2.1 平面曲线的方程

卡西尼卵形线：
( x2 y 2 )2 - 2a2 ( x2 - y 2 ) m4 - a4
• 卡西尼卵形线，是到两定点的距离 之积是一常数的点的轨迹. • 椭圆，是到两定点的距离之和是 一常数的点的轨迹. • 双曲线，是到两定点的距离之差 是一常数的点的轨迹.
Giovanni Cassini 1625-1712
2a 2bt x- 2 , 2 2 b a t
b(b 2 - a 2t 2 ) 从而得 y 2 . 2 2 b a t
在曲线的参数方程与普通方程互化时, 必须 注意两种不同形式的方程应该等价.
如 y 2x 2 1, x R, y 1,
若令x cos , 则参数方程为
解 设 M ( x, y) 是圆上任一点， 根据题意有 | OM | R
x2 y2 R
所求方程为 x 2 y 2 R 2
例
已知两点 A(-2,-2) 及 B(2,2) ，求满足条件
MA - MB 4 的动点 M 的轨迹方程 .
y
M
B(2,2)
o
A(-2,-2)
x
练习：习题2.1 2, 3
而消去t后得普通方程 y 2 x表示整条抛物线.
因此两方程不等价.
2 y 可得所求普通方程 x y 0.
并不是所有参数方程都能化成普通方程. 作业：习题2.1 1, 5, 6, 7, 8, 10
箕舌线
• 玛利亚· 阿涅西（1718年－ 1799年），意大利女数学家 兼哲学家. • 她写了第一本完整的微积分 教科书.
心形线 （圆外旋轮线）
y
.
o
a
a
x
心形线 （圆外旋轮线）
y
o
a
a
x 2a
.
例 把线绕在一个固定圆周上, 将线头拉紧
后向反方向旋转,以把线从圆周上解放出来, 使 放出来的部分成为圆的切线, 求线头的轨迹.
将绕在圆的细线 放开拉直，使细 线与圆周始终相 切，细线端点画 出的轨迹.
圆的渐伸线（切展线）
y
C P a r A
o
x
其坐标式参数方程：
x a( - sin ), (- ). y a(1 - cos ),
取0 时, 消去 , 得P点轨迹在0 时 的一段的普通方程
y
a- y 2 x a arccos - 2ay - y . a
y
0
a
x
曲线的参数方程与普通方程的互化
注： 同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程.
x2 y 2 例 化椭圆 2 2 1为参数方程. a b 解1 设 x a cos， 代入原方程得 y b sin ，
若取 y -b sin ， 令 -t , 则
x a cos ，y -b sin ， 可变为 x a cos t，y b sin t.
2.1 平面曲线的方程
平面曲线方程的定义：
如果曲线与二元方程 F ( x, y) 0 有下述关系：
（1）曲线上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲线上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x, y) 0 就叫做这条曲线的方程，而 这条曲线就叫做这个方程的图形．
例
求圆心在原点、半径为 R 的圆的方程.
y
C P a r A
r OP OA AC CP. AC aj ,
o
x
r OP OA AC CP.
OA AP a
AC aj ,
其中 (CP, CA),
OA a i
o
x
.
已知大圆半径为a，小圆半径为b，设大圆 例 不动，而小圆在大圆内无滑动的滚动，动圆周上 某一定点 P 的轨迹叫做内旋轮线（或内摆线）， 求内旋轮线的方程.
已知大圆半径为a，小圆半径为b，设大圆 例 不动，而小圆在大圆内无滑动的滚动，动圆周上 某一定点 P 的轨迹叫做内旋轮线（或内摆线）， 求内旋轮线的方程.
B
C

O
P
A
设P点的坐标为( x, y ), 则内旋轮线的坐标式参 数方程为 a -b x (a - b) cos b cos b , a -b y (a - b) sin - b sin , b (- ).
B
C

O
P
A
练习：习题2.1 9
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曲线的参数方程
曲线常常表现为一个动点的运动轨迹，但运 动的规律往往不是直接反映为动点坐标 x 与 y 之间的关系，而是表现为动点位置随时间 t 变化的规律.
• 曲线的坐标式参数方程：
x x(t ), (a t b). y y(t ),
• 曲线的向量式参数方程：
设平面上取定的坐标系为O; e1, e2, 则向径
CP (-a sin )i (-a cos ) j ,
r a( - sin )i a(1 - cos ) j , (- )
其坐标式参数方程：
x a( - sin ), (- ). y a(1 - cos ),
所以取为参数且- , 则椭圆的参数方程
x a cos， (- ). y b sin .
解2 若令 y tx b， 代入原方程得
2a 2bt x 0， x - 2 , 2 2 b a t 因第二式已包含第一式 (t 0时, x 0), 取
x cos , (0 2 ). y 2 cos 2 ,
由上式知, - 1 x 1, 1 y 3, 故参数方程与原 方程不等价 .
再如
x t 4 , 2 y t .
因x 0, y 0, 故方程表示的曲线只是第一象限的部分.
玛利亚· 阿涅西
箕舌线
• 2014年5月16日，Google 以 阿涅西的头像和箕舌线表示 以纪念她诞辰296年。
玛利亚· 阿涅西
o
x
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？ 旋轮线是最速降线
A
B
已知大圆半径为a，小圆半径为b，设大圆 例 不动，而小圆在大圆内无滑动的滚动，动圆周上 某一定点 P 的轨迹叫做内旋轮线（或内摆线）， 求内旋轮线的方程.
y
（圆内旋轮线）
r (t ) x(t )e1 y(t )e2 (a t b).
向量函数
例 一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上的一 点的轨迹.
y
旋轮线（摆线）
o
x
解
取直角坐标系，设半径为a 的圆在x 轴上滚动，
考虑动点P. 不失一般性，开始时动点P在原点O. 经过一段时间的滚动，与x 轴的切点移动到A，圆心 移到C的位置. 这时有，