数论基础

故
数论基础 ——§3 同余类
同余类 对于模m同余的数组成由模m决定的数类。 就是说，一个模决定了一个数类。因此，与同一个 类的所有数对应的是同一个余数r，而且只要在式子mq+r 里让q通过所有的整数，我们就得到这个类的所有数。 例 对于模5，数列…,-12,-7,-2,3,8,13,…属于同一个数 类。
数论基础 ——§3 同余类 定理3 若ac≡bc mod m，且c和m互素，则 a≡b mod m。
证明：因ac≡bc mod m，可知 ac=km+bc 即 c(a-b)=km 由于c和m互素，因此c|k。设k=hc，则 c(a-b)=hcm c-b=hm 即 a≡b mod m。
数论基础 ——§3 同余类 定理4 若ac≡bc mod m，d=(c,m)，则 a≡b mod m/d。
证明
由这个定理，若c有素数因子p1,p2,..,pn，那么 c=p1α1p2α2…pnαn。 这个式称为c的标准分解式。
数论基础 ——§3 同余类
同余：若m|(a-b)，即a-b=km，我们就说a和b模m同余，记 为 a≡b mod m 有时记为 a≡b (mod m)。
例
将整数a和b用模m和余来表示 a=qam+r，b=qbm+r 这里，r<a，r<b，是关于模m的余。因此有 a-b=(qa-qb)m=km。
以上两条定理给出三个常数a,b和m可以确定线性同 余式的解，这使我们联想到一元二次方程的系数解。下面 给出求d个解的方法； 令a=a1d,b=b1d,m=m1d。式（5）等价于约去d以后的 同余式 a1x=b1 mod m1——————————（6） 其中已经有(a1,m1)=1，它对于模m1有一个解。令其解为x1 ，即 x≡x1 mod m1。 则对于模m，同余式（5）的问题便简化为同余式（6）。 探求同余式（6）的解答，可用基于连分式理论的一种方 法。
例
12=gcd(12,60)
数论基础 ——§2 因数分解 最小公倍数 若a|c，则称c是a的倍数。若a|c，b|c，则称c 是a和b的公倍数；如果a和b的公倍数c除尽a和b的什何一个 公倍数，则称c是a和b的最小公倍数，表示为
c lcm{ a , b} ，或 c [ a , b ]
例 60 = lcm{15,20,30} 下面有关因数分解的5条定理。
则有递推公式
Ps q s Ps 1 Ps 2 Q s q s Q s 1 Q s 2
可以证明，递推公式中各因子还有关系 P Q Q P ( 1) 0) (s ———————（7）
s s s 1 s s 1
并且可以做出一个表示确定各级近似分数的分子和分母：
1 1
2 q1
......
1 q2
叫做m/a的近似分数。对于近似分数，可以很容易地找到 一个非常简单的规律： 假定P0=1,Q0=0，P1=q1,Q1=1并且依次把近似分数写 成
1
q1 1 P1 Q1 , 2 P2 Q2 , ..., s Ps Qs
数论基础 ——§4 线性同余式
数论基础 ——§2 因数分解 推论 若素数p除尽a1a2…an，则必存在k：，使得p|ak。
证明：若p与a1互素，则p|a2…an； 若p也与a2互素，则p|a3…an；…. 。 若p与a1，a2，… ，an-1的每一个互素，则最后有p|an。
数论基础 ——§2 因数分解
定理5 每一个正合数，可表示为正素数的乘积，并且不考 虑乘积的顺序时，表示法是唯一的。
数论基础 ——§3 同余类
例 对于模5，数列 …,-11,-6,-1,4,9,14,…;r=4 …,-13,-8,-3,2,7,12,…; …,-14,-9,-4,1,6,11,…;r=1 …,-15,-10,-5,0,5,10,…; 分别为模5决定的4个数类。
r=2 r=0
数论基础 ——§3 同余类
数论基础 ——§3 同余类
定理1 模m的同余关系满足 1) 自反性，即a≡a mod m； 2) 对称性，即若a≡b mod m，则b≡a mod m； 3) 传递性，即若a≡b mod m，b≡c mod m，则 a≡c mod m。
这三条性质看起来是明显的，证明从略。
数论基础 ——§3 同余类 定理2 若a≡b mod m，c≡d mod m，则 1) a±c≡b±d mod m； 2) ac≡bd mod m； 证明：因a≡b mod m，c≡d mod m，所以 a = km+b,c=hm+d a±c=(k±h)m+(b±d) 从而 a±c≡b±d mod m。 同理可证：ac≡bd mod m。 证毕。
数论基础 ——§4 线性同余式
连分式 对任一有理数m/a，分割成有 限的连分数形式
m a q0 q1 q2 . . . + 1 qm 1 1
上连分式课表示为
m a q0 1 1 ... 1 qm
q1 q 2
数论基础 ——§4 线性同余式
其中在连分式里出现的数q1，q2，… ，叫做不完全商数， 分数 q
数论基础 ——§4 线性同余式
证明：若x0是（5）的一个解，则 ax0 - km=b 所以，d=(a,m)除尽b，即d|b。 反之，若d|b，令b=b’d，a=a’d，m=m’d，则有 (a’,m’)=1，即存在整数p和q，使得 pa’+qm’=1 即pb’满足同余式（5）。
数论基础 ——§4 线性同余式
数论基础 ——§3 同余类
例 从上面两例的每一个数类中各任取一个数组成数组 –12，-11，2，1，10，称为组成模5的一个完全剩余组，其 中元素只有5个，它们对于模5是两两不同余的。 而数组0，1，2，3，4为模5的一个非负的最小剩余 组。
数论基础 ——§3 同余类
与模互素的剩余组：模m的同一个类里的数与模有同一个 最大公约数。其中特别重要的是这个公约数等于1的类， 它包含着与模互素的数的类。 从每个这样的与模互素的数类中取一个剩余，便得 到与模m互素的剩余组。 因此，可以取完全剩余组里与模互素的数来组成与 模互素的剩余组。通常与模互素的剩余组从非负的最小剩 余组0，1，2，… ，m-1中分出。 例 数组0，1，2，3，4为模5的一个非负的最小剩余组， 而数组1，2，3，4为模5互素的剩余组。
数论基础 ——§4 线性同余式 关于同余解有下面的两个定理。
定理1 同余式 ax ≡b mod m———————————（5） 有解的从要条件是d|b,其中d=(a,m)。 令m’=m/d。若x0是（5）式的一个解，则（5）的所 有解x均满足 x≡x0 mod m’。
定理2 设d=(a,m)>1，d|b，则同余式 ax ≡ b mod m
数论基础 ——§4 线性同余式
基本概念：研究下列形状含有味知数x的同余式 f(x)=0 mod m; f(x)=axn+a1xn-1+…+an —————————(1) 如果a不被m除尽，则n叫作同余式的次数。 当n=1时，式(1)写成 ax+a1=0 mod m ————————————(2) 称为线性同余式（又称一次同余式）。将上式左边的自 由项移到右边就写成了书上的形式 ax≡b mod m —————————————(3)
数论基础 ——§2 因数分解 定理1 若a=bq+r，则
gcd{ a , b} gcd{b , r }
证明
数论基础 ——§2 因数分解
定理2每一双不为零的整数，必有一个正的最大公因数。
证明
例题1
数论基础 ——§2 因数分解
定理3 若d=gcd{a,b},则存在整数p和q，使得d=pa+qb。
素数 只能被1和数自身整除的数称为素数。 合数 不是1且非素数的正整数称为合数。即一个合数至 少能被非1的两个整数整除。 最大公因子：用a,b,c为正整数，a除尽b表示为a|b。若a|b， 且a|c，就是说a是b何c的公因子。若a是b和c的公因子，且b 和c的每一个公因子都能除尽a，则称a是b和c的最大公因子， 用gcd{b,c}或（b,c）表示。即 a gcd{b , c} ，或 a ( b , c )
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主讲人：何毅
数论基础 ——§1 整数的表示方法
§1 整数的表示法
整数
包括正整数（自然数）、零和负整数。
数论基础 ——§1 整数的表示方法 定理1
设m是大于1的正整数，则每一个正整数n可唯一表示为：
0
其中cj是整数，满足0≤ cj <m，且ck≠0，这里j=0,1,2,…k.。
证明
c m 1c
2 2 1
1 3 1
3 11 4
4 47 17
2 105 38
由此表由此表可以验证式(7)： 105×17-38 × 47=(-1)5=-1
同余式(6)的解 讨论最后两个邻近的近似分数（用a1代替a）：
Pn 1 , Pn m a Q n 1 Q n
由连分式的性质式（7）得
m Q n 1 aPn 1 ( 1)
证明：因d=(c,m)，故d|c，d|m. 可令c=c1d，m=m1d，得 (c1,m1)=1, ac1≡bc1 mod m1。 由定理3可得 a≡b mod m1， 即 a≡b mod m/d。 证毕。
数论基础 ——§3 同余类
例 而 60=42 mod 9， 3=(6,9)， 60=10×6， 42=7×6， 9/3=3 10≡7 mod 3。
该定理表明，两个整数的最大公因子可以表示成这两个整 数的因数和。 证明
特别，若gcd{a,b}=1,则称a和b互素。因此根据定理3，若a 和b互素，则存在整数p和q，使得 pa+qb=1
数论基础 ——§2 因数分解
定理4 若a|bc，gcd{a,b}=1，那么a|c。 证明：若a和b互素，则存在p、q使得pa+qb=1，两边 同乘以c得， pac+qbc=c 由假定，a|bc，所以a能除尽等式的左端，因此a|c。
数论基础 ——§3 同余类
非负最小剩余：一个类的什意数，对于同一个类的所有数 而言，都叫作模m的剩余。我们得到的剩余正好等于余数r ，叫做非负最小盛余。 在上例中，每一个数都是模5的剩余；而3则是模5的 非负最小剩余。注意：0≤3<5。 对于余r的m个不同值，我们有m个由模m决定的数 类。就是说，当模m确定以后，有m个不同的余数r对应的 数类。
1 k
m 1 k c m k c n
k
———（1）
例题1
数论基础 ——§1 整数的表示方法 定理2 每一个正整数a可以唯一地通过正整数b而被表示成
a bq r ; 0 r b
数q叫做a被b除的不完全商数，数r叫做a被b除的余数。
证明
例题2
数论基础 ——§2 因数分解
§2 因数分解
完全剩余组 从模m决定的每个数类中取一个剩余，我们 得到模m的一个完全剩余组。
由于模m所决定的数类只有m个，故一个完全剩余 组的元素也只有m个。 对于模m的两两不同余的任意m个数，组成这个模 的完全剩余组。 显然模m的一个完全剩余组可以有无穷多个。而最 常取作完全剩余组的是非负最小剩余0,1,2…m-1。
qs Ps Qs 1 0 q1 P1 1 q2 P2 Q2 … … … P s -2 Q s -2 P s -1 Q s -1 qs Ps Qs … … … P n -1 Q n -1 qn m a
数论基础 ——§4 线性同余式 例如 对于分数105/38，其各级近似的分子和分母：
qs Ps Qs 1 0
数论基础 ——§4 线性同余式
同余解 解同余式也就是类似于解方程一样要找出适 合上列同余式的所有x来。x的同一些值所适合的两个同余 式叫作等价的。 若整数x1满足 ax≡b mod m ———————————(4) 即ax1≡b mod m，则可以证明，对于模m与x1同余的所有数 都满足这个线性同余式。 则模m和x1同余的整数构成同余式（1） x≡x1 mod m 的同余解。 例 对于 2x≡3 mod 5，可求得x≡4 mod 5是它 的解。如x=9,14,19,…
n
因此 两边同乘b得
aPn 1 ( 1)
n 1
mod m
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a ( 1)