两角和与差的正弦和余弦公式学习教材PPT课件
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件
由勾股定理，可得
y
P1P22=P1Q2+QP22
N2(0, y2)
∟
.
P2(x2, y2)
=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2
=(x1–x2)2+(y1–y2)2, 由此得到平面内
M1(x1, 0)
.∟
O
∟∟ ∟
M2(x2, 0)
x
Q
P1(x1, y1), P2(x2, y2)
P1(x1, y1) N1(0, y1)
本课小结： 在这节课中，我们研究了两个角的
和与差的正弦、余弦和正切公式，这些 公式在今后有大量的应用，应熟练地、 灵活地掌握。
(例3就是反过来用公式的例子).
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2 3 2 1 6 2;
2 2 22
4
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
余弦和正切的值.
tan15°= scions1155°°
6 6
2 2 3; 2
或 tan15°=tan(45°–30°)
tan45tan30 1tan45tan30
1 3
3
3
11 3 3
3
3 2 3; 3
+ sin2α+2sinα sinβ+ sin2β， 2–2cos(α+β) =2–2cosα cosβ +2sinα sinβ，
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)
第五章 三角函数
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件 (共24张PPT) 人教A版(2019)必修第一册
O
x
例1.利用公式C(α-β)证明:
诱导公式反映的是圆的特殊
对称性
y
（2） cos( ) cos .
证明：
(−, )
O
发现上述诱导公式与差角的余弦公式间的联系.
x
探究点二 利用两角差的余弦公式解决给值求值问题
4
5
例2.已知 sin , ( , ), cos , 是第三象限角，
1 1
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)
∠ =∠=α－β
α-β
α-β
O
问题4:你能证明这个式子为何成立吗？
x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β)) (1,0)
y
α-β
根据两点间距离公式
α-β
3.常见误区:(1)求角时忽视角的范围;(2)公式的逆用及符号问题.
5
2
13
求cos( - ).
4
4
3
解：由 sin , ( , ), 得 cos 1 sin 2 1 ( ) 2 ，
5
2
5
5
5
又由 cos , 是第三象限角，得
13
5 2
12
sin 1 cos 1 ( ) ，
s ）cos +sin（ ）sin =
3 ） 3 co（
3
3
3
3
26
观察已知角与未知角之间的关系
2 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(共41张PPT)
＝cos
17°sin 30° cos 17°
＝sin 30°＝12.
探究点 2 给值求值
已知π2＜β＜α＜34π，cos(α－β)＝1132，sin(α＋β)＝－35，求 cos 2α 与
cos 2β 的值． 【解】 因为π2＜β＜α＜34π， 所以 0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π. 所以 sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β） ＝ 1－11232＝153，
所以 cos (α＋β)＝cos π4＋β－π4－α
＝cos π4＋β·cos π4－α
＋sin π4＋βsin π4－α
＝－21× 23＋
23×－12＝－
3 2.
又因为π2<α＋β<π，
所以 α＋β＝56π.
1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于
A．12
B．－12
若 sin π4－α＝－12，sin π4＋β＝ 23，其中π4<α<π2，π4<β<π2， 求 α＋β 的值． 解：因为π4<α<π2，π4<β<π2， 所以－π4<π4－α<0，π2<π4＋β<34π. 所以 cos π4－α＝ 1－sin2π4－α＝ 23， cos π4＋β＝－ 1－sin2π4＋β＝－12，
求下列各式的值．
(1)sin
105°；(2)tan
165°；(3)sin
47°－sin 17°cos sin 73°
30° .
解：(1)sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°·sin 60°
＝ 22×12＋ 22× 23＝
6＋ 4
两角和与差正弦余弦公式课件
于信号的合成、滤波等操作。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
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$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
• 二、两角和与差的正弦公式
名称 简记符号
公式
两角和 的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
两角差 的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
使用条件 α，β∈R α，β∈R
• 2．怎样利用诱导公式推出sin(α±β)? 提示：sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β ＝cosπ2－αcos β＋sinπ2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β， 用－β 代 β 得 sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋ cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)若角的范围是－π2，π2，则选择正弦函数比余弦函数 更好；
(5)若角的范围是(0，π)，则选择余弦函数比正弦函数更 好．总之，尽量选择在区间上单调的函数．
• 三、两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和 的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β
T(α＋β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
tan(α－β)＝
两角差 的正切
tan α－tan β 1＋tan αtan β
T(α－β)
α，β，
α－β≠ π
kπ＋ 2(k∈Z)
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β) α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．
• S(α±β)的正向应用是把α±β的形式转化为单角α、β的三角函 数值计算．
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共38张PPT)
tan(
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
两角和与差的正弦余弦和正切公式复习课件(共35张PPT)
目录
2.已知 x∈(－π2，0)，cos x＝45，则 tan 2x＝(
)
7 A.24
B．－274
C.274
D．－274
解析：选 D.依题意得 sin x＝－
1－cos2x＝－35，tan
x＝csions
x x
＝－34，所以 tan 2x＝12－tatnanx2x＝12－×（（－－4343））2＝－274,故选 D.
目录
3.若sincoαs－2απ4＝－ 22，则 cos α＋sin α＝(
)
A．－
7 2
B．－12
1
7
C.2
D. 2
解析：选
C.由已知条件
cos2α－sin2α
2 2 sin
α－
2 2 cos
＝－ α
22，
则 cos α＋sin α＝12.
目录
4.化简：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝________． 解析：原式＝sin(α＋β－β)＝sin α. 答案：sin α 5.若 cos α＝12，其中 α∈(－π2，0)，则 sinα2的值是________． 解析：sin2α2＝1－c2os α＝14.
目录
tan α＋tan β
(3)tan(α＋β)＝____1_－__ta_n__α_t_a_n_β______， tan α－tan β
tan(α－β)＝____1_＋__t_a_n_α_t_a_n__β______．
(α，β，α＋β，α－β 均不等于 kπ＋π2，k∈Z) 其变形为：tan α＋tan β＝__t_an_(_α_＋__β_)_(1_－__ta_n_α_t_a_n_β_)____， tan α－tan β＝______ta_n_(_α_－_β_)_(_1_＋__ta_n_α_t_a_n_β_)_______．
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过 大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围， (2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该 角的哪一种三角函数值．
若把本例题的条件改为“α∈(0，2π)，β∈(－π2，0)，且 cos(α－β)＝35，sin β＝－102”，试求角 α 的大小．
化简求值： (1)sin1π2－ 3cos1π2；
sin 15°－cos 15° (2)cos 15°＋sin 15°.
【思路探究】 解答本题中的(1)可先考虑如何去变换系 数，才能与学习的公式相联系，可以考虑 1＝2×12， 3＝ 2× 23，引入特殊角的三角函数；(2)可先分子分母同除以 cos 15°得出t1a＋n 1ta5n°－151°，然后再把该式向公式 tan(α±β)转化．
＝ 22sin(x＋51π2)．
1．对于形如 sin α±cos α， 3sin α±cos α 的三角函数式均 可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化 简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角 函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基 本原则．
【自主解答】
(1)法一
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(sinπ6sin1π2－cosπ6cos1π2)
＝－2cos(π6＋1π2)＝－2cosπ4
＝－ 2.
法二
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(cosπ3sin1π2－sinπ3cos1π2)
＝－2sin(π3－1π2)
将本例中条件“已知 α、β 是锐角”改为“α、β 都是钝 角”．仍求 sin β 的值．
两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件
如何求sin 的值？
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
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A＝ . 5 5 因为 B 为△ABC 的内角，又 sinB＝13， 12 所以 cosB＝± 1－sin B＝± . 13
2
12 (1)当 cosB＝13，即 B 为锐角时， sinC＝sin[180° －(A＋B)]＝sin(A＋B) 4 12 3 5 63 ＝sinAcosB＋cosAsinB＝ × ＋ × ＝ . 5 13 5 13 65
[答案]
[ 解析 ]
2－ 6 6－ 2 (1) (2) (3)sinα 4 4
(1)cos105° ＝ cos(60° ＋ 45° ) ＝ cos60° cos45°
2－ 6 1 2 3 2 －sin60° sin45° ＝2·2 － 2 ·2 ＝ 4 . (2)sin15° ＝ sin(45° － 30° ) ＝ sin45° cos30° － 6－ 2 2 3 2 1 cos45° sin30° ＝ 2 × 2 － 2 ×2＝ 4 .
• 2．在理解基础上记忆公式 • 要注意各公式之间结构形式上的异同点， 以正确区分公式． • 和角余弦同名积之差，差角余弦同名积之 和；和角正弦异名积之和，差角正弦异名 积之差． • 3 ．灵活运用公式，会正用、逆用、变形 运用，会依据题目中角的构成特点，函数 名的构成及式子的结构特征恰当选择应用 公式，并不断归纳、积累经验形成技巧．
[例 3] 的值．
3 5 在△ABC 中，cosA＝5，sinB＝13，求 sinC
• [分析] △ABC中，C＝π－(A＋B)；已知 cosA，sinB可求sinA，cosB.由sinB求cosB 时，因为B可能为钝角，故应讨论确定 cosB的符号．
[解析]
3 因为 A 为△ABC 的内角且 cosA＝5，
2－ 6 21 2 3 ＝2· 2－ 2 ·2 ＝ 4 .
• [点评] 应用公式前一定要看角是否相同， 看名称及式子结构特征是否与公式吻合．
• 在△ ABC 中，若sinA·sinB<cosA·cosB，则 △ABC一定是 ( ) • A．等边三角形 • B．直角三角形 • C．锐角三角形 • D．钝角三角形
[ 解 析 ]
由 sinAsinB<cosAcosB 得 cosAcosB －
• sin [答案 ] D AsinB>0，
即 cos(A＋B)>0，又∵cos(A＋B)＝－cosC， ∴cosC<0， π ∴ <C<π，故选 D. 2
• [例2] (1)cos44°sin14°－sin44°cos14°； • (2)sin(54° － x)cos(36° ＋ x) ＋ cos(54° － x)sin(36°＋x)． • [ 分析 ] (1) 符合 S(α － β) ， (2) 符合 S(α ＋ β) 的结 构特征，可直接运用S(α±β)公式．
[解析]
(1)原式＝sin14° cos44° －cos14° sin44°
1 ＝sin(14° －44° )＝sin(－30° )＝－2. (2)原式＝sin[(54° －x)＋(36° ＋x)] ＝sin90° ＝1.
化简求值： (1)sin14° cos16° ＋sin76° cos74° ＝________； π π (2)sin － 3cos ＝________. 12 12 1 [答案] (1)2 (2)－ 2 [分析] (1)中角不同， 应先用诱导公式， 化成相同角． (2)
[ 例 1]
不 查 表 求 值 ： cos
π π ＋3x cos －3x － 4 3
π π sin4＋3xsin3－3x.
• [分析] 式子为同名积之差，故用Cα＋β.
[解析]
π π 原式＝cos4＋3x＋3－3x π π π π π π ＝cos 4＋3 ＝cos cos －sin sin 4 3 4 3
3 π cos 2 12
π π π π ＝2cos3sin12－sin3cos12 π π π ＝－2sin3－12＝－2sin ＝－ 4
2.
[ 点评 ]
形如 asinx± bcosx 的三角函数，可以提取
a2＋b2 化为 a2＋b2 sin(x ＋ φ)( 或 a2＋b2 cos(x ＋ φ)) 的形 式． 一定要注意看化成的式子展开后是否符合已知式子．
1 3 π 中只有一个角，注意系数 1 和 3，联想到2和 2 ，可化为3或 π 的三角函数． 6
[解析]
(1) 原 式 ＝ sin14° cos16°＋ sin(90°－
14° )cos(90° －16° ) ＝sin14° cos16° ＋cos14° sin16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin30° ＝2. (2)解法
(3)原式＝sin[(α－β)＋β]＝sinα.
• 重点：掌握两角和差的余弦公式、正弦公 式． • 难点：①角的变换与角的范围讨论． • ②公式的适当选取．
1．公式导出的过程体现了角的变换技巧． 在三角恒等变换中，角的变换技巧的掌握至关重要， 常见的“变角”、“凑角”形式如 α＋β＝α－(－β)；α－ α＋β α－β β＝α＋(－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； α＝ ＋ ， 2 2
1 π 1：原式＝2 sin － 12 2
3 π cos 2 12
π π π π ＝2sin6sin12－cos6cos12 π π π ＝－2cos 6＋12 ＝－2cos ＝－ 4
2.
解法
1 π 2：原式＝2 sin － 12 2
α＋β α－β α 2α π π π β＝ － ； α＝2× ＝ ； ＋α＝ － 4－α ；75° 2 2 2 2 4 2 α＋β β α ＝45° ＋30° ； 2 ＝α－2－2－β；△ABC 中，A＋B＝π
A π B＋C －C， 2 ＝2－ 2 等等．
2
12 (1)当 cosB＝13，即 B 为锐角时， sinC＝sin[180° －(A＋B)]＝sin(A＋B) 4 12 3 5 63 ＝sinAcosB＋cosAsinB＝ × ＋ × ＝ . 5 13 5 13 65
[答案]
[ 解析 ]
2－ 6 6－ 2 (1) (2) (3)sinα 4 4
(1)cos105° ＝ cos(60° ＋ 45° ) ＝ cos60° cos45°
2－ 6 1 2 3 2 －sin60° sin45° ＝2·2 － 2 ·2 ＝ 4 . (2)sin15° ＝ sin(45° － 30° ) ＝ sin45° cos30° － 6－ 2 2 3 2 1 cos45° sin30° ＝ 2 × 2 － 2 ×2＝ 4 .
• 2．在理解基础上记忆公式 • 要注意各公式之间结构形式上的异同点， 以正确区分公式． • 和角余弦同名积之差，差角余弦同名积之 和；和角正弦异名积之和，差角正弦异名 积之差． • 3 ．灵活运用公式，会正用、逆用、变形 运用，会依据题目中角的构成特点，函数 名的构成及式子的结构特征恰当选择应用 公式，并不断归纳、积累经验形成技巧．
[例 3] 的值．
3 5 在△ABC 中，cosA＝5，sinB＝13，求 sinC
• [分析] △ABC中，C＝π－(A＋B)；已知 cosA，sinB可求sinA，cosB.由sinB求cosB 时，因为B可能为钝角，故应讨论确定 cosB的符号．
[解析]
3 因为 A 为△ABC 的内角且 cosA＝5，
2－ 6 21 2 3 ＝2· 2－ 2 ·2 ＝ 4 .
• [点评] 应用公式前一定要看角是否相同， 看名称及式子结构特征是否与公式吻合．
• 在△ ABC 中，若sinA·sinB<cosA·cosB，则 △ABC一定是 ( ) • A．等边三角形 • B．直角三角形 • C．锐角三角形 • D．钝角三角形
[ 解 析 ]
由 sinAsinB<cosAcosB 得 cosAcosB －
• sin [答案 ] D AsinB>0，
即 cos(A＋B)>0，又∵cos(A＋B)＝－cosC， ∴cosC<0， π ∴ <C<π，故选 D. 2
• [例2] (1)cos44°sin14°－sin44°cos14°； • (2)sin(54° － x)cos(36° ＋ x) ＋ cos(54° － x)sin(36°＋x)． • [ 分析 ] (1) 符合 S(α － β) ， (2) 符合 S(α ＋ β) 的结 构特征，可直接运用S(α±β)公式．
[解析]
(1)原式＝sin14° cos44° －cos14° sin44°
1 ＝sin(14° －44° )＝sin(－30° )＝－2. (2)原式＝sin[(54° －x)＋(36° ＋x)] ＝sin90° ＝1.
化简求值： (1)sin14° cos16° ＋sin76° cos74° ＝________； π π (2)sin － 3cos ＝________. 12 12 1 [答案] (1)2 (2)－ 2 [分析] (1)中角不同， 应先用诱导公式， 化成相同角． (2)
[ 例 1]
不 查 表 求 值 ： cos
π π ＋3x cos －3x － 4 3
π π sin4＋3xsin3－3x.
• [分析] 式子为同名积之差，故用Cα＋β.
[解析]
π π 原式＝cos4＋3x＋3－3x π π π π π π ＝cos 4＋3 ＝cos cos －sin sin 4 3 4 3
3 π cos 2 12
π π π π ＝2cos3sin12－sin3cos12 π π π ＝－2sin3－12＝－2sin ＝－ 4
2.
[ 点评 ]
形如 asinx± bcosx 的三角函数，可以提取
a2＋b2 化为 a2＋b2 sin(x ＋ φ)( 或 a2＋b2 cos(x ＋ φ)) 的形 式． 一定要注意看化成的式子展开后是否符合已知式子．
1 3 π 中只有一个角，注意系数 1 和 3，联想到2和 2 ，可化为3或 π 的三角函数． 6
[解析]
(1) 原 式 ＝ sin14° cos16°＋ sin(90°－
14° )cos(90° －16° ) ＝sin14° cos16° ＋cos14° sin16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin30° ＝2. (2)解法
(3)原式＝sin[(α－β)＋β]＝sinα.
• 重点：掌握两角和差的余弦公式、正弦公 式． • 难点：①角的变换与角的范围讨论． • ②公式的适当选取．
1．公式导出的过程体现了角的变换技巧． 在三角恒等变换中，角的变换技巧的掌握至关重要， 常见的“变角”、“凑角”形式如 α＋β＝α－(－β)；α－ α＋β α－β β＝α＋(－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； α＝ ＋ ， 2 2
1 π 1：原式＝2 sin － 12 2
3 π cos 2 12
π π π π ＝2sin6sin12－cos6cos12 π π π ＝－2cos 6＋12 ＝－2cos ＝－ 4
2.
解法
1 π 2：原式＝2 sin － 12 2
α＋β α－β α 2α π π π β＝ － ； α＝2× ＝ ； ＋α＝ － 4－α ；75° 2 2 2 2 4 2 α＋β β α ＝45° ＋30° ； 2 ＝α－2－2－β；△ABC 中，A＋B＝π
A π B＋C －C， 2 ＝2－ 2 等等．