线段中点以及角平分线解题规律总结

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八年级数学角平分线的性质知识点总结

角平分线的性质是八年级数学中的重要内容之一，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。

下面是关于角平分线的性质的总结，包括定义、性质和应用：一、定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。

角平分线是角的重要构造之一二、性质：1.角平分线将角分成两个相等的角。

即如果一条线段是一个角的平分线，则它将这个角分成两个度数相等的角。

2.角平分线与角的两边相交于一个点。

即角平分线与角的两边交于角的顶点。

3.角平分线与角的两边垂直相交于角平分线的中点。

即角平分线与角的两边垂直相交于角平分线上的一个点，该点同时也是角平分线的中点。

4.角平分线上的点到角的两边的距离相等。

即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。

5.两条平行线与角的顶点与顶边所在的线段构成的两个相似三角形，它们的角平分线平行。

即如果一条线段是一个角的平分线，另一条与之平行的线段也是这个角的平分线。

三、应用：1.判断角平分线。

当我们需要判断一个线段是否为一个角的平分线时，可以使用角平分线的定义和性质进行判断，即判断这个线段能否将角分成两个相等的角。

2.利用角平分线的性质解决问题。

当我们遇到需要将角分成两个相等的角的问题时，可以使用角平分线的性质进行解决。

例如，在解决相似三角形的问题中，可以利用角平分线的性质进行角的划分。

3.构造角平分线。

当我们需要构造角的平分线时，可以利用直尺和圆规进行构造。

常见的构造方法有尺规作图法和五线谱法等。

四、例题：1.已知角ABC，其中角平分线AD交角的两边于E、F两点，证明：AE=AF。

证明：根据角平分线的性质4，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即DE=DF，又因为AD为角ABC的平分线，所以∠DAE=∠DAF。

再根据等腰三角形的性质，得知AE=AF。

2.已知直角三角形ABC中，角A=90°，角B的平分线BD与AC相交于点D，求证：∠ADB=45°。

证明：由直角三角形的性质，角B=90°-角A=90°-90°=0°，即角B为零角。

类比线段中点与角平分线计算中的思想方法

类比线段中点与角平分线计算中的思想方法线段中点和角平分线计算方法虽然在数学中属于不同的概念，但它们的思想方法却有很多相似之处。

线段中点与角平分线都是在几何学中常见的概念，它们分别用来描述线段和角的特定性质和位置关系。

计算线段中点和角平分线的问题，需要运用一定的思维方法和数学原理，通过一系列推导和计算得出最终的结果。

本文将探讨线段中点与角平分线计算中的思想方法，并比较两者之间的异同点，以期能够更好地理解和运用这两种计算方法。

让我们来看看线段中点的计算方法。

线段中点是指一个线段的中间点，即将一个线段等分为两段的点。

在计算线段中点时，我们首先需要找到线段的两个端点坐标，并利用中点的定义来求解中点的坐标。

假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么线段AB的中点M的坐标可以通过以下公式来计算：M（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2）这是线段中点计算的基本思路和方法，通过利用坐标平面上点的中点定义，我们可以很容易地求出线段AB的中点坐标。

这种方法主要依托于几何学中的基本概念和坐标运算，是一种简单而直接的计算思想方法。

接下来，让我们来看看角平分线的计算方法。

角平分线是指将一个角等分为两个相等的角的直线，通常是通过角的顶点进行的平分。

在计算角平分线时，我们需要运用角的性质和角平分线的定义来进行推导和计算。

对于一个角AOC，我们要找出它的平分线BD，那么可以通过如下步骤和计算方法来求解：1. 我们需要找出角AOC的顶点O和两个边OA、OC的坐标。

2. 然后，利用角的平分线定义和角的性质，我们可以得出平分线BD和角AOC之间的关系。

3. 通过一系列的推导和计算，我们可以求出平分线BD的具体坐标和方程。

通过上述方法，我们就可以计算出角AOC的平分线BD的位置和性质。

虽然与线段中点计算有所不同，但角平分线的计算方法同样也是基于几何学的基本原理和角度运算的思想方法。

线段中点和角平分线的计算方法也有它们各自的特点和应用范围。

角平分线四大模型总结+习题+解析（最全版）

⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）⾓平分线四⼤辅助线模型⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。

⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:163．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB ，另⼀把直尺压住射线OA 并且与第⼀把直尺交于点P ，⼩明说：“射线OP 就是BOA ∠的⾓平分线．”他这样做的依据是( )A ．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B ．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C ．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确6．（2019秋?梁平区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=?，130ADG ∠=?，则DGF ∠=．7．（2018春?开江县期末）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆⼼，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆⼼，⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．下列说法错误的是( ) A ．CAD BAD ∠=∠B ．若2CD =，则点D 到AB 的距离为2C ．若30B ∠=?，则CDA CAB ∠=∠D ．2ABD ACD S S ??=8．（2014秋?西城区校级期中）如图，点E 是AOB ∠的平分线上⼀点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂⾜分别是C ，D ．下列结论中正确的有( )（1）ED EC =；（2）OD OC =；（3）ECD EDC ∠=∠；（4）EO 平分DEC ∠；（5）OE CD ⊥；（6）直线OE 是线段CD 的垂直平分线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．（2019春?杜尔伯特县期末）如图：在ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =，证明：（1）CF EB =．（2）2AB AF EB =+．10．（2019秋?垦利区期中）如图，ABC⊥⊥且平分BC，DE AB中，AD平分BAC∠，DG BC于E，DF AC⊥于F．（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；（2）如果8AB=，6AC=，求AE、BE的长．11．（2017秋?遂宁期末）某地区要在区域S内（即COD∠内部）建⼀个超市M，如图所⽰，按照要求，超市M到两个新建的居民⼩区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【核⼼考点⼆】⾓平分线+⾓两边垂线12．（2019秋?肥城市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直，垂⾜为A ，交CD 于D ，若8AD =，则点P 到BC 的距离是．13．（2015?湖州）如图，已知在ABC ?中，CD 是AB 边上的⾼线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE ?的⾯积等于( )A ．10B ．7C ．5D ．414．（2010秋?涵江区期末）如图所⽰，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC CD =+．15．（2012秋?蓬江区校级期末）如图，已知90∠=∠=?，M是BC的中点，DM平分B C∠．求证：ADC（1）AM平分DAB∠；（2）DM AM⊥．16．（2016秋?西城区校级期中）已知：如图，12∠=∠，P为BN上的⼀点，PF BC⊥于F，=，PA PC（1）求证：180∠+∠=?；PCB BAP（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．【核⼼考点三】⾓平分线+垂线17．（2017秋?和平区校级⽉考）如图．在ABC ?中，BE 是⾓平分线，AD BE ⊥，垂⾜为D ，求证：21C ∠=∠+∠．18．（2013秋?昌平区期末）已知：如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于点D ，DCB B ∠=∠，若10AC =，6AD=，求AB 的长．19．如图所⽰，ABC ?中，ACB ABC ∠>∠，AE 平分BAC ∠，CD AE ⊥于D ，求证：ACD B ∠>∠．20．已知：如图，在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21．（2019秋?下陆区期中）如图，BD 是ABC ∠的⾓平分线，AD BD ⊥，垂⾜为D ，20DAC ∠=?，38C ∠=?，则BAD ∠=．22．（2019秋?曲⾩市校级⽉考）如图，在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，过C 作CE BD ⊥交BD 延长线于E ．求证：12CE BD =．23．（2019?沂源县⼀模）（1）如图（a）所⽰，BD、CE分别是ABC的外⾓平分线，过点A作AD BD⊥，AE CE⊥，垂⾜分别为D、E，连接DE，求证：1() 2DE AB BC AC=++；（2）如图（b）所⽰，BD、CE分别是ABC的内⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所⽰，BD为ABC的内⾓平分线，CE为ABC的外⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边⼜有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．24．（2017秋?夏⾢县期中）如图，在ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于F ，过F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ?、CEF ?都是等腰三⾓形；②DE DB CE =+；③AD DE AE AB AC ++=+；④BF CF =．正确的有．25．（2019秋?垦利区期末）如图，平⾏四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为．26．（2010秋?海淀区期末）如图，BD 是ABC ?的⾓平分线，//DE BC ，DE 交AB 于E ，若AB BC =，则下列结论中错误的是( )A ．BD AC ⊥B ．A EDA ∠=∠C ．2AD BC =D ．BE ED =27．如图，若BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过D 作//DE AB 交BC 于E ，作//DF AC 交BC 于F ，求证：BC 的长等于DEF ?的周长．28．（2018秋?邳州市期中）如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD >，∠，AB AD 下列结论正确的是()A．AB AD CB CD->-B．AB AD CB CD-=-C．AB AD CB CD-<-D．AB AD-与CB CD-的⼤⼩关系不确定29．（2012?⿇城市校级模拟）在ABC∠的外⾓平分线，P是AD上的任意中，AD是BAC⼀点，试⽐较PB PC+与AB AC+的⼤⼩，并说明理由．30．（2018秋?万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ∠，CE AB⊥于=+．E，且180B D∠+∠=?，求证：AE AD BE31．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是BAC∠=?，C=+，31的⾓平分线，AC AB BD 求B∠的度数．32．（2019秋?平⼭县期中）如图，90∠=?，OM平分AOB∠，将直⾓三⾓板的顶点PAOB在射线OM上移动，两直⾓边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．33．（2016秋?丰宁县期中）如图，在ABC ?中，100A ∠=?，40ABC ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD ⾄E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+．34．（2018秋?丰城市期中）在ABC ?中，2ACB B ∠=∠，（1）如图1，当90C ∠=?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，当90C ∠≠?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；（3）如图3，当AD 为ABC ?的外⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．35．（2019春?利津县期末）如图，在ABC∠平分线，AD的垂直平分线分中，AD是BAC别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）EAD EDA∠=∠；（2）//DF AC；（3）EAC B∠=∠．36．（2014?西城区⼆模）在ABC>，AD平分BAC∠交BC于点∠为锐⾓，AB AC，BACD．（1）如图1，若ABC是等腰直⾓三⾓形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若60∠=?，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；ABE②如图3，若AC AB+，求BAC∠的度数．⾓平分线四⼤辅助线模型--解析⼀．⾓平分线的性质与判定（共11⼩题）1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．【分析】⾸先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据⾓平分线的性质，即可求得PB 的值，⼜由垂线段最短，可求得PQ 的最⼩值．【解答】解：过点P 作PB OM ⊥于B ， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，3PB PA ∴==，PQ ∴的最⼩值为3．故选：C ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利⽤⾓平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼相等，估计三⾓形的⾯积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的⾯积之⽐等于对应边之⽐．【解答】解：AD 是ABC ?的⾓平分线，∴设ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼分别为1h ，2h ，12h h ∴=，ABD ∴?与ACD ?的⾯积之⽐:8:64:3AB AC ===，故选：B ．3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【分析】根据⾓平分线的性质得到ED EC =，计算即可．【解答】解：BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90ACB ∠=?， ED EC ∴=，3AE DE AE EC AC cm ∴+=+==，故选：B ．4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE CD =，然后根据三⾓形的⾯积公式即可得到结论．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，BD 是ABC ∠的平分线，90C ∠=?，DE CD m ∴==，ABD ∴?的⾯积122n m mn =??=，故选：A．5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB，另⼀把直尺压住射线OA并且与第⼀把直尺交于点P，⼩明说：“射线OP就是BOA∠的⾓平分线．”他这样做的依据是()A．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE AO=，再根据⾓⊥，CF BO⊥，根据题意可得CE CF的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上可得OP平分AOB∠；【解答】解：（1）如图所⽰：过两把直尺的交点P作PE AO⊥，⊥，PF BO两把完全相同的长⽅形直尺，PE PF∴=，∠（⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上），OP∴平分AOB故选：A．。

初中数学知识归纳三角形的中线角平分线高线

初中数学知识归纳三角形的中线角平分线高线初中数学知识归纳：三角形的中线、角平分线、高线三角形是初中数学学习中最基础的几何图形之一，它具有丰富的性质和特点。

本文将归纳总结三角形的中线、角平分线和高线的相关性质，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。

一、三角形的中线中线是连接三角形的两个顶点和中点的线段。

三角形的中线有以下特点：1. 任意三角形的三条中线交于一点，这一点称为三角形的重心。

重心所在的位置离三角形的三个顶点距离相等，且重心将中线分成2:1的比例。

2. 三角形的重心到顶点的距离是中线对应中点到顶点距离的2倍，也就是说，如果连接重心和顶点，那么重心到顶点的距离是连接中点和顶点的线段的2倍。

3. 在等边三角形中，三条中线重合，即三条中线交于一点，同时这个点也是三角形的重心。

二、三角形的角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。

三角形的角平分线有以下特点：1. 三角形的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心。

内心所在的位置距离三角形的三条边的距离相等，且内心到三边的距离之和等于三角形的周长。

2. 在等腰三角形中，三条角平分线重合，即三条角平分线交于一点，同时这个点也是三角形的内心。

3. 角平分线和对边、邻边有如下关系：角平分线等分对边和邻边上的对应角；对边和邻边上的线段与角平分线比例相等。

三、三角形的高线高线是从一个顶点出发，与对边垂直相交的线段。

三角形的高线有以下特点：1. 任意三角形都有三条高线，它们分别从三个顶点出发，并与对边垂直相交。

2. 等腰三角形的高线同时也是角平分线和中线。

3. 在直角三角形中，高线就是斜边上的中线。

总结：三角形的中线、角平分线和高线都有各自的特点和性质。

通过了解和掌握这些性质，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的问题。

在实际应用中，这些概念和性质也有着广泛的应用，例如在建筑、制图、几何证明等方面都可以看到它们的身影。

通过本文的归纳和总结，我们希望读者能够对三角形的中线、角平分线和高线有更全面的了解，并在实际问题中能够运用到这些知识，提高数学解题的能力。

例谈含有中点和角平分线条件问题的解题思路

图１１
如图６Ｐ平分ＡＯ，ＯＢ，ｃ ∥ｏＰＡ，
则１＝／＿２＝３．所以Ｏ：Ｃ，即ＣＰ
解法５：如图９，过点ｃＣ＃Ａ作ＧＤ
交Ｂ的延长线于点Ｇ，延长ＭＦ交ＡＡＧ于点日．由模型，得ＡＧ＝ＡＣ，Ａ＝ＨＡＦ
所以
Ｇ＝ＡＧ
中国数学教育［１年第４２２００期］７
又因为删Ｇ＝
所以ＦＡＣ＝Ｇ
Ｇ，
即＋１：
０ｃ
一１．一２．
解法７：如图１，过点肘作Ｇ１Ｈ∥
ＡＢ，交ＡＣ于点，交Ａ的延长线于Ｄ点Ｇ．
解法１：过点Ｄ分别作ＤＢ、ＨＬＡ
ＤＡＣＧＪ，点Ｈ、Ｇ为垂足，－
所以Ｇ是ＡＢＣ的中位线．ＭＨ
所以Ｇ＝删＝２Ｍ／Ａ．，Ｃ／Ｈ
二
一＝ＢＤ＝眦。手Ｈ
ＢＣ的中点这一条件，即这三条路行不通，
图３
ＢＤＭＣ
中点．
而Ｍ是Ｂ的中点，Ｃ
图２
分析：我们要作ＡＤ的垂线，可以有
五条途径，即分别过、Ｄ、、Ｃ、，五
点作ＡＤ的垂线，经尝试过Ｄ、Ｍ、Ｆ三点作ＡＤ的垂线，不能合理地利用是
解法２：如图４，过点曰作ＡＤ的垂线ＢＨ，点Ｇ为垂足，交ＡＣ于点麒
Ａ
的平分线，且ＭｆＡ，则Ｆ的长为ＦＤＣ

中考必会几何模型：线段(双中点)、角(双角平分线)模型

线段（双中点）、角（双角平分线）模型线段（双中点）模型讲解【口诀】字母去重，线段留半【结论1】已知点B 在线段AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 【答案】9；4；5；9；4；5或13【结论2】已知点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点， ∴CM= 12AC ，CN= 12BC,∴MN=CM+CN= 12AC+ 12BC= 12(AC+BC)= 12AB.【结论3】已知点C 是线段AB 延长线上一点，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M.N 分别是AC ，BC 的中点， ∴MC= 12AC ，NC= 12BC ，∴MN=MC-NC= 12AC- 12BC= 12(AC-BC)= 12AB.拓展已知点C 是线段BA 延长线上一点，点M ，N 分别是AC.BC 的中点，则MN= 12AB.无论线段之间的和差关系怎样变，MN 的长度只与AB 有美，即MN= 12AB.典型例题典例1如图，点C 是线段AB 上一点，AC ＜CB ，M ，N 分别是AB 和CB 的中点，AC=8，NB=5，则线段MN=___________.典例2如图，已知点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点.(1)若AB=20,BC=8.求MN的长；(2)若AB= a,BC=8.求MN的长；(3)若AB= a,BC= b.求MN的长；(4)从(1) (2) (3)的结果中能得到什么结论?典例3如图，线段AB=10cm，BC=3cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则DE的长是_________.初露锋芒1.已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4 cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( ).A.7 cmB.3 cmC.5 cmD.7 cm或3 cm2.如图，已知A，B.C三点在同一直线上，AB=24.BC= 3AB，E是AC8的中点，D是AB的中点，则DE的长度是___________.3. 如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=6cm，BC=4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为( ).A.5cmB.1cmC.5或1cmD.无法确定4. 已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( )A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.5cm感受中考1.(2018贵州铜仁中考模拟)C为线段AB上任意一点，D、E分别是AC，CB的中点，若AB=10cm.则DE的长是( ).A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm2.(2018湖南邵阳中考模拟）已知点C为线段AB上任一点，AC=8 cm，CB=6cm，M，N分别是AC，BC的中点.(1)求线段MN的长；(2)点C为线段AB上任一点，满足AC+CB= a cm，点M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?并说明理由.(3)点C在线段AB的延长线上，满足AC-BC=b cm，M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?请画出图形，写出你的结论，并说明理由.(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗?3.如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为-5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒.(1)BP=________,点P表示的数________ (分别用含t的代数式表示）；(2)点P运动多少秒时，PB=2PA.(3)若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长.参考答案典例1 【答案】4【解析】∵M ，N 分别是AB 和CB 的中点， ∴根据线段（双中点）的结论，有MN= 12AC.则MN=4. 典例2【答案】从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段AB 的一半，与C 点的位置无关. 【解析】(1)∵AB=20，BC=8. ∴AC=AB+BC=28.∵点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点. ∴MC= 12AC.NC= 12BC.∴MN=MC-NC= 12(AC-BC)= 12AB=10.(2)根据(1)得MN= 12 (AC-BC)= 12AB= 12a .(3)根据(1)得MN= 12(AC-BC)= 12AB= 12a .(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段 AB 的一半，与C 点的位置无关.典例3 【答案】1.5【解析】∵AB=10cm ，BC=3cm ，（已知） ∴AC=AB-BC=7cm.∵点D 为AC 中点，点E 为AB 的中点，（已知） ∴AD= 12AC,AE= 12AB.(线段中点定义)∴AD=3.5cm,AE=5cm. ∴DE=AE-AD=1.5cm. 故答案为：1.5.初露锋芒1.【答案】C.【解析】当点C 在线段AB 上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.当点C 在线段AB 的延长线上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.综上所述，MN 的长为5cm. 故选C.2. 【答案】92.【解析】∵AB=24，BC= 38AB ，∴BC=9.∵E 是AC 的中点，D 是AB 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知DE= 12BC= 92.3. 【答案】C【解析】如图1，当点B 在线段AC 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm,BN = 12BC = 2cm,∴MN=MB+NB=5cm,如图2，当点C 在线段AB 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm ，BN= 12BC=2cm,∴MN=MB-NB=1cm 。

数学初中中点总结

数学初中中点总结一、中点的定义和性质在数学中，中点是指一条线段的中间点，即将一条线段平均划分为两个相等的部分。

以下是关于中点的定义和性质的总结：1.定义：若线段AB的中点为M，则AM = MB。

2.定理1：如果一个线段的两个端点对换，则线段的中点也对换。

3.定理2：两个线段的中点连线平行于这两个线段。

4.定理3：一个线段的中点将线段平分为两个相等部分。

5.定理4：如果三个点A、B、C在同一条线段上，且B是AC的中点，则AB = BC。

二、中点的求解方法在求解一个线段的中点时，我们可以使用以下方法：1. 使用坐标求解假设线段的两个端点分别是A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则线段AB的中点M的坐标可以通过以下公式求解：M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)我们可以将上述公式应用于平面直角坐标系、极坐标系和三维空间中的线段。

2. 使用向量求解我们可以使用向量的加法运算来确定线段的中点。

假设线段的两个端点分别是A和B，则线段AB的中点M可以通过以下公式求解：M = (A + B) / 2其中，A和B是线段的位置向量。

3. 使用尺规作图法求解尺规作图是一种用尺子和圆规来进行几何作图的方法。

我们可以使用尺规作图来求解线段的中点。

方法如下：•步骤1：画出线段AB；•步骤2：以点A为圆心，以线段AB的长度为半径画一个圆；•步骤3：以点B为圆心，以线段BA的长度为半径画一个圆；•步骤4：两个圆的交点即为线段AB的中点M。

三、数学应用中点的概念在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 几何图形的性质证明在几何证明中，我们常常需要证明线段的性质。

通过使用中点的性质和定理，我们可以更方便地证明某些几何图形的性质。

例如，在证明平行四边形的性质时，我们可以使用中点将对角线平分的性质来简化证明过程。

2. 向量运算在向量运算中，我们经常需要计算两个向量的中点。

通过求解两个向量的位置向量的中点，我们可以方便地计算向量的和、平均值等。

初中数学线段题型总结归纳

初中数学线段题型总结归纳线段是初中数学教学中的一个重要知识点，也是解决几何问题和实际进一步计算的基础。

本文旨在总结和归纳初中数学中涉及线段的常见题型，帮助学生更好地理解和应用相关知识。

一、线段的基本概念线段是由两个不同点A和B确定的，用记号AB表示。

其中，点A称为线段的起点，点B称为线段的终点。

线段的长度可以用起点和终点表示为|AB|，也可以用坐标表示为AB。

二、线段的比较1. 线段的比较大小常见于求线段长度的比较问题。

当两个线段的长度不等时，可以直接通过比较线段的长度得出结果；当两个线段的长度相等时，需要通过其他方式进行判断（如利用直角三角形的性质）。

2. 在比较线段大小时，可以利用线段的长度、坐标等信息进行比较，也可以通过等式、不等式等表示进行推导。

三、线段的运算1. 线段的加法与减法：线段的加法是指将两条线段首尾相接，组成一条新的线段。

线段的减法是指从一条线段中截取另一条线段，得到剩余部分。

2. 线段的加法减法可通过线段的长度进行求解，也可以通过坐标运算进行推导。

3. 线段的乘法与除法：乘法运算通常涉及到线段的比例关系，用来解决直角三角形的题型；除法运算则是对线段进行分割，求出给定比例的分割点坐标。

四、线段的平分点线段的平分点是指将一条线段分为两等分的点，可以通过计算线段的中点坐标来求解。

利用线段的平分点，可以进一步进行垂直平分线、角平分线等问题的解析。

五、线段的延长线与中点连线线段的延长线是指将线段向两侧延长形成直线的情况，中点连线是指连接线段的中点与其他点生成新的线段。

利用线段的延长线和中点连线，可以解决等分线段、共线点等题目。

六、线段的角关系1. 垂直线段：当两条线段的交角为直角时，称其为垂直线段。

直角线段的特点是相互垂直，即两条直角线段的斜率的乘积为-1。

2. 平行线段：当两条线段的交角为零度时，称其为平行线段。

平行线段的特点是两条线段的斜率相等。

3. 倾斜线段：当两条线段既不是垂直线段，也不是平行线段时，称其为倾斜线段。

初中数学中考复习几何辅助线规律总结(共102条)

初中数学几何辅助线规律线、角、相交线、平行线【规律】1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。

【规律】2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分。

【规律】3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。

【规律】4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。

【规律】5有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个。

【规律】6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。

【规律】7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。

【规律】8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。

【规律】9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。

【规律】10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。

【规律】11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。

【规律】12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。

【规律】13已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：【规律】14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。

三角形部分【规律】15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。

【规律】16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。

【规律】17三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。

中点四边形规律总结八条

中点四边形规律总结八条
中点四边形是指一个四边形的两对对边的中点连线相交于一点
的情况。

根据中点四边形的性质，可以总结出以下八条规律：
1. 中点连线相交于一点：在一个四边形中，连接对边中点的线段必定相交于一点。

2. 相交点为中点：相交点即为连接对边中点的线段的中点。

3. 中点连线平行且等于对边：连接对边中点的线段平行于对边，并且长度等于对边的一半。

4. 对边中点连线相等：连接对边中点的线段的长度相等。

5. 对角线平分：相邻对边中点连线的交点是对角线的中点。

6. 对边平行：连接对边中点的线段平行于两个四边形的对边。

7. 对角线互相平行且等于对边：相邻对边中点连线的交点与四边形的对边平行，并且长度等于对边的一半。

8. 对角线互相等于一半：相邻对边中点连线的交点与四边形的对角线长度相等，并且等于对角线的一半。

以上是中点四边形的常见规律总结。

根据这些规律，可以在解题过程中应用中点四边形的性质，简化计算和证明过程。

角平分线与中线

角平分线与中线角平分线和中线是几何学中的重要概念，它们在解题和证明中有着广泛应用。

本文将介绍角平分线和中线的定义、性质以及它们在几何中的应用。

一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等的角的射线或线段。

具体来说，对于一个角ABC，若有射线或线段AD使得∠CAD = ∠BAD，则AD称为角ABC的角平分线。

角平分线有以下几个重要性质：1. 角平分线的唯一性：对于任意一个角，存在唯一一条角平分线。

这是因为在平面几何中，两条不同的直线最多只能有一个交点。

2. 角平分线的性质：角平分线将原角分成的两个小角相等。

即∠CAD = ∠BAD。

3. 角平分线的外角性质：对于一个凸角ABC及其角平分线AD，有∠ACD = 2∠BAD。

这是因为∠CAD = ∠BAD，而外角等于内错角。

角平分线在解题中有着广泛的应用。

例如，利用角平分线的性质可以证明两条平行线被一组平行线所截得的两个对应角相等；利用角平分线的外角性质可以证明一个三角形的外角等于它所对的内角之和。

二、中线中线是指一个三角形的顶点和对边中点之间的线段。

对于三角形ABC，若M是BC的中点，则AM称为三角形ABC的中线。

中线有以下几个重要性质：1. 中线的唯一性：对于任意一个三角形，存在唯一一条位于三角形内部的中线。

这是因为三角形的三条边只能有一个中点。

2. 中线的性质：中线平分对边。

即BM = MC。

3. 中线的长度：对于一个三角形ABC，有AM^2 = BM^2 + MC^2/4。

这是由勾股定理和中线的性质推导得到的。

中线在解题中也有着广泛的应用。

例如，利用中线的性质可以证明一个三角形的两个内角对应的对边相等；利用中线的长度公式可以求解三角形的边长和面积。

综上所述，角平分线和中线是几何学中重要的概念，它们有着独特的定义和性质，并且在解题和证明中有着广泛的应用。

对于几何学的学习和理解，掌握角平分线和中线的概念和性质是至关重要的。

数学几何辅助线口诀

数学几何辅助线口诀以下是为您生成的十个适用于小学生的数学几何辅助线口诀：1. 一遇中点倍延长，二线合一试试看。

遇到中点别慌张，倍长中线来帮忙。

延长之后再相连，全等出现思路宽。

若是等腰三角形，中线高线合一观。

角平分线加垂线，三线合一试试看，解题轻松又简单。

2. 一作高线二作角，三线相交找全等。

图形难题不可怕，一作高线把距画。

垂直关系先找到，面积问题能解答。

二作角来也不错，相等角儿对应着。

三线相交全等现，几何证明有着落。

3. 一找直角二找边，相似全等细分辨。

碰到几何要冷静，一找直角定分明。

直角当中藏秘密，勾股定理常应用。

二找边的比例同，相似全等在其中。

边边关系要理清，解题才能方向准。

4. 一作平行二连线，比例线段轻松现。

解题思路遇阻碍，一作平行智慧来。

平行产生相似形，对应线段成比例。

二把线段连一连，构造图形更直观。

比例线段轻松现，计算不再苦难言。

5. 一证平行二证角，平行四边形就来到。

想要证明四边形，一证平行不能少。

对边平行且相等，平行四边形初显貌。

二证对角也相等，两组对角都一样。

如此一来就成功，图形性质要记清。

6. 一找圆心二连弦，垂径定理在心间。

圆中难题别犯难，一找圆心是关键。

圆心确定位置明，半径直径随之现。

二连弦来莫等闲，垂径定理记心田。

垂直弦的直径分，平分弦且平分弦所对的弧。

7. 一遇切线连半径，垂直关系立呈现。

见到切线别发呆，一遇切线连半径。

半径与切线相连，垂直关系立马现。

圆心切点和半径，构成直角最常见。

解题巧用这一点，思路清晰不再乱。

8. 一构等腰二构圆，难题也能变简单。

几何题目花样多，一构等腰巧解题。

相等边儿找出来，角度计算不费力。

二构圆形更神奇，圆周角和圆心角，关系明确思路开。

难题不再把你难，轻松应对笑开颜。

9. 一作对称二平移，图形变换有规律。

遇到复杂的图形，一作对称找特征。

对称轴上有玄机，对应点线都相等。

二作平移也可行，位置改变形状恒。

图形变换有规律，掌握方法就搞定。

10. 一找特殊三角形，二用勾股来计算。

线段的中点与垂直平分线

线段的中点与垂直平分线线段在几何学中是一个基本的概念，它由两个端点所确定。

而线段的中点以及垂直平分线则是与线段相关的重要概念之一。

本文将详细介绍线段的中点以及垂直平分线，并探讨它们在几何学中的应用。

1. 线段的中点所谓线段的中点指的是将一个线段分成两个等长的部分时，位于线段中间的点。

在几何学中，线段的中点具有以下性质：1.1 线段的中点位于两个端点的中垂线上。

中垂线是通过连接线段两个端点，并且与线段垂直的线段。

因此，线段的中点也同时位于线段的中垂线上。

1.2 线段的中点到两个端点的距离相等。

既然中点位于线段的中垂线上，那么它与两个端点的距离必然相等。

1.3 线段的中点将线段分成两个等长的部分。

中点将线段分为"等长左段"和"等长右段"，即线段的左半部分与右半部分长度相等。

利用线段的中点性质，可以进行一系列有趣的推理和证明。

例如，基于线段的中点性质，我们可以证明一个三角形的垂心（垂直平分线的交点）位于三角形的三条高线的交点处。

2. 线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指与线段垂直且平分线段的线。

具体而言，线段的垂直平分线具有以下性质：2.1 线段的垂直平分线与线段垂直相交。

垂直平分线与线段形成的交点是线段的中点，因此中点必然位于垂直平分线上。

2.2 线段的垂直平分线将线段分成两个等长的部分。

根据垂直平分线的定义，它将线段分为"等长左段"和"等长右段"，即线段的左半部分与右半部分长度相等。

垂直平分线在几何学中有广泛的应用。

例如，在构造正方形时，我们可以利用线段的垂直平分线将一个角度平分为两个相等的角度，从而得到正方形的边界。

3. 线段的中点和垂直平分线的应用线段的中点和垂直平分线在几何学的实际应用中具有广泛的意义。

下面以几个具体例子来说明它们的应用：3.1 三角形的垂心在三角形ABC中，通过连接三个顶点至对应边中点的垂直平分线，可以得到一个特殊的点H，该点被称为三角形的垂心。

初中线段解题技巧

初中线段解题技巧在初中数学中，线段是几何学中的基本元素之一。

为了更好地解决与线段相关的题目，学生需要掌握一些重要的解题技巧。

以下是一些关键的线段解题技巧，供学生参考。

一、掌握线段的性质1. 线段的基本性质：两点之间线段最短。

2. 线段的平分线性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

3. 垂线的性质：过一点与直线垂直的线只有一条。

二、理解线段的基本定理1. 线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2. 三角形的不等式定理：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三、学会利用平行线性质求解线段长度1. 平行线的性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

2. 利用平行线的性质可以证明一些角的大小关系，进而求解线段的长度。

四、熟悉线段的中点与平分线性质1. 线段的中点性质：线段的中点到线段两端点的距离相等。

2. 利用中点性质可以将一个线段分成两段相等的部分，也可以将一个长线段分成两段短的线段。

3. 平分线的性质：角的平分线将角分为两个相等的部分。

4. 利用平分线的性质可以证明一些角的大小关系，进而求解线段的长度。

五、掌握三角形中的线段性质与定理1. 三角形的中位线定理：中位线的长度是它所截取的两边长度的平均值。

2. 三角形的重心定理：三角形的重心到三个顶点的距离相等，且等于重心到该三角形一边中点的距离的两倍。

3. 勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

4. 熟练掌握三角形的边与角的关系，可以帮助我们求解三角形的相关问题，进而求得某些线段的长度。

5. 在解三角形的问题时，利用三角形的基本性质进行推理分析是很重要的方法之一。

这种方法要求学生有一定的数学思维能力和分析问题的能力，因此需要学生多做练习，加强自己的数学基础知识的掌握。

6. 在解三角形的问题时，有时需要利用到三角形的特殊性质，如等腰三角形的三线合一、等边三角形的三边相等、等腰直角三角形的两条腰相等且与直角边垂直等等。

初中数学知识归纳线段的性质

初中数学知识归纳线段的性质线段是初中数学中常见的几何图形之一，具有一些特定的性质。

了解线段的性质对于解决几何问题和应用数学知识非常重要。

本文将归纳线段的性质，并通过实例加以说明。

1. 线段的定义：线段是由两个端点确定的一条有限长的直线段，可以用AB表示，其中A和B分别为线段的两个端点。

线段由有序对(A,B)表示。

2. 线段的长度：线段的长度是线段上的任意两点之间的距离。

若线段AB的长度为x个单位，则可以表示为|AB|=x。

3. 线段的中点：线段的中点是指线段上的一个点，该点与线段的两个端点的距离相等。

若线段AB的中点为M，则AM=MB。

4. 线段的平分线：平分线是指将线段分为两个相等部分的直线。

若有一条直线l通过线段AB的中点M，则l是线段AB的平分线。

5. 线段的垂直平分线：垂直平分线是指同时垂直于线段并通过线段中点的直线。

若有一条直线l既通过线段AB的中点M，又与线段AB垂直，则l是线段AB的垂直平分线。

6. 线段的角平分线：角平分线是指将线段的两个相邻角度平分的直线。

若角AOC和角BOC的顶点为O，并有一条直线l通过O且使得角AOC和角BOC相等，则l是角AOC和角BOC的角平分线。

7. 线段的延长线：线段的延长线是指将线段向某个方向延长得到的直线。

若线段AB的延长线为l，则该直线上任意一点C都可以表示为线段上两个点的线段AC和线段BC的组合表示。

8. 线段的平行线：平行线是指在同一平面内永远不会相交的直线。

若有一条直线l与线段AB平行，则可表示为l∥AB。

综上所述，我们归纳了线段的性质，包括线段的定义、长度、中点、平分线、垂直平分线、角平分线、延长线和平行线。

通过掌握和应用这些性质，我们能够更好地理解和解决与线段相关的几何问题。

在解题过程中，我们可以利用线段的性质来判断、推导和论证，从而得出正确的答案。

到此为止，本文对初中数学中线段的性质进行了详细的归纳。

希望通过本文的介绍，读者能够对线段的性质有更深入的理解，并能够更加熟练地运用相关知识解决实际问题。

初中数学知识归纳三角形的中线高线角平分线

初中数学知识归纳三角形的中线高线角平分线三角形是初中数学中的基础知识之一，而了解它的特性和性质对于解题和理解其他几何概念都至关重要。

本文将对三角形的中线、高线和角平分线进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和运用这些概念。

一、三角形的中线中线是指连接三角形两个顶点和对边中点的线段。

对于任意三角形ABC，连接顶点A和边BC的中点D所得的线段AD就是三角形ABC的中线。

1.1 中线的性质：（1）中线的长度相等：对于任意三角形ABC，三条中线AD、BE、CF的长度相等，即AD = BE = CF。

（2）中线互相平分：三条中线相交于同一个点G，且点G将每条中线分成两等分，即AG = GD，BG = GE，CG = GF。

（3）中线平行于对边：在三角形ABC中，若DE为BC的中线，则DE∥AC，EF为AC的中线，则EF∥BC，FD为AB的中线，则FD∥BC。

二、三角形的高线高线是指从三角形的顶点向对边的垂线段。

对于任意三角形ABC，连接顶点A和边BC的垂线段AH就是三角形ABC的高线。

2.1 高线的性质：（1）高线相交于同一点：对于任意三角形ABC，三条高线AH、BH、CH交于同一个点O，也称为垂心。

（2）高线与对边垂直：在三角形ABC中，高线AH垂直于边BC，高线BH垂直于边AC，高线CH垂直于边AB。

（3）高线长度关系：对于任意三角形ABC，三条高线AH、BH、CH的长度满足关系：AH＝2R（这里的R表示三角形的外接圆半径），BH=2R，CH=2R。

三、三角形的角平分线角平分线是指将一个角平分为两个相等的角的线段。

对于任意三角形ABC，若角A的平分线AD，则称线段AD为三角形ABC的角A的平分线。

3.1 角平分线的性质：（1）角平分线的性质：“角的平分线上的点与角的两边垂直，而且与角的两边所夹的两个小角相等。

”（2）角平分线交于同一点：对于任意三角形ABC，三条角平分线AD、BE、CF交于同一个点I，也被称为内心。

第03讲线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图(3大考点6种解题方法)(原卷版)

第03讲线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图（3大考点6种解题方法）考点考向一．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C 在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE二．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．三．作图—基本作图基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．四．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．五．作图—应用与设计作图应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．六．作图—代数计算作图代数计算作图是实际问题中要求所作图形具备一定的条件，如角的度数或边的长度．（1）根据题意计算出图形所具备的条件，边长，角度等，在网格纸上作图或利用圆规和直尺作图．（2）直接利用尺规作图做出符合题意的图形．如在数轴上找到表示无理数的点．要熟悉几何图形的性质和5种基本作图的步骤，才能灵活运用熟练作图．考点精讲一．角平分线的性质（共5小题）1．（2021秋•温岭市期末）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE 的面积为（）A．2B．3C．4D．82．（2021秋•北仑区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（）A．2B．3C．4D．53．（2021秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N 为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC 于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（）A．8B．7C．6D．54．（2021秋•新昌县期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（）A．16B．20C．40D．805．（2021秋•诸暨市校级月考）如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：（1）线段BC的长；（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．二．线段垂直平分线的性质（共8小题）6．（2021秋•海曙区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（）A．140°B．130°C．120°D．110°7．（2021秋•温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若△ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为（）A．1B．2C．3D．48．（2021秋•余杭区月考）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE 的周长为8，BC＝3，求AB的长．9．（2021秋•义乌市期中）如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF ＝90°，AF＝3，AE＝4．（1）求边BC的长；（2）求出∠BAC的度数．10．（2021秋•柯桥区月考）已知：如图，△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D．（1）若∠C＝35°，求∠DBA的度数；（2）若△ABD的周长为30，AC＝18，求AB的长．11．（2021秋•余杭区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（）A．65°B．60°C．70°D．80°12．（2021秋•上城区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC 于点E，F．（1）若∠DAC＝20°，求∠FDC的度数；（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．13．（2021秋•西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（）A．50°B．80°C．90°D．100°三．作图—基本作图（共4小题）14．（2021秋•鄞州区期中）如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．65°15．（2021秋•诸暨市期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A．①B．②C．①②D．无16．（2021秋•新昌县期末）如图，已知△ABC．（1）请用直尺和圆规作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若∠A＝100°，∠C＝28°，求∠BDA的度数．17．（2021秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E．（1）用尺规作BD⊥AC，垂足为点D．（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）所画的图中，若BE＝CD．求证：AB＝AC．四．作图—复杂作图（共5小题）18．（2021秋•临海市期末）如图，已知△ABC，点D在边AB上．（1）求作点D，使点D到点B，C的距离相等；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DC，已知∠B＝32°，求∠ADC的度数．19．（2021秋•缙云县期末）（拓展创新）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点以顶点分别按下列要求画三角形．（1）使三角形的三边长分别为3，2，；（在图①中画一个即可）（2）使三角形为钝角三角形且面积为4．（在图②中画一个即可）20．（2021秋•新昌县期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．（1）则MN是BC的线．（2）若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．21．（2021秋•西湖区校级期中）如图，已知△ABC．（1）尺规作图：①作出△ABC的角平分线CD；②作出BC的中垂线交AB于点E．（2）连结CE，若∠ABC＝60°，∠A＝40°，则∠DCE＝．22．（2021秋•拱墅区期中）如图，△ABC中，AC＞AB．（1）作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接AP，AQ．（尺规作图，保留作图痕迹，不需要写作法）（2）在（1）的条件下，若BC＝14，求△APQ的周长．五．作图—应用与设计作图（共6小题）23．（2021秋•临海市期末）如图，在5×5的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．请仅用直尺，按要求画图．（1）在图1中画出过点B的直线l，使其平分△ABC的面积；（2）在图2中画出线段BD，使其平分∠ABC，且点D在格点上．24．（2021秋•椒江区期末）如图，两条公路OA，OB相交于点O，在∠AOB内部有两个村庄C，D．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在∠AOB内部再启动一个方舱式接种点P，要求同时满足：（1）到两条公路OA，OB的距离相等．（2）到两村庄C，D的距离相等．请你用直尺和圆规作出接种点P的位置（保留作图痕迹）．25．（2021秋•宁波期末）定义：如果三角形的两个内角α和β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．请把这个三角形分割成两个三角形，使得其中一个为“类直角三角形”，并求出这个“类直角三角形”的面积．（备注：要求尺规作图）26．（2021秋•婺城区校级月考）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．27．（2021春•南岗区校级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长都是2，线段交点称做格点．（1）画出△ABC的高CD；（2）连接格点，用一条线段将图中△ABC分成面积相等的两部分；（3）直接写出△ABC 的面积是．28．（2021春•鼓楼区校级月考）我们知道，三角形具有性质：三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．如图，在由小正方形组成的4×3的网格中，三角形的顶点都在小正方形的格点上．请运用上述三角形的性质，在该网格中，仅用无刻度的直尺，作出AC边上的高BH，再作出BC边上的高AK．（不写作法，保留作图痕迹）六．作图—代数计算作图（共1小题）29．（2021秋•诸暨市期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中解答下面问题．（1）图中线段AB的两端点都落在格点（即小正方形的顶点）上，求出AB的长度；（2）再以AB为一边画一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；（3）请直接写出符合（2）中条件的等腰三角形ABC 的顶点C的个数．巩固提升一、单选题1．（2021·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期末）如图，在,OA OB 上分别截取,OD OE ，使OD OE =，再分别以点,D E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点C ，作射线,OC OC 就是AOB ∠的角平分线．这是因为连结,CD CE ，可得到COD COE ≌，根据全等三角形对应角相等，可得COD COE ∠=∠．在这个过程中，得到COD COE ≌的条件是（）A ．SASB ．AASC ．ASAD ．SSS2．（2021·浙江八年级期末）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明O O ∠'=∠的依据是（）A ．SASB ．SSSC ．AASD ．ASA3．（2020·浙江八年级期末）ABC 内找一点P ，使P 到B 、C 两点的距离相等，并且P 到C 的距离等于A 到C 的距离．下列尺规作图正确的是（）A ．B ．C ．D ．4．（2020·浙江八年级期末）如图，在AOB ∠的两边上，分别取OM ON =，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分AOB ∠的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL5．（2020·浙江八年级期末）如图，已知ABC ，求作一点P ，使P 到A ∠的两边的距离相等，且PA PB =、下列确定P 点的方法正确的是（）A ．P 为AB ∠∠、两角平分线的交点B ．P 为AC AB 、两边上的高的交点 C ．P 为AC AB 、两边的垂直平分线的交点D ．P 为A ∠的角平分线与AB 的垂直平分线的交点二、填空题 6．（2019·浙江八年级期末）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．7．（2019·浙江杭州·八年级月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明D O C DOC '''∠=∠，需要证明D O C DOC '''∆∆≌，则两个三角形全等的依据是________（写出全等简写）．8．（2018·浙江全国·）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是_______．9．（2020·浙江高照实验学校八年级月考）如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝_____度．10．（2019·浙江杭州市·）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.由作法得△OCP≌△ODP的根据是_________．三、解答题11．（2019·浙江八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．12．（2021·浙江八年级期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的电网必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置，从图中标出．（保留作图痕迹，说明理由）13．（2020·浙江）已知ABC ，用尺规作图：（1）作AC 边上的中线；（2）画AB 边上的高．14．（2019·浙江宁波·八年级期中）某小区为方便M 、N 两幢住宅楼的住户投放分类后的垃圾，拟在小区主路AB AC 、的交叉区域内设置一个垃圾投放点P ，现要求P 点到两条道路的距离相等，且使PM PN =，请你通过尺规作图找出这一P 点（不写作法，保留作图痕迹）15．（2020·浙江八年级期末）已知：线段c 和αβ∠∠，求作：ABC ，使得AB c A B αβ=∠=∠∠=∠，，（不写作法，但保留作图痕迹）16．（2020·浙江）已知线段a 及锐角α，用直尺和圆规作ABC ，使B α∠=∠，AB BC a ==．17．（2020·浙江）如图，线段a ，利用直尺和圆规按照下列要求作出图形．（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）作一个等边三角形，边长为a ；（2）在第（1）题的图中，作一个α∠，使30︒=α．18．（2020·浙江八年级期末）如图，BAC ∠和点D .在BAC ∠内部，试求作一点P ，使得点P 到BAC ∠两边的距离相等，同时到点A ，D 的距离也相等.（不写作法，保留作图痕迹）19．（2021·浙江八年级期末）如图，已知ABC ，请按下列要求作图：（1）作BC边上的中线．（2）用直尺和圆规作ABC的角平分线CG．≌（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．（3）用直尺和圆规作DEF，使DEF ABC20．（2020·浙江八年级期中）如图，已知ABC（1）用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹）在BC上作点D，使点D到AB和AC的距离相等；过BE AD交CA的延长线于E；点B作//（2）若AF BE⊥，垂足为F，证明BF EF．。

专题双中点(线段)模型与双角平分线(角)模型(老师版)

专题01双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。

这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。

但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。

模型1.线段的双中点模型图1图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC =.2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC =.A ．20AC =B ．DC 【答案】718【答案】2023112-三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的(1)若20AB cm =，求MN 的长；(2)b初步感知：(1)如图1，点C在线段AB上，若2k=，则AC=__________；若3AC BC=，则k=例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N 分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．＜的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解．图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC ∠=∠.2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC ∠=∠.3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB +∠BOC+∠AOC=360°，OP 1平分∠AOC 、OP 2平分∠BOC ；结论：1211802POP AOB ︒∠=-∠.A ．70︒B ．100【答案】A【分析】根据OD 、OE 分别是12AOE COE AOC ∠=∠=∠，根据70AOD AOC DOC ∠∠=+=︒【答案】①②④，得出AOBa【答案】2n，据此规律可解答．【答案】110°或130°【分析】A、根据角的和差得到∠∠AOE=13∠AOB=20°，②当∠∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠∵OE是∠AOB的一条三等分线，【答案】(1)40︒(2)所以当射线()12DOE n m ∠=+︒．【分析】（1）根据角平分线定义求出以需要分类讨论：若射线OC 求出DOE AOD AOE ∠∠∠=-12AOE AOC ∠=∠，求出∠【详解】（1）∵120AOB ∠=︒∵°AOB m ∠=，AOC n ∠=、OE 分别平分AOB ∠、∠∴()1122DOE AOD AOE AOB AOC m n ∠=∠-∠-∠=-︒∴所以当射线OC 在AOB ∠的内部时，()12DOE m n ∠=-︒．若射线OC 在AOB ∠外部时，如图3∵°AOB m ∠=，AOC n ∠=、OE 分别平分AOB ∠、∠∴()1122DOE AOD AOE AOB AOC n m ∠=∠+∠+∠=+︒∴所以当射线OC 在AOB ∠的外部时，()12DOE n m ∠=+︒．【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．例8．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图分成两个角，分别为AOC ∠BOC ，若这两个角中有一个角是另外一个角的(1)若90AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“3等分线”，则(2)如图2，已知60AOB ∠=︒，过点O 在AOB ∠外部作射线外两条射线为角的“3等分线”，求AOP ∠的度数（AOP ∠【答案】(1)30︒或60︒(2)30︒或90︒或120︒或180︒【分析】（1）根据“3等分线”的定义分13AOC AOB ∠=∠（2）分OA 为POB ∠的“3等分线”和OB 为AOP ∠的“3根据“3等分线”的定义可得，1302AOP AOB ∠=∠=︒或AOP ∠②当OB 在AOP ∠的内部时，如图，根据“3等分线”的定义可得，1302BOP AOB ∠=∠=︒或BOP ∠此时，3060AOP ∠=︒+︒=或60120180AOP ∠=︒+︒=︒90︒或120︒或180︒．例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P 是直线AB 上一点，∠CPD 是直角，PE 平分∠BPC ．（1）如图1，若∠APC =40°，求∠DPE 的度数；（2）如图1，若∠APC =α，直接写出∠DPE 的度数（用含α的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC 和∠DPE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．，综上所述：线段MN的长度为5cm．故选：A．①②③B．③④C．①②④【答案】A∵AD BM =，∴AD MD BD =+，∴12AD AD BD =+，∴23AD BD BD BD BD +=+=，即3AB BD =，故①符合题意；A ．20225102+B ．20235102+C ．20225102-D ．20235102-【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键．A．30︒B．25︒【答案】C【分析】利用角平分线的定义求出【详解】解：OE平分COD∠，A ．58︒B ．5920'︒C ．60︒D ．5840'︒【答案】B 【分析】根据OE 平分AOC ∠，OD 平分BOC ∠，可得2AOC COE ∠=∠，2BOC COD ∠=∠，从而得到2AOB DOE ∠=∠，即可求解．【详解】解：∵OE 平分AOC ∠，∴2AOC COE ∠=∠，∵OD 平分BOC ∠，∴2BOC COD ∠=∠，∴()2222AOB AOC BOC COE COE COE COE DOE ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，∵2940DOE '∠=︒，∴294059202AOB ∠==''︒︒⨯．故选：B【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到2AOB DOE ∠=∠是解题的关键．9．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC 、OD 把平角∠AOB 三等分，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，下列说法正确的是（）A ．图中只有两个120°的角B ．图中只有∠DOE 是直角C ．图中∠AOC 的补角有3个D ．图中∠AOE 的余角有2个【答案】C 【详解】解：∵射线OC 、OD 把平角∠AOB 三等分，∴60AOC COD BOD ∠=∠=∠=︒，∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，∴30AOE COE DOF BOF ∠=∠=∠=∠=︒，∴120AOD FOE BOC ∠=∠=∠=︒，故A 选项不符合题意；90DOE FOC ∠=∠=︒，故B 选项不符合题意；∠AOC 与∠AOD 、∠FOE 、∠BOC 都是互为补角，故C 选项符合题意；∠AOE 与∠AOC 、∠COD 、∠BOD 都是互为余角，故D 选项不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解题的关键．10．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC 、DBE ，如图1放置，（30D ∠=︒、45BAC ∠=︒），将三角板DBE 绕点B 逆时针旋转一定角度，如图2所示，且090CBE ︒<∠<︒，有下列四个结论：①在图1的情况下，在DBC ∠内作DBF ∠②在旋转过程中，若BM 平分DBA ∠，BN ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成④DBC ABE ∠+∠的角度恒为105︒．其中正确的结论个数为（A ．1个B ．2个【答案】C表示的数，进而得到E【答案】120(160-【分析】①利用角平分线的定义可得∠-∠=∠利用MON BOC BOM∠+∠②由角的加减可得AOM80)设AB x =，，则1,3AC x =2,3CB x =AD DB ==111DE DB EB x x x =-=-=3223913332AC AB ==⨯=故答案为：132或13【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线在同一直线上，线段AC MN DN DM =-()12BD DC CM =-+12BD DC =-MN MC CN =+()12AC DN DC =+-=即22MN AC AB DC =+-2MN DC =MN MC CN =+()12AC BC BN =+-12=QD 【答案】1【分析】先由线段中点定义得出1PD AD=，【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的MP=时，NP=；(1)若点P在线段AB上运动，当7∵2AP t =，M 为AP 的中点，∴同理：12MP AP t ==，2NP 如图，2t =，M 为AP 的中点，N 为(2)【拓展与延伸】已知线段10cm AB =，点P 以1cm/s方向返回．当(1)根据题意，小明求得MN=______先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB a=，C是线段AB上任意一点（不与点AC (1)如图1，求证：AOB EOB DOE ∠-∠=∠；(2)如图2，作OF 平分AOB ∠(3)如图3，在（2）的条件下，当90AOD ∠=︒时，作射线OA 的反向延长线的平分线，若（2）若将（1）中的条件“ON平分BOC∠，OMAOBα∠=，求AOM BON∠+∠的度数；（3）如图2，若ON、OC在AOB∠的外部时，猜想：MON∠与β的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．【答案】（1）30︒（2）14α（3）没有关系，MON∠平分(1)如图1，当OB ，OC 重合时，求EOF ∠的度数；的度数；(3)当AOB ∠和COD ∠的位置如图3时，求【答案】(1)90︒(2)90︒(3)90︒1(1)若6cm AC =，则EF =cm ；(2)当线段AOB25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）如图②，若24cm CD =，点N 是线段CD 的“奇妙点”，则CN =cm ；（3）（解决问题）如图③，已知24cm AB =，动点P 从点A 出发，以2cm/s 速度沿AB 向点B 匀速移动，点Q 从点B 出发，以3cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t ，请求出为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P 为AQ 的“奇妙点”时，83t =或4或247；当点Q 为AP 的“奇妙点”时，7213t =或6或7211．【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：2C D C N =，即N 为CD 的中点；情况2：2D N C N =，即N 为靠近C 点的三等分点；情况3：2C ND N =，即N 为靠近D 点的三等分点，根据以上三种情况，分别求出CN 的长度．（3）由题意可知，A 不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P 、Q 未相遇之前，P 是“奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P 、Q 相遇之后，Q 是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．故答案是：是；（2）N Q 是线段CD 的“奇妙点”∴根据定义，此题共分为三种情况．当2C D C N =，即N 为CD 的中点时，有CN =12cm ．当2D N C N =，即N 为靠近C 点的三等分点时，有CN =8cm ．当2C N D N =，即N 为靠近D 点的三等分点时，有CN =16cm ．故答案为：8或12或16．（3）解：由题意可知，A 点不可能是“奇妙点”，故P 或Q 点是“奇妙点”．24A B cm =∴t 秒后，2AP t =，243A Q t =-．26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB ＝60°，∠COD ＝90°，OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOD ．（1）如图1，OC 在∠AOB 内部时，∠AOD +∠BOC ＝，∠BOD ﹣∠AOC ＝；（2）如图2，OC 在∠AOB 内部时，求∠MON 的度数；（3）如图3，∠AOB ，∠COD 的边OA 、OD 在同一直线上，将∠AOB 绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB 边第一次与OD 边重合为止，整个运动过程时间记为t 秒．若∠MON ＝5∠BOC 时，求出对应的t 值及∠AOD 的度数．【答案】（1）150°，30°；（2）135°；（3）5,165t AOD =∠=︒或35,75t AOD =∠=︒【分析】（1）根据角平分线定义计算（2）根据角平分线定义和角的和差运算．（3）根据角的旋转变化列式计算即可．【详解】解：（1）∠AOD +∠BOC ＝∠AOB +∠COD ＝90°+60°＝150°，∠BOD ﹣∠AOC ＝∠COD ﹣∠AOB ＝90°﹣60°＝30°；（2）∵OM 、ON 分别平分∠AOC ，COD。