正切函数的图像和性质

三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
正切函数和正切线
定义域
y = tan x
终边不能落在y轴上。 终边不能落在 轴上。 轴上 定义域： 定义域： { x | x ≠
π
2
+ k ⋅π ,k ∈ Z }
周期性
y = sin x
y = cos x T = 2π
T = 2π
T = 2π T π
y = tan x
2 2 x∈[π + 2kπ , 3π + 2kπ ] 减函数 2 2
奇函数
y ∈ [−1,1]
x∈R
y ∈ [−1,1]
x∈R
x = 2kπ 时， ymax =1 x = π + 2kπ
时，ymin
= −1
x∈[−π + 2kπ , 2kπ ] x∈[2kπ , π + 2kπ ]
偶函数
增函数 减函数
3
2
3
2
3
所以原函数的周期是2. 所以原函数的周期是
（3）单调区间 ）
例6
2
π π y = tan x + 3 2
2 3 2
由 − π + kπ < π x + π < π + kπ , k ∈Z 解得
5 + 2k < x < 1 + 2k, k ∈Z − 3 3
(− 5 + 2k, 1 + 2k), k ∈Z 3 3
正切函数的性质
定义域 值 域 奇偶性 周期性 单调性 最值
{x x ≠
π
2
&函数
π
在( −
π
2
在R上没有单调性
+ kπ ,
π
2
+ kπ )上单调增
没有最值
例6
（1）定义域 ）
π π y = tan x + 3 2
π x + π ≠ π + kπ, k ∈Z
−
π
2
−
−
3π 8
π
4
−
π
8
π π 3π
8 4 8
π
2
图
y
象
3π − 2
−
π
2
π
2
3π 2
x
特
征
其中x的取值集合， 其中x的取值集合，即定义域为
{x | x ∈ R且x ≠ kπ +
练习： 练习：P45 2
π
又由图像可知正切函数的值域是实数集R 又由图像可知正切函数的值域是实数集R 值域是实数集
单调性 奇偶性 周期 对称性
2π 关于原点对称 对称轴： 对称轴： x = π + kπ , k ∈ Z
2π
对称中心： 对称中心：( π 对称轴： x = kπ 对称轴： 轴对称 , k ∈ Z 关于y轴对称 关于
2 对称中心： 对称中心： ( kπ , 0) k ∈ Z
2
+ kπ , 0) k ∈ Z
2
, k ∈ z}
观察图象， 值的范围： 例1.观察图象，写出满足下列条件的 值的范围： 观察图象 写出满足下列条件的x值的范围
(1)tan x > 0; (2)tan x = 0; (3)tan x < 0
解：
y
(1) x ∈ (kπ ,
(2) x = kπ
π
2
y = tan x
+ kπ )
k ∈Z
所以原函数的单调递增区间是
π π 思思： y = tan − x 的单调区间的？ 3 2
P46 A9（1） （ ）
解不等式 1 + tan x ≥ 0
π π 方法（ ） 方法（1）在 − 2 , 2
内找到相应的范围
（2）在两边加上 kπ ）
π
单调性
在每个分支里是单调递增的
π π +kπ +kπ , 增区间： 增区间： − 2 2
k∈Z
在某个区间内是增函数 是增函数， 注意： 注意：只能说 y = tan x 在某个区间内是增函数， 不能说 y = tan x 在定义域范围是增函数 在定义域范围是增函数 围是增函数.
sin ( x + π ) − sin x = = tan x ∵ tan ( x + π ) = cos ( x + π ) − cos x
奇偶性
f ( x ) = sin x , x ∈ R
f ( x ) = cos x , x ∈ R
f(x)=tanx的？ 的
为奇函数 为偶函数
利用正切线作正切函数的图像
性质
所谓函数的性质包括 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 其它（最值，定点等） 其它（最值，定点等）
函数
y
1
y=sinx
y
1
y=cosx
−π
π
图形 定义域 值域 最值
−π 2
0
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
0
-1
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
x = π + 2kπ时， ymax =1 2 x = − π + 2kπ时，ymin = −1 2 x∈[- π + 2kπ , π + 2kπ ] 增函数
2 3 2
1 3
解：原函数要有意义，自变量x应满足 原函数要有意义，自变量 应满足 即
所以， 所以，原函数的定义域是 {x | x ≠ + 2k, k ∈Z}.
x ≠ 1 + 2k , k ∈ Z 3
例6
（2）周期性 ）
2
π π y = tan x + 3 2
由于 tan[ π ( x + 2) + π ] = tan( π x + π + π ) = tan( π x + π )
k ∈Z
(3) x ∈ (−
π
2
+ kπ , kπ )
k ∈Z
− 3π 2
−π
−π 2
o
π
2
π
3π
2
x
特
征
1.有无穷多支曲线组成， 有无穷多支曲线组成， 有无穷多支曲线组成 由直线 x = + kπ , k ∈ Z 隔开 2 2.在每个分支里是单调递增的 在每个分支里是单调递增的 3 .关于原点对称（奇函数）. 关于原点对称（ 关于原点对称 奇函数）