平面向量及其加减运算(学生版)

【知识结构】 【要点点拨】 一.平面向量 1.有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段。

2.向量

既有大小又有方向的量叫做向量。

向量的大小也叫做向量的长度。（或向量的模） 3.向量的表示

（1）向量可以用有向线段直观表示 ①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向。 （2）常见的表示方法

①向量AB u u u r

，长度记为AB u u u r ；

②向量a r 、b r 、c r ，长度记为a r 、b r 、c r

。

4.相等的向量

方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。 5.相反的向量

方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。 6.平行向量

方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。

例1:判断下列语句是否正确：

（1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量。

（2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相

同。

（3）向量AB u u u r 与向量BA u u u r

是同一个向量。

（4）相等向量一定是平行向量。 （5）互为相反的向量不一定是平行向量。 （6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量。

例2:在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD ，//DE AB ，点E 在BC 上，如果把图中线段都画成有向

线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）。

平面向量的减法

平面向量的加法

平面向量的概念平面向量

（1）所有与AB u u u r

相等的向量。

（2）所有与AB u u u r

互为相反的向量。 （3）所有与AD u u u r

平行的向量。

二.平面向量的加法 1.向量的加法

求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。 2.零向量

长度为零的向量叫做零向量，记作0r 。规定0r 的方向可以是任意的（或者说不确定）；00=r

。 因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0a a +-=r r r 。

对于任意向量，都有0a a +=r r r ，0a a +=r r r

。 3.向量的加法满足交换律：a b b a +=+r r r r

。

4.向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r u u r

。

5.向量加法的三角形法则

求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以

第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。 6.向量加法的多边形法则

几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量。

例1 如图，已知向量a r 与b r ，求作a b +r r

。

例2 计算：（1）AB BC +=u u u r u u u r ；OE EF +=u u u r u u u r

. （2）AE FC EF ++=u u u r u u u r u u u r

。

（3）AB BC CD DE EF ++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

。

三、平面向量的减法 1.向量的减法

已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法。

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：()a b a b -=+-r r r r

。 2.向量减法的三角形法则

在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向

量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。

3.向量加法的平行四边形法则

如果a r ，b r

是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为

公共起点作两个向量与a r ，b r

相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a r ，b r

的和向量，

这个法则叫做向量加法的平行四边形法则。

4.另外一个对角线向量，即是a r ，b r

的差向量，这个差向量与被减向量共终点。

例1 如图，在图中画出向量AB AC -u u u r u u u r

。

例2 计算：AB

-u u u r

例3 如图，a =r ，BC b =u u u r r 。试用向量a r 和b r 表示向量OA u u u r ，OC u u u r

，

OE uuu r

。

巩固练习 一、填空题

1.已知下列各量:

2.已知向量a r 与向量b r 是互为相反的向量，如果a kb =r r

，那么k = .

3.如果a r 与b r 互为相反的向量，则a b +=r r

.

4.已知平行四边形ABCD 中，向量AC u u u r ，DA u u u r ，BD u u u r

的和为 . 5.如右图，梯形ABCD 中，//AB DC ，点E 在AB 上，//EC AD ，则

6.在ABCD Y 中，若AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，则DB =u u u r

（用a r 和b r 表示）。 7.如图，四边形OACB 是平行四边形，AB 、OC 是对角线。如果OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，那么OC uuu r

= ，

AB uuu r

= 。

二、选择题

1.下列句子正确的是（ ）

A.向量是描述“两个点得分相对位置差”的量

B.向量与“平移”没有关系

C.有向线段表示同一个向量必须起点相同且“同向等长”

D.两条不同的有向线段分别表示的向量一定不是相等向量

2.下列关于a r 、b r 的式子：①//a b r r ；②a b =-r r ；③0a b +=r r ；④a b =r r

。如果a r 、b r 互为相反向量，

那么上面式子中正确的个数为（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 3.下列命题中，假命题的是（ ）

A.若0a b -=r r r ，则a b =r r

B.若a b =-r r ，则//a b r r

E

D C

B

A O

C

B A