偏微分方程理论的归纳与总结

偏微分方程基本理论的归纳与总结



偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象.

根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是：

（1） 线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法；

（2） 椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段；

（3） 抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计；

（4） 双曲型方程,对应于Galerkin方法；

（5） 一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法.

从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类：

（1） 稳态方程（非时间演化方程）；

（2） 耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然

运动.相变与混沌是它们的主要内容；

（3） 保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输

入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征；

（4） 守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可

视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制.

下面具体来介绍三类经典方程：

三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论.

关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法.

关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论.

具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理

；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性.

椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空