第五章 第四节 线段的定比分点与平移

第五章 第四节 线段的定比分点与平移

题组一

线段的定分比问题

1.(2010·黄冈模拟)已知两点P (4，－9)，Q (－2,3)，则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段 PQ 的比为

( )

A.13

B.12

C ．2

D ．3

解析：设所求的分比为λ，则由0＝4＋(－2)λ1＋λ⇒λ＝2.

答案：C

2．如图所示，已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线ax －2y ＝0与线段AB 交于点C ，且C 分 AB 所成的比λ＝2，则实数a 的值为

( )

A ．－4

B ．4

C ．－2

D ．2 解析：∵A (2,0)，B (3,4)， ∴直线AB 的方程为y ＝4x －8， 设C 点横坐标为x ，

∴由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝4x －8ax －2y ＝0

⇒x ＝84－1

2

a .

又∵λ＝

AC CB

，

∴x ＝83，∴84－12a ＝8

3

，

解得a ＝2. 答案：D

3．已知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2,5,10，则点A 分BC 所 得的比为 ( )

A.38

B ．－3

8

C.83

D ．－83

解析：设点A 分BC 所得的比为λ，则2＝5＋10λ

1＋λ

∴λ＝－3

8.

答案：B

题组二

平移公式的应用

4.将函数y ＝2x ＋1＋ ( )

A ．a ＝(－1，－1)

B ．a ＝(1，－1)

C ．a ＝(1,1)

D ．a ＝(－1,1)

解析：设向量a ＝(m ，n )，y ＝2x ＋1，沿a 平移得到y －n ＝2x －m ＋1，即y ＝2x －m ＋1 ＋n 与y ＝2x ＋1重合，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

m ＝－1n ＝－1.

答案：A

5．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象按向量a ＝(－π

6，0)平移，平移后的图象如图所示，则

平移后的图象所对应函数的解析式是

( )

A ．y ＝sin(x ＋π

6)

B ．y ＝sin(x －π

6)

C ．y ＝sin(2x ＋π

3)

D ．y ＝sin(2x －π

3

)

解析：函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象按向量a ＝(－π

6，0)平移后的解析式为y ＝sin ω(x ＋

π6)＝sin(ωx ＋ωπ6

)， 当x ＝7

12

π时，函数取最小值－1，

即sin(7ωπ12＋ωπ

6)＝－1，

∴sin 3ωπ

4＝－1，∴ω可取2.

即函数解析式为y ＝sin(2x ＋π

3)．

答案：C

6．将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象按向量a 平移后所得的图象关于点(－π

12，0)中心对称，

则向量a 的坐标可能为

( )

A ．(－π

12，0)

B ．(－π

6，0)

C ．(π

12

，0)

D ．(π

6

，0)

解析：设平移向量a ＝(m,0)，则函数按向量a 平移后的表达式为y ＝sin[2(x －m )＋π

3]

＝sin(2x ＋π3－2m )，因为图象关于点(－π12，0)中心对称，故将x ＝－π

12代入得sin[2(－

π12)＋π3－2m ]＝0，即π6－2m ＝kπ(k ∈Z)，由k ＝0得，m ＝π

12

. 答案：C

7．把函数y ＝2x 2－4x ＋5的图象按向量a 平移得到y ＝2x 2的图象，又a ⊥b ，c ＝(1， －1)，b ·c ＝4，求向量b 的坐标． 解：法一：y ＝2x 2－4x ＋5＝2(x －1)2＋3， 依题意a ＝(－1，－3)，设b ＝(x ，y )， ∵a ⊥b ，

∴－x －3y ＝0，又∵b ·c ＝4，∴x －y ＝4，

解⎩⎪⎨⎪⎧ －x －3y ＝0，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3，y ＝－1，

∴b ＝(3，－1)．

法二：设a ＝(h ，k )，设P (x ，y )是函数y ＝2x 2－4x ＋5图象上的任一点，平移后的对

应点为P ′(x ′，y ′)．由平移公式⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k ，

代入y ＝2x 2－4x ＋5，化简得，

y ′＝2x ′2－(4h ＋4)x ′＋2h 2＋4h ＋5＋k ， 对比y ＝2x 2，得4h ＋4＝0，h ＝－1，

2h 2＋4h ＋5＋k ＝0，k ＝－3，∴a ＝(－1，－3)； 再设b ＝(x ，y )，∵a ⊥b ，∴－x －3y ＝0， 又b ·c ＝4，∴x －y ＝4，

解⎩⎪⎨⎪⎧ －x －3y ＝0，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3，y ＝－1，

∴b ＝(3，－1)．

8.(2010·福建四地六校联考)将函数y ＝sin(x －θ)的图象F 向右平移π3个单位长度得到图

象F ′，若F ′的一条对称轴是直线x ＝π

4，则θ的一个可能取值是 ( )

A.512π B ．－512π

C.1112π D ．－1112π

解析：由y ＝sin(x －θ)向右平移π

3得到

y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－θ，且关于x ＝π

4对称， ∴sin ⎝⎛⎭⎫

π4－π3－θ＝±

1， 即π4－π3－θ＝kπ＋π2(k ∈Z)，θ＝－kπ－7π

12(k ∈Z)，

当k ＝－1时，即θ＝5π12.

答案：A

9．把点A (2,1)按向量a ＝(－2,3)平移到B .此时点B 分向量OC (O 为坐标原点)的比 为－2，则C 点的坐标为________．

解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋h y ′＝y ＋k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝0

y ′＝4

，即B (0,4)．

又∵B 分OC 的比为－2，