空间向量测试卷试题.doc

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高二数学空间向量测试题.doc

高二数学空间向量测试题班级___________ 姓名___________ 学号___________ 分数___________一、选择题（共 10 小题）1、已知直线a平行于平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是（）。

（A）空集（B）二条平行直线（C）一条直线（D）一个平面2、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。

（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定3、下列命题中正确的是（）。

（A）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线（B）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交（C）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行（D）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直4、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。

（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定5、三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心6、从平面α外一点P引直线与α相交，使P点与交点的距离等于1，这样的直线（）。

（A）仅可作两条（B）可作无数条（C）可作一条或无数条和不能作（D）仅可作1条7、若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，△ABC的边长为1，则PC和平面ABC所成的角是（）。

（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°8、直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是（）。

（A）平行（B）lα（C）垂直（D）不能确定9、三棱锥P－ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心10、棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得该棱台的棱锥的高之比为( )A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.3∶4二、填空题（共 5 小题）1、已知△ABC ，点P 是平面ABC 外的一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，那么点O 一定是△ABC的。

空间向量的计算测试题

空间向量的计算测试题一、填空题1. 已知三维空间中向量A = (2, -1, 3)，B = (4, 2, -1)，求 A + B = ( 6, 1, 2)。

2. 若向量A = (3, -2, 5)，求2A = (6, -4, 10)。

3. 已知向量A = (2, -3, 1)，求||A|| = √(2² + (-3)² + 1²) = √14。

4. 设向量A = (1, 2, -1)，向量B = (3, -1, 2)，求 A·B = 1×3 + 2×(-1) + (-1)×2 = -2。

5. 已知两条直线的方向向量分别为 A = (2, -1, 3)，B = (3, 2, -1)，求两直线的夹角的余弦值cosθ = (A·B) / (||A|| ||B||) = ((2×3) + (-1)×2 + 3×(-1)) / (√(2² + (-1)² + 3²) × √(3² + 2² + (-1)²)) = -1/√35。

二、简答题1. 请简要说明向量的数量性质和方向性质之间的关系。

答：向量的数量性质是指向量的模或长度，方向性质是指向量的方向。

两个向量相等当且仅当它们的数量性质和方向性质都相等。

2. 简要概述向量的线性运算规则。

答：向量的线性运算规则包括向量加法和数量乘法。

向量加法满足交换律和结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)和 A + B = B + A。

向量的数量乘法满足结合律和分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k + m)A = kA + mA，k(mA) = (km)A。

三、证明题已知向量A = (a, b, c)，B = (d, e, f)，C = (g, h, i)，证明向量的加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。

空间向量与立体几何测试试卷

空间向量与立体几何测试试卷空间向量与立体几何测试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a·b的结果为：A. 4B. 14C. 32D. 562.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a×b的结果为：A. (1,-2,1)B. (-1,2,-1)C. (1,2,1)D. (-1,-2,-1)3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a+b的结果为：A. (5,7,9)B. (5,6,7)C. (4,7,9)D. (4,6,8)4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a-b的结果为：A. (3,3,3)B. (-3,-3,-3)C. (-3,-1,1)D. (3,1,-1)5.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·(a+b)的结果为：A. 42B. 56C. 70D. 846.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×(a+b)的结果为：A. (14,-28,14)B. (-14,28,-14)C. (14,28,14)D. (-14,-28,-14)7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|a|的结果为：A. √6B. √14C. √26D. √468.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|b|的结果为：A. √14B. √26C. √38D. √509.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为：A. √6B. √14C. √26D. √3810.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·b的模长为：A. 14B. 26C. 38D. 50二、填空题（每题3分，共30分）1.向量(2,3,4)与向量(-1,2,-3)的夹角为______度。

空间向量单元测试题(原卷版)

2021-2022年度高二第一学期单元测试空间向量与立体几何一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N 分别为1A B 和AC 上的点，123aA M AN ==，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定2. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是AD 、DC 中点，则(EF AB = )A ．14B ．14-C ．34D ．34-3. 三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A ．12B 2C 3D 254. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，3BC =，16AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为( )A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．15︒5. 如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为( )A 17B ．7C ．217D ．96. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．52B ．62C 2213D 24137. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P 、Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( ) A 2B 3C ．34D ．18. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：①AC BD ⊥；②ADC ∆是正三角形；③AB 与CD 成60︒角；④AB 与平面BCD 成60︒角．则其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）14.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号） ①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使1DE AC ⊥； ④存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．15.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱11A B ，BC 上的动点，且1A E BF =，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是．16.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图，直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形ABCD ，四棱锥P ABCD -的顶点P 在平面α上，7AB =3AD ，AD DB ⊥，AC BD O =，//OP AQ ，2AQ =，M ，N分别是AQ 与CD 的中点．（1）求证：//MN 平面QBC ；（2）求二面角M CB Q --的余弦值．18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是223．19. 如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为55．20. 如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ∠=∠=︒．F 为PA 中点，2PD =，112AB AD CD ===．四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ；（Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值．22. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1==，PO OB（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P ABC-体积的最大值；（Ⅲ）若2BC=，点E在线段PB上，求CE OE+的最小值．。

空间向量单元测试卷

空间向量单元测试卷第一部分：选择题1. 下列哪个不是空间向量的表示方法？A. 箭头表示法B. 行向量表示法C. 列向量表示法D. 数量表示法2. 空间向量的模长是指什么？A. 向量的长度B. 向量的方向C. 向量的大小D. 向量的起点和终点的距离3. 空间向量的方向角是指什么？A. 向量与$x$轴正向的夹角B. 向量的长度C. 向量与$y$轴正向的夹角D. 向量与$z$轴正向的夹角4. 下列哪个不是向量的线性运算？A. 加法B. 减法C. 乘法D. 数乘5. 向量$\vec{a}(1, 2, 3)$和向量$\vec{b}(4, 5, 6)$的点积是多少？A. $32$B. $35$C. $38$D. $41$6. 两个向量的叉积为零，则它们的关系是什么？A. 平行B. 垂直C. 重合D. 倾斜7. 两个向量平行，则它们的叉积是什么？A. 零向量B. 原向量C. 单位向量D. 无法确定8. 空间中三个相互垂直的向量长度分别为$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，则它们的信部角余弦分别为多少？A. $\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{2}}$C. $\frac{1}{\sqrt{6}}$，$\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\frac{1}{\sqrt{2}}$D. $\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$第二部分：填空题1. 空间向量的数量表示法是用______个实数表示。

2. 向量$\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$和向量$\vec{b}=(x_2, y_2,z_2)$的点积为$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$，也可以表示为$\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cos\theta$，其中$\theta$为向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的______角。

(完整版)空间向量与立体几何测试题及答案

高中数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）Ａ．一个圆Ｂ．一个点Ｃ．半圆Ｄ．平行四边形答案：Ａ2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（）Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++Ｄ．11111()2AB CD AC ++答案：Ｂ3．若，，a b c 为任意向量,∈R m ，下列等式不一定成立的是（）Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为( ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．12Ｄ．2-答案：Ｂ5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于( ）Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ．649答案：Ｂ6．已知非零向量12e e ，不共线,如果1222122833e e e e e e =+=+=-，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面Ｄ．肯定不共面7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，的中点，则2a 等于（）Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FGCA ·Ｄ．2EFCB · 答案：Ｂ8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（）Ａ．51122--，，Ｂ．51122-，，Ｃ．51122--，，Ｄ．51122，，答案:Ａ9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89,则λ=（ ) Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-答案：Ｃ10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ )Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Ｂ．(241)，，Ｃ．(2141)-，，Ｄ．(5133)-，，答案:Ｄ11．在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（）Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos3Ｄ．3arccos6答案:Ｄ12．给出下列命题:①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；③已知⊥a b ,则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ,向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ．答案：2221055⎛⎫-⎪⎝⎭，，14．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ= ．答案：21515．已知线段AB ⊥面α，BC α⊂，CD BC ⊥，DF ⊥面α于点F ,30DCF ∠=°,且D A ，在平面α的同侧，若2AB BC CD ===，则AD 的长为．答案：2216．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为．答案：64三、解答题17．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，,使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在,请写出证明．答案：解：假设4123a a a a λμν=++成立．1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵， (22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴． 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-．理由即为解答过程．为2a ,求1AC 与侧面18．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长11ABB A 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系,则113(000)(00)(002)222⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，aA B a A a C a a ．由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，1111312cos 6023aAC AC AC a AC ===⇒=，，·°n n n n．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30°．19．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中,底面是等腰直角三角形,90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，则1221(200)(020)(001)(202)(1)333a a A a B a D A a E a a G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，．从而2(021)333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，，，．由0GE BD GEBD ⊥⇒=·，得1a =, 则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，．自1A 作1A H ⊥面AED 于M ,并延长交xOy 面于H ,设(0)H x y ，，，则1(22)A H x y =--，，．又(201)AD =-，，，(111)AE =-，，．由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．又1111cos A M A A A A A M =，·111426cos 2326A AA A A H ==⨯=，·．20．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =,确定P Q ，的位置,使11QB PD ⊥．解：建立如图所示的空间直角坐标系,设BP t =， 22那么211(202)(022)(20)(22(2)20)B D P t Q t ---，，，，，，，，，，，,从而21(2(2)22)QB t =---，，，1(222)PD t =--，，，由11110QB PD QB PD ⊥⇒=·, 即222(2)2(2)401t t t -----+=⇒=．故P Q ，分别为BC CD ，的中点时，11QB PD ⊥．21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°,SA ⊥面ABCD ，112SA AB BC AD ====，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(000)(100)(110)00(001)2A B C D S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．延长CD 交x 轴于点F ,易得(100)F ，，,作AE SF ⊥于点E ,连结DE ,则DEA ∠即为面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角．又由于SA AF =且SA AF ⊥，得11022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，那么102EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，12，111222ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，从而6cos 3EA ED EA ED EA ED ==，·, 因此2tan 2EAF ED =，．故面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为22．22．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当1CDCC 的值为多少时,1A C ⊥面1C BD ?请予以证明．解:欲使1A C ⊥面1C BD ,只须11AC C D ⊥，且11AC C B ⊥．欲证11AC C D ⊥，只须证110CA C D =·，即11()()0CA AA CD CC +-=·，也就是11()()0CD CB CC CD CC ++-=·, 22由于1C CB BCD ∠=∠，显然，当1CD CC =时，上式成立；同理可得，当1CD CC =时，11AC C B ⊥．因此，当11CDCC =时，1A C ⊥面1C BD ．一。

高二数学空间向量试题

高二数学单元试题（考试时间：120分钟满分：150分）一．选择题（本大题共12小题：每小题5分：共60分）1．已知向量a ＝（1 ：1 ：0）：b ＝（－1 ：0 ：2）：且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直：则k 的值是（）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 57 2．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=（）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线：对平面ABC 外的任一点O ：下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++= 4．已知向量a ＝（0 ：2 ：1）：b ＝（－1 ：1 ：－2）：则a 与b 的夹角为（）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180°5．已知△ABC 的三个顶点为A （3 ：3 ：2）：B （4 ：－3 ：7）：C （0 ：5 ：1）：则BC 边上的中线长为（） A ．2B ．3C ．4D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线：则a 、b 所在的直线平行：②若a 、b 所在的直线是异面直线：则a 、b 一定不共面：③若a 、b 、c 三向量两两共面：则a 、b 、c 三向量一定也共面：④已知三向量a 、b 、c ：则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（）A ． 0B ．1C ． 2D ．37．已知空间四边形ABCD ：M 、G 分别是BC 、CD 的中点：连结AM 、AG 、MG ：则−→−AB +1()2BD BC +等于（）A ．−→−AG B ． −→−CG C ． −→−BC D ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中：若CA =a ：CB =b ：1CC =c ：则1A B = （）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中：向量1D A 、1D C 、11C A 是（）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量10．已知点A （4 ：1 ：3）：B （2 ：－5 ：1）：C 为线段AB 上一点：且3||||AC AB = ：则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222-11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点：且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB ：则△BCD 是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12．（文科）在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中：M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点：那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）A ．52-B ．52C ．53D ．1010（理科）已知正方形ABCD 的边长为4 ：E 、F 分别是AB 、AD 的中点：GC ⊥平面ABCD ：且GC ＝2 ：则点B 到平面EFG 的距离为（） A ．1010 B ． 11112 C ． 53 D ． 1二．填空题（本大题4小题：每小题4分：共16分）13．已知向量a =(λ+1 ：0 ：2λ) ：b =(6 ：2μ-1 ：2) ：若a ∥b ：则λ与μ的值分别是．14．已知a ：b ：c 是空间两两垂直且长度相等的基底：m=a+b ：n=b -c ：则m ：n 的夹角为．15．已知向量a 和c 不共线：向量b ≠0 ：且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ：d ＝a ＋c ：则,〈〉d b ＝．16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体：其中：以顶点A 为端点的三条棱长都等于1 ：且它们彼此的夹角都是︒60 ：那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为。

(完整版)高中数学空间向量训练题

高中数学空间向量训练题（含解析）一．选择题1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．63．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 145．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．7．已知，则的最小值是（）第 1页（共 40页）8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则 =x +y ；③若 =x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y ．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C． 3 D．49．已知向量 =（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D． 810．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z=．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥ l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD=．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面PAD⊥底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 为棱 PC的中点，求异面直线AP 与 BM 所成角的余弦值．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．20．如图，四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥侧面 PAB，△ PAB是等边三角形， DA=AB=2， BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦值．21．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E 为 AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C﹣PB﹣ E 的余弦值；（Ⅲ）在线段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点M 的地址；若不存在，说明原由．22．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求证： AB⊥DE；（Ⅱ）求直线 EC与平面 ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，说明原由．23．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°， AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求证： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A﹣BC1﹣B1的余弦值．24．如图，在四棱锥P﹣ ABCD中， PA⊥平面，四边形ABCD为正方形，点M， N 分别为线段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求证： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C﹣AN﹣D 大小为时，求PN的长．上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求证： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．28．如图，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）证明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值．29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为120°.（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的余弦值.PCDBA30 如图，在三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中， AA 1⊥底面ABC ，∠ ACB=90°，AC=BC=1 ， AA 1=2，D 是棱AA 1的中点．（Ⅰ）求证：B1C 1∥平面 BCD ；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ C1CD 的体积；（Ⅲ）在线段BD 上可否存在点Q，使得 CQ ⊥ BC 1？请说明原由．31 如图，在三棱锥A﹣ BCD中， O、 E 分别为 BD、 BC中点， CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2（1）求证： AO⊥面 BCD（2）求异面直线 AB 与 CD所成角的余弦值（3）求点 E 到平面 ACD的距离．32 在三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形， AB=2， AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明： BC⊥AB 1；（2）若 OC=OA，求直线 CD与平面 ABC所成角的正弦值．2018 年 01 月 20 日 shu****e168的高中数学组卷参照答案与试题解析一．选择题（共11 小题）1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +【解答】解：以以下图，= +，=（+），=，=﹣，=．∴= += +=+ （﹣）=+=×（ + ） + ×=++=+ + ．应选： C．2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．6【解答】解：∵=（2，﹣ 1， 2），=（﹣ 1，3，﹣ 3），=（13，6，λ），三个向量共面，∴，∴（ 2，﹣ 1，2）=x（﹣ 1，3，﹣ 3）+y（13，6，λ）∴解得：应选： B．3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，第10页（共 40页）4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 14【解答】解：由于向量，且，属于=﹣8﹣6+x=0，解得 x=14；应选： D．5．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线【解答】解： A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=x +y +z，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是x+y+z=1，而=++，因此P，A，B，C四点不共面．应选： A．6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．【解答】解：∵α∥β，且平面α的法向量是 =（2，3，﹣ 1），平面β的法向量是 =（ 4，λ，﹣ 2），∴即存在实数μ使得，即（ 2，3，﹣ 1）=（4μ，λμ，﹣ 2μ），解得μ=，λ=6应选 C．7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：=（﹣ 1﹣t， t﹣1，﹣ t），∴==≥，当且仅当t=0时取等号．∴的最小值是．应选： A．8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则=x +y；③若=x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y．其中真命题的个数是（）A．1B．2C． 3D．4【解答】解：若=x +y ，则与，必然在同一平面内，故①对；若=x +y ，则、、三向量在同一平面内，∴ P、M、A、B 共面．故③对；若=x +y ，则与、共面，但若是，共线，就不用然能用、来表示，故②不对；同理④也不对．∴真命题的个数为 2 个．应选： B．9．已知向量=（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D． 8【解答】解：设向量，的夹角为θ，=，=，∴ cosθ===．∴ sin θ==．∴以，为邻边的平行四边形的面积S=??sin θ==，应选： B．10．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以 D 为坐标原点，直线DA，DC， DD1分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则D1（ 0， 0，1），E（1，1，0）， A（ 1， 0， 0），C（0，2，0）．=（ 1， 1，﹣ 1）， =（﹣ 1，2，0），=（﹣ 1， 0， 1），设平面 ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取 a=2，得=（ 2， 1， 2），点 E 到平面 ACD1的距离为：h===．应选： C．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ A1BC1是等边三角形， A1B1=BB1=B1C1，∴B1在平面 A1BC1上的射影为△ A1 BC1的中心 O，设正方体棱长为 1，M 为 A1C1的中点，则 A1B= ，∴ OB= BM==，∴ OB1==，∴ sin∠B1BO==，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∵DD1∥BB1，∴直线 DD1与平面11 所成角的正弦值为．A BC应选： A．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1），=（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．【解答】解：∵向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k，10，1），∴=（4﹣k，﹣ 7，0）， =（﹣ 2k，﹣ 2， 0）．又 A、B、C 三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．【解答】解：连接 PO，可得? ==++=﹣，当获取最大值时，?获取最大值为=．故答案为：．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面 ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是①②③ ．【解答】解：由 =（2，﹣ 1，﹣ 4），=（ 4， 2， 0）， =（﹣ 1，2，﹣ 1），知：在①中，=﹣2﹣2+4=0，∴⊥，∴ AP⊥AB，故①正确；在②中，? =﹣4+4+0=0，∴⊥，∴ AP⊥AD，故②正确；在③中，由 AP⊥AB， AP⊥ AD，AB∩AD=A，知是平面 ABCD的法向量，故③正确；在④中，=（ 2， 3， 4），假设存在λ使得 =，则，无解，∴∥．故④不正确；综上可得：①②③正确．故答案为：①②③．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若 P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z= 1 ．【解答】若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足向量关系式：，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是： x+y+z=1，故答案为： 1．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD= 26 ．【解答】解：∵平面α⊥平面β，且α∩β=l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，AC⊥l， BD⊥ l，AB=6，BD=24，AC=8，∴=，∴=（）2==64+36+576=676，∴CD=26．故答案为： 26．三．解答题（共12 小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．【解答】（本小分 13 分）明：（Ⅰ）∵在△ ADC中， AD=2，AC=1，DC=222∴ AC +AD =CD ，∴ AD⊥ AC，⋯（1 分）如，以点 A 原点建立空直角坐系，依意得 A（0，0，0）， D（ 2， 0， 0），C（0，1，0），B（，，0），P（0，0，2），得=（0，1， 2）， =（2，0，0），∴=0，∴ PC⊥AD．⋯（4 分）解：（Ⅱ），，平面 PCD的一个法向量=（ x， y， z），，不如令 z=1，得=（1，2，1），可取平面 PAC的一个法向量=（1，0，0），于是 cos＜＞==，从而 sin＜＞=，因此二面角 A PC D 的正弦．⋯（8分）（Ⅲ）点 E 的坐（ 0， 0， h），其中 h∈[ 0，2] ，由此得=（），由=（2， 1，0），故，∵ 足异面直BE与 CD所成的角 30°，∴=cos30°=，解得h=，即AE=．⋯（13分）18．如，在四棱 P ABCD中，底面 ABCD直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面 PAD⊥底面ABCD， Q AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 棱 PC的中点，求异面直AP 与 BM 所成角的余弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD∥ BC，BC= AD，Q AD 的中点，∴四形 BCDQ平行四形，可得CD∥BQ．∵∠ ADC=90°，∴∠ AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴BQ⊥平面 PAD．∵ BQ? 平面 PQB，∴平面 PQB⊥平面 PAD．（Ⅱ）∵ PA=PD，Q 为 AD 的中点，∴ PQ⊥ AD．∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴ PQ⊥平面 ABCD．（注：不证明 PQ⊥平面 ABCD直接建系扣 1 分）因此，以 Q 为原点、 QA、QB、QP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，以以下图则 Q（0，0，0）， A（1，0， 0），P（0，0，），B（0，，0）， C（﹣ 1，， 0）∵ M 是 PC中点，∴ M （﹣，，）∴=（﹣ 1，0，），=（﹣，﹣，）设异面直线 AP 与 BM 所成角为θ，则 cosθ=|cos＜，＞| ==．∴异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．【解答】（本分 12 分）解：（ 1）明：∵ SD⊥平面 ABCD，∴ SD⊥AB，又 AD⊥AB，AD∩SD=D，∴ AB⊥平面 SAD，⋯（6 分）（2）以 D 原点，分以 DA、DC、 DS x，y， z 建立空直角坐系，如，AB=2， A（ 2， 0，0），S（0，0，2），B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0， 2），=（2， 2， 0），=（1，0， 1），⋯（ 8 分）平面 BED的一个法向量=（x，y，z），由得，取=（1， 1， 1），⋯（10 分）直 SA与平面 BED所成角θ，因 cos==，因此 sin θ=，即直 SA与平面 BED所成角的正弦⋯（ 12 分）20．如，四棱 P ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥ 面 PAB，△ PAB是等三角形， DA=AB=2， BC=，E是段AB的中点．（Ⅰ）求： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD⊥ 面 PAB，PE? 平面 PAB，∴ AD⊥EP．又∵△ PAB是等三角形， E 是段 AB 的中点，∴ AB⊥EP．∵AD∩ AB=A，∴ PE⊥平面 ABCD．∵CD? 平面 ABCD，∴ PE⊥ CD．⋯（ 5 分）（Ⅱ）以 E 原点， EA、EP分 y、 z ，建立如所示的空直角坐系．E（0，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（ 2，1，0），P（0，0，）．=（2， 1， 0），=（0，0，），=（1， 1，）．=（x，y，z）平面 PDE的一个法向量．由，令 x=1，可得=（ 1， 2，0）．⋯（ 9 分）PC与平面 PDE所成的角θ，得=因此 PC与平面 PDE所成角的正弦．⋯（12分）21．如，在四棱 P ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C PB E 的余弦；（Ⅲ）在段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点 M 的地址；若不存在，明原由．【解答】解：（Ⅰ）明：由已知平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥ AD，且平面PAD∩平面 ABCD=AD，因此 PA⊥平面 ABCD．因此 PA⊥CD．又因BE⊥AD，BE∥CD，因此 CD⊥AD．因此 CD⊥平面 PAD．因 CD? 平面PCD，因此平面 PAD⊥平面 PCD．⋯（4 分）（Ⅱ）作 Ez⊥AD，以 E 原点，以的方向分x，y的正方向，建立如所示的空直角坐系 E xyz，点 E（0，0，0）， P（ 0， 2，2）， A（0， 2， 0），B（2，0，0）， C（ 1， 2， 0），D（0，2，0）．因此，，．平面 PBC的法向量=（ x，y，z），因此即令 y=1，解得=（ 2， 1， 3）．平面 PBE的法向量=（a，b，c），因此即令 b=1，解得=（ 0， 1， 1）．因此 cos＜＞=．由可知，二面角 C PB E 的余弦．⋯（10分）（Ⅲ）“ 段 PE上存在点 M，使得 DM∥平面 PBC”等价于“”．因，，λ∈（0，1），M （0，2λ 2，2 2λ），．由（Ⅱ）知平面 PBC的法向量=（ 2， 1， 3），因此．解得．因此段 PE上存在点 M ，即 PE中点，使得 DM∥平面 PBC．⋯（ 14 分）22．如，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求： AB⊥DE；（Ⅱ）求直 EC与平面 ABE所成角的正弦；（Ⅲ）段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，明原由．【解答】（Ⅰ ）明：取 AB 中点 O，接 EO，DO．因 EB=EA，因此 EO⊥ AB．⋯（1 分）因四形 ABCD直角梯形， AB=2CD=2BC， AB⊥ BC，因此四形 OBCD正方形，因此 AB⊥OD．⋯（2 分）因 EO∩OD=O因此 AB⊥平面 EOD．⋯（3 分）因 ED? 平面 EOD因此 AB⊥ED．⋯（4 分）（Ⅱ）解：因平面 ABE⊥平面 ABCD，且 EO⊥AB，平面 ABE∩平面 ABCD=AB因此 EO⊥平面 ABCD，因 OD? 平面 ABCD，因此 EO⊥OD．由 OB，OD，OE两两垂直，建立如所示的空直角坐系O xyz．⋯（5 分）因△ EAB等腰直角三角形，因此 OA=OB=OD=OE， OB=1，因此 O（0，0，0）， A（ 1，0，0），B（1，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（0，1，0），E（ 0， 0， 1）．因此，平面 ABE的一个法向量．⋯（7 分）直 EC与平面 ABE所成的角θ，因此，即直 EC与平面 ABE所成角的正弦．⋯（ 9 分）（Ⅲ）解：存在点 F，且，有 EC∥平面 FBD．⋯（10 分）明以下：由，，因此．平面 FBD的法向量=（a，b，c），有因此取 a=1，得 =（ 1，1，2）．⋯（ 12 分）因=（1，1， 1）?（1，1，2）=0，且 EC?平面 FBD，因此 EC∥平面 FBD．即点 F 足，有 EC∥平面 FBD．⋯（ 14 分）23．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°，AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A BC1B1的余弦．【解答】明：（Ⅰ ）依意，四形 AA1C1C 菱形，且∠ AA1C1=60°∴△ AA1C1正三角形，又∠ BAC1=60°，∴△ BAC1正三角形，又 O AC1中点，∴BO⊥ AC1，∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C，平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1，∵BO? 平面 AA1CC1，∴ BO⊥平面 AA1C1C．⋯（4 分）解：（Ⅱ）以 O 坐原点，建空直角坐系，如，令 AB=2，，C1（，，）010∴，平面 BB1 1的一个法向量，C由得，取 z=1，得⋯（9分）又面 ABC1的一个法向量∴⋯（11 分）故所求二面角的余弦⋯（ 12 分）24．如，在四棱P ABCD中， PA⊥平面，四形ABCD正方形，点M， N 分段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C AN D 大小，求PN的．【解答】（Ⅰ ）明：在正方形ABCD中， AB⊥BC，∵PA⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD，∴ PA⊥ BC．∵AB∩PA=A，且 AB，PA? 平面 PAB，∴BC⊥平面 PAB， BC⊥PB，∵MN⊥PB，∴ MN∥BC，则 MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）解：∵ PA⊥平面 ABCD，AB，AD? 平面 ABCD，∴ PA⊥AB，PA⊥ AD，又 AB⊥AD，如图，以 A 为原点， AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则C（2，2，0）， D（ 0， 2， 0），B（2，0，0），P（0，0，2）．设平面 DAN 的一个法向量为 =（x，y，z），平面 CAN的一个法向量为 =（a，b，c），设 =λ，λ∈[ 0， 1] ，∵=（2，2，﹣2），∴=（2λ，2λ，2﹣2λ），又 =（0，2，0），∴，取 z=1，得=（，0，1），∵=（0，0，2）， =（2，2，0），∴，取 a=1 得，到=（1，﹣ 1，0），∵二面 C﹣ AN﹣ D 大小为，∴ | cos＜，＞| =cos=，∴ | cos＜，＞| =|| =|| =，解得λ=，∴，则 PN=．25．如题图，三棱锥 P﹣ABC中，PC⊥平面 ABC，PC=3，∠ ACB=．D，E分别为线段AB，BC 上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．【解答】（Ⅰ ）证明：∵ PC⊥平面 ABC，DE? 平面 ABC，∴ PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE= ，∴△CDE为等腰直角三角形，∴ CD⊥DE，∵ PC∩CD=C，DE垂直于平面 PCD内的两条订交直线，∴DE⊥平面 PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ CDE为等腰直角三角形，∠ DCE=，过点 D 作 DF 垂直 CE于 F，易知 DF=FC=FE=1，又由已知 EB=1，故 FB=2，由∠ ACB=得DF∥AC，，故AC= DF=，以 C 为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0）， P（ 0， 0， 3），A（， 0， 0），E（0，2，0）， D（1， 1，0），∴ =（1，﹣ 1，0）， =（﹣ 1，﹣ 1，3）， =（，﹣ 1， 0），设平面 PAD的法向量=（ x， y， z），由，故可取=（2， 1， 1），由（Ⅰ）知 DE⊥平面 PCD，故平面 PCD的法向量可取=（1，﹣ 1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值为．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．【解答】解法一：（ 1）如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，∵G 是 BE的中点，∴ GH∥ AB，且 GH= AB，又∵ F 是 CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且 DF= AB，即 GH∥DF，且 GH=DF，∴四边形 HGFD是平行四边形，∴ GF∥ DH，又∵ DH? 平面 ADE，GF?平面 ADE，∴ GF∥平面 ADE．（ 2）如图，在平面BEG内，过点 B 作 BQ∥ CE，∵BE⊥EC，∴ BQ⊥BE，又∵ AB⊥平面 BEC，∴ AB⊥BE，AB⊥ BQ，以 B 为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A（0，0，2）， B（ 0， 0， 0），E（2，0，0）， F（ 2， 2， 1）∵ AB⊥平面 BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面 AEF的法向量．又=（2，0，﹣ 2），=（2，2，﹣ 1）由垂直关系可得，取 z=2 可得．∴ cos＜，＞==∴平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取 AB 中点 M ，连接 MG，MF，又G 是 BE的中点，可知 GM∥AE，且 GM= AE又AE? 平面 ADE，GM?平面 ADE，∴GM∥平面 ADE．在矩形 ABCD中，由 M， F 分别是 AB， CD的中点可得 MF∥AD．又AD? 平面 ADE，MF?平面 ADE，∴ MF∥平面ADE．又∵ GM∩MF=M，GM? 平面 GMF，MF? 平面GMF∴平面 GMF∥平面 ADE，∵GF? 平面 GMF，∴ GF∥平面 ADE（ 2）同解法一．第30页（共 40页）27．如，在四棱P ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A PB D 的余弦，若 E PB的中点，求 EC与平面 PAB所成角的正弦．【解答】（I）明：∵ PD⊥平面 ABCD，AC? 平面 ABCD∴PD⊥AC又∵ ABCD是菱形，∴ BD⊥ AC，BD∩PD=D∴AC⊥平面 PBD，∵ DE? 平面 PBD∴AC⊥DE⋯（6 分）（ II）解：分以OA， OB， OE 方向x， y， z 建立空直角坐系，PD=t，由（ I）知：平面 PBD的法向量，令平面PAB 的法向量，根据得∴因二面角 A PB D 的余弦，，即，∴⋯（9 分）∴EC与平面 PAB所成的角θ，∵，∴⋯（12 分）28．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，面 BB1C1C 菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A A1B1C1的余弦．【解答】解：（1）连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO，∵侧面 BB1 C1C 为菱形，∴BC1⊥B1C，且 O 为 BC1和 B1C 的中点，又∵ AB⊥ B1 C，∴ B1C⊥平面 ABO，∵ AO? 平面 ABO，∴ B1C⊥ AO，又B10=CO，∴ AC=AB1，（2）∵ AC⊥ AB1，且 O 为 B1C 的中点，∴ AO=CO，又∵ AB=BC，∴△ BOA≌△ BOC，∴ OA⊥OB，∴ OA， OB，OB1两两垂直，以 O 为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|| 为单位长度，的方向为 y 轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠ CBB1°，∴△ 1 为正三角形，又，=60CBB AB=BC∴ A（ 0， 0，）， B（ 1， 0， 0，）， B （，，），（，，）00 C 001∴=（0，，），= =（1，0，），==（﹣ 1，，0），设向量=（x，y，z）是平面 AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面 A1 B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴ cos＜，＞== ，∴二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值为29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面PAD为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（ 1）求点P 到平面ABCD的距离；（ 2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.PCDBA（传统法）解（ 1）：以以下图，作 PO⊥平面 ABCD ，垂足为点 O. 连接 OB、 OA、OD ， OB 与 AD 交于点 E，连接 PE.PDCEO BA∵AD ⊥ PB，∴ AD⊥ OB.∵P A=PD ，∴ OA=OD .于是 OB 均分 AD ，点 E 为 AD 的中点，∴ PE ⊥AD. 由此知∠ PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角，∴∠ PEB=120°，∠ PEO=60°. 由已知可求得 PE= 3，33，即点 P 到平面 ABCD 的距离为3 .∴PO=PE·sin60°=3×=222（2）（空间向量法）解法一：以以下图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点， x 轴平行于 DA .zPGCDOEyBAxP（ 0，0，333， 0）， PB 中点 G 的坐标为（ 0，33，3），连接 AG.）， B（ 0，2244又知 A（ 1，3，0）， C（－ 2，3 3，0） . 22由此获取 GA =（1，－3，－3），44PB =（0，3 3，－3）， BC =（－2，0，0）.22于是有 GA · PB =0， BC · PB =0，∴ GA ⊥ PB ， BC ⊥ PB . GA ， BC 的夹角 θ 等于所求二面角的平面角.于是 cos θ=GA BC|GA || BC |=－2 7，7由于题目中的二面角为钝角，因此所求二面角的大小为－2 7 。

空间向量试题

空间向量试题1．若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不．一定成立的是( )A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·cC ．m (a ＋b )＝ma ＋mbD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )2．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点F 是侧面CDD ′C ′的中心，若AF→＝AD →＋xAB →＋yAA ′→，则x －y 等于( )A ．0B ．C.12 D ．－123．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB的中点M 到点C 的距离|CM→|等于( ) A.534 B.532 C.532 D.1324．O 、A 、B 、C 为空间四个点，又OA→、OB →、OC →为空间的一个基底，则( )A ．O 、A 、B 、C 四点不共线B ．O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线D ．O 、A 、B 、C 四点不共面5．如图所示，已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则A B →＋12B D →＋12B C →等于( ) A ．A N → B ．AM→ C ．B C → D.12B C → 6．已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．已知A 、B 、C 三点不共线，O 为平面ABC 外任意一点，若向量OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →(λ∈R)确定一点P 与A 、B 、C 三点共面，则λ的值为________．8．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC 1的长是________．9．已知e 1、e 2、e 3为不共面向量，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 2－e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝xa ＋yb ＋zc ，则x 、y 、z 分别为________．10．已知一个60°的二面角的棱上有两个点A 、B ，AC ，BD 分别是在这两个面内且垂直于AB 的线段，又知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD .11．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝A B →，b ＝A C →，(1)若|c |＝3且c ∥B C →，求c ；(2)求a 和b 的夹角的余弦值；(3)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．12．(2009年高考上海卷)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C －C 1的大第9.5节立体几何1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°2．如图，正四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.454．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：①AC ⊥BD ；②△ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60°角；④AB 与平面BCD 成60°角．则其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )A.13B.23C.33D.23解析：选B.如图，连结A 1B 和AB 1交于点O ′，取OB 中点E ，连结O ′E ，则O ′E 綊12A 1O ， ∴O ′E ⊥面ABC .连结AE ，∴∠O ′AE 即为AB 1与面ABC 所成的角．∵AO ＝BO ，又∵A 1A ＝AB，设A1A＝a，则AO′＝3 2a.又AO＝23·32a＝33a，∴A1O＝63a.∴O′E＝66a.∴sin∠O′AE＝O′EAO′＝23.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设AB的中点M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角的大小为________．解析：取AA1中点S，连结BS，则BS∥CN.由平面几何知识易得BS⊥B1M，即B1M⊥CN.答案：90°8．已知∠AOB＝90°，过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°角，则以OC为棱的二面角A－OC－B的余弦值等于________。

选修2-1空间向量单元测试题(一)

第三章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为( )A.AB → B ．2BD → C ．0D ．2DE→ 解析：如图，F 是BC 的中点，E 是DF 的三等分点，∴32DE →＝DF →.∵12BC →＝BF →，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →－AD →＝AF →＋FD→－AD →＝AD →－AD →＝0. 答案：C2．在以下命题中，不．正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝ 2OA→－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C3．已知A 、B 、C 、D 为四个不同点，且AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，则( )A ．A 、B 、C 、D 四点必共面B ．A 、B 、C 、D 四点构成一个空间四边形 C ．A 、B 、C 、D 四点必共线D ．A 、B 、C 、D 四点的位置无法确定解析：共线、共面和构成一个空间四边形三种情况都可能出现，故选D.答案：D4．如图，在四面体ABCD 中，已知AB→＝b ，AD →＝a ，AC →＝c ，BE →＝12EC →，则DE→＝( )A ．－a ＋23b ＋13cB ．a ＋23b ＋13c C ．a －23b ＋13c D.23a －b ＋13c解析：DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝DA →＋AB →＋13(AC →－AB →)＝－a ＋23b ＋13c ，故选A.答案：A5．已知向量a ＝(1，x,1)，b ＝(2,1，－1)，a ·b >0，则函数y ＝x 2＋4x －1的值域是( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．(－4，＋∞)D ．(－∞，－4)解析：由a ·b >0，得2＋x －1>0，解得x >－1.而函数y ＝x 2＋4x －1在(－1，＋∞)上是增函数，∴y >(－1)2＋4×(－1)－1，即y >－4.答案：C6．已知a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(x,2，x ＋2)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．0B ．－143C ．－6D ．±6解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(－1，－5，－2)·(x,2，x ＋2)＝－x －10－2x －4＝－3x －14＝0，∴x ＝－143，故选B.答案：B7．已知点A (－3,4,3)，O 为坐标原点，则OA 与坐标平面yOz 所成角的正切值为( )A.34B.35C.53D ．1解析：A 点在面yOz 上射影为B (0,4,3)且|OB |＝5，所以OA 与平面yOz 所成角θ满足tan θ＝|AB ||OB |＝35.答案：B8．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝(cos 2α＋sin 2α＋1)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．答案：A9．如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM →＝(0,2,1)，Q (1,1,0)，P (1,0,2)，QP →＝(0，－1,2)，所以QP →·AM →＝0，所以QP 与AM 所成角为π2.答案：D10．已知A (1,1,1)，B (2,2,2)，C (3,2,4)，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C. 6D.62解析：∵A (1,1,1)，B (2,2,2)，C (3,2,4)， ∴AB→＝(1,1,1)，AC →＝(2,1,3)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝2＋1＋33·14＝427，∴sin 〈AB →，AC →〉＝77， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝12×3×14×77＝62，故选D. 答案：D11．如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22 C.23D.55解析：∵A 1B 1∥EF ，点G 在A 1B 1上，∴点G 到平面D 1EF 的距离即为点A 1到平面D 1EF 的距离，即是点A 1到D 1E 的距离．∵D 1E ＝52，由三角形面积可得所求距离为1×1252＝55，故选D.答案：D12．如图，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33D.23 3解析：如图，连接BD ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB 、OC 、OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0.结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC →为平面BDF 的一个法向量，由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，可求得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)． ∴cos 〈n ·OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277， ∴tan 〈n ，OC →〉＝233. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则与a ＋b 同方向的单位向量是________．解析：∵a ＋b ＝(0,1,2)，∴|a ＋b |＝5，∴与a ＋b 同方向的单位向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15，25，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55，255. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55，255 14．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为矩形ABCD 的中心，设A 1E →＝A 1A →＋xA 1B 1→＋yA 1D 1→，则x ＝________，y ＝________.解析：∵A 1E →＝A 1A →＋AE →＝A 1A →＋12AC → ＝A 1A →＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→，∴x ＝y ＝12. 答案：12 1215．已知a ＝(3,1,5)，b ＝(1,2，－3)，向量c 与z 轴垂直，且满足a ·c ＝9，b ·c ＝－4，则c ＝________.解析：设c ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧(0，0，1)·(x ，y ，z )＝z ＝0，(3，1，5)·(x ，y ，z )＝3x ＋y ＋5z ＝9，(1，2，－3)·(x ，y ，z )＝x ＋2y －3z ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝225，y ＝－215，z ＝0，所以c ＝(225，－215，0)．答案：(225，－215，0)16．如图所示，已知正四面体A —BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成的角的余弦值为________．解析：ED →＝EA →＋AD →＝14BA →＋AD →， BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋14CD →， cos 〈ED →，BF →〉＝ED →·BF →|ED →|·|BF →|＝(14BA →＋AD →)·(BC →＋14CD →)(14BA →＋AD →)2·(BC →＋14CD →)2＝413.答案：413三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在DB 、D 1C 上，且DE ＝D 1F ＝23a ，其中a 为正方体棱长．求证：EF ∥平面BB 1C 1C .证明：如图，建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3，2a 3，故EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，0，2a 3.又AB →＝(0，a,0)显然为平面BB 1C 1C 的一个法向量，而AB →·EF→ ＝(0，a,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，2a 3＝0， ∴AB→⊥EF →. 又∵E ∉平面BB 1C 1C ，∴EF ∥平面BB 1C 1C .18．(12分)如图，已知点P 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC 1所成角的大小； (2)求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小．解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA →＝(1,0,0)，CC 1→＝(0,0,1)．连接BD ，B 1D 1. 在平面BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H . 设DH→＝(m ，m,1)(m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DH →·DA →＝|DA →||DH →|cos 〈DA →，DH →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝(22，22，1)． (1)因为cos 〈DH →，CC 1→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC 1→〉＝45°. 即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量是DC→＝(0,1,0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.19．(课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由(1)可知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA→的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)．则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0.即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)．故cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.20．(12分)如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解：设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1.如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系． (1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23. (2)依题意，得A 1(0,0,1)， BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝(－1,1，12)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)，又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE . 21．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.又∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，∴BD⊥平面P AC.(2)设AC∩BD＝O，∵∠BAD＝60°，P A＝AB＝2，∴BO＝1，AO＝CO＝ 3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标，则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，∴PB→＝(1，3，－2)，AC →＝(0,23，0)．设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·AC →|PB →||AC →|＝622×23＝64.(3)由(2)，知BC→＝(－1，3，0)．设P (0，－3，t )(t >0)，则BP→＝(－1，－3，t )．设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧BC →·m ＝0，BP→·m ＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t .∴平面PBC 的法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3，6t .同理，平面PDC 的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3，6t .∵平面PBC ⊥平面PDC ， ∴m ·n ＝0，即－6＋36t 2＝0，解得t ＝6，∴P A ＝ 6. 故P A 的长为 6.22．(12分)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC 1上，设二面角A 1—DN —M 的大小为θ.(1)当θ＝90°时，求AM 的长； (2)当cos θ＝66时，求CM 的长．。

高一空间向量试题及答案

高一空间向量试题及答案一、选择题1. 已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(4,-1)$，则向量$\vec{a}+\vec{b}$的坐标为（）。

A. (6, 2)B. (6, -2)C. (-2, 6)D. (-6, 2)答案：A2. 若向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$共线，则下列等式中正确的是（）。

A. $\vec{a}=k\vec{b}$B. $\vec{a}=-k\vec{b}$C. $\vec{a}=k\vec{b}$或$\vec{a}=-k\vec{b}$D. 以上都不对答案：C3. 已知向量$\vec{a}=(3,-2)$，$\vec{b}=(1,4)$，则向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积为（）。

A. 10B. -10C. 2D. -2答案：B4. 若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角的余弦值为（）。

A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{1}{\sqrt{5}}$C. $\frac{1}{\sqrt{10}}$D. $\frac{1}{\sqrt{20}}$答案：C5. 若$\vec{a}$与$\vec{b}$是两个非零向量，且$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则下列说法正确的是（）。

A. $\vec{a}$与$\vec{b}$平行B. $\vec{a}$与$\vec{b}$垂直C. $\vec{a}$与$\vec{b}$共线D. $\vec{a}$与$\vec{b}$不共线答案：B二、填空题6. 已知向量$\vec{a}=(1,-1)$，$\vec{b}=(2,3)$，则向量$\vec{a}-\vec{b}$的坐标为$\boxed{(-1,-4)}$。

空间向量练习题

空间向量练习题一、选择题1. 空间中两个向量a和b的夹角为60°，|a|=3，|b|=4，求向量a和b的点积。

A. 6B. 7C. 8D. 92. 已知空间向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，求向量a和b的叉积。

A. (7,0,-1)B. (-1,7,0)C. (0,-1,7)D. (1,-7,0)3. 空间向量a和b共线，且|a|=2|b|，若a=(2,-3,4)，则b的可能值为：A. (1,-1.5,2)B. (-1,1.5,-2)C. (-2,3,-4)D. 以上都是二、填空题4. 若空间向量a=(2,3,4)，求向量a的模。

__________。

5. 已知向量a=(1,0,1)，b=(2,1,0)，求向量a和b的夹角的余弦值。

__________。

6. 空间向量a=(3,-1,2)，b=(1,2,-3)，求向量a和b的混合积。

__________。

三、计算题7. 空间中有三个点A(1,2,3)，B(4,-1,2)，C(-2,3,5)，求向量AB和AC的点积。

8. 已知空间向量a=(1,1,1)，b=(2,3,4)，求向量a和b的夹角。

9. 空间中四个点A(2,1,0)，B(3,2,1)，C(1,3,2)，D(0,1,3)，求向量AB和CD的叉积，并求该叉积向量的模。

四、简答题10. 简述空间向量的基本性质，并给出两个空间向量正交的条件。

11. 解释空间向量在三维几何问题中的应用，并举例说明。

五、证明题12. 证明：若空间向量a，b，c两两垂直，则存在唯一的实数λ，μ，ν，使得a+λb+νc=0。

六、应用题13. 在空间直角坐标系中，点P(2,-1,3)，Q(-1,4,-2)，R(3,2,5)，求三角形PQR的面积。

14. 已知空间向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，c=(7,8,9)，求向量a在向量b和c上的投影。

七、探索题15. 探索空间向量在解决立体几何问题中的优势，并给出具体的应用场景。

空间向量检测试卷

空间向量检测试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.正方体1111D C B A ABCD -中，M 是1DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是（）.A 4π B .3π C .2π .D 与P 点的位置有关 2. 空间中有四点,,,A B C D ，其中(2,,2)AB m m = ，(,1,5)CD m m =+- ，且A B C D += 13(5,,3)3-，则直线AB 和CD （） .A 平行 B . 平行或重合 C .必定相交 .D 必定垂直3. 在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，,M N 分别是1A B 和AC 上的点，1A M =3AN =，则MN 与平面11BB C C 的关系是（） .A 相交 B . 平行 C .垂直 .D 不能确定 4.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 与1D C 是（）.A 有相同起点的向量 B .等长向量 C .共面向量 .D 不共面向量5. 若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（）.A 充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件6. 已知向量(0,2,1)=a ，(1,1,2)=--b ，则a 与b 的夹角为（）.A 0° B .45° C .90° .D 180°7. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）.A 2 B .3 C .4 .D 58.1934=+==，则=-（）.A 12 B .7 C .31 .D 19.已知1e 和2e 是夹角为︒60的两个单位向量，且21212,e e e e -=+=则与的夹角为（）.A ︒60 B .︒30 C .︒90 .D ︒12010.已知二面角βα--l 的大小为n m ,,3π为异面直线，且,,βα⊥⊥n m 则n m ,所成的角为（）.A ︒60 B .︒30 C .︒120 .D ︒9011．在长方体1111D C B A ABCD -中，底面是边长为1的正方形，高为2，则点1A 到面11D AB 的距离为（）.A 23 B .32 C .36 .D 26 12.已知146,4,2(),3,2,1(=---==b a ，若7)(=⋅+，则与的夹角为（）.A ︒60 B .︒30 C .︒120 .D ︒150二、填空题（每小题5分，共20分）13.若),3,2,0(),3,0,2(),1,3,2(==-= 则)(+⋅= .14. 已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-= ，若a ⊥ b ，则=x ______；若//a b 则=x ______.15. 若(3)a b +⊥ )57(b a -，且(4)a b -⊥ )57(b a -，则a 与b 的夹角为____________ . 16. 若A(m ＋1,n －1,3)，B(2m,n,m －2n)，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m+n = ．三、解答题 17. 已知(3)a b +⊥ )57(b a -，且(4)a b -⊥ )57(b a -，求a 与b 的夹角θ为多少？18. 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点．(1)求二面角A －A 1D －B 的余弦值；(2)求点C 1到平面A 1BD 的距离．19.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=a ，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，求异面直线AD 1与EF 所成角的大小．20．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝的中点.（1）求证：11//AC B CD 面；（2）求证：11A B B CD ⊥面21. 在直三棱柱111ABC A B C -中，12,AB BC AA === ∠ACB=90°,Ｍ是1AA 的中点，Ｎ是1BC 的中点（Ⅰ）求证：MN ∥平面111A B C ；（Ⅱ）求点1C 到平面BMC 的距离；（Ⅲ）求二面角11B C M A --的平面角的余弦值大小。

《空间向量》测试题

《空间向量》测试题一、选择题:1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++=2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若====B A C CC b CB a CA 11,,,则（）A ．c b a -+B ．c b a +-C ．c b a ++-D ．c b a -+-3．设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是（）A ．aB ．bC ．cD ．b a 或 4．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的重要条件是（）A ．b a =B ．b a -=C ．a b λ=D ．b a λ= 5．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（） A ．0° B ．45°C ．90°D ．180°6．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定7．已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+= （）A ．21,51 B ．5，2C ．21,51--D ．—5，-28．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）A ．52-B ．52C ．53 D ．1010 二、填空题9．若A(m+1，n-1,3)，B(2m,n,m-2n ）,c （m+3,n-3,9）三点共线，则m+n= .10．已知A （0，2，3）,B （—2，1,6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .11．已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为。

空间向量练习及答案解析

空间向量练习及答案解析本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March空间向量练习一、选择题(共15小题，每小题分,共60分)1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2)2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是( )A．120° B．45° C．150° D．60°3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )A． B． C． D．4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是( )A．① B．② C．③ D．④5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是( )A．45° B．60° C．90° D．120°6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于( )A．a＋b－c B．－a＋b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为( )A． B． C．－ D．－8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小( )A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为( ) A．－ B． C．－ D．10.已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝ma ＋nb ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( )A ．－1,2B ． 1，－2C ． 1,2D ．－1，－211.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．√23B ．√73C ．√32D ．√3712.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( )A ．√2B ．√3C ． 2D ．√2213.三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A －BD －C 的大小为( )A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．π3或－π3 14.已知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,5，－2)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ (3,1，z )，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A ．(407,157,−3) B ．(337,157,−3) C ．(−407,−157,−3) D ．(337,−157,−3) 15.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4二、填空题(共6小题，每小题分,共24分)16.如图所示，已知正四面体A-BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．17.已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．18.如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为________．19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．20.如下图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．21.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1，－4)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4,2,0)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量；④AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .其中正确的是____________．三、解答题(共6小题，每小题分,共66分) 22.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面PAD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值；(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．23.如下图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值；(3)是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角并说明理由．24.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F是棱BC，CD的中点，求：(1)直线DF与B1F所成角的余弦值；(2)二面角C1－EF－A的余弦值．25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.(1)求SA与CD所成的角；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．空间向量练习答案解析1.【答案】D【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.2.【答案】B【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.3.【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，故当λ＝时，·取最小值，此时Q.4.【答案】C【解析】如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x 轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，故AC⊥BD.①正确．又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正确．对于③，为面BCD的一个法向量，cos〈，〉＝＝＝＝－.所以AB与OA所在直线所成的角为45°，所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．又cos〈，〉＝＝＝－.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．5.【答案】B【解析】不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.6.【答案】B【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.7.【答案】A【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴AB1与ED1所成角的余弦值为.8.【答案】A【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.9.【答案】B【解析】不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以S 为坐标原点，，，所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz ，则相关各点坐标为A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，S (0,0,0)， M ，N .因为＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，cos 〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10.【答案】A【解析】 c ＝ma ＋nb ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n－4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得即解得11.【答案】A【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB ＝90°，所以分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)， ∴E (A 2,A 2,1)，G (A 3,A 3,13)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(A 6,A 6,23)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－a,1)，∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，解得a ＝2，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(13,13,23)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－2,2)， ∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABD 的一个法向量，又cos 〈AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝43√63×＝√23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为√23，故选A. 12.【答案】A【解析】如下图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，a )，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则{A ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2A +2A =0,A +AA =0,令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，则由cos 60°＝A ·A|A ||A |，得√2＝12，即a ＝√2，故AD ＝√2.13.【答案】Cπ3；当【解析】如图所示，当二面角A －BD －C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝二面角A －BD －C 为钝角时，它应等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3. 14.【答案】D【解析】因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4，因为BP ⊥平面ABC ，所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157，于是AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(337,−157,−3). 15.【答案】C【解析】因为A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．故选C.16.【答案】【解析】＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以cos 〈，〉＝＝＝＝.17.【答案】 B【解析】若两向量的夹角为钝角，则a ·b ＜0，且a 与b 不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1＜0，且x ≠，解得x ＞－2，且x ≠，故选B.18.【答案】【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)．＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，故cos 〈，〉＝＝.19.【答案】√217【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (√32,12,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(√32,12,−1)，A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则有{A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·A =√32A +12A −1=0,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·A =A −1=0.解得n ＝(√33,1,1)，则所求距离为|A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A |A ||＝√3+1+1＝√217. 20.【答案】(1,1,1)【解析】设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1,A2).∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−1,1,A2)，∵cos〈AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，∴A 22＝a √2+A 24·√33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．21.【答案】①②③【解析】由于AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 22.【答案】因为PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1,12)，(1)∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,1)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，故AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⊥DC ，又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD ，又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ； (2)∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,1,0)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)，∴|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√2，|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√5，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，∴cos〈AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√105，由此得AC 与PB 所成角的余弦值为√105；(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－x,1－y ，－z )，AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0,−12)， ∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45，可知当λ＝45时，N 点坐标为(15,1,25)，能使AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，此时，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,1,25)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,−1,25)，由AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， ∴∠ANB 为所求二面角的平面角， ∵|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－45，∴cos〈AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝－23，故所求的二面角的余弦值为－23.23.【答案】以A 为原点，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设PA ＝a ，由已知可得：A (0,0,0)，B (0，a ，0)，C (√34A ,34A ,0)，P (0,0，a )．(1)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√34A ,−A4,0)，∴AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⊥AP ，又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC . (2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点，∴D (0,A 2,A 2)，E (√38A ,38A ,A 2)， ∴由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ， ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,A 2,A 2)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√38A ,38A ,A 2)，∴cos∠DAE ＝AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√144， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为√24.(3)∵DE ∥BC ，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．24.【答案】如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0,2,0)，E (2,1,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,2)，C 1(2,2,2)，(1)因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1,0)，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－2)，所以cos 〈AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝3√5＝－4√515，所以直线DE 与B 1F 所成角的余弦值为4√515；(2)因为A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－1，－2)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1,0)，设平面C 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则由{A ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{−A −2=0,−A +A =0,解得x ＝y ＝－2，所以n ＝(－2，－2,1)，又AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,2)是平面AEF 的一个法向量，所以cos 〈AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉＝A ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝22×3＝13，观察图形，可知二面角C 1－EF －A 为钝角，所以二面角C 1－EF －A 的余弦值为－13.25.【答案】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，S (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)，AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－1,0)，因为cos 〈AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝12，所以SA 与CD 所成的角为60°； (2)设平面SCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，又AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)，{A 1·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,A 1·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{2A −A =0,A −A =0,令x ＝1，则n 1＝(1,1,2)，因为BC ⊥平面SAB ，所以平面SAB 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，cos 〈n 1，n 2〉＝√66，所以平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为√66.26.【答案】如下图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1，－1)，于是A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以B 1C 1⊥CE ；(2)A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则{A ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{A −2A −A =0,−A +A −A =0,消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)，由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量，于是cos 〈m ，A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝A ·A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A ||A 1A 1|＝√14×√2＝－2√77，从而sin 〈m ，A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为√217.27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (1,2,0)，F (0,2,2)， (1)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，易得平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n 的夹角为θ，则cos θ＝AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A |＝25√5，∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为2√55；(2)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面DEF 的一个法向量为m ，则m ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，m ·AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可得m ＝(2，－1,1)，∴cos〈m ，n 〉＝A ·A|A ||A |＝√66，∴二面角F －DE －C 的余弦值为√66.。