－1)2

＝(S 3－S 2)S 3得：S 3＝34.

(2)猜想：S n ＝

n

n ＋1

.

证明：①当n ＝1时，显然成立； ②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *

)时，S k ＝

k

k ＋1

成立．

则当n ＝k ＋1时，由(S k ＋1－1)2

＝a k ＋1S k ＋1得：S k ＋1＝12－S k ＝

12－

k

k ＋1

＝

k ＋1

k ＋2

， 从而n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综合①②得结论成立．

7．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比

数列(n ∈N *

)．

(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：

1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <5

12

. 解析 (1)由条件得 2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2

n ＋1＝b n b n ＋1.

由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2

. 用数学归纳法证明：

①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即

a k ＝k (k ＋1)，

b k ＝(k ＋1)2.那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1

b k

＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．

由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2

对一切正整数都成立． (2)

1a 1＋b 1＝16<5

12

. n ≥2时，由(1)知

a n ＋

b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)·n .

故

1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1

a n ＋

b n

<16＋12(12×3＋13×4＋…＋1

n

n ＋1

) ＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1) ＝16＋12(12－1n ＋1)<16＋14＝512

. 8．已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝1

2a n ·(4－a n )，(n ∈N)．

证明：a n

证明 解法一 用数学归纳法证明： (1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝3

2，

所以a 0

(2)假设n ＝k 时命题成立，即a k －1