2012考研数学一真题答案(完整版)

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2012年考研数学一真题及答案详解

（7）设随机变量 x 与 y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 px y （）
( A) 1 5 ( B) 1 3 (C ) 2 5 ( D) 4 5
（ 8 ）将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（） 1 1 ( A) 1 ( B) (C ) ( D) 1 2 2 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置．．．上. （9）若函数 f ( x) 满足方程 f '' ( x) f ' ( x) 2 f ( x) 0 及 f ' ( x) f ( x) 2e x ，则 f ( x) =________。（10） x 2 x x 2 dx ________。
x2 x y 2 x 1 渐近线的条数为（）（1）曲线
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】：C
x2 x lim 2 x 1 x 1 【解析】：，所以 x 1 为垂直的 lim x2 x 1 x x 2 1 ，所以 y 1 为水平的，没有斜渐近线故两条选 C
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 y （A）0 （D）3
x2 x 渐近线的条数为（） x2 1
（B）1
（C）2
列向量组线性相关的是（（A） 1 , 2 , 3
）（C） 1 , 3 , 4 （D）
（B） 1 , 2 ,4
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2012考研数学一真题及其解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解析：C由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）（2）设函数2()(1)(2)x x nx f x e e e n =--…（-），其中n 为正整数，则(0)f '=（）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ）（3）如果函数(,)f x y 在（0，0）处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微（B ）若极限2200(,)limx x f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微（C ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限2200(,)limx x f x y x y→→+存在解析：(B)2200(,)limx y f x y k x y→→=+ (0,0)0(,)(0,0)00()f z f x y f x y ορ=⎧⇒⎨∆=-=⋅+⋅+⎩ (,)f x y ⇒在(0,0)处可微.（4）设20k x k I eπ=⎰sin (1,2,3)xdx k =则有（）（A ）123I I I << (B)321I I I << (C)231I I I << (D)213I I I <<解析： D22222111sin |sin |.x x I I e xdx I e x dx I ππππ=+=-<⎰⎰2223312|sin |sin .x x I I e x dx e xdx ππππ=-+⎰⎰而2232()2sin sin x t e xdxx t etdt ππππππ+=+-⎰⎰2222()|sin ||sin |.x x ex dx e x dx πππππ+=>⎰⎰31312..I I I I I ∴>∴>>(5)设1234123400110111c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）（A ）α1, α2, α3 （B ）α1, α2, α 4（C ）α1, α3, α4 （D ）α2, α3, α4解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例. 1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或13413411,,0110c c c ααα-=-= 134,,ααα∴线性相关，选C（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=(α1, α2, α3)，1223(,,).Q αααα=+则Q -1AQ =( )(A)100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭(C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：（B ）1223100()110001Q P αααα⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭+，，111100100110110001001Q AQ P AP ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100110011101110100120012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P {x <y }=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45解析：(A)~(1)X E ，,0~(4)()0,0x x e x Y E f x x -⎧>⇒=⎨≤⎩.4,40()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩.,X Y ∴独立.44,0,0(,)0,x y e e x y f x y --⎧>>∴=⎨⎩其他 ()(,)x yP X Y f x y d δ<<=⎰⎰404x y x dx e e dy +∞+∞--=⎰⎰ 40(4)xy xe dx e d y +∞+∞--=⎰⎰ 40x x e e dx +∞--=⋅⎰ 50x e dx +∞-=⎰15=.（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）(A) 1 (B) 12 (C) 12(D) 1-解析：设一段长X ,另一段1Y X =-，由ρ=(1)DX D X DY =-=cov(,)(1)(1)X Y EX X EX E x =---2()[1]E X X EX EX =--- 22()EX EX EX EX =-+ 22()EX EX DX =-+=-1ρ∴=，选项D二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）若函数f (x )满足方程()()2()f x f x f x "'+-=及()()2x f x f x e '+=，则f (x )=_________.解析：212202,1λλλλ+-=⇒=-=212()()2()0(),x x f x f x f x f x C e C e -"+'-=⇒=+代入12()()20, 1.x f x f x e C C '+===得()x f x e ∴=（10）20________=⎰解析：2π[22(1)1(1)x x =-+-⎰⎰111(22x π--=+===⎰⎰⎰.（11）(2,1,1)_______z grad xy y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解析：{1，1，1}21,,z z grad xy y x y y y ⎛⎫⎧⎫+=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ (2,1,1){1,1,1}z grad xy y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（12）设{(,,)|1,0,x y z x y z x y z =++=≥≥≥∑，则2y d s ∑=⎰⎰_____ .解析:12.1,:1(0,0) z x y D x y x y=--+≤≥≥11222002xDy ds y dx y dyδ-==⎰⎰⎰⎰⎰1134(1)(1)31212x dx x=-=--=⎰（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E T-XX的秩为_________.解析：2.设2,TA E XX A A=-=()() 3.r A r E A⇒+-=()()()1Tr E A r XX r X-===() 2.r A∴=（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11(),(),23P AB P C==则CP AB（）=_________.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==- AC =∅ ，ABC ∴=∅. 1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上.（15）（本题满分分）证明x ln 11x x+-+cos x ≥1+22x (-1<x <1)证明：令21()ln cos 1.(0)0.12x x x x x x ϕϕ+=+--=- ϕ’212()ln sin 11x xx x x x x +=+---- 2211ln sin 11x x x x x x++=+--- 01x <<时. 1ln 01xx+>-,2211x x x x +≥-，又sin x x ≤. ()0x ϕ∴>’；10x -<<时，1ln 01xx+<-，2211x x x x +≤-,又sin x x ≥. ()0x ϕ∴<’.0x ⇒=为()x ϕ在（-1，1）内最小点，而ϕ（0）=0∴当-1<x<1时. ϕ()0x ≥，即 21ln cos 112x x x x x ++≥+-(16)（本题满分分）求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值解析：由22'2222'2(1)0x y x x y y f x e f xye +-+-=-==-=⎧⎪⎨⎪⎩得10x y =-⎧⎨=⎩及10x y =⎧⎨=⎩ 222222''32''22''22(3)(1)(1)x y xx x y xy x y yy f x x ef y x e f x y e+-+-+-=-=--=-当1x y =-⎧⎨=⎩时，11222,0,.A e B C e --=== 20AC B -> 且0A >，10x y =-⎧∴⎨=⎩为极小点.极小值为12(1,0).f e --=-当1x y =⎧⎨=⎩时，11222,0,,A e B C e --=-==- 2100,0x AC B A y =⎧-><∴⎨=⎩ 且为极大点极大值为12(1,0)f e -=（17）（本题满分分）求幂级数0n ∞=∑244321n n n +++x 2n的收敛域及和函数解：由1lim1n x na a +→∞=得R =1. 当1x =±时. 2443()21n n n n ++→∞→∞+1x ∴=±时级数发散.收敛域为（-1,1）令220443()21nn n n S x x n ∞=++=+∑202(21)21n n n x n ∞=⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦∑ =2200(21)221nn n n xn x n ∞∞==+++∑∑ 22100221n n n n x x n ∞∞+==⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∑∑’21122212()2()1(1)x x S x S x x x +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭’当x =0时，S (0)=3.当x ≠0时，xS 1(x )=21021n n x n +∞=+∑[]2121()1nn xS x x x ∞===-∑’ 111111()ln ,()ln .2121x xxS x S x x x x++=∴=--223,0()111ln ,110(1)1x S x x xx x x x x =⎧⎪∴=++⎨+-<<≠⎪--⎩且（18）(本题满分分)已知曲线L ：()cos x f t y t=⎧⎨=⎩（0≤t <2π），其中函数f (t )具有连续导数，且f (0)=0，()f t '>0(0<t <2π)，若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点距离值恒为1，求函数f (t )的表达式，并求此曲线L 与x 轴无边界的区域的面积. 解析： ①/sin ./()dy dy dt t k dx dx dt f t -==='切线为sin cos ()0ty t x f t y f t ==--=⇒'()（），令 ())cot x f t f t t =+'(⋅,切线与x 轴交点为f t f t t +'.由题意222()cot cos 1f t t t '+=⇒242sin ().cos tf t t'= 2sin ()0.()sec cos .cos tf t f t t t t'>∴'==-()ln |sec tan |sin f t t t t C =+-+(0)0,()ln |sec tan |sin f f t t t t =∴=+-②220cos ()A ydx t f t dt ππ==⋅'⎰⎰22201sin .224t I πππ===⋅=⎰（19）（本题满分分）已知L 是第一象限中从点（0，0）沿圆周222x y x +=到点（2，0），再沿圆周224x y +=到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分233(2)LI x ydx x x y dy =++-⎰解析：补充012:0(2,0)L L L L x y y I +====-⎰⎰22(313)L L Dx x d +=+-σ=⎰⎰⎰2Dd dx σ=-⎰⎰⎰而0144ππ=⋅=⎰122ππ=⋅=⎰（依据定积分几何意义）.22L L πππ+∴=-=⎰2(2) 4.L y dy ∴=-=⎰⎰4.2I π∴=-（20）（本题满分分）已知A =10010101,00100010a a a a β⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥- ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（1）计算行列式|A|；（2）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.解析：（I ）534A 1(1)1a a a =+-⋅=-（II ）当1a =及1a =-时，A x=β有无穷多个解. 当1a =时，A =11 0 01⎛⎫ ⎪0 1 1 0 -1⎪ ⎪0 0 1 1 0 ⎪1 0 0 1 0⎝⎭ →10012010110011000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭通解为12111010x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1a =-时.A 1100110010011010101100110001101001000000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭通解为10111010x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（21）（本题满分11分）已知110111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x x T T =A A 的秩为2，（1）求实数a 的值；（2）求正交变换x=Qy 将f 化为标准型. 解析：A T A=1010010111a a -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭110111001a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭22201011113a a a a a a -⎛⎫ ⎪=+-⎪ ⎪--+⎝⎭T T (A A)x x 秩为2. ∴T T (A A)2((A A)(A)2)r r r ===也可以利用 ⇒T A A 01a =⇒=- ( T 22A A (3)(1)a a =++) (II)令T 202A A =B =022224⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由E λ-20-2λ-B =0λ-2-2-2-2λ-4=λ(λ-2)(λ-6)=0 解0,2,6123λ=λ=λ=当λ=0时,由(0)0E A x -=即0Ax =得1111-⎛⎫ ⎪ξ=- ⎪ ⎪⎝⎭. 当2λ=时,由(2)0E A x -=⇒1102-⎛⎫ ⎪ξ= ⎪ ⎪⎝⎭. 当6λ=时,由(6)0E A x -=⇒1123⎛⎫ ⎪ξ= ⎪ ⎪⎝⎭. 取1r231111,1,1.102r r --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭令2223.026Q f x x x Qy y y T⎛ = ⎝=B = +（22）（本题满分11分）设二维离散型随机变量X 、Y 的概率分布为（Ⅰ）求{2}P X Y =；（Ⅱ）求cov(,).X Y Y - 解析：(1)11(2)(0,0)(1,2)044P X Y P X Y P X Y ====+===+= (2)cov(,)cov(,)cov(,)X Y Y X Y Y Y -=-EXY EXEY DY =-- 012012~,~.1111112312333X X Y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的边缘分布 12212,136333EX EY ∴=+==+=2221152()12113333DY EY EY =-=⨯+⨯-=-=1114211223123123EXY =⨯⨯+⨯⨯=+=2222cov(,)13333X Y Y -=-⨯-=-.（23）（本题满分分）设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ与2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且σ>0。

2012年考研数学真题及参考答案(数学一)

=
⎧ ⎨
y,
⎩
x
−
z y2
,
1⎫
y
⎬ ⎭
( 2,1,1)
= {1,1,1}
（12）设 ∑ = {(x, y, z) x + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}, 则 ∫∫ y2ds = ________。 ∑
【答案】： 3 12
∫∫ ∫∫ ∫∫ 【解析】：由曲面积分的计算公式可知 y2ds = y2 1+ (−1)2 + (−1)2 dxdy = 3 y2dxdy ，其中
所以 f ' (0) = (−1)n−1n!
（3）如果 f (x, y) 在 (0, 0) 处连续，那么下列命题正确的是（）
（A）若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在 (0, 0) 处可微
x→0 y→0
x+ y
（B）若极限 lim x→0 y→0
f (x, y) x2 + y2
2
4
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
证明： x ln 1+ x + cos x ≥ 1+ x2 , −1 < x < 1
1− x
2
【解析】：令 f ( x) = x ln 1+ x + cos x −1− x2 ，可得
( ) 化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即 r E − xxT = 2 。
（14）设
A,

2012年考研数一真题及答案解析(完整版)

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x xn x y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )(A) 1 (B)12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x = (10)2202d x x x x =-⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵TE XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<- (16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数(18)已知曲线(),:(0),c o s2x ft L t y t π=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

数学一2012年考研真题及答案解析

0
0
1
1
5、设 1

0 c1
,2

1 c2
,3

1 c3

,

4

1 c4

，其中 c1 , c2 , c3 , c4
为任意常数，则下列向量组线
性相关的是（）
（A）1 ,2 ,3 ；（B）1 ,2 ,4 ；（C）1 ,3 ,4 ；（D）2 ,3 ,4 。
3．如果函数 f ( x, y) 在 (0, 0) 处连续，那么下列例题正确的是（）
（A）若极限 lim | ( x , y )(0,0)
f (x, y) x|| y|
存在，则
f
( x,
y)
在 (0, 0)
处可微；
（B）若极限 lim ( x, y)(0,0)
f (x, y) x2 y2
lim
y )( 0,0 )
|
f x
(0, 0) || y
|
，显然极限不存在，
同理 lim ( x, y)(0,0)
f (x, y) x2 y2
lim ( x, y)(0,0)
f
(
x, y) x2
f (0, y2
0)

(
x
,
lim
y )( 0,0 )
f (0, 0) x2 y2

lim
x 0
f (x,0) x
f (0, 0)

lim
x 0
f (x,0) (x)2 0

lim
x 0
(
x)2 x

0

2012年考研数学一真题

c1
c2
c3
c4
意常数，则下列向量组线性相关的为（）
（A）α1, α2, α3 （B）α1, α2, α 4（C）α1, α3, α4 （D）α2, α3, α4
解析：C
0
3
4
0
,
c3 c4
3 4 与1 成比例.
1 与3 +4 线性相关,1，3，4 线性相关，选 C
（D）若
f
(x,
y) 在（0，0）处可微，则极限 lim x0
f (x, y) x2 y2
存在
x0
解析：(B)
lim
x0
f (x, y) x2 y2
k
y0
f (0,0) 0
z f (x, y) f (0,0) 0 x 0 y ()
f (x, y) 在(0,0)处可微.
（4）设 Ik
1，选项 D
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）若函数 f(x)满足方程 f (x) f (x) 2 f (x) 0 及 f (x) f (x) 2ex ，则
f(x)=_________.
解析： 2 2 0 1 2, 2 1
）
f (x, y)
（A）若极限 lim
存在，则 f (x, y) 在（0，0）处可微
x0 x y
y0
（B）若极限 lim x0
f (x, y) x2 y2
存在，则
f
(x,
y) 在（0，0）处可微
x0
（C）若
f (x, y) 在（0，0）处可微，则极限 lim
f
(x, y)
存在

2012考研数学一真题及答案解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在（4）设2kx k eI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3.(B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1, (D) I 1< I 2< I 3.（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}=<y x p （）1124()()() ()5355A B C D（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(21)(21)(1)(--D C B A 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题．．纸．指定位置上. （9）若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+，则)(x f =________。

2012考研数学(一二三)真题(含答案)

f x
,
f y
,
f z

.
12、已知曲面 {(x, y, z) | x y z 1, x 0, y 0, z 0}，则 y2dS
。
【答案】 3 12
【解析】由曲面可得 z 1 x y zx ' zy ' 1，
向 xOy 面投影 Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0}，
P
为
3
阶可逆矩阵，且
P1
AP

1

，
P

1,
2
,3

，
2
Q 1 2,2,3 则 Q1AQ （）
1

（A）

2

1
【答案】（B）
1

（B）

1

2
2

（C）

1

2
2

（D）

2
ex2
sin
xdx

0

I2

I1 ；
又 I3 I1
3 ex2 sin xdx

2 ex2 sin xdx

3 ex2 sin xdx ，
2
其中
3
ex2
sin
t x
xdx
2 e(t )2 sin(t )d (t ) 2 e(t )2 sin tdt 2 e(x )2 sin xdx
x y ( x, y)(0,0) 2

2012数学一考研真题答案解析

2012年全国硕士研究生考试数学一试题答案解析一、选择题1. 解析：C由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线12.)3.4. 解析： D22222111sin |sin |.xxI I e xdx I ex dx I ππππ=+=-<⎰⎰2223312|sin |sin .xxI I ex dx e xdx ππππ=-+⎰⎰而2232()2sin sin xt e xdx x t etdt ππππππ+=+-⎰⎰2222()|sin ||sin |.x xex dx ex dx πππππ+=>⎰⎰31312..I I I I I ∴>∴>>5. 解析：C343400c c αα⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.6.110111010012012 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭7. 解析：A~(1)X E ，,0~(4)()0,x x e x Y E f x x -⎧>⇒=⎨≤⎩.4,40()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩.,X Y ∴独立.44,0,0(,)0,x y e e x y f x y --⎧>>∴=⎨⎩其他8.cov(,)(1)(1)X Y EX X EX E x =---2()[1]E X X EX EX =--- 22()EX EX EX EX =-+ 22()EXEX DX =-+=-1ρ∴=，选项D二、填空题1. 解析：212202,1λλλλ+-=⇒=-=212()()2()0(),xxf x f x f x f x C e C e -"+'-=⇒=+代入12()()20, 1.xf x f x e C C '+===得2.3.4.121,:1(0,0)z x y D x y x y =--+≤≥≥112222x Dy ds y dx y dy δ-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰1134(1)(1)31212x dx x =-=--=⎰5. 解析：2.设2,TA E XX A A =-=()() 3.r A r E A ⇒+-=()()()1Tr E A r XX r X -=== () 2.r A ∴=6.11xx --2211lnsin 11x x x x xx++=+--- 01x <<时. 1ln01x x+>-,2211x x x x+≥-，又sin x x ≤.()0x ϕ∴>’；10x -<<时，1ln01x x+<-，2211x x x x+≤-,又sin x x ≥.()0x ϕ∴<’.0x ⇒=为()x ϕ在（-1，1）内最小点，而ϕ（0）=0 ∴当-1<x<1时. ϕ()0x ≥，即21x x+20A C B -> 且0A >，0y ∴⎨=⎩为极小点.极小值为12(1,0).f e--=-当1x y =⎧⎨=⎩时，11222,0,,A e B C e --=-==-2100,0x AC B A y =⎧-><∴⎨=⎩ 且为极大点极大值为12(1,0)f e -=3. 解：由1lim1n x na a +→∞=得R =1.当∴令n ==n ∞=⎛= ⎝⎛= ⎝当当x ≠0时，xS 1(x )=021n n =+∑[]2121()1nn xS x xx∞===-∑’111111()ln,()ln.2121x x xS x S x xxx++=∴=--223,0()111ln ,110(1)1x S x x xx x x x x =⎧⎪∴=++⎨+-<<≠⎪--⎩且4. 解析： ①/sin ./()dy dy dt t k dxdx dtf t -==='x ⇒ (f ②=⎰5. 解析：012:0(2,0)L L L L x y y I +====-⎰⎰22(313)x x d =+-σ=⎰2d dx σ=-而20⎰∴∴∴（（当1a =时，A =11 0 0 1⎛⎫ ⎪0 1 1 0 -1⎪ ⎪0 0 1 1 0 ⎪1 0 0 1 0⎝⎭→100120101100110000⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭通解为12111010x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当1a =-时.A 11001100100110101011001100011011000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭通解为10111010x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7. 解析：A T A=1010010111a a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭1010111001a a⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭22201011113a aa a aa -⎛⎫⎪=+-⎪ ⎪--+⎝⎭TT(A A )x x 秩为2. ∴TT(A A )2((A A )(A )2)r r r ===也可以利用 ⇒TA A 01a =⇒=- ( T22A A (3)(1)a a =++)(II)令T202A A =B =022224⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 由E λ-20-2λ-B =0λ-2-2-2-2λ-4=λ(λ-2)(λ-6)=0解λ当λ当λ当λ取r 令2223111.12026Q f x x x Q y y y T=-⎝=B = +8. 解析：(1)(2)=X ∴D 2222cov(,)13333X Y Y -=-⨯-=-.9. 解析：22~(,),~(,2)X N Y N μσμσ，,X Y 独立，0σ>，未知Z X Y =-. 解：（1）Z 的密度2(,)f z σ22~(,),~(,2),,X N Y N X Yμσμσ独立.2~(0,3)Z X Y Nσ=-22222236(,)z zf zσσσ--⋅∴==（2）设1nZ Z…样本.2n2~(0,3)iZ Nσ，~(0,1)ZN-∴，iZ是简单随机样本.221~(),niZnχ=⎛⎫⎝∑223iZE nσ∑∴=，223iE Z nσ∑=.。

2012考研数学一真题及答案

2011考研数学一真题试卷一选择题1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点A （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0） 2设数列{}n a 单调递减，∑=∞→⋯===nk kn n n n aS a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-nk nk x a 1)1(的收敛域A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>''<f f D 0)0(,1)0(<''<f f 4.设⎰⎰⎰===444cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。

记,010100001,010********⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则A=A 21P PB 211P P- C 12P P D 112P P-6.设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα7.设)(),(21x F x F 为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数，则必为概率密度的是A )()(21x f x fB )()(222x F x fC )()(21x F x fD )()()()(1221x F x f x F x f +8.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)= A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二填空题 9.曲线)40(tan 0⎰≤≤=x x tdt y π的弧长s=____________10.微分方程x ey y xcos -=+'满足条件y(0)=0的解为y=____________11.设函数⎰+=xydttt y x F 021sin ),(，则__________22=∂∂=x xF12.设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z=x+y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz yxdy xzdx13.若二次曲面的方程为42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为442121=+z y ，则=a _______________ 三解答题 15求极限110))1ln((lim -→+xex xx16设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂y x yx z17求方程0arctan=-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数。

2012考研数一真题答案及详细解析

2012年（数一）真题答案解析一、选择题Cl) C解函数y=X +x x z —l 的间断点为x =土l 由lim y =lim x 2 +x 工]X 丑Cx +l)(x�, ==, 故X =l 是垂直渐近线．又lim y =lim X (x+ l ) 1 ＝—,故X =-l 不是渐近线．工-I 工-1(x + 1) (x -1) 2 考察x -=时函数的极限1 —+1X 由lim y = lim = 1 , 故y =l 是水平渐近线．x-=工-= 1 1-—X 2 y 2因为lim —=limx +x =O, 故无斜渐近线．工-00X x -00 X (x 2 -1) 故应选C,有2条渐近线．(2)A解J '(x)=矿(e 红-2)(e 3x —3)…(e"x -n ) + (e x -1) (2 e 2x ) (e 3x -3)…(e 杠-n )+……+ce—l)(e 2x -2)(e 3x -3)···(ne 杠）当X =O 时e 工—1=0故J '(0) = 1• (1—2) (1 -3)…0-n )=(—l)n -1 (n —1) ! 故应选A .(3)Bf (x,y) 解A项用枚举法：设f (x,y )=l x l +I Y I 则lim x -。

l x l +I Y I 存在，y 一o 但儿(0,0),儿(0,0)都不存在即f (x,y )在(0,0)处不可微.A错误B项．由lim f (x,y) 工-o x z + y z =AC存在），则lim f (x,y ) =0, x 一o y-0 y 一0又f (x ,y )在点(0,0)处连续，故f (O,O )=0; X -0 且时f(x,y )是x 2+ y z 的高阶无穷小y-o:. lim f (x,y )—f (O,O ) f (x ,y) =lim =O.B 正确芦心2+ y 2�=g 心：2 + y 2 C、D项用枚举法.f (x,y )=x 满足条件，但lim f (x ,y) f (x ,y) 与lim 2 芦gl x l +I Y I�二g X + y 2 错误．故应选B.(4)D均不存在故C、D 解I 2 =『：六矿sin x d x =『矿sin x d x +厂矿sinxdx=!1 +厂矿sinxd x O 兀又兀<x<加时e x 2sin x < 0故厂心血d x < o 故l2< l1Ia =厂矿sinx dx =厂矿sinxdx +厂矿sinx dx = 12 +厂产sinx dx 0 02又纭<x<玩时e "'2sinx > 0 故厂矿si nx dx > 0 故12< Ia, Ia =厂尸sinx dx = I: 矿sinx dx +厂矿sinx dx = 11 +厂产sinx dx 厂e x 2si n x d x =『六e 工2sinx d x + f "矿sinx dx =『lt穴矿sin .x d x +『穴"e"五）'sin (t +:)d(t +亢）＝厂矿sinx dx --J : e <工妇）2 si n xdx = J: [e 工2_ e (x 五）2 ]sin x d x > 0:. 13 > I 1 综上I a>I 1 > 12. 故应选D .(5)C解0 1 -1 l a 1,a3,a4I = O -1 1 =C11 C1 c3 c4 1 -1 =O-1 1 故U1,U3,U4线性相关．故应选C.(6)B 1 O O 1 O 0 解Q =(a,+a,,a,心）=(a,,a,,a,+ I o ]=+ I o ] 0 0 1 0 0 1 Q 一'A Q = [i � �r P -'A P[三三子］＝［—又��][1 I J [上三�]=[I I J 故应选B.(7)A e -x,X>0,解八(x)= { o,X¾O , 由X,Y相互独立，故fy (y )=t e 五，y>O ,o , y�o. f (x ,y ) =八(x )•八(y )= {4e 玉如，x>O ,y>O , 0 ' 其他P{X<Y}= JI f (x ,y )d xd y= II 4e 玉+4y )dx d y (8)D <y 1 5．故应选A.解设两段木棒的长度为x,y 则X +y =1⇒ y =-x + 1由定理：若y =a x +b 则I P x Y I = 1,若心a <O则p xy = -1,®a >O 则p xy = 1.故px y =—1. 故应选D.1 2 ．． l +x(l —X)2 s m x -x l —xl+x ＋ 2x =l n-s m x -x l —X Cl+工:)(1—x) l+x =l n +x 1—x 1 +x 1 1 =l n1 十—sm x —x -x l —x I+x XE (O,l) /} 1 } } f (x) = + + + -cosx —1l+x 1—.r (1—x)2 O +x )2 x E (0,1)1 广(x)=—+ 12 2 —+O+x)2 Cl-x)2 (1—x)3 Cl+x)3 + s inx x E (0 , 1)因为O< 1 1 1 X <}时，>o, 1 (l-x)2-(l+x )2 (1-x)3-(l+x )3 > O,sinx > 0,故J"(x)> 0.又因为J'(x)在[O'1)是连续的，故J'(x)在[0,1)上是单调增加的，f I (X ) > f I (0) = 2 > 0 同理，f(x )在[O,1)上也是单调增加的，f(x )>f(O)=O,故F(x)在[O,1)上是单调增加的，F(x)> F (O) =O; 又因为F(x )是偶函数，则F(x)> O ,x E (—1,1) ,x #-0. 又因为F(O)=O, 故F(x )�o,即原不等式成立，证毕．(16)解先求出驻点叮＾迁王丑+Y 2,-2+_v 2 —=e 一一+x e ——亡• (—x)=Cl -x 2)e-—广0.2 、丿。

2012考研数学一真题答案(完整版)

数一参考答案9、x e ； 10、2π； 11、{}1,1,1； 12、12； 13、2； 14、34三、解答题 (15)证明：令()21ln cos 112x x f x x x x +=+---，()f x 是偶函数()212lnsin 11x x f x x x x x +'=+----()00f '=()()()222221411cos 1111x x f x x x x x -+''=++--+--()()222244cos 12011x x x =--≥->--所以()()00f x f ≥=即证得：()21ln cos 11112x x x x x x ++≥+-<<- (16)解：()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y fx y e xex ex xf x y xe y y+++---+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P -()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x yf x y xe y y ++--+-+-⎧∂=-+--⎪∂⎪⎪∂⎪=--⎨∂∂⎪⎪∂⎪=-∂⎪⎩根据判断极值的第二充分条件，把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()11,0,P -为极小值点，极小值为()121,0f e --=-把()21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()21,0P 为极大值点，极大值为()121,0f e-=(17) 解：（Ⅰ）收敛域22(1)122222211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1n n n n n n n n n xa x n n n n R x x n n a x n n n x n ++→∞→∞→∞+-++⋅+++++===⋅⋅=+++++++++⋅++令21x <，得11x -<<，当1x =±时，技术发散。