第2章 质点组力学

则质点系总外势能：
, 可引入外势能
对于第 i 个质点与第 j 个质点间的一对保守内力, 可引入 内势能 。
则质点系总内势能
把第 i 个质点所受非保守外力所做元功记为 把第个 i 质点与第 个 j 质点间的一对非保守内力所做元功 记为 ，则由质点系的动能定理可导出：
上式称为质点系的机械能定理。 定义质点系总势能： 总机械能：
质点间有内力相互作用是构成质点系的条件。
质点系内的质点是在外力与内力的共同作用下运动的； 对质点系内各质点的运动来说, 内力与外力有等同的作用。 质点系内一对对的内力造成了各质点间动量与角动量 的等量转移, 内力对质点系的运动至关重要 质点的动量 和角动量 分别从线运动和角运动的 角度描述质点的运动。质点的动量定理 和角动量 定理 指出, 力是质点动量变化率的度量, 力矩是质 点角动量变化率的度量。
对上式求时间导数可得：
由于 则：
由y 轴方向的动量定理
及y2=常量和
即可求出
用质点系动量定理解决问题可使未知内力不在方程中 出现, 因而使求解得以简化。
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
一、质点系的角动量 1. 质点系角动量的定义 质点系对O点的总角动量 对O点角动量的矢量和： 定义为质点系内每个质点
式中
为质点系在质心系中对质心的角动量,
为质点系所受外力对质心力矩的矢量和。与惯性系中对固 定点的角动量定理形式相同, 均与内力矩无关。 证明: 由于各质点所受惯性力 量和 对质心力矩的矢 因此惯性力不在
方程中出现, 定理有与惯性系内定理相同的形式。 2. 质点系在质心系中对质心的角动量守恒定律 在某一过程中 则 常矢量 质点系在质心系中对过质心固定方向轴的角动量定理 （略）
证明:
由于 则 2. 质点系对固定轴的角动量定理 在固定 则 3. 质点系的角动量守恒定律 轴上取固定点O , 用 点乘
（1） 在某一过程中, 质点系所受对固定点O 的外力矩 的矢量和恒为零, 即 则在该过程中质点系对固定 点O 的角动量守恒，
常矢量 (2) 在某过程中, 质点系所受对固定 轴的外力矩之 和恒为零, 即 则在该过程中点系对固定 轴的角 动量守恒。 常量 三、质点系在质心系中对质心的角动量定理 1. 质点系在质心系中对质心的角动量定理为
对质量连续分布的物体, 上式中的求和应改为积分。
2. 质心相对质点系的位置与各质点质量及分布情况 有关, 与参考系及参考点的选取无关。 (1) 两质点的质心在两质点的连线上, 到两质点的距离 与质点质量成反比。 (2) 两质点系的质心即为分别位于两个质点系质心、 质量分别为两质点系总质量的两个假想质点的质心。 (3) 质量均匀分布的物体, 其质心与几何中心重合 (4) 若重力加速度为常矢量, 则质心与重心重合 3. 质点系总动量的另一等价表述：
第二章 质点系力学 §2.1 质点系
由多个有相互作用的质点所构成的力学体系。 质点系模型概括了宇宙中各种各样的客体。 一、质点系动力学的依据 依然是牛顿力学的基本出发点——牛顿 运动定律。 质点系内各质点间的关联遵从牛顿第三定律, 牛顿第三定 律显示了它作为牛顿力学基本出发点 的重要作用。
二、质点系的内力和外力 当质点系构成后, 就有内、外之分；质点系内质点所 受的力也就有了内力和外力之分。 三、质点系动力学的研究方法 研究质点系动力学问题有两种方法。一种方法是对质 点系内每一个质点建立其运动微分方程：
x
选逆时针为正方向
oБайду номын сангаас
绳对质点组的力为内力
注：也可用对通过滑轮中 心水平轴的动量矩定理
§2.4 动能定理与机械能守恒定律
一、质点系的动能
1. 质点系动能的定义
质点系的总动能 T 定义为质点系内每个质点动能之 和, 即： 2. 柯尼希定理
式中 Tc为位于质心的假想质点的动能, T’为质点系在质心 系中的动能。
若：
则这一对内力为保守内力 与质点力学中讨论的外势能 V(e) 区分, 一对内保守力 的势能记为V (i) , 称为内势能。 外势能是对势能的一种理解方式, 是简化功能关系的 一种方法。外势能的概念又必须存在, 否则完整的质点动 力学就不能建立。
3. 质点系的机械能定理和机械能守恒定律. 对于第 i 个质点所受保守外力
根据牛顿第三定律, 一对内力大小相等、 方向相反、 沿相互作用两质点的连线方向。 四、质点系内所有质点所受全部内力矢量和为零
显然
不可称为合内力
五、对任意参考点 , 质点系内所有质点所受全部内力矩 的矢量和为零
不失一般性地设这一对内力 Fij 和F ji
为引力
显然
六、 质点系内所受全部内力做功之和一般不为零
解： 环心即为圆环质心, 建立质心系 如图。则 ：
二、质点系在惯性系中对固定点和固定轴的角动量定理 1. 质点系对固定点的角动量定理
质点系对固定点O的角动量定理表述为: 在惯性系中, 质点系对固定点O的角动量的时间变化率等于质点系所受 对O点的外力矩的矢量和, 与内力矩无关, 即：
式中
为第个 i 点所受合外力。
五、质心运动定理 质心运动定理是质点系动量定理的另一种等价表述。 建立质心运动定律的基本思想是把质点系“假想质点化”
令质点系总质量
则
令
定义位于 矢端的几何点为质心, 称 为质心的位置 矢量、 为质心速度、 为质心加速度, 则
为质心运动定理。 1. 是质点的位置矢量 值， 直角坐标分量为： 以其质量 为权重的平均
m11 m22 0
km1m2 1 1 km1m2 2 2 0 m11 m22 a a 2 2 2
4. 质点系动量守恒定律的另一种等价的表述形式: 若 在某一过程中, 质点系所受外力的矢量和恒等于零, 即：
则在该过程中点系 心速度等于常矢量, 即 。
5. 质心和质心运动定理在从整体上研究质点系的运 动中起着重要作用。 六、 质心系 我们定义原点位于质心, 随质 心平动的坐标系 Cx’ y’ z’ 为质心 系, 一般情况下质心系 是非惯性系
进一步考虑由 的质点系, 则：
和
两个质点构成的, 不受外力
上述二式指出动量和角动量都既不会凭空产生，亦不 会凭空消失, 它们只是在不同质点间流动。 力描述了动量的流动, 力矩描述了角动量的流动。于 是我们可以认为力就是动量“流速率”(单位时间的流量), 力矩就是角动量“流速率”, 由此内力的作用得到了形象 地 述。
证明
因：
故：
三、质点系的动量守恒定律 作为质点系动量定理的推论，质点系的动量守恒定律 表述为： 若在某一过程中，质点系所受外力矢量和恒为零 即：
则在该过程中质点系的总动量守恒
四、质点系沿固定方向的动量定理和动量守恒定律 设 为表示固定方向的单位矢量, 用 点乘
则得到： 若在某一过程中，质点系所受的外力沿 和恒为零，即： 则在该过程中质点系总动 量沿 方向的分量守恒： 方向的分量
( e ) (i ) F F mi r i 1,2,, n i i i
共 3n个标量的二阶微分方程，内力使得各质点的运 动相互关联, 必须联立求解(计算机数值解)。 另一种方法是从整体上对质点系进行研 究, 讨论质 点系存在哪些普遍规律。
一个内力及其反作用力都是质点系内质点所受的力, 所以内力成对出现。
证明:
质点系内第i 个质点的动能定理为：
对 n 个质点求和, 则：
质点系动能的微分与内力元功有关。 由于刚体内力做功之和为零, 即 动能的微分与内力元功无关。 2. 内势能 从严格意义上讲动能与势能的转化, 要用一对保守力 做功之和来度量 所以刚体
由于一对内力所做元功之和, 已归结为其中一个力在其受 力质点相对另一质点的相对位移中所做元功, 即：
质点系对过O点的
轴的角动量Ll定义为：
2. 一个重要关系式
证明: 由图显见 注意到质心系为平动参考系, 则 故：
质心的位置矢量定义式对任何坐标系均成立
由于： 于是：
例题 3 半径为R ，质量为 m 的均匀细圆环, 在Oxy 面 内沿 x 轴做无滑滚动, 环心速度为 , 求圆环对O点的角 动量。
质点系的机械能守恒定律表述为: 若在某一过程中, 质点系所受非保守外力均恒不做功：
每一对内非保守力做功之和均恒为零：
则在该过程中质点系的总机械能守恒。 质点系机械能守恒说明, 在运动过程中质点系的动能 与势能可以相互转化, 但没有机械运动与其他形式的运动 之间的能量转化。
三、质点系在质心系中的动能定理 质点系在质心系中的动能定理为：
例题4 质量为m 、长度为 l 的匀质杆被抛出后在竖 直平面内运动。已知抛出时质心速度为 角速度为 试大致分析杆的运动。忽略空气阻力。
解: 由质心运动定理可知, 质 心 C 沿抛物线, 做初速为 的抛体 运动。 杆所受外力只有重力 作用于质心 C , 对质心 C 力矩为零,
即 。根据质点系在质心系中对质心的角动量守恒 定律可知 常矢量, 即 , 可见运动中 角速度ω保持不变
一对内力做功之和为零的条件为:
由于刚体内任意两个质点间的距离均保持不 变, 所以 刚体内力做功之和为零。 例题 1 可在水平面上滑动的尖劈 2上, 有一可 沿斜面 以相对尖劈的速度 v ' 滑动的重物1. 以重物和尖劈为质点 系, 试分析两者间内力做功情况。
解： 把重物和尖劈间的 一对内力沿斜面和垂直斜面 方向分解。
显然在质心系中质心速度恒为零, 心系中，质点系的总动量恒为零
, 所以在质
例题 2 质量为m的滑块 1, 放在质量为m0倾角为α的 直角尖劈2上, 尖劈放在光滑水平面上, 初始时滑块与尖劈 均静止, 在重力作用下, 滑块相对尖劈以匀加速度a沿斜面 下滑, 求尖劈的加速度和桌面对尖劈的支撑力。 解： 以由滑块和尖劈构成的质点系为研究对象, 建立 与水平面固连的坐标系Oxyz 如图。系统受外力 和 以及支撑力 如图. 因沿Ox方向不受外力, 故质点沿 x 轴方向动量守恒, 即: