必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练 (含答案)

第二章 一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案)

【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式） 一、不等式

1.定义 不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子.

2..不等式的性质

不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：

性质1 对称性：a b b a >⇔<； 性质2 传递性：,a b b c a c >>⇒>；

性质3 加法法则（同向不等式可加性）：()a b a c b c c R >⇔+>+∈； 性质4 乘法法则：若a b >，则000c ac bc c ac bc c ac bc ，

，.>⇒>⎧⎪

=⇒=⎨⎪<⇒<⎩

补充：除法法则：若a b >且0c =，则00a b

c c c

a b c c c

⎧

>⇒>⎪⎪

⎨

⎪<⇒<⎪⎩

.， 性质5 可加法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+； 性质6 可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅>； 性质7 可乘方性：()*00n n a b n a b N >>∈⇒>>；

可开方性：(

)01a b n n N 且+>>∈>⇒要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法 作差法：

1. 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0a b a b ->⇔>； ②0a b a b -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=. 作商法：

任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较a

b

与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①

1a a b b >⇔>； ②1a a b b <⇔<； ③1a

a b

b =⇔=. 要点诠释：若代数式a 、b 都为负数，也可以用作商法. 中间量法：

若两个代数式a 、b 不容易直接判断大小，可引入第三个量c 分别与a 、b 作比较，若满足a b >且b c >，则

a c >. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.

三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系

设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：

24b ac ∆=-

0∆>

0∆=

0∆<

函数()y f x = 的图象

方程()=0f x

的解 有两相异实根 1212,()x x x x <

有两相等实根 122b

x x a ==-

无实根

不等式()0f x >

的解集 {}1

2

x x x x x <>或

2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭

R

不等式()0f x <

的解集

{}1

2x x

x x <<

∅ ∅

要点诠释：

（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 四、解一元二次不等式

1. 解一元二次不等式()2ax +bx+c a ≠>00的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：

①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根122b

x x a

==-； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.

五、基本不等式 1.对公式222a b ab +≥

及

2

a b

+≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”. 2.由公式222a b ab +≥

和2

a b

+≥ ①

2b a

a b +≥（,a b 同号）

； ②2b a

a b

+≤-（,a b 异号）；

③2

0,0)112a b a b a b

+≤≤>>+或22

2()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 2

2

2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤

，2a b +≥可以变形为：2

()2

a b ab +≤.

2

a b

+≤

求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：

1．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.

2．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值.