两角和与差的正弦和余弦公式学习教材PPT课件

[ 解 析 ]
由 sinAsinB<cosAcosB 得 cosAcosB －
• sin [答案 ] D AsinB>0，
即 cos(A＋B)>0，又∵cos(A＋B)＝－cosC， ∴cosC<0， π ∴ <C<π，故选 D. 2
• [例2] (1)cos44°sin14°－sin44°cos14°； • (2)sin(54° － x)cos(36° ＋ x) ＋ cos(54° － x)sin(36°＋x)． • [ 分析 ] (1) 符合 S(α － β) ， (2) 符合 S(α ＋ β) 的结 构特征，可直接运用S(α±β)公式．
1 3 π 中只有一个角，注意系数 1 和 3，联想到2和 2 ，可化为3或 π 的三角函数． 6
[解析]
(1) 原 式 ＝ sin14° cos16°＋ sin(90°－
14° )cos(90° －16° ) ＝sin14° cos16° ＋cos14° sin16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin30° ＝2. (2)解法
(3)原式＝sin[(α－β)＋β]＝sinα.
• 重点：掌握两角和差的余弦公式、正弦公 式． • 难点：①角的变换与角的范围讨论． • ②公式的适当选取．
1．公式导出的过程体现了角的变换技巧． 在三角恒等变换中，角的变换技巧的掌握至关重要， 常见的“变角”、“凑角”形式如 α＋β＝α－(－β)；α－ α＋β α－β β＝α＋(－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； α＝ ＋ ， 2 2
α＋β α－β α 2α π π π β＝ － ； α＝2× ＝ ； ＋α＝ － 4－α ；75° 2 2 2 2 4 2 α＋β β α ＝45° ＋30° ； 2 ＝α－2－2－β；△ABC 中，A＋B＝π
A π B＋C －C， 2 ＝2－ 2 等等．
2－ 6 21 2 3 ＝2· 2－ 2 ·2 ＝ 4 .
• [点评] 应用公式前一定要看角是否相同， 看名称及式子结构特征是否与公式吻合．
• 在△ ABC 中，若sinA·sinB<cosA·cosB，则 △ABC一定是 ( ) • A．等边三角形 • B．直角三角形 • C．锐角三角形 • D．钝角三角形
3 π cos 2 12
π π π π ＝2cos3sin12－sin3cos12 π π π ＝－2sin3－12＝－2sin ＝－ 4
2.
[ 点评 ]
形如 asinx± bcosx 的三角函数，可以提取
a2＋b2 化为 a2＋b2 sin(x ＋ φ)( 或 a2＋b2 cos(x ＋ φ)) 的形 式． 一定要注意看化成的式子展开后是否符合已知式子．
[解析]
(1)原式＝sin14° cos44° －cos14° sin44°
1 ＝sin(14° －44° )＝sin(－30° )＝－2. (2)原式＝sin[(54° －x)＋(36° ＋x)] ＝sin90° ＝1.
化简求值： (1)sin14° cos16° ＋sin76° cos74° ＝________； π π (2)sin － 3cos ＝________. 12 12 1 [答案] (1)2 (2)－ 2 [分析] (1)中角不同， 应先用诱导公式， 化成相同角． (2)
1 π 1：原式＝2 sin － 12 2
3 π cos 2 12
π π π π ＝2sin6sin12－cos6cos12 π π π ＝－2cos 6＋12 ＝－2cos ＝－ 4
2.
解法
1 π 2：原式＝2 sin － 12 2
• 2．在理解基础上记忆公式 • 要注意各公式之间结构形式上的异同点， 以正确区分公式． • 和角余弦同名积之差，差角余弦同名积之 和；和角正弦异名积之和，差角正弦异名 积之差． • 3 ．灵活运用公式，会正用、逆用、变形 运用，会依据题目中角的构成特点，函数 名的构成及式子的结构特征恰当选择应用 公式，并不断归纳、积累经验形成技巧．
[ 例 1]
不 查 ຫໍສະໝຸດ Baidu 求 值 ： cos
π π ＋3x cos －3x － 4 3
π π sin4＋3xsin3－3x.
• [分析] 式子为同名积之差，故用Cα＋β.
[解析]
π π 原式＝cos4＋3x＋3－3x π π π π π π ＝cos 4＋3 ＝cos cos －sin sin 4 3 4 3
[例 3] 的值．
3 5 在△ABC 中，cosA＝5，sinB＝13，求 sinC
• [分析] △ABC中，C＝π－(A＋B)；已知 cosA，sinB可求sinA，cosB.由sinB求cosB 时，因为B可能为钝角，故应讨论确定 cosB的符号．
[解析]
3 因为 A 为△ABC 的内角且 cosA＝5，
[答案]
[ 解析 ]
2－ 6 6－ 2 (1) (2) (3)sinα 4 4
(1)cos105° ＝ cos(60° ＋ 45° ) ＝ cos60° cos45°
2－ 6 1 2 3 2 －sin60° sin45° ＝2·2 － 2 ·2 ＝ 4 . (2)sin15° ＝ sin(45° － 30° ) ＝ sin45° cos30° － 6－ 2 2 3 2 1 cos45° sin30° ＝ 2 × 2 － 2 ×2＝ 4 .
2
4 所以 sinA＝ 1－cos A＝ . 5 5 因为 B 为△ABC 的内角，又 sinB＝13， 12 所以 cosB＝± 1－sin B＝± . 13
2
12 (1)当 cosB＝13，即 B 为锐角时， sinC＝sin[180° －(A＋B)]＝sin(A＋B) 4 12 3 5 63 ＝sinAcosB＋cosAsinB＝ × ＋ × ＝ . 5 13 5 13 65