新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
4.1.2 无理数 指数幂及其运算性质
4．1.2 无理数 指数幂及其运算性质(一)教材梳理填空 (1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．(2)实数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈R )． ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈R )． ③(ab )r ＝a r b _r (a ＞0，b ＞0，r ∈R )． (二)基本知能小试 1．判断正误(1)22是实数．( ) (2)2π＞2 3.( ) 2．化简⎝⎛⎭⎫123·4π为( ) A ．2π－3 B ．22π－3 C ．23＋πD ．22π＋33．化简(3＋2)3－2·(3－2)3－2.题型一 无理数指数幂的运算[学透用活][典例1] 已知2a,3b,5c .求103235+[对点练清]1．由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为( )(1)21.7,21.73,21.732,21.732 0,21.732 05，… (2)21.8,21.74,21.733,21.732 1,21.732 06，… A ．21.7 B ．21.8 C ．2 3D ．42．计算：3π×⎝⎛⎭⎫13π＋(2的值为( ) A ．17 B ．18 C ．6 D ．5题型二 指数幂的运算[学透用活][典例2] 计算下列各式： (1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214-12－(0.01)0.5； (2)(0.064)-13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] -43＋16－0.75；(3)⎝⎛⎭⎫14-12·()4ab －130.1－2(a 3b －3)12(a ＞0，b ＞0)．[对点练清]计算下列各式：(1)0.02713－⎝⎛⎭⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0； (2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46a ·b ·3b 3.题型三 条件求值[学透用活][典例3]已知a 12＋a-12＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[对点练清] 1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.2．[变条件]已知a 12－a-12＝m，求本例中(1)(2)的值．3．已知a2x＝2＋1，求a3x＋a－3xa x＋a－x的值．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．化简[3(－5)2]34的结果为()A．5B． 5 C．－ 5 D．－52．计算(2a－3b -23)·(－3a－1b)÷(4a－4b-53)得()A．－32b2 B.32b2C．－32b73 D.32b733＝________.4．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y ＝________.s 二、创新应用题5．计算(或化简)下列各式：(1)42＋1·23－22·64-23； (2)a －ba 12＋b12－a ＋b －2a 12·b 12a 12－b12.[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A ．164B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6D ．⎝⎛⎭⎫122n －72．在算式2大＋2国＋2精＋2神＝29中，“大、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．若a ＞1，b ＞0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( )A ．4B ．2或－2C ．－2D ．24．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．1005．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1D.x x －16．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.7．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫b a 17n －3＝________. 8．若a ＝2，b ＞0，则a 2b ＋a 12a 12b＋(a 12－b-13)(a ＋a 12b-13＋b-23)的值为________．9．计算下列各式： (1)(－x 13y -13)(3x-12y 23)(－2x 16y 23)；(2)2x 14(－3x 14y -13)÷(－6x-32y-43)．10．已知a ，b 分别为x 2－12x ＋9＝0的两根，且a ＜b ，求a 12－b12a 12＋b 12的值．B 级——高考水平高分练1．计算：12－1＋(3－22)0－⎝⎛⎭⎫94－0.5＋4(2－π)4＝________. 2．已知a 2m ＋n ＝2－2，a m －n ＝28(a ＞0，且a ≠1)，则a 4m＋n的值为________．3．(1)设a ＞0，化简：3a 4a －33a 4a 4；(2)若x 12＋x -12＝6，求x ＋x －1－1x 2＋x －2－2的值．4．根据已知条件求下列各式的值： (1)已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －y x ＋y；(2)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，求a －ba ＋b.5．对于正整数a ，b ，c (a ≤b ≤c )和非零实数x ，y ，z ，ω，有a x ＝b y ＝c z ＝70ω，1ω＝1x ＋1y ＋1z ，求a ，b ，c 的值．。
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件(共21张PPT高一上学期数学 人教A版必修第一册
思
.
、
自研教材107-108页，导学案177-179页，课时练85-86页，思考
以下问题：
2
1.类比无理数的发现和确定过程，如何理解5 的意义？
2.无理数指数幂的含义是什么？
3.实数指数幂的运算性质是什么？与有理数指数幂的
运算性质有何区别？
4. 如何用a m , an 表示am-2n ？a1/2+a-1/2和a+a-1有怎样的联
过用连分数近似表示的方法得到,如
3.14159265=3+
1
1
0.14159265
≈3+
1
7+0.0625135
1 22
≈3+ = ,舍去 0.0625135,得到逼近的一个
7
7
1 22
有理数为 3+ = ,类似地,把 2化为连分数形式:1+
7
7
1
+
1
+
1
+
到 1 之间的无理数),舍去 r 得到逼近 2的一个有理数为
系？
高一数学组
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
无理数指数幂
类比无理数的发现和确定过程，如何理解5
2
的意义？
每一个无理数都是一个定值，能够用数轴上的一个点表示.
的值呢？
那么，如果不用计算器，我们如何来估算
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
小数位数相同的 2的过剩近似值与不足近似值的差是有规律的：
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
7-9
2+2+3-2 2
-2
1
=4 =4 = .
16
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.1.2无理数指数幂及其运算性质教案
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质对于无理数指数幂的认识,教科书安排了一个探究栏目，从具体的开始．假设有意义，根据有理数指数幂的意义，利用计算工具，由的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），计算相应的的值,并填入表中．可以发现，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，相应的都趋向于同一个数．这时，从差趋向于0，也可以进一步说明都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂…和另一串逐渐减小的有理数指数幂…逐步逼近的结果．由于实数与数轴上的点一一对应，这一过程也可以在数轴上标示出来（如教科书图4.1-1）．逐步逼近后，根据我们的想象和推断，这个点在数轴上存在，而且是唯一的，它是一个确定的实数,这个数就是．无论是认识,还是认识，为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左、右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，想象并判定，不仅在数轴上确实存在，而且唯一. 这种研究问题的方法是现代数学中常用的方法：选取点所在的一个邻域，运用无限分割的方法，将点所在区间不断缩小，得到区间套，然后运用极限，得到研究问题的答案。
教科书接下来安排了一个“思考”栏目，让学生类比的探究过程，探究。
也是一个确定的实数，在数轴上有唯一的点与它对应．在上述研究的基础上，教科书给出结论：一般地，无理数指数幂（a＞0，α为无理数）是一个确定的实数．这个结论使以后能在实数范围内定义指数函数，在区间（0，+∞）内定义对数函数．这样，我们把指数幂（a＞0）中指数x的取值范围由整数拓展到有理数，并进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数．应当注意的是，在指数幂中，通常要限定a＞0这个条件. 这是为了保证后续的指数函数y=对于任意实数x都有意义，因为只有正数的任何实数次幂才都有意义。
人教版高中数学必修第一册4.1指数 课时2无理数指数幂及其运算性质【课件】
指数
课时2 无理数指数幂及其运算性质
教学目标
• 1. 了解无理数指数幂的概念和意义,体会无限逼近、由特
殊到一般等数学探究方法.
• 2. 在经历无理数指数幂的概念形成过程中,感受类比、归
纳和联想等数学学习方法.
• 3. 了解实数指数幂的变化特点和规律,初步感受“爆炸式”
增长或减少的变化趋势.
学习目标
察其变化趋势．
【问题5】x取负实数，使得其绝对值逐渐增大并趋向于无穷大时，
试计算3x的值，观察其变化趋势．
【问题6】x取正实数，使得其值逐渐增大并趋向于无穷大时，
试计算
的值，观察其变化趋势．
【问题7】通过上述探究，你发现实数指数幂有怎样的变化规律？
典例精析
【例1】（教材改编题）求值与化简：
（1）
【例3】
思路点拨：要善于利用实数指数幂的运算性质，借助整体代换进行化简计算．
【解】
【变式训练3】
2
5
【备选例题】
思路点拨
【解】
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
A
A
ABD
2
同学们再见！
Goodbye Students！
【活动2】探究无理数指数幂的运算性质
【问题3】我们已经学习过有理数指数幂的运算性质：
am·an＝am＋n(m，n∈Q)；(am)n＝amn(m，n∈Q)；
(ab)n＝an·bn(n∈Q).
那么对于无理数指数幂，这些运算性质是否同样适用？
【活动3】探究实数指数幂的变化规律
【问题4】x取正实数，使得其值逐渐增大时，试计算3x的值，观
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
1
+ −
1
3 + −3
3
= 2 +
1
2
+ 1 = 2 2 + 1．
5 + 2，
+1
（3） ∵ + = 8， = 9，
∴ − 2 = + 2 − 4 = 64 − 36 = 28．
∵ > > 0， ∴ − = 2 7 ．
（5） − .
−
−
− ( + ) +
−
+
×
+ − . + − . �� ；
25 2
9
5
3
+
（5）8 − 0. 5
−3
1 −3
2
−
64 −3
27
+
4 −2
3
2
3
2
3
−3+
+
+ 3
2 3
3
2
+1
−
= 0. 43
2
−2
+ 2
10 −3
27
− 3π0 +
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
br(b>0) ④ar÷as=ar－s
典型例题
题型一：利用分数指数幂的运算性质化简求值
【 例 1】（ 2023·全 国·高 一专 题练 习） 计算 下列 各式 的值 ．
（1）.
（4）
−
新教材高中数学必修第一册第4章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
4．1.2无理数指数幂及其运算性质学习目标1.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.2.了解无理数指数幂的意义．知识点一无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．知识点二实数指数幂的运算性质1．a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈R)．2．(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈R)．预习小测自我检验1．计算(1 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝________.答案 22．下列等式一定成立的是________．(填序号)①⋅a;②1122a a-⋅＝0；③(a3)2＝a9;④11 136 2.a a a÷=答案④3．若100x＝25，则10－x＝________.答案1 5解析∵100x＝25，∴(10x)2＝52，∴10x＝5,10－x＝(10x)－1＝5－1＝1 5.4．计算：π0＋2－2×12124⎛⎫⎪⎝⎭＝________. 答案 118一、运用指数幂运算公式化简求值 例1 计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)()10.52332770.0272;1259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1;2⎡⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦()1.a +解 (1)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09. (2)原式＝⎛ ⎪ ⎪⎝⎭＝322⎛==⎪⎪⎝⎭(3)＋1＝1＋1＝2.反思感悟一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练1计算下列各式的值(式中字母都是正数)：(1)1318-⎛⎫⎪⎝⎭×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6；(2)23a2÷(46a·b)·3b3.解 (1)原式＝()6611111(1)333424812223⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝314422++＋22×33＝112.(2)原式＝21133662243a a b b ⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133662132a b b --⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭ 41323.2a b = 二、分数指数幂运算的综合应用 例2 (1)已知a m ＝4，a n ＝3，求a m －2n的值；(2)已知1122a a-+＝3，求下列各式的值．①a ＋a －1；②a 2＋a －2；③3322.a a -+解 (1)am －2n＝()()121222m mn n a a aa -⎡⎤⎢⎥⋅=⎢⎥⎣⎦12243⎛⎫= ⎪⎝⎭＝23. (2)①∵11223,a a-+=∴211229,a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭即a ＋2＋a －1＝9，∴a ＋a －1＝7. ②∵a ＋a －1＝7，∴(a ＋a －1)2＝49，即a 2＋2＋a －2＝49. ∴a 2＋a －2＝47. ③3333112222a aa a --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122(1)a a a a --⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭＝3×(7－1)＝18.延伸探究在本例(2)的条件下，求a2－a－2的值．解设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2 205.所以y＝±215，即a2－a－2＝±21 5.反思感悟条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．跟踪训练2已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求11221122x yx y-+的值．解211221122111111222222x yx yx y x y x y⎛⎫-⎪-⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭12()2(),x y xyx y+-=-①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. 又∵x<y，∴x－y＝－6 3.③将②③代入①，得111222112293 x yx y-==-+1．化简34的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5 答案 B解析33214432(5)5⎡⎤⎤=-==⎢⎥⎣⎦2．计算2332a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭·(－3a －1b )÷5434a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．7332b - D.7332b答案 A解析 原式＝143254363.24a b b a b----=-3．若10x ＝183-，10y ＝427，则102x －y ＝________. 答案 13解析 102x －y ＝(10x )2÷10y ＝2183-⎛⎫ ⎪⎝⎭÷427＝1344133.3-÷=4．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 答案 14152解析 由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝152.5．化简m π·4m π·3π4m- (m >0)＝________.答案 1解析 原式＝ππ3ππ3ππ244244m m mm-+-⋅⋅=＝m 0＝1.1．知识清单：(1)有理数指数幂的性质． (2)无理数指数幂的性质．2．方法归纳：根式的运算可先转化为幂的运算，最后再将结果转化为根式．3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．1．下列等式能够成立的是( ) A.⎝⎛⎭⎫n m 7＝17n ·m 7(m ≠n ，m ≠0) B.12(－3)4＝()133-C.4x 3＋y 3＝()34x y +(x ≥0，y ≥0)D.39＝133答案 D解析 因为⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7m 7＝n 7·m －7，所以A 错； 因为12(－3)4＝1234＝133≠()133-，所以B 错；因为4x 3＋y 3＝(x 3＋y 3)14≠(x ＋y )34，所以C 错； 因为39＝69＝133，所以D 正确．2．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5C ．2262n n －＋D.⎝⎛⎭⎫122n －7答案 D解析 原式＝22n ＋2·2－2n －1(22)n ·(23)－2＝2122n －6＝27－2n ＝⎝⎛⎭⎫122n －7. 3．2327＋1216-－⎝⎛⎭⎫12－2－23827-⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( )A ．3B ．6 C.14 D ．15答案 A解析 原式＝233(3)＋()1224-－(2－1)－2－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23323- ＝9＋4－1－4－⎝⎛⎭⎫23－2＝9＋14－4－94 ＝9－6＝3.4．若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22yx a+等于( )A ．9＋ 5 B.452 C ．9 5 D ．6 5答案 C 解析 22y x a+＝(a x )2·(a y )12＝32·512＝9 5.5．设12a －12a -＝m ，则a 2＋1a等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 C解析 将12a －12a -＝m 两边平方，得21122a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2， 即a ＋1a ＝m 2＋2，所以a 2＋1a＝m 2＋2.6．设α，β为方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫14α＋β＝________. 答案 8解析 由根与系数的关系得α＋β＝－32，所以⎝⎛⎭⎫14α＋β＝⎝⎛⎭⎫1432-＝(2－2)32-＝23＝8. 7________.答案 1解析＝1.8．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m ＝________. 答案 16解析 因为a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)， 所以a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0， 解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． 所以m ＝24＝16.9．化简下列各式(式中字母都是正数)：(1)83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)(－31134a b-)(42132a b -)÷(－21134a b -)；(3)(14x ＋14y )(14x －14y )(x ＋y )．解 (1)83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(14m )8(38n -)8＝m 2n －3＝m 2n3.(2)原式＝[－3×4÷(－2)]·121111333424a b-+--+＝6a 0b 0＝6.(3)原式＝[(14x)2－(14y )2](x ＋y )＝(12x －12y )(x ＋y ) ＝(x －y )(x ＋y ) ＝(x )2－(y )2＝x －y . 10．计算：(1)733－3324－6319＋4333；(2)0.008 114-－⎣⎡⎦⎤3×⎝⎛⎭⎫780－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤81－0.25＋⎝⎛⎭⎫33813-12-－10×0.02713.考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 解 (1)原式＝7×133－3×133×2－6×233-＋(3×133)14＝133－6×233-＋133＝2×133－2×3×233-＝2×133－2×133＝0.(2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫310414-－(3×1)－1×⎣⎡⎦⎤3－1＋⎝⎛⎭⎫32－112-－10×(0.33)13 ＝⎝⎛⎭⎫310－1－13×⎝⎛⎭⎫13＋2312-－10×0.3＝103－13－3＝0.11．若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于( ) A ．50 B ．12 C ．20 D ．1 答案 D解析 ∵100a ＝5，∴102a ＝5，∴102a ＋b ＝102a ·10b ＝5×2＝10， ∴2a ＋b ＝1，故选D.12．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．2答案 D解析 a >1，b >0，∴a b >1，∴a －b ＝1a b ，∴a －b ∈(0,1)，∴a b －a －b >0， ∵a b ＋a －b ＝22，∴a 2b ＋a －2b ＝6， (a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4， ∴a b －a －b ＝2.故选D.13．若2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________. 答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝(23)y ＋1＝23y ＋3， ∴x ＝3y ＋3，①又∵9y ＝3x －9＝(32)y ＝32y ， ∴x －9＝2y ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.14．化简a23b a12-·3b÷⎝⎛⎭⎪⎫a －1b －1b a 23- (a >0，b >0)的值为________．考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 答案 1566a b-解析 原式＝1321132a b a b 2-⋅⋅÷2131212a bb a ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭＝21321132a ba b-⋅⋅÷21131122a b-----⎛⎫⎪⎝⎭＝21113223a b+-÷233322a b---⎛⎫⎪⎝⎭＝7166a b÷(ab)＝7111 66 a b--＝15 66 a b-.15．设a＝424，b＝312，c＝6，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．a<b<c 答案 D解析ab＝424312＝(23×3)14(22×3)13＝314421332323⨯⨯＝3243113423--＝11211223＝⎝⎛⎭⎫23112<1，又a>0，b>0，∴a<b，b c ＝3126＝(22×3)13(2×3)12＝213311222323⨯⨯ ＝2132112323--＝161623＝1623⎛⎫⎪⎝⎭<1， 又b >0，c >0，∴b <c ， 综上有a <b <c ，故选D. 16．已知a ＝3，求1411a+＋1411a-＋1221a+＋41＋a的值． 解1411a+＋1411a-＋1221a+＋41＋a＝1144211a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋1221a +＋41＋a ＝1221a-＋1221a+＋41＋a＝1122411a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋41＋a ＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1.。
高中数学(新人教A版)必修第一册：无理指数幂及其运算【精品课件】
…
指数幂的运算法则
由上可以看出：5 2 可以由 2 的不足近似 值和过剩近似值进行无限逼近。
2.指数幂的运算法则是：
(1) ar as ars (a 0, r, s R);
1
m2＋1 [(m2)4＋(－1)0＝m2＋1.]
探究新知
无理数指数幂
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数) 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无
理数指数幂．
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一 个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指 数幂
当堂达标
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
[答案]A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；( a－1)0＝1，若成立， 需要满足 a≠1，故选 A.]
2．把根式 a a化成分数指数幂是( )
＝－1ac－1＝－ a .
3
3c
(3)原式＝2a
1 3
÷(4a
1 6
b
1 6
)·(3b
3 2
)＝1a
1 -1 36
-1
b6
3
·3b 2
＝3a
1 6
ห้องสมุดไป่ตู้
4
b3
)
[答案] (1)× (2)× (3)×
2
2．45等于( )
高中数学第四章指数函数与对数函数无理数指数幂及其运算性质课件新人教A版必修第一册
2
2+
1
2
5
2
＝a .
3
2
3
4
2 3
+
3 2
13
6
(2)原式＝ a · a ＝ a = a .
2
3
3
2
(3)原式＝a · a = a
(4)原式＝ a
1
3
2
·
＝a .
1
2
ab3 2 ＝a3
1
2
3
2
·a ·b =a
2 1
+
3 2
3
2
7
6
3
2
·b ＝a ·b .
方法归纳
根式与分数指数幂互化的2个策略
巩固训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是(
助 学 批 注
批注❶ 求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.
批注❷ 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负
数．
批注❸ 正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方
根．
批注❹ 分数指数幂是根式的一种表示形式，分数指数不能随意约
2
−4
1
2
分，如(－3) 约分后为(－3) ＝ −3，而 −3在实数范围内是无意义
方法归纳
根式化简或求值的策略
巩固训练1 (1)下列各式正确的是(
4
3
3
A．( a) ＝a
B．( 7)4＝－7
6 6
5
5
C．( ) ＝|a|
D． a ＝a
)
答案：A
解析：(
3
4
a)3＝a，(
7)4＝7，( 5
4.1.2无理数指数幂及其运算性质(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
内容索引
活动五 实数指数幂的综合应用
例 4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
1
1
【解析】 方法一：因为 a>0，b>0，又 ab＝ba，所以(ab) b＝(ba) b，
a
1
所以 a＝bb，所以 a＝(9a) 9，
所以
8
1
a9＝99，所以
a8＝32，所以
a＝4
3.
方法二：因为 ab＝ba，b＝9a，所以 a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a，所以
a9＝9a，a8＝9，所以 a＝4 3.
内容索引
指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便， 我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等 目的．
内容索引
已知 67 x＝27,603y＝81，求3x－4y的值．
3
4
【解析】 由 67x＝33，得 67＝3 x.由 603y＝81，得 603＝3 y，
所以
3
4
y－
3x＝66073＝9＝32，
所以4y－3x＝2，故3x－4y＝－2.
内容索引
内容索引
1. (2022·内江威远中学高三阶段练习)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
的值是( )
【解析】
＝
＝(2 ) ＝24－2＝4.
内容索引
(2) 1.5－13×－760＋80.25×4 2＋(3 2× 3)6－ 2323. 【解析】 原式＝2313×1＋(23) 14×214＋(213×312)6－2313＝2＋4×27＝110.
内容索引
1. 式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方便计算应该把 根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算性质运算．
4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
1.0130 ≈ 1.35<
>
m
>
/m
， 1
m
<
>.01365 ≈ 37.8<
>， <
/m
1.01730 ≈ 1427.6<
>
m
>”
/m
形象地向我们展示了通过努力每天进步 <
1%<
>
m
>，就会在一
/m
个月、一年以及两年后产生巨大差异.虽然这是一种理想
化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和
的值，视察变化趋势；
x
1
（2）x 取正实数，使得 x 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 ( x R )
的值，视察变化趋势.
2
解:（1）
由此可以看出，x 取负实数，使得 |x| 的值逐渐增大并趋向于无穷大时, 2 x趋向于0.
课堂练习
解：（2）
由此可以看出，x
取正实数，使得 x 的值逐渐增大，当 x 的值趋向于无穷
9.738 517 862
1.414 213 562
9.738 517 736
1.414 213 563
9.738 517 752
…
…
…
…
探究新知
通过视察，可以发现：
⟶ 2⟵
5 ⟶ ⟵ 5
A是一个确定的数，就是5 2
可以发现，当 2 的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近 2 时，5 x 和5 y 都
时间累积的力量”.
上面我们将 a x (a 0) 中指数x的取值范围从整数拓
高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件新人教A版必修第一册
课堂检测•固双基
1．下列能正确反映指数幂的推广过程的是( A ) A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂 B．有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂 C．整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂 D．无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂
2．计算 A. 2 C．2
[解析]
的结果是( D ) B．－ 2
(3)由于
，所以有
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
[归纳提升] 解决条件求值问题的一般方法——整体代入法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但 有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形， 构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地 求出代数式的值． 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中 a>0，b>0)：
对点练习❶ 计算下列各式： [解析]
题型二
指数幂运算的条件求值问题
典例 2 已知
＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)
.
[分析] 利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．
[解析] (1)将
＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，即 a＋a－1＝
7. (2)将 a＋a－1＝7 两边平方，有 a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.
[分析] 根据已知条件3a＝4b＝6c，设一个参数t，用含t的式子表示
a，b，c，从而找到a，b，c之间的关系．
[解析] 令 3a＝4b＝6c＝t(t>0)，则 3＝ ，2＝
因为 3×2＝6， 即1a＋21b＝1c，所以2c＝2a＋1b.
[归纳提升] 对于指数幂等式的证明问题常常是将指数幂化为同 底，利用指数幂相等的规律进行证明．解决此类问题的关键是通过指数 运算进行等价代换，以及利用参数找到已知与结论的联系，这样才能使 问题迅速得到解决．
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件1：4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
A．21.7
B．21.8
C．2 3
D．4
解 析 ： 由 于 3 的 不 足 近 似 值 为 1.7,1.73,1.732,1.732 0,1.732 05，…， 3的过剩近似值为 1.8,1.74,1.733,1.732 1,1.732 06，…，所以由(1)(2)两串有理数指数幂所逼近 得到的数为 2 3. 答案：C
(2)(0.064)
-1 3
－－780＋[
(－2)3]
-
4 3
＋16－0.75；
(3)14
-
1 2
－13
· 4ab
0.1－2a3b－3
1 2
(a＞0，b＞0)．
解：(1)原式＝1＋41×94
1 2
－1010
1 2
＝1＋16－110＝1165.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝25－1＋116＋18＝2176.
课堂一刻钟巩固训练
一、基础经典题
1．化简[3
3
－52] 4 的结果为
A．5
B． 5
C．－ 5
D．－5
()
解析：[3
3
2
(－5)2]4 ＝[(－5) 3 ]
3
1
4 ＝5 2 ＝
5.
答案：B
2．计算(2a－3b
2 3
)·(－3a－1b)÷(4a－4b
5 3
)得
A．－32b2
B.32b2
C．－32b
7 3
37 D.2b 3
1
解析：原式＝－4a6－a4－b4b533 ＝－32b2.
答案：A
()
3．计算 2 3 ＝________.
22
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂。Biblioteka 完成教材第108页的探究。
一般地，无理数指数幂是一个确定的实数。这样，我们就将 指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数。
实数指数幂的运算性质:
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
复习回顾
1．根式的概念； 2．根式的性质及常用公式; 3. 分数指数幂的意义； 4. 分数指数幂与根式的互化； 5. 有理数指数幂的运算性质．
上一节课我们将ax中指数x的取值范围从整数拓 展到了有理数。那么，当指数x是无理数时，ax的意义是 什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运 算性质？
am an amn (a 0, m, n R), (am )n amn (a 0, m, n R, ), (ab)n an bn (a 0,b 0, n R).
课堂小结
1．无理数指数幂的意义； 2. 无理数指数幂的运算性质．
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所以
1
x2
1
x2
6，
所以
x2 x2
1
1
4
2.
x2 x 2
ax )(a2x 1 ax ax
a 2x
)
a 2x
1 a 2x
1
2 1
1 1 2 2 1. 2 1
【素养·探】 在指数式的化简求值中,经常利用核心素养中的数学
运算,通过对式子的等价变形,体现了良好的先化简后 求值的数学运算习惯. 将本例中的式子改为 a3x a3x ,试求值.
ax ax
【解析】
(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算. (2)若式子中含有根式,则先化为指数式再进行运算,一 般指数中的根式可以保留.
【习练·破】
计算下列各式:
1( 3 )2 3.
3
2
(m
3
m
6
)12
.
【解析】(1)原式=
(
3
3
2 )2
3
(
3
2 )2
3
3.
(2)原式=
(m
3
6
)12
(m 6 )12
x的指数升高,再代入求值.
【解析】由已知可得:x+x-1=(
x
1 2
x -12 2) 2=(
)2-25 =3.
x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7.
原式= 7 6 1 .
35 2
【类题·通】 解决条件求值问题的步骤
【习练·破】
1.已知a+a-1=7(a>1),求
a
1 2
1
a2
所以 3 a b 1 .
2
2
所以 9a g3b 3.
3a
答案: 3
【加练·固】 1.若a>1,b>0,ab+a-b=2 2 ,则ab-a-b=________.
【解析】因为a>1,b>0, 所以ab>a-b,(ab-a-b)2=(ab+a-b)2-4 =(2 2 )2-4=4, 所以ab-a-b=2. 答案:2
2.已知x+x-1=4(0<x<1),求
x2
1
x 2
1
.
x2 x 2
【解析】因为x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=4(x-x-1),(x-x-1)2
=(x+x-1)2-4=12,
又因为0<x<1,所以x-x-1=-2 3 ,
所以x2-x-2=-8 3 ,
又因为
1
(x 2
1
x2
)2=x+x-1+2=6,
a3x
ax
a 3x ax
a x ax a2x 1 a2x ax ax
a2x a2x 1
2 1 1 1 2 2 1. 2 1
角度2 完全平方公式在指数运算中的应用
【典例】已知
1
1
x2 x 2
5，求
x2 x
x2 x1
6 5
的值.
世纪金
榜导学号
【思维·引】将已知的式子反复利用完全平方公式,将
()
提示:(1)×.无理数指数幂对应一个确定的实数. (2)×.指数幂ax(a>0)中的x是任意实数. (3)√. (3 2 ) 2 3 2 2 32 9.
2.
a
3
a
6
____________ .
【解析】a
3
a
6
a3 6
a2.
答案:
a2
3.( n ) 3 __________ .
.
【解析】a+a-1=
1
(a 2
a
1 2
)
2
1 1
2a 2 ga 2
1
(a 2
a
1 2
)2
2
7.
1
因为a>1,所以a 2
1
a 2
5.
2.已知3a+2b=1,则 9a g3b =________.
3a【解析】9a g3b来自3a32ag3b
a
32
2a b a
3 2
3ab
32 ,
因为3a+2b=1,
m 2 .
【加练·固】
计算
5
a 6a 6 a.
【解析】原式=
5
a6 6
=a0=1.
类型二 指数运算在实际问题中的应用
【典例】某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次
(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经
过 世纪金榜导学号( )
A.12 h B.4 h
C.3 h
D.2 h
在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中,常常用到 指数运算,用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
【习练·破】
一张报纸,其厚度为a,现将报纸对折(即沿对边中点
连线折叠)7次,这时,报纸的厚度为 ( )
A.8a
B.64a
C.128a D.256a
【解析】选C.一张报纸,其厚度为a,现将报纸对折(即 沿对边中点连线折叠)7次,这时报纸的厚度为 a×27=128a.
无理数指数幂及其运算性质
1.无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.
【思考】 2 2一定是实数吗? 提示:根据无理数指数幂的定义, 2 2 是实数.
2.实数指数幂的运算性质(a>0,b>0,r,s∈R) (1)aras=ar+s.(2)(ar)s=ars.(3)(ab)r=arbr.
【加练·固】
某林场计划第一年造林10 000亩,以后每年比前
一年多造林20%,则第四年造林 ( )
A.14 400亩
B.172 800亩
C.20 736亩
D.17 280亩
【解析】选D.设第x年造林亩数为y,其中x∈N*, 则y=10 000×(1+20%)x-1, 所以x=4时,y=17 280(亩).
类型三 指数幂运算的综合应用
角度1 已知某因式的值求值
【典例】若a2x=
2
-1,则
a 3x ax
a 3x ax
等于
(
)
A.2 2 -1 B.2-2 2 C.2 2 +1 D. 2 +1
【思维·引】将要求的式子变形,化为已知的因式后代 入.
【解析】选A.
a3x a 3x ax ax
(a x
【思考】 (1)实数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质 相同吗? 提示:相同.
(2)指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的? 提示:
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)无理数指数幂有的不是实数. ( )
(2)指数幂ax(a>0)中的x只能是有理数. ( )
(3) (3 2 ) 2 9.
【解析】(1)原式= (3 2 2 3 )3 2 36 22 2 916.
(2)原式=
2
a6 3 a 6.
【内化·悟】 无理数指数幂、有理数指数幂在运算时有什么异同?
提示:运算性质是一样的;不同的是一个是进行无理数 指数运算,一个是进行有理数指数运算.
【类题·通】 关于无理数指数幂的运算
m
【解析】 ( n ) 3 n 3m 3.
m
答案: n 3m 3
类型一 无理数指数幂的运算 【典例】计算下列各式
2
（1）(3
23
2
2 )3
（2 . 2）a
6a a
3
.
【思维·引】(1)将 3 2 2 化为指数式,再用无理数指数 幂的运算性质运算. (2)利用无理数同底数幂的运算性质计算.
2
【思维·引】先求分裂次数,再求分裂时间.
【解析】选C.设这种细菌由1个分裂成4 096个需经过x 次分裂,则2x=4 096,解得x=12, 所以 1215 =3 h.
60
【内化·悟】 细菌分裂时,每次分裂后的细菌数是分裂前的多少倍?
提示:分裂后的细菌数是分裂前的2倍.
【类题·通】 指数运算在实际问题中的应用