一次函数面积知识点
一次函数知识点总结
一次函数知识点总结篇1：一次函数知识点总结一次函数知识点总结一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点p(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=o时，直线通过原点o(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点a(x1，y1);b(x2，y2)，请确定过点a、b的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点p(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
考点10一次函数(解析版)
第四章一次函数考点类型大总结【知识点及考点类型梳理】一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数. 3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k<0图象经过第二、四象限y随x的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-bk，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四3.k ，b 的符号与直线y =kx +b （k ≠0）的关系在直线y =kx +b （k ≠0）中，令y =0，则x =-b k ，即直线y =kx +b 与x 轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k ，b 异号时，直线与x 轴交于正半轴．②当–bk=0，即b =0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k ，b 同号时，直线与x 轴交于负半轴．4.两直线y =k 1x +b 1（k 1≠0）与y =k 2x +b 2（k 2≠0）的位置关系：①当k 1=k 2，b 1≠b 2，两直线平行；②当k 1=k 2，b 1=b 2，两直线重合；③当k 1≠k 2，b 1=b 2，两直线交于y 轴上一点；④当k 1·k 2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y =kx （k ≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k ．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．五、一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．六、一次函数与方程（组）、不等式1．一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．2．一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．3．一次函数与二元一次方程组一般地，二元一次方程mx +ny =p （m ，n ，p 是常数，且m ≠0，n ≠0）都能写成y =ax +b （a ，b 为常数，且a ≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．七、一次函数图象与图形面积解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．考点类型一、一次函数与正比例函数的定义1.在下列函数中：①8y x =-；②312y x =+；③1y =；④285y x =-+；⑤0.51y x =--，一次函数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】一般地，形如y =kx +b （k ≠0，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数，据此进行判断即可．【详解】解：①8y x =-属于一次函数；②312y x =+属于一次函数；③1y =不属于一次函数；④285y x =-+属于二次函数；⑤0.51y x =--属于一次函数；∴一次函数有3个，故选：C ．2.下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是（）A ．汽车以80km/h 的速度匀速行驶，行驶路程(km)y 与行驶时间(h)x 之间的关系B ．圆的面积()2cm y 与它的半径(cm)x 之间的关系C ．某水池有水315m ，现打开进水管进水，进水速度35m /h ，h x 后水池有水3m yD ．有一个边长为x 的正方体，则它的表面积S 与边长x 之间的函数关系【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可求解【详解】选项A:y=80x,属于正比例函数，两个变量之间成正比例函数关系，符合题意;选项B:2y x π=属于二次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意;选项C:y=15+5x ，属于一次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意;选项D:S=6x 2，属于二次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意;故选:A 【点睛】本题考查正比例函数的定义，正确理解正比例函数的定义是关键3.在①8y x =-；②8y x=-；③1y =；④286y x =-+；⑤0.51y x =--，一次函数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】一般地，形如y =kx +b （k ≠0，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数，据此进行判断即可．【详解】解：①y =-8x 属于一次函数；②y =8x-属于反比例函数；③y不属于一次函数；④y =-8x 2+6属于二次函数；⑤y =-0.5x -1属于一次函数，∴一次函数有2个，故选：B ．举一反三4.下列函数中是一次函数的是（）A ．y ＝2x B ．2y x=C ．y ＝x 2D ．y ＝kx +b （k ，b 为常数）【答案】A 【分析】利用一次函数定义进行解答即可．【详解】解：A 、y ＝2x是一次函数，故此选项符合题意；B 、y ＝2x是反比例函数，不是一次函数，故此选项不合题意；C 、y ＝x 2是二次函数，故此选项不符合题意；D 、当k ＝0时，y ＝kx +b （k ，b 为常数）不是一次函数，故此选项不合题意；故选：A ．5.下列函数是正比例函数的是（）A ．2x y =B ．2y x=C ．2y x =D ．2(1)y x =+【答案】A 【分析】根据用x 表示成y 的函数后，若符合()0y kx k =≠的形式，是正比例函数解答即可．【详解】A 、2xy =是正比例函数；B 、2y x=是反比例函数；C 、2y x =是二次函数；D 、()21y x =+是一次函数．故选：A ．考点类型二、一次函数的图像6.函数2y x =-的图象经过的象限是（）A ．第一，二，三象限B ．第一，二，四象限C ．第一，三，四象限D ．第二，三，四象限【答案】C【分析】根据一次函数k=1＞0，b=-2＜0，即可得到答案．【详解】y x=-中，k=1＞0，b=-2＜0，解：∵函数2y x=-的图象经过的象限是：第一，三，四象限，∴2故选C．【点睛】本题主要考查一次函数图像所经过的象限，掌握一次函数图像与一次函数中的系数k，b的关系，是解题的关键．7.若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而减小，则（）A．k＜2B．k＞2C．k＜0D．k＞0【答案】A【分析】根据一次函数的性质，可得答案．【详解】解：由题意，得k-2＜0，解得k＜2，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的性质，y=kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x 的增大而减小．8.若一次函数的y＝kx+b（k＜0）图象上有两点A（﹣2，y1）、B（1，y2），则下列y大小关系正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【答案】B【分析】首先观察一次函数的x项的系数，当x项的系数大于0，则一次函数随着x的增大而增大，当x小于0，则一次函数随着x的减小而增大．因此只需要比较A、B点的横坐标即可．【详解】解：根据一次函数的解析式y ＝kx +b （k <0）可得此一次函数随着x 的增大而减小因为A （﹣2，y 1）、B （1，y 2），根据-2<1，可得12y y >故选B ．9.已知直线32y x b =-+经过点A (1m ，-2)，B (2m ，-1)两点，则1m ______2m 【答案】＞【分析】根据一次函数增减性可得，k ＜0，y 随x 的增大而减小，k ＞0，y 随x 的增大而增大即可判断得出答案.【详解】解：∵直线的解析式为32y x b=-+∴k ＜0∴y 随x 的增大而减小∵直线32y x b =-+经过点A (1m ，-2)，B (2m ，-1)两点，21-<-∴12m m >故答案为：>.10.在一次函数23y x =-+中，当05x ≤≤时，y 的最小值为________．【答案】-7【分析】根据一次函数的性质得y 随x 的增大而减小，则当x =5时，y 有最小值，然后计算x =-5时的函数值即可．【详解】解：∵k =-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x =5时，y 有最小值，把x =5代入y =-2x +3得y =-10+3=-7．故答案为：-7．11.关于一次函数y ＝﹣2x +4，下列结论正确的是（）A ．图象过点（0，-2）B ．图象经过一、三、四象限C．y随x的增大而增大D．图象与x轴交于点（2，0）【答案】D【分析】根据一次函数的性质对各项进行逐一判断即可．【详解】A、当x=0时，y=4，过点（0，4），故A选项错误；B、因为k=-2<0，图象经过第一、二、四象限，故B错误；C、因为k=-2<0，y随x的增大而减小，故C错误；D、当y=0时，x=2，即图象与x轴交于点（2，0），故D正确．故选：D12.下图中表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝nx（m，n是常数，且mn＜0）图象的是（）A．B．C．D．【答案】B解：A、根据图中正比例函数y＝nx的图象知，n＜0；∵m，n是常数，且mn＜0，∴m＞0，∴一次函数y ＝mx+n的图象经过第一、三、四象限；故本选项错误；B、根据图中正比例函数y＝nx的图象知，n＞0；∵m，n是常数，且mn＜0，∴m＜0，∴一次函数y＝mx+n 的图象经过第一、二、四象限；故本选项正确；C、根据图中正比例函数y＝nx的图象知，n＜0；∵m，n是常数，且mn＜0，∴m＞0，∴一次函数y＝mx+n 的图象经过第一、三、四象限；故本选项错误；D、根据图中正比例函数y＝nx的图象知，n＞0；∵m，n是常数，且mn＜0，∴m＜0，∴一次函数y＝mx+n 的图象经过第一、二、四象限；故本选项错误；故选：B ．【点睛】本题综合考查了正比例函数、一次函数图象与系数的关系．解题的关键是掌握一次函数(0)y kx b k =+≠的图象有四种情况：①当0k >，0b >，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限；②当0k >，0b <，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限；③当0k <，0b >时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限；④当0k <，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．13.一次函数52y x =-的图象过点()11,x y ，()()12131,,2,x y x y ++，则（）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<【答案】A 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x 1＜x 1＋1＜x 1＋2即可得出结论．【详解】解：∵一次函数52y x =-中，k ＝5＞0，∴y 随着x 的增大而增大．∵一次函数52y x =-的图象过点()11,x y ，()()12131,,2,x y x y ++，且x 1＜x 1＋1＜x 1＋2，∴123y y y ＜＜，故选：A ．14.若直线y ＝kx ＋b 不经过第一象限，则（）A ．k ＞0，b ＜0B ．k ＜0，b ≤0C ．k ＜0，b ≥0D ．k ＜0，b ＞0【答案】B 【分析】由题意，结合一次函数图象特点，直线必过第二、三、四象限或经过原点和第二、四象限，由此讨论求解即可．【详解】解：由直线y kx b =+不经过第一象限，可分两种情况：当直线经过第二、三、四象限时，∵直线必过第二、四象限，∴k ＜0，∵直线还经过第三象限，即直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴b ＜0；当直线经过原点和第二、四象限时，k ＜0，b =0，综上，k ＜0，b ≤0，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象在直角坐标系中的位置与系数k 、b 的关系是解答的关键．15.将直线23y x =-向上平移2个单位长度，所得的直线解析式为________．【答案】y =2x -1【分析】根据k 值不变，b 值加2可得出答案．【详解】解：平移后的解析式为：y =2x -3+2=2x -1．故答案为：y =2x -1．【点睛】本题考查的是关于一次函数的图象与它平移后图象的变换的题目，在解题过程中只要抓住平移后直线方程的斜率不变这一性质，就能很容易解答了．16.在平面直角坐标系中，要得到函数y ＝2x ﹣1的图象，只需要将函数y ＝2x 的图象（）A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位【答案】B【分析】根据“上加下减”的原则写出新直线解析式．【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数2y x =的图象向下平移1个单位长度所得函数的解析式为21y x =-．故选：B ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．17.点P （a ，b ）在函数3y x =的图象上，则代数式622021a b -+的值等于_________．【答案】2021.【分析】把点P 的坐标代入一次函数解析式，得出3b a =，将3b a =代入622021a b -+中计算即可．【详解】解：∵点P （a ，b ）在函数3y x =的图象上，∴3b a =，∴62202162320212021a b a a -+=-+= 故答案为：2021．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键．18.已知函数y 1＝（m +1）x ﹣m 2+1（m 是常数）．（1）m 为何值时，y 1随x 的增大而减小；（2）m 满足什么条件时，该函数是正比例函数？（3）若该函数的图象与另一个函数y 2＝x +n （n 是常数）的图象相交于点（m ，3），求这两个函数的图象与y 轴围成的三角形的面积．【答案】（1）m ＜﹣1；（2）m ＝1；（3）4【分析】（1）根据题意10+<m ，解得即可；（2）根据正比例函数的定义得到10m +≠，210m -+＝，解得1m =；（3）由函数()2111y m x m =+-+经过点(),3m 求得2m =，得到交点为()2,3，根据交点坐标求得函数1y 的解析式，即可求得与y 轴的交点坐标，把交点坐标代入2y x n =+，求得解析式，即可求得与y 轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得两个函数的图象与y 轴围成的三角形的面积．【详解】解：（1）由题意：10+<m ，1m ∴<-，即1m <-时，1y 随x 的增大而减小；（2）若该函数是正比例数，则10m +≠，210m -+=，1m ∴=，即1m =时，该函数是正比例数；（3） 两个的图象相交于点(),3m ，()2113m m m ∴+-+=，2m ∴=，∴交点坐标为()2,3，∴该点到y 轴的距离为2，将2m =代入()2111y m x m =+-+，得：133y x =-，将交点坐标()2,3代入2y x n =+，得：1n =，21y x ∴=+，∴两个函数图象与y 轴的交点坐标分别为()0,3-和()0,1，∴所围成的三角形的面积为：()13224--⨯÷=⎡⎤⎣⎦．【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的定义，一次函数图象与系数的关系，三角形的面积等，熟练掌握一次函数的性质以及求得交点坐标是解题的关键．考点类型三、求一次函数表达式19.已知3y +与x 成正比例，且2x =时，1y =．求y 关于x 的函数表达式；【答案】y 关于x 的函数表达式为23y x =-．【分析】设3y kx +=（0k ≠），再把2x =，1y =代入求出y 关于x 的关系式即可．【详解】设3y kx +=（k 是常数且0k ≠），把2x =，1y =代入，得132k +=，解得2k =，所以32y x +=，所以y 关于x 的函数表达式为23y x =-．【点睛】本题考查正比例函数的定义，根据题意求出k 的值是解题的关键．20.已知y ﹣2与x ＋1成正比例，且x ＝2时，y ＝8（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x ＝﹣4时，求y 的值．【答案】（1）y ＝2x ＋4，（2）-4【分析】（1）设y ﹣2＝k （x ＋1）（k 为常数，k≠0），把x ＝2，y ＝8代入求出k 即可；（2）把x ＝﹣4代入y ＝2x ＋4计算即可求出答案．【详解】解：（1）∵y ﹣2与x ＋1成正比例，∴设y ﹣2＝k （x ＋1）（k 为常数，k≠0），把x ＝2，y ＝8代入得：8﹣2＝k （2＋1），解得：k ＝2，即y ﹣2＝2（x ＋1），即y ＝2x ＋4，∴y 与x 之间的函数关系式是y ＝2x ＋4；（2）当x ＝﹣4时，y ＝2×（﹣4）＋4＝﹣4．21.某物流公司引进A 、B 两种机器人用来搬运某种货物．这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B 种机器人也开始搬运，如图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量y A （千克）与时间x （时）的函数图象，线段EF 表示B 种机器人的搬运量y B （千克）与时间x （时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）P 点的含义是；（2）求y B 关于x 的函数解析式；（3）如果A 、B 两种机器人连续运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了多少千克？【答案】（1）A 种机器人搬运3小时时，A 、B 两种机器人的搬运量相等，且都为180千克；（2）y ＝90x ﹣90（1≤x ≤6）；（3）如果A 、B 两种机器人连续运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克【分析】（1）观察函数图象，根据点P 为线段OG 、EF 的交点结合题意即可找出点P 的含义；（2）根据点E 、P 的坐标利用待定系数法即可求出y B 关于x 的函数解析式；（3）根据工作总量＝工作效率×工作时间，分别求出A 、B 两种机器人连续运5小时的云货量，二者做差即可得出结论．【详解】解：（1）P 点的含义是：A 种机器人搬运3小时时，A 、B 两种机器人的搬运量相等，且都为180千克．故答案为：A 种机器人搬运3小时时，A 、B 两种机器人的搬运量相等，且都为180千克．（2）设y B 关于x 的函数解析式为y B ＝kx +b ，将（1，0）、（3，180）代入y B ＝kx +b ，03180k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：9090k b =⎧⎨=-⎩，∴y B 关于x 的函数解析式为y ＝90x ﹣90（1≤x ≤6）．（3）连续工作5小时，A 种机器人的搬运量为（180÷3）×5＝300（千克），连续工作5小时，B 种机器人的搬运量为[180÷（3﹣1）]×5＝450（千克），B 种机器人比A 种机器人多搬运了450﹣300＝150（千克）．答：如果A 、B 两种机器人连续运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克．22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且经过点()2,6D -，与正比例函数3y x =的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1.（1）求一次函数y kx b =+的解析式（2）求BOC 的面积【答案】（1）4y x =-+；（2）2【分析】（1）求出点C 的坐标，将,C D 坐标代入到y kx b =+中，求出即可；（2）求出点B 的坐标，根据三角形的面积公式即可求出；【详解】解：（1）当1x =时，3y =设直线y kx b =+过()()1,32,6-，∴623k b k b=-+⎧⎨=+⎩解得：14k b =-⎧⎨=⎩∴函数解析式为4y x =-+（2）当0x =时，4y =∴14122BOC S =⨯⨯= 考点类型四、一次函数与一元一次方程23.画出函数33y x =-+的图象，根据图象回答下列问题：求方程330x -+=的解【答案】图像见详解；1x =．【分析】利用两点法画出函数的图象，然后令0y =，即直线与x 轴的交点的横坐标就是方程330x -+=的解．【详解】解：∵函数33y x =-+，令0y =，则1x =；令0x =，则3y =，33y x =-+的图像如图所示：由图可知，方程330x -+=的解是1x =；【点睛】本题考查了画一次函数的图像，由图像求一元一次方程的解，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题．考点类型五、一次函数的综合24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数6y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，与正比例函数12y x =的图象交于点A ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求OAC 的面积；（3）若动点M 在射线AC 上运动，当OMC 的面积是OAC 的面积的12时，求出此时点M 的坐标．【答案】（1）()4,2A ，()6,0B ，()0,6C ；（2）12；（3）()2,4或()2,8-．【分析】（1）在一次函数6y x =-+中，分别令0y =，0x =，即可求出B 、C 的坐标，再联立一次函数和正比例函数即可求出交点A 的坐标；（2）利用（1）中，找到OC ，A x 的长即可求出OAC 的面积；（3）根据OMC 的面积是OAC 的面积的12时，求出M 的横坐标，再分情况讨论即可找到M 的坐标．【详解】解：（1）∵一次函数6y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，∴令0x =，则6y =，故()0,6C ，令0y =，则6x =，故()6,0B ，而A 为一次函数6y x =-+和正比例函数12y x =图象的交点，联立方程得：612y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：42x y =⎧⎨=⎩，∴A 的坐标为()4,2．故答案为：()4,2A ，()6,0B ，()0,6C ．（2）由（1）可知：6OC =，4A x =，∴12OAC A S OC x =⨯⨯△164122=⨯⨯=．故答案为：12．（3）由题意得：12OMC OAC S S =△△11262=⨯=，而116622OMC M M S OC x x =⨯⨯=⨯⨯=△∴2M x =|，∴2M x =±，分情况讨论：①当2M x =时，6264y x =-+=-+=，故此时M 点的坐标为()2,4，②若2M x =-时，6268y x =-+=+=，故此时M 点的坐标为()2,8-，综上，M 点的坐标为()2,4或()2,8-；故答案为：()2,4或()2,8-．25.如图，直线l 分别与x 轴，y 轴相交于点A （5，0），B （0，4），点E （2.5，m ）在l 上，直线y ＝kx +b经过点E ，并与x 轴相交于点F ．若EF 将△AOB 分割为左右两部分，且四边形OFEB 与△FEA 的面积之比为3：2，则线段OF 的长为（）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【答案】B【分析】利用待定系数法求直线AB 的解析式，然后根据一次函数图象上点的坐标特点求得E 点坐标，从而确定点E 为AB 的中点，从而结合三角形面积比计算求解．【详解】解：设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(5,0)A ，(0,4)B 代入，504k b b +=⎧⎨=⎩，解得：454k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为：4y x 45=-+，又 点(2.5,)E m 在AB 上，4 2.5425m ∴=-⨯+=，E ∴点坐标为(2.5,2)，又 50 2.52+=，0422+=，∴点E 是线段AB 的中点，FEA FEB S S ∆∆∴=，又 四边形OFEB 与FEA ∆的面积之比为3:2，FBA S ∆∴与AOB S ∆的面积之比为4:5，∴45 AF OA=4 AF∴=，1OF OA AF∴=-=，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式的步骤，理解一次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．26.如图，已知一次函数y＝12x＋3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．点C（4，n）在该函数的图象上，连接OC．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）求△OAC的面积．【答案】（1）A（﹣6，0），B（0，3）；（2）15【分析】（1）根据一次函数y＝12x＋3，分别令x=0，y=0即可求出A，B的坐标；（2）根据点C（4，n）在该函数的图象上，将之代入一次函数解析式求出C点的坐标，根据三角形的面积公式即可求得三角形面积．【详解】解：（1）∵一次函数y＝12x＋3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，令x=0，则y=3，令y=0，则x=-6，∴A（﹣6，0），B（0，3）；（2）把点C （4，n ）代入y ＝12x ＋3得14352n =⨯+=，∴点C 的坐标为（4，5），∴11651522AOC C S OA y ∆=⨯⨯=⨯=．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．27.如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点E 、点F ，点E 的坐标为()8,0-，点A 的坐标为()6,0-．（1）求一次函数的解析式；（2）若点(),P x y 是线段EF （不与点E 、F 重合）上的一点，试写出OPA ∆的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下探究：当点P 在什么位置时，OPA ∆的面积为278，并说明理由．【答案】（1）364y x =+；（2）9184s x =+；80x -<<；（3）当P 的坐标为139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA ∆的面积为278，见解析【分析】（1）把点E 的坐标为（-8，0）代入6y kx =+求出k 即可解决问题；（2）△OPA 是以OA 长度6为底边，P 点的纵坐标为高的三角形，根据1••2PAO y S OA P =，列出函数关系式即可；（3）利用（2）的结论，列出方程即可解决问题；【详解】解：（1）把()8,0E -代入6y kx =+中有086k =-+∴34k =∴一次函数解析式为364y x =+（2）如图：∵OPA ∆是以OA 为底边，P 点的纵坐标为高的三角形∵()6,0A -∴6OA =∴1139666182244s y x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯+=+ ⎪⎝⎭自变量x 的取值范围：80x -<<（3）当OPA ∆的面积为278时，有9271848x +=解得132x =-把132x =-代入一次函数364y x =+中，得98y =∴当P 的坐标为139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA ∆的面积为27828.如图，直线AB 的解析式为2y x =+，直线AC 的解析式为4y x =-+，两条直线交于点A ，且分别与x 轴交于点B 、点C ．（1）求ABC 的面积；（2）点D 为线段AC 上一点，连接BD ，若BD =D 的坐标．【答案】（1）9ABC S = ；（2）()3,1D ．【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，联立两直线解析式求交点坐标()1,3A ，可得3AE =，再求直线与x 轴两交点坐标()2,0B -，()4,0C ，可求()426BC =--=，利用三角形面积公式求即可；（2）过点D 作DF x ⊥轴于点F ，设点D 的横坐标为m ，(),4D m m -+，根据勾股定理222BD DF BF =+，即()()22242m m =-+++解方程即可．【详解】解：（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，由题意联立方程组24y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得：13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3A ，∴3AE =.当0y =时，20x +=，∴2x =-，∴()2,0B -，当0y =时，40x -+=，∴4x =，∴()4,0C ，∴()426BC =--=，∴1163922ABC S BC AE =⋅=⨯⨯=△；（2）过点D 作DF x ⊥轴于点F ，设点D 的横坐标为m ，∵点D 在直线AC 上，∴4y m =-+，∴(),4D m m -+，∴4DF m =-+，∴()22BF m m =--=+，在Rt DBF △中，90DFB ∠=︒，根据勾股定理222BD DF BF =+，∴()()22242m m =-+++，整理得2230m m --=，解得：13m =，21m =-（不合题意，舍去），∴()3,1D ．29.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 各顶点的坐标分别为A （1，﹣1），B （2，﹣3），C （4，﹣3），D（3，﹣1），若直线y ＝﹣3x +b 与▱ABCD 有交点，则b 的取值范围是（）A ．3≤b ≤8B ．2≤b ≤8C ．2≤b ≤9D ．﹣3≤b ≤9【答案】C【分析】根据A 、B 的坐标求出直线AB 的解析式，然后与直线3y x b =-+进行比较k 的值，最后进行分析计算即可得到答案.【详解】解:设直线AB 解析式为y mx n=+∵A 点坐标为（1，-1），B 点的坐标为（2，-3）∴132m n m n-=+⎧⎨-=+⎩∴解得21m n =-⎧⎨=⎩∴直线AB 解析式为21y x =-+∵23->-∴直线3y x b =-+的倾斜程度比直线21y x =-+的倾斜程度更厉害即为下图所示的情况时，直线3y x b =-+与平行四边ABCD 有交点当直线3y x b =-+经过A （1，-1）时∴1131b -=-⨯+，解得12b =当直线3y x b =-+经过C （4，-3）时∴2334b -=-⨯+，解得29b =综上所述29b ≤≤故选C.【点睛】本题主要考查了一次函数图像与图形的交点问题，解题的关键在于能够找到临界直线进行求解计算.30.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点30A （，），点04B （，），点D 在y 轴的负半轴上，若将DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）直接写出结果：线段AB 的长__________，点C 的坐标__________；（2）求直线CD 的函数表达式；（3）点P 在直线CD 上，使得2PAC OAB S S = ，求点P 的坐标．【答案】（1）5AB =，()80，C ；（2）直线CD 的函数表达式为364y x =-；（3）P 点坐标为7224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或824,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）运用勾股定理即可求出线段AB 的长；根据折叠得AC AB =，可得点C 的坐标；（2）设点D 的坐标为：()0,m ，而CD BD =，根据222OC OD CD +=，即可求出点D 的坐标，运用待定系数法设直线CD 的表达式为y kx b =+，将点C 、点D 代入即可求出答案；（3））设ACP △边AC 上的高为h ，根据2PAC OAB S S = ，求出h ，即可知道点P 的纵坐标，最后代入直线CD 的函数表示式中，即可求出答案．【详解】解：（1）()3,0A ，()0,4B ，3OA ∴=,4OB =，90AOB ∠=︒Q ，5AB ∴==；由折叠得：5AC AB ==，358OC OA AC ∴=+=+=，∴点C 的坐标为()8,0；故答案为：5AB =，80C （，）；（2）设点()0,D m ，则OD m =-，由折叠可知，4CD BD m ==-，在Rt OCD △中，222=+CD OD OC ，()222(4)8m m ∴-=-+，解得：6m =-，0,6D ∴-（），设直线CD 的函数表达式为y kx b =+，将()8,0C 、0,6D -（）代入，得806k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，34k =，6b =-，∴直线CD 的函数表达式为364y x =-．（3）设ACP △边AC 上的高为h ，则1134622OAB S OA OB =⋅⋅=⨯⨯= ，1522PAC S AC h h =⋅⋅= ，且2PAC OAB S S = ，245h ∴=，因此点P的纵坐标为245或245-，当245y=时，即324645x-=，解得725x=；当245y=-时，即324645x-=-，解得85x=，因此，点P坐标为7224,55⎛⎫⎪⎝⎭或824,55⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，三角形面积公式等．课后巩固1．一次函数y＝﹣3x﹣2的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】k＜0，函数一定经过第二，四象限，b＜0，直线与y轴交于负半轴，所以函数图象过第三象限，所以函数图象不过第一象限．【详解】解：∵k＝﹣3＜0，b＝﹣2＜0，∴函数的图象不经过第一象限，故选：A．2．一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点A（2，y1），B（﹣1，y2），则y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定【答案】A【分析】在y=kx+b中，当k＜0时，y随x的增大而减小，当k＞0时，y随x的增大而增大；利用一次函数的增减性进行判断即可．【详解】解：在一次函数y=-2x+b中，。
一次函数知识点总结9篇
一次函数知识点总结9篇第1篇示例：一次函数是初中阶段数学学习的重要内容之一。
它是一种最简单的线性函数，也是数学中最基础的函数之一。
一次函数的定义是形如y=kx+b的函数，其中x为自变量，y为因变量，k和b为常数，且k≠0。
一次函数的图象是一条直线，因此也被称为线性函数。
下面将从定义、性质、图象、应用等几个方面，对一次函数进行总结。
一、定义：一次函数y=kx+b是一种形式简单的线性函数，其中k 和b是常数且k≠0。
其中k称为斜率，b称为截距。
斜率代表了函数图象的倾斜程度，正数表示向上倾斜，负数表示向下倾斜；截距表示了函数与y轴的交点位置，即当x=0时，函数值为b。
一次函数的自变量x的最高次数为1。
三、图象：一次函数的图象是一条直线，因此也称为线性函数。
直线的斜率决定了图象的倾斜方向，截距决定了图象与y轴的交点位置。
当斜率为正时，图象右上倾斜；当斜率为负时，图象右下倾斜。
当截距为正时，图象在y轴上方；当截距为负时，图象在y轴下方。
四、应用：一次函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如工资和工作时间的关系，距离和时间的关系等等都可以用一次函数来表示。
在经济学中，一次函数也有着重要的应用，如成本和产量的关系、供求关系等。
一次函数的应用范围十分广泛，在生活中随处可见。
一次函数是数学中最基础的函数之一，了解一次函数的性质和图象能够帮助我们更好地理解和应用各种函数。
在学习数学中，学好一次函数是至关重要的一步，也为后续学习更高阶函数和解决实际问题打下了坚实基础。
希望通过本文的总结，能够对一次函数有更深入的了解和应用。
第2篇示例：一次函数是初中数学中的一个基础知识点，也是数学学习的入门部分。
对于学生来说，掌握一次函数的相关知识，不仅可以帮助他们更好地理解数学知识，更可以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
接下来我们就来总结一下一次函数的相关知识点。
一、定义：在数学中，一次函数是指一个函数，其定义域是实数集合，且函数表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为实数，且k不等于零。
数学一次函数的知识点整理
数学一次函数的知识点整理数学一次函数的知识点整理在平日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。
哪些才是我们真正需要的知识点呢？以下是店铺收集整理的数学一次函数的知识点整理，欢迎阅读与收藏。
接下来就由店铺带来数学一次函数的知识点整理，希望对你有所帮助！知识要领：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
一次函数一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。
二、函数的概念三、函数中自变量取值范围的求法：(1)用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
(2)用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
(3)用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
(4)若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
(5)对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.五、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
)注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：(按照横坐标由小到大的顺序把所描的'各点用平滑的曲线连接起来)。
知识点总结：函数有三种表示形式(1)列表法(2)图像法(3)解析式法平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
北师大版八年级数学上册4.3一次函数图象与面积问题优秀教学案例
1.引导学生对自己在学习过程中的思考、方法、结果进行反思，培养学生自我评价的能力。
2.组织学生进行小组内、小组间的评价，让学生在评价中相互学习、共同进步。
3.教师要关注学生的学习过程，从多维度、多角度评价学生的学习成果，给予肯定和鼓励。
4.引导学生将所学知识与实际生活相结合，进行拓展应用，提高学生的数学素养。
2.讲解一次函数图象与面积问题的解决方法，如利用图象交点、解析几何方法等。
3.通过例题演示，让学生跟随教师一起解决一次函数图象与面积问题，活中的应用价值。
（三）学生小组讨论
1.设计具有探究性、挑战性的问题，让学生在小组内进行讨论交流。
针对这一问题，我设计了本节课的教学案例，旨在通过引导学生观察、思考、探究，使他们在解决实际问题的过程中，体会一次函数图象与面积问题的联系，提高解决问题的能力。教学案例围绕一个实际问题展开，让学生在解决问题的过程中，自然而然地涉及到一次函数图象与面积问题的知识点。通过案例的引导，使学生能够将所学知识与实际问题紧密结合，提高他们的数学应用能力。
2.鼓励每个小组成员积极发表自己的观点，共同探讨问题的解法。
3.教师在讨论过程中，关注每个小组的学习进展，及时给予指导和鼓励。
（四）总结归纳
1.让学生用自己的语言总结一次函数图象与面积问题的解法及注意事项。
2.教师对学生的总结进行点评，纠正错误，完善归纳。
3.引导学生将所学知识进行整合，形成体系，提高学生的数学素养。
4.教师在问题导向过程中，要善于启发、点拨，引导学生发现规律，归纳总结。
（三）小组合作
1.合理划分学习小组，培养学生团队合作、互助学习的意识。
2.设计具有探究性、挑战性的学习任务，激发学生合作学习的动力。
一次函数知识点
一次函数一、本章知识框架知识点1：函数的概念 知识点2：一次函数的意义知识点3：求一次函数的解析式 知识点4：一次函数的图象及其性质 知识点5、平移 知识点6：函数图象的应用 知识点7：交点问题及直线围成的面积问题 二、具体内容 知识点1：函数的概念1、概念a. 常量与变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量为常量b. 函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。
c 、函数的三种表示方法：列表法、图像法和解析法 d 、求自变量的取值范围函数自变量取值范围的几种确定方法：(1)自变量以整式形式出现，取值范围为全体实数； (2)自变量以分式形式出现，取值范围为使分母不为零的数；(3)自变量以偶次方根形式出现，取值范围为使被开方数为非负数的数；自变量以奇次方根形式出现，取值范围为全体实数；(4)自变量以零次幂形式出现，取值范围为使底数不为零的数。
(5)另实际问题中，除符合以上情况外还得符合实际意义。
2、例题例1、某市出租车起步价是7元（路程小于或等于3千米），超过3千米每增加1千米加收1.2元，出租车车费y （元）与路程x （千米）之间的函数关系式为 1.2(3)7(3)y x x =-+≥，此时出租车车费y 可以看成是路程x 的函数吗？ 例2、 如图是若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边有n （n ＞1）盆花，每个图案花盆的总数是S ，（1）问：当n=15时，s 的值是多少？s 可以看成n 的函数吗？ （1） 请写出s 与n 的关系式 例3、 求以下函数自变量的取值范围（1）①y = x 2-1 ②y = 3x -2 ③ y =-5x（2）①y= 2x -②y=21x + ③ y = 211x - （3）①y=2x - ②y=41x + ③ y= 31x - ④ y = 11x - ⑤ y=21x + （4）①y= ()02x - ② y=()311x -+-例4、一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q （升）与行驶路程s （千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。
一次函数及其图像知识点总结
第一节：函数一、知识归纳函数的概念一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y 是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
函数的三种表达式：（1）图象；（2）表格；（3）关系式。
要使函数的解析式有意义。
函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。
④函数的解析式是三次根式时，自变量的取值应是一切实数。
（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。
4 常见函数关系式几何物理生活二、经典题型题型考点一求简单的函数关系式，识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。
例1.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水300吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。
⑴写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式：①用水量小于等于3000吨；②用水量大于3000吨。
⑵某月该单位用水3200吨，水费是元；若用水2800吨，水费元。
⑶若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？参考答案：(1)y=0.5 x 、y=1500＋0.8(x－3000)(2)1660 1400(3) 3050例2.函数是研究( )A．常量之间的对应关系的B．常量与变量之间的对应关系的C．变量与常量之间对应关系的Ｄ．变量之间的对应关系的题型考点二确定函数的自变量取值范围，例1 ．（2010四川凉山）在函数121xyx+=-中，自变量x的取值范围是____题型考点三能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数图像例1、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用了1小时爬了2千米，休息0.5小时后，又用了1小时爬上了山顶。
游客爬山所用时间t与登山高度h间的函数关系用图形表示是（）第二节一次函数一、知识归纳知识点一：一次函数的定义函数y=______(k、b为常数，k_____,自变量x的次数是U__ _U次)叫做一次函数.知识点二：正比例函数的定义当b_____时，函数y=_____ (k______,比例系数U____)叫做正比例函数.知识点三：一次函数与正比例函数的异同（1）一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）。
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
初中数学一次函数知识点总结
初中数学一次函数知识点总结一次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本知识点主要考查一次函数的图象、性质及应用，这些知识能考查考生综合能力、解决实际问题的能力.下面是小编为大家整理的关于初中数学一次函数知识点，希望对您有所帮助!初中数学一次函数知识点一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。
当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。
1.一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式。
2.当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数。
3.当k=0，b≠0时，它不是一次函数。
4.正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数。
2一次函数的图像及性质1.在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
2.一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)。
3.正比例函数的图像总是过原点。
4.k，b与函数图像所在象限的关系：当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小。
当k>0，b>0时，直线通过一、二、三象限;当k>0，b<0时，直线通过一、三、四象限;当k<0，b>0时，直线通过一、二、四象限;当k<0，b<0时，直线通过二、三、四象限;当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
3一次函数的图象与性质的口诀一次函数是直线，图象经过三象限;正比例函数更简单，经过原点一直线;两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y增减;k为负来左下展，变化规律正相反;k的绝对值越大，线离横轴就越远。
初二数学一次函数知识点总结知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量)，特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.知识点2 函数的图象由于两点确定一条直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点，直线与x轴的交点。
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题04一次函数重难点知识1(解析版).doc
学校班级姓名1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2专题04 一次函数期末总复习重难点知识一遍过1一、基础知识点综述基础讲解基 础 知 识函数与变量一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.常见自变量取值范围：00100y x x y x xy x x =≥=≠=≠ ()() ()常量：其值在变化过程中始终保持不变的量叫常量. 变量：其值在变化过程中会发生变化的量叫变量. 正比例函数 解析式 y =kx （k ≠0）形状一条过（0,0）、（1，k ）的直线 坐标系中位置k >0时过一、三象限；k <0时过二、四象限 增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小一次函数解析式 y =kx +b （k ≠0）形状一条过（0,b ）、（bk-，0）的直线 坐标系中位置k >0，b >0时过一、二、三象限；k >0,b <0时过一、三、四象限；k <0，b >0时过一、二、四象限；k <0,b <0时过二、三、四象限增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】3基 础 知 识一次函数图象的位置关系 l 1∥l 2，则k 1=k 2，b 1≠b 2；l 1⊥l 2，则k 1·k 2=－1一次函数图象平移 上下平移与b 有关，上加下减；左右平移与x 有关，左加右减一次函数图象的对称y =kx +b 关于y 轴对称的解析式为：y =－kx +b ；y =kx +b 关于x 轴对称的解析式为：y =－kx －b ；一次函数与二元一次方程组方程组的解是两条直线的交点坐标一次函数与不等式会借助图象判断y =0，y <0，y >0时自变量取值范围；会借助图象判断y 1=y 2，y 1<y 2，y 1>y 2时自变量取值范围；求一次函数解析式方法待定系数法上表中，l 1：y 1=k 1x +b 1；l 2：y 2=k 2x +b 2二、典型例题讲解题1. （1）函数11y x x=+-自变量的取值范围是（2）函数()02y x x=--自变量的取值范围是（3）函数214y x x =-+自变量的取值范围是（4）在三角形中，它的一条边是a ，这条边上的高是h ，则其面积S =0.5ah ，当a 为定长时，在此式中变量是，常量是（5）将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h （cm ）与注水时间t （min ）的函数图象大致为（ ）【答案】（1）x ≥－1且x ≠0；（2）x >0且x ≠2；（3）全体实数；（4）S 、h ；0.5、a ；（5）B ；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4【解析】解：（1）由10x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥－1且x ≠0；（2）由020x x >⎧⎨-≠⎩，解得：x >0且x ≠2；（3）由2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，得x 为全体实数；（4）由题意知S 随h 的变化而变化，所以S 和h 是变量，a 、0.5是常量；（5）通过分析可知，在注水开始至水面与小玻璃杯水面平齐过程中，水面高度不变，随后增大至最大后不再变化，故选B .题2. （1）正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大,则一次函数y =x +k 的图象过象限；（2）若函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，则m 的取值范围（3）在平面直角坐标系中，将直线l 1：y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，则应向上平移个单位，或向右平移个单位；（4）已知点A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数y =﹣x +9的图象上，则y 1y 2（5）直线y =k 1x +b 1（k 1＞0）与y =k 2x +b 2（k 2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y 轴围成的三角形面积为4，那么b 1﹣b 2等于（6）一次函数y =（m 2-4）x +（1-m ）和y =（m -1）x +m 2-3的图象与y 轴分别交于点P 和点Q ，若点P 与点Q 关于x 轴对称，则m =（7）函数y =－2x ＋4的图象上存在点P ，使得点P 到y 轴的距离等于1，则点P 的坐标为 . （8）过点（﹣1，7）的一条直线与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，且与直线123+-=x y 平行.则在线段AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是【答案】（1）一、二、三；（2）m <－1；（3）5，53；（4）>；（5）4或－4；（6）－1； （7）（1,2）或（－1,6）；（8）（1,4）、（3,1）；【解析】解：（1）∵正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k >0，则y =x +k 的图象过一、二、三象限；（2）∵函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】5∴()10430m m +<⎧⎨-->⎩，解得：m <－1；（3）y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，可向上平移5个单位；设向右平移m 个单位，则y =－3（x －m ）－3，即－3（x －m ）－3=－3x +2，解得：m =53即向右平移53个单位； （4）y =﹣x +9中，y 随x 的增大而减小，因为A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数图象上， 而－5<10，所以y 1>y 2 （5）由题意知：12122S b b =⨯⨯-， 即121422b b =⨯⨯-解得：b 1﹣b 2=4或－4 （6）由题意知：221304010m m m m ⎧-+-=⎪-≠⎨⎪-≠⎩，解得：m =－1； （7）点P 到y 轴的距离等于1，则P 点的横坐标为1或－1， 在y =－2x ＋4中，当x =1时，y =2；x =－1时，y =6， 即P 点坐标为（1,2）或（－1,6）；（8）设直线AB 解析式为y =kx +b ，由题意知：k =32-， 将（﹣1，7）代入得：7=32-×（－1）+b ，解得：b =112， 即直线AB 解析式为：y =32-x +112，整理得：2y +3x =11，由题意知x 、y 均为整数时，有x =1，y =4；x =3，y =1，即符合要求的点的坐标是（1,4）、（3,1）. 题3. （1）一次函数y =kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，求k 、b 的值.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6【答案】见解析.【解析】解：①当k >0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =3；x =4，y =6，代入y =kx +b 得：346k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12k b =⎧⎨=⎩ ②当k <0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =6；x =4，y =3，代入y =kx +b 得：643k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：17k b =-⎧⎨=⎩即k =1，b =2或k =－1，b =7.（2）如图3-1,函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4),则不等式2x <ax +4的解集为图3-1【答案】x <2.【解析】解：因为函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4)， 所以当y =4时，x =2，由图象知：不等式2x <ax +4的解集为x <2.（3）甲骑摩托车从A 地去B 地,乙开汽车从B 地去A 地,同时出发,匀速行驶，各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s (千米)，甲行驶的时间为t (小时)，s 与t 之间的函数关系如图3-2所示.有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半． 其中正确结论是.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7图3-2【答案】①②④.【解析】解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a 千米/小时， 则120140a=+，解得：a =80，∴乙开汽车的速度为80千米/小时， ∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80-40）=60（千米），故②正确； 乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误； ∴正确的结论是①②④.题4. 如图4-1所示,在平面直角坐标系xOy 中,矩形ABCD 的AB 边在x 轴上,AB =3,AD =2,经过点C 的直线y =x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ．（1）求：①点D 的坐标；②经过点D ,且与直线FC 平行的直线的函数表达式；（2）直线y =x ﹣2上是否存在点P ,使得△PDC 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．（3）在平面直角坐标系内确定点M ,使得以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．图4-1【答案】见解析.【解析】解：（1）①设点C的坐标为（m，2），∵点C在直线y=x﹣2上，∴2=m﹣2，解得m=4，即点C的坐标为（4，2），∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=2，∴点D的坐标为（1，2）；②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b，将D（1，2）代入y=x+b，得b=1，∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+1；（2）存在．∵△EBC为等腰直角三角形，∴∠CEB=∠ECB=45°，∵DC∥AB，∴∠DCE=∠CEB=45°，∴△PDC是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，如图4-2所示，图4-2①当∠D=90°时，延长DA与直线y=x﹣2交于点P1，8【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9∵点D 的坐标为（1，2）， ∴点P 1的横坐标为1，把x =1代入y =x ﹣2得，y =﹣1，即P 1（1，﹣1）；②当∠DPC =90°时，作DC 的垂直平分线与直线y =x ﹣2的交点即为点P 2， 点P 2的横坐标为52， 将x =52代入y =x ﹣2得，y =12，即P 2（52，12）， 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（1，﹣1）、（52，12）； （3）当y =0时，x ﹣2=0，解得x =2， ∴OE =2，∵以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形， ①若DE 是对角线，则EM =CD =3， OM =EM ﹣OE =3﹣2=1， 点M 的坐标为（﹣1，0），②CE 是对角线，则EM =CD =3，OM =OE +EM =2+3=5， 点M 的坐标为（5，0），③CD 是对角线，则平行四边形的中心坐标为（52，2）， 设点M 的坐标为（x ，y ）， 则2522x +=，22y=， 解得x =3，y =4，此时，点M 的坐标为（3，4），综上所述，点M 的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．题5. 小华和爸爸上山游玩，爸爸乘电缆车，小华步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小华行走到缆车终点的路程是爸爸乘缆车到山顶的线路长的2倍，爸爸在小华出发后50min 才乘上电缆车，电缆车的平均速度为180m /min ．设小华出发x （min ）行走的路程为y （m ），图5-1中的折线表示小华在整个行走过程中y （m ）与x （min ）之间的函数关系．（1）小华行走的总路程是＿＿＿＿＿m ，他途中休息了＿＿＿＿＿min ； （2）当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10（3）当爸爸到达缆车终点时，小华离缆车终点的路程是多少？图5-1【答案】（1）3600，20；（2）（3）见解析. 【解析】解：（2）①当50≤x ≤80时， 设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ， 根据题意，当x =50时，y =1950； 当x =80时，y =3600，得：195050360080k bk b =+=+⎧⎨⎩解得k =55，b =－800，∴函数关系式为：y =55x －800；（3）缆车到山顶的线路长为3600×2=1800米， 缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟 小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟， 把x =60代入y =55x ﹣800，得y =55×60﹣800=2500， ∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100米.题6. 某校运动会需购买A 、B 两种奖品.若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元.(1)求A 、B 两种奖品单价各是多少元？(2)学校计划购买A 、B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍.设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元）与m （件）之间的函数关系式，求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值.【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11【解析】解：（1）设A 奖品的单价是x 元，B 奖品的单价是y 元，由题意，得：60329553x y x y =+=+⎧⎨⎩， 解得：1015x y ==⎧⎨⎩．答：A 奖品的单价是10元，B 奖品的单价是15元；（2）由题意，得W =10m +15（100-m ）=-5m +1500∴()150051150310m m m -≤≤-⎧⎨⎩， 解得：70≤m ≤75．∵m 是整数，∴m =70，71，72，73，74，75．在W =-5m +1500中，∴-5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m =75时，W 最小=1125．∴应买A 种奖品75件，B 种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．题7. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx ＋4(k ≠0)与y 轴交于点A .(1)如图，直线y =-2x ＋1与直线y =kx ＋4(k ≠0)交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 的横坐标为－1.①求点B 的坐标及k 的值；②直线y =－2x ＋1与直线y =kx ＋4与y 轴所围成的△ABC 的面积等于；(2)直线y =kx ＋4(k ≠0)与x 轴交于点E (x 0，0)，若－2＜x 0＜－1，求k 的取值范围．【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】12【解析】解：（1）①∵直线y =-2x +1过点B ，点B 的横坐标为-1，∴y =2+1=3，即B （-1，3），∵直线y =kx +4过B 点，∴3=-k +4，解得：k =1；②∵k =1，∴直线AB 的解析式为：y =x +4，∴A （0，4），在y =-2x +1中，当x =0时，y =1，∴C （0，1），∴AC =4-1=3， ∴△ABC 的面积为：12×1×3=32； 故答案为：32； （2）∵直线y =kx +4（k ≠0）与x 轴交于点E （x 0，0），-2＜x 0＜-1，∴当x 0=-2，则E （-2，0），代入y =kx +4得：0=-2k +4，解得：k =2，当x 0=-1，则E （-1，0），代入y =kx +4得：0=-k +4，解得：k =4，故k 的取值范围是：2＜k ＜4．中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
专题51 一次函数的平行、垂直、面积问题(解析版)
模型介绍方法点拨☑知识点1两直线平行如图，直线b∥a，那么k b =k a ，若已知k a 及C 的坐标即可求出直线b 的解析式.☑知识点2两直线垂直如图，直线c⊥a，那么k c *k a =-1，若已知k a 及C 或B 的坐标即可求出直线c 的解析式.（针对这一性质，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解）例题精讲考点一：一次函数平行问题【例1】．一次函数y＝kx+b与y＝3x+1平行，且经过点（﹣3，4），则这个函数的表达式为y＝3x+13．解：∵一次函数y＝kx+b与y＝3x+1平行，∴k＝3，把（﹣3，4）代入y＝3x+b得﹣9+b＝4，解得b＝13，∴所求一次函数解析式为y＝3x+13．故答案为y＝3x+13．变式训练【变1-1】．一条直线平行于直线y＝2x﹣1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是（）A．y＝2x+4B．y＝2x﹣4C．y＝2x±4D．y＝x+2解：∵所求直线与直线y＝2x﹣1平行∴可设所求直线的解析式为y＝2x+b令x＝0可得直线在y轴的截距为b令y＝0可得直线在x轴的截距为由题意可知：b××＝4∴b＝±4，故选：C．【变1-2】．一个一次函数图象与直线y＝x+平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（﹣1，﹣20），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有4个．解：因为一次函数的图象与直线y＝x+平行，所以所求直线的斜率为，又因为所求直线过点（﹣1，﹣20），所以所求直线为5x﹣4y﹣75＝0，所以此直线与x轴、y轴的交点分别为A（15，0）、B（0，﹣），设在直线AB上并且横、纵坐标都是整数的点的横坐标是x＝﹣1+4N，纵坐标是y＝﹣20+5N，（N是整数）．因为在线段AB上这样的点应满足0≤x＝﹣1+4N≤15，且﹣＜y＝﹣20+5N≤0，解得：≤N≤4，所以N＝1，2，3，4，故答案为：4．考点二：一次函数垂直问题【例2】．已知直线y＝kx+b经过点A（3，8），并与直线y＝2x﹣3垂直，则k＝﹣；b＝．解：∵已知直线y＝kx+b与直线y＝2x﹣3垂直，则k＝﹣，∴y＝x+b，将A（3，8）代入，8＝+b，解得b＝，故答案为﹣，．变式训练【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与y轴交于点C（0，﹣8），与直线AB交于点D，若△AOB∽△CDB，则点D的坐标为（，）．解：∵△AOB∽△CDB，∴∠CDB＝∠AOB＝90°，设直线CD的解析式为：y＝2x+b，∵点C的坐标为（0，﹣8），∴b＝﹣8，，解得，，则点D的坐标为：（，），故答案为：（，）．【变2-2】．直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为（0，4）．[提示：直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2互相垂直，则k1•k2＝﹣1]解：∵直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，∴kx+b＝x2，化简，得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，又∵OA⊥OB，∴×＝＝＝＝＝﹣1，解得，b＝4，即直线y＝kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．考点三：一次函数的面积问题【例3】．已知一次函数y＝mx+2的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则常数m＝±2．解：令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣，∵一次函数y＝mx+2的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1，∴×2×|﹣|＝1，解得m＝±2．故答案为：±2．变式训练【变3-1】．已知直线y＝（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n．则S1+S2+S3+…+S2020的值为（）A．B．C．D．解：令x＝0，则y＝，令y＝0，则＝0，解得x＝，所以，S n＝••＝（﹣），所以，S1+S2+S3+…+S2020＝（+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．故选：B．【变3-2】．如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．（1）求一次函数表达式；（2）求△COP的面积．解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象过点P（m，3），∴3＝﹣3m，解得：m＝﹣1，∴P（﹣1，3），∵一次函数y＝kx+b的图象过点P（﹣1，3），B（1，1），∴，解得：，∴一次函数表达式为y＝﹣x+2；（2）由（1）知，一次函数表达式为y＝﹣x+2，令y＝0，﹣x+2＝0，解得：x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2，∴＝3．1．两直线y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2相交于y轴，则（）A．k1≠k2，b1≠b2B．k1≠k2，b1＝b2C．k1＝k2，b1≠b2D．k1＝k2，b1＝b2解：两直线y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2相交于y轴，则两直线与y轴的交点是同一点，在直线y1＝k1x+b1中，令x＝0，解得y＝b1，与y轴的交点是（0，b1），同理直线y2＝k2x+b2与y轴的交点是（0，b2），则b1＝b2，若k1＝k2，则两直线重合，因而k1≠k2．故选：B．2．若直线x+3y+1＝0与ax+y+1＝0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣3B．﹣C．D．3解：直线x+3y+1＝0的斜率为：﹣，直线ax+y+1的斜率为：﹣a，∵两直线垂直，∴﹣×（﹣a）＝﹣1，∴a＝﹣3，故选：A．3．已知一次函数y＝x+2与y＝﹣2+x，下面说法正确的是（）A．两直线交于点（1，0）B．两直线之间的距离为4个单位C．两直线与x轴的夹角都是30°D．两条已知直线与直线y＝x都平行解：根据一次函数的性质，一次函数y＝x+2与y＝﹣2+x，分别与y轴相交于（0，2）和（0，﹣2）两点，因为x的系数，都为1，因此直线的方向是一样的，都与直线y＝x平行．故选：D．4．如图，直线l1过原点，直线l2解析式为y＝﹣x+2，且直线l1和l2互相垂直，那么直线l1解析式为（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x解：∵一次函数经过原点，∴设所求的一次函数为y＝kx，∵一次函数的图象与直线y＝﹣x+2垂直，∴k＝，则直线l1解析式为y＝x，故选：D．5．已知直线y＝mx﹣1上有一点B（1，n），它到原点的距离是，则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．或C．或D．或解：∵点B（1，n）到原点的距离是，∴n2+1＝10，即n＝±3．则B（1，±3），代入一次函数解析式得y＝4x﹣1或y＝﹣2x﹣1．（1）y＝4x﹣1与两坐标轴围成的三角形的面积为：××1＝；（2）y＝﹣2x﹣1与两坐标轴围成的三角形的面积为：××1＝．故选：C．6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb＝﹣8．解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，∴k＝2，∴y＝2x+b，把点A（1，﹣2）代入y＝2x+b得2+b＝﹣2，解得b＝﹣4，∴kb＝2×（﹣4）＝﹣8．故答案为﹣8．7．若平行于直线y＝﹣2x的某直线y＝kx+b与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则b＝．解：直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x平行，因而k＝﹣2，直线y＝﹣2x+b与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是（0，b），∴||•|b|＝5，即＝5，解得：b＝±2．8．如图，直线y＝﹣x+2与x，y轴交于A、B两点，以AB为边在第一象限作矩形ABCD，矩形的对称中心为点M，若双曲线y＝（x＞0）恰好过点C、M，则k＝．解：∵y＝﹣x+2，∴x＝0时，y＝2；y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，∴A（4，0），B（0，2）．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°．设直线BC的解析式为y＝2x+b，将B（0，2）代入得，b＝2，∴直线BC的解析式为y＝2x+2，设C（a，2a+2），∵矩形ABCD的对称中心为点M，∴M为AC的中点，∴M（，a+1）．∵双曲线y＝（x＞0）过点C、M，∴a（2a+2）＝（a+1），解得a1＝，a2＝﹣1（不合题意舍去），∴k＝a（2a+2）＝（2×+2）＝．故答案为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，1）．（1）求直线AB的解析式；＝2，求点C的坐标．（2）若x轴上有一点C，且S△ABC解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A（2，0），B（0，1）代入，可得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1；（2）∵x轴上有一点C，设点C（x，0），∴AC＝|2﹣x|，＝2，∵S△ABC∴×|2﹣x|×1＝2，∴x＝﹣2或x＝6，∴C（﹣2，0）或C（6，0）．10．如图，直线l1：y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（0.5，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E．（1）求直线l2的函数表达式．（2）试说明CD＝CE．（3）若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．解：（1）将C（0.5，0）．D（0，2）代入y＝kx+b得，，解得，∴直线l2的函数解析式为y＝﹣4x+2；（2）当﹣4x+2＝x﹣3时，∴x＝1，∴E（1，﹣2），过点E作EF⊥x轴于F，∴EF＝OD＝2，∵∠ODC＝∠CEF，∠DCO＝∠ECF，∴△DOC≌△EFC（AAS），∴CD＝CE；（3）∵∠POB＝∠BDE，∴点P在l1上有两个位置，当点P在点B上方时，如图，∴OP∥DE，∴直线OP的函数解析式为y＝﹣4x，∴﹣4x＝x﹣3，∴x＝，当x＝时，y＝﹣，∴P（，﹣），当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1为点P'，∴Q（﹣），则直线OQ的函数解析式为y4，∴直线OQ与l1的交点为P'（﹣1，﹣4），综上所述：P（，﹣）或（﹣1，﹣4）．11．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板△ABC放在第三象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（0，﹣4），直角顶点B坐标为（﹣1，0），一次函数y＝kx+b的图象经过点A、C交x轴于点D．（1）求点A的坐标；（2）求直线AC与坐标轴围成的三角形的面积．解：（1）作AE⊥x轴，垂足为E．∵∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠CBO＝90°．在Rt△AEB中，∵∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠CBO＝∠EAB，在△AEB和△BOC中，，∴△AEB≌△BOC（AAS）．∴AE＝BO＝1，BE＝OC＝4，∴OE＝OB+BE＝1+4＝5，∴A（﹣5，﹣1）．（2）把A（﹣5，﹣1），C（0，﹣4）代入y＝kx+b，得，解得，函数解析式为：y＝﹣x﹣4，当y＝0时，x＝﹣，D（﹣，0）．S△COD＝××4＝．12．如图，直线l1：y＝x+3分别与直线l2：y＝kx+b（k≠0）、直线l3：y＝k1x+b1（k1≠0）交于A、B两点，直线l1交y轴于点E，直线l2与x轴和y轴分别交于C、D两点，已知点A的纵坐标为，B的横坐标为1，l2∥l3，OD＝1，连BD．（1）求直线l3的解析式；（2）求△ABD的面积．解：（1）在y＝x+3中，令y＝，则x＝﹣，∴A（﹣，），∵OD＝1，∴D（0，﹣1），把点A，D的坐标代入l2：y＝kx+b，可得，解得，∴l2：y＝﹣x﹣1，在y＝x+3中，令x＝1，则y＝4，∴B（1，4），∵l2∥l3，∴k1＝﹣，把B（1，4）代入y＝﹣x+b1可得，4＝﹣+b1，∴b1＝，∴直线l3的解析式为y＝﹣x+；（2）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3，∴E（0，3），∴DE＝3+1＝4，＝DE（|x A|+|x B|）＝（+1）＝5．∴S△ABD13．如图，一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，且点B的纵坐标为1．（1）求反比例函数y＝（x＞0）的表达式；（2）过点A作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C，平移直线y＝x ﹣2得到过点C的直线l，l的函数表达式为y＝mx+n，结合函数的图象，求＞mx+n对应x的取值范围．解：（1）∵点B在一次函数y＝x﹣2的图象上，且B的纵坐标为1，∴1＝，∴x＝6，∴B（6，1），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B，∴，∴k＝6，∴反比例函数的表达式为（x＞0）；（2）∵一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点A，∴令y＝0得，，∴x＝4，∴A（4，0），∵CA⊥x轴，∴点C的横坐标为4，结合函数图象可知，要求＞mx+n，即反比例函数y＝的图象在一次函数y＝mx+n的图象的上方，∴0＜x＜4．14．已知抛物线y＝ax2﹣a（a＞0）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）设C为抛物线上的一定点，抛物线和x轴交点为E、F，直线l：y＝kx+2k+3与抛物线交于点A、B（点B与点C不重合），与y轴交于点P，直线BD垂直于直线y＝﹣a，垂足为D，且△CEF为等腰直角三角形．①求点C的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每一个给定的实数k，都有DP∥AC．解：（1）在y＝ax2﹣a中，令y＝0，得ax2﹣a＝0，∵a＞0，∴x2﹣1＝0，解得：x＝﹣1或x＝1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（1，0）；（2）①∵y＝ax2﹣a，∴E（﹣1，0），F（1，0），∵△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∠CEF＝∠CFE＝45°，∵∠EOC＝∠FOC＝90°，OE＝OF＝1，∴OC＝OE＝1，∴C（0，﹣1），将C（0，﹣1）代入y＝ax2﹣a中，则﹣a＝﹣1，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1；②由题意得：，解得：或，∴A（﹣2，3），B（k+2，k2+4k+3），且k+2≠0，∵直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为D，∴D（k+2，﹣1），在y＝kx+2k+3中，令x＝0，得y＝2k+3，∴P（0，2k+3），设直线AC解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣2x﹣1，设直线DP的解析式为y＝m′x+n′，则，解得：，∴直线DP的解析式为y＝﹣2x+2k+3，∴AC∥DP．15．定义：已知直线l：y＝kx+b（k≠0），则k叫直线l的斜率．性质：直线l1：y＝k1x+b1．l2：y＝k2x+b2（两直线斜率存在且均不为0），若直线l1⊥l2，则k1k2＝﹣1（1）应用：若直线y＝2x+1与y＝kx﹣1互相垂直，求斜率k的值；（2）探究：一直线过点A（2，3），且与直线y＝﹣x+3互相垂直，求该直线的解析式．解：（1）∵直线y＝2x+1与y＝kx﹣1互相垂直，∴2•k＝﹣1，∴k＝﹣；（2）设该直线的解析式为y＝kx+b，∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+3互相垂直，∴﹣k＝﹣1，解得k＝3，把A（2，3）代入y＝3x+b得6+b＝3，解得b＝﹣3，∴该直线的解析式为y＝3x﹣3．16．在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y＝k2x+b2（k≠0）的图象为直线l2，若k1•k2＝﹣1，我们就称直线l1与直线l2互相垂直，如直线y＝3x﹣1与直线y＝﹣x+1，因为3×（﹣）＝﹣1，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题：（1）求过点P（1，2）且与已知直线y＝0.5x﹣2垂直的直线l的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线l的图象．（2）求（1）问中的两条直线与y轴所围的三角形的面积；（3）已知点A（0，2），点B，C分别是（1）问中直线l和x轴上的动点，求出△ABC 周长的最小值．解：（1）设直线l的函数表达式为y＝kx+b，∵直线l与直线y＝0.5x﹣2垂直，∴k＝﹣2，∵直线l过点P（1，2），∴﹣2×1+b＝2，∴b＝4．∴直线l的函数表达式为y＝﹣2x+4；直线l的图象如图；（2）解方程组得，，∵直线y＝0.5x﹣2与y轴的交点为（0，﹣2），直线l的函数表达式为y＝﹣2x+4与y轴的交点为（0，4），∴两条直线与y轴所围的三角形的面积＝×6×＝；（3）∵点A（0，2）关于x轴的对称点为E（0，﹣2），关于直线l的对称点D（，），连接DE交直线l于B，交x轴于C，则此时，△ABC周长的值最小，△ABC周长的最小值＝DE＝＝．17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（﹣4，3），将点A向右平移2个单位长度，再向上平移a个单位长度得到点B，点B恰好落在该函数的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．（1）求k的值及点C的坐标；（2）在y轴上有一点D（0，4），连接AD，BD，求△ABD的面积．解：（1）设反比例函数表达式为，把A（﹣4，3）代入得，3＝，解得k＝﹣4×3＝﹣12．∴反比例函数的表达式为．∵将点A向右平移2个单位长度，再向上平移a个单位长度得到点B，∴点B的坐标为（﹣2，y）．当x＝﹣2时，．∴点B的坐标为（﹣2，6）．设直线AB的函数表达式为y＝kx+b．由题意，得，解得．∴．∵当x＝0时，y＝9，∴点C的坐标为（0，9）．（2）由（1）知CD＝OC﹣OD＝9﹣4＝5．∴|x A|﹣＝．18．如图在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．（1）求直线AB的函数关系式；（2）求△OAB的面积；（3）是否存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：．则直线的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵y＝﹣x+6，当y＝0时，x＝6，∴B（0，6），∴OB＝6，∴△OAB的面积＝×6×2＝6；（3）存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等，理由如下：如图所示：设OA的解析式是y＝mx，则42，解得：m＝．则直线OA的解析式是：y＝x，∵点C（0，6），∴OC＝6，∴OB＝OC＝6，∵△OMC的面积与△OAB的面积相等，∴M到y轴的距离＝点A的纵坐标2，∴点M的横坐标为2或﹣2；当M的横坐标为2时，在y＝x中，当x＝2时，y＝1，则M的坐标是（2，1）；在y＝﹣x+6中，当x＝2则y＝4，则M的坐标是（2，4）．则M的坐标为（2，1）或（2，4）．当M的横坐标为﹣2时，在y＝﹣x+6中，当x＝﹣2时，y＝8，则M的坐标是（﹣2，8）．综上所述：点M的坐标为（2，1）或（2，4）或（﹣2，8）．19．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y＝﹣x+b经过点A，并与y轴交于点C．（1）求A，B两点的坐标及b的值；（2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为（t，﹣t+4）．点E的坐标为（t，t﹣2）；（均用含t的式子表示）（3）在（2）的条件下，当点P在线段OA上时，探究是否存在某一时刻，使DE＝OB？若存在，求出此时△ADE的面积；若不存在说明理由．解：（1）令y＝0，则x＝4，∴点A的坐标为（4，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴点B的坐标为（0，﹣2），将A（4，0）代入y＝﹣x+b，得0＝﹣4+b，解得b＝4；（2）由（1）知，直线AC的表达式为y＝﹣x+4，∵点P（t，0），∵PD⊥x轴，∴D（t，﹣t+4），E（t，t﹣2），故答案为（t，﹣t+4），（t，t﹣2）；（3）存在t，使DE＝OB，理由如下：∵点P在线段OA上，∴0≤t≤4，由（2）知D（t，﹣t+4），E（t，t﹣2），∴DE＝﹣t+4﹣（t﹣2）＝﹣t+6，∵B（0，﹣2），∴OB＝2，∵DE＝OB，∴﹣t+6＝2，解得：t＝，∴AP＝4﹣t＝4﹣＝，＝DE•AP＝×2×＝．∴S△ADE20．如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2＝（x＞0）的图象交于A（6，﹣），B（，n）两点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．（1）求y1与y2的解析式；（2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为2．解：（1）将点A（6，﹣）代入y2＝中，∴y2＝，∵B（，n）在y2＝中，可得n＝﹣6，∴B（，﹣6），将点A、B代入y1＝kx+b，∴，解得，∴y1＝x﹣；（2）∵一次函数与反比例函数交点为A（6，﹣），B（，﹣6），∴＜x＜6时，y1＜y2；（3）在y1＝x﹣中，令x＝0，则y＝﹣，∴C（0，﹣），∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，∴直线DE的解析式为y＝x﹣+t，∴F点坐标为（0，﹣+t），过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，直线AB与x轴交点为（，0），与y轴交点C（0，﹣），∴∠OCA＝45°，∴FG＝CG，∵FC＝t，∴FG＝t，∵A（6，﹣），C（0，﹣），∵AB∥DF，＝S△ACF，∴S△ACD∴×6×t＝6，∴t＝2，故答案为：2．21．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线l交于点A（1，5）、B（6，0），点C是l上方的抛物线上的一动点，过C作CD⊥x轴于点D，交直线l于点E．连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（2）设点C的横坐标为n，△的面积为S，求出S的最大值；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是直角三角形，且始终满足AB边为直角边？若存在，求出所有符合条件的P的坐标；若不存在，简要说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx与直线l交于点A（1，5）、B（6，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x；（2）易求直线l的解析式为y＝﹣x+6．由题意，知C（n，﹣n2+6n），E（n，﹣n+6），∴EC＝（﹣n2+6n）﹣（﹣n+6），即EC＝﹣n2+7n﹣6．过A作AF⊥CD于F，则AF＝n﹣1，DB＝6﹣n，+S△BCE∴S＝S△ACE＝×EC×（n﹣1）+×EC×（6﹣n）＝×EC×5＝（﹣n2+7n﹣6），即S＝﹣n2+n﹣15，配方得S＝﹣（n﹣）2+．∵﹣＜0，＝；∴S有最大值，当n＝时，S最大值（3）在抛物线上存在点P，能够使得△PAB是直角三角形，且始终满足AB边为直角边．分两种情况：①当∠PBA＝90°时，∵∠ABO＝45°，∴过点B且垂直于AB y＝x﹣6，解方程组，得，，∵B（6，0），∴P1（﹣1，﹣7）；②当∠PAB＝90°时，∵过点A且垂直于AB的直线解析式为y＝x+4，解方程组，得，，∵A（1，5），∴P2（4，8）．综上所述，符合条件的P点坐标为P1（﹣1，﹣7），P2（4，8）．。
考点08 一次函数的图象与性质-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。
也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。
故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一：一次函数的图象与平移一．一次函数的图象二．一次函数图象的画法1．下列函数：①y ＝4x ；②y ＝﹣；③y ＝；④y ＝﹣4x +1，其中一次函数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．【解答】解：y ＝﹣4x ，y ＝﹣，y ＝﹣4x +1都符合一次函数的定义，属于一次函数；y ＝是反比例函数，综上所述，其中y 是x 的一次函数的个数有3个．故选：C．一次函数的图象是经过点和点的一条直线2．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（ ）A．B．C．D．【分析】根据一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵y＝k（x﹣1）（k＞0），∴一次函数图象过点（1，0），y随x的增大而增大，故选项B符合题意．故选：B．3．如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（ ）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系逐项分析即可．【解答】解：A、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于正半轴，则kb＞0，kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；B、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的一次项系数为正，与题干图形相矛盾，不符合题意；C、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；D、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；故选：C．4．在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（ ）A．将1向右平移4个单位长度B．将1向左平移4个单位长度C．将1向上平移4个单位长度D．将1向下平移4个单位长度【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案．【解答】解：设将直线y＝6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y＝6x+2（a＞0），∴6（x+a）﹣2＝6x+2，解得：a＝，故将直线y＝6x﹣2向左平移个单位后得到直线y＝6x+2，同理可得，将直线y＝6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y＝6x+2，观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．5．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 （1，0） ．【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．【解答】解：直线y＝2x﹣4沿y轴向上平移2个单位，则平移后直线解析式为：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2，当y＝0时，则x＝1，故平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）．故答案为：（1，0）．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）A．k1k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＞0D．b1b2＞0【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＜0，b1＜0，k2＜0，b2＞0，然后逐一判断即可解答．【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过四、二、三象限，∴k1＜0，b1＜0，∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、二、四象限，∴k2＜0，b2＞0，∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；B、k1+k2＜0，故B符合题意；C、b1﹣b2＜0，故C不符合题意；D、b1•b2＜0，故D不符合题意；故选：B．考向二：一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上1．一次函数y＝﹣3x+1的图象经过（ ）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限【分析】利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．【解答】解：∵y＝﹣3x+1，∴k＜0，b＞0，故直线经过第一、二、四象限．故选：A．2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定【分析】利用偶次方的非负性，可得出m2≥0，进而可得出k＝m2+1＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣3＜﹣1，可得出y1＜y2．【解答】解：∵m2≥0，∴k＝m2+1＞0，∴y随x的增大而增大．又∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，且﹣3＜﹣1，∴y1＜y2．故选：B．3．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m 的取值范围是（ ）A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜1【分析】由“当x1＜x2时，y1＜y2”，可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出m﹣1＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＜y2，∴y随x的增大而增大，∴m﹣1＞0，解得：m＞1，∴m的取值范围是m＞1．故选：C．4．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（ ）A ．函数图象经过第一、二、四象限B ．图象与y 轴的交点坐标为（1，0）C ．y 随x 的增大而减小D ．图象与坐标轴调成三角形的面积为【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A ．∵k ＝﹣2＜0，b ＝1＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意；B ．当x ＝0时，y ＝1，∴函数图象与y 轴的交点坐标为（0，1），错误，符合题意；C ．∵k ＝﹣2＜0，∴y 的值随着x 增大而减小，正确，不符合题意；D ．令y ＝0可得y ＝1，∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：×1×＝，故D 正确，不符合题意．故选：B ．5．已知点（﹣2，y 1），（2，y 2）都在直线y ＝2x ﹣3上，则y 1 ＜ y 2．（填“＜”或“＞”或“＝”）【分析】由k ＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，再结合﹣2＜2即可得出y 1＜y 2．【解答】解：∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大，又∵﹣2＜2，∴y 1＜y 2．故答案为：＜．考向三：待定系数法求一次函数的解析式1．一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（ ）A．B．C．D．【分析】利用待定系数法即可求解．【解答】解：设函数的解析式是y＝kx．根据题意得：﹣2k＝3．解得：k＝﹣．故函数的解析式是：y＝﹣x．故选：A．2．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（ ）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．m的值不存在【分析】结合一次函数的性质，对m分类讨论，当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，此时x＝1，y ＝2且x＝3，y＝6；当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，此时x＝1，y＝6且x＝3，y＝2；最后利用待定系数法求解即可．【解答】解：当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，∴当x＝1时，y＝2且当x＝3时，y＝6，令x＝1，y＝2，解得m＝，不符题意，令x＝3，y＝6，解得m＝﹣6，不符题意，当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，∴当x＝1时，y＝6且当x＝3时，y＝2，令x＝1，y＝6，解得m＝﹣2，令x＝3，y＝2，解得m＝﹣2，符合题意，故选：B．3．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣3．则当x＝﹣时，y＝ ．【分析】设y＝kx，把x＝2，y＝﹣3代入，求出k得到函数解析式，把x＝﹣代入函数解析式，求出即可．【解答】解：根据题意，设y＝kx，把x＝2，y＝﹣3代入得：﹣3＝2k，解得：k＝﹣，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x，把x＝﹣代入y＝﹣x，得y＝﹣×（﹣）＝，故答案为：．4．已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．（1）求此一次函数表达式；（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可；（2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；（2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣x+4，∴当x＝﹣1时，y＝5≠6，∴点（﹣1，6）不一次函数的图象上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD 的解析式．【分析】（1）把C （0，6）代入函数解析式，可得答案．（2）先求D 的坐标，再利用待定系数法求解AD 的解析式．【解答】解：（1）直线y ＝﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴﹣2×0+a ＝6，∴a ＝6，∴直线的解析式为y ＝﹣2x +6；（2）点D （﹣1，n ）在y ＝﹣2x +6上，∴n ＝﹣2×（﹣1）+6＝8，∴D （﹣1，8），设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把点A （﹣3，0）和D （﹣1，8）代入得，解得，∴直线AD 的解析式为y ＝4x +12．考向四：一次函数与方程不等式间的关系的交点坐标由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：1．已知方程2x ﹣1＝﹣3x +4的解是x ＝1，则直线y ＝2x ﹣1和y ＝﹣3x +4的交点坐标为（ ）A ．（1，0）B ．（1，1）C ．（﹣1，﹣3）D ．（﹣1，1）【分析】把x ＝1代入直线解析式y ＝2x ﹣1求出y 的值即可得到交点坐标．【解答】解：∵x ＝1是方程2x ﹣1＝﹣3x +4的解，∴把x ＝1代入y ＝2x ﹣1，得y ＝2×1﹣1＝1．∴交点坐标为（1，1）．故选：B ．2．如图，直线y ＝ax +b （a ≠0）过点A （0，1），B （2，0），则关于x 的方程ax +b ＝0的解为 x ＝2 ．【分析】所求方程的解，即为函数y ＝ax +b 图象与x 轴交点横坐标，确定出解即可．【解答】解：方程ax +b ＝0的解，即为函数y ＝ax +b 图象与x 轴交点的横坐标，∵直线y ＝ax +b 过B （2，0），∴方程ax +b ＝0的解是x ＝2，故答案为：x ＝2．3．如图，一次函数y ＝2x +1的图象与y ＝kx +b 的图象相交于点A ，则方程组的解是（ ）A．B．C．D．【分析】先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．【解答】解：y＝3代入y＝2x+1得2x+1＝3，解得x＝1，所以A点坐标为（1，3），所以方程组的解是．故选：B．4．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝ 3 ．【分析】根据由图象可知，直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（1，2），即可确定二元一次方程组的解，进一步求值即可．【解答】解：由图象可知，直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（1，2），∴二元一次方程组的解为，∴x+y＝1+2＝3，故答案为：3．5．若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】根据新定义，逐项判断即可．【解答】解：（﹣1）@（﹣2）＝﹣1﹣（﹣2）+3＝4，故①正确；∵x@（x+2）＝x+（x+2）﹣3＝2x﹣1，∴x@（x+2）＝5即是2x﹣1＝5，解得x＝3，故②正确；当x＜2x，即x＞0时，∵x@2x＝3，∴x+2x﹣3＝3，解得x＝2；当x≥2x，即x≤0时，∵x@2x＝3，∴x﹣2x+3＝3，解得x＝0，∴x@2x＝3的解是x＝2或x＝0，故③错误；∵x2+1≥1，∴y＝（x2+1）@1＝x2+1﹣1+3＝x2+3，令y＝0得x2+3＝0，方程无实数解，∴函数y＝（x2+1）@1与x轴无交点，故④错误；∴正确的有①②，共2个，故选：C．6．如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是 1 ，当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜1 ，当y1＜y2时，x的取值范围是 x＞1 ．【分析】根据两条直线的交点、结合图象解答即可．【解答】解：由图象可知，当kx﹣b＝nx时，x的值是1，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1．故答案为：1，x＜1，x＞1．7．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝ 0 ，n＝ ﹣1 ．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质： 当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大 ．（3）当时，x的取值范围为 x≤﹣1或x≥2 ．【分析】（1）把x＝﹣1和x＝4分别代入解析式即可得到m、n的值；（2）利用描点法画出图象，观察图象可得出函数的性质；（3）利用图象即可解决问题．【解答】解：（1）把x＝﹣1代入y＝2﹣|x﹣1|得，y＝2﹣|﹣1﹣1|＝0，∴m＝0；把x＝4代入y＝2﹣|x﹣1|得，y＝2﹣|4﹣1|＝﹣1，∴n＝﹣1；故答案为：0，﹣1；（2）画出函数的图象如图：观察图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；（3）画出一次函数y＝x+的图象，观察图象可知：当时，x的取值范围为x≤﹣1或x≥2，故答案为：x≤﹣1或x≥2．考向五：一次函数与三角形面积一．一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳1.一次函数y=kx+b（k≠0）与坐标轴交点规律与x轴交点坐标（，0）故：当k、b同号时，直线交于x轴负半轴；当k、b异号时，直线交于x轴正半轴对于直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点坐标（0，b）故：当b＞0时，直线交于y轴正半轴；当b＜0时，直线交于y轴负半轴2.求两直线交点坐标方法：联立两直线解析式，得二元一次方程组，解方程组得交点坐标；3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；二．一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数与面积结合问题解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数与面积结合问题解题技巧在数学中，一次函数是最基础的函数之一，它的图像是一条直线。
而面积则是一个二维概念，通常用来描述平面图形的大小。
一次函数与面积结合起来，可以帮助我们解决一些实际问题，例如求直线与X轴之间的面积、寻找最优解等。
在本文中，我们将介绍一些一次函数与面积结合问题的解题技巧。
一、基本概念在解决一次函数与面积结合问题时，首先需要了解一些基本概念。
一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
斜率表示函数的变化率，截距表示函数与Y轴的交点。
面积的计算公式为S = 底* 高，对于矩形和平行四边形，底和高即为长度和宽度；对于三角形，则一般取底边和高为两边。
二、求直线与X轴之间的面积当我们需要求一次函数与X轴之间的面积时，可以通过以下步骤进行：1. 找出函数与X轴的交点，即解方程kx + b = 0，得到交点的横坐标x0；2. 确定两个交点间的区间[a,b]，其中a为交点的横坐标的较小值，b为较大值；3. 计算函数在区间[a,b]上的积分，即∫[a,b] (kx + b)dx；4. 根据积分的结果，确定函数与X轴之间的面积。
对于函数y = 2x + 3，我们需要求函数图像在[1,3]上与X轴之间的面积。
解方程2x + 3 = 0，得到交点的横坐标为-3/2；然后计算∫[1,3] (2x + 3)dx = x^2 + 3x，将上限和下限代入，得到面积为10.5。
三、寻找最优解在一些实际问题中，我们需要找到最优解，即使得面积最大或最小的情况。
在这种情况下，我们可以通过一次函数的性质来解决问题。
假设我们需要用一根长度为L的绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大值。
设长方形的长为x，宽为y，则面积为xy。
根据题意，有2x + 2y = L，即x + y = L/2，可以将y表示为y = L/2 - x。
将y代入面积公式中，得到S = x(L/2 - x) = Lx/2 - x^2。
(完整版)八年级数学一次函数知识点总结
一次函数知识点总结一、函数1.变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。
注：变量还分为自变量和因变量。
2.常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。
3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值．4.函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法．a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。
b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。
c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。
5.求函数的自变量取值范围的方法．（1）要使函数的表达式有意义：a、整式（多项式和单项式）时为全体实数；b、分式时，让分母≠0；c、含二次根号时，让被开方数≠0 。
（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。
注意可能含有隐含非负或大于0的条件。
6.求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．7.描点法画函数图象的一般步骤如下：Step1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；Step2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；Step3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．8.判断y是不是x的函数的题型A、给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。
B、给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否则y是x的函数。
二、正比例函数1.正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，•其中k叫做比例系数。
《一次函数》知识点归纳和题型归类
一次函数知识点归纳和题型归类一、知识回顾1•一次函数定义形如y 的函数(其中k, b是常数，且k 0) 叫做一次函数.特别地，当b=0时，一次函数y = ( k=0)，这时y叫做x的正比例函数.正比例函数 ______________ 一次函数。
2. —次函数图象一次函数y=kx ・b(k=O)的图象是一条经过( ________ , 0)和(0 , ) 的直线.正比例函数y=kx是一条经过 _________ 的直线.3. —次函数性质在一次函数y=kx・b(k=O)(1)当k>0时，y随x的增大而(2)当k<0时，y随x 的增大而.(3)函数y_kx・b(k=O)的图象经过象限的情况:k b图象经过象限k>0b>0 b<0K<0b>0 b<04. 用图象法解二元一次方程组(1)将方程组的每个方程都化为(2)在同一直角坐标系中画出这两个一次函数的(3)_____________________ 这两条直线的的坐标，就是这个二元一次方程组的解5. —次函数与一元一次不等式的关系一次一次不等式kx b>0(或kx b<0)的解集，就是使一次函数_________________ 中y>0(或y<0)的'的取值范围.反映在图象上是一次函数图象在x轴上方部分(或x轴下方部分)对应的 _____________ 6. —次函数的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程(组)求解.二、基础演练二.典型题训练题型一、点的坐标方法：x轴上的点纵坐标为0, y轴上的点横坐标为0;若两个点关于x轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；1、若点A (m,n)在第二象限，则点(|m|,-n )在第 ____________ 象限；2、若点P (2a-1,2-3b )是第二象限的点，贝U a,b的范围为_________________________ ；3、已知A (4, b), B (a,-2 )，若A, B关于x轴对称，则a= __________ ,b= ________ ;若A,B关于y轴对称，贝U a= ______ ,b= ________ ; 若若A, B关于原点对称，贝U a= _______ ,b= ________ ；4、若点M( 1-x,1-y )在第二象限，那么点N( 1-x,y-1 )关于原点的对称点在第________________ 象限。
一次函数知识点总结和常见题型归类
一次函数知识点总结与常见题型基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量; 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量;例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______;在圆的周长公式C =2πr 中,变量是________,常量是_________.2、函数：一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 和y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量,y 是x 的函数;判断Y 是否为X 的函数,只要看X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数1y =πx 2y =2x －1 3y =错误! 4y =21－3x 5y =x 2－1中,是一次函数的有 A 4个 B 3个 C 2个 D 1个P116 1 P87 23、定义域：一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域;4、确定函数定义域的方法：1关系式为整式时,函数定义域为全体实数；2关系式含有分式时,分式的分母不等于零；3关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零；4关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零； 5实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义; 例题：下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥2的是A ．yB ．yC ．yD ．y函数y =x 的取值范围是___________.已知函数221+-=x y ,当11≤<-x 时,y 的取值范围是 A .2325≤<-y B .2523<<y C .2523<≤y D .2523≤<y5、函数的图像一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象．例题:P117 56、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式;7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步：描点在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点；第三步：连线按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来;画3个图像 8、函数的表示方法列表法：一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律;解析式法：简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示;图象法：形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系; 9、正比例函数及性质一般地,形如y =kxk 是常数,k ≠0的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y =kx k 不为零 ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 (1) 解析式：y =kxk 是常数,k ≠0 (2) 必过点：0,0、1,k(3) 走向：k >0时,图像经过一、三象限；k <0时,•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k >0,y 随x 的增大而增大；k <0,y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k |越大,越接近y 轴；|k |越小,越接近x 轴例题：.正比例函数(35)y m x =+,当m 时,y 随x 的增大而增大. 若23y x b =+-是正比例函数,则b 的值是 B .23 C .23- D .32- .函数y =k －1x ,y 随x 增大而减小,则k 的范围是A .0<kB .1>kC .1≤kD .1<k东方超市鲜鸡蛋每个元,那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x 个之间的函数关系式是_______________． 平行四边形相邻的两边长为x 、y ,周长是30,则y 与x 的函数关系式是__________． 10、一次函数及性质一般地,形如y =kx ＋bk ,b 是常数,k ≠0,那么y 叫做x 的一次函数.当b =0时,y =kx ＋b 即y =kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y =kx +b k 不为零 ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数 1解析式：y =kx +bk 、b 是常数,k ≠0 2必过点：0,b 和－kb,0 3走向：思考：若m ＜0,＞0, 则一次函数的图象不经过A .第一象限B . 第二象限C .第三象限D .第四象限 题型：由k,b 判断图像,由图像判断k,b4增减性： k >0,y 随x 的增大而增大；k <0,y 随x 增大而减小.5倾斜度：|k | 越大,图象越接近于y 轴；|k | 越小,图象越接近于x 轴. 6图像的平移： 上加下减,左加右减 例题：若关于x 的函数1(1)m y n x-=+是一次函数,则m = ,n ..函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是将直线y ＝3x 向下平移5个单位,得到直线 ；将直线y ＝－x －5向上平移5个单位,得到直线 . 若直线a x y +-=和直线b x y +=的交点坐标为8,m ,则=+b a ____________.已知函数y ＝3x +1,当自变量增加m 时,相应的函数值增加 Ａ．3m +1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m －1 11、一次函数y =kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：与y 轴的交点0,b ,与x 轴的交点kb-,0.即横坐标或纵坐标为0的点. 14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： 1根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；2将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； 3解方程得出未知系数的值；4将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 15、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax +b =0a ,b 为常数,a ≠0的形式,所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值. 从图象上看,相当于已知直线y =ax +b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值. 16、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax +b >0或ax +b <0a ,b 为常数,a ≠0的形式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大小于0时,求自变量的取值范围. 17、一次函数与二元一次方程组1以二元一次方程ax +by =c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y =bcx b a +-的图象相同. 2二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y =1111b c x b a +-和y =2222b cx b a +-的图象交点.18、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积一次函数y =kx ＋b 的图象与两条坐标轴的交点：与y 轴的交点0,b ,与x 轴的交点kb-,0. 直线b ≠0与两坐标轴围成的三角形面积为s =kb b k b 2212=⨯⨯常见题型一、☆考察一次函数定义 1、若函数()213m y m x=-+是y 关于x 的一次函数,则m 的值为 ；解析式为 .2、要使y =m －2x n －1+n 是关于x 的一次函数,n ,m 应满足 , .二、☆考查图像性质1、已知一次函数y =m －2x +m －3的图像经过第一,第三,第四象限,则m 的取值范围是________．2、已知m 是整数,且一次函数(4)2y m x m =+++的图象不过第二象限,则m 为 .3、直线y kx b =+经过一、二、四象限,则直线y bx k =-的图象只能是图4中的 图6,两直线1y kx b =+和4、如2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是为 时,直线2y x b =+与5.b直线34y x =-的交点在x 轴上. 6.要得到y =－32x －4的图像,可把直线y =－32x ． A 向左平移4个单位B 向右平移4个单位 C 向上平移4个单位 D 向下平移4个单位7、已知一次函数y =－kx +5,如果点P 1x 1,y 1,P 2x 2,y 2都在函数的图像上,且当x 1<x 2时,有y 1<y 2成立,那么系数k 的取值范围是________．8、已知点－4,y 1,2,y 2都在直线y =－ 错误!x +2上,则y 1 、y 2大小关系是Ay 1 >y 2 By 1 =y 2 Cy 1 <y 2 D 不能比较 三、☆交点问题1、若直线y =3x －1与y =x －k 的交点在第四象限,则k 的取值范围是 ．Ak <13 B 13<k <1 Ck >1 Dk >1或k <132、若直线y x a =-+和直线y x b =+的交点坐标为(,8)m ,则a b += .3、一次函数y kx b =+的图象过点(,1)m 和(1,)m 两点,且1m >,则k = ,b 的取值范围是 .4、直线y kx b =+经过点(1,)A m -,(,1)B m (1)m >,则必有A . 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <>.0,0D k b <<5、如图所示,已知正比例函数xy 21-=和一次函数b x y +=,它们的图像都经过点Pa ,1,且一次函数图像与y 轴交于Q 点;1求a 、b 的值；2求△PQO 的面积; 四、☆面积问题1、若直线y =3x +6与坐标轴围成的三角形的面积为S ,则S 等于 ． A ．6 B ．12 C ．3 D ．242、若一次函数y =2x +b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b =_______．3、已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图像都经过(2,0)A -,且与y 轴分别交于点B ,c ,则ABC ∆的面积为A ．4B ．5C ．6D ．74、已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点－1,－5,且与正比例函数1y=x 2的图像相交于点2,a ,求1a 的值；2k 、b 的值；3这两个函数图像与x 轴所围成的三角形面积; 五、☆一次函数解析式的求法1 定义型 例1. 已知函数y m xm=-+-()3328是一次函数,求其解析式;2点斜型 例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点2,－1,求这个函数的解析式;3两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是－2,0、0,4,则这个函数的解析式为_____________;4图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________;5斜截型 例 5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行,且在y 轴上的截距为2,则直线的解析式为 ;6平移型 例6. 把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为 ;7 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩油量Q 升与流出时间t 分钟的函数关系式为 ;8面积型 例8. 已知直线y kx =-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为 ;9对称型 例9. 若直线l 与直线y x =-21关于y 轴对称,则直线l 的解析式为____________; 知识归纳： 若直线l 与直线y kx b =+关于1x 轴对称,则直线l 的解析式为y kx b =-- 2y 轴对称,则直线l 的解析式为y kx b =-+3直线y ＝x 对称,则直线l 的解析式为y k x b k =-1 4直线y x =-对称,则直线l 的解析式为y k x bk=+15原点对称,则直线l 的解析式为y kx b =-10开放型 例10.一次函数的图像经过－1,2且函数y 的值随x 的增大而增大,请你写出一个符合上述条件的函数关系式 .11比例型 例11..已知y 与x +2成正比例,且x ＝1时y ＝－6．求y 与x 之间的函数关系式 练习题：1. 已知直线y =3x －2, 当x =1时,y =2. 已知直线经过点A 2,3,B －1,－3,则直线解析式为________________3. 点－1,2在直线y =2x ＋4上吗 填在或不在4. 当m 时,函数y =m －232-m x+5是一次函数,此时函数解析式为 ;5. 已知直线y =3x +b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为6,则函数的解析式为 .6. 已知变量y 和x 成正比例,且x =2时,y =－21,则y 和x 的函数关系式为 ; 7. 点2,5关于原点的对称点的坐标为 ；关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ;8. 直线y =kx ＋2与x 轴交于点－1,0,则k = ;9. 直线y =2x －1与x 轴的交点坐标为 与y 轴的交点坐标 ; 10. 若直线y =kx ＋b 平行直线y =3x ＋4,且过点1,－2,则k = .11. 已知A －1,2, B 1,－1, C 5,1, D 2,4, E 2,2,其中在直线y =－x +6上的点有_________,在直线y =3x －4上的点有_______12. 某人用充值50元的IC 卡从A 地向B 地打长途电话,按通话时间收费,3分钟内收费元,以后每超过1分钟加收1元,若此人第一次通话t 分钟3≤t ≤45,则IC 卡上所余的费用y 元与t 分之间的关系式是 . 13. 某商店出售一种瓜子,其售价y 元与瓜子质量x 千克之间的关系如下表质量x 千克 1 2 3 4 售价y 元++++由上表得y 与x 之间的关系式是 14. 已知:一次函数的图象与正比例函数Y =－32X 平行,且通过点0,4, 1求一次函数的解析式.2若点M －8,m 和Nn ,5在一次函数的图象上,求m ,n 的值15. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过点－1, －5,且与正比例函数y = 错误!x 的图象相交于点2,a ,求1a 的值 2k ,b 的值3这两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积.16. 有两条直线b ax y +=1,c cx y 52+=,学生甲解出它们的交点坐标为3,－2,学生乙因把c 抄错了而解出它们的交点坐标为)41,43(,求这两条直线解析式17. 已知正比例函数x k y 1=的图象与一次函数92-=x k y 的图象交于点P 3,－6 1求21,k k 的值;2如果一次函数92-=x k y 与x 轴交于点A ,求A 点坐标18. 某种拖拉机的油箱可储油40L ,加满油并开始工作后,•油箱中的余油量yL 与工作时间xh 之间为一次函数关系,如图所示．1求y 与x 的函数解析式． 2一箱油可供拖位机工作几小时 一、☆分段函数1、某自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按月用水量收费办法,若某户居民应y交水费y 元与用水量x 吨的函数关系如图所示;1写出y 与x 的函数关系式；2若某户该月用水21吨,则应交水费多少元 2、果农黄大伯进城卖菠萝,他先按某一价格卖出了一部分菠萝后,把剩下的菠萝全部降价卖完,卖出的菠萝的吨数x 和他收入的钱数y 万元的关系如图所示,结合图象回答下列问题：1降价前每千克菠萝的价格是多少元2若降价后每千克菠萝的价格是元,他这次卖菠萝的总收入是2万元,问他一共卖了多少吨菠萝 3、某市电力公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法计算电费：每月不超过100度时,按每度元计费；每月用电超过100度时,其中的100度按原标准收费；超过部分按每度元计费.1设用电x 度时,应交电费y 元,当x ≤100和x ＞100时,分别写出y 关于x 的函数关系式.24、某校需要刻录一批电脑光盘,若电脑公司刻录,每张需要8元含空白光盘费；若学校自刻,除租用刻录机需120元外每张还需成本费4元含空白光盘费,问刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录费用少还是自刻费用少说明你的理由 二、☆一次函数应用1、甲、乙二人在如图所示的斜坡AB 上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a 米/分,下山的速度是b 米/分,a <b ；乙上山的速度是12a 米/分,下山的速度是2b 米/分．如果甲、乙二人同时从点A 出发,时间为t 分,离开点A 的路程为S 米,•那么下面图象中,大致表示甲、乙二人从点A 出发后的时间t 分与离开点A 的路程S 米•之间的函数关系的是 2、如图7,A 、B 两站相距42千米,甲骑自行车匀速行驶,由A 站经P 处去B 站,上午8时,甲位于距A 站18千米处的P 处,若再向前行驶15分钟,使可到达距A 站22千米处.设甲从P 处出发x 小时,距A 站y 千米,则y 与x 之间的关系可用图象表示为3、汽车由重庆驶往相距400千米的成都,如果汽车的平均速度是100千米/时,那么汽车距成都的路程s 千米与行驶时间t 小时的函数关系用图象表示为D 4、,,,吨原油罐没储油后将进油1624,直到将油罐内的油放完,12在同一坐标系中,画出这三个函数的图象.5、甲乙两个仓库要向A 、B 两地运送水泥,已知甲库可调出100吨水泥,乙库可调出80吨水泥,A 地需70吨水泥,B 地需110吨水泥,两库到A ,B 两地的路程和运费如下表表中运费栏“元/吨、千米”表示每吨水泥运送1千米所需人民币1.2当甲、乙两库各运往A 、B 两地多少吨水泥时,总运费最省最省的总运费是多少6、A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台,•现在决定把这些机器支援给D 市18台,E 市10．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B•市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元．1设从A市、B市各调x台到D市,当28台机器调运完毕后,求总运费W元关于x台的函数关系式,并求W的最大值和最小值．2设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器调运完毕后,用x、y表示总运费W元,并求W的最大值和最小值．7、某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者,果园基地对购买量在3000千克以上含3000千克的有两种销售方案,甲方案：每千克9元,由基地送货上门;乙方案：每千克8元,由顾客自己租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元;1分别写出该公司两种购买方案的付款y元与所购买的水果质量x千克之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;2依据购买量判断,选择哪种购买方案付款最少并说明理由;8、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套,该公司所筹资金不少于2090万元,但不超过2096万元,且所筹资金全部用于建房,两种户型的建房成本和售价如下表：注：利润=售价－成本1该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案2该公司如何建房获得利润最大3根据市场调查,每套B型住房的售价不会改变,每套A型住房的售价将会提高a万元a>0,且所建的两种住房可全部售出,该公司又将如何建房获得利润最大。
一次函数的应用(知识点+例题)
1.（2013•）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？（2）求线段CD对应的函数解析式．（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）．一次函数的应用知识点一：一次函数与坐标轴交点和面积问题1：交点问题一次函数b kx y +=的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点。
【典型例题】1．直线y=－x+2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 2．直线y=－x －1与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 3．函数y=x+1与x 轴交点为（ ）A ．（0，-1）B ．（1，0）C ．（0，1）D ．（-1，0）4．直线y=-32x+3与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．3 B ．6 C ．34 D ．325．直线y=-2x-4交x 轴、y 轴于点A 、B ，O 为坐标原点，则S △AOB = 。
6．若直线y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b 的值是 。
7．如图所示，已知直线y=kx-2经过M 点，求此直线与x 轴交点坐标和直线与两坐标轴围成三角形的面积．2：面积问题面积：一次函数y=kx+b 与x 、y 轴所交的两点与原点组成的三角形的面积为2b k(1)：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解。
(2)：复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）。
(3)：往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。
1. 直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。
2. 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （4,3），且OA=OB （1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；3. 已知：m x y l +=2:1经过点（-3，-2），它与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，直线b kx l +=:2经过点（2，-2），且与y 轴交于点C （0，-3），它与x 轴交于点D （1）求直线21,l l 的解析式；（2）若直线1l 与2l 交于点P ，求ACD ACP S S ∆∆：的值。
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教师: 陈晓静 学生: 年级 日期: 星期: 时段:学情分析 基础 ，对于知识不能灵活运用课 题 一次函数关于面积问题学习目标与 考点分析 学习目标：1、关于一次函数的面积问题利用面积求解析式2、利用解析式求面积以及对于动点问题学会熟练的解决 考点分析：1、一次函数的解析式与面积的充分结合 学习重点 重点：1、一次函数与面积的综合结合与运用2、对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握 学习方法讲练结合 练习巩固学习内容与过程一、本节内容导入 一次函数相关的面积问题画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。
规则图形 （公式法） 不规则图形 （切割法）不含参数问题含参数问题 （用参数表示点坐标，转化成线段） 注意：坐标的正负、线段的非负性。
求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。
二、典例精讲一、利用面积求解析式1、直线b x y +=2与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b =________. （分类讨论）由于b 值符号不确定，所以图形可能两种情况，引出分类讨论。
1922b S b ∆=⋅-=21362S b ∆=-=2、 已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线经过原点，与线段AB 交于点C ，把,△AOB 的面积分为2：l 两部分，求直线名的解析式．由于题目中的哪一部分的面积大，没有交代，引出分类讨论。
A( -3 , 0) B(0 , 3 ) Saob= 9/2 设L: y= kx11113232BOC AOB S OB C D S ∆∆=⋅⋅==所以1C D =1，C1(-1 , y ) ,代入y=x+3 ， y = 2所以C1(-1 , 2 ) 同理：C2(-2 , 1)3、如图,已知直线PA ：)0(>+=n n x y 与x 轴交于A,与y 轴交于Q,另一条直线x n m m x y 与)(2>+-=轴交于B,与直线PA 交于P求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用m 或n 表示) (2)若AB=2,且S四边形PQOB=65,求两个函数的解析式. 主要练习用字母表示其它的量，建立方程的思想。
两点间的距离公式： AB=A Bx x -或 AB=A By y -AB=A B x x -=()2mn --=2再根据四边形面积公式建立等式。
求解m ，n4、已知直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线b kx y +=)0(≠k 经过点)0,1(C ，且把AOB ∆分成两部分（1）若AOB ∆被分成的两部分面积相等，则k 和b 的值（2）若AOB ∆被分成的两部分面积比为1：5，则k 和b 的值 答案：（1）2,2=-=b k （2）①32,32=-=b k ②2,2-==b k 5、已知一次函数332y x =-+的图象与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，直线y kx b =+经过OA 上的三分之一点D ，且交x 轴的负半轴于点C ，如果AOB DOC S S ∆∆=，求直线y kx b =+的解析式．ED OC2C1B A二、利用解析式求面积1、直线b kx y +=过点A （－1，5）和点)5,(-m B 且平行于直线x y -=，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积.2、 如图，所示，一次函数b kx y +=的图像经过A ，B 两点，与x 轴交于C 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOC ∆的面积3、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C 的坐标;(2)求△ABC 的面积.(3)在直线BC 上能否找到点P,使得S △APC =6， 若能，请求出点P 的坐标，若不能请说明理由。
4、如图，直线y ＝-34x+4与y 轴交于点A ，与直线y ＝54x+54交于点B ，且直线y ＝54x+54与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积。
5、已知直线y kx b =+经过点A （0，6），且平行于直线2y x =-. （1）求该函数的解析式，并画出它的图象；（2）如果这条直线经过点P （m ，2），求m 的值； （3）若O 为坐标原点，求直线OP 解析式；（4）求直线y kx b =+和直线OP 与坐标轴所围成的图形的面积。
BAC O6、如图,已知直线PA ：)0(>+=n n x y 与x 轴交于A,与y 轴交于Q,另一条直线x n m m x y 与)(2>+-=轴交于B,与直线PA 交于P求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用m 或n 表示) (2)若AB=2,且S四边形PQOB=65,求两个函数的解析式.三、关于面积的函数关系1、已知点A （x ，y ）在第一象限内，且x+y=10，点B （4，0），△OAB 的面积为S.（1）求S 与x 的函数关系式，直接写出x 的取值范围，并画出函数的图像； （2）△OAB 的面积为6时，求A 点的坐标；2、如图,正方形ABCD 的边长为4,P 为CD 边上一点(与点D 不重合)。
设DP=x ，（1）求APD ∆的面积y 关于x 的函数关系式；（2）写出函数自变量x 的取值范围； （3）画出这个函数的图象四、动点问题与一次函数面积1、如图(1),在矩形ABCD 中,AB=10cm,BC=8cm,点P 从A 出发, 沿A →B →C →D 路线运动,到D 停止;点Q 从D 出发,沿D →C →B →A 路线运动,到A 停止. 若点P 、点Q 同时出发,点P 的速度为1cm/s,点Q 的速度为2cm/s,as 时点P 、点Q 同时改变速度,点P 的速度变为bcm/s,点Q 的速度变为dcm/s .图(2)是点P 出发x 秒后△APD 的面积S1(cm 2)与x(s)的函数关系图象;图(3)是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积S 2(cm 2)与x(s)的函数关系图象.(1)参照图(2),求a 、b 及图(2)中c 的值; (2)求d 的值;(3)设点P 离开点A 的路程为y 1(cm),点Q 到A 还需走的路程为y 2(cm), 请分别写出动点P 、Q 改变速度后y 1、y 2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式,并求出P 、Q 相遇时x 的值; (4)当点Q 出发_______s 时,点P 、点Q 在运动路线上相距的路程为25cm.AFEoyx(1)PQCBA D x(秒)(2)20840caOS 1(cm 2)x(秒)(3)2240OS 2(cm 2)2、如图，直线L ：221+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0，4）,动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。
（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标。
3、如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。
4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，两条直线分别与x 轴交于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）试求当BD =CD 时D 点的坐标；（3）如BDC ∆的面积为ABC ∆面积的两倍，则求此时D 的坐标．5． 如图，已知直线343y x =-+与x 轴相交于点A ，与直线3y x =相交于点P ．（1）求点P 的坐标．（2）请判断OPA ∆的形状并说明理由．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B ．设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S ．试求 S 与t 之间的函数关系式．6.如图1，在平面直角坐标系中，已知点(043)A ，，点B 在x 正半轴上，且30ABO ∠．动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．在x 轴上取两点M N ，作等边PMN △．（1）求直线AB 的解析式； （2）求等边PMN △的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边PMN △的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；五、通过面积求参数的值或范围1、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C 的坐标;(2)求△ABC 的面积. (3)在直线BC 上能否找到点P,使得S △APC =6， 若能，请求出点P 的坐标，若不能请说明理由。
2、在边长为 2 的正方形ABCD 的边BC 上，有一点P 从B 点运动到C 点，设PB=x ，图形APCD 的面积为y ，写出y 与自变量x 的函数关系式，并且在直角坐标系中画出它的图象3、如图1，在直角坐标系中，已知点A （6，0），又点B （x ，y ）•在第一象限内，且x+y=8，设△AOB 的面积是S ．（1）写出S 与x 之间的函数关系式，并求出x•的取值范围；（2）画出图象．Fy O A x P EB（图1）yA P M O NB xxyA 1B 1B ANM1O（1） (24．如图，直线l 1过A （0，2），B （2，0）两点，直线l 2：y mx b =+过点（－1，0），且把AOB ∆分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，及自变量m 的取值范围。
(08西城二模)如图，函数4+-=x y 的图象分别交x 轴，y 轴于点 N 、M ，过MN 上的两点A 、B 分别向x 轴作垂线与x 轴 交于1A （x 1,0）），1B (x 2,0)，(的左边在11B A ),若114OA OB +>. (1) 分别用含x 1、x 2的代数式表示1OA A ∆的面积1S 与1OB B ∆的面积2S (2) 请判断1OA A ∆的面积1S 与1OB B ∆的面积2S 的大小关系，并说明理由.解:设A （11,y x ），B （22,y x ），则4,42211+-=+-=x y x y . (1)21111111111(4)2222S OA A A x x x x =⋅=-+=-+. 22222112221)4(2121x x x x B B OB S +-=+-=⋅=.-------------------2分.(2)有21S S >.----------------------------------3分. 理由如下:)(2)(2121222121x x x x S S -+--=- =)4)((212121-+--x x x x .---------------------5分. 由题意知,21x x <,且421>+x x .42-25QPOA所以,04,02121>-+<-x x x x .可得 2121,0S S S S >>-即.-----------------------------------6分.课内练习与训练1、在直角坐标系中，有以A （－1，－1），B （1，－1），C （1，1），D （－1，1）为顶点的正方形，设此正方形在折线y=|x －a |＋a 上侧部分的面积为S ，画出图形并写出S 关于a 的函数关系式。