一元二次方程竞赛题

一元二次方程竞赛题解题

一. 升次

例1.（2006年海南初赛）已知a,b 是一元二次方程 x 2

-X-1=0 的两个根，则代数式3a 2+2b 2-3a -2b

的值等于 ________________________________________________ .

二. 降次

例2.（江苏第8届数学竞赛）已知a,3是方程

X 2

-X-仁

0的两根，求

4

+3 的值。

三. 配偶

例3.（2001年黄冈中考）已知a ,3是方程X 2+2X -7=0 的两个实数根，求 2+3 2+4 的

值.

四. 减元

例4. （2005年湖州市“期望杯”数学竞赛题）设

的两根，则 X i 3-4X 22+19 等于（ 五.正难则反

⑴x 2-2（m-1）x+m 2=0

例5.若下列三个关于的方程：

（2） X 2-2（m+1）x+m （m+3）=0

（3） x 2+2mx+m 2-2m+4=0

至少有一个方程有实数根，求实数

m 的取值范围.

六. 巧用ab+a+b+1和ab-a-b+1的因式分解

例6.（第17届江苏初中数学竞赛题）求满足如下条件的所有 kx

2

+（k+1）x+（k-1）=0 的根都是整数。

七. 巧用结论“当a+b+c=0时，一元二次方程

ax 2+bx+c=0 必有一根是1

例7.（第18届江苏初中数学竞赛题）若关于X 的方程rx 2-（2r+7）x+（r+7）=0 的根是正整数，则

整数 r 的值可以是 ______________________________ . 八. 反客为主

例8.（1998年香港数学竞赛题）求所有正整数a,使得方程x 2

-a x+4a=0 仅有整数根.

X 1,X 2是一元二次方程 X 2+X -3=0

)A.-4 B.8 C.6 D.0

k 值：使关于X 的方程

其他：

解方程:|乂北_尸壬_ 4 |+ 住率工-5_y — 1 0）2 = 0 .

例题1已知,是方程X 2 2x 1 0的两根，贝y 3 5

10的值为 ______ （12年河南）

1 1

例题3：设a 2 1 3a,b 2 1 3b 且a b 则代数式—的值为（）（08年全国联赛）

a 'b

A.5

B.7

C.9

D.ll

变

式：

已知实数

4 x, y 满足p

2 o 4

2

3, y

y 2

3,则 4

4

4 y 的值为（（08联赛）

x

x

x

2014

例题4 :如果关于

x 的方程 2

3 2

x kx -k

9 3k - 0的两实根为x 「X 2则 x

1

2015的值为

4

2

X 2

。（12年全国联赛改编题）

时，l n pl n 1 ql n 2 的值为（ ）。

4•方程x 2 a x a 2

0（a 0）有（）个实数根。

2 2 2 2

(k 6k 8)x

(2k 6k 4)x k 4

0 的两个根

都是整数•求实数k 的值.

5、若实数x, y 满足

x 33

43

y

33

63

y 53

63

1 贝 H x+y= _______

Ut> K 1

aWSa 2 + ZOOla + 9 = OX

H - 200 lb -F 5 = O.

贝心口勺值为？

O

例题5：（ 2010年数学联赛）已知实数x, y 满足方程组

19

则

X 2

1

1、（上海市 竞赛）已知整数 p 、q 满足p q 2010

且关于 的一元二次方程

67 x 2

px

q 0的根均为正整数，则 p= 3•设方程x 2

px q

0的两根为a, b 且有h a b, J

a 2

b

,・・

.l n

a n

b n

,则当 n 3

6、已知关于x 的一元二次方程

x y z 3

7.求方程组x3 y3 z3 3的所有整数解.（全国联赛）