人教版七年级数学下册实数第2课时实数与数轴的关系及实数的运算同步练习
七年级下册《实数》同步训练(含答案 勤学早)
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实数知识点总结及典型例题练习
实数知识点总结考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）0≥a==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
人教版七年级数学下册第六章《实数》同步练习(含答案)
第六章 实数 6．1 平方根 第1课时 算术平方根基础题知识点1 算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0．1．(2017·桂林)4的算术平方根是( B )A ．4B ．2C ．－2D ．±22．(2018·南京)94的值等于( A ) A.32B ．－32C ．±32D.81163.0.49的相反数是( B )A ．0.7B ．－0.7C ．±0.7D ．04．下列说法正确的是( A )A ．因为52＝25，所以5是25的算术平方根B ．因为(－5)2＝25，所以－5是25的算术平方根C ．因为(±5)2＝25，所以5和－5都是25的算术平方根 D ．以上说法都不对5．求下列各数的算术平方根： (1)121； (2)1； (3)964； (4)0.01.解：(1)因为112＝121，所以121的算术平方根是11，即121＝11.(2)因为12＝1，所以1的算术平方根是1，即1＝1. (3)因为(38)2＝964，所以964的算术平方根是38，即964＝38. (4)因为(0.1)2＝0.01，所以0.01的算术平方根是0.1，即0.01＝0.1.6．求下列各式的值： (1)81； (2)144289； (3) 1 000 000. 解：(1)因为92＝81，所以81＝9. (2)因为(1217)2＝144289，所以144289＝1217. (3)因为1 0002＝1 000 000， 所以 1 000 000＝1 000.知识点2 估计算术平方根一般采用“夹逼法”确定其值所在的范围．具体地说，先找出与被开方数相邻的两个能开得尽方的整数，分别求其算术平方根，即可确定所要求的数的算术平方根在哪两个整数之间． 7．(2017·柳州期末)估算65的值介于( D )A ．5到6之间B ．6到7之间C ．7到8之间D ．8到9之间8．一个正方形的面积为50 cm 2，则该正方形的边长约为( C )A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm9用“>”或“<”填空)．知识点3 用计算器求一个正数的算术平方根10．我们可以利用计算器求一个正数a的算术平方根，其操作方法是顺序进行按键输入：a＝.小明按键输入16＝显示的结果为4，则他按键输入1600＝后显示的结果为40．11．用计算器求下列各式的值(结果精确到0.001)：(1)800；(2)0.58；(3) 2 401.解：(1)28.284.(2)0.762.(3)49.000.易错点对算术平方根的意义理解不清12．(－6)2的算术平方根是( A )A．6 B．±6 C．－6 D. 613．(2018·安顺)4的算术平方根为( B )A．± 2 B. 2 C．±2 D．2中档题14．下列各数，没有算术平方根的是( B )A．2 B．－4 C．(－1)2D．0.115．若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( D )A．1 B．－1 C．0 D．0或116．(2017·广州期中)已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是( D ) A．a＋1 B.a＋1 C．a2＋1 D.a2＋117．(2017·潍坊)用计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于________之间( A )A．B与C B．C与D C．E与F D．A与B18．(2017·广州四校联考期中)已知a，b为两个连续整数，且a<15<b，则a＋b的值为7．19．(教材P41探究变式)如图，将两个边长为3的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长是6．20．(教材P43探究变式)观察：已知 5.217≈2.284，521.7≈22.84，填空：(1)0.052 17≈0.228__4，52 170≈228.4；(2)若x≈0.022 84，则x≈0.000__521__7．21．比较下列各组数的大小：(1)12与14；(2)－5与－7；(3)5与24；(4)24－12与32.解：(1)12＜14.(2)－5＞－7.(3)5＞24.(4)24－12＞32.综合题22．(教材P43例3变式)国际比赛的足球场长在100 m 到110 m 之间，宽在64 m 到75 m 之间，为了迎接某次奥运会，某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m 2，请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？并说明理由．解：这个足球场能用作国际比赛．理由：设足球场的宽为x m ，则足球场的长为1.5x m ，由题意，得1．5x 2＝7 560. ∴x 2＝5 040.由算术平方根的意义可知x ＝ 5 040.又∵702＝4 900，712＝5 041，∴70＜ 5 040＜71. ∴70＜x ＜71.∴105＜1.5x ＜106.5. ∴100＜1.5x ＜110. ∴符合要求．∴这个足球场能用作国际比赛．23．(教材P48习题T11变式)(1)通过计算下列各式的值探究问题： ①42＝4；162＝16；02＝0；（19）2＝19． 探究：对于任意非负有理数a ，a 2＝a ．②（－3）2＝3；（－5）2＝5；（－1）2＝1；（－2）2＝2．探究：对于任意负有理数a ，a 2＝－a ．综上，对于任意有理数a ，a 2＝|a|．(2)应用(1)所得的结论解决问题：有理数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a 2－b 2－（a －b ）2＋|a ＋b|.解：a 2－b 2－（a －b ）2＋|a ＋b| ＝|a|－|b|－|a －b|＋|a ＋b| ＝－a －b ＋a －b －a －b ＝－a －3b.第2课时 平方根基础题知识点1 平方根(1)一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．这就是说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，记作±(2)求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算．正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．1．(2018·贺州)4的平方根是( C )A ．2B ．－2C ．±2D ．16 2．±8是64的( A )A ．平方根B ．相反数C ．绝对值D ．算术平方根 3.13是一个数的平方根，则这个数是( D ) A ．1B ．3C ．±19D.194．下列说法中，不正确的是( D ) A ．6是36的平方根B ．－6是36的平方根C ．36的平方根是±6D ．36的平方根是65．下列说法正确的是( D )A ．任何非负数都有两个平方根B ．一个正数的平方根仍然是正数C ．只有正数才有平方根D ．负数没有平方根6．计算： ±425＝±25，－425＝－25，425＝25． 7．填表：a 2 －2 37 ±37 ±9 ±15 a 244949949812258.(1)16； (2)2536； (3)0.008 1.解：(1)因为(±4)2＝16，所以16的平方根是±4. (2)因为(±56)2＝2536，所以2536的平方根是±56.(3)因为(±0.09)2＝0.008 1，所以0.008 1的平方根是±0.09.知识点2 平方根与算术平方根的关系正数a 的正的平方根就是这个数的算术平方根，记作 a. 9．(2017·广州期中)下列说法正确的是( A ) A ．－5是25的平方根 B ．25的平方根是－5C ．－5是(－5)2的算术平方根D ．±5是(－5)2的算术平方根 10．下列各式中，正确的是( D )A.4＝±2 B ．±9＝3 C.（－3）2＝－3 D.（－3）2＝311．求下列各数的平方根与算术平方根： (1)25；解：25的平方根是±5，算术平方根是5.(2)0；解：0的平方根是0，算术平方根是0.(3)110 000. 解：110 000的平方根是±1100，算术平方根是1100.12．求下列各式的值： (1)225； (2)－3649； (3)±144121. 解：(1)∵152＝225，∴225＝15. (2)∵(67)2＝3649，∴－3649＝－67. (3)∵(1211)2＝144121，∴±144121＝±1211.易错点 忽视一个正数的平方根有两个13．若x ＋3是4的平方根，则x ＝－1或－5．中档题14．(2017·广州期中)对于2－3来说( C )A ．有平方根B ．只有算术平方根C ．没有平方根D ．不能确定 15．(易错题)(2017·广州四校联考期中)16的平方根等于( D ) A ．2 B ．－4 C ．±4D ．±2 16．(易错题)若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是( D )A ．±1B ．±4C ．1或9D ．1或317．(2017·玉林期末)已知325.6≈18.044，那么± 3.256≈±1.804__4． 18．“平方根”节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你再写出21世纪你喜欢的一个“平方根”节(题中所举例子除外)2025年5月5日．19．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．(1)(－3)2； (2)－42； (3)－(a 2＋1)． 解：(1)±3.(2)没有平方根，因为－42是负数．(3)没有平方根，因为－(a 2＋1)是负数．20．(教材P48习题T8变式)求下列各式中x 的值：(1)4x 2－1＝0；解：4x 2＝1. x 2＝14.x ＝±12.(2)(2017·广州四校联考期中)(2x－1)2＝25.解：2x－1＝5或2x－1＝－5.解得x＝3或x＝－2.21．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．解：依题意，得2a－1＝9且3a＋b－1＝16，∴a＝5，b＝2.∴a＋2b＝5＋4＝9.∴a＋2b的平方根为±3，即±a＋2b＝±3.综合题22．(易错题)(1)一个非负数的平方根是2a－1和a－5，这个非负数是多少？(2)已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值．解：(1)根据题意，得(2a－1)＋(a－5)＝0.解得a＝2.∴这个非负数是(2a－1)2＝(2×2－1)2＝9.(2)根据题意，分以下两种情况：①当a－1与5－2a是同一个平方根时，a－1＝5－2a.解得a＝2.此时，m＝12＝1；②当a－1与5－2a是两个平方根时，a－1＋5－2a＝0.解得a＝4.此时，m＝(4－1)2＝9.综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9.6.2 立方根基础题知识点1 立方根(1)一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根，即如果x 3＝a ，那么x 叫做a 3a a 是被开方数，3是根指数.3－a ＝－3a.(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算．正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0．1．(2018·恩施)64的立方根为( C )A ．8B ．－8C ．4D ．－4 2．(2018·济宁)3－1的值是( B )A ．1B ．－1C ．3D ．－33．若一个数的立方根是－3，则这个数为( B ) A ．－33B ．－27C ．±33D ．±274．下列说法中，不正确的是( D ) A ．0.027的立方根是0.3 B ．－8的立方根是－2 C ．0的立方根是0D ．125的立方根是±55．下列计算正确的是( C ) A.30.012 5＝0.5 B.3－2764＝34C.3338＝112D ．－3－8125＝－256．－13是－127的立方根，－16164的立方根是－54．7．求下列各数的立方根： (1)0.216；解：∵0.63＝0.216，∴0.216的立方根是0.6，即30.216＝0.6.(2)0；解：∵03＝0，∴0的立方根是0，即30＝0.(3)－21027；解：∵－21027＝－6427，且(－43)3＝－6427，∴－21027的立方根是－43，即3－21027＝－43.(4)－5.解：－5的立方根是3－5.8．求下列各式的值：(1)30.001；解：30.001＝0.1.(2)3－343125；解：3－343125＝－75.(3)－31－1927.解：－31－1927＝－23.知识点2 用计算器求立方根9．用计算器计算328.36的值约为( B )A．3.049 B．3.050 C．3.051 D．3.05210．一个正方体的水晶砖，体积为100 cm3，它的棱长大约在( A )A．4 cm～5 cm之间B．5 cm～6 cm之间C．6 cm～7 cm之间D．7 cm～8 cm之间11．计算：325≈2.92(结果精确到0.01)．易错点立方根与平方根相混淆12．立方根等于本身的数为0，1或－1．中档题13．(易错题)32的立方根是( A )A.33 B.39 C．2 D．314．下列说法正确的是( D )A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B．一个数的立方根比这个数的平方根小C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D.3a与3－a互为相反数15．若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为( D )A．0 B．±10C．0或10 D．0或－10 16．已知2x＋1的平方根是±5，则5x＋4的立方根是4．17．(1)填表：(2)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：被开方数扩大到原来的1__000倍，则立方根扩大到原来的10倍；(3)根据你发现的规律填空：①已知33≈1.442，则33 000≈14.42，30.003≈0.144__2； ②已知30.000 456≈0.076 97，则3456≈7.697． 18．求下列各式的值： (1)－3－0.125； 解：原式＝0.5.(2)－3729＋3512； 解：原式＝－9＋8＝－1.(3)30.027－31－124125＋3－0.001. 解：原式＝0.3－31125＋(－0.1) ＝0.3－15－0.1＝0.19．比较下列各数的大小： (1)39与3； 解：39> 3.(2)－342与－3.4. 解：－342＜－3.4.20．求下列各式中x 的值：(1)8x 3＋125＝0；解：8x 3＝－125. x 3＝－1258.x ＝－52.(2)(2017·广州期中)(2x －1)3＝－8. 解：2x －1＝－2. 解得x ＝－12.21．将一个体积为0.216 m 3的大立方体铝块改铸成8个一样大的小立方体铝块，求每个小立方体铝块的表面积．解：设每个小立方体铝块的棱长为x m ，则 8x 3＝0.216. ∴x 3＝0.027.∴x＝0.3.∴6×0.32＝0.54(m 2)．答：每个小立方体铝块的表面积为0.54 m 2.综合题22．请先观察下列等式： 32＋27＝2327， 33＋326＝33326， 34＋463＝43463， …(1)请再举两个类似的例子；(2)经过观察，写出满足上述各式规则的一般公式．解：(1)35＋5124＝535124，36＋6215＝636215. (2)3n ＋n n 3－1＝n 3nn 3－1(n ＞1，且n 为整数)．6.3 实数基础题知识点1 实数的概念及其分类1．(2018·玉林)下列实数中，是无理数的是( B ) A ．1B. 2C ．－3D.132．下列说法中，正确的是( C )A ．无理数包括正无理数、零和负无理数B ．无限小数都是无理数C ．正实数包括正有理数和正无理数D ．实数可以分为正实数和负实数两类知识点2 实数与数轴上的点的关系实数和数轴上的点是一一对应的，反过来，数轴上的每一个点必定表示一个实数．3．若在数轴上画出表示下列各数的点，则与原点距离最近的点是( B ) A ．－1B ．－12C.32D ．2知识点3 实数的相反数、绝对值、倒数实数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，当a>0时；0，当a ＝0时；－a ，当a<0时.4．－2的相反数是( C )A．－ 2 B.22C. 2 D．－225．π是1π的( B )A．绝对值B．倒数C．相反数D．平方根6．(2017·广州期中)3－8的绝对值是2．7知识点4 实数的运算实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．8．(2018·包头)计算－4－|－3|的结果是( B )A．－1 B．－5 C．1 D．59．计算364＋(－16)的结果是( B )A．4 B．0 C．8 D．12 10．计算：(1)33＋53；解：原式＝(3＋5) 3＝8 3.(2)|1－2|＋|3－2|.解：原式＝2－1＋3－ 2＝3－1.11．计算(结果保留小数点后两位)：(1)π－2＋3；解：原式≈3.142－1.414＋1.732≈3.46.(2)|2－5|＋0.9.解：原式≈2.236－1.414＋0.9≈1.72.易错点对无理数的判断有误12．下列说法正确的是( D )A.33是分数 B.227是无理数 C. π－3.14是有理数 D.3－83是有理数中档题13．下列各组数中，互为相反数的一组是( C ) A ．－|－2|与3－8B ．－4与－（－4）2C ．－32与|3－2|D ．－2与1214．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为4时，输出的y 是( C )A ．4B ．2 C. 2D ．－ 215．(2017·宁夏)实数a 在数轴上的位置如图所示，则|a －3|＝3－a ．16．点A 在数轴上和原点相距3个单位长度，点B 在数轴上和原点相距5个单位长度，则A ，B 两点之间的距离是17．把下列各数分别填入相应的集合中．－15，39，π，3.14，－327，0，－5.123 45…，0.25，－32. (1)有理数集合：{－15，3.14，－327，0，0.25，…}；(2)无理数集合：{39，π，－5.123 45…，－32，…}；(3)正实数集合：{39，π，3.14，0.25，…}；(4)负实数集合：{－15，－327，－5.123 45…，－32，…}．18．求下列各式中的实数x. (1)|x|＝45；解：x ＝±45.(2)|x －2|＝ 5. 解：x ＝2± 5.19．计算：(1)23＋32－53－32； 解：原式＝(2－5)3＋(3－3) 2 ＝－3 3.(2)|3－π|＋|4－π|. 解：原式＝π－3＋4－π ＝1.20．已知实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，且a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为2，f 的算术平方根是8，求12ab ＋c ＋d 5＋e 2＋3f 的值．解：由题意可知ab ＝1，c ＋d ＝0，e ＝±2，f ＝64， ∴e 2＝(±2)2＝2，3f ＝364＝4. ∴12ab ＋c ＋d 5＋e 2＋3f ＝12＋0＋2＋4＝612.综合题21．阅读下列材料：如果一个数的n(n 是大于1的整数)次方等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根，即x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根．如：24＝16，(－2)4＝16，则2，－2是16的4次方根，或者说16的4次方根是2和－2；再如(－2)5＝－32，则－2叫做－32的5次方根，或者说－32的5次方根是－2. 回答问题：(1)64的6次方根是±2，－243的5次方根是－3，0的10次方根是0； (2)归纳一个数的n 次方根的情况．解：当n 为偶数时，一个正数的n 次方根有两个，它们互为相反数；当n 为奇数时，一个数的n 次方根只有一个．负数没有偶次方根.0的n 次方根是0.章末复习(二) 实数分点突破知识点1 平方根、算术平方根、立方根 1．(2017·泰州)2的算术平方根是( B )A ．± 2 B. 2 C ．－ 2 D ．2 2．(2018·铜仁)9的平方根是( C )A ．3B ．－3C ．3和－3D ．81 3．(2018·荆门)8的相反数的立方根是( C ) A ．2B.12C ．－2D ．－124．下列各式正确的是( A ) A ．±31＝±1B.4＝±2C.（－6）2＝－6 D.3－27＝3知识点2 实数的分类5．把下列各数分别填在相应的集合中：5，－6，38，0，π5，3.141 592 6，227，－16，－234.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多1个0)．知识点3 相反数、绝对值、倒数 6.9的倒数等于( D ) A ．3B ．－3C ．－13D.137．实数1－2的相反数是2－1，绝对值是2－1．知识点4 无理数的估算及实数的大小比较8．(2018·贺州)在－1，1，2，2这四个数中，最小的数是( A ) A ．－1 B ．1 C. 2 D ．29．(2018·南通)如图，数轴上的点A ，B ，O ，C ，D 分别表示数－2，－1，0，1，2，则表示数2－5的点P 应落在( B )A ．线段AB 上 B ．线段BO 上C ．线段OC 上D ．线段CD 上知识点5 实数的运算 10．求下列各式的值：(1)(2017·广州期末)38－9；解：原式＝2－3＝－1.(2)(2017·南宁期末)－32＋|2－3|－（－2）2；解：原式＝－9＋3－2－2＝－8－ 2.(3)121＋7×(2－17)－31 000.解：原式＝11＋27－1－10＝27.易错题集训11．下列说法正确的是( D )A．－4没有立方根B．1的立方根是±1C.136的立方根是16D．－5的立方根是3－512．下列说法中，正确的有( B )①只有正数才有平方根；②a一定有立方根；③－a没意义；④3－a＝－3a；⑤只有正数才有立方根．A．1个B．2个C．3个D．4个常考题型演练13．关于12的叙述，错误的是( A )A.12是有理数B．面积为12的正方形边长是12C.12在3与4之间D．在数轴上可以找到表示12的点14．(2017·钦州期末)下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的有( A )A．0个B．1个C．2个D．3个15．(易错题)如果一个实数的算术平方根等于它的立方根，那么满足条件的实数有( C )A．0个B．1个C．2个D．3个16．已知30.5≈0.793 7，35≈1.710 0，那么下列各式正确的是( B )A.3500≈17.100 B.3500≈7.937C.3500≈171.00 D.3500≈79.3717．写出3－9到23之间的所有整数：－2，－1，0，1，2，3，4．18．(2018·东莞)一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝2．19．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是－4π．20．求下列各式中x的值：(1)x 2－5＝49；解：x 2＝499，x ＝±73.(2)(x －1)3＝125. 解：x －1＝5， x ＝6.21．已知某正数的两个平方根分别是a ＋3和2a －15，b 的立方根是－2，求3a ＋b 的算术平方根． 解：∵该正数的两个平方根分别是a ＋3和2a －15，b 的立方根是－2，∴a＋3＋2a －15＝0，b ＝(－2)3＝－8. ∴a＝4，b ＝－8.∴3a ＋b ＝4＝2，即3a ＋b 的算术平方根是2. 22．魔方又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”、法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为64 cm 3. (1)求组成这个魔方的小立方体的棱长；(2)图中阴影部分是一个正方形，则该正方形的面积为10cm 2，边长为10cm.解：组成这个魔方的小立方体的棱长为364÷64＝1(cm)．。
实数(6个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固)(原卷版)七年级数学下册
第03讲实数课程标准学习目标①无理数的概念及其常见的形式②实数的概念及其分类③实数与数轴④实数的性质⑤实数的大小比较⑥实数的运算1.掌握无理数的概念及其三种形式，能够准确的判断无理数。
2.掌握无理数的概念及其分类，能够准确的进行分类。
3.掌握实数与数轴的关系，能够熟练的应用。
4.掌握实数的相关性质，并能够熟练的应用。
5.掌握实数的大小比较方法，能够准确的判定实数的大小关系。
6.掌握实数的运算法则，并能够熟练的进行计算。
知识点01无理数的概念及其形式1.无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
2.无理数的三种形式：①含有，且被开方数开方。
②π以及化简后含有π的数。
③具有特定结构的数。
如0.1010010001...【即学即练1】1．下列各数：，，0，，﹣3.14，，2.101101110…（每两个0之间依次多一个1），其中是无理数的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个知识点02实数的概念及其分类1.实数的概念：与统称为实数。
2.实数的分类：①按定义分类：②按性质分类：【即学即练1】2．把下列各数填入相应的横线内：0.，0，﹣9，﹣6.8，2﹣π，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），．无理数：{…}；整数：{…}；分数：{…}；实数：{…}．知识点03实数与数轴1.实数与数轴的关系：实数与数轴上的点是关系。
数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数轴上找一个点来表示它。
【即学即练1】3．在数轴上对应的点可能是（）A．点M B．点N C．点O D．点P知识点04实数的相关概念及其性质1.相反数：只有的两个数互为相反数。
实数a 的相反数是。
若a 与b 互为相反数，则=+b a 。
2.绝对值：实数a 到原点的距离用来表示。
()()()⎪⎩⎪⎨⎧-==0000＞＜a a a a a a ；①任意实数的绝对值都是一个，即|a |0；②互为相反数的两个数绝对值。
新人教版七年级下数学同步练习,补习、复习资料 第6章《实数》
第六章实数6.1 平方根第1课时算术平方根课前预习：要点感知1一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的__________,记作“__________”,读作“__________”,a叫做__________.预习练习1-12的算术平方根是( )A. C.±4 D.4要点感知2 规定：0的算术平方根为__________.预习练习2-1 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( )A.1B.-1C.0D.0或1要点感知3被开方数越大,对应的算术平方根也__________.预习练习3-1当堂练习：知识点1 算术平方根1.若x是64的算术平方根，则x=( )A.8B.-8C.64D.-642. 0.49的算术平方根的相反数是( )A.0.7B.-0.7C.±0.7D.03.(-2)2的算术平方根是( )A.2B.±2C.-2D.4.下列各数没有算术平方根的是( )A.0B.-1C.10D.1025.求下列各数的算术平方根：(1)144；(2)1；(3)1625；(4)0.008 1；(5)0.6.求下列各数的算术平方根.(1)0.062 5；(2)(-3)2；(3)225121；(4)108.知识点2 估算算术平方根7.设n为正整数，且n n+1，则n的值为( )A.5B.6C.7D.88.的值在( )A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间9.某公司要设计一块面积为10平方米的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须知道这个正方形的边长.这个正方形的边长是多少？估计边长的值(结果精确到十分位).知识点3 用科学计算器求一个正数的算术平方根10.用计算器比较与3.4的大小正确的是( )B.2C.2D.不能确定11.我们可以利用计算器求一个正数a的平方根，其操作方法的顺序进行按键输入：.小明按键输入显示的结果为4，则他按键输入后显示的结果为__________.12.用计算器求下列各式的值（精确到0.001）：课后作业：13.( )A.100B.10 D.±1014.( )A.4B.5C.6D.715.( )A.±4B.4C.±2D.216.下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10,=10；③(-6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个17.已知a、b为两个连续的整数，且<b，则a+b=__________.18.用计算器求值，填空：__________(精确到十分位)；__________(精确到个位)；__________(精确到0.1)；__________(精确到0.001).19.=22.84,填空：（1；（2则x=__________.20.计算下列各式：.21.比较下列各组数的大小：(3)5(4)12与1.5.22.求下列各式中的正数x的值：(1)x2=(-3)2；(2)x2+122=132.23.中国的跳水队被冠以“梦之队”的称号,他们辉煌的战绩鼓舞了几代中国人.跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响,人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式：h=12gt2（其中h的单位是米,t的单位是秒,g=9.8 m/s2）.在一次3米板(跳板离地面的高度是3米)的训练中,运动员在跳板上跳起至高出跳板 1.2米处下落,那么运动员在下落过程中最多有多长时间完成动作？（精确到0.01秒）挑战自我24.国际比赛的足球场长在100 m到110 m之间,宽在64 m到75 m之间,为了迎接某次奥运会,某地建设了一个长方形的足球场,其长是宽的1.5倍,面积是7 560 m2,请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？并说明理由.参考答案课前预习要点感知1算术平方根根号a 被开方数预习练习1-1 B要点感知2 0预习练习2-1 D要点感知3越大预习练习3-1＜＞当堂训练1.A2.B3.A4.B5.(1)12;(2)1;(3)4 5 ;(4)0.09;(5)0.6.(1)0.25；(2)3；(3)15 11；(4)104.7.D8.B9.设这个正方形的边长为x米，于是x2=10.∵x>0，∴∵32=9，42=16,∴又∵3.12=9.61，3.22=10.24,∴又∵3.152=9.922 5，3.2.答: 3.2米.10.B 11.4012.(1)28.284；(2)0.762；(3)49.000.课后作业13.B 14.B 15.D 16.A 17.1118.(1)94.6(2)111(3)-11.4(4)0.44919.(1)0.228 4228.4(2)0.000 521 720.(1)原式=43；(2)原式=0.9-0.2=0.7；(3)原式21.(3)5(4)12＞1.5.22.(1)x=3；(2)x=5.23.设运动员在下落过程中最多有t秒完成动作,根据题意,得3+1.2=12×9.8t2,整理,得t2=2 4.29.8⨯≈0.857 1，所以t≈0.93.因此运动员在下落过程中最多有0.93秒完成动作.24.这个足球场能用作国际比赛.理由如下：设足球场的宽为x m,则足球场的长为1.5x m,由题意,得1.5x2=7 560.∴x2=5 040.∵x＞0,∴又∵702=4 900,712=5 041,∴7071.∴70＜x＜71.∴105＜1.5x＜106.5.∴符合要求.∴这个足球场能用作国际比赛.第2课时平方根课前预习：要点感知1 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的__________或__________,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的__________.预习练习1-1 4的平方根是__________.1-236的平方根是__________，-4是__________的一个平方根.要点感知2 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算.正数有__________个平方根,它们__________；0的平方根是__________；负数__________.预习练习2-1 下列各数：0，(-2)2，-22，-(-5)中,没有平方根的是__________.2-2下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明为什么？(1)(-3)2；(2)-42；(3)-（a2+1）.要点感知3正数a a的负的平方根可以用表示__________,正数a的平方根可以用表示__________,读作“__________”.预习练习3-1 ，当堂练习：知识点1 平方根1. 16的平方根是( )A.4B.±4C.8D.±82.下面说法中不正确的是( )A.6是36的平方根B.-6是36的平方根C.36的平方根是±6D.36的平方根是63.下列说法正确的是( )A.任何非负数都有两个平方根B.一个正数的平方根仍然是正数C.只有正数才有平方根D.负数没有平方根4.填表：5.求下列各数的平方根：(1)100；(2)0.008 1；(3)25 36.知识点2 平方根与算术平方根的关系6.下列说法不正确的是( )A.21B.49的平方根是23C.0.01的算术平方根是0.1D.-5是25的一个平方根7.若正方形的边长为a,面积为S,则( )A.S的平方根是aB.a是S的算术平方根C.a=8.求下列各数的平方根与算术平方根：(1)(-5)2；(2)0；(3)-2；9.已知25x2-144=0，且x是正数，求.课后作业：10.下列说法正确的是( )A.因为3的平方等于9，所以9的平方根为3B.因为-3的平方等于9，所以9的平方根为-3C.因为(-3)2中有-3，所以(-3)2没有平方根D.因为-9是负数，所以-9没有平方根11.|-9|的平方根是( )A.81B.±3C.3D.-312.=__________,13.若8是m的一个平方根，则m的另一个平方根为__________.14.求下列各式的值：；(3)15.求下列各式中的x：(1)9x2-25=0；(2)4(2x-1)2=36.16.全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限，近似地满足如下的关系式：d=7≥12).其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年.(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？17.在物理学中，电流做功的功率P=I2R，试用含P，R的式子表示I，并求当P=25、R=4时，I的值.18.(1)一个非负数的平方根是2a-1和a-5，这个非负数是多少？(2)已知a-1和5-2a是m的平方根，求a与m的值.挑战自我19.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平方根.参考答案课前预习要点感知1 平方根 二次方根 平方根预习练习1-1 ±21-2 ±6 16要点感知2 两 互为相反数 0 没有平方根 预习练习2-1 -222-2 (1)±3；(2)没有平方根，因为-42是负数；(3)没有平方根，因为-(a 2+1)是负数.要点感知3 正、负根号a预习练习3-1 ±25 -25 25 当堂训练1.B2.D3.D4.±37 ±9 ±15 4 4 949 5.(1)±10；(2)±0.09；(3)±56. 6.B 7.B8.平方根分别是(1)±5；(2)0；(3)没有平方根；(4)±2.算术平方根分别是(1)5；(2)0；(3)没有算术平方根；(4)2.9.由25x 2-144=0，得x=±125. ∵x 是正数，∴x=125.∴×5=10. 课后作业10.D 11.B 12.6 -7 ±5 13.-814.(1)∵152=225,=15.(2)∵(67)2=3649,∴67.(3)∵(1211)2=144121,±1211.15.(1)9x 2=25，x 2=259，x=±53； （2）(2x-1)2=9，2x-1=±3，2x-1=3或2x-1=-3，x=2或x=-1.16.(1)当t=16时，d=7×2=14(cm).答：冰川消失16年后苔藓的直径为14 cm.(2)当d=35，即t-12=25，解得t=37(年).答：冰川约是在37年前消失的.17.由P=I 2R 得I 2=PR ，所以.当P=25、R=4时，52. 18.(1)根据题意，得(2a-1)+(a-5)=0.解得a=2.所以这个非负数是(2a-1)2=(2×2-1)2=9. (2)根据题意，分以下两种情况：①当a-1与5-2a 是同一个平方根时，a-1=5-2a.解得a=2.此时，m=12=1; ②当a-1与5-2a 是两个平方根时，a-1+5-2a=0.解得a=4.此时，m=(4-1)2=9. 综上，当a=2时，m=1；当a=4时，m=9. 19.依题意得：2a-1=9且3a+b-1=16,∴a=5,b=2. ∴a+2b=5+4=9.∴a+2b 的平方根为±3.=±3.《平方根》同步测试（第1课时）一、选择题1． 9的算术平方根是( )． A．3B．±3 C ．81 D ．±81考查目的：本题考查算术平方根的概念． 答案：A ．解析：根据算术平方根的概念，因为，所以9算术平方根为3．故答案选A ．2．已知，则=( )． A．．5B．±0．5 C ．0．0625 D ．±0．0625考查目的：考查算术平方根的概念和符号表示．答案：C．解析：符号表示的算术平方根．因为算术平方根等于0．25的数是0．0625，即，所以．3．(2010?贺州)的算术平方根是( )．A．± 2 B． 2 C．±4 D．4考查目的：本题考查算术平方根的概念和符号表示．答案：B．解析：表示16的算术平方根．因此本题应先求“=？”，再求“？”的算术平方根．由于，4的算术平方根是2，故答案选B．二、填空题4．一个面积为0．64m的正方形桌面，它的边长是．考查目的：本题考查运用算术平方根的概念解决问题．答案：0．8m．解析：因为正方形的面积为边长的平方，所以边长是面积的算术平方根，故边长为．5．算术平方根等于它的相反数的数是______．考查目的：本题考查算术平方根的性质．答案：0．解析：因为算术平方根一定是非负数(0和正数)，所以算术平方根等于它的相反数的数是一定是非正数(0和负数)．既是非负数，又是非正数的数只有0，故算术平方根等于它相反数的数是0．6．请你观察思考下列计算过程：因为，所以；同样：因为，所以；…，由此猜想=__________．考查目的：本题考查运用算术平方根概念探究规律．答案：111111111．解析：观察过程：“因为，所以；同样：因为，所以；…”可发现：算术平方根全由1组成，1的个数与被开方数的中间的数字相同．由此猜想=111111111．三、解答题7．“欲穷千里目，更上一层楼，”说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则=，其中是地球半径(通常取6400km)．小丽站在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高度为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值．考查目的：本题考查算术平方根的应用．答案：16km．解析：根据题意，将，代入=，得=16(km)．8．（1）计算：①，②，③，④；（2）观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：．考查目的：本题考查算术平方根的求法以及分析结果发现规律的能力．答案：（1）①1，②3，③6，④10；（2）406．解析：（1）根据算术平方根的求法，可得：①，②，③，④；（2）分析①②③④的结果，可发现：①=1，②=3=1+2，③=6=1+2+3，④=10=1+2+3+4．所以=1+2+3+4+…+28=406．《平方根》同步测试（第2课时）一、选择题1．估计的值在( )．A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间考查目的：本题考查用有理数估计一个带算术平方根符号的(无理)数的大致范围．答案：B．解析：解题的关键是找出10在哪两个连续整数的平方之间．因为，，所以3＜＜4，故在3与4之间．答案选B．2．是的( )．A．10倍B．100倍C．1000倍 D．10000倍考查目的：本题考查被开方数的变化与算术平方根的变化之间的规律的应用．答案：A．解析：根据被开方数的变化与算术平方根的变化之间的规律“被开方数的小数点向左或向右移动位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动位(为正整数)”解答．因为110是1．1的小数点向右移动2位，所以的小数点相应的向右移动1位，就得到的值，即是的10倍．3．下列关于的说法错误的是( )．A．1＜＜2 B．1．7＜＜1．8 C． D．是一个无限不循环小数考查目的：本题考查无限不循环小数的概念以及用有理数估计无理数的大小．答案：C．解析：因为，，所以1＜＜2，即选项A正确；因为，，所以1．7＜＜1．8，即选项B正确；因为是一个无限不循环小数，而1．732是一个有限小数，所以选项C错误，选项D正确．故答案选C．二、填空题4．若将边长为1的五个正方形拼成图1的形状，然后将图1按斜线剪开，再将剪开后的图形拼成图2所示的正方形，那么图1中剪开的斜线的长是_______．考查目的：本题考查运用算术平方根解决问题．答案：．解析：由于每个小正方形面积为1，所以图1的面积为5．剪开后拼成图2的正方形的面积也是5，边长是．因为图1中剪开的斜线的长就是图2正方形的边长，所以图1中剪开的斜线的长是．5．已知，则约是_______．考查目的：本题考查被开方数的变化与算术平方根的变化之间的规律，以及算术平方根的符号表示．答案：0．0735．解析：由于被开方数0．005403是由54．03小数点向左移动四位得到的，则0．005403的算术平方根就是54．03的算术平方根的小数点向左移动两位得到，即．故答案选B．6．已知,为两个连续整数，且＜＜，则．考查目的：本题考查用有理数估计一个(带算术平方根符号的)无理数的大致范围．答案：5．解析：因为，，所以2＜＜3，对比已知条件，可得,,所以．三、解答题7．根据下表回答下列问题：784（1的算术平方根是；（2）≈；（3）在哪两个数之间？考查目的：本题考查算术平方根的概念，以及用文字语言、符号语言表示算术平方根的能力和估算能力．答案：（1）28．2；（2）28．7；（3）28．4与28．5之间．解析：可根据算术平方根的定义解答，但需要一定的估算能力．（1）从表中可直接看出795．24的算术平方根是28．2；（2）表示823．7的算术平方根，表中平方数最接近823．7数是823．69，而，所以≈28．7；（3）因为 806．56＜810＜812．25，所以28．4＜＜28．5．8．某农场有一块长30米，宽20米的场地，要在这块场地上建一个正方形鱼池，使它的面积为场地面积的一半，问能否建成？若能建成，请你估计鱼池的边长为多少？(精确到0．1米)考查目的：本题考查估计算术平方根的大小的实际应用．答案：能，约17．3米．解析：设鱼池的边长为米,则,,＜20，故能建成．因为，，所以17．3＜＜17．4，且与17．3更接近，所以可以估计鱼池的边长为17．3米．《平方根》同步测试（第3课时）一、选择题1．“16的平方根是±4”用数学式子表示正确的是( )．A．=±4 B．±=±4 C．=4 D．- =-4考查目的：本题考查平方根的符号表示．答案：B．解析：“16的平方根”用符号表示是“”，因此“16的平方根是±4”用符号表示是“”．故答案选B．2．下列命题中，正确的个数有( )．①=±3；②2的平方根是4；③的平方根是±1．A．0个B．1个C．2个 D．3个考查目的：本题考查平方根的概念，以及平方根与算术平方根的区别．答案：B．解析：因为，所以①错误；因为2的平方根是，所以②错误；因为=1，1的平方根是±1，所以③正确，故答案选B．3．如果一个正数的平方根为和，则这个正数为( )．A．25 B．36 C．49D．64考查目的：本题考查平方根的定义以及相反数的概念．答案：C．解析：由平方根的定义可知，和是一对相反数，即，解这个方程得．当时，，，所以这个正数为．故答案选C．二、填空题4．已知=，则20．14的平方根为__________(用含的代数式表示)．考查目的：本题考查平方根与算术平方根之间的区别，以及被开方数的变化与算术平方根的变化之间的规律．答案：．解析：因为20．14是2014的小数点向右移动2位得到的，所以应由小数点向右移动1位得到．根据可得，所以20．13的平方根为．5．如果的平方根等于±2，那么=______．考查目的：本题考查平方根与算术平方根的概念以及它们之间的区别．答案：16．解析：根据平方根的定义，可知，4的平方根等于±2，所以；再根据算术平方根的定义，可知，算术平方根等于4的数是16．故答案应填16．6．若和是数的平方根，则=______．考查目的：本题考查平方根概念的运用．答案：256或576．解析：本题没有说明和是否为数的不同的平方根，所以有两种情况．当+=0时，解得，所以，，所以；当=时，解得，则，故答案为256或576．(注意本题与“数的平方根是和”的区别)三、解答题7．如图所示是计算机程序计算，（1）若开始输入，则最后输出= ；（2）若输出的值为22，则输入的值= ．考查目的：本题考查平方运算与开平方运算是互逆运算．答案：（1）-2；（2）±3．解析：（1）；（2）根据题意，可得，整理得，．8．已知正数的两个平方根分别是、．请计算代数式的值．考查目的：本题考查平方根的概念和性质．答案：0．解析：由平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数．可得；由平方根的概念和性质，可得，所以．6.2 立方根课前预习：要点感知1一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的__________,即如果x3=a,那么__________叫做__________的立方根.预习练习1-1 (2014·黄冈)-8的立方根是( )A.-2B.±2C.2D.-1 21-2 -64的立方根是__________,-13是__________的立方根.要点感知2 求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算.正数的立方根是__________；负数的立方根是__________；0的立方根是__________.预习练习2-1下列说法正确的是( )A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B.一个数的立方根不是正数就是负数C.负数没有立方根D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0要点感知3一个数a,读作“__________”,其中__________是被开方数,__________是根指数.预习练习3-1当堂练习：知识点1 立方根1.的立方根是( )A.-1B.0C.1D.±12.若一个数的立方根是-3,则该数为( )B.-27C.D.±273.下列判断：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②若x3=(-2)3，则x=-2；③15的.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.立方根等于本身的数为__________.__________.6.若x-1是125的立方根，则x-7的立方根是__________.7.求下列各数的立方根：(1)0.216；(2)0；(3)-21027；(4)-5.8.求下列各式的值：；知识点2 用计算器求立方根9.的值约为( )A.3.049B.3.050C.3.051D.3.05210.估计96的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间11.≈__________(精确到百分位).12.已知=1.038,=2.237,=4.820,则=__________,=__________.13.(1)(2)由上表你发现了什么规律?请用语言叙述这个规律：______________________________.(3)根据你发现的规律填空：；=0.076 96,=__________.课后作业：14.下列说法正确的是( )A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数B.一个数的立方根比这个数平方根小C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根15.( )A.7B.-7C.±7D.无意义16.正方体A的体积是正方体B的体积的27倍，那么正方体A的棱长是正方体B的棱长的( )A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍17.-27__________.18.计算：=__________=__________.19.已知2x+1的平方根是±5，则5x+4的立方根是__________.20.求下列各式的值：(1)；(2)-；(3)-+；(4)-+21.比较下列各数的大小：-3.4.22.求下列各式中的x：(1)8x3+125=0；(2)(x+3)3+27=0.23.(b-27)2.24.很久很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干死了,人们找不到水喝,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的正方体祭坛太小,如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降雨.”大家觉得很好办,于是很快做好了一个新祭坛送到神那里,新祭坛的棱长是原来的2倍.可是神愈发恼怒,他说：“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的2倍,我要进一步惩罚你们！”如图所示,不妨设原祭坛边长为a,想一想：(1)做出来的新祭坛是原来体积的多少倍？(2)要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛,它的棱长应该是原来的多少倍？挑战自我25.请先观察下列等式：…(1)请再举两个类似的例子；(2)经过观察,写出满足上述各式规则的一般公式.参考答案课前预习要点感知1立方根(或三次方根) x a预习练习1-1 A1-2-4 -1 27要点感知2 正数负数0预习练习2-1 D要点感知3 三次根号a a 3预习练习3-1 3当堂训练1.C2.B3.B4.0,1或-15.±26.-17.(1)∵0.63=0.216，∴0.216的立方根是0.6=0.6；(2)∵03=0，∴0的立方根是0；(3)∵-21027=-6427，且(-43)3=-6427，∴-21027的立方根是-4343；(4)-58.(1)0.1；(2)-75； (3)-23.9.B 10.C 11.2.92 12.10.38 -0.482 0 13.(1)0.01 0.1 1 10 100(2)被开方数扩大1 000倍,则立方根扩大10倍 (3)14.42 0.144 2 7.696 课后作业14.D 15.B 16.B 17.0或-6 18.-4 -3419.4 20.(1)-10； (2)4； (3)-1； (4)0.21.-3.4. 22.(1)8x 3=-125,x 3=-1258,x=-52;(2)（x+3）3=-27,x+3=-3,x=-6.23.由题意知a=-8，b=27，24.(1)8倍；.25.(n ≠1,且n 为整数).初二数学立方根练习一、填空题：1．1的立方根是________． 2．833-________．3．2是________的立方根． 4．________的立方根是1.0-． 5．立方根是65的数是________． 6．6427-是________的立方根．7．=-3)3(________． 8．3)3(-的立方根是________ 9．53-是________的立方根． 10．若a 与b 互为相反数，则它们的立方根的和是________．11．0的立方根是________． 12．36的平方根的绝对值是________． 14．327＝________． 15．立方根等于它本身的数是________． 16．109)1(-的立方根是_________． 17．008.0-的立方根是________． 18．103-是________的立方根． 19．当x 为________时，333-+x x 有意义；当x 为________时，385+-x x 有意义． 20．6)2(-的平方根是________，立方根是________． 二、判断题：1．81-的立方根是21±；（ ） 2．5-没有立方根；（ ）3．2161的立方根是61；（ ）4．92-是7298-的立方根；（ ）5．负数没有平方根和立方根；（ ） 6．a 的三次方根是负数，a 必是负数；（ ） 7．立方根等于它本身的数只能是0或1；（ ）8．如果x 的立方根是2-，那么8-=x ；（ ）9．5-的立方根是35-；（ ） 10．8的立方根是2±；（ ）11．2161-的立方根是没有意义；（ ） 12．271-的立方根是31-；（ ）13．0的立方根是0；（ ） 14．53是12527±的立方根；（ ） 15．33-是3-立方根；（ ）16．a 为任意数，式子a ，2a ，3a 都是非负数．（ ） 三、选择题：1．36的平方根是（ ）． A ．6± B ．6 C ．6- D ．不存在 2．一个数的平方根与立方根相等，则这个数是（ ）．A ．1B ．1±C ．0D ．1- 3．如果b -是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ）． A ．b -也是a -的立方根 B ．b 也是a 的立方根 C ．b 也是a -的立方根 D ．b ±都是a 的立方根 4．下列语句中，正确的是（ ）．A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B ．一个实数的立方根不是正数就是负数C ．负数没有立方根D ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是1-或0或1 5．8的立方根是（ ）．A ．2B ．2-C ．4D ．4-6．设n 是大于1的整数，则等式211=--nn中的n 必是（ ）． A ．大于1的偶数 B ．大于1的奇数 C ．2 D ．3 7．下列各式中正确的是（ ）．A ．416±=B ．3)3(2-=-C ．38-2-= D ．5)4()3(22-=-+-8．与数轴上的点一一对应的数是（ ）．A ．整数B ．有理数C ．无理数D ．实数 9．下列运算正确的是（ ）． A ．3333--=- B ．3333=- C ．3333-=- D ．3333-=-四、解答题：1．求下列各数的立方根．（1）1- （2）10001（3）343- （4）8515（5）512 （6）827- （7）0 （8）216.0-2．求下列各式的值．（1）38- （2）327- （3）3125.0-- （4）33)001.0(--（5）3512 （6）36427--（7）0196.0-（8）22)74()73(+的算术平方根 （9）33a - （10）33a（11）327173-（12）34112213⨯3．x 取何值时，下面各式有意义？（1）x x -+ （2）31-x （3）31--x x （4）32x4．求下列各式中的x ．（1）27000)101.0(3-=+x （2）2523=+x （3）12142=x（4）05121253=+x （5）871)2(3=++x5．化简3)1)(1(a a a a +-+．五、计算(1)4332381)21()4()4()2(--⨯-+-⨯-．六、已知 310x -= ，其中x ，y 为实数，求3x -1998y -的值．七、一个长方体木箱子，它的底是正方形，木箱高1.25米，体积2.718立方米．求这个木箱底边的长．（精确到0.01米）八、一个圆形物体，面积是200平方厘米，半径r 是多少平方厘米？（π 取3.14，r 精确到0.01厘米）九、如果球的半径是r ，则球的体积用公式3π34r V =来计算．当体积500=V 立方厘米，半径r 是多少厘米？（π 取3.14，r 精确到0.01厘米）6.2《立方根》同步测试（第1课时）一、选择题1．-8的立方根为( )．A ．2B ．-2C ．±2D ．±4考查目的：考查立方根的概念． 答案：B ． 解析：由于，根据立方根的概念可得-8的立方根为-2．2．下列说法正确的是( )．A ．负数没有立方根B ．8的立方根是±2C ．立方根等于本身的数只有±1D ．考查目的：考查立方根的概念和性质． 答案：D ．解析：根据立方根的概念和性质可判断：所有的数都有立方根，且立方根只有一个，所以选项A 、B 错误；立方根等于本身的数有三个，分别为0，±1，所以选项C 错误；由可知，选项D 正确．3．的平方根是( )．A ．±4B ．4C ．±2D ．不存在考查目的：考查立方根和平方根的概念以及立方根的符号表示．答案：C．解析：表示64的立方根，根据立方根的概念，得=4，再根据平方根的概念，得4的平方根为±2．二、填空题4．如果，则的值是．考查目的：考查立方根的性质．答案：．解析：由已知可知，，根据立方根的性质，．5．的立方根是 (结果用符号表示)．考查目的：考查算术平方根与立方根的概念以及算术平方根、立方根符号表示．答案：．解析：=9，9的立方根为．6．-27的立方根与64的平方根的和是．考查目的：考查平方根与立方根的概念和计算．答案：-11或5．解析：根据平方根与立方根的概念，可得：-27的立方根是-3，64的平方根是±8，所以-27的立方根与4的平方根的和是5或-11．三、解答题7．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．解析：本题考查求立方根的方法，需要注意的是：在求带分数的立方根时，必须先把它化成假分数．（1）；（2）；（3）；（4）．8．有一棱长为6的正方体容器中盛满水，将这些水倒入另一正方体容器时，还需再加水127才能盛满，求另一正方体容器的棱长．考查目的：考查立方根的实际应用．答案：7．解析：原正方体容器的容积=()，另一正方体容器的容=216+127=343()，其棱长为．6.2《立方根》同步测试（第2课时）一、选择题1．估算10 000的立方根的范围大概是( )．A．10～15 B．15～20 C．20～25 D．25～30考查目的：考查无理数的估算能力．答案：C．解析：因为，，，，，又8000＜10000＜15625，所以10000的立方根应在20和25之间，故答案选C．2．已知：，，则等于( )．A．-17．38 B．-0．01738 C．-806．7 D．-0．08067考查目的：考查被开方数与立方根之间的小数点变化规律．答案：D．解析：根据可知，须先求出的值．0．000525是把525的小数点向左移动6位得到的，根据规律：被开方数的小数点每向右或向左移动3位，立方根的小数点向右或向左移动1位，可知，0．000525的立方根应把的立方根8．067向左移动2位，即0．08067．所以=-0．08067．4．在，1，-4，0这四个数中，最大的数是( )．A． B．1 C．-4D．0考查目的：考查立方根的定义和大小比较．答案：．解析：因为正数大于负数和零，所以最大数应在和1中选，因为＞，即＞1，故答案选A．二、填空题4．估计在哪两个相邻整数之间：＜＜．考查目的：考查估算能力．答案：8 9．解析：因为＜700＜，所以8＜＜9．5．比较大小：______．考查目的：考查对平方根和立方根估算能力以及大小比较．答案：＜．解析：因为，，所以5＜＜6,；因为，，所以10＜＜11．故＜．6．一个正方形的面积变为原来的倍，则边长变为原来的倍；一个正方体的体积变为原来的倍，则棱长变为原来的倍．考查目的：考查算术平方根和立方根的概念和变化规律．答案：，．解析：由于正方形的面积为边长的平方，故边长变化的倍数是面积变化倍数的算术平方根；同理，棱长变化的倍数为体积变化倍数的立方根．三、解答题7．求下列各式中x的值：（1）；（2）．考查目的：考查立方根的应用．答案：（1）；（2）．解析：（1）由立方根的概念，可得，；（2），由立方根的概念，可得，．8．不用计算器，研究解决下列问题: （1）已知，且为整数，则的个位数字一定是 ；∵8000=＜10648＜=27000，∴的十位数字一定是 ；∴；（2）若，且为整数，按照（1）的思考方法，直接写出的值为 ．考查目的：考查对于一个能开方开得尽的较大的整数，其立方根的大小估计． 答案：（1）2 2 22 （2）95．解析：（1）个位为1的两位数的立方，其个位数为1；个位为2的两位数的立方，其个位数为8；依此类推，可以判断的个位数字一定是2，十位数字一定是2，故10648的立方根为22．（2）按照（1）中的方法可以推测（2）中857375的立方根为95．6.3 实数 第1课时 实数课前预习：要点感知1 无限__________小数叫做无理数,__________和__________统称为实数.预习练习1-1 下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数，正确的是( )A.①②B.①③C.②③D.③④ 1-2 实数-2，0.3，17，2，-π中，无理数的个数是( )A.2B.3C.4D.5 要点感知2 实数可以按照定义和正负性两个标准分类如下：⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎨⎩⎪⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎭⎩⎩正有理数零负有理数实数正无理数负无理数 ⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数正无理数实数负整数负有理数负分数负无理数预习练习2-1 给出四个数-1，0，0.5( )。
人教版七年级下册《6.3第2课时实数的运算》同步练习(含答案)
第2课时 实数的运算关键问答①本题用到的运算律是什么？1．－5的绝对值是( ) A ．－15 B ．－5 C. 5 D ．5 2．①计算：3 2－2＋2＝________．3．计算：327＋16－14.命题点 1 实数的大小比较 [热度：90%]4．比较大小：|3－2|________|3|＋|－2|.5．数轴上表示－3.14的点在表示－π的点的________边．6．实数a 在数轴上对应的点的位置如图6－3－6所示，试确定a ，－a ，1a，a 2的大小关系．图6－3－6命题点 2 实数的性质 [热度：93%]7.4的倒数是( )A ．－2 B.12 C ．2 D ．±128．下列实数中绝对值最小的是( )A ．－4B ．－2C ．1D ．39.②实数2－1的相反数是( ) A.2－1 B.2＋1C ．1－2D ．－2－1方法点拨②a 的相反数是－a .若两个数的和为0，则这两个数互为相反数.10．计算|3－2|的结果是( )A ．2－3 B.3－2C ．－2－3D ．2＋311.③观察下列各式：①a 2；②|a |＋1；③－a ；④23a .取一个适当的实数作为a 的值代入求值后，不可能互为相反数的式子序号为( )A ．②④B ．①②C ．①③D ．③④解题突破③两个数的符号不同才有可能互为相反数(0除外).12.④如果一个实数的绝对值为11－5，那么这个实数为______________．易错警示④本题容易丢掉11－5这种情况.13．若无理数a 使得|a －4|＝4－a ，则a 的一个值可以是________．14．若(x＋3)2＋|y－2|＝0，则|x＋y|＝________．15．若a是15的整数部分，b是15的小数部分，则a－b－ab＝____________．16．已知7＋5＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x－y＋5的相反数．17.⑤在数轴上点A表示的数是 5.(1)若把点A向左平移2个单位长度得到点B，求点B表示的数；(2)若点C和(1)中的点B所表示的数互为相反数，求点C表示的数；(3)在(1)(2)的条件下，求线段OA，OB，OC的长度之和．解题突破⑤求线段OA，OB，OC的长度之和，即求A，B，C三个点所表示的数的绝对值之和.命题点3实数的运算[热度：98%]18．若等式2□2＝2 2成立，则□内的运算符号为()A．＋B．－C．×D．÷19．计算|3－4|－3－22的结果是()A．23－8 B．0 C．－23D．－820．定义新运算“☆”：a☆b＝ab＋1，则2☆(3☆5)＝__________．21．⑥有四个实数分别是|－9|，22，－38，2 2.请你计算其中有理数的积与无理数的积的差，结果是__________．解题突破⑥(1)先确定四个数中的有理数和无理数；(2)再分别计算它们的积；(3)最后求两个积 的差．22．⑦已知数轴上有A ，B 两点，且这两点之间的距离为4 2.若点A 在数轴上表示的数为3 2，则点B 在数轴上表示的数为____________．解题突破⑦点B 在点A 的左边还是右边？23．计算： (1)19＋32627－1＋|3－2|－(－2)2＋2 3；(2)(－1)3＋||3－2＋2÷23－ 4.24.⑧我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝p q.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34.(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，那么我们称正整数a是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中，F(t)的最大值．解题突破⑧(1)读懂新定义的条件：一个正整数分解成两个正整数的积，且取两因数之差的绝对值最小的情况．(2)在列举的所有情况中，找出满足条件的情况.典题讲评与答案详析1．C 2. 22＋23．解：原式＝3＋4－12＝132. 4．＜ [解析]∵|3－2|＝3－2，|3|＋|－2|＝3＋2，∴3－2＜3＋ 2.故填“＜”．5．右 [解析] 因为3.14＜π，所以－3.14＞－π，所以数轴上表示－3.14的点在表示－π的点的右边．6．解：∵－1＜a ＜0，不妨令a ＝－12，∴－a ＝12，1a ＝－2，a 2＝14. ∵－2＜－12＜14＜12，∴1a＜a ＜a 2＜－a . 7．B [解析] 因为4＝2，所以4的倒数是12. 8．C [解析] －4的绝对值是4，－2的绝对值是2，1的绝对值是1，3的绝对值是3.因为4>3>2>1，所以这些实数中绝对值最小的是1.9．C [解析] 实数2－1的相反数是－(2－1)＝1－ 2.10．A [解析] 因为3<2，所以3－2<0，所以|3－2|＝－(3－2)＝2－ 3.11．B [解析]∵a 2≥0，|a |＋1≥1，∴①和②不可能互为相反数．12.11－5或5－11[解析] 因为|11－5|＝11－5，|5－11|＝11－5，所以这个实数为11－5或5－11.13.2(答案不唯一) [解析] 答案不唯一，只要a 是小于4的无理数即可．14.3－2[解析] 由题意，得x＝－3，y＝2，所以|x＋y|＝|－3＋2|＝－(－3＋2)＝3－ 2.15．15－415[解析] 因为3＜15＜4，所以a＝3，b＝15－3，所以a－b－ab＝3－(15－3)－3×(15－3)＝3－15＋3－315＋9＝15－415.16．解：∵4＜5＜9，∴2＜5＜3.又∵7＋5＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝9，y＝5－2，∴x－y＋5＝9－(5－2)＋5＝11，∴x－y＋5的相反数是－11.17．解：(1)点B表示的数是5－2.(2)点C表示的数是2－ 5.(3)由题意，得点A表示5，点B表示5－2，点C表示2－5，∴OA＝5，OB＝5－2，OC＝|2－5|＝5－2，∴OA＋OB＋OC＝5＋5－2＋5－2＝3 5－4.18．A[解析] 因为2＋2＝2 2，2－2＝0，2×2＝2，2÷2＝1，所以选A.19．C[解析] 原式＝4－3－3－4＝－2 3.故选C.20．3[解析] 2☆(3☆5)＝2☆(3×5＋1)＝2☆4＝2×4＋1＝3.21．－20[解析] 有理数为|－9|，－38，它们的积为|－9|×(－38)＝－18.无理数为22，2 2，它们的积为22×2 2＝2.有理数与无理数积的差为－18－2＝－20.22．－2或7 2[解析] 本题要分两种情况进行分析：①当点B 在点A 的左边时，则3 2－4 2＝－2，故点B 表示的数是－2；②当点B 在点A 的右边时，则4 2＋3 2＝7 2，故点B 表示的数是7 2.综上，点B 在数轴上表示的数为－2或7 2.23．解：(1)原式＝13－13＋2－3－4＋2 3＝3－2. (2)原式＝－1＋2－3＋2×32－2＝－1. 24．解：(1)证明：对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2(n 为正整数)． ∵|n －n |＝0，∴n ×n 是m 的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝n n＝1. (2)设交换t 的个位上的数字与十位上的数字得到的新数为t ′，则t ′＝10y ＋x . ∵t 为“吉祥数”，∴t ′－t ＝(10y ＋x )－(10x ＋y )＝9(y －x )＝18，∴y ＝x ＋2.∵1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数，∴“吉祥数”有13，24，35，46，57，68，79.∵F (13)＝113，F (24)＝46＝23，F (35)＝57，F (46)＝223，F (57)＝319，F (68)＝417，F (79)＝179，又∵57＞23＞417＞319＞223＞113＞179， ∴所有“吉祥数”中，F (t )的最大值是57.【关键问答】①乘法分配律的逆用．。
新人教版初中数学七年级数学下册第二单元《实数》测试(包含答案解析)(4)
一、选择题1．下列各数中，无理数有（ ）3.14125127，0.321，π，2.32232223（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．在实数，-3.14，0，π中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列说法中错误的有（ ）①实数和数轴上的点是一一对应的；②负数没有立方根；③算术平方根和立方根均等于其本身的数只有0；④49的平方根是7±7=±．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列说法中，正确的是（ ）A ．无理数包括正无理数、零和负无理数B ．无限小数都是无理数C ．无理数都是无限不循环小数D ．无理数加上无理数一定还是无理数5．定义运算：132x y xy y =-※，若211a =-※，则a 的值为（ ） A ．12- B ．12C ．2-D ．2 6．下列选项中，属于无理数的是（ ）A ．πB ．227-CD ．07．下列命题中真命题的个数（ ）①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行．A ．4B ．3C ．2D ．1 8．和数轴上的点一一对应的数是（ ）A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数9．设,A B 均为实数，且A B ==,A B 的大小关系是（ ） A ．A B > B ．A B =C ．A B <D ．A B ≥10．已知：m 、n 为两个连续的整数，且m n <，以下判断正确的是（ ）A 4B ．3m =C 0.236D ．9m n +=11． ）A ．5和6B ．6和7C ．7和8D ．8和9 12．下列等式成立的是（ ）A ．±1B ＝±2C 6D 3 二、填空题13．3=，31a b -+的平方根是4±，c 3a b c ++的平方根．14．求出x 的值：()23227x += 15．111111133557792017201920192021++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯16．已知a 是b 的小数部分，求代数式(1b a --的平方根． 17．（1）计算：|3|-．（2）求下列各式中x 的值：③22536x =；④3(1)64x --=．18．比较大小：|5|-________“>”“=”或“<”）19．定义一种新运算；观察下列各式；131437=⨯+=()3134111-=⨯-=5454424=⨯+= ()4344313-=⨯-=（1）请你想一想：a b = ；（2）若a b ，那么a b b a （填“=”或“≠” ）；（3）先化简，再求值：()()2a b a b -+，其中1a =-，2b =．20．若4＜5，则满足条件的整数 a 分别是_________________．三、解答题21．2-．22．计算：（1．（2）()23540.255(4)8⨯--⨯⨯-．23．已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ．（1）求m 的值；（2）|a ﹣3|b ++（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？ 24．定义一种新运算，观察下列式子：212122128=⨯+⨯⨯=★；2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；； （1）计算：()32-★的值；（2）猜想：a b =★________；（3）若12162a +=-★，求a 的值． 25．如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c ，试化简()323|-|b a c a b -++．26．111111133557792017201920192021++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接根据无理数的定义直接判断得出即可．【详解】8π，2.32232223共3个． 故选D ．【点睛】本题考查了无理数的定义，正确把握无理数的定义：无限不循环小数是无理数进而得出是解题关键． 2．B【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．【详解】=4，所给数据中无理数有：π，共2个．故选：B．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．3．D解析：D【分析】利用实数和数轴的关系，算术平方根，立方根及平方根定义判断即可．【详解】①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；②负数有立方根，错误；③算术平方根和立方根均等于其本身的数有0和1，错误；④49的平方根是7±7=，错误．综上，错误的个数有3个．故选：D．【点睛】本题考查了实数和数轴，平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4．C解析：C【分析】根据实数的概念和分类即可判断．【详解】A、无理数包括正无理数和负无理数，则此项错误；B、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，则此项错误；C、无理数都是无限不循环小数，则此项正确；D(0=，则此项错误；故选：C．【点睛】本题考查了实数的概念和分类，熟练掌握实数的概念是解题关键．5．C【分析】根据新定义的运算得到关于a 的方程，求解即可．【详解】解：因为211a =-※， 所以132112a a ⨯-=-， 解得 2a =-．故选：C【点睛】本题考查了新定义的运算与一元一次方程，根据新定义运算得到一元一次方程是解题关键．6．A解析：A【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】解：A.π是无理数； B.227-是分数，属于有理数；是整数，属于有理数；D.0是整数，属于有理数．故选：A ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．7．D解析：D【分析】根据无理数、平行公理、邻补角、算术平方根、实数与数轴、平行线的判定逐个判断即可得．【详解】①无理数包括正无理数和负无理数，此命题是假命题；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此命题是真命题；③和为180︒的两个角不一定互为邻补角，此命题是假命题；7=，此命题是假命题；⑤实数和数轴上的点一一对应，此命题是假命题；⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此命题是假命题；综上，真命题的个数是1个，故选：D．【点睛】本题考查了无理数、平行公理、邻补角、实数与数轴等知识点，熟练掌握各定义与公理是解题关键．8．D解析：D【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应关系，即可得出．【详解】解：根据实数与数轴上的点是一一对应关系．故选：D．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．9．D解析：D【分析】根据算术平方根的定义得出A是一个非负数，且m-3≥0，推出3-m≤0，得出B≤0，即可得出答案，【详解】解：∵A=∴A是一个非负数，且m-3≥0，∴m≥3，∵B=∵3-m≤0，即B≤0，∴A≥B，故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，平方根和立方根，实数的大小比较等知识点，题目比较好，但有一定的难度．10．A解析：A【分析】根据无理数的估算、实数的运算即可得．【详解】<<，459<<23<<，22，则选项C 错误；∴)224-=A 正确；又m 、n 为两个连续的整数，且m n <<，2,3m n ==∴，则选项B 错误；235m n ∴+=+=，则选项D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 11．A解析：A【分析】【详解】解：∵∴56，∴在两个相邻整数5和6之间．故选：A ．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．12．A解析：A【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义逐一判断即可．【详解】A ．书写规范，故本选项符合题意；B.算术平方根只能是正数不能是负数，故本选项不合题意；C.立方根与被开方数符号一致，故本选项符合题意；D.33=27，27的立方根才等于3，故本选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了算术平方根与立方根的定义，熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键．二、填空题13．【分析】根据求出a 的值根据3a+b-1的平方根是±4求出b 的值根据c 是的整数部分求出c 的值把求得的值代入a+b+3c 然后求出入a+b+3c 的平方根即可【详解】∵∴解得：∵的平方根是∴解得：∵是的整数解析：5±【分析】3=求出a 的值，根据3a +b -1的平方根是±4求出b 的值，根据c 数部分求出c 的值，把求得的值代入a +b +3c ，然后求出入a +b +3c 的平方根即可.【详解】 ∵3=，∴219a -=，解得：5a =，∵31a b +-的平方根是4±，∴15116b +-=，解得：2b =，∵c67<<∴6c =，∴3521825a b c ++=++=∴3a b c ++的平方根是5±【点睛】本题考查了算术平方根的意义，平方根的意义，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的意义、平方根的意义、夹逼法估算无理数的值是解答本题的关键． 14．x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x+2的值然后解关于x 的一元一次方程即可【详解】解：∵3（x+2）2＝27∴（x+2）2＝9∴x+2＝±3解得：x ＝1或x ＝﹣5【点睛】本题主要考查的是解析：x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x +2的值，然后解关于x 的一元一次方程即可．【详解】解：∵3（x +2）2＝27，∴（x +2）2＝9，∴x +2＝±3，解得：x ＝1或x ＝﹣5．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．15．【分析】利用裂项法计算即可【详解】原式【点睛】本题考查了利用裂项法进行分数的加法计算熟练掌握裂项法是解题的关键解析：10102021【分析】利用裂项法计算即可．【详解】 原式1111111233520192021⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪⎝⎭ 11122021⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 1202022021=⨯ 10102021=． 【点睛】 本题考查了利用裂项法进行分数的加法计算，熟练掌握裂项法是解题的关键． 16．【分析】根据可得即可得到的整数部分是3小数部分是即可求解【详解】解：∵∴∴的整数部分是3则的小数部分是则∴∴9的平方根为【点睛】本题考查实数的估算实数的运算平方根的定义掌握实数估算的方法是解题的关键 解析：3±．【分析】根据223104<<可得34<<的整数部分是3，小数部分是3，即可求解．【详解】解：∵223104<<， ∴34<<， ∴3，则3a =3，则3b =， ∴(()1312339a b ---=-=-=， ∴9的平方根为3±．【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键． 17．（1）①；②；（2）③；④【分析】①先计算根式再加减计算②先计算根式和绝对值再加减计算（2）③两边除以25再开算术平方根④先除以-1再开立方根【详解】（1）①②（2）③④【点睛】本题考查根式的化简求解析：（1）①13；②9-；（2）③65x =±；④5x =． 【分析】①先计算根式，再加减计算．②先计算根式和绝对值，再加减计算．（2）③两边除以25，再开算术平方根．④先除以-1，再开立方根．【详解】（1）-+1322=-+13=|3|-1153=-+-9=-（2）③22536x =23625x = 65x =± ④3(1)64x --=3(641)x -=-14x -=-5x =【点睛】本题考查根式的化简求值，关键在于化简．18．>【分析】先求出=5=-5再比较即可【详解】因为=5=-55>-5所以>故答案为：>【点睛】考核知识点：实数大小比较求出绝对值和算术平方根是关键 解析：>【分析】先求出|5|-=5，，再比较即可．【详解】因为|5|-=5，，5>-5，所以|5|->故答案为：>．【点睛】考核知识点：实数大小比较．求出绝对值和算术平方根是关键．19．（1）4a+b ；（2）；（3）6a-3b-12【分析】（1）观察得到新运算等于第一个数乘以4加上第二个数据此列式即可；（2）根据新运算分别计算出与即可得到答案；（3）根据新运算分别化简再将ab 的值代解析：（1）4a+b ；（2）≠；（3）6a-3b ，-12【分析】（1）观察得到新运算等于第一个数乘以4，加上第二个数，据此列式即可；（2）根据新运算分别计算出a b 与b a 即可得到答案； （3）根据新运算分别化简再将a 、b 的值代入计算． 【详解】（1）ab =4a+b ， 故答案为：4a+b ； （2）a b =4a+b ，b a =4b+a ， ∵a b ， ∴a b ≠b a ，故答案为：≠；（3）()()2a b a b -+ =4（a-b ）+（2a+b ）=4a-4b+2a+b=6a-3b ，当1a =-，2b =时，原式=-6-6=-12．【点睛】此题考查新定义运算，整式的加减混合运算，正确理解新定义的运算规律并解决问题是解题的关键． 20．18192021222324【分析】求出a 的范围是16＜a ＜25求出16和25之间的整数即可【详解】解：∵4＜＜5a 为整数∴＜＜∴整数a 有1718192021222324共8个数故答案为：17181解析：18、19、20、21、22、23、24．【分析】求出a 的范围是16＜a ＜25，求出16和25之间的整数即可．【详解】解：∵4＜5，a 为整数，∴∴整数a 有17、18、19、20、21、22、23、24，共8个数，故答案为：17、18、19、20、21、22、23、24．【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．三、解答题21．4【分析】原式利用平方根、立方根定义及绝对值化简计算即可得到结果．【详解】解：原式282=-+-4=【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根、立方根定义是解本题的关键．22．（1）6；（2）70．【分析】（1）首先计算算术平方根、立方根，然后进行加减计算即可；（2）首先计算乘方、乘法，最后进行加减计算即可．【详解】解：（1=4-(-2)=6．（2）()23540.255(4)8⨯--⨯⨯- =()()5160.255648⨯--⨯⨯-=1080-+=70．【点睛】 本题考查了实数的混合运算，正确理解算术平方根、立方根性质及乘方法则，确定运算顺序是关键．23．（1）m ＝121；（2）a +b +c 的立方根是2【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n +1+4﹣3n ＝0，可求n ＝5，即可求m ； （2）由已知可得a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5，则可求解．【详解】解：（1）正数m 的平方根互为相反数，∴2n +1+4﹣3n ＝0，∴n ＝5，∴2n +1＝11，∴m ＝121；（2）∵|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，∴a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5，∴a +b +c ＝3+0+5＝8，∴a +b +c 的立方根是2．【点睛】本题考查平方根的性质；熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．24．（1）0；（2）22ab ab +；（3）5a =-【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；（2）利用规定的运算方法求解即可；（3）利用规定的运算方法得到方程，再进一步解方程即可．【详解】解：（1）∵212122128=⨯+⨯⨯=★；2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；； ∴()()()232322320-=⨯-+⨯⨯-=★；（2）由（1）可得：22a b ab ab =+★．故答案为：22ab ab +．（3）2111222216222a a a +++=⨯+⨯⨯=-★， 解得：5a =-．【点睛】此题考查有理数的混合运算以及解一元一次方程，理解运算方法是解决问题的关键． 25．2a-c【分析】根据数轴得到a<b<0<c ，由此得到a-c<0，a+b<0，依此化简各式，再合并同类项即可.【详解】由数轴得a<b<0<c ，∴a-c<0，a+b<0，∴|-|a c =-b-（c-a ）+(a+b)=-b-c+a+a+b=2a-c.【点睛】 此题考查数轴上的点表示数，利用数轴比较数的大小，绝对值的性质，立方根的化简，整式的加减法计算法则，解题的关键是依据数轴确定各式子的符号由此化简各式. 26．10102021【分析】利用裂项法计算即可．【详解】原式1111111233520192021⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪⎝⎭ 11122021⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 1202022021=⨯ 10102021=． 【点睛】 本题考查了利用裂项法进行分数的加法计算，熟练掌握裂项法是解题的关键．。
(常考题)人教版初中数学七年级数学下册第二单元《实数》检测题(有答案解析)(2)
一、选择题1．如图，数轴上O 、A 、B 、C 四点，若数轴上有一点M ，点M 所表示的数为m ，且5m m c -=-，则关于M 点的位置，下列叙述正确的是（ ）A ．在A 点左侧B ．在线段AC 上C ．在线段OC 上D ．在线段OB 上2．下列说法正确的是（ ） A ．2-是4-的平方根 B ．2是()22-的算术平方根 C ．()22-的平方根是2D ．8的平方根是43．若23a =-，2b =--，()332c =--，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>4．如图，直径为1个单位长度的圆从A 点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B ，则点B 表示的数是（ ）A ．1π-B ．21π-C ．2πD ．21π+ 5．已知实数a 的一个平方根是2-，则此实数的算术平方根是（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4 6．下列计算正确的是（ ） A 11-=-B 2(3)3-=-C 42=±D 31182-=-7．在下列各数中是无理数的有（ ）0.111-453π，3.1415926，2.010101（相邻两个0之间有1个1），76.0102030405060732 A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．下列有关叙述错误的是（ ） A 2B 2是2的平方根C ．122<<D 2是分数 9．下列等式成立的是（ ） A ．1±1B 4＝±2C 3216- 6D 39310．下列计算正确的是（ ）A ．21155⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．()239-=C ．42=±D ．()515-=-11．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n12．估计511-的值在（ ） A ．5~6之间B ．6~7之间C ．7~8之间D ．8~9之间二、填空题13．计算： （1）3168--． （2）()23540.255(4)8⨯--⨯⨯-．14．求出x 的值：()23227x +=15．如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c ，试化简()323|-|b a c a b -++．16．求x 的值：（1）2(3)40x +-=（2）33(21)240x ++=17．阅读下面的文字，解答问题：无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、2等，而常用“……”或者“≈”212的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．459<<，即253<<，5252也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间． 根据上述信息，请回答下列问题：（113______，小数部分是_______；（2）107+107a b <+<，则a b +=_____； （3404x y =+，其中x 是整数，且01y <<．求：x y -的相反数． 18．已知甲数是719的平方根，乙数是338的立方根，则甲、乙两个数的积是__．19．阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：2π、等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.52-得来的； 信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如253<<，是因为459<<；根据上述信息，回答下列问题：（1）13的整数部分是___________，小数部分是______________；（2）若2122a <<，则a 的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______； （3）103+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为103a b <+<则a b +=______；（4）若303x y -=+，其中x 是整数，且01y <<，请求x y -的相反数． 20．若4＜a ＜5，则满足条件的整数 a 分别是_________________．三、解答题21．计算：（1）37|2|27--+-（2）23115422⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22．已知290x ，310y +=，求x y +的值．23．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324） （1）求正方形纸板的边长；（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．24．（1）小明解方程2x 1x a332-+=-去分母时，方程右边的−3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为多少？（2）设x ，y 是有理数，且x ，y 满足等式2x 2y 2y 1742++=-x-y 的值． 25．计算：3011(2)(20043)22-+--b a-的平方根．26．已知a的整数部分，b的小数部分，求代数式(1【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据A、C、O、B四点在数轴上的位置以及绝对值的定义即可得出答案．【详解】∵|m-5|表示点M与5表示的点B之间的距离，|m−c|表示点M与数c表示的点C之间的距离，|m-5|＝|m−c|，∴MB＝MC．∴点M在线段OB上．故选：D．【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．2．B解析：B【分析】根据平方根、算术平方根，即可解答．【详解】A选项：4-没有平方根，故A错误；-=，4的算术平方根为2，故B正确；B选项：()224-=，4的平方根为2±，故C错误；C选项：()224D选项：8的平方根为±，故D错误故选B．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的概念．3．D解析：D【分析】根据乘方运算，可得平方根、立方根，根据绝对值，可得绝对值表示的数，根据正数大于负数，可得答案．【详解】c==--=，解：∵3a==-，b=，()22>>，∴c b a故选：D．【点睛】本题考查了实数比较大小，先化简，再比较，解题的关键是掌握乘方运算，绝对值的化简．4．B解析：B【分析】根据是数的运算，A点表示的数加两个圆周，可得B点，根据数轴上的点与实数一一对应，可得B点表示的数．【详解】解：A点表示的数加两个圆周，可得B点，π-，所以，21故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动，A点表示的数加两个圆周．5．C解析：C【分析】根据平方根的概念从而得出a的值，再利用算术平方根的定义求解即可．【详解】∵-2是实数a的一个平方根，a=，∴4∴4的算术平方根是2，故选：C．【点睛】本题主要考查了平方根以及算术平方根，在解题时要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的算术平方根是它的正的平方根．6．D解析：D【分析】根据算术平方根、立方根的定义逐项判断即可得．【详解】A0，没有意义，此项错误；B3==，此项错误；C2=，此项错误；D1=-，此项正确；2故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、立方根是解题关键．7．B解析：B【分析】根据无理数是无限不循小数，可得答案．【详解】3π，76.0102030405060732故选：B．【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．8．D解析：D【分析】根据正数、平方根、无理数的估算与定义逐项判断即可得．【详解】AB是2的平方根，此项叙述正确；C、12<<，此项叙述正确；D故选：D．【点睛】本题考查了正数、平方根、无理数的估算与定义，熟练掌握各定义是解题关键．9．A解析：A【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义逐一判断即可．【详解】A．书写规范，故本选项符合题意；B.算术平方根只能是正数不能是负数，故本选项不合题意；C.立方根与被开方数符号一致，故本选项符合题意；D.33=27，27的立方根才等于3，故本选项不合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了算术平方根与立方根的定义，熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键．10．B解析：B【分析】根据有理数的乘方以及算术平方根的意义即可求出答案．【详解】解：A.211525⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以，选项A运算错误，不符合题意；B.()239-=，正确，符合题意；2=，所以，选项C运算错误，不符合题意；D.()511-=-，所以，选项D运算错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了有理数的运算以及求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则．11．B解析：B【分析】根据n+p=0可以得到n和p互为相反数，原点在线段PN的中点处，从而可以得到绝对值最大的数．【详解】解：∵n+p=0，∴n和p互为相反数，∴原点在线段PN的中点处，∴绝对值最大的一个是Q点对应的q．故选B．【点睛】本题考查了实数与数轴及绝对值．解题的关键是明确数轴的特点．12．B解析：B【分析】的取值即可得到答案．【详解】由题意得78<<，617∴<<，1介于6~7之间．故选B ． 【点睛】二、填空题13．（1）6；（2）【分析】（1）首先计算算术平方根立方根然后进行加减计算即可；（2）首先计算乘方乘法最后进行加减计算即可【详解】解：（1）=4-(-2)=6（2）===【点睛】本题考查了实数的混合运算解析：（1）6；（2）70． 【分析】（1）首先计算算术平方根、立方根，然后进行加减计算即可； （2）首先计算乘方、乘法，最后进行加减计算即可． 【详解】解：（1 =4-(-2) =6． （2）()23540.255(4)8⨯--⨯⨯-=()()5160.255648⨯--⨯⨯-=1080-+=70． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确理解算术平方根、立方根性质及乘方法则，确定运算顺序是关键．14．x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x+2的值然后解关于x 的一元一次方程即可【详解】解：∵3（x+2）2＝27∴（x+2）2＝9∴x+2＝±3解得：x ＝1或x ＝﹣5【点睛】本题主要考查的是解析：x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x +2的值，然后解关于x 的一元一次方程即可． 【详解】解：∵3（x +2）2＝27， ∴（x +2）2＝9， ∴x +2＝±3，解得：x ＝1或x ＝﹣5．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．15．2a-c 【分析】根据数轴得到a<b<0<c 由此得到a-c<0a+b<0依此化简各式再合并同类项即可【详解】由数轴得a<b<0<c ∴a-c<0a+b<0∴=-b-（c-a ）+(a+b)=-b-c+a+解析：2a-c 【分析】根据数轴得到a<b<0<c ，由此得到a-c<0，a+b<0，依此化简各式，再合并同类项即可. 【详解】由数轴得a<b<0<c ， ∴a-c<0，a+b<0，∴|-|a c =-b-（c-a ）+(a+b) =-b-c+a+a+b =2a-c. 【点睛】此题考查数轴上的点表示数，利用数轴比较数的大小，绝对值的性质，立方根的化简，整式的加减法计算法则，解题的关键是依据数轴确定各式子的符号由此化简各式.16．（1）或；（2）【分析】（1）整理后利用平方根的定义得到然后解两个一元一次方程即可；（2）整理后利用立方根的定义得到然后解一元一次方程即可【详解】（1）移项得：∴∴或；（2）整理得：∴∴【点睛】本题解析：（1）1x =-或5x =-；（2）32x =-． 【分析】（1）整理后，利用平方根的定义得到32x +=±，然后解两个一元一次方程即可； （2）整理后，利用立方根的定义得到212x +=-，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）2(3)40x +-=，移项得：2(3)4x +=， ∴32x +=±， ∴1x =-或5x =-；（2）33(21)240x ++=，整理得：3(21)8x +=-， ∴212x +=-，∴32x =-． 【点睛】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．这就是说，如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．也考查了平方根．17．（1）3；（2）25；（3）【分析】（1）由3＜＜4可得答案；（2）由2＜＜3知12＜10+＜13可求出ab 的值据此求解可得；（3）得出即可得出xy 从而得出结论【详解】解：（1）∵9＜13＜16∴3解析：（1）3 3-；（2）25；（3）()8x y --=． 【分析】（1）由34可得答案；（2）由2＜3知12＜＜13，可求出a ，b 的值，据此求解可得；（3）得出243<-<，即可得出x ，y ，从而得出结论．【详解】解：（1）∵9＜13＜16 ∴34，∴3；故答案为：3． （2）∵4＜7＜9， ∴2＜3∴12＜＜13 ∴a=12，b=13 ∴a+b=12+13=25， 故答案为：25；（3<<67<<所以64474-<<-即243<-<4的整数部分为2，即2x =，426y =-=()26x y x y --=-+=-+=8=【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．18．【分析】分别根据平方根立方根的定义可以求出甲数乙数进而即可求得题目结果【详解】甲数是的平方根甲数等于；乙数是的立方根乙数等于∵甲乙两个数的积是故答案：【点睛】此题主要考查了立方根平方根的定义解题的关解析：2±． 【分析】分别根据平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果． 【详解】甲数是719的平方根 ∴甲数等于43±； 乙数是338的立方根， ∴乙数等于32． ∵43=232⨯ ∴甲、乙两个数的积是2±．故答案：2±．【点睛】此题主要考查了立方根、平方根的定义，解题的关键是根据平方根和立方根的定义求出甲数和乙数．19．（1）3；；（2）21；；（3）23；（4）【分析】（1）先找到可找到即可找出的整数部分与小数部分（2）根据因为即可找出的整数部分与小数部分（3）找到在哪两个整数之间再加10即可（4）先确定找到由是解析：（1）33；（2）21；21a -；（3）23；（47．【分析】（1）先找到91316<<，可找到34<< （2）根据因为2122a <<，即可找出a 的整数部分与小数部分（3）找到12<<在哪两个整数之间,再加10即可.（4）先确定56<<，找到233<<，由01y <<，x 是整数，即可确定x=2，5，再求7x y -=，即可求出【详解】（1）91316<< ∴34<<33故答案为：33；（2）因为2122a <<,故则a 的整数部分是21，a 的小数部分可以表示为21a -. 故答案为：21；21a -；（3）因为12<<， ∴10110102+<+<+，即111012<+<，所以=11a ,=12b ，故23a b +=，故答案为：23；（4）5306<<，23033<<，∵01y <<，x 是整数，∴x=2， ∴325-=，∴)257x y -=-=，∴x y -7．【点睛】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分，掌握估值法确定无理数的范围，即无限不循环小数知识的拓展延伸,理解题意,按照题目所给的表示方法去解答是关键．20．18192021222324【分析】求出a 的范围是16＜a ＜25求出16和25之间的整数即可【详解】解：∵4＜＜5a 为整数∴＜＜∴整数a 有1718192021222324共8个数故答案为：17181解析：18、19、20、21、22、23、24．【分析】求出a 的范围是16＜a ＜25，求出16和25之间的整数即可．【详解】解：∵4＜5，a 为整数，∴∴整数a 有17、18、19、20、21、22、23、24，共8个数，故答案为：17、18、19、20、21、22、23、24．【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．三、解答题21．（1）2；（2）5【分析】(1)先计算绝对值及开立方，再计算加减法；(2)先计算括号中的减法及乘方，再按顺序计算乘除法．【详解】解：（1）7|2|--=7-2-3 =2；（2）23115422⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=15144⨯÷ =5．【点睛】 此题考查实数的混合运算，掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．22．2或4【分析】根据平方根和立方根的性质计算，得到x 和y 的值，再结合绝对值的性质计算，即可得到答案．【详解】∵290x∴3x =±∵310y +=∴1y =- ∴当3x =，1y =-时，x y +=312-=当3x =-，1y =-时，x y +=314--=．【点睛】本题考查了平方根、立方根、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、绝对值的性质，从而完成求解．23．（1）正方形纸板的边长为18厘米；（2）剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；（2）由正方体的体积公式求得正方体的边长，然后由正方形的面积公式进行解答．【详解】解：（1=18（cm ），答：正方形纸板的边长为18厘米；（2=7（cm ），则剪切纸板的面积＝7×7×6＝294（cm 2），剩余纸板的面积＝324﹣294＝30（cm 2）答：剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米．【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式，属于基础题．24．（1）x ＝−13；（2）（2）x-y 的值为9或-1.【分析】（1）将错就错把x ＝2代入计算求出a 的值，即可确定出正确的解；（2）根据题意可以求得x 、y 的值，从而可以求得x−y 的值．【详解】（1）把x ＝2代入2（2x−1）＝3（x ＋a ）−3中得：6＝6＋3a−3，解得：a ＝1， 代入方程得：2x 1x 1332-+=-， 去分母得：4x−2＝3x ＋3−18，解得：x ＝−13；（2）∵x 、y 是有理数，且 x ，y 满足等式2x 2y 17++=- ∴22174x y y ⎧+=⎨=-⎩， 解得，54x y =⎧⎨=-⎩或54x y =-⎧⎨=-⎩， ∴当x ＝5，y ＝−4时，x−y ＝5−（−4）＝9，当x ＝−5，y ＝−4时，原式＝−5−（−4）＝−1．故x-y 的值为9或-1.【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了实数． 25．8-【分析】根据运算法则和运算顺序准确计算即可.【详解】解：3011(2)(200422-+-- 11822=-+- 8=-【点睛】本题考查了实数得混合运算，掌握运算法则和顺序是解题的关键.26．3±．【分析】根据223104<<可得34<<的整数部分是3，小数部分是3，即可求解．【详解】解：∵223104<<， ∴34<<，∴3，则3a =3，则3b =，∴(()1312339a b ---=-=-=， ∴9的平方根为3±．【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键．。
实数(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题6.7 实数（知识讲解）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….5.要点二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数➽➼概念的理解✬✬分类1． 把下列各数写入相应的集合内：12-，22，364-，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+．(1) 有理数集合：{ }； (2) 正实数集合：{ }； (3) 无理数集合：{ } 【答案】(1) 12-，364-，0.26， 0.10，5.12(2) 22，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+(3) (3) 22，7π， 33-，327+【分析】（1）根据有理数的定义进行作答即可； （2）根据正数的定义进行判断即可； （3）根据无理数的定义进行判断即可． 解：(1)有理数有：12-，3644-=-，0.26， 0.10，5.12故答案为：12-， 364-，0.26， 0.10，5.12(2)12-，3644-=-是负数，33-绝对值是正数正实数有：22，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+ 故答案为：22，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+ (3)无理数有：22， 7π， 33-，327+故答案为：22， 7π， 33-，327+【点拨】本题考查了实数的分类，即实数分为正实数，零，负实数；实数还可以分为有理数和无理数，有理数包括正数和分数，无理数是无线不循环小数，熟练掌握有理数、无理数的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】 把下列各数填入相应的集合内．32π、－5222034905380.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），(1)有理数集合{…}(2)无理数集合{…}(3)负实数集合{… }【答案】(1) －52，49，0，38-(2) 32，π，2，203，-5，0.3737737773（3）－52，-5，38-.【分析】（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．解：（1）有理数集合：{－52，49,0，38-…}（2）无理数集合：{32，π，2，203，-5，0.3737737773……}（3）负实数集合：{－52，-538-【点拨】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.把下列各数序号分别填入相应的集合内：32① 14，10，①π-，①52-，15203①6-①38-①0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）【答案】有理数集合：①①①；无理数集合：①①①①①①①；负实数集合：①①①①【分析】根据实数的性质即可分类．解：有理数为14，52-，38-；无理数为32，10，π-，15，203，6-，0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）；负实数为π-，52-，38-，6-，①有理数集合：①①①；无理数集合：①①①①①①①；负实数集合：①①①①．【点拨】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知实数的分类方法及特点．类型二、实数➽➼实数性质✬✬实数与数轴➽➼运算✬✬化简3 50.2-11-327825-3π-相反数倒数绝对值【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义依次即可得出答案．解：3 50.2-11-327825-3π-相反数350.21132-52-3π-倒数53-51111-2325--13π-绝对值350.2113252-3π-【点拨】本题考查实数的分类，立方根、分母有理化．对于分母中是二次根式的要分母有理化．举一反三：【变式1】实数a，b，c2a|a－b|＋|c－a|．【答案】a b c --+【分析】先判断0a b c <<<，进而得到0a b -<，0c a ->，再化简即可． 解：由数轴上点的位置可得 0a b c <<<，①0a b -<，0c a ->， ①2a a b c a --+- a a b c a =-+-+-a b c =--+．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的加减运算，实数与数轴，根据数轴及运算法则判断0a b -<，0c a ->是解本题的关键．【变式2】 我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A ”，请根据图形回答下列问题：(1) 线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程) (2) 这个图形的目的是为了说明什么?(3) 这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法(将下列符合的选项序号填在横线上)A ．数形结合B ．代入C ．换元D ．归纳【答案】(1) OA =2；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB 的长度，然后结合数轴的知识即可求解； （2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解； （3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答． 解：(1) OB 2＝12+12＝2①OB ＝2 ①OA ＝OB =2(2)数轴上的点和实数是一一对应关系(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．故选A【点拨】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．类型三、实数➽➼估算✬✬无理数的整数（小数）部分✬✬➽➼运算✬✬化简3．[阅读材料]459253，①151＜251的整数部分为15152(1)91的小数部分是．(2)已知a21b21a）3＋（b＋4）2的值．【答案】(1)91﹣9 (2)-43【分析】（1）估算出91的范围99110<<，可得到91的整数部分，进而得到91的小数部分；（2）估算出21的范围4215<<，可得到21的整数部分，进而得到21的小数部分，从而得到a，b的值，再求代数式的值即可．<<，(1)解：①8191100①99110<<，①91的整数部分是9，①91的小数部分91﹣9，故答案为：91﹣9；<<，(2)解：①162125①4＜21＜5，①21的整数部分是4，小数部分是21﹣4， ①a ＝4，b ＝21﹣4，①原式＝（﹣4）3+（21-4+4）2 ＝﹣64+21 ＝﹣43．∴代数式的值为43-．【点拨】本题考查了实数的大小比较，代数式求值，无理数估算知识．解题的关键在与正确的计算求值．举一反三：【变式1】 比较下列各组数的大小： （1356；（2325-3-；（3513 【答案】（1）356<；（2）3253->-；（3）3512-> 【分析】（1）直接化简二次根式进而比较得出答案； （2）直接估算无理数的取值范围进而比较即可； （3）直接估算无理数的取值范围进而比较即可． 解：（1）①366=，①356<； （2）①33252-<-<-，①3253->-； （3）①132<<，①13122<<， ①253<<， ①1512<-<， ①3512->． 【点拨】本题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数取值范围是解题关键．【变式2】2212221来表2（129的整数部分是，小数部分是；（2）如果55a，55b，求a5的值．【答案】（1）5，29﹣5；（2）35﹣2【分析】（1）估算29的近似值，即可得出29的整数部分和小数部分；（2）求出a、b的值，再代入计算即可．解：（1）①25＜29＜36，①5＜29＜6，①29的整数部分为5，小数部分为29﹣5，故答案为：5，29﹣5；（2）①2＜5＜3，①7＜5＋5＜8，①5＋5的小数部分a＝5＋5﹣7＝5﹣2，①2＜5＜3，①﹣3＜﹣5＜﹣2，①2＜5﹣5＜3，①5﹣5的整数部分为b＝2，①a＋5b＝5﹣2＋25＝35﹣2.【点拨】本题考查了无理数的估算，正确估算无理数的取值范围是解题的关键．类型四、实数➽➼实数的混合运算➼运算✬✬化简4．计算：（13325181276464 （23226511274⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）558；（2）112-． 【分析】直接利用立方根的性质及平方根的性质分别化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果解：（1）原式=519384-⨯- ，=152988-- ， =558（2）原式=3151274-+- ， =1134-+ ， =112-【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 举一反三：【变式1】 计算题：（1）233111(2)2789⎛-+-⨯-- ⎝ （2238321253 【答案】（1）-3；（2）11【分析】（1）根据有理数的乘方，求一数的立方根和算术平方根进行计算； （2）根据求一数的立方根和算术平方根，化简绝对值，进行实数的混合运算． 解：（1）原式11183111383⎛⎫=--⨯+⨯-=---=- ⎪⎝⎭；（2）2383212538235311--+-=-++-=．【点拨】本题考查了实数的混合运算，求一数的立方根和算术平方根，掌握实数的运算法则是解题的关键．【变式2】 计算： (1)3112548(2) ()20223912712-【答案】(1)5 (2)22-【分析】对于（1），由1142=，255=，31182=，再计算即可；对于（2），由93=，(-1)2022=1，3273=，1221-=-，再计算即可． 解：(1)原式=115522+-=；(2)原式=3132122--+-=-．【点拨】本题主要考查了实数的运算，求出各数的平方根和立方根是解题的关键．类型五、实数➽➼实数的运算➼程序设计✬✬新定义5． 一个数值转换器，如图所示：(1) 当输入的x 为81时．输出的y 值是_________；(2) 若输入有效的x 值后，始终输不出y 值，请写出所有满足要求的x 的值； (3) 若输出的y 2，请写出两个满足要求的x 值．【答案】(1)3； (2)0x =，1； (3)4x =，2x =（答案不唯一） 【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． （1）解：当81x =时，取算术平方根81=9，不是无理数，继续取算术平方根93=，不是无理数，继续取算术平方根得3，是无理数，所以输出的y 值为3；（2）解：当0x =，1时，始终输不出y 值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）解：4的算术平方根为2，2的算术平方根是2，①4x =，2x =都满足要求．【点拨】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．举一反三：【变式】思考与探究：（1）在如图所示的计算程序中，若开始输入的数值是4，则最后输出的结果是___________．（2）在如图所示的计算程序中，若最后输出的结果是58，则开始输入的数值是___________．（3）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为1621，则满足条件的x的不同值最多有多少个？【答案】（1）17；（2）6或－10；（3）6个【分析】（1）根据程序运算图可得算式4×3+5，按运算顺序进行求解即可；（2）设输入的数字为m，根据题意可得关于x的方程，解方程即可求得答案；（3）根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的正数求出．解：（1）由题意得：4×3+5=17，故答案为：17；（2）设输入的数字为m，则有（m+2）2-6=58，解得：m=6或m=-10，故答案为：6或--10；（3）①最后输出的数为1621，①4[(x+5)-(-2)2]-3=1621，解得：x=405>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=405，解得：x=101>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=101，解得：x=25>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=25，解得：x=6>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=6，解得：x=54>0， 又①4[(x+5)-(-2)2]-3=54， 解得：x=116>0， 又①4[(x+5)-(-2)2]-3=116， 解得：x=1564-<0，（不符合题意） ①符合题意的正数最多有6个.【点拨】本题考查了程序运算，涉及了一元一次方程，利用平方根的解方程等知识，正确审题，弄清程序运算中的运算顺序，熟练掌握相关和运算法则和解题方法是解此类问题的关键．6． 对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，(0)a b a b a b a b+*=+>-，如：323*2532+==-，求()654**的值． 【答案】1【分析】根据已知条件先求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 解：①(0)a b a b a b a b +*=+>-， ①545*4354+==-， ①()636*5*46*3163+===-． 【点拨】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据新定义运算法则进行求解． 举一反三：【变式】 定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有2a b a b =+※，例如2747423=+=※．（1）求54※的值．（2）求(712※※的平方根． 【答案】（1）21；（2）±4【分析】（1）根据定义新运算即可求54※的值；（2）根据定义新运算求()712※※的值，再计算平方根即可得出答案． 解：（1）由定义新运算得：2545451621=+=+=※；（2）由定义新运算得：()7127(12)737916=+==+=※※※※， ①()712※※的平方根为164±=±． 【点拨】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． 类型六、实数➽➼实数的运算➼实际运用✬✬规律7． 数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：问题情境：设a ，b 是有理数，且满足2322+=-a b ab 的值．解：由题意得(3)(2)20-++a b ，①a ，b 都是有理数，①3,2a b -+也是有理数，2①30,20a b -=+=，①3,2a b ==-，①(2)36ab =-=-解决问题：设x ，y 都是有理数，且满足22585x y -+=+x y +的值．【答案】8或0【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x 、y 的值，从而可以求得x +y 的值．解：①225845x y y -+=+，①（x 2-2y -8）+（y -4）5=0，①x 2-2y -8=0，y -4=0，解得，x =±4，y =4，当x =4，y =4时，x +y =4+4=8，当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，即x+y的值是8或0．【点拨】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．举一反三：【变式】如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是；（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．【答案】（1）5；5（2）10【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为10的且互相垂直的线段，进而拼合即可．解：（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：5．（2）如图所示，能，正方形的边长为10．【点拨】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.8． 阅读下列材料：设：0.30.333x ==，①则10 3.333x =.①由①-①，得93x =，即13x =. 所以10.30.3333==. 根据上述提供的方法.把0.7•和1.3•化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？ 【答案】70.70.7779•=⋯=，41.33•=.任何无限循环小数都可以化成分数. 【分析】设0.70.777x ==⋯①则107.777x =⋯，①；由-②①，得97x =；由已知，得10.30.3333==，所以11.310.31.3=+=+任何无限循环小数都可以这样化成分数. 解：设0.70.777x ==⋯①则107.777x =⋯，①由①-①，得97x =，即79x =.所以70.70,7779=⋯=. 由已知，得10.30.3333==， 所以141.310.3133=+=+=. 任何无限循环小数都能化成分数.【点拨】考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键.举一反三：【变式】（2020春·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）阅读下列解题过程：231111()4422-===； 254221()9933-=； 279331()161644-===；… （111136-=________． （2）按照你所发现的规律，请你写出第n 个等式：________．（335799(1)(1)(1)(1)49162500----【答案】（1）56；（2）2211(1)1n n n n +-=++；（3）150 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．解：（1）11255136366-==； 故答案为：56； （2）观察上面的解题过程，发现的规律为：2222221(1)211(1)(1)(1)1n n n n n n n n n ++---===++++， 故答案为：2211(1)1n n n n +-=++； （3）35799(1)(1)(1)(1)49162500---- 149240149162500=⨯⨯⨯⨯ 12500=150=． 【点拨】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．中考真题专练【1】（2020·重庆·统考中考真题）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：14524÷=，14342÷=，所以14是“差一数”；19534÷=，但19361÷=，所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．【答案】（1）49不是“差一数”，74是“差一数”，理由见分析；（2）314、329、344、359、374、389【分析】（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400的能被15整除的数，进一步即得结果．解：（1）①49594÷=；493161÷=，①49不是“差一数”，①745144÷=；743242÷=，①74是“差一数”；（2）解法一：①“差一数”这个数除以5余数为4，①“差一数”这个数的个位数字为4或9，①大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，①“差一数”这个数除以3余数为2，①“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，①大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．解法二：①“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，①这个数加1能被15整除，①大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，①大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．【点拨】此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1能被15整除，明确方法是关键．【2】（2019·重庆·统考中考真题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n ，在计算n+（n +1）+（n +2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数． 【答案】（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见分析；（2）13个.【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.解：（1）当2019n =时，12020n +=，22022n +=∵计算时，个位为90110++=，需要进位，∴2019不是“纯数”；当2020n =时，12021n +=，22022n +=∴个位为0123++=，不需要进位：十位为226++，不需要进位：百位为0000++=，不需要进位：千位为2226++=，不需要进位：∴2020是“纯数”；综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位；①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；③当这个数为100时，100是“纯数”；∴不大于100的“纯数”有39113++=个.【点拨】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答.。
新人教版初中数学七年级数学下册第二单元《实数》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ）A B = ±2 C = ±2 D ．2．有下列说法：①在1和2②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．②3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．B ．2-与12-C ．()23-与23-D 4．下列说法中，正确的是（ ） A ．无理数包括正无理数、零和负无理数B ．无限小数都是无理数C ．无理数都是无限不循环小数D ．无理数加上无理数一定还是无理数5．定义运算：132x y xy y =-※，若211a =-※，则a 的值为（ ） A ．12- B ．12C ．2-D ．2 6．下列说法中，错误的有（ ）①符号相反的数与为相反数；②当0a ≠时，0a >；③如果a b >，那么22a b >；④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；⑤数轴上的点不都表示有理数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．下列命题中真命题的个数（ ）①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行．A ．4B ．3C ．2D ．1 8．估计50的立方根在哪两个整数之间（ ）A ．2与3B ．3与4C ．4与5D ．5与6 9．若1a >，则a ，a -，1a 的大小关系正确的是（ ） A ．1a a a >-> B ．1a a a >-> C ．1a a a >>- D ．1a a a->>10．若将2-，7，11分别表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）A ．2-B 7C 11D ．无法确定 11．下列等式成立的是（ ） A ．1±1B 4＝±2C 3216- 6D 393 12．在0，3π5227，9 6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数在递增）中，无理数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．求出x 的值：()23227x +=14．初一年级某同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：21a b a ab ⊕=--．求()23-⊕的值．15．若则2|1|2(3)0a b c -+-=，()c a b +=______．1681________，25的相反数是________．17．在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“*”如下：当a≥b 时，a*b=b 2，当a<b 时，a*b=a ，则当2时，()()1*-3*=x x x ______18．比较大小：312___________12 19．2(1)10a b -+=，则20132014a b +=___________．20．观察下面两行数：2，4，8，16，32，64…①5，7，11，19，35，67…②根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）．三、解答题21．计算： （1）﹣12327-﹣（﹣2）9（2331）＋32|22．（1223143)8-； （2）求 (x －1)2－36＝0中x 的值．23．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ．（1）实数m 的值是___________；（2）求|1||1|m m ++-的值；（3）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有|2|c d +与4d +互为相反数，求23c d -的平方根．24．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时， ；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算， ．（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．25．（1）计算：231698(2)-3121125|63|6--．（2）求下列各式中x 的值：③22536x =；④3(1)64x --=．26．求满足下列条件的x 的值:（1）3(3)27x +=-；（2）2(1)218x -+=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．解：∵-1= 2= 2，，故只有A 计算正确；故选:A ．【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．2．D解析：D【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．【详解】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；③两个无理数的积不一定是无理数，如2=-，此说法错误； ④2π是无理数，不是分数，此说法错误； 综上，说法正确的为②，故选：D ．【点睛】 本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键． 3．C解析：C【分析】根据绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义逐项判断即可得．【详解】A 、=不是相反数，此项不符题意；B 、2-与12-不是相反数，此项不符题意； C 、()223399,--=-=，则()23-与23-互为相反数，此项符合题意；D 2,2=-=-故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义，熟记各运算法则和定义是解题关键．4．C解析：C根据实数的概念和分类即可判断．【详解】A 、无理数包括正无理数和负无理数，则此项错误；B 、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，则此项错误；C 、无理数都是无限不循环小数，则此项正确；D (0=，则此项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了实数的概念和分类，熟练掌握实数的概念是解题关键． 5．C解析：C【分析】根据新定义的运算得到关于a 的方程，求解即可．【详解】解：因为211a =-※， 所以132112a a ⨯-=-， 解得 2a =-．故选：C【点睛】本题考查了新定义的运算与一元一次方程，根据新定义运算得到一元一次方程是解题关键．6．D解析：D【分析】根据相反数、绝对值、数轴表示数以及有理数的乘法运算等知识综合进行判断即可．【详解】解：符号相反，但绝对值不等的两个数就不是相反数，例如5和-3，因此①不正确； a≠0，即a ＞0或a ＜0，也就是a 是正数或负数，因此|a|＞0，所以②正确；例如-1＞-3，而（-1）2＜（-3）2，因此③不正确；例如-5表示的点到原点的距离比1表示的点到原点的距离远，但-5＜1，因此④不正确； 数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数，因此⑤正确；综上所述，错误的结论有：①③④，故选：D ．【点睛】本题考查相反数、绝对值、数轴表示数，对每个选项进行判断是得出正确答案的前提． 7．D【分析】根据无理数、平行公理、邻补角、算术平方根、实数与数轴、平行线的判定逐个判断即可得．【详解】①无理数包括正无理数和负无理数，此命题是假命题；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此命题是真命题；③和为180︒的两个角不一定互为邻补角，此命题是假命题；7=，此命题是假命题；⑤实数和数轴上的点一一对应，此命题是假命题；⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此命题是假命题；综上，真命题的个数是1个，故选：D．【点睛】本题考查了无理数、平行公理、邻补角、实数与数轴等知识点，熟练掌握各定义与公理是解题关键．8．B解析：B【分析】，可得答案．【详解】，得34，所以，50的立方根在3与4之间故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了正数的被开方数越大立方根越大的关系．9．C解析：C【分析】可以用取特殊值的方法，因为a＞1，所以可设a=2，然后分别计算|a|，-a，1a，再比较即可求得它们的关系．【详解】解：设a=2，则|a|=2，-a=-2，112a=，∵2＞12＞-2， ∴|a|＞1a＞-a ； 故选：C ．【点睛】 此类问题运用取特殊值的方法做比较简单．10．B解析：B【分析】首先利用估算的方法分别得到间），从而可判断出被覆盖的数．【详解】 ∵221，23<<，34<<而墨迹覆盖的范围是1-3∴故选B.【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力．11．A解析：A【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义逐一判断即可．【详解】A ．书写规范，故本选项符合题意；B.算术平方根只能是正数不能是负数，故本选项不合题意；C.立方根与被开方数符号一致，故本选项符合题意；D.33=27，27的立方根才等于3，故本选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了算术平方根与立方根的定义，熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键．12．C解析：C【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得．【详解】22 3.1428577=小数点后142857是无限循环的，则227是有理数，3=-，则因此，题中的无理数有3π 6.1010010001（相邻两个1之间0的个数在递增），共有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了无理数、算术平方根，熟记无理数的定义是解题关键．二、填空题13．x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x+2的值然后解关于x 的一元一次方程即可【详解】解：∵3（x+2）2＝27∴（x+2）2＝9∴x+2＝±3解得：x ＝1或x ＝﹣5【点睛】本题主要考查的是解析：x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x +2的值，然后解关于x 的一元一次方程即可．【详解】解：∵3（x +2）2＝27，∴（x +2）2＝9，∴x +2＝±3，解得：x ＝1或x ＝﹣5．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．14．1【分析】根据新运算的运算法则计算即可【详解】解：【点睛】本题考查新定义下的有理数运算通过阅读材料掌握新运算的运算法则是解题关键 解析：1【分析】根据新运算的运算法则计算即可．【详解】解：()()()2322231-⊕=⨯---⨯-()4614611=----=-+-=．【点睛】本题考查新定义下的有理数运算，通过阅读材料掌握新运算的运算法则是解题关键． 15．-1【分析】先根据绝对值算术平方根偶次方的非负性求出abc 的值再代入即可得【详解】解：∵∴a-1=0b+2=0c-3=0∴a=1b=-2c=3∴【点睛】本题考查了绝对值算术平方根偶次方的非负性的应用解析：-1【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得．【详解】解：∵2|1|(3)0a c --=，∴a-1=0，b+2=0，c-3=0，∴a=1，b=-2，c=3，∴()3()12=1c a b +=--． 【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键．16．3;【分析】根据平方运算可得一个数的算术平方根根据相反数的性质在这个数前加一-化简即可【详解】解：∵；∴的算术平方根是3∵∴的相反数是故答案为：3;【点睛】本题考查了算术平方根和相反数的性质注意先求解析：2．【分析】根据平方运算，可得一个数的算术平方根，根据相反数的性质在这个数前加一“-”化简即可．【详解】解：∵9=3=；∴= ∴3，∵222--=-=， ∴22，故答案为：2．【点睛】9的算术平方根，熟悉相关性质是解题的关键． 17．【分析】根据题中所给的运算法则进行求解即可；【详解】∵当a≥b 时a*b=当a ＜b 时a*b=a ∴当x=时1*=13*=2∴(1*)-(3*)=故答案为：【点睛】本题是新定义的问题解决此类问题的关键是按2【分析】根据题中所给的运算法则进行求解即可；【详解】∵当a≥b 时，a*b=2b ，当a ＜b 时，a*b=a∴ 当=1，=2，∴) 2，2．【点睛】本题是新定义的问题，解决此类问题的关键是按题中的规定去运算即可；18．＜【分析】利用作差法比较两个数的大小【详解】解：∵1＜3＜4∴1＜＜2∴1-1＜-1＜2-1∴0＜-1＜1∴＜故答案为：＜【点睛】本题考查了实数的大小比较此题的难点是利用夹逼法推知的取值范围解析：＜【分析】利用作差法比较两个数的大小．【详解】解：∵1＜3＜4∴1＜2∴1-1＜2-1∴0＜1∴12＜12． 故答案为：＜．【点睛】本题考查了实数的大小比较，此题的难点是利用“夹逼法” 19．2【分析】先根据算术平方根的非负性绝对值的非负性求出ab 的值再代入计算有理数的乘方运算即可得【详解】由算术平方根的非负性绝对值的非负性得：解得则故答案为：2【点睛】本题考查了算术平方根的非负性绝对值 解析：2【分析】先根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性求出a 、b 的值，再代入计算有理数的乘方运算即可得．【详解】由算术平方根的非负性、绝对值的非负性得：10a -=，10b +=，解得1a =，1b =-，则()201420132014201311112a b +=+-=+=， 故答案为：2．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键．20．515【分析】由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式②中各数比①中对应数字大3按此规律即可求得①②中第8个数的值再求和即可【详解】根据题意可知①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=25解析：515【分析】由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．【详解】根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=259，故它们的和为256+259=515，故答案为：515．【点睛】考查了要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，解题关键是找出①②中各数间的规律．三、解答题21．（1）﹣9；（2）5．【分析】（1）先计算立方根和算术平方根，再进行加减运算即可；（2）先计算乘法和绝对值，再相加即可．【详解】解：（1）原式＝﹣12＋（﹣3）＋2×3＝﹣12﹣3＋6＝﹣9；（2）原式＝32＝5.【点睛】本题考查了实数的运算，掌握立方根和算术平方根的性质是解题关键．22．（1）12；（2）x的值为7或﹣5【分析】（1）分别进行算术平方根运算、立方根运算、算术平方根的定义即可解答；（2）利用平方根解方程的方法求解即可．【详解】解：（12=4﹣12﹣3=1﹣12 =12； （2）(x －1)2－36＝0，移项得：(x －1)2=36，开平方得：x －1＝±6，解得：x 1=7，x 2=﹣5，即(x －1)2－36＝0中的x 值为7或﹣5．【点睛】本题考查算术平方根、立方根、利用平方根解方程，熟练掌握运算法则，会运用平方根解方程是解答的关键．23．（1）；（2）2；（3）4±【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；（2）由（1）可知10m +>、10m -<，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案；（3）根据非负数的性质求出c 、d 的值，再代入23c d -，进而求其平方根．【详解】解：（1）∵蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示∴点B 表示∴m =．（2）∵m = ∴12130m +=+=>，12110m -=-=< ∴11m m ++-()11m m =+--11m m =+-+2=．（3）∵2c d +∴20c d +=∴2040c d d +=⎧⎨+=⎩∴24c d =⎧⎨=-⎩∴()23223416c d -=⨯-⨯-=∴4==±，即23c d -的平方根是4±．【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．24．（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）﹣17；（3）适用，举例验证见解析【分析】（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值； （2）根据⊗运算的运算法则进行计算即可；（3）举例即可做出结论．【详解】解：（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]＝（﹣5）⊗（+12）＝﹣17；（3）结合律仍然适用．例如[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝（+8）⊗（+4）＝+12，（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）]＝（﹣3）⊗（﹣9）＝+12，所以[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝12＝（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）．故结合律仍然适用．【点睛】本题考查了新定义下的有理数的加减运算，正确理解新定义运算法则是解题的关键．25．（1）①13；②9-2）③65x =±；④5x =． 【分析】①先计算根式，再加减计算．②先计算根式和绝对值，再加减计算．（2）③两边除以25，再开算术平方根．④先除以-1，再开立方根．【详解】（1）-+1322=-+13=|3|-1153=-+-9=-（2）③22536x =23625x =65x =± ④3(1)64x --=3(641)x -=-14x -=-5x =【点睛】本题考查根式的化简求值，关键在于化简． 26．（1）6x =-；（2）3x =-或5【分析】（1）根据立方根，即可解答； （2）根据平方根，即可解答．【详解】解：（1）3(3)27x +=-33x +=-6x =-；（2）2(1)218x -+=2(1)16x -=14x -=±∴3x =-或5．【点睛】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．。
人教版七年级下知识点试题精选-实数与数轴
七年级下册实数与数轴一．选择题（共20小题）1．下列各式估算正确的是（）A．B．C．D．2．比较3，，的大小，正确的是（）A．3＜＜B．＜＜3 C．3＜＜D．＜3＜3．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（）A．a＞b B．a=b C．|a|＞|b|D．|a|＜|b|4．估计的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在5和6之间D．在6和7之间5．在0，﹣3，3.2，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0 B．﹣3 C．3.2 D．﹣6．估计的大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间7．在实数0，﹣，2，﹣中最小的实数为（）A．﹣B．﹣C．2 D．08．实数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（）A．n＜m B．n2＜m2C．n0＜m0D．|n|＜|m|9．比较2，，的大小，正确的是（）A． B． C． D．10．点P在数轴上运动，它所对应的数值为a，如图，当点P从点A运动到点B，则代数式+a+3的最大值为（）A．4 B．a+1 C．6 D．a+311．数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．﹣2+B．﹣1+C．﹣2﹣D．3﹣12．设a＜＜b，且a、b是两个连续整数，则（）A．a=1，b=2 B．a=2，b=3 C．a=3，b=4 D．a=4，b=513．在实数﹣2、0、2、﹣3中，最小的实数是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣314．设a=+1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和515．如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，有如下4个结论①a＜b，②|a|＞|b|，③a+b＞0，④a﹣b＞0，则正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．416．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是（）A．a B．b C．c D．d17．下列各数中最小的数是（）A．﹣2 B．﹣πC．﹣D．118．已知实数x，y在数轴上表示的两个点相距4个单位长度，且y比x的2倍少1，则x+y的值是（）A．±14 B．10或﹣14 C．﹣10或14 D．10或1419．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是（）A．点C B．点D C．点A D．点B20．估算的值在（）A．7和8之间B．4和5之间C．3和4之间D．2和3之间二．填空题（共20小题）21．比较大小： 1.5（填“＞”或“＜”）22．小于的正整数是．23．若4＜＜10，则满足条件的整数a有个．24．比较大小（填“＞”“＜”或“=”）25．在：1，﹣2，，0，π五个数中最小的数是．26．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣2），c=，则a，b，c中最小的实数是．27．比﹣大的非正整数有．28．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是．29．比较大小：（1）﹣﹣3.2；（2）5；（3）23．30．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小介于整数之间．31．写一个在﹣2和﹣1之间的无理数．32．数轴上与原点的距离等于个单位长度的点表示的数是．33．比较大小：π（填“＜”、“=”、“＞”）34．点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为．35．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣2和6，数轴上的点满足AC=BC，点D在线段AC的延长线上，若AD=AC，则BD=．36．如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为．37．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为．38．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|=．39．如果的整数部分是m，小数部分是n，则m+=．40．若，且n是正整数，则n=．三．解答题（共10小题）41．在数轴上标出下列各数，并用“＜”连接起来．．42．比较﹣与﹣的大小．43．比较﹣与﹣的大小．44．阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．小明的方法：∵，设（0＜k＜1）．∴．∴13=9+6k+k2．∴13≈9+6k．解得．∴．问题：（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若，且m=a2+b，则（用含a、b的代数式表示）；（3）请用（2）中的结论估算的近似值为：．45．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上；先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．（1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a=；（2）数轴刚刚绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是．46．如图，OA=OB，（1）写出数轴上点A表示的数；（2）比较点A表示的数与﹣1.5的大小；并在数轴上作出﹣所对应的点．47．如图，已知OA=OB．（1）说出数轴上点A所表示的数；（2）比较点A所表示的数与﹣2.5的大小；（3）在数轴上作出表示数的点C．48．实数A，B，C在数轴上的位置如图所示，请你化简下面的式子．|A﹣C|﹣|C﹣2B|+|A+2B|49．比较下列四个算式结果的大小：（在横线上选填“＞”、“＜”或“=”＞42+522×4×5；（﹣1）2+222×（﹣1）×2；（）2+（）22××；32+322×3×3．通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．50．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；（2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．七年级下册实数与数轴参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．下列各式估算正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出30=，25==，5.2==，4.1==，再找出最接近的即可．【解答】解：A、30=，故本选项错误；B、25==，故本选项错误；C、5.2==，故本选项错误；D、4.1==，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，关键是能正确把根号外的移入根号内．2．比较3，，的大小，正确的是（）A．3＜＜B．＜＜3 C．3＜＜D．＜3＜【分析】根据非负数本身越大，开方的结果越大分析即可．【解答】解：∵3=，2=，∴3＜2，∵＜=2，∴＜3，∴3，，的大小顺序为＜3＜2．故选D．【点评】本题考查了比较实数的大小，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（）A．a＞b B．a=b C．|a|＞|b|D．|a|＜|b|【分析】根据数轴的性质，可得a、b的符号与其绝对值的大小关系，比较分析选项可得答案．【解答】解：根据图示知，a＜0＜1＜b，∴a＜b，故A、B选项错误；根据图示知，a距离原点的距离比b距离原点的距离小，∴|a|＜|b|；故C选项错误；故选D．【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解答此题的关键是熟知数轴的特点，即数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；距原点的距离越大，绝对值越大．4．估计的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在5和6之间D．在6和7之间【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出+1的范围．【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴5＜+1＜6．故选C．【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．5．在0，﹣3，3.2，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0 B．﹣3 C．3.2 D．﹣【分析】根据正数大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小可得最小数为﹣．【解答】解：在0，﹣3，3.2，﹣这四个数中，最小的数是﹣，故选：D．【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．6．估计的大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间【分析】先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间．【解答】解：∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∴5＜+1＜6，即的大小在5与6之间．故选D．【点评】此题是考查估算无理数的大小，“夹逼法”估算方根的近似值在实际生活中有着广泛的应用，我们应熟练掌握．7．在实数0，﹣，2，﹣中最小的实数为（）A．﹣B．﹣C．2 D．0【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．【解答】解：在实数0，﹣，2，﹣中最小的实数是﹣，故选B．【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个实数的大小．8．实数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（）A．n＜m B．n2＜m2C．n0＜m0D．|n|＜|m|【分析】先由点n，m在数轴上的位置确定n，m的取值范围，用取特殊值进行计算再比较即可．【解答】解：根据数轴可以知道n＜﹣1＜m＜0，令n=﹣1.5，m=﹣0.5可知，A、﹣1.5＜﹣0.5，即n＜m，故选项A正确；B、（﹣1.5）2=2.25＞（﹣0.5）2=0.25，即n2＞m2，故选项B错误；C、（﹣1.5）0=（﹣.05）0=1，即n0=m0，故选项错误；|﹣1.5|=1.5＞|﹣0.5|=0.5，即|n|＞|m|，故选项D错误．故选A．【点评】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，比较简单，因为是选择题故可用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．9．比较2，，的大小，正确的是（）A． B． C． D．【分析】先把2写成的形式，再按照实数大小比较的法则判断即可．【解答】解：∵2=，∴＜＜，∴2＜＜．故选A．【点评】本题考查了实数的大小比较法则，解题的关键是牢记法则，此题比较简单，易于掌握．10．点P在数轴上运动，它所对应的数值为a，如图，当点P从点A运动到点B，则代数式+a+3的最大值为（）A．4 B．a+1 C．6 D．a+3【分析】根据数轴确定点P在点A，B所对应的值，代入进行计算，即可解答．【解答】解：+a+3=|a﹣1|+a+3，当点P在点A时，a=﹣1，∴原式=|﹣1﹣1|﹣1+3=4，当点P在点B时，a=2，∴原式=|2﹣1|+2+3=6，∴代数式+a+3的最大值为6，故选：C．【点评】本题考查数轴与实数，解决本题的关键是由数轴找到点对应的数值．11．数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．﹣2+B．﹣1+C．﹣2﹣D．3﹣【分析】根据点B关于点A的对称点为C，知点B到点A的距离等于点C到点A 的距离，且点C在点A的左边．根据数轴上两点间的距离等于两点对应的数的差的绝对值进行计算．【解答】解：设点C所表示的数为x．根据题意，得﹣1﹣x=﹣（﹣1），解得x=﹣2﹣．故选C．【点评】此题考查了两点对称的性质以及数轴上两点间的距离的计算方法．数轴上两点间的距离等于两点对应的数的差的绝对值；两点关于某点对称，则两点到这点的距离相等．12．设a＜＜b，且a、b是两个连续整数，则（）A．a=1，b=2 B．a=2，b=3 C．a=3，b=4 D．a=4，b=5【分析】先估算出的范围，即可得出答案．【解答】解：∵3＜＜4，∴a=3，b=4，【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能估算无理数的大小是解此题的关键．13．在实数﹣2、0、2、﹣3中，最小的实数是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣3【分析】依据比较实数大小的法则进行判断即可．【解答】解：﹣3＜﹣2＜0＜2，所以最小的实数是﹣3．故选：D．【点评】本题主要考查的是比较实数的大小，熟练掌握比较实数大小的法则是解题的关键．14．设a=+1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5【分析】首先得出的取值范围，进而得出a，b的值．【解答】解：∵3＜＜4，a=+1，a在两个相邻整数之间，∴这两个整数是：4和5．故选：D．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．15．如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，有如下4个结论①a＜b，②|a|＞|b|，③a+b＞0，④a﹣b＞0，则正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据数轴得出a＜b，|a|＞|b|，a+b＜0，a﹣b＜0，即可得出选项．【解答】解：∵根据数轴可知：a＜b，|a|＞|b|，a+b＜0，a﹣b＜0，∴①②正确，③④错误，即正确的个数为2个；【点评】本题考查了实数与数轴的应用，能读懂数轴是解此题的关键．16．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是（）A．a B．b C．c D．d【分析】根据数轴可以得到a、b、c、d表示的数是多少，从而可以得到它们的相反数，从而可以得到哪个数的相反数最大，本题得以解决．【解答】解：由数轴可得，a=﹣2，则a的相反数是2；b=﹣1，则b的相反数是1；c=0.5，则c的相反数是﹣0.5；d=2，则d的相反数是﹣2；故选A．【点评】本题考查实数大小比较、相反数、实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答问题．17．下列各数中最小的数是（）A．﹣2 B．﹣πC．﹣D．1【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可解答．【解答】解：∵﹣π＜﹣2＜﹣＜1，∴最小的数是﹣π，故选：B．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，实数比较大小的方法：（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；（2）两个负数绝对值大的反而小．18．已知实数x，y在数轴上表示的两个点相距4个单位长度，且y比x的2倍少1，则x+y的值是（）A．±14 B．10或﹣14 C．﹣10或14 D．10或14【分析】由于题目没有说明该点的具体位置，故要分情况讨论．【解答】解：当y在x的左边，x﹣（2x﹣1）=4，解得x=﹣3，y=﹣7，x+y=﹣3﹣7=﹣10；当y在x的右边，2x﹣1﹣x=4，解得x=5，y=9，x+y=5+9=14．故x+y的值是﹣10或14故选：C．【点评】本题考查数轴，涉及有理数的加法运算、分类讨论的思想．19．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是（）A．点C B．点D C．点A D．点B【分析】由题意可知转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一循环，由次可确定出2018所对应的点．【解答】解：当正方形在转动第一周的过程中，1所对应的点是A，2所对应的点是B，3所对应的点是C，4所对应的点是D，∴四次一循环，∵2018÷4=504…2，∴2018所对应的点是B．故选D．【点评】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键．20．估算的值在（）A．7和8之间B．4和5之间C．3和4之间D．2和3之间【分析】根据算术平方根的定义由16＜23＜25得到4＜＜5．【解答】解：∵16＜23＜25，∴4＜＜5．故选B．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．二．填空题（共20小题）21．比较大小：＜ 1.5（填“＞”或“＜”）【分析】求出1.5的平方，即可得出答案．【解答】解：∵1.52=2.25＞2，∴＜1.5，故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查学生的判断能力．22．小于的正整数是1，2，3．【分析】先求出的范围，再求出即可．【解答】解：∵3＜＜4，∴小于的正整数是1，2，3，故答案为：1，2，3．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出的范围．23．若4＜＜10，则满足条件的整数a有83个．【分析】求出a的范围是16＜a＜100，求出16和100之间的整数即可．【解答】解：∵4＜＜10，a为整数，∴＜＜，∴整数a有17、18、19、…99，共99﹣17+1=83个数，故答案为：83．【点评】本题考查了算术平方根和估算无理数的大小的应用，关键是求出a的范围．24．比较大小＜（填“＞”“＜”或“=”）【分析】本题是比较两个负数的大小关系，可以比较两个数的绝对值与的大小关系，根据两个负数，绝对值大的反而小，即可作出判断．【解答】解：∵，∴﹣＜﹣．故答案是：＜．【点评】本题主要考查了两个负数比较大小的方法，依据绝对值大的反而小转化为比较绝对值的大小．25．在：1，﹣2，，0，π五个数中最小的数是﹣2．【分析】根据正数大于所有负数，负数绝对值大的反而小进行比较即可．【解答】解：因为|﹣2|＞|﹣|，所以﹣2＜﹣．∴﹣2＜﹣＜0＜1＜π．故五个数中最小的数是﹣2．【点评】此题主要考查的实数的大小的比较，实数比较大小的法则：正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．26．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣2），c=，则a，b，c中最小的实数是c．【分析】首先求出a、b、c的大小，然后根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：a=﹣|﹣2|=﹣2，b=﹣（﹣2）=2，c==﹣3，∵﹣3＜﹣2＜2，∴c＜a＜b，∴a，b，c中最小的实数是c．故答案为：c．【点评】（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）此题还考查了一个数的绝对值的求法，以及一个数的三次方根的计算，要熟练掌握．27．比﹣大的非正整数有﹣2、﹣1、0．【分析】利用算术平方根的定义得到2＜＜3，则﹣3＜﹣＜﹣2，于是可得到﹣2，﹣1，0是比﹣大的非正整数．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴﹣3＜﹣＜﹣2，∴比﹣大的非正整数为﹣2，﹣1，0．故答案为﹣2，﹣1，0．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．28．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是．【分析】由题意可得AB=BC，列式计算即可．【解答】解：点C所表示的数是=2﹣1，故答案为2﹣1．【点评】本题考查了实数在数轴上的表示，注：数轴上两点间的距离等于右边点的坐标减去左边点的坐标．29．比较大小：（1）﹣＞﹣3.2；（2）＞5；（3）2＜3．【分析】（1）根据两个负实数绝对值大的反而小进行比较；（2）根据立方的概念计算，比较即可；（3）利用平方法比较．【解答】解：（1）∵＜3.2，∴﹣＞﹣3.2；（2）∵53=125＜130，∴＞5；（3）∵（2）2=12，（3）2=18，∴2＜3．故答案为：（1）＞；（2）＞；（3）＜．【点评】本题考查的是实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．30．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小介于整数3和4之间．【分析】求出正方形的边长，估算的范围，即可得出答案．【解答】解：设正方形的边长为x，∵正方形的面积是15，∴它的边长x=，∵3＜＜4，∴它的边长在3和4之间，故答案为：3和4．【点评】本题考查了估算无理数的大小，正方形的性质的应用，解此题的关键是估算出的范围．31．写一个在﹣2和﹣1之间的无理数﹣，﹣等．【分析】先画出数轴，然后根据在﹣2和﹣1之间的无理数即可解答．【解答】解：在﹣2和﹣1之间的无理数是﹣，﹣．．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．32．数轴上与原点的距离等于个单位长度的点表示的数是±．【分析】设数轴上与原点的距离等于的点所表示的数是x，则|x|=，进而可得出结论．【解答】解：数轴上与原点的距离等于的点所表示的数是x，则|x|=，解得x=±．故答案为：±．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．33．比较大小：π＜（填“＜”、“=”、“＞”）【分析】求出π2和的平方的值比较即可．【解答】解：∵π2＜10，∴π＜．故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，能正确比较两无理数的大小是解此题的关键．34．点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为4．【分析】根据已知得出算式：|3﹣（﹣）|，求出即可．【解答】解：∵A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，∴A，B两点的距离是：|3﹣（﹣）|=4，故答案为：4．【点评】本题考查了实数与数轴、绝对值，关键是能根据题意列出算式．35．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣2和6，数轴上的点满足AC=BC，点D在线段AC的延长线上，若AD=AC，则BD=2．【分析】根据点A、B表示的数求出AB的长，再根据中点的定义求出AC=BC，再求出AD的长，然后求出OD的长，再求出BD，即可得解．【解答】解：∵A，B两点表示的数分别为﹣2和6，∴AB=6﹣（﹣2）=8，∵AC=BC=AB=×8=4，∵AD=AC=×4=6，∴OD=AD﹣AC=6﹣2=4，∴BD=6﹣4=2，故答案为：2．【点评】本题考查了两点间的距离，数轴，主要利用了线段中点的定义，数轴上两点间距离的求法．36．如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C 所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为5﹣．【分析】先根据勾股定理计算出斜边的长，进而得到A的坐标，再根据A点表示的数，可得B点表示的数．【解答】解：∵直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，∴斜边的长==，∴A点表示的数为﹣1，∵C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，∴点B表示的数为5﹣，故答案为：5﹣．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了实数与数轴．37．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为﹣1﹣．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出答案．【解答】解：如图：由勾股定理得：BC==，即AC=BC=，∴a=﹣1﹣，故答案为：﹣1﹣．【点评】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能求出BC的长是解此题的关键．38．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|=﹣2b．【分析】根据图示，可得：a＜0＜b，﹣a＞b，再根据绝对值的含义和求法，化简|a+b|﹣|a﹣b|即可．【解答】解：根据图示，可得：a＜0＜b，﹣a＞b，∴a+b＜0，∴|a+b|﹣|a﹣b|=|a+b|﹣|a﹣b|=﹣a﹣b﹣（b﹣a）=﹣2b．故答案为：﹣2b．【点评】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．39．如果的整数部分是m，小数部分是n，则m+=．【分析】根据的大小，可得+1的大小，可得m、n的值，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：1＜，2+1＜3，m=2n=﹣1，m+=2=，故答案为：【点评】本题考查了估算无理数的大小，注意1＜，2+1＜3是解题关键．40．若，且n是正整数，则n=3．【分析】先估算出的范围，即可得出答案．【解答】解：∵3＜＜4，∴n=3，故答案为：3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．三．解答题（共10小题）41．在数轴上标出下列各数，并用“＜”连接起来．．【分析】先画出数轴并在数轴上标出各数，再根据数轴的特点从左到右用“＜”把各数连接起来．【解答】解：﹣22=﹣4，=2．画出数轴并表示出各数如图：根据数轴的特点，从左到右用“＜”把各数连接起来为：﹣22＜﹣1＜0＜．【点评】本题考查的是有理数的大小比较及数轴的特点，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．42．比较﹣与﹣的大小．【分析】先分别求出它们的倒数，然后根据两个正数，倒数大的反而小即可求解．【解答】解：∵==+，==+，又∵+＞+，∴＞，∴﹣＜﹣．【点评】本题考查了实数大小比较，运用求倒数法是解题的关键．43．比较﹣与﹣的大小．【分析】先把两数分别取倒数，比较出其倒数的大小，再根据分母大的反而小进行解答．【解答】解：∵﹣的倒数是=+；﹣的倒数是=+，∵＞，∴＞，∴﹣＜﹣．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知实数比较大小的法则是解答此题的关键．44．阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．小明的方法：∵，设（0＜k＜1）．∴．∴13=9+6k+k2．∴13≈9+6k．解得．∴．问题：（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若，且m=a2+b，则a+（用含a、b的代数式表示）；（3）请用（2）中的结论估算的近似值为：7.57．【分析】（1）根据题目信息，找出41前后的两个平方数，从而确定出=6+k （0＜k＜1），再根据题目信息近似求解即可；（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；（3）把a换成7，b换成8代入公式进行计算即可得解．【解答】解：（1）∵＜＜，设=5+k（0＜k＜1），∴（）2=（5+k）2，∴31=25+10k+k2，∴31≈25+10k．解得k≈，∴≈5+≈5+0.6=5.6；（2）设=a+k（0＜k＜1），∴m=a2+2ak+k2≈a2+2ak，∵m=a2+b，∴a2+2ak=a2+b，解得k=，∴≈a+；（3）≈7+≈7.57．【点评】本题考查了无理数的估算，读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据即可，找出一般性的方法解决问题．45．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上；先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．（1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a=2；（2）数轴刚刚绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是302．【分析】整数与圆周上的数字建立的对应关系：数字除以3，余数是几，就和周上数字几对应；（1）计算5除以3，看得出的余数判断即可；（2）用循环的数字个数3乘圈数再加上余数（圆周上数字）求得答案即可．【解答】解：（1）5÷3=1…2，所以圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a=2；（2）数轴刚刚绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是3×100+2=302．故答案为：2，302．【点评】此题考查数字与图形的变化规律，找出两个数字之间的对应关系是解决问题的关键．46．如图，OA=OB，（1）写出数轴上点A表示的数；﹣（2）比较点A表示的数与﹣1.5的大小；并在数轴上作出﹣所对应的点．【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）根据=解答．【解答】解：（1）OB==，OA=OB，∴数轴上点A表示的数是﹣，故答案为：﹣；（2）|﹣|＜|﹣1.5|，∴点A表示的数＞﹣1.5，在数轴上作出﹣所对应的点如图所示：点C即为所求．【点评】本题考查的是实数的大小比较、实数与数轴，掌握勾股定理、绝对值比较有理数的大小的方法是解题的关键．47．如图，已知OA=OB．（1）说出数轴上点A所表示的数；（2）比较点A所表示的数与﹣2.5的大小；（3）在数轴上作出表示数的点C．【分析】（1）根据图示可以直接回答问题；（2）数轴上，左边的数总是比右边的数小；（3）由勾股定理进行答题．【解答】解：（1）如图所示，点A所表示的数是﹣2；（2）如图所示，﹣2.5在﹣2的左边，则﹣2.5＜﹣2；（3）如图所示，过表示数1的点B作数轴的垂线BD，取BD=2，以O为圆心，OB为半径画弧与数轴相交于点C，则C点就是表示的点．【点评】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．48．实数A，B，C在数轴上的位置如图所示，请你化简下面的式子．|A﹣C|﹣|C﹣2B|+|A+2B|【分析】根据数轴得出A＜B＜0＜C，||A|＞|C|＞|B|，求出A﹣C＜0，C﹣2B ＞0，A+2B＜0，去掉绝对值符号后合并即可．。
人教版七年级数学下册《实数的定义》经典例题及解析
实数的定义一、选择题（本大题共80小题，共240.0分）1.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+√(a−b)2的结果是（）A. -2a+bB. 2a-bC. -bD. b【答案】A【解析】解：由图可知：a＜0，a-b＜0，则|a|+√(a−b)2=-a-（a-b）=-2a+b．故选：A．直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a-b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．2.实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（）A. aB. bC. cD. d【答案】D【解析】解：由数轴可得：a＜b＜c＜d，故选：D．根据实数的大小比较解答即可．此题利用数轴比较大小，在数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数．3.关于√8的叙述正确的是（）A. 在数轴上不存在表示√8的点B. √8=√2+√6C. √8=±2√2D. 与√8最接近的整数是3【答案】D【解析】解：A、在数轴上存在表示√8的点，故选项错误；B、√8≠√2+√6，故选项错误；C、√8=2√2，故选项错误；D、与√8最接近的整数是3，故选项正确．故选：D．根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的加法法则，算术平方根的计算法则计算即可求解．考查了实数与数轴，实数的加法，算术平方根，关键是熟练掌握计算法则计算即可求解．4.下列各数中是有理数的是（）3A. πB. 0C. √2D. √5【答案】B【解析】解：A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0是有理数，故本选项正确；C、√2是无理数，故本选项错误；3无理数，故本选项错误；D、√5故选：B．根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案．本题考查了有理数，有限小数或无限循环小数是有理数．5.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. a＞bB. |a|＜|b|C. ab＞0D. -a＞b【答案】D【解析】解：由数轴可得，-2＜a＜-1＜0＜b＜1，∴a＜b，故选项A错误，|a|＞|b|，故选项B错误，ab＜0，故选项C错误，-a＞b，故选项D正确，故选：D．根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6.关于√8的叙述不正确的是（）A. √8=2√2B. 面积是8的正方形的边长是√8C. √8是有理数D. 在数轴上可以找到表示√8的点【答案】C【解析】解：A、√8=2√2，所以此选项叙述正确；B、面积是8的正方形的边长是√8，所以此选项叙述正确；C 、√8=2√2，它是无理数，所以此选项叙述不正确；D 、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示√8的点；所以此选项叙述正确； 本题选择叙述不正确的， 故选：C ．√8=2√2，√8是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是8的正方形的边长，由此作判断．本题考查了实数的定义、二次根式的化简、数轴，熟练掌握实数的有关定义是关键．7. 下列实数中，属于有理数的是（ ）A. −√2B. √43C. πD. 111【答案】D【解析】解：A 、-√2是无理数，故A 错误； B 、√43是无理数，故B 错误； C 、π是无理数，故C 错误； D 、111是有理数，故D 正确；故选：D ．根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．本题考查了实数，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数．8. 如图，已知数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示数-2、1、2、3，则表示数3-√5的点P 应落在线段（ ）A. AO 上B. OB 上C. BC 上D. CD 上【答案】B【解析】解：∵2＜√5＜3， ∴0＜3-√5＜1，故表示数3-√5的点P 应落在线段OB 上． 故选：B ．根据估计无理数的方法得出0＜3-√5＜1，进而得出答案．此题主要考查了估算无理数的大小，得出√5的取值范围是解题关键．9.-√2的相反数是（）C. -√2D. -2A. √2B. -√22【答案】A【解析】解：-√2的相反数是√2．故选：A．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．本题考查了实数的性质，熟记相反数的定义是解题的关键．10.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√(a−1)2-√(a−b)2+b的结果是（）A. 1B. b+1C. 2aD. 1-2a【答案】A【解析】解：由数轴可得：a-1＜0，a-b＜0，则原式=1-a+a-b+b=1．故选A．利用数轴得出a-1＜0，a-b＜0，进而利用二次根式的性质化简求出即可．此题主要考查了二次根式的性质与化简，得出各项的符号是解题关键．11.下列说法错误的是（）A. 正整数和正分数统称正有理数B. 两个无理数相乘的结果可能等于零C. 正整数，0，负整数统称为整数D. 3.1415926是小数，也是分数【答案】B【解析】解：A、正整数和正分数统称为正有理数，正确；B、两个无理数相乘的结果不可能为零，错误；C、正整数，0负整数统称为整数，正确；D、3.1415926是小数，也是分数，正确，故选B利用有理数，整数，无理数，以及分数的定义判断即可．此题考查了实数，涉及的知识有：有理数，无理数，整数与分数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．12.有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有√2，√3，√5，√7这4个；④π是分数，它是有理数．2⑤近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：①任何无理数都是无限小数，故说法正确；②实数与数轴上的点一一对应，故说法错误；③在1和3之间的无理数有无数个，故说法错误；④π不是分数，它不是有理数，故说法错误．2⑤近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305，故说法正确．故选B．①根据无理数就是无限不循环小数即可判定；②根据有理数与数轴上的点的对应关系即可的；③根据无理数的定义及开平方运算的法则即可判定；④根据无理数、有理数的定义即可判定；⑤根据近似数的精确度即可判定．此题主要考查了实数的定义及其分类．注意分数能表示成B的形式，其中A、AB都是整数．因而像π不是分数，而是无理数．213.下列说法中正确的是（）A. 实数-a2是负数B. √a2=|a|C. |-a|一定是正数D. 实数-a的绝对值是a【答案】B【解析】【分析】本题考查的是实数的分类及二次根式、绝对值的性质，解答此题时要注意0既不是正数，也不是负数．分别根据平方运算的特点，平方根的性质和绝对值的性质进行逐一分析即可.【解答】解：A、实数-a2是负数，a=0时不成立，故选项错误；B、√a2=|a|，符合二次根式的意义，故选项正确，C、|-a|不一定是正数，a=0时不成立，故选项错误；D、实数-a的绝对值不一定是a，a为负数时不成立，故选项错误．故选B．)，0，−3.5，−10%，227，π，0.616116116…(相邻两个14.在−3，−(−1126之间1的个数逐次加1)中，有理数的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】本题考查的是有理数问题，关键是根据实数的分类及无理数、有理数的定义分析.分别根据实数的分类及有理数、无理数的概念进行解答.【解答】)，0，-3.5，﹣10%，227，π，0.61611611 6…（相邻两个6之在－3，−(−112)，0，-3.5，10%，227，间1的个数逐次加1）中，有理数为：-3，−(−112共有6个.故选C.15.下列说法正确的是（）A. 无限小数都是无理数B. 9的立方根是3C. 平方根等于本身的数是0D. 数轴上的每一个点都对应一个有理数【答案】C【解析】解：A、无限不循环小数都是无理数，故A错误；3，故B错误；B、9的立方根是√9C、平方根等于本身的数是0，故C正确；D、数轴上的每一个点都对应一个实数，故D错误；故选：C．根据实数的分类、平方根和立方根的定义进行选择即可．本题考查了实数、单项式以及多项式，掌握实数的分类、平方根和立方根的定义是解题的关键．16.关于的叙述，错误的是（）A. √12是有理数B. 面积为12的正方形边长是√12C. √12=2√3D. 在数轴上可以找到表示√12的点【答案】A【解析】解：A、√12是无理数，原来的说法错误，符合题意；B、面积为12的正方形边长是√12，原来的说法正确，不符合题意；C、√12=2√3，原来的说法正确，不符合题意；D、在数轴上可以找到表示√12的点，原来的说法正确，不符合题意．故选：A．根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项．本题主要考查了实数，有理数，无理数的定义，要求掌握实数，有理数，无理数的范围以及分类方法．17.下列语句中正确的是（）A. 正整数和负整数统称为整数B. 有理数和无理数统称为实数C. 开方开不尽的数和π统称为无理数D. 正数、0、负数统称为有理数【答案】B【解析】解：A、正整数和负整数，还有零统称为整数，故A错误；B、有理数和无理数统称为实数，故B正确；C、开方开不尽的数和π都是无理数，故C错误；D、整数、分数统称为有理数，故D错误；故选B．根据实数的分类进行选择即可．本题考查了实数，掌握实数的分类是解题的关键．18.下列说法：①√(1−10)2=−10；②数轴上的点与有理数成一一对应关系；③−2是√16的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如√2，√33等，也有π这样的数．①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平方根的定义即可判定；④根据实数的分类即可判定；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【解答】解：①√(1−10)2=9，故说法错误；②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法错误；③-2是√16的平方根，故说法正确；④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；⑤两个无理数的和还是无理数，如√2与−√2的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是③④⑥共3个．故选B．19. 在实数范围内，下列判断正确的是（ ）A. 若|m |=|n |，则m =nB. 若a 2＞b 2，则a ＞bC. 若√a 2=（√b ）2，则a =bD. 若√a 3=√b 3，则a =b【答案】D【解析】解：A 、根据绝对值的性质可知：两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故选项错误；B 、平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负数，故说法错误；C 、两个数可能互为相反数，如a =-3，b =3，故选项错误；D 、根据立方根的定义，显然这两个数相等，故选项正确． 故选：D ．解答此题的关键是熟知以下概念：（1）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（2）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫作a 的平方根．20. 对于-3.2⋅71⋅，下列说法不正确的是（ ） A. 是负数 B. 是分数 C. 是有理数 D. 是无理数【答案】D【解析】解：-3.2⋅71⋅是无限循环小数，是负数，是分数，是有理数，不是无理数故选：D ．根据有理数的定义可得．本题主要考查实数，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．21. 在数-2，π，0，2.6，+3，−85中，属于整数的个数为（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】解：在数-2，π，0，2.6，+3，−85中，整数有-2，0，+3，属于整数的个数，3． 故选：B ．整数包括正整数、负整数和0，依此即可求解． 本题考查了实数的分类．实数分为有理数和无理数；整数和分数统称有理数；整数包括正整数、负整数和0．22. 下列数轴上的点A 都表示实数a ，其中，一定满足|a |＞2的是（ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】B【解析】【分析】本题考查了有理数比较大小，根据绝对值的大小解题是关键．根据绝对值是数轴上的点到原点的距离，图示表示的数，可得答案．【解答】解：一定满足|a|＞2的，A在-2的左边，或A在2的右边，故选：B．23.下列说法正确的是（）①0是绝对值最小的实数②相反数大于本身的数是负数③数轴上原点两侧的数互为相反数④带根号的数是无理数A. ①②③④B. ①②③C. ①③D. ①②【答案】D【解析】解：①0是绝对值最小的实数，故①正确；②相反数大于本身的数是负数，故②正确；③数轴上原点两侧且到原点距离相等的数互为相反数，故③错误；④带根号的数不一定是无理数，故④错误．故选：D．依据绝对值、相反数、无理数的概念进行判断即可．本题主要考查的是实数的相关概念，熟练掌握相关知识是解题的关键．24.如图，半径为1的圆从表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（）A. ﹣2πB. 3﹣2πC. ﹣3﹣2πD. ﹣3+2π【答案】B【解析】解：由题意得：AB=2πr=2π，点A到原点的距离为3，则点B到原点的距离为2π-3，∵点B在原点的左侧，∴点B所表示的数为-（2π-3）=3-2π，故选：B．线段AB=2πr=2π，点A到原点的距离为3，则点B到原点的距离为2π-3，点B在原点的左侧，因此点B所表示的数为-（2π-3）=3-2π，于是得出答案．考查实数的意义，数轴等知识，理解符号和绝对值是确定一个数在数轴上位置的两个必要条件．25.下列说法，正确的有（）个①m是一个实数，m2的算术平方根是m；②m是一个实数，则-m没有平方根；③带根号的数是无理数；④无理数是无限小数．A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：①如果m 是一个实数，m 2的算术平方根是|m |，当m 是非负数时，m 2的算术平方根是m ； 所以此说法不正确；②如果m 是一个正数，则-m 没有平方根；所以此选项不正确；③带根号的数不一定是无理数，如√4=2，是有理数；所以此选项说法不正确； ④无理数是无限不循环小数，所以无理数是无限小数，所以此选项说法正确； 所以本题说法正确的有1个：④， 故选B ．①根据算术平方根的定义进行判断； ②根据平方根的定义进行判断；③带根号的数不一定是无理数，开方开不尽的数是无理数； ④根据无理数的定义进行判断． 此题主要考查了实数的定义、平方根及算术平方根的定义、无理数的定义．属于基础知识，熟练掌握这些基本概念是解题的关键．26. 已知实数a 在数轴上的位置如图，则化简|1-a |+√a 2的结果为（ ）A. 1B. -1C. 1-2aD. 2a -1【答案】C【解析】解：由数轴可得：-1＜a ＜0， 则|1-a |+√a 2=1-a -a =1-2a ．故选：C ．直接利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．27. 下列说法错误的是（ ）A. √16的平方根是±2B. √2是无理数C. √−273是有理数D. √22是分数【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了实数的有关概念及其分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.A .根据算术平方根、平方根的定义即可判定；B .根据无理数的定义即可判定；C .根据无理数和立方根的定义即可判定；D .根据开平方和有理数、无理数和分数的定义即可判定. 【解答】解：√16=4，±√4=±2，故A 正确； √2是无理数，故B 正确；√−273=−3是有理数，故C 正确；√22不是分数，它是无理数，故D 选项错误.故选D.28.有以下说法：其中正确的说法有（）（1）开方开不尽的数是无理数；（2）无理数是无限循环小数（3）无理数包括正无理数和负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示；（5）循环小数都是有理数A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】解：（1）开方开不尽的数是无理数，该说法正确；（2）无理数是无限不循环小数，原说法错误；（3）无理数包括正无理数和负无理数，该说法正确；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示，该说法正确；（5）循环小数都是有理数，该说法正确．正确的有4个．故选：D．根据无理数的三种形式求解．本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．29.如图，数轴上点P表示的数可能是（）A. √2B. √5C. √10D. √15【答案】B【解析】解：由被开方数越大算术平方根越大，得√2＜√4＜√5＜√9＜√10＜√15，即√2＜2＜√5＜3＜√10＜√15，故选：B．根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出√2＜√4＜√5＜√9＜√10＜√15是解题关键．30.如图，数轴上，AB=AC，A，B两点对应的实数分别是√3和-1，则点C所对应的实数是（）A. 1+√3B. 2+√3C. 2√3-1D. 2√3+1【答案】D【解析】解：AC=AB=√3+1，C点坐标A点坐标加AC的长，即C点坐标为√3+√3+1=2√3+1，故选：D．根据线段中点的性质，可得答案．本题考查了实数与数轴，利用线段中点的性质得出AC的长是解题关键．31.下列各数中，属于有理数的是（）A. 673B. √6C. πD. 3.1313313331……（两个“1”之间依次多一个3）【答案】A是有理数，故此选项正确；【解析】解：A、673是无理数，故此选项错误；B、√6C、π是无理数，故此选项错误；D、3.1313313331……（两个“1”之间依次多一个3）是无理数，故此选项错误；故选：A．直接利用有理数以及无理数的定义分别分析得出答案．此题主要考查了实数，正确掌握相关定义是解题关键．32.下列各组数中互为相反数的是（）B. -（-2）与-|-2|A. -3与133C. 5与2D. -2与√−8【答案】B不符合相反数的定义，故选项错误；【解析】解：A、-3与13B、-（-2）=2，-|-2|=-2只有符号相反，故是相反数，故选项正确．C、√−52无意义，故选项错误；3=-2相等，不符合相反数的定义，故选项错误．D、-2=-2，√−8故选：B．首先根据绝对值的定义化简，然后根据相反数的定义即可解答．此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数，0的相反数是其本身．33.下列说法正确的是（）A. 1的平方根是它本身B. √32是分数 C. 负数没有立方根D. 如果实数x 、y 满足条件y =√x ，那么x 和y 都是非负实数【答案】D【解析】解：A 、1的平方根是±1，错误； B 、√32是无理数，错误； C 、负数有立方根，错误；D 、如果实数x 、y 满足条件y =√x ，那么x 和y 都是非负实数，正确； 故选：D ．根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答即可．此题考查实数问题，关键是根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答．34. 下列说法中，正确的是（ ）①−34＞−23；②√m 一定是正数；③无理数一定是无限小数；④16.8万精确到十分位；⑤（-4）2的算术平方根是4．A. ①②③B. ④⑤C. ②④D. ③⑤【答案】D【解析】解：-34＜-23，故①错误；当m =0时，√m 是0，不是正数，故②错误；无理数一定是无限小数，故③正确；16.8万精确到千位，故④错误；（-4）2的算术平方根是4．故⑤正确；即正确的有③⑤，故选：D ．根据实数的大小比较，算术平方根的定义，无理数的定义，精确度逐个判断即可．本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，无理数的定义，精确度等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．35. 下列说法正确的是（）A. 立方根等于它本身的实数只有0和1B. 平方根等于它本身的实数是0C. 1的算术平方根是±1D. 绝对值等于它本身的实数是正数【答案】B【解析】【分析】此题考查了立方根，平方根，算术平方根，绝对值，掌握这些概念是关键，逐项分析即可得到答案.【解答】解：A .立方根等于它本身的数是0，-1，1，故A 错误；B .平方根等于它本身的实数是0，故B 正确；C .1的算术平方根是1，故C 错误；D .绝对值等于它本身的实数是正数，0，故C 错误；故选B.36.已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A. -a＜-bB. a+b＜0C. |a|＜|b|D. a-b＞0【答案】C【解析】解：根据点a、b在数轴上的位置可知-1＜a＜0，1＜b＜2，则-a＞-b，a+b＞0，|a|＜|b|，a-b＜0．故选：C．根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围，即可作出判断．本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、绝对值性质的应用，掌握法则是解题的关键．37.设面积为6的正方形的边长为a．下列关于a的四种说法：①a是有理数；②a是无理数；③a可以用数轴上的一个点来表示；④2＜a＜3．其中说法正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：∵面积为3的正方形的边长为a，∴a=√6，故①a是有理数，错误；②a是无理数，正确；③a可以用数轴上的一个点来表示，正确；④2＜a＜3，正确，则说法正确的是：②③④共3个．故选：C．直接利用得出正方形的边长，再利用实数的性质分析得出答案．此题主要考查了实数的性质以及无理数的估算，正确掌握实数有关性质是解题关键．38.实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|b|+|c-a|-|a+b|的结果为（）A. 2a+2b-cB. -cC. c-2aD. a-b-c【答案】B【解析】解：从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0，b＞0且|b|＞|a|，故a+b＞0，c-a＜0，即有|b|+|c-a|-|a+b|=b-（c-a）-（a+b）=b-c+a-a-b=-c．故选：B．首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0，b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，c-a＜0，然后即可化简|b|+|c-a|-|a+b|．此题主要考查了利用数轴比较两个的大小和化简绝对值．数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．39.我们知道有一些整数的算术平方根是有理数，如√1，√4，√9，…已知n=1，2，3，…，99，100，易知√n中共有10个有理数，那么√2n中的有理数的个数是（）A. 20B. 14C. 13D. 7【答案】D【解析】解：∵√2n是有理数，∴2n是完全平方数，∵n=1，2，3，…，99，100，∴2n=2，4，6，…，198，200，∴在2，4，6，…，198，200的这组数据中，完全平方数有2，8，18，36，64，100，144，196，∴√2n中的有理数的个数是7，故选：D．在2，4，6，…，198，200的这组数据中，找出完全平方数即可．本题考查了实数，完全平方数，正确的找出完全平方数是解题的关键．40.将四个数-√3，√2，√3，√5表示在数轴上，被如图所示的墨迹覆盖的数是（）A. -√3B. √2C. √3D. √5【答案】D【解析】解：−√2＜0，1＜√2＜2，1＜√3＜2，2＜√5＜3，因为盖住的数大于2小于3，故选：D．盖住的数大于2小于3，估计√2，√3，√5的值可确定答案．本题考查无理数值的大小估计．确定无理数在哪两个整数之间是解答的关键．41.正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2019所对应的点是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】C【解析】解：当正方形在转动第一周的过程中，1所对应的点是A，2所对应的点是B，3所对应的点是C，4所对应的点是D，∴四次一循环，∵2019÷4=504…3，∴2019所对应的点是C ．故选：C ．由题意可知转一周后，A 、B 、C 、D 分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一循环，由次可确定出2019所对应的点．本题主要考查实数与数轴以及正方形的性质，确定出点的变化规律是解题的关键．42. 下列格式中，化简结果与23的倒数相同是（ ） A. −(−32)B. −|−23|C. −√94D. 53−1 【答案】A【解析】解：23的倒数是32．A 、原式=32，故本选项正确．B 、原式=23，故本选项错误．C 、原式=-32，故本选项错误．D 、原式=23，故本选项错误．故选：A ．23的倒数是32，根据实数的性质、绝对值的计算方法解答． 考查了实数的性质，倒数的定义以及绝对值，属于基础题，熟记计算法则即可解题．43. 实数a ．b 在数轴上的位置如图所示，下列各式中不成立的是（ ）A. -a ＞bB. a +6＜0C. a -b ＜a +bD. |a |+|b |＜|a +b |【答案】D【解析】解：选项A 正确：找出表示数a 的点关于原点的对称点-a ，与b 相比较可得出-a ＞b ．选项B 正确：a +b ＜0；选项C 正确：a -b ＜a +b ；选项D 正确的是|a |+|b |＞|a +b |，故这个选项不成立．故选：D ．根据一对相反数在数轴上的位置特点，先找出与点a 相对应的-a ，然后与b 相比较，即可排除选项求解．本题考查了实数与数轴的关系．用字母表示数，具有抽象性．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成．因为是选择题，也可以采用特值法，如：取a =-2，b =1，代入四个选项，逐一检验，就可以得出正确答案．这样做具体且直观．44.关于√2下列说法中不正确的是（）A. √2是无理数B. √2的平方是2C. 2的平方根是√2D. 面积为2的正方形的边长可表示为√2【答案】C【解析】解：A、√2是无理数，正确，故本选项不符合题意；B、√2的平方是2，正确，故本选项不符合题意；C、2的平方根是±√2，错误，故本选项符合题意；D、面积为2的正方形的边长为√2，正确，故本选项不符合题意；故选：C．根据无理数、实数的乘方、平方根的定义、算术平方根的定义逐个判断即可．本题考查了实数及分类、无理数、实数的乘方、平方根的定义、算术平方根的定义，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：实数包括无理数和有理数，无理数是指无限不循环小数．45.下列结论正确的是（）A. 无限不循环小数叫做无理数B. 有理数包括正数和负数C. 0是最小的整数D. 两个有理数的和一定大于每一个加数【答案】A【解析】解：A、无限不循环小数叫做无理数，正确，故本选项符合题意；B、有理数包括正有理数、0和负有理数，不正确，故本选项不符合题意；C、0不是最小的整数，没有最小的整数，不正确，故本选项不符合题意；D、一个数同0相加仍得这个数，所以两个有理数的和不一定大于每一个加数，不正确，故本选项不符合题意．故选：A．根据有理数、无理数、整数及有理数的加法法则判断即可．本题考查了有理数、无理数、整数及有理数的加法法则，属于基础知识，需牢固掌握．46.①倒数等于本身的数为1；②若a、b互为相反数，那么a、b的商必定等于﹣1；③对于任意实数x，|x|+x一定是非负数；④一个数前面带有“﹣”号，则这个数是负数；⑤整数和小数统称为有理数；⑥数轴上的点都表示有理数；⑦绝对值等于自身的数为0和1；⑧平方等于自身的数为0和1；其中正确的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个。
人教版七年级数学下册实数第2课时实数与数轴的关系及实数的运算同步练习
人教版七年级数学下册实数第2课时实数与数轴的关系及实数的运算同步练习第2课时实数与数轴的关系及实数的运算基础训练知识点1 实数与数轴上的点的关系1‘和数轴上的点一一对应的数是〖〗A‘整数B‘有理数C‘无理数D‘实数2‘若实数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列判断错误的是〖〗A‘a<0 B‘ab<0C‘a<b D‘a,b互为倒数3‘实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,计算|a-b|的结果为〖〗A‘a+b B‘a-b C‘b-a D‘-a-b4‘在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A,B两点对应的实数分别是和-1,则点C所对应的实数是〖〗A‘1+B‘2+C‘2-1 D‘2+15‘如图,圆的直径为1个单位长度,该圆上的点A与数轴上表示-1的点重合,将该圆沿数轴滚动1周,点A到达点A'的位置,则点A'表示的数是〖〗A‘π-1 B‘-π-1C‘-π+1D‘π-1或-π-1知识点2 实数的大小比较6‘下列四个数中,最大的一个数是〖〗A‘2 B‘C‘0 D‘-27‘〖2016·泰安〗如图,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是〖〗A‘p B‘q C‘m D‘n8‘若a,b为实数,下列说法中正确的是〖〗A‘若a>b,则a2>b2B‘若a>|b|,则a2>b2C‘若|a|>b,则a2>b2D‘若a>0,a>b,则a2>b2知识点3 实数的运算9‘有一个数值转换器,原理如图所示‘当输入的x为-512时,输出的y是〖〗A‘-2 B‘-C‘-3D‘-310‘已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是〖〗A‘a·b>0 B‘a+b<0C‘|a|<|b| D‘a-b>011‘实数a,b在数轴上对应的点的位置如图,则必有〖〗A‘<0 B‘ab>0C‘a-|b|>0 D‘a+b>0易错点1 比较大小时不注意分类讨论而出错12‘若x>0,试比较x与的大小‘易错点2 去绝对值符号时,常因考虑问题不全面而出错13‘已知a为实数,化简|a+1|-|a-2|‘提升训练考查角度1 利用实数与数轴的关系进行化简14‘实数a在数轴上对应的点的位置如图,化简:|a-π|+|-a|‘15‘已知实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图,化简:-|a-b|+|c-a|+‘考查角度2 利用实数的运算法则进行计算16‘计算:〖1〗〖-3〗2-+-;〖2〗+-〖结果精确到0‘01〗‘考查角度3 利用数轴上两点之间的距离求值17‘如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B,再直爬向点C停止,已知点A所表示的数为-,点C所表示的数为2,设点B所表示的数为m‘〖1〗求m的值;〖2〗求BC的长‘考查角度4 利用实数与绝对值的非负性解决方程问题18‘已知a,b满足+|b-|=0,解关于x的方程〖a+2〗x+b2=a-1‘探究培优拔尖角度1 利用实数的运算设计方案〖数形结合思想〗19‘用长48 m的篱笆,在空地上围成一块场地,现有两种设计方案:一种是围成正方形,另一种是围成圆形‘试问选用哪种方案围成的场地面积大,并说明理由‘拔尖角度2 利用实数解决相关问题20‘如图,每个小正方形的边长均为1‘〖1〗图中阴影部分的面积是多少?它的边长是多少?〖2〗估计阴影部分的边长在哪两个整数之间?参考答案1‘[答案]D2‘[答案]D3‘[答案]C4‘[答案]D解：由题图可知:点A与点B的距离为-〖-1〗=+1,而点C 与点B关于点A对称,故点A与点C的距离也为+1,所以点C 所表示的实数为+1+=2+1‘故选D‘5‘[答案]D6‘[答案]A7‘[答案]A8‘[答案]B9‘[答案]D解：由题图可知输入x=-512,先开立方得-8,-8为有理数,返回继续开立方得-2,-2为有理数,再返回继续开立方得=-,-为无理数,符合输出条件,所以y=-‘10‘[答案]D11‘[答案]A12‘解:当0<x<1时,x<;当x=1时,x=;当x>1时,x>‘分析：此题在比较大小时,对x的取值范围需分情况讨论‘本题易不分类或分类不全而出错‘13‘解:当|a+1|=0时,a=-1‘当|a-2|=0时,a=2‘因为a为实数,所以需分以下三种情况进行讨论:当a≤-1时,原式=-〖a+1〗-[-〖a-2〗]=-3;当-1<a<2时,原式=a+1-[-〖a-2〗]=2a-1;当a≥2时,原式=a+1-〖a-2〗=3‘分析：本题易错之处在于对a的取值范围考虑不全面,不能正确分类,从而导致漏解‘14‘解:由数轴可知2<a<3,因为π>3,<2,所以|a-π|+|-a|=π-a+a-=π-‘15‘解:由数轴可知a<b<0<c‘所以a<0,a-b<0,c-a>0,b-a>0,所以原式=|a|-[-〖a-b〗]+c-a+|b-a|=-a+〖a-b〗+c-a+b-a=c-2a‘16‘解:〖1〗原式=9-+-3=6‘〖2〗原式≈×1‘732+×1‘414-×2‘236=1‘125 8≈1‘13‘17‘解:〖1〗m-〖-〗=2,所以m=2-‘〖2〗BC=|2-〖2-〗|=|2-2+|=‘18‘解:由+|b-|=0,可知2a+8=0,b-=0,即a=-4,b=‘代入方程得-2x+3=-5,解得x=4‘19‘解:围成圆形场地的面积大‘理由如下:设围成的正方形场地的边长为a m,则4a=48,解得a=12‘所以围成的正方形场地的面积为a2=144〖m2〗‘设围成的圆形场地的半径为r m,则2πr=48,解得r=‘所以围成的圆形场地的面积为πr2=π·=≈183‘4〖m2〗‘因为183‘4>144,所以围成圆形场地的面积大‘解：当数的范围从有理数扩充到实数后,现实生活中原来许多用有理数无法描述和解决的问题便能得到很好地解决了‘20‘解:〖1〗阴影部分的面积是16-4××3×1=10,它的边长是‘〖2〗因为<<,即3<<4,所以阴影部分的边长在3与4之间‘。
人教版七年级数学下册实数章末复习二实数测试题
章末复习(二) 实数基础题知识点1 平方根、算术平方根、立方根的概念与性质1．(武汉中考)若式子x －2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是(C )A ．x ≥－2B ．x ＞－2C ．x ≥2D ．x ≤2 2．(滨州中考)数5的算术平方根为(A )A . 5B ．25C ．±25D ．± 5 3．下列说法中正确的是(D )A ．－4没有立方根B ．1的立方根是±1C .136的立方根是16D ．－5的立方根是3－54．利用计算器计算：52－32＝4，552－332＝44，5552－3332＝444．猜想23802580333555 个个-＝480444个⋯ ． 5．已知2a ＋1的算术平方根是0，b －a 的算术平方根是12，求12ab 的算术平方根．解：∵2a ＋1＝0，∴a ＝－12.∵b －a ＝12，∴b －a ＝14.∴b ＝－14.∴12ab ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝116. ∴12ab 的算术平方根是14.知识点2 实数的分类与估算6．(烟台中考)下列实数中，有理数是(D )A .8B .34C .π2D ．0.101 001 0017．下列语句中，正确的是(A )A ．无理数都是无限小数B ．无限小数都是无理数C ．带根号的数都是无理数D ．不带根号的数都是无理数8．估算17＋4的值在(D )A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间 知识点3 实数与数轴9．如图，下列各数中，数轴上点A 表示的数可能是(C )A ．4的算术平方根B ．4的平方根C ．8的算术平方根D ．10的算术平方根10．如图，数轴上的两个点A ，B 所表示的数分别是a ，b ，在a ＋b ，a －b ，ab ，|a|－|b|中，是正数的有1个．知识点4 实数的性质及运算11．计算：3－22＋23＝33－2212．实数1－2的相反数是2－1，绝对值是2－1． 13．求下列各式的值：(1)(5)2－22； 解：原式＝5－2＝3.(2)（－3）2＋3－64； 解：原式＝3＋(－4)＝－1.(3)121＋7×⎝⎛⎭⎪⎫2－17－31 000.解：原式＝11＋27－1－10＝27.中档题14．计算（－8）2的结果是(B )A ．－8B ．8C ．16D ．－16 15．下列各式正确的是(A )A ．±31＝±1 B .4＝±2 C .（－6）2＝－6 D .3－27＝316．下列说法中，正确的有(B )①只有正数才有平方根；②a 一定有立方根；③－a 没意义；④3－a ＝－3a ；⑤只有正数才有立方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个17．(郾城区期中)如果一个实数的算术平方根等于它的立方根，那么满足条件的实数有(C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 18．已知30.5≈0.793 7，35≈1.710 0，那么下列各式正确的是(B )A .3500≈17.100B .3500≈7.937 C .3500≈171.00 D .3500≈79.3719．下列各组数中，互为倒数的一组是(D )A ．5与－5B .2与12C ．|－π|与（－π）2D .32与2320．写出3－9到23之间的所有整数：－2，－1，0，1，2，3，4． 21．－27的立方根与81的平方根之和是0或－6．22．有若干个面积为2的正方形，根据下图拼图的启示填空：(1)计算：2＋8＝32； (2)计算：8＋32＝62； (3)计算：32＋128＝122． 23．求下列各式中x 的值：(1)x 2－5＝49； (2)(x －1)3＝125.解：x 2－5＝49， 解：(x －1)3＝125，x 2＝499， x －1＝5，x ＝±73. x ＝6.24．用长3 cm ，宽2.5 cm 的邮票30枚，拼成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？解：设这个正方形的边长是x cm ，根据题意，得 x 2＝3×2.5×30.解得x ＝15. 答：这个正方形的边长是15 cm . 25．已知2a －1的平方根是±3，（－16）2的算术平方根是b ，求a ＋b.解：由题意，得2a －1＝32.解得a ＝5.由于（－16）2＝16，∴b ＝4. ∴a ＋b ＝5＋4＝3.26．已知a 为250的整数部分，b －1是400的算术平方根，求a ＋b 的值．解：∵152<250<162， ∴250的整数部分是15，即a ＝15. ∵b －1＝400＝20，∴b ＝21. ∴a ＋b ＝15＋21＝36＝6. 综合题27．已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a －b|－a 2＋(－b)2＋23b 3.解：由图知，a>0，b<0，a －b>0. ∴原式＝a －b －a －b ＋2b ＝0.人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是() A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为() A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C．110元D．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是()A．130°B．40°C．90°D．140°9．如图，C，D是线段AB上的两点，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF＝m，CD＝n，则AB的长是()A．m－n B．m＋nC．2m－n D．2m＋n10．下列结论：①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12；②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解； ③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0； ④若|a |>|b |，则a －ba ＋b >0.其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________．12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________． 14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个．16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a △b ＝a ·b －2a －b ＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n 条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1.22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．日期9月1日9月2日9月3日9月4日9月5日9月6日9月7日电表读123130137145153159165数/度该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O 的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOE＝2∠EOF＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE ＝2∠COF . (2)∠BOE ＝2∠COF 仍成立． 理由：设∠AOC ＝β， 则∠AOE ＝90°－β，又因为OF 是∠AOE 的平分线， 所以∠AOF ＝90°－β2.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF ＝∠AOF ＋∠AOC ＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE ＝2∠COF . 25．解：(1)0.5x ；(0.65x －15) (2)(165－123)÷6×30＝210(度)， 210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元． (3)设10月的用电量为a 度． 根据题意，得0.65a －15＝0.55a ， 解得a ＝150.答：该用户10月用电150度． 26．解：(1)130(2)若点C 在原点右边，则点C 表示的数为100÷(3＋1)＝25； 若点C 在原点左边，则点C 表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50. 故点C 表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D 经过的时间为t s ，则6t －4t ＝130， 解得t ＝65.65×4＝260，260＋30＝290， 所以点D 表示的数为－290. (4)ON －AQ 的值不变． 设运动时间为m s ， 则PO ＝100＋8m ，AQ ＝4m . 由题意知N 为PO 的中点， 得ON ＝12PO ＝50＋4m ，所以ON ＋AQ ＝50＋4m ＋4m ＝50＋8m ， ON －AQ ＝50＋4m －4m ＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。
6.3.1 实数的相关概念及分类 人教版数学七年级下册分层作业(含答案)
人教版初中数学七年级下册6.3.1 实数的相关概念及分类同步练习夯实基础篇一、单选题：1．在实数，，3.14，0，，，，0.1616616661……（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）A．5B．4C．3D．2【答案】C【分析】根据无理数的定义解答即可．【详解】，3.14，0，，是有理数；，，0.1616616661……（两个1之间依次多一个6）是无理数．故选C．【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．2．下列说法正确的是（ ）A．无理数是无限不循环小数B．一个数的平方根等于它本身的数是0，1C．绝对值等于本身的数是0D．倒数等于本身的数是0，1，【答案】A【分析】根据无理数定义判定A；根据平方根的定义判定B；根据绝对值意义判定C；根据倒数的意义判定D．【详解】解：A、无理数是无限不循环小数，故此选项符合题意；B、一个数的平方根等于它本身的数是0，故此选项不符合题意；C、绝对值等于本身的数是0和正数，故此选项不符合题意；D、倒数等于本身的数是1，，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查无理数，平方根，绝对值，倒数，熟练掌握无限不循环小数是无理数；一个正数的平方根有两个，零的平方根是零；一个正数的绝对值等于本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值等于它的相反数；乘积等于1的两个数互为倒数是解决本题的关键．3．下列四个实数中，为负实数的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据负实数的定义逐项判断即可得答案．【详解】A．，故A符合题意B．，故B不符合题意C．，故C不符合题意D．，故D不符合题意故选：A．【点睛】本题考查了负实数的定义，相反数的定义，乘方的定义，二次根号的化简，绝对值性质．4．下列说法：①任意一个数都有两个平方根；②是3的平方根；③的立方根是；④是一个分数；⑤负数没有立方根．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【分析】根据立方根，平方根和分数的定义进行逐一判断即可．【详解】解：①任意一个正数都有两个平方根，原说法错误；②是3的一个平方根，原说法正确；③的立方根是，原说法错误；④不是一个分数，原说法错误；⑤负数有立方根，原说法错误；∴正确的只有1个，故选B．【点睛】本题主要考查了立方根，平方根和实数的分类，熟知相关知识是解题的关键．5．下列说法正确的有（）①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应．A．个B．个C．个D．个【答案】A【分析】利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：无限的不循环小数是无理数，的结论不正确；无理数是无限的不循环小数，都是无限小数，的结论正确；带根号且开不尽放方的数都是无理数，的结论不正确；，两个无理数的和不一定是无理数，的结论不正确；数轴上的点与实数一一对应，的结论正确；综上，正确的结论有：，故选：A．【点睛】本题主要考查了实数的概念，实数的运算，数轴的相关性质，利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断是解题的关键．6．下列说法中错误的是（）A．是整数B．是有理数C．是分数D．的立方根是无理数【答案】C【分析】根据实数分类，无理数的概念，进行辨别即可．【详解】解：A、是整数，故本选项正确，不符合题意；B、是有理数，故本选项正确，不符合题意；C、是无理数，故本选项错误，符合题意；D、，则的立方根是是无理数，故本选项正确，不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了实数的分类能力，关键是能准确理解实数分类知识，无限不循环小数是无理数．7．下列各数互为相反的是（）A．5和B．-5和C．和D．和【答案】D【分析】根据相反数的性质，算术平方根，立方根和实数的性质逐一判断即可．【详解】解：A、5和不是相反数，不符合题意；B、-5和不是相反数，不符合题意；C、和不是相反数，不符合题意；D、和互为相反数，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了相反数的定义，实数的性质，算术平方根和立方根，熟知相关知识是解题的关键．二、填空题：8．下列各数：①，②0.1，③④⑤⑥（相邻两个1 之间依次增加1 个0）是无理数的是________（填序号）．【答案】⑤⑥##⑥⑤【分析】根据无理数的定义解答即可．【详解】解：由题意可知：无理数有：⑤⑥．故答案为：⑤⑥【点睛】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数．9．下列有理数：，，，，其中负数有_______个．【答案】2【分析】运用偶次方、去括号、绝对值以及幂的知识进行化简，即可确定负数的个数.【详解】解：∵=9，=0.2，=-4，=-1∴负数有两个，即答案为2.【点睛】本题考查了偶次方、去括号、绝对值以及幂的知识，灵活运用所学知识是解答本题的关键. 10．将下列各数填入相应的括号里：，，0，，，，，，，．负数集合___________；分数集合___________；正整数集合___________；无理数集合___________．【答案】，，；，，，，；；【分析】实数分为有理数和无理数，分数分为正分数和负分数，负数分为负分数和负整数，对各数依次判断分类即可．【详解】解：负数集合，，；分数集合，，，，；正整数集合；无理数集合；故答案为：，，；，，，，；；．【点睛】本题考查了实数的概念与分类、有理数的分类、无理数的概念，掌握实数的概念与分类是解题关键．11．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由．(1)无理数都是开方开不尽的数．( )(2)无理数都是无限小数．( )(3)无限小数都是无理数．( )(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( )(5)不带根号的数都是有理数．( )(6)带根号的数都是无理数．( )(7)有理数都是有限小数．( )(8)实数包括有限小数和无限小数．( )【答案】错误正确错误错误错误错误错误正确【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可【详解】(1)( 错误)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1．020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误．(2)( 正确)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确．(3)( 错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误．(4)( 错误)0是有理数；故答案为：错误．(5)( 错误)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误．(6)( 错误)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数；故答案为：错误．(7)( 错误)有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误．(8)( 正确)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确．【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键．12．的相反数是______________．【答案】##【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得到正确的答案．【详解】解：无理数的相反数是，故答案为：．【点睛】此题考查了求一个实数的相反数的能力，关键是能准确理解、运用相反数的概念．13．比较大小．（用、、号连接）______；______．【答案】【分析】第一组根据约等于即可得出答案；第二组对进行变形即可得到答案．【详解】解：第一组：∵，，∵，∴；第二组：∵，∴，∴，∴．故答案为：①，②．【点睛】本题考查的是实数的大小比较，熟知实数比较大小的法则和各种方法是解题的关键．14．给出下列说法：①0是绝对值最小的有理数；②无限小数是无理数；③数轴上原点两侧的点表示的数互为相反数；④实数在数轴上有唯一的点与之对应；⑤分数可能是有理数，也可能是无理数．其中正确的有______．（填序号）【答案】①④##④①【分析】根据绝对值的意义；无理数的定义：即为无线不循环小数；相反数的几何意义；实数和数轴的关系，有理数的定义：整数和分数统称为有理数；进行判断即可．【详解】解：①0是绝对值最小的有理数，正确；②无限不循环小数是无理数，原来的说法错误；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数，原来的说法错误；④实数在数轴上有唯一的点与之对应，正确；⑤分数是有理数，原来的说法错误．故其中正确的有①④．故答案为：①④．【点睛】本题考查了对值的意义、无理数的定义、相反数的几何意义、实数和数轴的关系、有理数的定义，熟练掌握相关定义与性质是解本题的关键．三、解答题：15．将下列各数的序号填在相应的集合里．①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．整数集合：；分数集合：；负数集合：；有理数集合：；无理数集合：．【答案】故答案为：，，，，【分析】根据实数的分类解答即可．【详解】解：整数集合：；分数集合：；负数集合：；有理数集合：；无理数集合：．故答案为：，，，，．【点睛】此题考查实数，关键是根据实数的分类解答．16．求下列各数的绝对值：，，，，．【答案】，，，，【分析】根据正数及零的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，可得答案．【详解】解：，，，．．【点睛】本题考查了实数的绝对值，理解绝对值的意义是解题的关键．17．把，，，表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“＜”号连接．【答案】数轴见解析，．【分析】利用绝对值和无理数的近似值化简再用数轴上的点表示各数，利用数轴上的数右边的总比左边的大用“＜”号将个连接即可．【详解】解：∵，∴将各数在数轴上表示出来如下：将各数用“＜”号连接如下：．【点睛】本题主要考查了数轴，绝对值，实数大小的比较，利用数轴上的数右边的总比左边的大解答是解题的关键．18．求下列各式中的实数：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）．【分析】分别根据绝对值的性质解答．【详解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴；（3）∵，∴；（4）∵，∴．【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了绝对值的性质，熟记性质是解题的关键．19．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．(1)实数的值是______；(2)求的值；(3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．【答案】(1)；(2)0(3)【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；（2）根据点B在数轴上的位置可知，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案；（3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根．（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示∴点表示∴．故答案为：；（2）解：由数轴可知：，，，原式；（3）解：与互为相反数，，，，，，，，，∵8的平方根为，∴的平方根为．【点睛】本题考查了实数与数轴、实数的性质、相反数的定义、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．能力提升篇一、单选题:1．如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【分析】根据二次根式的性质和无理数的估算方法求出的范围即可得到答案．【详解】解：由题意可得，∵，∴，∴，∴D点离得近一些，故选D．【点睛】本题考查实数在数轴上的位置及无理数的估算，解题的关键是根据根式的性质求出其取值范围．2．若0<x<1，则下列关系式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】可以采用取特殊值法，逐一求解，然后进行比较即可．【详解】解：∵∴令∴，，∵∴．故选B．【点睛】本题主要考查了实数的大小比较、负整数指数幂、整数指数幂等知识点，灵活利用相关运算法则以及掌握特殊值法是解答本题的关键．3．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可．【详解】解：当时，，，不合题意；当时，，当时，，不合题意；当时，，，符合题意；当时，，，不合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．二、填空题:4．已知的整数，小数部分，则_________，_________．【答案】 2【分析】根据可知，得到，从而得到和的值，即可得到答案．【详解】，，，，，，故答案为2；．【点睛】本题考查了估算无理数大小，利用有理数逼近无理数，求无理数近似值是解题关键．5．如图，数轴上点到点的距离与点到点的距离相等，若点表示，点表示，则点表示的数是________．【答案】##【分析】先求出、之间的距离，然后根据到点的距离与点到点的距离相等用减、之间的距离可求得答案．【详解】解：∵点表示，点表示，∴，∵到点的距离与点到点的距离相等，∴点表示的数为：，故答案为：．【点睛】本题考查了数与数轴之间的对应关系，解决本题的关键是明确两点之间的距离公式（大减小），体现了数形结合的思想．6．观察下列各式：，，，…,根据你发现的规律，若式子(a、b为正整数)符合以上规律，则=_______.【答案】4【分析】从①②③三个式子中，我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，根号里的还是原来的分数，据此求出a、b的值即可求得答案.【详解】∵，，，…，∴用含n的式子来表示为：，∵，∴a=8-1=7，b=a+2=9，∴==4，故答案为4.【点睛】本题考查了本题考查了规律型——数字的变化类，找到变化的规律是解题的关键．三、解答题:7．观察下列等式，并回答问题：①；②；③；④；……(1)请写出第⑤个等式：______，化简：______；(2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示）(3)比较与1的大小．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果；（2）由前4个等式可以猜想第n个等式为；（3）利用作差法比较大小．（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：，，故答案为：；．（2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为，故答案为：．（3）解：∵，∴．【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．。
人教版 数学七年级下册课时练 第六章 实数 6.3 第2课时 实数的性质及运算
人教版 数学七年级下册 第六章 实数第2课时 实数的性质及运算1．(2019·山东聊城中考)－2的相反数是( D ) A ．－22 B.22 C ．－ 2D. 22．(2019·湖北荆门中考)－2的倒数的平方是( B ) A ．2 B.12 C ．－2D ．－123．(2019·江苏扬州中考)下列各数中，小于－2的数是( A ) A ．－ 5 B ．－ 3 C ．－ 2D ．－14．(2019·辽宁鞍山台安期中)下列各组数中，互为相反数的一组是( C ) A ．－2与－12 B ．－2与3－8 C ．－2与（－2）2D ．|－2|与 45．(2019·山东淄博周村区一模)实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|a －2 019|的结果正确的是( A )A ．2 019－aB ．－a －2 019C ．a －2 019D ．a ＋2 0196．(2019·山东临沂费县期中)3－10的绝对值是10－3__. 7．比较下列各组数的大小： (1)－π和－3.141 5; (2)113和2； (3)3－13和13； (4)－342和－3.4.解：(1)－π<－3.141 5.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1132＝169，(2)2＝2，169<2，∴113< 2.(3)∵3－13－13＝3－1－13＝3－23＝3－43＜0，∴3－13<13.(4)－3.4＝－339.304＞－342，即－342＜－3.4.8．(2019·河南信阳浉河区月考)已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的值对值为3，求a ＋b m－m 2－|2－cd |的值． 解：根据题意，得a ＋b ＝0，cd ＝1，m ＝±3，∴原式＝0－9－2＋1＝－8－ 2.9．(2018·宁夏中考)计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－14的结果是( C )A ．1 B.12 C ．0D ．－1 10．(2019·河南许昌禹州二模)计算：(－1)2－3－8＝__3__.11．(2019·云南昭通昭阳区期中)用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b ，都有a *b ＝b ＋1.例如8*9＝9＋1＝4，那么15*196＝__15__，m *(m *16)＝__5＋1__. 12．计算： (1)π－2＋3；(2)|2－5|＋0.9.(精确到0.01) 解：(1)原式≈3.46. (2)原式≈1.72.13．计算下列各式的值． (1)63＋23； (2)5－(5－3)；(3)(23－32)－(33－22)； (4)|－2|－(3－2)＋|3－2|.解：(1)原式＝(6＋2)3＝8 3. (2)原式＝5－5＋3＝ 3.(3)原式＝23－32－33＋22＝－3－ 2. (4)原式＝2－3＋2＋2－3＝22－23＋2.14．(2019·山东淄博月考)下列计算，正确的是( A ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2 B.⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2＝－32 C.38＝2 2D ．－5－|－5|＝015．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则a 2－|a －b |＝__－b __.16．(2019·河南安阳内黄期末)计算（－3）2－327－|3－2|－94＝__－72＋3__.17．已知||x －1＝2，则x ＝__1＋2或1－2__.18．如图，数轴上，AB ＝AC ，A ，B 两点对应的实数分别是3和－1，求点C 对应的实数．解：∵AC ＝AB ＝3＋1，∴OC ＝OA ＋AC ＝3＋3＋1＝23＋1，∴点C 对应的实数是23＋1. 19．计算：(1)(2019·湖北十堰中考)(－1)3＋|1－2|＋38； (2)3－0.125＋|3－2|－3－34＋|－3|－（－2）2；(3)||1－3－3－27＋3⎝⎛⎭⎪⎫3－13； (4)38＋4925－2(2＋2)．解：(1)原式＝－1＋2－1＋2＝ 2.(2)原式＝－0.5＋2－3－32＋3－2＝－2.(3)原式＝3－1＋3＋3－1＝3＋4.(4)原式＝2＋75－2－22＝75－2 2.20．(教材P54，探究变式)如图，直径为1的圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上与原点重合的点O到达点O′，设点O′表示的数为a.(1)求a的值；(2)求－(a－16)－π的算术平方根．解：(1)由题意，知OO′的长度等于直径为1的圆的周长，∴OO′＝π.∵点O′在原点左侧，∴a ＝－π.(2)当a＝－π时，原式＝－(－π－16)－π＝π＋16－π＝16＝4.∵4的算术平方根为2，∴－(a－16)－π的算术平方根为2.21．(2019·四川广安武胜期中)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B，若点A表示－3，设点B所表示的数为m.(1)求m的值；(2)求|m－1|＋3(m＋6)＋1的值．解：(1)m的值为－3＋3.(2)|m－1|＋3(m＋6)＋1＝|－3＋3－1|＋3×(－3＋3＋6)＋1＝2－3－3＋93＋1＝8 3.22．阅读下面的内容，并解决问题．我们定义：如果一个数的平方等于－1，记作i2＝－1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数结合在一起叫做复数，一个复数可以表示为a＋b i(a，b均为实数)的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．例如：计算(5＋i)＋(3－4i)＝(5＋3)＋(1－4)i＝8－3i.根据上述材料，解决下列问题：(1)填空：i3＝__－i__，i4＝__1__；(2)计算：(6－5i)＋(－3＋7i)；(3)计算：3(2－6i)－4(5－i)．解：(2)原式＝6－5i－3＋7i＝3＋2i.(3)原式＝6－18i－20＋4i＝－14－14i.。
七年级数学下册第六章实数6.3实数第2课时实数的运算作业课件新版新人教版
3．实数的运算： 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为 0)、乘方运算， 而且正__数__及__0可以进行开平方运算，任__意__一__个__实__数__可以进行开立方运算．
练习 3.2 5－3 5＝－____5_；－3 6＋|－3 6|＝__0_.
1．(2018·南充)下列实数中，最小的数是( A ) A．－ 2 B．0 C．1 D.3 8
2．(陕西中考)在实数－5，－ 3，0，π， 6中，最大的一个数是_π__.
3．(广东中考)已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示， 则a＋b_＞___0.(填“＞”，“＜”或“＝”)
4．(荆门中考)8 的相反数的立方根是( C )
A．2
1 B.2
C．－2
D．－12
5．(1) 5的绝对值是__5_，－ 5的绝对值是__5__； (2)绝对值等于 6的数是_±__6__.
2．实数的性质： ①实数 a 的相反数是_－__a__； ②一个正实数的绝对值是_它__本__身_， 一个负实数的绝对值是它的相__反__数__，0 的绝对值是_0__，即：
|a|＝__0a__（（aa＝＞00）），， _－__a（a＜0）.
练习 2. 5的相反数是_－___5__；|－ 7|＝__7__.
(2)|x|＝|－ 10|. 解：x＝± 10
11. 2－1 的相反数是( A ) A．1－ 2 B. 2－1 C．－ 2－1 D. 2＋1
12．(攀枝花中考)如图，实数－3，x，3，y 在数轴上的对应点分别为 M，N，P，Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是( B ) A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q
20．观察例题：∵ 4＜ 5＜ 9，即 2＜ 5＜3， ∴ 5的整数部分为 2，小数部分为 5－2. 请你观察上述规律后解决下面的问题： (1)规定用符号[m]表示实数 m 的整数部分，
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人教版七年级数学下册实数第2课时实数与数轴的关
系及实数的运算同步练习
第2课时实数与数轴的关系及实数的运算
基础训练
知识点1 实数与数轴上的点的关系
1‘和数轴上的点一一对应的数是()
A‘整数B‘有理数C‘无理数D‘实数
2‘若实数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列判断错误的是()
A‘a<0 B‘ab<0
C‘a<b D‘a,b互为倒数
3‘实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,计算|a-b|的结果为()
A‘a+b B‘a-b C‘b-a D‘-a-b
4‘在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A,B两点对应的实数分别是和-1,则点C所对应的实数是()
A‘1+B‘2+
C‘2-1 D‘2+1
5‘如图,圆的直径为1个单位长度,该圆上的点A与数轴上表示-1的点重合,将该圆沿数轴滚动1周,点A到达点A'的位置,则点A'表示的数是()
A‘π-1 B‘-π-1
C‘-π+1D‘π-1或-π-1
知识点2 实数的大小比较
6‘下列四个数中,最大的一个数是()
A‘2 B‘C‘0 D‘-2
7‘(2016·泰安)如图,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是()
A‘p B‘q C‘m D‘n
8‘若a,b为实数,下列说法中正确的是()
A‘若a>b,则a2>b2B‘若a>|b|,则a2>b2
C‘若|a|>b,则a2>b2D‘若a>0,a>b,则a2>b2
知识点3 实数的运算
9‘有一个数值转换器,原理如图所示‘当输入的x为-512时,输出的y是()
A‘-2 B‘-C‘-3D‘-3
10‘已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是()
A‘a·b>0 B‘a+b<0
C‘|a|<|b| D‘a-b>0
11‘实数a,b在数轴上对应的点的位置如图,则必有()
A‘<0 B‘ab>0
C‘a-|b|>0 D‘a+b>0
易错点1 比较大小时不注意分类讨论而出错
12‘若x>0,试比较x与的大小‘
易错点2 去绝对值符号时,常因考虑问题不全面而出错
13‘已知a为实数,化简|a+1|-|a-2|‘
提升训练
考查角度1 利用实数与数轴的关系进行化简
14‘实数a在数轴上对应的点的位置如图,化简:|a-π|+|-a|‘
15‘已知实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图,化简:-|a-b|+|c-a|+‘
考查角度2 利用实数的运算法则进行计算
16‘计算:
(1)(-3)2-+-;
(2)+-(结果精确到0‘01)‘
考查角度3 利用数轴上两点之间的距离求值
17‘如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B,再直爬向点C停止,已知点A所表示的数为-,点C所表示的数为2,设点B所表示的数为m‘
(1)求m的值;
(2)求BC的长‘
考查角度4 利用实数与绝对值的非负性解决方程问题
18‘已知a,b满足+|b-|=0,解关于x的方程(a+2)x+b2=a-1‘
探究培优
拔尖角度1 利用实数的运算设计方案(数形结合思想)
19‘用长48 m的篱笆,在空地上围成一块场地,现有两种设计方案:一种是围成正方形,另一种是围成圆形‘试问选用哪种方案围成的场地面积大,并说明理由‘
拔尖角度2 利用实数解决相关问题
20‘如图,每个小正方形的边长均为1‘
(1)图中阴影部分的面积是多少?它的边长是多少?
(2)估计阴影部分的边长在哪两个整数之间?
参考答案
1‘【答案】D2‘【答案】D3‘【答案】C
4‘【答案】D
解：由题图可知:点A与点B的距离为-(-1)=+1,而点C与点B关于点A对称,故点A与点C的距离也为+1,所以点C 所表示的实数为+1+=2+1‘故选D‘
5‘【答案】D6‘【答案】A7‘【答案】A
8‘【答案】B
9‘【答案】D
解：由题图可知输入x=-512,先开立方得-8,-8为有理数,返回继续开立方得-2,-2为有理数,再返回继续开立方得=-,-为无理数,符合输出条件,所以y=-‘
10‘【答案】D11‘【答案】A
12‘解:当0<x<1时,x<;
当x=1时,x=;
当x>1时,x>‘
分析：此题在比较大小时,对x的取值范围需分情况讨论‘本题易不分类或分类不全而出错‘
13‘解:当|a+1|=0时,a=-1‘
当|a-2|=0时,a=2‘
因为a为实数,所以需分以下三种情况进行讨论:
当a≤-1时,原式=-(a+1)-[-(a-2)]=-3;
当-1<a<2时,原式=a+1-[-(a-2)]=2a-1;
当a≥2时,原式=a+1-(a-2)=3‘
分析：本题易错之处在于对a的取值范围考虑不全面,不能正确分类,从而导致漏解‘
14‘解:由数轴可知2<a<3,因为π>3,<2,所以|a-π|+|-a|=π-a+a-=π-‘
15‘解:由数轴可知a<b<0<c‘
所以a<0,a-b<0,c-a>0,b-a>0,
所以原式=|a|-[-(a-b)]+c-a+|b-a|
=-a+(a-b)+c-a+b-a
=c-2a‘
16‘解:(1)原式=9-+-3=6‘
(2)原式≈×1‘732+×1‘414-×2‘236=1‘125 8≈1‘13‘
17‘解:(1)m-(-)=2,所以m=2-‘
(2)BC=|2-(2-)|=|2-2+|=‘
18‘解:由+|b-|=0,可知2a+8=0,b-=0,即a=-4,b=
‘代入方程得-2x+3=-5,解得x=4‘
19‘解:围成圆形场地的面积大‘理由如下:
设围成的正方形场地的边长为a m,则4a=48,解得a=12‘所以围成的正方形场地的面积为a2=144(m2)‘
设围成的圆形场地的半径为r m,则2πr=48,解得r=‘
所以围成的圆形场地的面积为πr2=π·=≈183‘4(m2)‘因为183‘4>144,所以围成圆形场地的面积大‘
解：当数的范围从有理数扩充到实数后,现实生活中原来许多用
有理数无法描述和解决的问题便能得到很好地解决了‘
20‘解:(1)阴影部分的面积是16-4××3×1=10,它的边长是‘(2)因为<<,即3<<4,所以阴影部分的边长在3与4之间‘。