2019分类讨论问题专题

第36讲 分类讨论型问题

(建议该讲放第21讲后教学

)

类型一 由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论

例1(2016·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()

A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2

【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．

1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．

(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.

(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()

A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1

类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论

例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.

根据这个购房方案：

(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；

(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；

(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．

【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．

2．(1)在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1

x 的图象有唯一公共点，

若直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1

x

的图象有2个公共点，则b 的取值范围是( )

A ．b>2

B ．－2

C ．b>2或b<－2

D ．b<－2 (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t(秒)，下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是( )

3．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝4

3x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段

OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．

类型三 由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论

例3 (2017·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx(k ＞0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1x 的图

象于点C ，连结AC.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．

【解后感悟】解题的关键是用k 表示点A 、B 、C 的坐标，再进行分类讨论．

4．(1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，3)，M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．8

(2) (2016·北流模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝6，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使△ABC 和△QPA 全等，则AP ＝ .

(3) (2016·临淄模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，且CN ＝1

4CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的

三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．

类型四由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4(2017·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C 同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？

(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？

(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．

5．(1)(2016·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D，使这四个点构成平行四边形，则D点坐标为.

(2)(2016·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t(s)，当t＝s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

(3) (2016·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝1

2x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴

上，点D 在函数y ＝1

2x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满

足条件的D 点的坐标 .

(4)(2016·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .

类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论

例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．

(1)求PQ 的长；

(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？

【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．

6．(2016·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当

⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .