2.1 平面曲线的方程
空间曲线方程不同形式间的转化技巧
空间曲线方程不同形式间的转化技巧晶晶摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形式，它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化的方法有很多，本文主要介绍了常用的几种．在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性．关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性Transformation Techniques for Different Forms ofInter-space Curve EquationLi Jingjing(20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematics ,School of Mathematics& Statistics)Abstract:Space curve parameter equation and general equation aretwo very important form of the equation of space curve．They represent the same curve, so they can be transformed into each other．There are many methods for the conversion between these two kinds of forms．This paper mainly introduces several methods commonly used．During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solution．Key words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence; the same solution1引言空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系．空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系．在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程．由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.[1]空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化．我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化．1.1 平面曲线方程的形式1.1.1 平面曲线的一般方程平面曲线一般方程的定义[2] 当平面上取定了坐标系之后，如果方程(,)0F x y =或()y f x =与一条曲线有着下列关系：满足方程的(,)x y 必是曲线上的某一点的坐标；反过来，曲线上任何一点的坐标(,)x y 满足这个方程，那么这个方程(,)0F x y =就叫做这条曲线的一般方程，而这条曲线叫做这个方程的图形．1.1.2 平面曲线的参数方程平面曲线参数方程的定义[2] 若取()t a t b ≤≤的一切可能取的值，满足：由12()()()r t x t e y t e →→→=+()a t b ≤≤表示的向径()r t →的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t 的某一值0t ()0a t b ≤≤通过12()()()r t x t e y t e →→→=+()a t b ≤≤完全决定，那么就把这个表达式叫做这条曲线的向量式参数方程，其中t 为参数．参数方程为(),(),x t y t φϕ=⎧⎨=⎩ ()a t b ≤≤.1.2 平面曲线方程不同形式间的转化1.2.1 平面曲线的参数方程转化为一般方程平面曲线的参数方程转化为一般方程的方法有很多，主要根据实际情况消去参数，从而转化为一般方程．下面重点介绍比较常用的代数消元法和三角公式消元法．首先是代入消元法．例1.1 化物体的运动方程 020cos ,sin ,2x v t a gt y v t a =⎧⎪⎨=-⎪⎩ （0t T ≤≤）为一般方程．解 由方程组的第一个式子得0/(cos )t x v a =,代入方程组第二式子得2220/(2cos ),y xtga gx v a =-即222200sin 22cos 0gx v a x v a y -⋅+⋅=． 这是抛物线方程．下面介绍应用三角公式消元法．例1.2 化下列参数方程为一般方程:（１）sec ,,x a y btg θθ=⎧⎨=⎩（θ为常数） （２）1cos ,sin ,x y tg θθθ=+⎧⎨=+⎩（0/2θπ<<）解（1）原方程即sec ,,x a y tg bθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①② 22-①②，得22221x y a b -= ．这是双曲线的标准方程． 当2222n n πππθπ-<<+，（n 是整数）时，sec 0x a θ=>,参数方程表示双曲线的右面一支；当32222n n πππθπ+<<+ 时，表示双曲线的左面一支． （2）原方程即1cos ,sin ,x y tg θθθ-=⎧⎨-=⎩③④÷④③，得1y tg tg x θθ-=-．由此，y tg x θ=．代入④得sin y y xθ-=．⑤ 22+③⑤，得22(1)()1y x y x -+-=，即2222()(1)x y x x +-=，(12,0)x y <<>． 1.2.2 平面曲线的一般方程转化为参数方程我们也可以把平面曲线的一般方程(,)0F x y =改写为参数方程(),().x t y t φϕ=⎧⎨=⎩一般地，根据实际情况选取参数t ，找出x 与参数t 的关系式()x t φ=，然后代入原方程求出()y t ϕ=，那么，()x t φ=，()y t ϕ=就是曲线的参数方程．也可以先求出()y t ϕ=，然后，代入原方程得出曲线的参数方程.[4]例1.3 化普通方程222220x xy y x y +++-=为参数方程，其条件是2x t t =-．解 把条件2x t t =-代入原方程，得22222()2()2()20t t t t y y t t y -+-++--= 解得2y t t =+或232y t t =-+，所以曲线的参数方程为22,,x t t y t t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数）或22,3 2.x t t y t t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ (其中t 为参数)． 第二种类型，没有任何条件需要自己选择参数表示出恰当的函数关系．例1.4 化平面曲线的普通方程222360x y --=为参数方程．解 由原方程可得22236x y -=，即221-=，根据三角公式22sec 1tg θθ-=sec θ=，tg θ=，所以参数方程为,,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.2 空间曲线方程的形式2.1空间曲线的一般方程空间曲线一般方程的定义[3] 空间曲线可以看做是两个曲面的交线． 设两个曲面的方程分别为(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =，它们的交线为C ．因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ （2.1）反过来，如果点M 不在曲线C 上，那么它不可能同时在这两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（2.1）．因此，曲线C 可以用方程组1（）来表示，方程组1（）叫做空间曲线C 的一般方程. 例2.1 方程组22216,2,x y z z ⎧++=⎨=⎩表示什么曲线？ 解 此方程组是以原点为球心，以4为半径的一个球面被平面2z =所截后得到的截口曲线，这一曲线表示的是圆2212,2.x y z ⎧+=⎨=⎩ 也可以理解为中心轴是z 轴的圆柱面2212x y +=被平面2z =所截后得到的截口曲线．2.2 空间曲线的参数方程空间曲线参数方程的定义[3] 空间曲线C 的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将C 上动点的坐标,,x y z 表示为参数t 的函数(),(),().x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩（2.2） 当1t t =时，就得到C 上的一个点111(,,)x y z ；随着t 的变动便可得曲线C 上的全部点．方程组（2.2）叫做空间曲线的参数方程.例2.2 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，这个动点的轨迹叫圆柱螺旋，试建立圆柱螺旋线的方程．解 设动点M 在半径为R 的圆柱面222x y R +=上以角速度ω做圆周运动．同时又以线速度μ沿圆柱面轴线方向做等速度直线运动，则点M 的运动轨迹就是圆柱螺旋线．先建立空间直角坐标系．设动点由0M 出发经时间t 运动到点(,,)M x y z ．记M 在xOy 面上的投影为'M ，它的坐标为(,,0)x y ，由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转，所以经过了时间t 后，0'M OM t ω∠=，从而，0'cos 'cos ,x OM M OM R t ω=∠=0'sin 'sin y OM M OM R t ω=∠=．又由于动点同时沿平行与z 轴的正方向匀速上升，线速度为μ，所以'.z M M t μ==因此，圆柱螺旋线的参数方程为cos ,sin ,,x R t y R t z t ωωμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0t ≤≤+∞．令t θω=，而t θω=，则圆柱螺旋线可用θ作参数方程表示，即 cos ,sin ,,x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0θ≤≤+∞． 这里 b μω=． 3 空间曲线方程不同形式的互化空间曲线的参数方程与一般方程是建立在平面曲线方程的基础之上的．因此，我们类比平面曲线方程两种形式间的转化方法得出空间曲线不同形式间的转化方法．3.1 空间曲线的参数方程转化为一般方程将空间曲线的参数方程化为一般方程应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．下面重点介绍空间曲线的参数方程化为一般方程的代入消元法和三角公式消元法．3.1.1 代入消元法将空间曲线的参数方程转化为一般方程时，代入消元法是最常用的一种方法，同时也是最基本的一种方法．例3.1 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，试建立这个动点轨迹的一般方程．解 由例2．2可知动点轨迹的参数方程为cos ,sin ,,x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0θ≤≤+∞．接下来，我们将此参数方程转化为一般方程．我们运用代入消元法消去参数θ，由z b θ=得出z b θ=，然后代入cos x R θ=或sin y R θ=，可得cos z x R b =或sin z y R b=． 又由cos x R θ=和sin y R θ=得到222x y R +=．因此，动点运动轨迹的一般方程 为222,sin ,x y R z y R b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩或222,cos .x y R z x R b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩例3.2 化空间曲线的参数方程()()()261,1(1),22,3x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩为一般方程．解 由()3可知2z t =，将2z t =代入1（）和(2)得空间曲线的一般方程为 231,1.2x z z y =+⎧⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩由例3.1，3.2可以看出对于某些形式的参数方程用代入消去法化为一般方程非常方便．3.1.2 三角公式消元法三角公式消元法的运用也非常广泛．例3.3 化下列空间曲线的参数方程（1） ()()()3sin ,5sin ,4cos ;x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ⅰⅱⅲ (02)θπ≤≤（2） ()()()sec ,,2sec .x y tg z ααα=⎧⎪=⎨⎪=⎩ⅳⅴⅵ (02)απ≤≤为一般方程．解由()()(),,ⅰⅱⅲ可知：sin 35x y θ==，cos 4z θ=，又因为22cos sin 1θθ+=, 因此曲线的一般方程为22,35 1.2516x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ （2）由()()(),,ⅳⅴⅵ得：sec 2z x α==，tg y α=，因为22sec 1tg αα-=，所以曲线 的一般方程为22,21.z x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩综上所述，将空间曲线的参数方程化为一般方程的方法很多，应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．3.2 空间曲线的一般方程转化为参数方程将空间曲线的一般式方程12(,,)0,(,,)0,F x y z F x y z =⎧⎨=⎩化为参数方程(),(),(),x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩是一个难点．将空间曲线的普通方程转化为参数方程时，选取参数对我们来说是十分重要的．当我们选取不同的参数时，同一曲线的参数方程就可以有不同的形式．选取恰当的参数，方程将会有比较简单的形式．我们采取的方法一般是先根据实际情况，给出其中一个或两个变量关于参数t 的方程，然后再代入空间曲线的一般方程，从而得到曲线的参数方程．将空间曲线的一般方程转化为参数方程的方法有很多，包括代入法、有理因式法、三角法、斜率法，此外还可采用把曲线投影到坐标面上的方法，利用对称式方程等方法.[5]3.2.1 三角公式法若方程经过恒等变形可出现22sin cos 1a a +=，22sec 1a tg a -=，1tga ctga ⋅=，则可用三角公式法．例3.4已知半径为R 的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，那么这时球面与圆柱面的交线叫做维维安尼曲线，求维维安尼曲线的参数方程式．解 由已知条件，我们得到曲线的一般方程相对来说比较简单，再将一般方程化为参数方程．我们取球心为坐标原点，过球心的圆柱面的一条直径为x 轴，通过球心的圆柱面的一条母线为z 轴，建立直角坐标系．得到的球面的方程为2222x y z R ++=，圆柱面的方程为220x y Rx +-=．因此，维维安尼曲线的一般方程为222222,0.x y z R x y Rx ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩我们再将上述方程转化为参数方程．首先，结合我们之前所学的平面曲线的知识，圆柱面方程220x y Rx +-=的参数方程为2cos ,cos sin .x R y R θθθ⎧=⎨=⎩我们再将其代入球面方程2222x y z R ++=得到sin z R θ=±．因此，我们得出曲线的参数方程为2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 0θπ≤< 与2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩0θπ≤<．如果我们令t θπ=+，即t θπ=-，代入公式后，上式就变成了2cos ,cos ,sin ,x R t y R t z R t θ⎧=⎪=⎨⎪=⎩2t ππ≤≤．因此，维维安尼曲线的参数方程为2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩02θπ≤≤．例3.5 把 ()()2222216,140,2x y z x y x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩ 化为参数方程． 解 由2240x y x +-=得22(2)4x y -+=．令22cos ,2sin ,x y θθ-=⎧⎨=⎩可得222cos 2(1cos )4cos 2x θθθ=+=+=， 22sin cos 4sin cos 2222y θθθθ==．设2t θ=， 则24cos x t =，4sin cos y t t =，代入1（）得422216cos 16sin cos 16t t t z ++=． 所以，2216sin z t =，4sin z t =±．曲线的参数方程为24cos ,4sin cos ,4sin ,x t y t t z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩t ππ-≤≤．3.2.2 代入法对于空间曲线的一般方程，方程组中一个方程的形式非常简单，例如y x =,z a = (a 为常数)等，可以直接将形式简单方程带入另一个方程，再利用三角法求得参数方程．例3.6 化下列一般方程为参数方程．（1）2229,;x y z y x ⎧++=⎨=⎩ （2）222(1)(1)4,0.x y z z ⎧-+++=⎨=⎩ 解（1）将y x =代入2229x y z ++=，得222213x z +=，令x t =，则3sin z t =，因此，所求的参数方程为,,3sin ,x t y t z t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩02t π≤≤． （2）将0z =代入222(1)(1)4x y z -+++=，得22(1)3x y -+=，令1x t -=，则y t =，则所求的参数方程为1,,0,x t y t z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩02t π≤≤．3.2.3 投影法利用曲线投影到坐标面上的方法，通过投影曲线标准方程的参数方程达到化空间曲线的一般式方程为参数方程的目的． 例3.7 将曲线L 的一般式方程222340,2210,x y z x y z x y z ⎧++-+--=⎨--+=⎩化为参数方程.[6]解 在方程中消去z ，得到曲线L 在xoy 平面上的投影曲线为22'58540,:0.x xy y x y L z ⎧-+++-=⎨=⎩ 配方后，得22'(1)9()9,:0.x y x y L z ⎧+++-=⎨=⎩ 在xoy 平面上作坐标变换111,,x x y y x y =++⎧⎨=-⎩得到'L 的标准方程2211'1,:910,x y L z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩此为椭圆方程，其参数方程为'11:3cos ,sin ,0L x t y t z ===，代回原变量，得 '3cos sin 13cos sin 1:,,022t t t t L x y z +---===．将,x y 代入L 的方程，得2sin 1z t =+从而得L 的参数方程3cos sin 1,23cos sin 1,22sin 1.t t x t t y z t +-⎧=⎪⎪--⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩3.2.4 利用对称式方程法当空间曲线为直线时，可以先求出直线的对称式方程，再利用直线的对称式方程求直线的参数方程变很容易了．例3.8 求直线1,24,x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的参数方程．解 令1x =，则0,2,y z y z -+=⎧⎨+=⎩，得1,1.y z =⎧⎨=⎩从而得直线上的一点(1,1,1)．我们取直线的方向向量为1211123211ij k s n n i j k =⨯=-=-++，于是对称式方程为111213x y z ---==-，令111213x y z t ---===-，则参数方程为12,1,13.x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩综上所述，将空间曲线的一般方程化为参数方程是一个难点也是一个关键点，我们必须根据空间曲线一般方程的特点，选取恰当的参数．4 结束语本篇论文主要介绍了空间曲线方程的两种形式，即一般方程和参数方程，以及它们之间的相互转化方法．参数方程转化为一般方程时，主要介绍了代入消元法，应用三角公式消元法等方法．对于一般方程转化为参数方程，介绍了代入法，三角公式法，投影法等．我们应根据方程的具体形式选取恰当的方法．此外，空间曲线的一般方程和参数方程的互化有两点注意事项，即等价性和同解性.这是因为参数方程中参数的不同取值确定着不同的曲线．在空间曲线方程的系数参数问题中，突出的反映了解析几何数和形的对立统一思想，要特别注意变量的取值围在互化前后要保持一致．将空间曲线的参数方程化为一般方程时，如果仅仅从空间曲线的一般方程(),(),(),x x ty y tz z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩消去参数t得到12(,,)0,(,,)0,F x y zF x y z=⎧⎨=⎩并不一定是曲线对应的一般方程，它有可能具有不能从的某值通过得出的解，从而给原曲线增加了新的点．将曲线的一般方程化为参数方程时要注意标明参数的取值围．把参数方程化成一般方程时，要注意方程的同解性是否被破坏．有时参数方程中的参数取值有围的限制，图像只表示曲线的一部分，然而在消去参数后，得到一般方程的图像却是曲线的整体．这样，一般方程与原来的参数方程表示的曲线就不完全相同了．因此，在转化过程中，要注意参数方程中参数所受的限制在所化的一般方程中的图像予以反映出来.[1]总之，在空间曲线的参数方程和一般方程相互转化时要保持方程的等价性和同解性，使结果完整准确．参考文献[1]荣锋．空间曲线参数方程与一般方程互化[N]．师学院学报，2010-2．[2]吕林根，许子道．解析几何[M]．：高等教育，2006:96-99．[3]邢佳,郭金萍．高等应用数学[M]．天津：天津大学，2013：236-237．[4]王祥林．化普通方程为参数方程[J]．黄淮学刊，1989（2）：93-94．[5]宋研．曲线参数方程和直角坐标方程的互化[J]．中国校外教育（下旬刊），2013（z1）:595．[6]冷劲松．建立空间曲线的参数方程的方法及应用[D]．：电子科技大学，1998-6．。
解析几何课件全册(第四版)
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）
a
(a)
0.
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有限个矢量a1, a2 ,an相加可由矢量的三角形求和 法则推广
自 任 意 点O开 始 ， 依 次 引OA1 a1 , A1 A2 a2 ,,
An1 An an ,由 此 得 一 折 线OA1 A2 An , 于 是 矢 量OAn
a0 1 a, |a|
a | a | a0
定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）第一分配律：
(
)a
a
a
（3）第二分配律：
(a
b)
a
b
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两个向量的平行关系
定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充
cab
a
B
b
O
A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则.
定理1.2.1 如果把两个向量 OA、OB 为邻边
组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
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(a
b)
a
b
1) 当 0 或 ab 中有一个为零向量时，
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
曲线的参数方程
限时训练方式一：点击连接 https://ks.wjx.top/jq/6808668 6.aspx 方式二：扫描下方二维码
预习教材P23~24，P26，完成教材P26的1,2,5
问题情境：2020年3月29日最新疫情播报：
疫情地区
美国 意大利 西班牙 德国 法国 伊朗 英国 韩国 日本
.......
现有
121379 70065 54968 48781 30064 21212 16140 4398 1383
.....
累计
124665 92472 73235 57695 38105 35408 17312 9583 1810
课题引入
• 1.研究平面曲线的方程，我们有哪些途径？ • 今天我们将在直角坐标系下，进一步学习平面
曲线另外一种方程形式即曲线的参数方程，那 么什么是曲线的参数方程呢？曲线的参数方程 和我们普通方程怎么转化呢？曲线的参数方程 有什么作用？
2.1平面直角坐标系下曲线的 参数方程(1)
高二年数学备课组
探究一：平面直角坐标系下曲线参数方程的定义
变式提高：(1)曲线C的轨迹是什么？ (2)曲线C的极坐标方程是什么？
探什么曲线并画图。
自我总结：参数方程化为普通方程的方法与步骤。 （1）方法一：代入(或整体代入)消参，加减法消参。 （2）方法二：三角公式法消参，乘除法消参。 （3）注意参数方程化为普通方程的等价性即注意参数的 范围。
.....
治愈
1095 12384 12285 8481 5724 11679 151 5033 372
....
死亡
2191 10023 5982 433 2317 2517 1021 152 55
§2.1 平面曲线的方程
§2.1 平面曲线的方程一. 平面曲线的普通方程平面上的曲线都是看作适合于某种条件的点的轨迹,用点的坐标,x y 之间的关系式来表示. 平面曲线的一般方程为(),0F x y =,或()y f x =.1.定义:如果一个方程(),0F x y =或()y f x =与一条曲线有关系: (1).满足方程(),0F x y =或()y f x =的(),x y 是曲线上的点的坐标; (2).曲线上的任何一点的坐标(),x y 满足方程(),0F x y =或()y f x =,则(),0F x y =或()y f x =叫做曲线的方程,而曲线叫做方程(),0F x y =或()y f x =的图形. 2.求曲线的方程基本方法: 条件等式转化法.一般步骤: ①选标, ②列式, ③化简, ④证明.例1.已知两点A(-2,-2)和B(2,2),求满足条件4MA MB −=JJJ G JJJ G的动点M 的轨迹方程. 解:动点(),M x y 在轨迹上的充要条件是4MA MB −=JJJ G JJJ G4=4=+化简得 2,(2)xy x y =+≥ 所求轨迹方程为2,(2)xy x y =+≥.二.曲面的参数方程平面曲线的参数方程:()()()12r r t x t e y t e ==+G G J G J J G 或 ()()x x t y y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ []12,t t t ∈(单参数)定义: 如果取()t a t b ≤≤的一切可能取的值,由上式表示的径矢()r t G的终点M总在一条曲线上;反过来,在这条曲线上的任意点M 总对应着以它为终点的径矢,而这个径矢可由t 的某一个值0t ()0a t b ≤≤完全决定,那么上式叫做曲面的矢量式参数方程,其中t 为参数.因为径矢()r t G 的分量为()(){},x t y t 所以曲线的参数方程也可写成()()x x t y y t =⎧⎪⎨=⎪⎩,叫做曲线的坐标式参数方程.例2. 已知直线l 通过定点()000,M x y ,并且它与非零矢量{},v X Y =G共线,求直线l 的方程.解: 设(),M x y 是直线上的任意一点,并设OM r =JJJJ G G ,00OM r =JJJJJ G J G.则M 在直线l 上的充要条件是 0M M tv =JJJJJ J G G.00M M r r =−JJJJJ J G G J G 所以 0r r tv −=G J G G即 ()0r r tv t =+−∞<<+∞G J G G----------------矢量式参数方程00x x Xty y Yt =+⎧⎨=+⎩()t −∞<<+∞---------------坐标式参数方程 例3. 已知大圆半径为a ,小圆半径为b ,设大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚动,动圆周上某一定点P 的轨迹叫做内旋轮线(或称内摆线),求内旋轮线的方程.解: 设运动开始时动点P 与大圆周上的点A 重合,并取大圆的中心O 为原点, OA 为x 轴,则r OP OC CP ==+G JJJ G JJJ G JJJ G ,设 ()(),,,i OC CP CB θϕ==G JJJ G JJJ G JJJ G((,()()cos sin OC i a b j a b θθ=−+−JJJ G G G且 p p a AB PBb θϕ=== 所以 abϕθ=又 (),b ai OP bθϕθ−=−=G JJJ G (所以 cos sin cos sin b a b a a b a bCP ib jb ib jb b b b b θθθθ−−−−=+=−JJJ G G G G G 所求内旋轮线的矢量式参数方程为:()()cos cos sin sin a b a b r a b b i a b b j b b θθθθ−−⎡⎤⎡⎤=−++−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦G G G其中()θ−∞<<+∞M坐标式参数方程为: ()()cos cos sin sin a b x a b b ba b y a b b b θθθθ−⎧=−+⎪⎪⎨−⎪=−−⎪⎩其中()θ−∞<<+∞.。
解析几何全册课件(吕林根版)精选全文完整版
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）
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O
A1
A2
A3
A4
An-1
An
这种求和的方法叫做多边形法则
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向量减法
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A
B
C
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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
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解
设
为直线上的点，
6、线段的定比分点坐标
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由题意知：
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定理1.5.4 已知两个非零向量
7、其它相关定理
则
共线的充要条件是
定理1.5.6 已知三个非零向量
，则
共面的充要条件是
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空间一点在轴上的投影(Projection)
§1.6 向量在轴上的射影
解
根据题意有
所求方程为
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根据题意有
化简得所求方程
解
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例4 方程 的图形是怎样的？
根据题意有
图形上不封顶，下封底．
解
以上方法称为截痕法.
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
线为
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e
e
AP
e
AD
e
AC
e
2.1-2.2：平面曲线和曲面的方程
(x, y) 必是曲线上某一点的坐标; (2) 曲线上任何一点 的坐标(x, y)满足这个方程. 那么这个方程就叫做这条 曲线的方程, 而这条曲线叫做这个方程的图形.
以下只考虑直角坐标系 例1 求圆心在坐标原点,半径为R的圆的方程.
解: 设M(x,y)是圆上任意一点, 则特征条件为
i
当t变化时, 动点P在平面上画出一条曲线,显然, 这条曲线
也可以看作是由动径矢r (t )的终点P画出.也就是说, 一个
起点固定在坐标原点的矢量, 它若随着一个参数变化, 那么它的终点就描画出一条曲线.
r r (t ) 我们称动径矢 r (t ) 是变数t的矢性函数. 记为 at b
Ax By C 0
也叫做一般方程
例2
方程 r (a cos t )i (b sin t ) j ,(a, b 0),
在平面上表示什么曲线?
椭圆
例2 一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上的一点 P的轨迹. y 解: 如图, 经过一段
时间的滚动, 圆与直 线的切点移到A点, 圆心移到C点.
配方得:
( x g ) ( y h) ( z k ) g h k l
2 2 2 2 2 2
所以 当 g 2 h2 k 2 l 0, 三元二次方程表示中心在
(-g, -h, -k), 半径为
g h k l
2 2 2
的球面.
当 g 2 h2 k 2 l 0,
上称为虚球面.
三元二次方程无实图形, 习惯
当 g 2 h2 k 2 l 0,
(-g, -h, -k), 例6
微分几何第二章 (2)
2.1 平面曲线- b 的指向
由导数的定义我们可知 b 总是指向曲线弯 曲的那一侧．
a(s)
C
பைடு நூலகம்
α ( s s) α ( s ) β ( s) s
2.1 平面曲线-伏雷内公式
由 b 的定义有 a ∙ (s) = |a ∙(s)| b (s)． 令 k(s) = |a ∙ (s)|，则有 a ∙ (s) = k (s)b (s). 我们把 k (s) 叫曲线 C 在 r(s) 处的曲率． 定理. （伏雷内公式）我们有 a ∙ = kb , b ∙ = – ka . 以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式．
2.1 平面曲线-曲率计算公式
定理. 设曲线 C: r(t) = (x(t), y(t))，则其曲 率为 | x(t ) y(t ) x(t ) y(t ) | k (t ) . 3/ 2
x(t ) 2 y(t ) 2
如果曲线方程为 y = y(x)，取 x 为参数，则 曲线的参数表示为 r = (x, y(x))，其曲率为 | y | k ( x) . 3/ 2 1 ( y) 2 平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率 为零．
练习题 1．求曲线 y = sinx 的曲率． 2．求曲线 x = acos3t, y = asin3t 的曲率．
2.1 平面曲线-标准伏雷内标架
前面我们定义了平面曲线上的伏雷内标架 [r(s) ; a (s), b (s)]．但伏雷内标架不一定是平 面正标架（即它们关于平面上的标准基的分 量的行列式不一定为正数）．但我们总可以 在曲线上选取一单位法向量 n(s)，使 [r(s) ; a (s), n(s)] 构成正标架，这个标架叫平面曲 线的标准伏雷内标架．
2.1曲线与方程 教学设计 教案
2.1曲线与方程教学设计教案第一篇：2.1曲线与方程教学设计教案教学准备1. 教学目标[1]了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 [2]初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义 [3]强化“形”与“数”一致并相互转化的思想2. 教学重点/难点教学重点：理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程式曲线的方程3. 教学用具多媒体设备4. 标签教学过程教学过程设计1 复习引入【师】在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线，请思考下面问题：【板演/PPT】思考1 直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？思考2 到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？思考3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？【生】学生思考交流 2 新知介绍[1]结合具体实例，引入曲线方程和方程曲线概念【师】：引导学生发言总结【板演/PPT】答 y＝±x. 理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．【师】思考下面问题：思考4 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？思考5 判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2. 【生】思考总结【板演/PPT】解 (1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝x02＋y02＝r2.两边开平方取算术平方根，得的解，则y0＝，即；＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都，是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝而应是y＝±. (2)①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2 【师】引导学生交流思想总结曲线方程的概念【板演/PPT】曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．【师】引导学生深入理解定义，从充要条件来理解这个定义【板演/PPT】定义中的两个条件是判定一个方程是否为所定曲线的方程，一条曲线是否为所定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．【板演/PPT】从集合角度理解为：定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程 [2]概念应用【师】下面我们看屏幕上的例题【板演/PPT】例1：若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( )．A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点. 【师】从定义入手，考虑充要条件【生】思考回答【板书/PPT】解析∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，∴A，B，C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A，B，C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的．【师】规律方法(1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲线上点的坐标的一一对应关系．(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不可．因此，在证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须证明两个条件同时成立．【师】为了深刻的理解方程与曲线，我们来看下列一个问题【板书/PPT】[例2] 下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正．【生】分析各个方程所表示的曲线是否与图中图象符合【板书/PPT】解：不对，应为y=x 【师】引导学生反思总结【板书/PPT】反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．【板书/PPT】【师】引导学生思考【板书/PPT】方法点拨 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．解：带入验证知P点在此方程所表示的曲线上，Q点不在。
解析几何第四版吕林根期末复习课后习题重点详解
解析几何第四版吕林根-期末复习-课后习题(重点)详解第一章 矢量与坐标§1.3 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B、D 三点共线．证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B、D 三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , CN 可 以构成一个三角形.证明： )(21AC AB AL += )(21BM +=)(21CB CA CN +=)(21=+++++=++∴BM7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA += MB OM OB += +=)(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴从而三中线矢量,,构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB +OC +＝4.[证明]：因为＝21(OA +OC ), ＝21(OB +OD ), 所以 2OM ＝21(OA +OB +OC +) 所以OA +OB +OC +＝4. 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ．→→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1 [证明]：如图1-7，因为图1-5＝OP －, ＝－OP ,所以 OP －＝λ (－OP ), (1+λ)OP ＝+λ,从而 OP ＝λλ++1OB. 4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合;（2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将AT 分解为21,e e 的线性组合解：（1）()12123131,e e e e -==-=-= ，2111231323131e e e e e +=-+=+=，同理123132e e +=（2）因为 ||||TC ||11e 且 BT 与方向相同，所以 BT ||21e e . 由上题结论有AT||||1||212211e e e e e +||||21e e +.5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量,,,的分解式。
《解析几何》教学大纲
《解析几何》教学大纲一、课程基本信息课程编码：061106B中文名称：解析几何英文名称：Analytic Geometry课程类别：专业基础及核心课总学时：48总学分：3适用专业：数学与应用数学专业先修课程：平面解析几何、线性代数基础知识二、课程的性质、目标和任务解析几何是数学与应用数学专业的专业基础及核心课，是初等数学通向高等数学的桥梁，在大学一年级第一学期开设的专业必修课程。
解析几何的基本思想是以向量、坐标为工具，将几何结构代数化，从而利用代数的方法研究、解决几何问题，其理论与方法对整个数学的发展起着重要的作用，为学习数学分析、微分几何、高等几何等数学学科的后续课程提供必要的理论基础。
通过本课程的教学，使学生对空间解析几何的基本思想与研究方法有完整的认识，系统地掌握几何知识和几何图形代数化的基本理论，受到几何直观性思维及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域；培养学生的空间想象能力，以及运用向量法与坐标法计算和证明几问题的能力，为进一步学习其它课程打下基础；另外能够加深对中学几何的理解和应用，从而获得在比较高的观点下处理中学几何问题的能力，为将来中学数学教学打下良好的基础；能够借助解析几何所具有的较强的直观效果，提高学生认识事物，解决实际问题的能力，为学生在创新能力培养等方面获得重要的平台。
三、课程教学基本要求1、教学方法：以课堂教学讲授方法为主，采用多媒体先进的教学手段。
讲清楚数学概念产生的实际背景、内涵和外延，定理的条件、结论和应用，比较分析类似数学概念的异同，找出内在联系，使学生在庞杂的学习内容面前能时刻抓住主线，有整体概念。
2、作业布置：课后习题选作，由于所用教材课后习题较多，根据教学内容选作部分题目，要求学生完成课后布置习题的80%以上，作业每周批改一次。
3、教学辅导：习题课，典型问题分析，方法总结，难题讲解；课后答疑辅导，解答课内或课外学习中的问题。
四、课程教学内容及要求第一章向量与坐标（16学时）【教学目标与要求】1、教学目标：向量、坐标是研究解析几何的工具，是学习该课程的基础。
解析几何第四版吕林根课后习题答案解析第二章
第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 21=。
设M 的坐标),(y x 有2222)6(21)3(y x y x ++=+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(22=+-y x此轨迹为椭圆2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。
A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。
解：如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22x yM .在Rt AOB 中有 222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得:222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨迹为222()x y a +=.3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m ,求此动点的轨迹.解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有:2AM BM m ⋅=.设(,)M x y 在Rt BNM中 222()a x y AM++=. (1) 在Rt BNM中222()a x y BM -+=. (2) 由(1)(2)两式得:22222244()2()x y a x y m a +--=-.4.设,,P Q R 是等轴双曲线上任意三点,求证PQR 的重心H 必在同一等轴双曲线上. 证明:设等轴双曲线的参数方程为x ct c y t =⎧⎪⎨=⎪⎩11(,)P x y ,22(,)Q x y ,33(,)R x y .重心H 123123(,)33x x x y y y ++++5.任何一圆交等轴双曲线2xy c =于四点11(,)c P ct t ,22(,)cQ ct t ,33(,)c R ct t 及44(,)cS ct t .那么一定有12341t t t t =.证明:设圆的方程22220x y Dx Ey F ++++=.圆与等轴双曲线交点(,)c ct t,则代入得2222220.c Ec c t Dct F t t++++=整理得:24322220.c t Dct Ft Ect c ++++=可知(1,2,3,4i =是它的四个根,则有韦达定理1234t t t t ⋅⋅⋅=242(1)1c c-=.8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程. ⑴32x y =; ⑵ ()0,212121>=+a a yx ; ⑶()0,0333>=-+a axy y x .解:⑴⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 32令θ4cos a x =,代入方程212121a y x =+ 得θθθ42212212121sin ,sin cosa y a a a y ==-=∴参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθ44sin cos a y a x . ⑶令,tx y =代入方程0333=-+axy y x得()031233=-+atx x t()[]03132=-+⇒at x t x3130t at x x +==⇒或当0=x 时,;0=y 当313t at x +=时,3213tat y += 故参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3231313t at y t at x .§2.2 曲面的方程1、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。
平面曲线的参数方程
Y
B P
uur R (i, BP)
（大小是
方向相反）
2
2
O
A
X
|
uuur BP
|
B»AR，
uuur BP
R
[i
cos(
)
jsin(
)]
r
2
2
R (i sin j cos )，故 r iR(cos sin ) jR(sin cos )，
O
是l的向量式参数方程，t 为参数。
Mg
X
得l
的坐标式参数方程
x y
x0 y0
Xt Yt
，(t为参数)
(1)
r
uuuuuur
当v是单位向量时有| M0M || t |，即M到M0间的距离为| t |。
7
例2
例2. 求圆心在A( a , 0)，半径为 a 的圆的参数方程。
uuur
此时 r OA AC CP，设 R (CP, AC)，而OA ai，AC aj，
又R
uur (i,CP)
(
)，|
uuur CP
|
uuur a，CPa[icos(
)]
j sin(
)]
ia sin
2
ja cos，
r 所以r
15
二、求曲面方程的步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系；
（2）设曲面上动点P(x, y, z), 按已知条件推出动点满足的方程；
空间解析几何第三章
大 学 数 学（一）
—— 空间解析几何
第十讲 平面曲线的方程 空间曲面的方程 空间曲线的方程
脚本编写：
教案制作：
第一节
一、平面曲线与方程：
平面曲线的方程
定义：当平面上取定了标架之后， 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一 条曲线有着关系： 条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； ）满足方程的 必是曲线上某一点的坐标； 必是曲线上某一点的坐标 （2）曲线上任何一点的坐标 满足这个方程； ）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 满足这个方程 则这个方程称为这条曲线的方程， 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 方程的图形。 y 曲线的方程常表示为： 曲线的方程常表示为： xy=2 F(x,y)=0 或 y=f(x) o x
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 + c
的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 半径随c 的增大而增大 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 两个基本问题 （1）求曲面方程． 求曲面方程．
（2）已知曲面方程，研究曲面形状． 已知曲面方程，研究曲面形状． 曲面方程
xoz 面上的投影曲线: 面上的投影曲线 投影曲线:
R( y , z ) = 0 x = 0
T ( x , z ) = 0 y = 0
x2 + y2 + z2 = 1 在坐标面上的投影. 例4 求曲线 1 在坐标面上的投影. z = 2
）消去变量z后得 解 （1）消去变量 后得 3 2 2 x +y = , 4 在xOy面上的投影为 面上的投影为
平面曲线的方程
r t x t e1 y t e2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其坐标式参数方程为 x x t
, a t b y y t
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹 该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid） 例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑 动地滚动，求动圆周上某一定点P 的轨迹方程
圆的内摆线
（a＝4b）四尖点星形线（astroid）
x2 y 2 1 a 2 b2
• 作业 P77 2,3
若取 t a t b 的一切可能取值 ①由 r t x t e1 y t e2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t 的某一值 t0 a t0 b 通过r t x t e1 y t e2 a t b 完全决定 那么就把 其中 t 为参数。
x R cos sin y R sin cos
（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
x a cos 第一种参数方程以角度 为参数： , y b sin
a b 2 a 2t 2 x b 2 a 2t 2 , t 第二种参数方程以斜率 t 为参数： 2ab 2t y 2 b a 2t 2
《解析几何》课程教学大纲
《解析几何》课程教学大纲一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生掌握平面曲线、空间直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面等的基本性质。
提高用代数方法解决几何问题的能力，为今后学习其它课程打下必要的基础，并能在较高理论水平的基础上处理中学数学的有关教学内容，以及生产、生活中的有关实际问题。
本课程是大学专科小学教育专业数学类必修的一门重要的专业课课程，通过本课程的教学，使学生系统掌握空间解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法解决几何问题的能力和空间想象能力，能在较高理论水平的基础上处理中小学教学的有关问题。
二、课程教学内容和基础要求要求学生重点掌握空间解析几何的基本思想和基本方法；培养空间想象能力，逻辑思维能力以及运用现代各种数学方法处理几何问题的能力，运用几何结构，深入理解现行中学数学教材中的有关问题，并且具有应用几何知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，为学好后续专业课程打下良好的基础。
第一章矢量与坐标教学目的：通过本章的教学,使学生掌握矢量的概念，矢量运算的定义、规律及几何意义，利用矢量的运算作为工具研究平面与空间的几何图形教学要求:理解矢量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分那些是矢量,那些是数量，掌握矢量的运算（矢量加（减）法）数与矢量乘法，两矢量的数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处，理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行矢量的运算方法，会用矢量法进行有关的几何证明问题。
教学内容：§1.1矢量的概念§1.2矢量的加法§1.3数量乘矢量§1.4矢量的线性关系与矢量的分解§1.5标架与坐标§1.6矢量在轴上的射影§1.7两矢量的数性积§1.8两失量的矢性积§1.9三矢量的混合积§1.10三矢量的双重矢性积教学提示：由浅入深，采用启发式教学，并通过对比加深学生印象。
空间解析几何第二章 2-1 平面的方程
1.3 平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
表示
D
即 任一平面
？
Ax By Cz D 0
（A,B,C不同时为零）
不妨设 A 0，则
例5 求通过两点P1(2, 1, 2)和P2(3, 2,1)且平行 于z轴的平面的方程.
小结
§1平面的方程
1.平面的点法式方程 2.平面的点位式方程 3.平面的三点式方程 4.平面的截距式方程 5.平面的一般式方程 6.平面一般式方程的几种特殊情况
练习
P70 4，2(2)(4)
作业
P70 2(1)(3) ， 5
用r r0, a, b 三向量的坐标表示，上 式可表示成
x x0 X1 X2
y y0 Y1 Y2
z z0 Z1 0 Z2
(2.1 4)
方程(2.1-3)与(2.1-4)都称为平面的点位式方程.
例
例2. 求通过点P1(1, 1, 5)和P2(2,3, 1)且垂直
zOx坐标平面的平面的方程.
1 1 1 1 1 t 1 ,
6 6t t 6t
6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6x y 6z 6.
或 6x y 6z 6.
A x
D A
By 0 Cz 0
0
，为一平面.
法向量 n {A, B,C}. 平面过点 ( D , 0, 0)
A
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
平面曲线的方程与像绘制
平面曲线的方程与像绘制平面曲线是几何学中的重要概念，它可以通过方程来描述。
本文将探讨平面曲线的方程的基本形式以及如何利用这些方程绘制曲线的像。
一、直线的方程直线是最简单的平面曲线，可以用一元一次方程来表示。
一元一次方程的一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
例如，要绘制直线y = 2x + 1的像，我们可以选择合适的坐标轴范围，假设x的取值范围为[-5, 5]，然后逐个计算相应的y值。
将计算得到的点连接起来，就可以绘制出直线的像。
二、圆的方程圆是一个重要的平面曲线，可以用一元二次方程来表示。
一元二次方程的一般形式为x^2 + y^2 = r^2，其中r为圆的半径。
要绘制圆的像，我们可以选择圆心坐标及半径，然后利用参数方程的方法计算圆上每个点的坐标值，并将这些点连接起来。
例如，假设圆心坐标为(0, 0)，半径为5，我们可以选择相应的参数t的取值范围为[0, 2π]，计算得到每个点的坐标值(x, y)，并连接起来，就可以得到圆的像。
三、椭圆的方程椭圆是一种特殊的平面曲线，可以用一元二次方程来表示。
一元二次方程的一般形式为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
要绘制椭圆的像，我们可以选择椭圆的焦点坐标以及半长轴和半短轴的长度，然后利用参数方程的方法计算椭圆上每个点的坐标值，并将这些点连接起来。
例如，假设焦点坐标为(0, 0)，半长轴的长度为5，半短轴的长度为3，我们可以选择相应的参数t的取值范围为[0, 2π]，计算得到每个点的坐标值(x, y)，并连接起来，就可以得到椭圆的像。
四、抛物线的方程抛物线是一种特殊的平面曲线，可以用一元二次方程来表示。
一元二次方程的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
要绘制抛物线的像，我们可以选择适当的坐标轴范围，然后逐个计算抛物线上的点的坐标值，将这些点连接起来。
例如，假设抛物线方程为y = x^2，我们可以选择x的取值范围为[-5, 5]，然后计算得到每个点的坐标值(x, y)，并连接起来，就可以得到抛物线的像。
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C
O
P
A
设P点的坐标为( x, y ), 则内旋轮线的坐标式参 数方程为 a -b x (a - b) cos b cos b , a -b y (a - b) sin - b sin , b (- ).
B
C
O
P
A
练习：习题2.1 9
x cos , (0 2 ). y 2 cos 2 ,
由上式知, - 1 x 1, 1 y 3, 故参数方程与原 方程不等价 .
再如
x t 4 , 2 y t .
因x 0, y 0, 故方程表示的曲线只是第一象限的部分.
而消去t后得普通方程 y 2 x表示整条抛物线.
因此两方程不等价.
2 y 可得所求普通方程 x y 0.
并不是所有参数方程都能化成普通方程. 作业：习题2.1 1, 5, 6, 7, 8, 10
箕舌线
• 玛利亚· 阿涅西（1718年－ 1799年），意大利女数学家 兼哲学家. • 她写了第一本完整的微积分 教科书.
y
C P a r A
r OP OA AC CP. AC aj ,
o
x
r OP OA AC CP.
OA AP a
AC aj ,
其中 (CP, CA),
OA a i
曲线的参数方程
曲线常常表现为一个动点的运动轨迹，但运 动的规律往往不是直接反映为动点坐标 x 与 y 之间的关系，而是表现为动点位置随时间 t 变化的规律.
• 曲线的坐标式参数方程：
x x(t ), (a t b). y y(t ),
• 曲线的向量式参数方程：
设平面上取定的坐标系为O; e1, e2, 则向径
玛利亚· 阿涅西
箕舌线
• 2014年5月16日，Google 以 阿涅西的头像和箕舌线表示 以纪念她诞辰296年。
玛利亚· 阿涅西
CP (-a sin )i (-a cos ) j ,
r a( - sin )i a(1 - cos ) j , (- )
其坐标式参数方程：
x a( - sin ), (- ). y a(1 - cos ),
2a 2bt x- 2 , 2 2 b a t
b(b 2 - a 2t 2 ) 从而得 y 2 . 2 2 b a t
在曲线的参数方程与普通方程互化时, 必须 注意两种不同形式的方程应该等价.
如 y 2x 2 1, x R, y 1,
若令x cos , 则参数方程为
2.1 平面曲线的方程
平面曲线方程的定义：
如果曲线与二元方程 F ( x, y) 0 有下述关系：
（1）曲线上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲线上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x, y) 0 就叫做这条曲线的方程，而 这条曲线就叫做这个方程的图形．
例
求圆心在原点、半径为 R 的圆的方程.
o
x
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？ 旋轮线是最速降线
A
B
已知大圆半径为a，小圆半径为b，设大圆 例 不动，而小圆在大圆内无滑动的滚动，动圆周上 某一定点 P 的轨迹叫做内旋轮线（或内摆线）， 求内旋轮线的方程.
y
（圆内旋轮线）
所以取为参数且- , 则椭圆的参数方程
x a cos， (- ). y b sin .
解2 若令 y tx b， 代入原方程得
2a 2bt x 0， x - 2 , 2 2 b a t 因第二式已包含第一式 (t 0时, x 0), 取
解 设 M ( x, y) 是圆上任一点， 根据题意有 | OM | R
x2 y2 R
所求方程为 x 2 y 2 R 2
例
已知两点 A(-2,-2) 及 B(2,2) ，求满足条件
MA - MB 4 的动点 M 的轨迹方程 .
y
M
B(2,2)
o
A(-2,-2)
x
练习：习题2.1 2, 3
r (t ) x(t )e1 y(t )e2 (a t b).
向量函数
例 一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上的一 点的轨迹.
y
旋轮线（摆线）
oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
解
取直角坐标系，设半径为a 的圆在x 轴上滚动，
考虑动点P. 不失一般性，开始时动点P在原点O. 经过一段时间的滚动，与x 轴的切点移动到A，圆心 移到C的位置. 这时有，
y
C P a r A
o
x
其坐标式参数方程：
x a( - sin ), (- ). y a(1 - cos ),
取0 时, 消去 , 得P点轨迹在0 时 的一段的普通方程
y
a- y 2 x a arccos - 2ay - y . a
y
0
a
x
曲线的参数方程与普通方程的互化
注： 同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程.
x2 y 2 例 化椭圆 2 2 1为参数方程. a b 解1 设 x a cos， 代入原方程得 y b sin ，
若取 y -b sin ， 令 -t , 则
x a cos ，y -b sin ， 可变为 x a cos t，y b sin t.
卡西尼卵形线：
( x2 y 2 )2 - 2a2 ( x2 - y 2 ) m4 - a4
• 卡西尼卵形线，是到两定点的距离 之积是一常数的点的轨迹. • 椭圆，是到两定点的距离之和是 一常数的点的轨迹. • 双曲线，是到两定点的距离之差 是一常数的点的轨迹.
Giovanni Cassini 1625-1712
o
x
.
已知大圆半径为a，小圆半径为b，设大圆 例 不动，而小圆在大圆内无滑动的滚动，动圆周上 某一定点 P 的轨迹叫做内旋轮线（或内摆线）， 求内旋轮线的方程.
已知大圆半径为a，小圆半径为b，设大圆 例 不动，而小圆在大圆内无滑动的滚动，动圆周上 某一定点 P 的轨迹叫做内旋轮线（或内摆线）， 求内旋轮线的方程.
心形线 （圆外旋轮线）
y
.
o
a
a
x
心形线 （圆外旋轮线）
y
o
a
a
x 2a
.
例 把线绕在一个固定圆周上, 将线头拉紧
后向反方向旋转,以把线从圆周上解放出来, 使 放出来的部分成为圆的切线, 求线头的轨迹.
将绕在圆的细线 放开拉直，使细 线与圆周始终相 切，细线端点画 出的轨迹.
圆的渐伸线（切展线）