2021高考压轴题汇编高考导数压轴题全套教案 高考导数压轴题终极解答

2021高考压轴题汇编高考导数压轴题全套教案

高

考

导

数

压

轴

题

◇导数专题

目录

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1)

二、交点与根的分布 (23)

三、不等式证明 (31)

（一）作差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式

（三）替换构造不等式证明不等式

四、不等式恒成立求字母范围 (51)

（一）恒成立之最值的直接应用

（二）恒成立之分离常数

（三）恒成立之讨论字母范围

五、函数与导数性质的综合运用 (70)

六、导数应用题 (84)

七、导数结合三角函数 (85)

书中常用结论

⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x

x

<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.

一、导数单调性、极值、最值的直接应用

1.

（切线）设函数a x x f -=2)(.

（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；

（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.

解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3

3±

=x .)(x g '的变化情况如下表：x

0)33,

0(3

3)1,3

3(

1

)(x g '-0+)

(x g 0

↘

极小值

↗

所以当33=

x 时，)(x g 有最小值9

3233(-=g .(2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率1

12)(x x f k ='=曲线)(x f y =在点P处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--.令0=y ，得12

122x a x x +=，∴12

1

112

1

1222x x a x x a x x x -=-+=-∵a x >1，∴

021

21

<-x x a ，即12x x <.又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =⋅>+=+=1

11112

12222222所以a x x >>21.

2.（极值比较讨论）

已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；⑵当2

3

a ≠

时，求函数()f x 的单调区间与极值.解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

⑴.

3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当.

3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线=⑵[]

.

42)2()('22x e a a x a x x f +-++=.223

2

.220)('-≠-≠

-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令以下分两种情况讨论：

1

a 若＞

3

2

，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：x ()a 2-∞-，a 2-()22--a a ，2-a ()

∞+-，2a +

0—0+↗

极大值

↘

极小值

↗

.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以--∞+---∞a a a a x f .

3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数.

)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数2a 若＜3

2

，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：

x ()2-∞-a ，2-a ()a a 22--，a 2-()

∞+-，a 2+

0—0+↗

极大值

↘

极小值

↗

内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(a a a a x f --∞+---∞.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数.

3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极小值在函数3.

已知函数2

21()2,()3ln .2

f x x ax

g x a x b =

+=+⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值；

⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。