含绝对值不等式专题训练
第10课--绝对值不等式(经典例题练习、附答案)
第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；◇知识梳理1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >⎧⎪= =⎨⎪ <⎩②几何意义：a 是数轴上表示a 的点____________。
2. 含绝对值的不等式的解法①0a >时，|()|f x a >⇔____________；|()|f x a <⇔____________；②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．◇基础训练1.函数|||3|y x x =--的最大值为 ___________.2．(2008惠州调研) 函数46y x x =-+-的最小值为 .3.(2008珠海质检)已知方程20x ax b -+=的两根分别为1和2，则不等式1ax b -≤的解集为 ____________ （用区间表示）.4.(2008广州二模)不等式21<-+x x 的解集是 ．◇典型例题例1 .解不等式512x x +>-例2. 解不等式125x x -++>变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围◇能力提升1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|<<x x ，则实数=a .2.（2008韶关二模）不等式4|2||12|<++-x x 的解集为3．(2008揭阳调研)若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________.4. (2008汕头一模) 若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是_________________。
绝对值不等式(经典题型)
1．若a >0，且|x |>a ，则____________；若a >0，且|x |<a ，则____________.2．|ax ＋b |>c (c >0)型不等式的解法：3.解下列不等式．(1)|2x ＋5|<7.(2)|2x ＋5|>7＋x .(3)|x 2－3x ＋1|<5.(4)|2x －1|<2－3x .(5)1<|2－x |≤7.(6)1<|x －2|≤34.集合A ＝{x ||2－x |<5}，B ＝{x ||x ＋a |≥3}，且A ∪B ＝R ，求a 的取值范围|x －a |＋|x －b |≥c|x －a |＋|x －b |≤c5.解不等式（1）|x －1|＋|x －2|>2.（2）|x ＋2|－|x －1|<2|（3）x ＋2|－|x －1|<2x6.恒成立问题(1)对任意x ∈R ，若|x －3|＋|x ＋2|>a 恒成立，则实数a 的取值范围 ．(2)关于x 的不等式a >|x －3|＋|x ＋2|的解集非空，则实数a 的取值范围 ．(3)关于x 的不等式a >|x －3|＋|x ＋2|在R 上无解，则实数a 的取值范围 ．(4)若不等式|x ＋3|－|x －5|<m 对x ∈R 恒成立，则m 的取值范围为________(5)求使不等式|x －4|＋|x －3|<a 有解的a 的取值范围 ．7.|mx －1|<3的解集为(－1,2)，则m 的值是( )(A)2或－4 (B)2或－1(C)2或－4或－1 (D)28.若关于x 的不等式|a|≥|x＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是 .9.不等式⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x 的解集是________．10.．已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|，则f (x )的值域是________． 11. 对于x ∈R ，不等式||x ＋10－||x －2≥8的解集为______12.设函数f(x)＝|3x －1|＋x ＋2.(1)解不等式f(x)≤3；(2)若不等式f(x)>a 的解集为R ，求a 的取值范围.。
含有绝对值的不等式练习
含有绝对值的不等式练习【同步达纲练习】A 级一、选择题1.设x ∈R ，则不等式｜x ｜<1是x 2<1成立的( )条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 2.若a,b,c ∈R ，且｜a-c ｜<｜b ｜，则( )A.｜a ｜>｜b ｜+｜c ｜B.｜a ｜<｜b ｜-｜c ｜C.｜a ｜>｜b ｜-｜c ｜D.｜a ｜>｜c ｜-｜b ｜3.不等式｜x 2-x-6｜>3-x 的解集是( )A.(3,+∞)B.(-∞，-3)∪(3,+∞)C.(-∞，-3)∪(-1，+∞)D.(-∞,-3)∪(-1,3)∪(3,+∞) 4.设集合A ＝｛x ｜｜2-x -3｜<1，x ∈N ｝，则A 中元素个数是( ) A.13 B.12 C.11 D.10 5.下面四个式子：①｜a-b ｜＝｜b-a ｜ ②｜a+b ｜+｜a-b ｜≥2｜a ｜③2)(a -＝a④21(｜a ｜+｜b ｜)≥ab 中，成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6.对于任意的实数x ，不等式｜x+1｜+｜x-2｜>a 恒成立，则实数a 的取值范围是 .7.不等式｜x 2+2x-1｜≥2的解集是 . 8.不等式｜x x 1-｜>xx-1的解集是 .三、解答题9.解不等式12+x >x.10.设m 等于｜a ｜、｜b ｜和1中最大的一个，当｜x ｜>m 时，求证：2xbx a +<2.AA 级一、选择题1.设实数a,b 满足ab<0，则( )A.｜a+b ｜>｜a-b ｜B.｜a+b ｜<｜a-b ｜C.｜a-b ｜<｜a ｜-｜b ｜D.｜a-b ｜<｜a ｜+｜b ｜2.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x 2x 2x 3x 30x 的解集是( )A.｛x ｜0<x<2｝B.｛x ｜0<x<2.5｝C.｛x ｜0<x<6｝D.｛x ｜0<x<3｝3.不等式24x -+xx ≥0的解集是( )A.｛x ｜-2≤x ≤2｝B.｛x ｜-3≤x<0或0<x ≤2｝C.｛x ｜-2≤x<0或0<x ≤2｝D.｛x ｜-3≤x<0或0<x ≤3｝4.设a>1，方程｜x+log a x ｜＝｜x ｜+｜log a x｜的解集是( )A.0≤x ≤1B.x ≥1C.x ≥aD.0<x ≤a5.设全集为R ，A ＝｛x ｜x 2-5x-6>0｝，B ＝｛x ｜｜x-5｜<a ｝(a 为常数)，且11∈B ，则( ) A. A ∪B ＝R B.A ∪B ＝RC. A ∪B ＝RD.A ∪B ＝R二、填空题6.已知｜a ｜≤1，｜b ｜≤1，那么｜ab+22)1()1(b a --｜与1的大小关系是 .7.对于实数x,y 有｜x+y ｜<｜x-y ｜，则x ，y 应满足的关系是 . 8.不等式｜x ｜+｜x-2｜≤1的解集是 .三、解答题9.解不等式｜x+7｜-｜3x-4｜+223->010.已知f(x)＝21x +，当a ≠b 时，求证｜f(a)-f(b)｜≤｜a-b ｜【素质优化训练】一、选择题1.不等式ba b a ++≤1成立的充要条件是( ) A.ab ≠0B.a 2+b 2≠0C.ab>0D.ab<02.在x ∈(31,3)上恒有｜log a x｜<1成立，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.0<a ≤31C.a ≥3或0<a ≤31D.a ≥3或0<a<313.已知x<y<0，设a ＝｜x ｜,b ＝｜y ｜,c ＝21｜x-y ｜,d ＝xy ，则a,b,c,d 的大小关系是( )A.b<d<c<aB.a<d<c<bC.a<c<d<bD.c<b<d<a4.平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(｜x ｜-1)2+(｜y ｜-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )A.16B.17C.18D.25 5.已知f(x)＝｜lgx ｜，若0<a<b<c ，且f(a)>f(c)>f(b)，则( ) A.(a-1)(c-1)>0 B.ac>1 C.ac ＝1 D.ac<1二、填空题6.当0<a<1时，满足｜log a (x+1)｜>｜log a (x-1)｜的x 的取值范围是 .7.若α，β∈R +，C ∈R +，则｜α+β｜2与(1+c)｜α｜2+(1+c1)｜β｜2的大小关系是 .8.已知ab+bc+ca ＝1，则｜a+b+c ｜与3的大小关系是 . 9.不等式)1()10)(3)(2(2----x x x x x ≥0的解集是 .三、解答题10.设不等式5-x>7｜x+1｜与ax 2+bx-2>0同解，求a,b 的值.11.已知f(x)＝x 2-x+13,｜x-a ｜<1，求证：｜f(x)-f(a)｜<2(｜a ｜+1)补充题：1.关于实数x 的不等式｜x-2)1(2+a ｜≤2)1(2-a 与x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0(a ∈R)的解集依次为A 和B ，求使A ⊆B 的a 的取值范围.2.已知f(x)＝x 2+px+q ，求证：｜f(1)｜，｜f(2)｜，｜f(3)｜中至少有一个不小于21.3.设a,b ∈R ，｜a ｜+｜b ｜<1，α、β是方程x 2+ax+b ＝0的两根，确定｜α｜、｜β｜的范围.4.设a ∈R ，函数f(x)＝ax 2+x-a(-1≤x ≤1).(1)若｜a ｜≤1，证明｜f(x)｜≤45. (2)求a 的值使函数f(x)有最大值817.参考答案【同步达纲练习】A 级1.C2.D3.D4.C5.C6.(-∞，3)7.｛x ｜x≥1或x≤-3或x ＝-1｝8.(-∞，0) (1，+∞)9.解：原不等式等价于x<0或⎩⎨⎧>+≥2120x x x ⇒0≤x<1+2，综上得：解集为｛x ｜x<1+2｝. 10.证明：∵｜x ｜>m≥｜a ｜. ⎪⎩⎪⎨⎧≥>≥>1m x bm x ⇒｜x ｜2>｜b ｜. ∴｜x a +2x b ｜≤｜x a ｜+|2x b |＝xa +2xb <xa +22xx ＝2，故原不等式成立.AA 级1.B2.C3.B4.B5.D6.｜ab+)1)(1(22b a --｜≤1 7.x,y 异号 8.空集9.由223-＝2-1，于是原不等式可化为：｜x+7｜-｜3x-4｜+2-1>0.等价于⎪⎩⎪⎨⎧>-+--+>012)43(734x x x ①或⎪⎩⎪⎨⎧>-+-++≤≤-012437347x x x ②或⎩⎨⎧>+-++--<0243)7(7x x x ③.解①得：34 <x<5+22.解②得：-21-22<x≤34.解③得无解.综上得，原不等式解集为(-422+，4210+). 10.证明：要证｜f(a)-f(b)｜<｜a-b ｜.(21a +-21b +)2<(a-b)2.即：1+a 2+1+b 2-2)1)(1(22b a ++<a 2+b 2-2ab ，只需证：1+ab<)1)(1(22b a ++. ∵1+ab<|1+ab|,∴只需证｜1+ab ｜<)1)(1(22b a ++.即证：1+2ab+a 2b 2<1+a 2+b 2+a 2b 2.即：2ab<a 2+b 2，又a≠b，故2ab<a 2+b2成立，故原不等式成立.【素质优化训练】1.B2.C3.D4.A5.D6.(2，+∞)7.｜α+β｜2≤(1+c)｜α｜2+(1+c1)｜β｜28.｜a+b+c ｜≥3 9.解集是｛x ｜x<1且x≠0，3≤x≤10或x ＝2｝.10.解不等式5-x>7｜x+1｜成立的前提条件是：x<5.(1)当-1≤x<5，不等式化为：5-x>7x+7,∴-1≤x<-41.(2)当x<-1，不等式化为：5-x>-7x-7,∴x>-2，因此有：-2<x<-1.综合起来：不等式解为-2<x<-41,∴-2<x<-41为不等式ax 2+bx-2>0的解，∵a<0，不等式变形为x 2+a b x-a 2<0，它与不等式x 2+49x+21<0比较系数得：a ＝-4,b ＝-9. 11.证明：∵f(x)-f(a)＝x 2-x-a 2+a ＝(x-a)(x+a-1),∴｜f(x)-f(a)｜＝|(x-a)(x+a-1)|＝｜x-a ｜｜x+a-1｜<｜x+a-1｜＝｜x-a+2a-1｜≤｜x-a ｜+2｜a ｜+1<2｜a ｜+2＝2(｜a ｜+1)补充题：1.解：A ＝｛x ｜2a≤x≤a 2+1｝，由x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0知(x-2)［x-(3a+1)］≤0，当3a+1≥2时，即a≥31时，B ＝｛x ｜2≤x≤3a+1｝，当a≥31时，要使A ⊆B ，则⎩⎨⎧+≤+≤131222a a a ,∴1≤a≤3.当a<31时，B ＝｛x ｜3a+1≤x≤2｝.要使A ⊆B ，则⎩⎨⎧+≤+≤+1312132a a a a ,∴a ＝-1.故要使A ⊆B 的a 的范围是｛a ｜1≤a≤3或a ＝-1｝.2.证明：假设｜f(1)｜,｜f(2)｜,｜f(3)｜都小于21，则有｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜<21+2×21+21＝2,又由于f(x)＝x 2+px+q ，可得f(1)-2f(2)+f(3)＝1+p+q-(8+4p+2q)+(9+3p+q),所以｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥｜f(1)-2f(2)+f(3)｜＝2两式矛盾.故｜f(1)｜,｜f(2)｜,｜f(3)｜中至少有一个不小于21. 3.解：由韦达定理知：α+β＝-a,αβ＝b ，而｜a ｜+｜b ｜＝｜α+β｜+｜αβ｜<1.∴｜α+β｜<1-｜αβ｜＝1-｜α｜｜β｜.又｜α+β｜>｜α｜-｜β｜，∴｜α｜-｜β｜<1-｜α｜｜β｜，即(｜α｜-1)(｜β｜+1)<0，∵｜β｜+1>0,∴｜α｜-1<0,即｜α｜<1，同理｜β｜<1.即｜α｜,｜β｜取范围为：｜α｜<1,｜β｜<1.4.证明：(1)∵｜x ｜≤1,｜a ｜≤1,∴｜f(x)｜＝｜a(x 2-1)+x ｜≤｜a ｜｜x 2-1｜+｜x ｜≤｜x 2-1｜+｜x ｜＝1-｜x 2｜+｜x ｜＝-(｜x ｜-21)2+45≤45. (2)当a ＝0时，f(x)＝x ；当-1≤x ≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝1不可能满足题设条件，∴a ≠0，又f(1)＝a+1-a ＝1,f(-1)＝a-1-a ＝-1,故f(±1)均不是最大值.∴f(x)的最大值为817，应在其对称轴上，即顶点位置取得.∴a<0.∴命题等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<-<-0817)21(1211a a f a ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=0)81)(2(21a a a ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-<81a 2a 21a 或,∴a ＝-2.。
01绝对值不等式(含经典例题+答案)
绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
高中数学绝对值不等式训练题
绝对值不等式训练题1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－2x －2x －1≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，2x －1＋2x ＋1≤6. 解得－32≤x ≤32， 即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32≤x ≤32. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a .(1)求实数a 的值；(2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2； 当2<x ≤4时，显然不等式成立；当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112， 故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤112. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <2a ， 所以2a≥1，故0<a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3.(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12， 所以f (x )≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. (2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ＋a x ＋2，x ≥13，a －x ＋4，x <13，所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥0，a －3≤0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )>－x ；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a 2－2a 的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于f (x )＋x ＞0，不等式f (x )＋x >0可化为|x －2|＋x >|x ＋1|， 当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1；当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1；当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3，综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <1或x >3}．(2)由不等式f (x )≤a 2－2a 可得|x －2|－|x ＋1|≤a 2－2a ，∵|x －2|－|x ＋1|≤|x －2－x －1|＝3，当且仅当x ∈(－∞，－1]时等号成立，∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0，解得a ≤－1或a ≥3.∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．6．已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|.(1)若a ＝2，求不等式f (x )＞x ＋2的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，x ＜－1，3，－1≤x ＜2，2x －1，x ≥2，不等式f (x )＞x ＋2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜2，3＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，2x －1＞x ＋2，解得x ＜1或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．(2)∵f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，当(x －a )(x ＋1)≤0时取等号． ∴若关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，只需|a ＋1|＜2，解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)．7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R.(1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤2，1≤3或 ⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32⊆M ， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立， 而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.。
高考数学含绝对值不等式专题训练(一)
1、(长葛市第三实验高中2012届高三数学调研)已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++（1）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。
【解析】（1）不等式()10f x a +->，即210x a -+->。
当1a =时，不等式的解集是(,2)(2,)-∞+∞ ；当1a >时，不等式的解集为R ；当1a <时，即21x a ->-，即21x a -<-或者21x a ->-，即1x a <+或者3x a >-，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞ 。
（5分）（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++对任意实数x 恒成立。
即23x x m -++>对任意实数x 恒成立。
由于23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，故只要5m <。
所以m 的取值范围是(,5)-∞。
2、（濮阳市华龙区高级中学2012届高三数学上学期摸底）3、（哈尔滨市第六中学2011届高三数学第三次模拟）若关于x 的方程 243x x a a -++-=0有实根（1）求实数a 的取值集合A（2）若存在a A ∈，使得不等式22120t a t -+<成立，求实数t 的取值范围。
（1）0)3(416≥-+-=∆a a 即 2721≤≤-a所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=27,21A ---------5分（2）令212)(t t a a f ++-= 即 0)(m in <a f 即可 430127)27(2<<∴<+-=t t t f所以 4334<<-<<-t t 或----10分4、已知关于x 的不等式a a x x 2|||2|≥-+-.（I ）若1=a ，求不等式的解集；（II ）若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围。
高考数学一轮复习专题训练—绝对值不等式
绝对值不等式考纲要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当(a－c)(c－b)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集.不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a {x|－a＜x＜a}∅∅|x|＞a {x|x＞a或x＜－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法．①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法．①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题；若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．2．绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1,4) D．(1,5)答案 A解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．3．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－3]∪[3，＋∞)解析由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，要使原不等式有解，只需|a|≥3，即a≥3或a≤－3.4．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案 2解析 因为|kx －4|≤2，所以－2≤kx －4≤2，所以2≤kx ≤6.因为不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，所以k ＝2.5．(2021·天津联考)若对任意的x ∈R ，不等式|x －1|－|x ＋2|≤|2a －1|恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－1]∪[2，＋∞)解析 ∵y ＝|x －1|－|x ＋2|≤|(x －1)－(x ＋2)|＝3， ∴要使|x －1|－|x ＋2|≤|2a －1|恒成立， 则|2a －1|≥3,2a －1≥3或2a －1≤－3， 即a ≥2或a ≤－1，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 6．(2021·郑州质量预测)已知函数f (x )＝|x ＋1|－a |x －1|. (1)当a ＝－2时，解不等式f (x )>5； (2)若f (x )≤a |x ＋3|恒成立，求a 的最小值． 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x ≤－1，－x ＋3，－1<x ≤1，3x －1，x >1.当x ≤－1时，由1－3x >5，得x <－43；当－1<x ≤1时，无解；当x >1时，由3x －1>5，得x >2. 故f (x )>5的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(2，＋∞)． (2)由f (x )≤a |x ＋3|得a ≥|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|，由|x －1|＋|x ＋3|≥2|x ＋1|， 得|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|≤12，故a ≥12(当且仅当x ≥1或x ≤－3时等号成立)，故a 的最小值为12.考点一 绝对值不等式的解法【例1】 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|3x ＋1|－2|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式f (x )>f (x ＋1)的解集．解 (1)由题设知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤－13，5x －1，－13<x ≤1，x ＋3，x >1.画出y ＝f (x )的图象如图(1)所示．图(1)(2)函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位长度后得到函数y ＝f (x ＋1)的图象，如图(2)所示．图(2)易得y ＝f (x )的图象与y ＝f (x ＋1)的图象的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－76，－116. 由图象可知，当且仅当x <－76时，y ＝f (x )的图象在y ＝f (x ＋1)的图象上方． 故不等式f (x )>f (x ＋1)的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－76. 【例2】 (2021·驻马店联考)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －1|(a ∈R)． (1)当a ＝－1时，求不等式f (x )≥2的解集； (2)若f (x )≤2x 的解集包含⎣⎡⎦⎤12，34，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，不等式f (x )≥2可化为|x －1|＋|2x －1|≥2， 当x ≤12时，不等式为1－x ＋1－2x ≥2，解得x ≤0；当12＜x ＜1时，不等式为1－x ＋2x －1≥2，无解； 当x ≥1时，不等式为x －1＋2x －1≥2，解得x ≥43.综上，原不等式的解集为(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞.(2)因为f (x )≤2x 的解集包含⎣⎡⎦⎤12，34，所以不等式可化为|x ＋a |＋2x －1≤2x ，即|x ＋a |≤1.解得－a －1≤x ≤－a ＋1，由题意知⎩⎨⎧－a ＋1≥34，－a －1≤12，解得－32≤a ≤14.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，14. 感悟升华 1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想．【训练1】 (2019·全国Ⅱ卷)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集； (2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)． 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0； 当x ≥1时，显然f (x )≥0.所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)．(2)当a <1时，若a ≤x <1，则f (x )＝(x －a )x ＋(2－x )(x －a )＝2(x －a )≥0，不合题意；所以a ≥1， 当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)． 考点二 绝对值不等式性质的应用【例3】 设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .证明 由|x －1|<a 3可得|2x －2|<2a 3，|2x ＋y －4|≤|2x －2|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a .【例4】 若f (x )＝⎪⎪⎪⎪3x ＋1a ＋3|x －a |的最小值为4，求a 的值． 解 因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪3x ＋1a ＋3|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫3x ＋1a －3x －3a ＝⎪⎪⎪⎪1a ＋3a ，由⎪⎪⎪⎪1a ＋3a ＝4得a ＝±1或a ＝±13.感悟升华 1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |. (3)利用零点分区间法．2．含绝对值不等式的证明中，关键是绝对值三角不等式的活用． 【训练2】 设函数f (x )＝x 2－x －15，且|x －a |<1. (1)解不等式|f (x )|>5；(2)求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．(1)解 因为|x 2－x －15|>5，所以x 2－x －15<－5或x 2－x －15>5，即x 2－x －10<0或x 2－x －20>0，解得1－412<x <1＋412或x <－4或x >5，所以不等式|f (x )|>5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－4或1－412<x <1＋412或x >5.(2)证明 因为|x －a |<1，所以|f (x )－f (a )|＝|(x 2－x －15)－(a 2－a －15)|＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|<1·|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a －1|≤1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)，即|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 考点三 绝对值不等式的综合应用 角度1 绝对值不等式恒成立问题【例5】 (2021·陇南二诊)已知a ≠0，函数f (x )＝|ax －1|，g (x )＝|ax ＋2|. (1)若f (x )<g (x )，求x 的取值范围；(2)若f (x )＋g (x )≥|2×10a －7|对x ∈R 恒成立，求a 的最大值与最小值之和． 解 (1)因为f (x )<g (x )， 所以|ax －1|<|ax ＋2|，两边同时平方得a 2x 2－2ax ＋1<a 2x 2＋4ax ＋4， 即6ax >－3，当a >0时，x >－12a ，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞；当a <0时，x <－12a ，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12a . (2)因为f (x )＋g (x )＝|ax －1|＋|ax ＋2|≥|(ax －1)－(ax ＋2)|＝3， 所以f (x )＋g (x )的最小值为3，所以|2×10a －7|≤3，则－3≤2×10a －7≤3， 解得lg 2≤a ≤lg 5，故a 的最大值与最小值之和为lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. 角度2 绝对值不等式能成立问题【例6】 (2021·东北三省三校联考)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋1. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )＋x ＜2；(2)若存在a ∈⎣⎡⎦⎤－13，1时，使不等式f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|的解集非空，求b 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝|2x ＋2|＋1， 不等式f (x )＋x ＜2化为|2x ＋2|＜1－x . 当1－x ≤0时，即x ≥1时，该不等式无解． 当1－x ＞0时，原不等式化为x －1＜2x ＋2＜1－x . 解之得－3＜x ＜－13.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －3＜x ＜－13.(2)由f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|， 得b ≤|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，设g (x )＝|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，则不等式的解集非空，即不等式有解， 所以不等式等价于b ≤g (x )max .由g (x )≤|(2x ＋a )－(2x ＋a 2)|＋1＝|a 2－a |＋1， 所以b ≤|a 2－a |＋1.由题意知存在a ∈⎣⎡⎦⎤－13，1，使得上式成立，而函数h (a )＝|a 2－a |＋1在a ∈⎣⎡⎦⎤－13，1上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－13＝139， 所以b ≤139，即b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，139. 感悟升华 1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决．2．(1)在例6第(1)问，可作出函数y ＝|2x ＋2|与y ＝1－x 的图象，观察、计算边界，直观求得不等式的解集．(2)第(2)问把不等式解集非空，转化为求函数的最值．存在性问题转化方法：f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min ＜a . 【训练3】 (2021·呼和浩特模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋2|x ＋1|. (1)当a ＝1时，解关于x 的不等式f (x )≤6；(2)已知g (x )＝|x －1|＋2，若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －1，x <－1，3，－1≤x ≤12，4x ＋1，x >12.当x <－1时，由－4x －1≤6，得－74≤x <－1；当－1≤x ≤12时，f (x )≤6恒成立；当x >12时，由4x ＋1≤6，得12<x ≤54.综上，f (x )≤6的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－74≤x ≤54. (2)∵对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， ∴{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}． 又f (x )＝|2x －a |＋2|x ＋1|≥|2x －a －(2x ＋2)| ＝|a ＋2|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， ∴|a ＋2|≥2，解得a ≤－4或a ≥0，∴实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．1．(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x －7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥112. (2)因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2， 故当(a －1)2≥4，即|a －1|≥2时，f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤－1时，f (x )≥4.当－1<a <3时，f (a 2)＝|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2<4. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 2．已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.则当x ≥1时，f (x )＝2>1恒成立，所以x ≥1； 当－1<x <1时，f (x )＝2x >1， 所以12<x <1；当x ≤－1时，f (x )＝－2<1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a ， 所以2a≥1，故0<a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．3．(2021·安徽江南十校模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|.(1)求不等式f (x )<x ＋3的解集；(2)若不等式m －x 2－2x ≤f (x )在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x <－2时，f (x )<x ＋3可化为1－x －x －2<x ＋3，解得x >－43，无解； 当－2≤x ≤1时，f (x )<x ＋3可化为1－x ＋x ＋2<x ＋3，解得x >0，故0<x ≤1； 当x >1时，f (x )<x ＋3可化为x －1＋x ＋2<x ＋3，解得x <2，故1<x <2. 综上可得，f (x )<x ＋3的解集为(0,2)．(2)不等式m －x 2－2x ≤f (x )在R 上恒成立，可得m ≤x 2＋2x ＋f (x )恒成立， 即m ≤[]x 2＋2x ＋f x min .y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1，此时x ＝－1.f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|≥|x －1－x －2|＝3，当且仅当－2≤x ≤1时，取得等号， 则[x 2＋2x ＋f (x )]min ＝－1＋3＝2，所以m ≤2，即m 的取值范围是(－∞，2]．4．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －m |.(1)若f (x )≥2，求m 的取值范围；(2)已知m ＞1，若∃x ∈(－1,1)，f (x )≥x 2＋mx ＋3成立，求m 的取值范围． 解 (1)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －m |≥|m ＋1|，所以只需|m ＋1|≥2，所以m ＋1≥2或m ＋1≤－2，解得m ≥1或m ≤－3，即m 的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)因为m ＞1，所以当x ∈(－1,1)时，f (x )＝m ＋1，所以f (x )≥x 2＋mx ＋3，即m ≥x 2＋mx ＋2，所以m (1－x )≥x 2＋2，m ≥x 2＋21－x ， 令g (x )＝x 2＋21－x ＝1－x 2－21－x ＋31－x ＝(1－x )＋31－x－2(－1＜x ＜1)． 因为－1＜x ＜1，所以0＜1－x ＜2，所以(1－x )＋31－x≥23(当且仅当x ＝1－3时取“＝”)， 所以g (x )min ＝23－2，所以m ≥23－2.故实数m 的取值范围是[23－2，＋∞)．5．(2021·南昌摸底测试)已知f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若f (x )≥a |x |恒成立，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|≥2，①当x ≤－12时，⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，－2x －1－x ＋1≥2⇒x ≤－23； ②当－12<x <1时，⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <1，2x ＋1－x ＋1≥2⇒0≤x <1；③当x ≥1时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，2x ＋1＋x －1≥2⇒x ≥1. 综上所述，f (x )≥2的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[0，＋∞)． (2)由题意知|2x ＋1|＋|x －1|≥a |x |恒成立，①当x ＝0时，2≥a ·0恒成立，得a ∈R ；②当x ≠0时，|2x ＋1|＋|x －1||x |＝⎪⎪⎪⎪2＋1x ＋⎪⎪⎪⎪1－1x ≥a 恒成立， 因为⎪⎪⎪⎪2＋1x ＋⎪⎪⎪⎪1－1x ≥⎪⎪⎪⎪2＋1x＋1－1x ＝3，所以a ≤3. 综上所述，符合条件的实数a 的取值范围是(－∞，3]．6．(2021·长春模拟)已知函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －1|－a .(1)当a ＝4时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，设a 的最大值为s ，当正数m ，n 满足12m ＋n ＋2m ＋3n ＝s 时，求3m ＋4n 的最小值．解 (1)当a ＝4时，|x ＋2|＋|x －1|－4≥0，当x <－2时，－x －2－x ＋1－4≥0，解得x ≤－52； 当－2≤x ≤1时，x ＋2－x ＋1－4≥0，解得x ∈∅；当x >1时，x ＋2＋x －1－4≥0，解得x ≥32. ∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－52或x ≥32. (2)∵函数f (x )的定义域为R ，∴|x ＋2|＋|x －1|－a ≥0对任意的x ∈R 恒成立，∴a ≤|x ＋2|＋|x －1|对任意的x ∈R 恒成立，又|x ＋2|＋|x －1|≥|x ＋2－x ＋1|＝3，∴a ≤3，∴s ＝3，∴12m ＋n ＋2m ＋3n＝3，且m >0，n >0， ∴3m ＋4n ＝(2m ＋n )＋(m ＋3n )＝13[(2m ＋n )＋(m ＋3n )]·⎝⎛⎭⎫12m ＋n ＋2m ＋3n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋22m ＋n m ＋3n ＋m ＋3n 2m ＋n ≥13(3＋22)＝1＋223，当且仅当m ＝1＋2215，n ＝3＋215时取等号， ∴3m ＋4n 的最小值为1＋223.。
绝对值不等式练习题及答案
绝对值不等式练习题及答案精品文档绝对值不等式练习题及答案?考纲解读 ?理解不等式a?b?a?b?a?b?掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式;?知识梳理1.绝对值的意义 ?___,?????代数意义:a??___,??? ?___,?????几何意义:a是数轴上表示a的点____________。
2. 含绝对值的不等式的解法?a?0时，|f|?a?____________;|f|?a?____________;?去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法;?根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式(?基础训练1.函数y?|x|?|x?3|的最大值为 ___________.2( 函数y?x?4?x?6的最小值为.23.已知方程x?ax?b?0的两根分别为1和2，则不等式ax?b?1的解集为____________ .4.不等式x?x?1?2的解集是 (1 / 13精品文档?典型例题例1 .解不等式5x?1?2?x例2. 解不等式x?1?x?2?5变式1:x?1?x?2?a有解，求a的取值范围变式2:2x?1?x?2?a有解，求a的取值范围变式3:x?1?x?2?a恒成立，求a的取值范围?能力提升1.若关于x的不等式|x?a|?a?2的解集为?x|2?x?4?，则实数a?2.不等式|2x?1|?|x?2|?4的解集为3(若f?x??x?t?5?x的最小值为3, 则实数t的值是________.4. 若不等式x?1x则实数?a?2?1对于一切非零实数x均成立，a的取值范围是_________________。
5(关于x的不等式x?1?x?2?a?a?1的解集为空集，则实数a的取值范围是____.6. 若关于x的不等式x?2?x?1?a的解集为R，则实数a的取值范围是_____________.第10课绝对值不等式?知识梳理1.? a,0,?a, ? 到原点的距离.2. ?f?a或f??a，?a?f?a ?基础训练2 / 13精品文档1. ，.，3. ?13??1?，.??,?,1?3????22??典型例题例1. 解:原不等式又化为5x?1?2?x或5x?1??解之得x?16或x??34? 原不等式的解集为{xx?16或x??34}例2. 解:分区间去绝对值: ?x?1?x?2?5?x??2?x????????5???2?x?1????5?x???x?1?x? ???5?? 原不等式的解集为?xx??3??或??x?2?变式1:解:设f?x?1?x?要使f?a有解，则a应该大于f的最小值，?f?x?1?x?2???3, 所以f的最小值为3，?a?3变式2:解:设f?2x?1?x?要使f?a有解，则a应该大于f的最小值，113?f?2x?1?x?2???,223 / 13精品文档所以f的最小值为32， ?a?32变式3:解:设f?x?1?x?要使f?a恒成立，则a应该小于f的最小值，?f?x?1?x?2???3, 所以f的最小值为3，?a?3?能力提升1. ，. ，.或，4. 1?a? ，6.a?3. .，含有绝对值的不等式A卷一、选择题1、设命题A:2,x,3，命题B:| x,|,1，那么11、不等式x+ | x |,6,0的解集是。
含绝对值不等式的解法练习题高一数学(含解析)
含绝对值不等式的解法练习题高一数学（含解析）含绝对值不等式的解法练习题高一数学含绝对值不等式的解法练习题1.不等式1|2x-1|2的解集是( )A.(- ,0)(1, )B.(- ,0)][1, ])C.(- ,0)[1, ]D.(-,- )[1, ]答案：B解析：原不等式等价于-2-1或12.解得-2.假如a0,那么下列各式中错误的是( )A. B.a+cb+c C.adbd D.a-cb-c答案：C解析：反例可举d=0.3.已知a1,则不等式|x|+a1的解集是( )A.{x|a-1C. D.R答案：D解析：由|x|+a1,得|x|1-a.∵a1,1-a0.故该不等式的解集为R.4.在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )A.{x|-2C.{x|-22}D.{x|x2或x-2}答案：C解析：由绝对值的几何意义易知.5.关于任意实数x,不等式|x|m-1恒成立,则实数m的取值范畴是_______ __________.答案：m1解析：|x|m-1对一切实数x恒成立,则m-1应不大于|x|的最小值,即m-10,得m1.6.|x-1||x+1|的解集是______________.答案：{x|x0}解析：原不等式可化为(x-1)2(x+1)2,解得x0.7.已知集合A={x||x+7|10},B={x|?|x-5|?2c},又AB=B,求实数c的范畴.解：先解|x+7|10,得x+710或x+7-10,有x3或x-17,即A={x|x3若x-17}.由AB=B得B A,对B讨论如下情形:(1)B= 有c(2)B 有c0,解|x-5|2c,得-2c解得c-11或c1.取c1,即0由(1)(2)知实数c的取值范畴是{c|c{c|0能力提升踮起脚,抓得住!8.已知集合M={x| 1},P={x|x-t0},要使MP= ,则t的取值范畴是( )A.{t|t1}B.{t|t1}C.{t|t1}D.{t|t1}答案：A解析：M={x|-11},P={x|xt},由MP= 知t1.9.若|x-4|+|x-3|A.aB.aC.aD.a3或a-4答案：B解析：由几何意义:|x-4|+|x-3|的最小值为1,则当a1时,原不等式的解集为空集.10.不等式|6-|2x+1||1的解集是________________.答案：{x|x-4或-3解析：原不等式等价于6-|2x+1|1或6-|2x+1|-1,又等价于-55或2x+17或2x+1-7.解之可得.11.不等式|x-2|+|x-3|9的解集是________________.答案：{x|-2解析：当x3时,原不等式为x-2+x-39,解得x7,即有3当23时,为x-2+3-x9,即19成立,即有2当x2时,为2-x+3-x9,解得x-2,即有-2综合得原不等式的解集为{x|37}{x|23}{x|-212.设A={x||2x-1|1},B={x||2x-a|1},AB= ,AB=R,求实数a的值.解：|2x-1|1 2x-11或2x-1-1,即x1或x0,即A={x|x1或x解|2x-a|1,得-11,即,即B={x| }.由AB= ,AB=R,图示如下:可得解得a=1.13.关于实数x的不等式|x- | 与|x-a-1|a的解集依次记为A与B,求使A B的a的取值范畴.解：由|x- | ,得- ,因此2aa2+1.由|x-a-1|a,得-ax-a-1a,则12a+1,要使A B,就必须即故a的取值范畴为2.拓展应用跳一跳，够得着!14.已知aR,则(1-|a|)(1+a)0的解集为( )A.|a|B.aC.|a|D.a1且a-1答案：D解析：(1)a0时,(1-|a|)(1+a)=(1-a)(1+a)a(2)a0时,(1+a)(1+a)=(1+a)20,且a-1.综合知a1,且a-1.15.已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|答案：a5解析：∵|x+2|+|x-3|5恒成立,当a5时,|x+2|+|x-3|故要使|x+2|+|x-3|16.设不等式|x+1|-|x-2|k的解集为R,求实数k的取值范畴.解法一：依照绝对值的几何意义,|x+1|能够看作数轴上点P(x)到点A(-1)的距离|PA|,|x-2|能够看作是数轴上点P(x)到点B(2)的距离|PB|,则|x+1|-|x-2|=| PA|-|PB|.如图所示:当点P在线段AB上时,-3|PA|-|PB|3,当P在A点左侧时,|PA|-|PB|=-3,当P在B点右侧时,|PA|-|PB|=3,则不等式-3|x+1|-|x-2|3恒成立.故使原不等式的解集为R的实数k的取值范畴是k-3.解法二:令y=|x+1|-|x-2|课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
解含绝对值的不等式专题练习(有详细答案)
解“含绝对值的不等式”专题练习班级 学号一.选择题：1.不等式 ｜x ＋2｜<3 的解集是 （ ）（A ）－5<x<1 （B ）x<－5或x>1 （C ）x<－5 （D ）x>1 2.不等式｜2x －1｜>2的解集是 （ ）（A ）x>1或x<－1 （B ）12x <-或32x > （C ）1322x -<< （D ）－1 <x< 3 3.不等式5123<-<x 的解集为 （ ）A ．{x|2<x<3}B ．{x|-2<x<-1}C ．{x|-2<x<-1或2<x<3}D ．{x|-2<x<3}4.不等式5120<-<x 的解集为 （ ）A ．{x|-2<x<3}B ．{x|-2<x<2}C ．{x|x<-2或x>3}D ．{x|-2<x<3且x 21≠} 5.不等式3|52|>-x 的解集是 （ ）(A){}4|>x x (B){}41|<<x x (C){}41|>-<x x x 或 (D){}41|><x x x 或 6.关于x 的不等式)0(0<+<-+b a xb xa 的解集是 （ ） (A){}a x x -<| (B){}b x a x x >-<或| (C){}a x b x x -><或| (D){}a x b x -<<| 7.不等式2||2<-x x 的解集是 ( )(A){}21|>-<x x x 或 (B){}21|<<-x x (C)R x ∈ (D)φ 8.不等式 (1)(1||)0x x +->的解集是 （ ）A. {|01}x x ≤<B. {|0,1}x x x <≠-C. {|11}x x -<<D.{|1,1}x x x <≠- 9.已知集合A={x|-2<x<4},B={x|x ≥a}，若A ∩B=φ，且A ∪B 中不含元素5，则下列值中a 可能是A ．3B ．4C ．5D ．6 ( )10.若不等式21<x 和31>x 同时成立，则x 的取值范围是 （ ） A ．3121<<-x B ．3121-<>x x 或 C ．3121<>x x 或 D ．21>x11.设集合{}{}2450,0P x x x Q x x a =--<=-≥，则能使P Q =∅成立的a 的值是（ ）A ．{}5a a > B ．{}5a a ≥ C ．{}15a a -<< D ．{}1a a >12.0xx≥的解集是 （ ）A ．{}22x x -≤≤B ．{}002x x x ≤<<≤或C ． {}2002x x x -≤<<≤或D ．{00x x x <<≤或13.已知0a >，不等式43x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集，则a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．1a >C ． 1a ≥D ．2a >14.设集合{}212,12x A x x a B x x ⎧-⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．{}01a a ≤≤ B ．{}01a a <≤ C ．{}01a a << D ．{}01a a ≤<二.填空题：15. 不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集是__________________ 16.xx x x x x 323222++>++的解集是________________ 17.不等式|x+1|+|x-1|>2的解集是_________________________. 18.若a>0,b R ∈，则不等式a b x <+-|3|的解集是_______________ .19.不等式|x+1|-|x-1|≥a 的解集是R ，则a 的取值集合_________________________. 20.不等式x 2-5|x|+6<0.的解集是_______________21.已知集合A={x||x+2|≥5},B={x|－x 2+6x －5>0},则A ∪B= 三. 解答题：22.解下列不等式⑴|1-2x|≥2 ⑵（x-1）2<100(3)解不等式 293x x -≤+ (4)解不等式 |x-|2x+1||>1.(5)|32|||x x +< (6)｜x 2 －4x+2｜≥ 2x；（7）｜x+3｜－｜x －3｜>3.23.已知{}4A x x a =|-<,{}2450B x x x =|-->，且A ∪B=R.求实数a 的取值范围.24.以知{}{}||1|,0,||3|4,A x x c c B x x A B =-<>=->=∅且，求C 取值的范围。
高一数学含绝对值不等式的解法练习题
含绝对值的不等式解法一、选择题1.已知a ＜-6，化简26a -得( ) A. 6-a B. -a -6C. a +6D. a -62.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是( ) A. ∅B. RC. {(1,-1)}D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3B. 2C. -2D. -54.设A ={x | |x -2|＜3}，B ={x | |x -1|≥1}，则A ∩B 等于( )A. {x |-1＜x ＜5}B. {x |x ≤０或x ≥2}C. {x |-1＜x ≤0}D. {x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5}5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A 中的元素个数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 156.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （ ） A. {4-≥y y } B. {51≤≤-y y } C. {14-≤≤-y y } D. ∅7.语句3≤x 或5>x 的否定是（ ）A. 53<≥x x 或B. 53≤>x x 或C. 53<≥x x 且D. 53≤>x x 且 二、填空题1.不等式｜x +2｜＜3的解集是 ，不等式｜2x -1｜≥3的解集是 .2.不等式1211<-x 的解集是_________________. 3.根据数轴表示a ,b ,c 三数的点的位置，化简|a +b |+|a +c |-|b -c |= ___ .三、解答题1.解不等式 1.02122<--x x 2.解不等式 x 2 - 2｜x ｜-3＞03.已知全集U = R , A ={x ｜x 2- 2 x - 8＞0}, B ={x ｜｜x +3｜＜2},求：(1) A ∪B , C u （A ∪B ） (2) C u A , C u B , （C u A ）∩（C u B ）4.解不等式3≤|x －2|＜9 7.解不等式|3x －4|＞1+2x .5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式| x +1|+| x －2|<4.6.解下列关于x 的不等式：1＜| x - 2 |≤77.解不等式2≤｜5-3x ｜＜9 11.解不等式｜x -a ｜＞b8.解关于x 的不等式：|4x -3|>2x +19.解下列关于x 的不等式：021522≤---x x x含绝对值的不等式解法答案一、选择题(共7题，合计35分) 1.1760答案：B 2.1743答案：D 3.1744答案：D 4.1773答案：D 5.2075答案：C 6.4109答案：B 7.1672答案：D二、填空题(共5题，合计21分)1.1539答案：｛-5＜x ＜1｝，｛x ｜x ≥2或x ≤-1｝2.1725答案：｛x ｜0＜x ＜4｝3.1602答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3434x x4.1728答案：a <35.1788答案：0三、解答题(共19题，合计136分) 1.1510答案：｛x ｜x ＞10或x ＜-10｝2.1502答案：{}33-<>x x x 或3.1509答案：(1) A ∪B = {x ｜x ＜-1或x ＞4＝, C U （A ∪B ）= {x ｜-1≤x ≤4}(2) C U A = {x ｜-2≤x ≤4}, C U B = {x ｜x ≤-5或x ≥-1}, (C U A ）∩(C U B ） = {x ｜-1≤x ≤4}4.1535答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<317x x x 或5.1597答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x 或6.1598答案：{x |-7＜x ≤-1或5≤x ＜11}7.1599答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><553x x x 或8.1600答案：2523<<-x9.1538答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<032x x x 或 10.1554答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-31437134x x x 或 11.1536答案：当b ＜0时，解集为R ；当b =0时，解集为｛x ｜x ∈R 且x ≠a ｝；当b ＞0时，解集为｛x ｜x ＜a -b 或x ＞a +b ｝.12.1601答案：a 的取值范围为a >5 13.1721答案：-5≤x ＜1或3＜x ≤9.14.1722答案：x >2或x <1/3.15.1723答案：|x -1|+|x -2|<3⇔0<x <1或1≤x ＜2或2≤x ＜3⇔0＜x ＜3.16.1724答案：当m >0时，原不等式的解集是{x |-3m <x <2m }；当m =0时，原不等式的解集是∅；当m <0时,原不等式的解集是{x |2m <x <-3m }. 17.1726答案：x <-1/2或0<x <4.18.1727答案：x ≤-3或2＜x ≤519.4121答案：21<a <32。
绝对值三角不等式练习
1． 绝对值三角不等式 一层练习1．若|x －a |<m ，|y －a |<n ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |<2mB ．|x －y |<2nC ．|x －y |<n －mD ．|x －y |<n ＋m答案: D2．设ab >0，下面四个不等式：①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |；④|a ＋b |>|a |－|b |.其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④答案: C3．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2，则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________． 答案: 5 04．方程|x |＋|log a x |＝|x ＋log a x |(a >1)的解集是________________．答案: {x |x ≥1}二层练习5．|x －A |<ε2，|y －A |<ε2是|x －y |<ε的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案: A6．若不等式|x －4|＋|x －3|>a 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(3，4)D ．[3，＋∞)答案: A7．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( )A ．必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件解析：∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4，∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件；当|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立．答案：B8．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值是________，最小值是________．解析：解法一 ∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.解法二 把函数看作分段函数y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ＜－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x ＞3.∴－4≤y ≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.答案：4 －49．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，|x －2y ＋1|的最大值是________． 解析：|x －2y ＋1|＝|x －1－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5. 答案：510．(2022·江西高考文科)x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为____________．解析：由|a |＋|b |≥|a －b |知，|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，同理|y |＋|y －1|≥1，故|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，所以0≤x ≤1且0≤y ≤1，即0≤x ＋y ≤2.答案：[0，2]三层练习11．(2022·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)，证明：f (x )≥2.解析：(1)由a ＞0，有 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.12．设a ，b ∈R 且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．解析：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤1＋1＝2|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①当ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2；②当ab ＜0时，则a (－b )＞0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16.总之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值为16.。
解含绝对值的不等式专题练习有详细答案
解“含纽对值的不等成”专題练习册级学号一•选择題:1.不等衣|x + 2|<3的解集是()(A) - 5<x<1 ( B ) x< - 5 或x>1 ( C ) x< - 5 ( D ) x>12.不等衣|2z-1 |>2的解集是()1 3 1 3(A ) x> 1 或x<- 1 ( B ) A <一一或A > - ( C ) --<x<- ( D ) - 1 <x<32 2 2 23•不等衣3v|2x —l|v5的解集为()A. {x|2<x<31B. {x|-2<x<-1}C. {x|-2<x<-1 或2<x<3}D. {x|-2<x<3}4•不等S0<|2x-l|<5的解集为( )A. {x|-2<x<3}B. {x|-2<x<2} C・(x|x<-2 或x>3} D. {x|-2<x<3 fl -}25•不等衣I2x —5I>3的解集是()(A) {x I x > 4} (B){xl 1 <x< 4}(C) {x I x<一1弧 > 4)(D) {x\x< 1 或兀 > 4)6•关于x的不等氏叱vO(“ + 〃vO)的瞬集是()b_x(A) {x\x< -a} (B){x I x < > /?}(C) {x I x < /?或x: > -a} (D){xl/?<x< -a}7•不等itlx2-xl<2的解集是( )(A) {x \ x < -lgJcx > 2) (B) {x I -1 v x v 2} (C)x e 7? (D)08•不等式(l + x)(l-lxl) >0的解集是()A. {xIOSxvl} B・{xlx vO,xH-l}C. {xl-1 <x< l)D.{xlx<9•已知集合A={x卜2<x<4},B=(x|xMa},若AnB=4>, fl AuB中不含元素5,则下列值中a可能是A. 3B. 4C. 5D. 6 ( )10•若不等直丄v2和卜|>抑时应立，呱x的取值X围是()A. —丄vxvlB. x> 丄或vv-丄C. x>-D. x> -2 3 2 3 2 3 211.设集合P={X|X2-4X-5<0},Q = {X^x\-a>0}, i 能便PflQ = 0 成立的a 的值是( ) A. {a\a>5} B. {a|a>5}C. {d|-lva<5}D. ^a\a > 1}12•不等衣奸¥+凶》0的解集是( )A. {x|-2<x<2}B. 0或0K2}C. {x|-2<x<0«lc0<J<2)D. {x|-辰x<0或0W>/T}13.E »a>o,不等此卜一 4|+卜一 3|<“在实数集R 上的解集不是空集,剧“的取值X 围是（ A. a >0B. a > 1 C ・ a>\ D. a >22、•一］14 •设集合4 = {人•卜一牛2}, 3 =杯二卜若A^B 9収的収值X 围是（x I 2A. {切0<«< ljB. {切0<a<\}C. {G |0 va v 1} D ・{a|0<a<\} 二填空題: 15•不等S|X +1|+|X-1|<2的解集是 ______________________17•不等贰|x+1 |+|x-11>2的解集是 ___________________________ ・1&若a>O,be/?,般不等j{\-3x + b\< "的解集是 _____________________ .19•不等jt|x +1|-|x-1>a 的解集是R,则a 的取值集合 __________________________________ 20•不等氏/-5^|+6<0.的解集是 _________________ 21•巳知集合 A={x||x+2>5EB={x|-屮+6乂・ 5>0},M AuB=三.解笞題：22. 解下列不等衣 （1）|1-2x>2⑵（x-1 ） 2<100(3)解不等 S X 2-9<X +3 (4)解不等式 |x-|2x+1||>1.16.x 2 +3x JV + 2>卞的解集是 -----------------------(5)l3x + 2lvlxl(6) I x2 -4x+2 | >-；2 (7 ) | x+3 | - | x - 3 | >3.23.BflA = {x||x-a|<4}1B = {x|x2-4x-5>0}, fl AuB=R.XX 数a 的取值X 围.24.M BlA = {xllx-ll<c,c>O},B = {xllx-3l>4},KAn^ = 0» 求C 皿值的XU。
中职高考数学一轮复习讲练测专题2-3 含有绝对值的不等式(练)(含详解)
专题2.3 含有绝对值的不等式 1．不等式2||3x <的解集是( )2. 解不等式|1|2x -<3.解不等式 237x ≥-.4. 解不等式1|2|3x <-≤1. 解不等式 312x -≤.2. 不等式｜4x +3|>-1的解集是 .3.设x ∈R ，则“30x -≥”是“11x -≤”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 解不等式3|2+1|5x <<5.若不等式|+2|4mx <的解集为（-3，1），则实数m=（ ）A.-4B.-3C.2D.-26. x ∈ ，有意义.7.解不等式23||132x x +≥-1. (2020河北对口考试)设集合A={x ||x -2|>3},B={x |m x +1>0},若m≤0为某个实数，求A ∩B.2. (2019河北对口考试)函数lg |3|y x =-的定义域为 。
3.(2017河北对口考试)设集合{|||2}A x x =<，集合{2,0,1}B =-，则A B =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|22}x x -<<C ．{|22}x x -≤<D ．{|21}x x -≤<4. (2015河北对口考试)已知集合2604|,|,A x x x B x x m 若AB ，求实数m 的取值范围.专题2.3 含有绝对值的不等式 1．不等式2||3x <的解集是( )23332232.(,).(,).(,).(,)32223323A B C D ---- B. C. D. 【解析】3332||3||,222x x x <⇒<<<得- 综上所述，答案选B2. 解不等式|1|2x -<【解析】|1|2x -<，所以212x -<-<，所以13x -<<3.解不等式 237x ≥-.【答案】 4. 解不等式1|2|3x <-≤【解析】原不等式等价于不等式组1. 解不等式 312x -≤. 【解析】由原不等式可得2312x -≤-≤，整理可得 131x -≤≤ 所以原不等式的解集为131x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-≤≤. 2. 不等式｜4x +3|>-1的解集是 .{}533,x x x ≥≤-或|2|1x ->|2|3x -≤{{2121x x -<-->或323x -≤-≤即 321,123x x ∴-≤-<-<-≤或1135x x ∴-≤<<≤或{}|1135x x x -≤≤<≤故原不等式的解集为或【解析】不等式43|0x +≥｜恒成立，所以43|1x +≥-｜的解集是R. 3.设x ∈R ，则“30x -≥”是“11x -≤”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】30x -≥，即3x ≤， 11x -≤，即111x -≤-≤，02x ≤≤，因为集合[]0,2是集合(],3-∞的真子集， 所以“30x -≥”是“11x -≤”的必要不充分条件.故选：A.4. 解不等式3|2+1|5x <<【解析】3|2+1|123|2+1|5322|2+1|532x x x x x x x x <><-⎧⎧<<⇔⇔⇔-<<-<<⎨⎨<-<<⎩⎩或或1所以原不等式的解集为{}-3212x x x <≤-<<或5.若不等式|+2|4mx <的解集为（-3，1），则实数m=（ ）A.-4B.-3C.2D.-2【答案】C6. x ∈，有意义.【答案】[0,2]7.解不等式23||1 32xx+≥-【解析】23||132xx+-．∴23132xx+-或者23132xx+--，移项通分得532xx--或者5132xx+-，解之得253x<或1253x-<，故答案为：122[,)(,5]533-⋃．1.(2020河北对口考试)设集合A={x||x-2|>3},B={x|m x+1>0},若m≤0为某个实数，求A∩B.【解析】2. (2019河北对口考试)函数lg|3|y x=-的定义域为。
绝对值不等式练习题
绝对值不等式练习题绝对值不等式练习题绝对值不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题和推导数学定理中起着重要的作用。
通过练习题的形式，我们可以更好地理解和应用绝对值不等式。
1. 求解不等式 |2x - 1| < 5。
首先，我们可以将不等式分解为两个部分：2x - 1 < 5 和 2x - 1 > -5。
解这两个不等式，得到 x < 3 和 x > -2。
综合起来，我们可以得出 -2 < x < 3，即解集为 (-2, 3)。
2. 求解不等式 |3 - 2x| ≥ 7。
同样地，我们将不等式分解为两个部分：3 - 2x ≥ 7 和 3 - 2x ≤ -7。
解这两个不等式，得到x ≤ -2 和x ≥ 5。
综合起来，我们可以得出x ≤ -2 或x ≥ 5，即解集为 (-∞, -2] ∪ [5, +∞)。
3. 求解不等式 |x + 4| > 2。
我们可以将不等式分解为两个部分：x + 4 > 2 和 x + 4 < -2。
解这两个不等式，得到 x > -2 和 x < -6。
综合起来，我们可以得出 -6 < x < -2，即解集为 (-6, -2)。
4. 求解不等式|2x + 3| ≤ 1。
同样地，我们将不等式分解为两个部分：2x + 3 ≤ 1 和2x + 3 ≥ -1。
解这两个不等式，得到x ≤ -1 和x ≥ -2。
综合起来，我们可以得出x ≤ -1 或x ≥ -2，即解集为 (-∞, -1] ∪ [-2, +∞)。
通过这些练习题，我们可以看到绝对值不等式的解集可以是一个区间或多个区间的并集。
解绝对值不等式的关键在于将不等式分解为两个部分，并分别求解。
绝对值不等式在实际问题中的应用也非常广泛。
例如，在物理学中，绝对值不等式可以用来解决速度、加速度等问题。
在经济学中，绝对值不等式可以用来解决价格波动、收益率等问题。
绝对值不等式的应用不仅限于数学领域，而是贯穿于各个学科中。
绝对值不等式题型解法练习(
一、几种常见的含绝对值不等式的解法1．类型一：形如a x f a x f ><)(,)(型不等式 (1)当0>a 时a x f a a x f <<-⇔<)()( a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)( (2)当0=a 时 a x f <)(，无解⇔>a x f )(使()0)()(≠=x f x f y 成立的x 的解集 (3)当0<a 时 a x f <)(，无解^⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集例1（2009年安徽理科第2题5分）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（ ）A.11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B.{}23x x << C.122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭分析：要解决这个题，就是解两个不等式，其中312<-x 即为含绝对值的不等式，这是形如a x f <)(型的绝对值不等式，其中0>a ，则a x f a <<-)(。
解：因为312<-x ,所以3123<-<-x ，即解得)2,1(-∈x 解0312<-+x x 得，3>x 或21-<x 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-=211x x B A ，故答案选D.二,形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(或a x f b -<<-)(。
<例2不等式311<+<x 的解集为（ ）A.（0,2）B.)4,2()0,2( - C .)0,4(-D.)2,0()2,4( --分析：原不等式是形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式，需将原不等式转化为以下的不等式求解：113311-<+<-<+<x x 或，这样就转化为解简单的不等式问题。
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《绝对值与含绝对值的不等式》专题训练
1．绝对值小于3的整数的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．有理数中绝对值等于它本身的数是（ ）
A ．0
B ．正数
C ．负数
D ．非负数
3．一个数的绝对值是正数，这个数是（ ）
A ．不等于0的有理数
B ．正数
C ．任意有理数
D ．非负数
4.设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的数，则a-b+c=（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
5. 不等式-2x-4≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6. 绝对值2（x+1）＜3x 的解集在数轴上表示出来正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.-5的绝对值是
8. 绝对值是10的数有
9、解绝对值不等式|2x+1|＞3，并用区间表示
10、已知a 、b 互为倒数，c 和d 互为相反数，x 绝对值是3，求x 2+（c+d ）2011+（ab ）2012的值．
11、已知：a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于3，求a+b+x 3-cdx 的值．
12.解下列不等式
（1）3813x -<； （2）3214x -≥； （3）11223
x +>； （6）11252x +≤.
一元二次方程
1、关于x的一元二次方程x2-ax-3a=0的一个根是-2，求a的值和另一个根
2、已知x=1是一元二次方程x2+bx+5=0的一个解，求b的值及方程的另一个根．
3、当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？
4、已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
5、已知关于x的一元二次方程kx2-4kx-5=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
6、若（m+1）x|m|+1+6x-2=0是关于x的一元二次方程，求m的值。
7、若关于x的一元二次方程ax2-2x+6=0有两个实数根，求a的取值范围．
8、若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围
9、当m取何值时，关于x的一元二次方程x2-2x+（m-1）=0没有解？
10、关于x的方程（k-3）x|k-1|-5x=2是一元二次方程，求k的值．
11、已知m，n是一元二次方程x2-2x-2019=0，求（m+1）（n+1）的值。
12、已知|a−1|+（b+2）2＝0，求一元二次方程bx2-x+a=0的解．
13、若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，求α+β和αβ的值。