青岛版九上1.2《平行四边形的判定》word学案

合集下载

平行四边形的认识教案青岛版

平行四边形的认识教案青岛版这是平行四边形的认识教案青岛版，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

平行四边形的认识教案青岛版第1篇[教学目标]1、知识与技能直观地认识平行四边形学会从各种平面图或实物中辨认平行四边形培养初步的观察能力，空间观念和动手能力。

2、过程与方法让学生在观察、操作、合作交流中探索新知3、情感态度与价值观渗透事物之间相互联系及转化的辩证唯物主义思想。

[教学重点]引导学生直观的认识平行四边形[教学难点]引导学生通过直观感知抽象出平行四边形。

[教学关键]在教学过程中，尽可能为学生提供观察、操作的机会，丰富学生的感性认识，使学生的感性认识升华为理性认识。

[教学方法]演示法、观察法、操作法等。

[教具准备]多媒体课件、可拉动的长方形框架、钉子板，方格纸[学具准备]可拉动的长方形框架，一张长方形的纸。

[教学过程]一、复习引入游戏引入（出示课件）以“七个小矮人”中的开心果讲游戏规则，老师先发一些基本图形给学生，有三角形、圆形、长方形、正方形、平行四边形等，叫到什么图形的时候，大一部分同学就起立把图形举高让大家看，最后，只剩下平行四边形没有叫着，揭示课题：今天我们就来认识这一种新的四边形。

板书课题：平行四边形二、探索新知1、观察感知（课件展示）教学例1：课件出示生活中的实物图形，引导学生观察在观察的基础上进行小组交流讨论，这些图形都有什么共同点？交流抽象：在小组讨论的基础上进行全班交流，教师引导学生观察发现：以上的图形都含有，指出这种图形就是我们今天要认识的平行四边形，课件出示平行四边形的图和文字。

2、操作感知教学例2拉一拉：⑴你能把长方形变成平行四边形吗？你是怎样变的？捏住长方形的两个对角，向相反的方向拉动，这样就变成了一个平行四边形。

在学生独立操作、感知的基础上进行小组合作、交流：长方形有什么变化？全班交流时引导学生发现：通过拉动长方形框架使它变成了平行四边形，在拉动的过程中，四条边的长短不变，所以平行四边形的对边相等；四个角变了，原来是四个直角，拉成平行四边形后，四个角分别变成了两个锐角和两个钝角。

青岛版九年级上册数学《平行四边形的性质》

《平行四边形的性质》教案（第1课时）精华版一、内容和内容解析1．内容平行四边形的概念，平行四边形边、角的性质，平行线间的距离．2．内容解析平行四边形作为最基本的几何图形，作为“空间与图形”领域中研究的主要对象，它在实际生产和生活中有着广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有很多平行四边形的图案，还包括其性质在生产生活各领域的实际应用．本节内容是平行四边形第一课时，既是本节的重点，又是本章的重点．学习它不仅是对已学的平行线、三角形等知识的综合运用和深化，又为我们接下来类比学习矩形、菱形等特殊四边形奠定了重要基础．此外，平行四边形的性质还是证明线段相等和角相等的重要依据和方法，具有承上启下的作用．本节课的主要内容是平行四边形的概念和平行四边形对边相等、对角相等的性质，之后又引出平行线间的距离的概念．平行四边形是一种特殊的四边形，特殊在两组对边分别平行且相等．由于这个特殊性导致它具有一般四边形不具有的特殊性质，这些特殊的性质有助于我们解决许多实际生活中的问题．所以，本节课的重点是平行四边形对边相等、对角相等的性质．二、目标和目标解析1．目标（1）理解平行四边形的概念．（2）探究并证明平行四边形对边相等、对角相等的性质．2．目标解析达成目标（1）的标志是：理解平行四边形的概念，明确平行四边形和四边形的区别和联系，会用平行四边形的概念进行判断和推理．达成目标（2）的标志是：能够利用平行四边形的概念证明它的边、角的性质，并能初步应用平行四边形的性质进行简单的计算和证明，解决生活中的实际问题，培养学生的观察能力及逻辑推理论证能力，渗透“转化”的数学思想．三、教学问题诊断分析由于学生在前面已接触过平行线和三角形的有关知识，根据学生的年龄特点，运用直观生动的形象，使学生通过动手度量发现性质，并用全等三角形的知识加以证明．学生证明过程中出现的主要困难是添加辅助线，构造全等三角形．教师可以引导学生“要证明两条线段或两角相等，可以通过证明两条线段或两角所在的三角形全等”，由此想到连接平行四边形的对角线，构造全等三角形进行证明．所以本节课的难点是如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法．四、教学过程设计（一）视频导课：播放视频《平行四边形的性质》（第一课时）导入二，进行导入新课．（多媒体授课）1．看一看欣赏视频与图片：老师播放课件，显示丰富多彩的画面，其中有学生熟悉的校门（伸缩门），楼梯两旁的扶手，窗户在太阳光下的影子等．2．找一找问题：这些精美的画面中，你能找出其中的平行四边形吗？请谈谈你对平行四边形的认识？师生活动：学生积极举手回答后，师引导学生共同归纳：（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）表示：平行四边形用符号“□”来表示．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四边形．平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”．DCBA①∵AB //DC ，AD //BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形（判定）． ②∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB //DC ，AD //BC （性质）．平行四边形的概念既可以作为性质，又可以作为判定平行四边形的依据．师强调：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，对角线是指连接对角顶点的线，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（结合图形，让学生认识清楚）平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？学生同桌交流后，师选学生发言．设计意图：通过观察生活中常见的图片，找出图片中平行四边形的原型，从而抽象出平行四边形的定义，让学生在感受美的同时，体会数学源于生活，激发学生学习的兴趣．（二）猜想证明，探究性质（可用微课视频辅助授课）平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．1．做一做：（1）让学生根据平行四边形的定义画一个平行四边形，观察所画的平行四边形，它是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗？师生活动：学生通过动手操作、小组交流、探究验证结论：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．（师课件演示验证结论）（2）平行四边形除具有四边形的性质和两组对边分别平行以外，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？①由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角，教学时结合图形使学生分辨清楚．） ②猜想：平行四边形的对边相等、对角相等． ③下面证明这个结论的正确性．已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形．求证：AB ＝CD ，CB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠BAD ＝∠BCD ．4321DC BA分析：连接□ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．连接对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（ASA）．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠BAD＝∠1＋∠4，∠BCD＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1：平行四边形的对边相等．平行四边形性质2：平行四边形的对角相等．设计意图：引导学生证明猜想，体会证明思路的分析方法和把四边形问题转化为三角形问题来解决的思想方法．（三）初步应用，巩固知识例求证：（1）夹在两条平行线间的平行线段相等；（2）如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的距离相等．（1）已知：如图，l1∥l2，A，D是直线l1上的任意两点，过点A，D作AB∥CD，分别交l2于点B，C．求证：AB＝CD．l 2l1DCBA师点拨：根据已知l1∥l2，AB∥CD，根据平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，那么就能证明AB＝CD．(通过课件展示证明过程) 证明：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义），∴AB＝CD（平行四边形的性质定理1）．（2）已知：如图，l1∥l2，A，D是直线l1上的任意两点，AB⊥l2，垂足是B，CD⊥l2，垂足是C．求证：AB＝CD．l 2l1DCBA师点拨：根据已知AB⊥l2，CD⊥l2，可知∠ABC＝∠DCB＝90°，则∠ABC+∠DCB＝180°．根据平行线的判定，就能证明AB∥CD．由（1）可知AB＝CD．(通过课件展示证明过程)证明：∵AB⊥l2，CD⊥l2，∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°．∴∠ABC+∠DCB B＝180°．∴AB∥CD．由（1）可知AB＝CD．设计意图：通过例题的讲解，让学生进一步体会平行四边形的性质．挑战自我：如图，P为□ABCD内的任意一点，连接P A，PB，PC，PD得到△P AB，△PBC，△PCD，△P AD．你发现其中两个不相邻的三角形的面积之和与平行四边形ABCD的面积之间有什么关系？从而你能得到什么结论？证明你的结论．PDCBA如图，假设△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的面积分别是S 1，S 2，S 3，S 4，得出如下结论：S 1+S 3=S 2+S 4=12S □ABCDHG FE S 4S 3S 2S 1P DCBA证明：如图，过点P 分别作边AB ，BC 的平行线，则□ABCD 被分成四个小平行四边形，AP ，BP ，CP ，DP 分别为四个小平行四边形的对角线，把四个小平行四边形分成两个面积相等小三角形．即：S △APE = S △APG ，S △BPG = S △BPF ，S △CPF = S △CPH ，S △DPH = S △DPE ．PABPCDS S +=S 1+S 3= S △APG + S △BPG + S △DPH + S △CPH =12S □ABCD PBC PDASS+= S 2+S 4= S △BPF + S △CPF + S △APE +S △DP =E12S □ABCD 所以△P AB 与△PCD 的面积和等于△PBC 与△PDA 的面积和，都等于□ABCD 面积的一半，即：S 1+S 3=S 2+S 4=12S □ABCD ．课堂练习：在□ABCD 中，（1）已知AB =5，BC =3，求它的周长；（2）已知∠A =38°，求其余各角的度数．师找两名学生板书解题步骤，根据出现的问题进行点拨．也可用几何画板进行动画演示．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=DA．∴□ABCD的周长为AB+CD+BC+DA=2(AB+BC)=16．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A，∠B+∠A=180°，∠D=∠B．∵∠A=38°，∴∠C=38°，∠B=180° 38°=142°，∠D=142°．师强调：1．因为平行四边形的对边相等，所以平行四边形的周长=两邻边和的2倍．2．平行四边形的对角相等、邻角互补．设计意图：通过练习巩固平行四边形的性质及运用．（四）课堂小结1．引导学生从对知识的理解，在知识的获得过程中的体验和感受，在解决问题过程中的心得和对数学思想方法的体会等方面进行学习小结，开展交流．（1）平行四边形的概念；（2）平行四边形的性质：①平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．②边：对边平行且相等．③角：对角相等、邻角互补．2．鼓励学生对教师的教和同伴、自身的学习行为进行反思和评价，还可以对本节课进行质疑，说出存在的疑惑，谈谈自己不同的见解．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，进一步理解平行线的概念和性质．（五）布置作业1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC 的平分线DG交边AB于G．（1）求证：AF＝GB；（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG是等腰直角三角形，并说明理由．G FA BCE设计意图：考查应用平行四边形的概念和性质进行推理的能力． 2．提高题：如图②，将□ABCD （纸片）沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 1交CD 于点G ，A 1B 1分别交CD ，DE 于点H ，I ．求证：EI =FG ．IB 1A 1HGFABCD E设计意图：考查知识的综合应用能力．作业答案：1．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ． ∴∠AGD ＝∠CDG ． ∵∠ADG ＝∠CDG ， ∴∠ADG ＝∠AGD ． ∴AD ＝AG ．同理可证，BC ＝BF ．又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ． ∴AG ＝BF ．∴AG －GF ＝BF －GF ．即AF ＝GB ．（2）可添加条件EF ＝EG ．理由如下：由（1）证明易知∠AGD ＝∠ADG ＝21∠ADC ，∠BFC ＝∠BCF ＝21∠BCD ． ∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠BCD ＝180°． ∴∠AGD ＋∠BFC ＝90°． ∴∠GEF ＝90°．又∵EF ＝EG ，∴△EFG 为等腰直角三角形． 2．65IB 1A 1HGF ABCD E4321证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C ，∠B =∠D ．由折叠的性质可得：AE =A 1E ，∠A 1=∠A ，∠B 1=∠B ， ∴A 1E =CF ，∠A 1=∠A =∠C ，∠B 1=∠B =∠D ．又∵∠1=∠2， ∴∠3=∠4．∵∠5=∠3，∠4=∠6， ∴∠5=∠6．在△A 1IE 与△CGF 中，1156A C A E CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∠∠，，∴△A 1IE ≌△CGF （AAS ）． ∴EI =FG ．（六）课堂检测1．在□ABCD中，∠A比∠B大30°，则∠A＝________，∠D＝________．2．在□ABCD中，如果∠A的外角是50°，那么平行四边形的每个内角________．3．若□ABCD的周长是30 cm，AB︰CB＝3︰2，则AD＝________ cm，CD＝________ cm．4．在□ABCD中∠B的平分线将AD分成4 cm和2 cm两段，求□ABCD的周长．课堂检测答案：1．∠A＝105°，∠D＝75°．2．∠A＝130°，∠B＝50°，∠C＝130°，∠D＝50°．3．AD＝6 cm，CD＝9 cm．4．□ABCD的周长为20 cm或16 cm．。

青岛版平行四边形教案设计

信息窗1——平行四边形的面积【学习目标】认识平行四边形；掌握平行四边形的面积计算公式，并能正确计算平行四边形的面积。

【学习过程】一、板书课题师：同学们，咱们今天一起来学习平行四边形的面积。

【板书：平行四边形的面积】二、出示目标师：学习目标是什么呢？（出示目标：结合具体计算，理解平行四边形的面积公式、推导过程，学会计算方法，并能正确地进行计算）请大家齐读一下。

三、自学指导（一）讲述：怎样实现这个目标呢？靠大家自学，怎样自学呢？请齐读自学指导。

（二）出示自学指导：认真看课本第75页——第78页（看图、看文字）内容，重点看平行四边形面积的推导过程。

如果有不懂的，可以问同学，或举手问老师。

4分钟后，比谁做对与例题类似的题。

四、先学（一）过渡：下面自学开始，比谁自学后，能做对检测题。

（二）看一看。

生认真看书，师巡视并督促每个学生认真自学。

（要保证学生看够4分钟，学生可以看看、想想，如果学生看完，可以复看。

）（三）做一做。

1、过渡：同学们看完了吗？看完的同学请举手？好，下面就来考考大家。

要比谁做得又对又快，比谁字体端正，数字要写的大些，数字间要有一定的间距（要划出学生板演的位置）2、板演练习，请两名（最差的同学）来上讲台板演79页“自主练习”的第5题，其余同学做在练习本上。

教师巡视，要找出学生中的错误，并板书。

五、后教：议一议1、学生更正教师指导：发现错了的请举手！点名让学生上台更正。

提示用红色粉笔改，哪个数字错了，先划一下，再在旁边改，不要擦去原来的。

2、讨论。

过渡：到底谁对谁错呢？下面请大家讨论，还要说出“为什么”。

（1）讨论几道题的第一步。

师：哪个对呢？为什么？（手指一下不同的答案）（3）师：请同学们看几道题的最后一步对不对？为什么？（4）给第二题打“√”或“×”。

（5）同桌互改。

讲述：a.同学们请把作业本交换一下，看看同桌做的对不对，对的打对号，如错打错号。

b.全对的请举手？c.做错的同学请举手，错在哪里请说一下。

青岛版九年级上册数学学案第1章

1.1 平行四边形及其性质（第1课时）学习目标：1、理解并掌握平行四边形的定义2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理23、提高综合运用知识的能力学习重点：平行四边形的定义，对角、对边相等的性质，以及性质的应用．学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．预习指导：1、在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，生活中也常见平行四边形的实例，如_______________________________________________________等，都是平行四边形。

2、____________________________________是平行四边形。

3、平行四边形的性质是：_________________________________________.学习过程：一、学习新知1、平行四边形的定义（1）定义：________________________________________叫做平行四边形。

（2）几何语言表述: ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形（3）定义的双重性: 具备__________________的四边形，才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定具有性质。

（4）平行四边形的表示：平行四边形ABCD记作_________,读作___________.2、平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD．分析：要证AB＝CD，CB＝AD．我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等，因此我们可以作辅助线__________________,它将平行四边形分成_________和__________，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论．证明：总结：本题提供了证明线段相等的方法，也体现了数学中的转化思想。

在上题中你能证明∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD吗？利用我们学过的方法试一试。

山东省青岛市九年级上北师大版期中复习(一、二章)导学案

期中复习（一）一、特殊的平行四边形部分要点一、菱形的定义、性质及判定定义：叫做菱形性质：1、边： 2、角：3、对角线：4、面积：判定：1、已知四边形是平行四边形，可证或来证明该四边形是菱形2、已知四边形是一般四边形，可以证或先证它是平行四边形再进一步证明。

要点二、矩形的定义、性质及判定定义：叫做矩形性质：1、边： 2、角：3、对角线：4、直角三角形斜边的中线=5、30°60°直角三角形边的比为 45°直角三角形边的比为判定：1、已知四边形是平行四边形，可证或来证明该四边形是矩形2、已知四边形是一般四边形，可以证或先证它是平行四边形再进一步证明。

3、在已知条件与边无关的情况下，证明一个四边形是矩形，常证明这个四边形有三个角是直角要点三、正方形的定义及性质定义：叫做正方形性质：1、边： 2、角：3、对角线：4、面积=判定：1、的矩形是正方形2、的矩形是正方形3、的菱形是正方形4、的菱形是正方形题型一：求角度问题1、如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点、分别在、上，且，则（）A. B. C. D.2、如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝________3、如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 的度数为_________题型二、中点四边形中点四边形的形状与原四边形的有关，利用原理可得，若当无任何关系时，中点四边形为形；当时，中点四边形为矩形；当时，中点四边形为菱形；当时，中点四边形为正方形。

1、正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（）A. 平行四边形B. 正方形C. 菱形D. 矩形【变式2】如图，已知E ，F ，G ，H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB ＝6cm ，∠ABC ＝60°，则四边形EFGH 的面积为_________cm 2题型三：求长度或面积问题1、现有一张边长等于a(a>16)的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm 处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是______(填写图形的形状)(如图)，它的一边长是______cm2、如图，菱形ABCD 的边长为4，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若∠B ＝60°，则EF 的长为_______ 题型三1题题型三2题题型四1题题型四2题题型四、综合辨析1、如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过O 点且EF ⊥AC 分别交DC 于F ，交AB 于E ，点G 是AE 中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（）（1）DC=3OG ；（2）OG=21BC ；（3）△OGE 是等边三角形；（4）S △AOE=61SABCD ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE ＝15°，则下面的结论：其中正确结论有（） ①△ODC 是等边三角形；②BC ＝2AB ；③∠AOE ＝135°；④S △AOE ＝S △COE ，A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型五、折叠问题解决折叠问题通常利用折叠前后图形全等，选择适当的直角三角形设未知数，运用勾股定理列方程求解。

九年级数学上册《1.2 平行四边形的判定》学案（1）

《1.2 平行四边形的判定（1）》学案学习目标：一、在探讨平行四边形的判别条件中，明白得并把握用边来判定平行四边形的方式．2、会综合运用平行四边形的判定方式和性质来解决问题．3、培育用类比、逆向联想及运动的思维方式来研究问题．学习重点：明白得和把握平行四边形的判定定理。

预习指导：一、平行四边形概念是____________________________________.二、平行四边形性质是(1)_____________________________________________.(2)___________________________________________________________ ____.3、平行四边形的判定定理是（1）_____________________________________.(2)________________________________________________________________.学习进程：一、学习新知小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些方法来吗？请学生通过观看、测量、猜想、验证、探讨组成平行四边形的条件，试探并探讨：（1）你能适被选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你如何验证你搭建的四边形必然是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）可否将你的探讨结论作为平行四边形的一种判别方式？你能用文字语言表述出来吗？（5）证明以上发觉的平行四边形的判定发方式。

平行四边形的判定定理（1）两组对边别离相等的四边形是平行四边形已知：求证：证明：平行四边形的判定定理（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

已知：求证：证明：二、应用举例例题：已知：如图，ABCD中，E、F别离是AD、BC的中点，求证：BE=DF．三、随堂练习已知：如图，ABCD中，E、F别离是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．四、课后小结平行四边形的判定定理（1）是________________________________________.平行四边形的判定定理（2）是________________________________________.五、当堂检测一、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF通过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。

青岛版九上1.2《平行四边形的判定》word教案

1.2平行四边形的判定【教学目标】1.平行四边形的判定定理及应用.2•会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题.3•会根据条件来画出平行四边形.4•培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题]【教学重点、难点】【教学过程】一、用类比、逆向思维的方式探索平行四边形的判定方法1 •复习平行四边形的主要性质，两组对边平行，（性质1）边4（b）两组对边相等■（性质2）角：（c ）两组对角相等.（性质3）（等价命题：两组邻角互补）对角线：（d）对角线互相平分.（性质4）2 •逆向思维：怎样判定一个四边形是平行四边形？（1 ）学生容易由定义得出：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（判定方法一）•也就是说，定义既是平行四边形的一个性质，又是它的一个判定方法.（2）观察判定方法一与性质1的关系，寻找逆命题的特征：（3）类比联想，猜想其他性质的逆命题也能判定平行四边形，构造逆命题如下:①两组对边分别相等的四边形是平行四边形（猜想1）（4）证明猜想，得到平行四边形的判定定理 1 •教师引导学生根据平行四边形的定义以及平行线的性质、三角形全等的知识对以上猜想进行证明•实际，让学生利用上述方法得出有关平行四边形判定方法的部分常用（或全部）猜想.（教师也可用判断题的形式让学生思考，从而降低难度）猜想一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.猜想二：一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.猜想三：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.(3)证明猜想成立或举例说明某猜想不成立.以上猜想中正确的是猜想一，猜想二和三的反例图形分别见图4-21 ( a).图4-2]如图4 —21 (a)，在四边形ABCD中，AD //BC , 形；在图4-21 ( b)中，AB = AC= DE / B=Z C=Z D,但四边形ABED不是平行四边(4)总结。

平行四边形判定方法，根据题目条件从中灵活选用方法来解决问题.二、判定定理的巩固练习1 •禾U用平行四边形的判定定理及性质定理进行证明.例1已知：如图4 —22, E和F是一-'ABCD寸角钱AC上两点，AE= CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.说明：引导学生从条件、结论两方面对题目进行再思考.(1)在此基础上，还可证出什么结论？用到什么方法？如还可证BE兰DF,DE兰BF, / BED=Z BFD等.总结方法：利用平行四边形的性质---- 判定 -- 性质可解决较复杂的几何题目(2)根据运动、类比、特殊化的思维方法，猜想对此题可作怎样的推广？类比例1条件，利用运动变化的观点，让E和F在对角线AC上运动到一些特殊位置，猜想还可得出同样结论如图4-23，但其中的猜想无法证明.缺图4-23猜想一如图4-23 (a),在口ABCC中，E , F为AC上两点，/ ABE=Z CDF求证：四边形BEDF为平行四边形.猜想二如图4—23 ( b),在口ABCD中，E, F为AC上两点，BE//DF .求证：四边形BEDF为平行四边形.AB = DC但四边形ABCD不是平行四边<«)<b)图4-22猜想三如图4-23 ( c),在口ABCD中，E , F为AC上两点，BE = DF.求证：四边形BEDF为平行四边形.求证：四边形BEDF为平行四边形例2已知：如图4 —24(a),在口ABCD中，E,F分别是边AD, BC的中点.求证：EB=DF 说明：(1)分析证明思路，所要证明的两条线段恰为四边形EBFD的一组对边，由图中它们所在的位置来看，可首先判定四边形BEDF为平行四边形，再利用平行四边形的性质来解决.培养学生思维的层次：使用已知平行四边形的性质一一判定新平行四边形一一使用新平行四边形的性质得出结论.(2)弓|导学生适当改变题目的条件、结论，对命题加以引伸和推广.推广一(对结论引伸)已知：如图4-42 ( b)，在口ABCD中，E，F分别为AD, BC 的中点，BE交AF于G, EC交DF于H.求证：(1 )四边形EGFH为平行四边形;(2)四边形EGHE为平行四边形猜想四如图4—23 (d)，在匚JABCD中, E,F分别是AC上两点，BEX AC 于E, DF丄AC于F.冲E(c)A E DB F c思考：怎样用运动、类比及特殊到一般的方法来改变命题的条件，将命题加以推广推广二已知：如图4-24 ( c)，在口ABCD中, E, F为AD, BC上两点，AE= CF.求证：EB= DF.推广三已知：如图4-24 (d),在口ABCD中, E , F为AD, BC上两点，/ ABE=Z CDF求证：EB= DF .推广四已知：如图4-24 (e),在口ABCD中, E, F分别为AD,・BC上两点，BE和DF分别平分/ ABC和/ ADC求证:EB = DF .推广五已知：如图4-24 (f ),在口ABCD中, E, F分别为AD BC上两点，AE± BC于E, CF丄AD于F.求证：BE= DF.四、师生共同归纳小结1 .平行四边形的判定方法有哪些？应从边、角、对角线三方面来进行总结，并指出：性质定理的逆命题如果正确，常常作为判定定理来使用.2•学习了哪些研究问题的思想方法五、作业课本第144页第7〜14题，B组1 , 2, 4题.补充题：1 .如图4-25，在:二ABCD中，AE = CF, BG= DH 求证：AH, BE, CG,DF 围成的四边形MNP 购平行四边形.2.如图4-26，在二ABCD中, E, F, G和H分别是各边中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.3 .如图4 —27,在口ABCD中，AC, BD交于0点，AEL BD于E,CG丄BD于G,BH丄AC于H, DFL AC于F.求证：四边形EFGH为平行四边形.。

青岛版九年级上册数学《平行四边形的性质》

《平行四边形的性质》教案（第2课时）探究版一、教学目标（一）知识与技能1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能够综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．（二）过程与方法在观察、操作、推理、归纳的探索中，进一步培养学生的数学说理能力与习惯．（三）情感态度通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心．二、教学重点、难点（一）教学重点平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．（二）教学难点综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、教学过程（一）复习导入1．平行四边形的定义是什么？（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．）2．平行四边形有何性质？（①对边平行；②对边相等；③对角相等；④邻角互补．）3．如何证明平行四边形的边的性质和角的性质？（通过连接平行四边形的对角线，构造全等三角形来证明．）4．平行四边形除了边、角这两个基本要素的性质外，对角线有什么性质呢？今天我们一起来探究一下．设计意图：通过创设问题，激发学生的好奇心和求知欲，集中学生的思维兴奋点，为下面学习新知识创设良好的开端．（二）探究新知1．大家各自画出一个□ABCD，连接AC，BD，并设它们相交于点O，用尺子分别量一下线段OA ，OC ，OB ，OD 的长度，你发现OA 与OC ，OB 与OD 有什么关系吗？你能猜想一下平行四边形对角线有什么性质吗？OA ＝OC ，OB ＝OD ．猜想：平行四边形的对角线互相平分． 2．你能证明你的猜想的正确性吗？已知：如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．求证：OA ＝OC ，OB ＝OD ．分析：与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三角形全等来证明．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴△AOD ≌△COB ． ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ．所以我们可以得到平行四边形的又一个性质：平行四边形的对角线互相平分．符号语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，ODCBAODCBA4321O DC BA∴OA ＝OC ，OB ＝OD ．（平行四边形的对角线互相平分）或∵□ABCD ，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ．（平行四边形的对角线互相平分）或∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC ＝2AO ＝2CO ，BD ＝2BO ＝2DO ．设计意图：通过画，量，比，证，让学生经历了平行四边形概念的探究过程，符合学生的认知规律，避免的对概念的机械记忆，发展了探究意识，培养了思维的广阔性．（三）例题精析【例】已知：如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作一条直线，分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：OE ＝OF ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AD ∥BC ． ∴∠1＝∠2． ∵∠3＝∠4，∴△OAE ≌△OCF （ASA ）． ∴OE ＝OF ．设计意图：通过例题的讲解，学会综合运用平行四边形的性质及三角形全等进行推理论证的能力．例题中，如果将条件“分别交AD ，BC 于点E ，F ”改为“分别交BA ，DC 的延长线于点E ，F ”， OE ＝OF 的结论还成立吗？O 4321FEDCBA证明：OE ＝OF 的结论仍成立． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AB ∥CD ． ∴∠1＝∠2． ∵∠3＝∠4，∴△OAE ≌△OCF （ASA ）． ∴OE ＝OF ．挑战自我：1．在例题中，经过两对角线的交点O 作直线，除了以上两种情况外，还可能有其他情况吗？如果还有，请分别画出图形，写出结论，并给出证明．把以上各种情况加以归纳，你能得出一个怎样的结论？（1）结论：OE ＝OF ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，O4321FEDCBAOFEDCBA∴OA ＝OC （平行四边形的对角线互相平分）， AD ∥BC （平行四边形的定义）． ∴∠OEA ＝∠OFC ． ∵∠AOE ＝∠COF ， ∴△AOE ≌△COF ． ∴OE ＝OF ．（2）结论：OE ＝OF ．证明：在□ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．又∵OA ＝OC （平行四边形的对角线互相平分）， ∴△AOE ≌△COF （AAS ）．∴OE ＝OF （全等三角形对应边相等）．设计意图：加深对性质的理解，培养灵活运用能力．2．如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB ＝90°，OA ＝6，OB ＝3．求AD 和AC 的长度．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ，DO ＝BO （平行四边形的对角线互相平分）， ∵OA ＝6，AO ＝CO ， ∴AC ＝AO ＋CO ＝12．4321F E OBA DCCODBA∵∠ADB ＝90°， ∴△ADO 是直角三角形．根据勾股定理，得AD =设计意图：加深对性质的理解，培养灵活运用能力．（四）课堂练习1．平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（）． A ．不稳定性 B ．对角线互相平分 C ．内角和为360° D ．外角和为360°2．如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ＝10，BD ＝8，则AD 的取值范围是_________________．3．如图所示，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是（）．A ．AC ⊥BDB ．AB ＝CDC ．BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠BCD4．如图，□ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（）．A ．3B ．6C ．12D ．24DABCOODCBA参考答案： 1．B ． 2．1＜AD ＜9． 3．A ．4．C ．解析：观察图形会发现，每一小块阴影三角形都与它相对的三角形全等，则阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半．故S 阴影＝12S □ABCD ＝12×6×4＝12．设计意图：强化对知识的理解，规范做题格式．（五）课堂小结1．知道平行四边形中心对称的特征．2．掌握平行四边形对角线互相平分的性质并能利用这一性质进行计算或证明． 3．综合运用平行四边形的性质进行计算或证明． 4．会根据题目提供的条件计算平行四边形的面积．设计意图：通过对整个课堂学习进程的总结反思，促进理解，提高认识水平，构建知识结构，培养学生自我反馈，自我总结的能力．（六）课堂检测1．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BD ，∠EAD ＝60°，AE ＝2 cm ，AC ＋BD ＝14 cm ，则△OBC 的周长是________cm ．2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是（）．A ．3 cm ＜OA ＜5 cmB ．2 cm ＜OA ＜8 cmC ．1 cm ＜OA ＜4 cmD ．3 cm ＜OA ＜8 cmEO ABCDABCDO3．如图，在□ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，∠DAB ＝30°，点E ，F 在AC 上，且AE ＝EF ＝FC ，则△BEF 的面积为（）．A ．8B ．4C ．6D ．12 答案：1．解析：在□ABCD 中，BC ＝AD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ． ∵AE ⊥BD ，∠EAD ＝60°，AE ＝2cm ，∴AD ＝4cm ． ∵AC ＋BD ＝14cm ， ∴OB ＋OC ＝7cm ．∴△OBC 的周长＝OB ＋OC ＋BC ＝11cm ．答案：11．2．C ．解析：在△ABC 中，∵BC －AB ＜AC ＜AB ＋BC ， ∴2cm ＜AC ＜8cm ．又∵， ∴1cm ＜OA ＜4cm ．故选C ．3．B ．解析：在□ABCD 中， ∵AB ＝8，AD ＝6，∠DAB ＝30°， ∴AB 边上的高h 为． ∴S □ABCD ＝8×3＝24． ∴S △ABC ＝S □ABCD ＝＝12．又∵AE ＝EF ＝FC ，∴S △BEF ＝．故选B ．（七）布置作业D ABCEF 12OA AC =16=32⨯121242⨯1112433ABC S =⨯=△1．在□ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，已知AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，△AOB 的周长是18cm ，那么△AOD 的周长是________．2．□ABCD 的对角线交于点O ，S △AOB ＝2cm 2，则S □ABCD ＝________．3．如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，平行四边形ABCD 的周长为48，DE ＝5，DF ＝10．（1）求AB 的长度；（2）求平行四边形ABCD 的面积．答案： 1．16 cm ． 2．8 cm 2．3．解：（1）设AB ＝x ，则BC ＝24－x ．根据平行四边形的面积公式可得5x ＝10（24－x ）．解得x ＝16，即AB ＝16．（2）∵AB ＝16，DE ＝5，∴平行四边形ABCD 的面积等于5×16＝80．D ABCE F。

山东省肥城市王庄镇初级中学九年级数学上册《1.2 平行四边形的判定》学案(无答案) 青岛版

课题：《1.2平行四边形的判定》学习目标：1.能自主探索平行四边形的判别条件，掌握判定平行四边形的方法．2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．重点难点：重点：掌握平行四边形的判定定理。

难点：几何推理方法的应用。

学法指导：1.记熟平行四边形的判定方法。

2.弄清每一步推理的目的和依据。

预习案自主学习课本p9---12内容，思考下列问题:1、平行四边形的性质有哪些？2、我们学习了平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等。

它的逆命题是什么？是真命题吗？写出已知、求证、证明。

3、一组对边平行且相等的四边形是否是平行四边形？如何证明？4、对角线互相平分的四边形是否是平行四边形？如何证明？预习检测：1. 课后练习12. 1.2A 1探究案应用举例：例2、已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．证明：对标自查：通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？达标测评：1.在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．2.已知如图，O为平行四边形ABC D的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。

求证：四边形AECF是平行四边形。

3. 已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD 于点O．求证：EO=OF．训练案配套练习册1.2 1、2、3、4、5。

青岛版平行四边形的判定(一)导学案

课题：6.1平行四边形的判定（一）课前延伸1、平行四边形的定义是什么?2、平行四边形有什么性质?【学习目标】一、知识目标：1、经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，我们可以逐步掌握说理的基本方法。

2、探索并了解平行四边形的判别方法：能根据判别方法进行有关的应用。

二、技能目标：在探索过程中发展我们的合理推理意识、主动探究的习惯。

三、情感、态度、价值观目标：体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高我们的学习兴趣。

课内探究自主学习凭直觉和测量都确实感受到它是平行四边形我们如何用推理的方法加以证明呢？试一试吧！也许会成功命题：两组对边分别相等的四边形为平行四边形。

已知：求证：证明：您还能想到其他的判定方法吗？合作交流：你能完成证明吗？请你来总结：平行四边形有哪些判定方法？应用练习：填空：如图,四边形ABCD 中(1) 若AB∥CD,补充条件_____, 使四边形ABCD 为平行四边形； (2)若AD=CB,补充条件_____,使四边形ABCD 为平行四边形。

2．如图四边形ABCD 中，AB//CD ，只需添加一个条件，能使四边形ABCD 是平行四边形，现有条件:①AB=CD，②BC=AD ，③AD//BC，④∠ABC=∠ADC，这些条件中，满足要求的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( ) A ．AB∥CD，AD∥BC B ． AB=CD ，AD=BC C ．AB∥CD，AB=CD D ． AB∥CD，AD=BC精讲点拨如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 和AD 上的两点，且AF ＝CE 。

求证：四边形AECF 为平行四边形举一反三已知：如图， ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF小结：请你谈一谈学习了本节课你有哪些收获？堂堂清：1、判断下列四边形是否是平行四边形?并说明理由.2、请你识别下列四边形哪些是平行四边形?为什么？3、在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是( )(A)AB∥CD,AD∥BC(B)AB=CD,AD=BC(C) AB∥CD,AD=BC(D) AB∥CD, ∠A=∠C4、已知:AB=DC=EF AD=BC DE=CF，则图中有哪些互相平行的线段？课后拓展还有哪些能证明一个四边形是平行四边是平行四边形的方法？。

青岛版九年级上册数学《平行四边形的性质》

《平行四边形的性质》教案（第1课时）探究版教学目标知识与技能：理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力．通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力．过程与方法：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性．情感、态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐．教学重点平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．教学难点运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．教学策略主要通过创设问题情境，引导学生动手操作、观察迁移，采用发现法、探究法、练习法为辅的教学方法．教具准备：多媒体课件、视频、白纸、剪刀教学过程设计(用视频《平行四边形》对本章进行导入)本节课我们就来学习《平行四边行的性质》一、视频导课：播放视频《平行四边形的性质》（第1课时）导入1，进行导入新课．（多媒体授课）请同学们欣赏一组日常生活中常见的图片：问题：这些的精美的画面中，你能找出其中的平行四边形吗？请谈谈你对平行四边形的认识？学生回忆小学对平行四边形的有关认识．师揭示课题，提出教学目标并板书课题．设计意图：利用视频导入、多媒体课件展示学生身边平行四边形应用的精美图片，让学生在愉快的氛围中主动地回忆平行四边形相关知识，从而找到知识的生长点．这样做，一方面可让学生认识到平行四边形在生活，生产中的应用，另一方面让学生在复杂的图形中认识平行四边形．这样的处理源于“数学应从学生已有的知识经验出发”的理念．二、动手实践，概念巩固1．拼一拼（拼平行四边形）操作活动：同学们拿出准备好的剪刀．彩纸或白纸一张．将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个平行四边形．观察．讨论．（1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流；（2）投影展示出学生拼出不同形状的平行四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由．（3）用简洁的语言刻画这个图形的特征，并与同伴交流．设计意图：让学生在这里继续进行概念的探究，不仅仅是简单的复习，而是加深对知识的理解，同时发展学生的探究意识．让学生动手拼图，一方面利用投影仪展示不同形状的平行四边形，引起学生的共鸣，唤起学生对所学内容的兴趣和欲望，使学生进入积极主动的学习状态，关注图形运动所产生的学习问题；另一方面为后面“解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来解决”埋下伏笔．2．说一说（1）师生共同归纳平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．（2）类比三角形的符号表示，引出平行四边形的符号表示．平行四边形的表示“□”．（3）学生动手画一个平行四边形，并用符号表示出来．进一步介绍平行四边形相关的概念：对边、对角、邻边、邻角、对角线．（4）教师进一步强调，平行四边形定义中的两个条件：①四边形（一种特殊的四边形）；②两组对边分别平行，即AD//BC且AB//BC；帮助学生领会平行四边形的定义，既可以作为平行四边形的性质，又可以作为平行四边形的判定方法，并用数学符号语言书写性质和判定．即：①∵AB//DC，AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）．②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，AD//BC（性质）．设计意图：在概念形成定义阶段，设计“抽象本质属性”“确认本质属性”“符号表示”“具体应用（画平行四边形）”一系列过程．目的是让学生进一步明确平行四边形的内涵和外延，以加深对概念的理解．同时，在概念系中找到平行四边形的位置，明确四边形与平行四边形两个概念之间的属种关系．3．数一数如图，在□ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（）O GH FED C BAA ．7个B ．8个C ．9个D ．11个答案：C ．设计意图：目的是巩固平行四边形的定义，让学生用刚刚学到的认知，从复杂的图形中分解出基本图形，重点关注学生能否有条理思考，准确地数出平行四边形的个数．三、分组讨论，探究性质1．猜一猜（也可以利用视频进行探究）根据平行四边形的相关概念，通过实践操作，如测量、旋转，猜测，尽可能多地寻找、发现平行四边形的有关特性，在独立思考的基础上小组合作交流．归纳：小组汇报，教师引导学生得出“平行四边形对边相等”和“平行四边形对角相等”两个结论．2．验一验（1）教师引导学生利用直观教具——两个重合的不同颜色的平行四边形进行验证．老师取两个一模一样的平行四边形教具，将两个教具重叠，用图钉订在两个平行四边形的对角线的交点上，把上面的一个平行四边形进行旋转，让学生观察旋转过程，发现旋转180°后，把上面的平行四边形与另一平行四边形完全重合，启发学生猜想性质．（2）教师利用几何画板展示验证猜想：任意画一个平行四边形，通过改变平行四边形的形状，测量对边，对角，学生观察测量的结果，进一步验证猜想．3．推一推问题：刚才我们用两个全等的三角形拼出了一个平行四边形，反过来，由一个平行四边形能不能剪出两个全等的三角形呢？你能从利用全等的知识对前面两个结论进行说理论证吗？设计意图：通过这个问题设计，让学生明确平行四边形的性质证明就是把四边形的问题转化为三角形问题，利用三角形的全等相关知识进行证明，领会数学中的转化思想．这里，引导学有余力的学生通过说理论证，由直观感受上升到理性分析，在操作层面感知的基础上提升，并了解图形具有的数学本质．4．理一理师生共同归纳：（1）通过课件演示验证平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．（2）平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等．DCBA5．证明结论已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形．求证：AB ＝CD ，CB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠BAD ＝∠BCD ．DCBA分析：连接□ABCD 的对角线AC ，它将平行四边形分成△ABC 和△CDA ，证明这两个三角形全等即可得到结论．连接对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．4321D CBA证明：连接AC ， ∵AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA （ASA ）． ∴AB ＝CD ，CB ＝AD ，∠B ＝∠D ．又∠BAD ＝∠1＋∠4，∠BCD ＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1：平行四边形的对边相等．平行四边形性质2：平行四边形的对角相等．教师进一步强调定理的条件是“平行四边形”和结论分别是“对边相等”，“对角相等”，并用数学符号语言表示性质的书写，同时指出平行四边形的性质为解决证明线段相等，角相等，直线平行等问题增添新的依据．设计意图：本环节为本节课的重难点所在，考虑到学生认知上的困难，设计了“观察（猜一猜）——实验（验一验）——说理（说一说）——归纳（理一理）——证明”这一过程，新课程理念特别强调对学生过程性的评价，考虑到让不同的学生有不同的发展，所以在这个环节首先注重学生动手实验，探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识．对于性质的推理论证也给学有余力的学生提供机会，便于他们更好都学习九年级的内容．这样的设计理念体现了由易到难，由简到繁，逐渐深入的螺旋上升原则，让学生在自由愉快的环境中学习，又在激烈竞争的环境中探索知识．四、初步应用，巩固知识例求证：（1）夹在两条平行线间的平行线段相等；（2）如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的距离相等．（1）已知：如图，l1∥l2，A，D是直线l1上的任意两点，过点A，D作AB∥CD，分别交l2于点B，C．求证：AB＝CD．l 2l1DCBA师点拨：根据已知l1∥l2，AB∥CD，根据平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，那么就能证明AB＝CD．(通过课件展示证明过程) 证明：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义），∴AB ＝CD （平行四边形的性质定理1）．（2）已知：如图，l 1∥l 2，A ，D 是直线l 1上的任意两点， AB ⊥l 2，垂足是B ，CD ⊥l 2，垂足是C ．求证：AB ＝CD ．l 2l 1DCB A师点拨：根据已知AB ⊥l 2，CD ⊥l 2，可知∠ABC ＝∠DCB ＝90°，则∠ABC+∠DCB ＝180°．根据平行线的判定，就能证明AB ∥CD ．由（1）可知AB ＝CD ． (通过课件展示证明过程)证明：∵AB ⊥l 2，CD ⊥l 2， ∴∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°． ∴∠ABC+∠DCB ＝180°． ∴AB ∥CD ．由（1）可知AB ＝CD ．设计意图：通过例题的讲解，让学生进一步体会平行四边形的性质．挑战自我：如图，P 为□ABCD 内的任意一点，连接P A ，PB ，PC ，PD 得到△P AB ，△PBC ，△PCD ，△P AD ．你发现其中两个不相邻的三角形的面积之和与平行四边形ABCD 的面积之间有什么关系？从而你能得到什么结论？证明你的结论．PDCBA结论：△P AB 与△PCD 的面积和等于△PBC 与△PDA 的面积和，都等于□ABCD 面积的一半．ECB我们过P 所在的位置做平行四边形AD 边与BC 边的高（即两条平行线间的距离）．设△APD 和△BPC 面积之和为S ，则S= S △APD + S △BPC =12AD ·PF +12BC ·PE ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ． ∴S =12AD ·(PF+PE )= 12AD ·EF= 12ABCD S □． ∴所以△P AB 与△PCD 的面积和等于△PBC 与△PDA 的面积和，都等于□ABCD 面积的一半．五、课堂练习：1．议一议：如果已知平行四边形的一个内角度数，能确定其他三个内角的度数吗？（1）学生思考、讨论．（2）总结归纳：可以确定其他三个内角的度数．由平行四边形对边分边平行得到邻角互补；又由于平行四边形对角相等，由此已知平行四边形的一个内角的度数，可以确定其他三个角度数．2．练一练：如图：四边形ABCD 是平行四边形．56°2530D CBA①求∠ADC，∠BCD的度数；②边AB，BC的长度．找学生板演步骤，师点拨．解：∵四边形ABCD是平行四边形．∴∠D＝∠B＝56°，∠B＋∠BCD＝180°．∴∠BCD＝124°．②∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝25，BC＝30．设计意图：练一练都是平行四边形性质的直接应用．第①小问由“平行四边形的对角相等直接可以算出已知角的对角∠ADC的度数，然后由平行四边形对边分别平行得到邻角互补算出已知角的邻角∠BCD的度数；第②小问由“平行四边形的对边相等直接可以算出已知边的对边的长度．这两问均属于性质的简单应用，起点低，关注了全体学生．3．拓展训练（变式训练）（1）变式①：如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD度数比∠B的度数的2倍还多12°，求∠ADC、∠BCD度数．DACB思路点拨：利用平行四边形的性质邻角互补和对角相等即可解决．解：设∠B＝x°，则∠BAD＝（2x＋12）°．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD＋∠B＝180°．即x＋（2x＋12）＝180．解得x＝56．∴∠ADC＝∠B＝56°，∠BCD＝∠BAD＝124°．（2）变式②：如图，已知平行四边形ABCD中的周长为110 cm，AB︰BC＝5︰6，求边AB，BC的长度．思路点拨：利用平行四边形的对边相等和周长为110 cm及邻边比值建立一元一次方程即可解决．解：设AB＝5x cm，则BC＝6x cm，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC＝AB＝5x cm，AD＝BC＝6x cm．又∵四边形ABCD的周长为110 cm，∴DC＋AB＋AD＋BC＝110 cm即5x＋5x＋6x＋6x＝110．解得x＝5，AB＝5x＝25 cm，则BC＝6x＝30 cm．设计意图：变式①和变式②均是在问题不变的情况下，通过改变题目的条件方法来设计变式题．把已知条件直接给出一个角的度数或边的长度改变成为两个邻角或两条边的关系，从而引导学生用列一元一次方程解决，体会几何问题可转化为代数问题去解决，渗透方程思想．（3）变式③：在平行四边形ABCD中，BC＝7，AE平分∠BAD交BC边于点E，若点E 分BC为3︰4两部分，求平行四边形ABCD的周长．思路点拨：可引导学生先画出图形，依据条件AE平分∠BAD交BC边于点E，由于点E 分BC为3︰4两部分，分类讨论推出AB＝3或4，进而应用平行四边形性质求出周长．（渗透数形结合和分类讨论思想）．AB C D123E 解：（1）∵BC＝7，BE∶EC＝3∶4，∴BE＝3，EC＝4．∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2．。

九年级数学上册 1.2平行四边形的判定学案(无答案) 青岛版

第一章第3课时平行四边形的判定（1）总第3课时【学习目标】1、熟记平行四边形的判定定理1、2，并会进行证明。

2、会在实际问题中灵活应用平行四边形的判定定理1、2进行计算和证明。

【学习重点】平行四边形的判定定理1、2。

【学习过程】（教师寄语：当你的态度发生转变的时候，在学习上有什么不可以！）一、课前预习：(认真预习，就意味着你走上了一条成功的学习之路！)学习任务一：学习课本9-10页内容，思考本节课学习的主要内容有哪些？学习任务二：学习课本第9页，探究如何判定一个四边形是平行四边形。

1、定义法：叫做平行四边形。

2.、完成实验与探究（1）动手完成。

（2）（3）结论:证明你的结论 A B已知:求证：证明：3、平行四边形判定定理1：4、思考：如上图，如果AB∥CD，并且AB＝CD，能证明△ABC和△CDA全等吗？能证明四边形ABCD是平行四边形吗？5、写出平行四边形判定定理2并证明：已知： A B求证：证明：6、自学例1并尝试独立证明预习质疑：我在学习中的疑问：（提出一个问题比解决一个问题更有价值）二、反思拓展：（认真反思就会有提高。

）1、思考：平行四边形性质定理1和判定定理1的证明过程中，是怎样添加辅助线的？所添加的辅助线在证明过程中起到了什么作用？2、完成课本11页练习1、2三、系统总结：（注意从知识和方法上总结）1、知识方面2、方法方面：四、达标检测：（总10分）总得分：1、（每空1分）已经学习的证明平行四边形的方法有中，分别为：2、（3分）在四边形ABCD中，∠BAC＝∠DCA,且AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形。

3、（3分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别为AD,BC的中点，且四边形EBFD为平行四边形求证：四边形ABCD为平行四边形。

B F C。

青岛版九上1.3《特殊的平行四边形》word学案

1.3 特殊的平行四边形学习目标：1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。

2、掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。

3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。

学习重点：掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。

学习难点：掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用学习过程：一、学习新知自学教材内容完成以下题目：1、叫做矩形。

矩形是________的平行四边形。

2、从矩形的意义可以探究矩形具有的性质：（1）矩形具有平行四边形具有的一切性质。

（2）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:特殊在“角”上的性质是_____________________________________________.特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________.3、从矩形的性质可以说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.二、应用举例：例题：在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的中线，∠A=30°，AC=5 3，求△ADC的周长。

三、随堂练习1、由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（）A、22.5°B、45°C、30°D、60°2、已知：如图2，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE DF ⊥于F ，若BC AE =3、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。

四、课堂小结五、当堂检测12、如图53、折叠矩形ABCD纸片，先折出折痕BD，再折叠使A落在对角线BD上A′位置上，折痕为DG。

AB=2，BC=1。

求AG的长。

1.3 特殊的平行四边形（第2课时）学习目标：1、能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力。

九年级数学上册《1.2 平行四边形的判定》学案

1.2 平行四边形的判定学习目标一、我把握平行四边形的判定定理1和2，并能简单应用。

二、培育探讨精神和发觉、归纳能力，数学语言表达和逻缉思维能力。

学习进程课前预习一、平行四边形的概念：____________________________叫做平行四边形。

应用：平行四边形的概念能够作为判定_________________的方式。

2、平行四边形的性质有哪些？从边上看，平行四边形的_____________________________________从角上看，平行四边形的_____________________________________从对角线上看，平行四边形的_________________________________3、预习讲义、试探:有哪几种方式判定一个四边形是平行四边形?课中探讨一、自学讲义，总结判定一个四边形是平行四边形的方式？并别离用数学符号语言表示答：判定方式1________________________________ _ _数学符号语言表示判定方式2数学符号语言表示判定方式3数学符号语言表示判定方式4数学符号语言表示二、探讨与交流：一、已知：□ABCD 中，AE=CF ，连接BE 、DF 。

求证：四边形BEDF 是平行四边形. 证明：2、如图，在□ABCD 中，点E 和点F 别离在AD 和BC 上，且DE=BF ，连结CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形。

三、练一练：一、如图，已知在□ABCD 中， AE 、CF 别离是∠DAB 、∠BCD 的角平分线，试说明四边形AFCE 是平行四边形．二、已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AB 的中点，连结ED ，并延长使DF=DE ，连结CF 。

求证：四边形ACFE 是平行四边形3、如图, □ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且E 、F 、G 、H 别离是AO,BO,CO,DO 的中点.求证：四边形EFGH 是平行四边形．四、随堂考试1、已知下面命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③两组对角相等的四边形是平行四边形；④有一个角与相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形。

平行四边形的判定教案公开课获奖教案2022青岛版2.docx

6. 2 平行四边形的判定一、学习目标：1.在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用对角线来判定平行四边形的方法.2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题二、重、难点：1.学习重点：理解和掌握平行四边形的判定定理。

2.学习难点：几何推理方法的应用。

三、教学准备：课件、导学案四、教学过程：（一）复习旧知、前面我们学过的平行四边形的性质和判定有哪些？（二）实验探究，将两根细木条的中点重叠，用小钉钉在一起，再用橡皮筋连接木条的顶点做成一个四边形。

思考：（1）AAOB^ACOD 吗？（2）AB〃CD 吗？（3）AD〃BC 码？由此可.以得到什么结论？（三）学习新知已知:如图，平行四边形HGFE中，HF与GE交与点0, HO=OF, GO=OE,求证：四边形HGFE是平行四边形。

H,(四)应用举例例题：已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点0, E、F是AC上的两点，并且AE=CF.求.证：四边形BFDE是平行四边形.分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明..证明:(五)随堂练习1.如图，在四边形ABCD中，A.、BD相交于点0,(1)若AD=8cm, AB=4cm,那么当BC= ___ cm, CD= _____ _cm 时，四边形ABCD 为平行四边形；(2)若AC.=10cm, BD=8cm,那么当A0=― _cm, D0=_ _cm 时，四边形ABCD 为平行四边形.2.己知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB±, DF〃BE,EF 交BD 于点0.求证：E0=0F. %------- ----- 7C-C3.证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

五、课堂小结‘：学们要掌握好。

希望同学们在证明每一道题时，认真分析已知条件，有些题可能是一题多解，比较一下使用哪种判定方法最简便。

往往是已知条件最集中的地方，就是解决问题的突破口。

青岛版九年级数学上册第一、二章训练课

第一、二章训练课一、回顾第一章知识点平行四边形的判定：①两组对边的四边形是平行四边形②对角线___ _的四边形是平行四边形③一组对边的四边形是平行四边形④两组对角的四边形是平行四边形。

矩形的判定：①有_____个是直角的四边形是矩形②对角线___________的平行四边形是矩形③有三个角是____________的四边形是矩形．菱形的判定：①______边都相等的四边形菱形②对角线____________________的平行四边形是菱形。

正方形的判定：先判定这个四边形是矩形，•再判定这个矩形还是_____形；或者先判定四边形是，再判定这个菱形也是_____形。

梯形添加辅助线方法的口诀：梯形问题中，转化很重要，平移对角线，平移梯形腰，作出梯形高，延长两腰来相交，中位线要想到，一腰中点等积变。

二、第一章典例训练∆沿BC方向平移，例1：已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE是BC边上的高，将ABE∆使点E与点C重合，得GFC（1）求证：BE=DG .（2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论。

A G DB E F C例2：如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，∠B=90°∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB的中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长。

A DEB F C∆关于点C成中心对称的图形例3：如图所示，画出ABCAB C三、回顾第二章知识点1．什么是图形的平移?平移有哪些性质?怎样画出一个图形平移后的图形?2．什么是图形的旋转?旋转有哪些性质?怎样画出一个图形旋转后的图形?3．把一个图形进行平移、旋转或作它的轴对称图形后，不会改变图形的和4．举例说明图形的中心对称与旋转之间的关系．5．在直角坐标系中，将一个点沿x轴的方向平移k个单位长度，它的坐标有什么变化?沿y轴的方向平移呢?将一个点绕原点按逆时针方向旋转900，1800和2700它的坐标有什么变化?6．什么是位似图形?位似图形有什么性质?怎样利用位似将图形放大或缩小?四、第二章典例训练1、如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP/重合，如果AP=1，那么线段PP/的长等于2、如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，AD与BC相交于点F，CD与BE相交于点G．图中哪几个三角形绕C点按逆时针方向旋转后能与另外的三角形重合?为什么?2．如图，P是正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3．将△PBC绕点B按逆时针方向旋转900到△QBA的位置．1)求PQ：PB的值；(2)求∠APB的度数．五、针对练习1.下列命题中，真命题是 ( )A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形2.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（） A．1 B．2 C．2 D．33.如下图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,则∠C=( )A .80°B .70°C .75°D .60°B C D4.如上图沿虚线EF 将ABCD剪开，则得到的四边形ABFE 是（）A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形 5.在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （32-，0），C （0，2-），D （32，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD 是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形6.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，能判定平行四边形ABCD 是矩形的条件是（）A ．AC BD =B ．AC BD ⊥ C ．AC BD =且AC BD ⊥ D ．AB AD =7.菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（） A ．24 B ．20 C ．10 D ．58.在梯形ABCD 中，AB ∥DC ， DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E ．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形．（2）若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．9、两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，AB=10，DH=4，平移距离为6，求阴影部分的面积。

青岛版九年级上册数学《平行四边形的性质》

《平行四边形的性质》教案（第2课时）精华版一、内容和内容解析1．内容平行四边形的对角线的性质．2．内容解析平行四边形的性质是平行线和三角形知识的应用和深化，是学习矩形、菱形、正方形的必备知识，是证明线段相等、角相等的重要依据．研究几何图形的一般思路就是先给出定义，再研究性质和判定，而对几何图形性质的研究，其实就是对边、角、对角线等基本要素的研究．上节课，已经探究了平行四边形对边相等、对角相等的性质，本节课类比上节平行四边形对边相等、对角相等的探究方法探究平行四边形对角线互相平分的性质，再次经历观察、猜想、实验、验证等数学活动，从而得到平行四边形对角线互相平分的性质，发展学生的演绎推理能力和发散思维能力．对角线互相平分是平行四边形的重要性质，在后面的“旋转”一章学习中心对称及中心对称图形时，会有进一步的体会．所以，本节课的重点是平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．二、目标和目标解析1．目标（1）掌握平行四边形对角线互相平分的性质．（2）能够综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．2．目标解析达成目标（1）的标志是：类比平行四边形对边相等、对角相等的探究方法，再次经历观察、猜想、实验、验证等数学活动探究平行四边形对角线互相平分的性质，发展学生的演绎推理能力和发散思维能力．达成目标（2）的标志是：能够根据题目中给出的条件，灵活运用平行四边形的边、角、对角线的性质解决平行四边形的有关计算问题及简单的证明题．三、教学问题诊断分析探究平行四边形的性质，经历观察、猜想、实验、验证等数学活动，而证明的思路是通过连接四边形的对角线转化为三角形全等来完成的．在应用平行四边形的性质时，学生容易出现思维定势，如可以由平行四边形的性质直接得出的线段（或角）相等的，学生却重复定理的推导过程证出线段（或角）相等；加上学完本节平行四边形对角线的性质，可以得出的相等的线段（或角）很多，学生不知道用什么性质得出什么结论．所以本节课的难点是综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．四、教学过程设计（一）情景导入（多媒体授课）小明家有一块平行四边形的菜地，妈妈让小明帮忙把这块菜地分成面积相等的四部分，小明是这样分的：同学们，你认为小明这样分正确吗？为什么？下面我们先来复习一下上节课所学习的内容．设计意图：由问题情境导入，既可以激发学生的学习兴趣，又可以引出本节课要探究的问题．（二）复习巩固1．如下图，若要使四边形ABCD是平行四边形，可以添加的条件是什么？添加的理由是什么？ADB C2．如上图，在□ABCD中，相等的边是什么？这些边相等的依据是什么？相等的角是什么？这些角相等的依据是什么？3．如何证明平行四边形的边的性质和角的性质？4．三角形一边上的中线把三角形分成两个三角形，这两个三角形的面积有何关系？学生回忆，教师指名回答，其余学生评定并给回答不是太好的学生给予鼓励．1．AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．AB＝CD，AD＝BC，平行四边形的对边相等；∠A＝∠C，∠B＝∠D，平行四边形的对角相等．3．通过连接平行四边形的对角线，构造全等三角形来证明． 4．两个三角形面积相等（等底同高，面积相等）．设计意图：加强学生对知识的系统化复习，同时为本节课的学习奠定基础．（三）探究新知(可用微课视频辅助教学)1．如图，在□ABCD 中，画出对角线，对角线能画几条，分别是什么？（对角线能画两条，分别是AC 、BD ）ABCD2．如图，请将对角线交点标为点O ，然后观察自己所画图形，画了对角线之后，与原图相比有什么变化？（出现了新的角、新的线段、还有三角形等等）ODCBA3．线段OA 与OC ，OB 与OD 的长度有何关系？ 4．猜想：OA ＝OC ，OB ＝OD ． 5．证明猜想的成立．4321O DC BA证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴△AOD ≌△COB ． ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ．所以我们可以得到平行四边形的又一个性质：平行四边形的对角线互相平分．符号语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ．（平行四边形的对角线互相平分）或∵□ABCD ，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ．（平行四边形的对角线互相平分）或∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC ＝2AO ＝2CO ，BD ＝2BO ＝2DO ．现在我们来看情境导入的问题中，小明的分法是否正确．D过点A 做AE ⊥BD 于点E ，先利用平行四边形对角线互相平分的性质，再根据等底同高即可证明小明的分法是正确的．设计意图：类比平行四边形对边相等、对角相等的探究方法，探究平行四边形对角线互相平分的性质，发展学生的推理论证能力．（四）例题解析【例】已知：如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作一条直线，分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：OE ＝OF ．O 4321FEDCBA证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AD ∥BC ． ∴∠1＝∠2． ∵∠3＝∠4，∴△OAE ≌△OCF （ASA ）． ∴OE ＝OF ．设计意图：通过例题的讲解，学会综合运用平行四边形的性质及三角形全等进行推理论证的能力．例题中，如果将条件“分别交AD ，BC 于点E ，F ”改为“分别交BA ，DC 的延长线于点E ，F ”， OE ＝OF 的结论还成立吗？O4321FEDCBA证明：OE ＝OF 的结论仍成立． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AB ∥CD ． ∴∠1＝∠2． ∵∠3＝∠4，∴△OAE ≌△OCF （ASA ）． ∴OE ＝OF ．挑战自我：1．在例题中，经过两对角线的交点O 作直线，除了以上两种情况外，还可能有其他情况吗？如果还有，请分别画出图形，写出结论，并给出证明．把以上各种情况加以归纳，你能得出一个怎样的结论？（1）结论：OE ＝OF ．OFEDCBA证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC （平行四边形的对角线互相平分）， AD ∥BC （平行四边形的定义）． ∴∠OEA ＝∠OFC ． ∵∠AOE ＝∠COF ， ∴△AOE ≌△COF ． ∴OE ＝OF ．（2）结论：OE ＝OF ．4321F E OBA DC证明：在□ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．又∵OA ＝OC （平行四边形的对角线互相平分）， ∴△AOE ≌△COF （AAS ）．∴OE ＝OF （全等三角形对应边相等）．设计意图：加深对性质的理解，培养灵活运用能力．（五）课堂练习1．平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（）． A ．不稳定性 B ．对角线互相平分C ．内角和为360°D ．外角和为360°2．若平行四边形的一边长为5，则它的两条对角线长可以是（）． A ．12和2 B ．3和4 C ．4和6 D ．4和83．如图，在□ABCD 中，对角线AC ﹑BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝20，△AOB 的周长等于15，则CD ＝__________．ODCBA学生独立思考后，小组交流得出答案： 1．B ． 2．D ． 3．5．设计意图：为学生提供演练机会，加强对平行四边形对角线互相平分的性质的理解和掌握．（六）课堂小结1．我们已经学习了平行四边形的哪些知识？ 2．平行四边形的性质是怎么证明的？ 3．你还想探究什么？设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容．（七）布置作业1．在□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，已知AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，△AOB 的周长是18 cm ，那么△AOD 的周长是．设计意图：考查综合运用平行四边形的性质解决问题的能力． 2．□ABCD 的对角线交于点O ，S △AOB ＝2 cm 2，则S □ABCD ＝．设计意图：考查平行四边形的性质及面积的计算问题．3．□ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC ＝8，BD ＝6，BC ＝m ，那么m 的取值范围是__________．设计意图：考查运用平行四边形对角线互相平分的性质及三角形的三边关系解决问题的能力．4．如图，在□ABCD 中，AB ＝10，AD ＝8，AC ⊥BC ．求BC ，CD ，AC ，OA 的长，以及□ABCD 的面积．A BCDO作业答案：1．16 cm ．2．8 cm 2．3．1＜m ＜7． 4．证明∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ＝AD ＝8，CD ＝AB ＝10，OA ＝OC ． ∵AC ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形，根据勾股定理，68102222=-=-=BC AB AC ， ∴S □ABCD ＝BC ·AC ＝8×6＝48．又∵OA ＝OC ， ∴321==AC OA ．此例题不仅复习巩固了平行四边形的对角线互相平分的性质，而且涉及平行四边形面积的计算和勾股定理的应用，先用勾股定理求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算平行四边形的面积．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，问题比较综合，需要灵活运用所学的知识加以解决．设计意图：巩固平行四边形的对角线互相平分的性质以及复习勾股定理和平行四边形面积的计算的知识．五、目标检测设计1．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中一定成立的是（）． A ．AC ⊥BD B ．OA ＝OC C ．AC ＝BD D ．AO ＝ODODCBA设计意图：考查平行四边形对角线互相平分的性质．2．如图，□ABCD 的周长为16 cm ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为（）．A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cmE OABCD设计意图：考查综合运用平行四边形的性质及垂直平分线解决问题的能力．3．如图，□ABCD 为平行四边形，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列结论中正确的有_____________．（1）S △BOC ＝41S □ABCD （2）△AOD ，△AOB 周长之差为AD －AB （3）△AOB ≌△COD （4）S △ACD ≠S △ABDODCBA设计意图：考查综合运用平行四边形的性质及三角形的有关知识解决问题的能力．目标检测答案： 1．B ．2．C ．解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA＝OC．又OE⊥AC，所以EA＝EC．则△DCE的周长＝CD＋DE＋CE＝CD＋DE＋EA＝CD＋AD．在□ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，且AB＋BC＋CD＋AD＝16cm，所以CD＋AD＝8cm．3．（1）（2）（3）．。