线性方程组测试题
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
解线性方程组专项练习及测试(含专练60道)
解线性方程组专项练习及测试(含专练60
道)
解线性方程组专项练及测试（含专练60道）
简介
本文档旨在提供一套解线性方程组的专项练及测试，包含60
道题目。
通过这些练和测试，你将能够加深对线性方程组的理解，
熟练掌握解决线性方程组的方法和技巧。
练题目
以下是60道解线性方程组的练题目，请你根据题目要求解答。
1. 题目1
2. 题目2
3. ...
...
60. 题目60
说明
首先，根据题目给出的线性方程组，你可以使用多种方法求解，包括代入法、减法法、矩阵法等。
请根据实际情况选择合适的方法
进行求解。
其次，每道题目都有唯一的解或无穷多解。
请根据题目给出的
信息判断线性方程组的解的情况，并给出解的形式。
最后，当你完成所有题目时，请仔细检查答案，并核对解的正
确性。
如果有任何疑问或不明确的地方，请不要犹豫，随时向老师
或同学寻求帮助。
重要提示
请注意，本文档中的题目仅供练和测试使用，不作为正式考试
的题目。
完成这些题目将有助于你巩固知识点和提高解决线性方程
组问题的能力。
祝你考试顺利，取得好成绩！
参考答案
以下是练题目的参考答案，供你参考。
1. 答案1
2. 答案2
3. ...
...
60. 答案60。
湘教版数学八年级上册测试题及答案
湘教版数学八年级上册测试题及答案第一章线性方程组与解集1. 已知一线性方程组：$$\begin{cases}2x - y = 1 \\x + 3y = 2\end{cases}$$求该方程组的解。
答案：该线性方程组的解为 $x=1$，$y=0$。
2. 解方程 $\frac{1}{2}(5x - 4) - \frac{3}{4}(x - 3) = x + 2$。
答案：该方程的解为 $x=14$。
第二章平方根与线性方程1. 求解方程 $2x^2 - 5x - 12 = 0$。
答案：该方程的解为 $x=3$ 或 $x=-2$。
2. 求解方程 $(x+1)(2x-3)-(x-2)(3+x)=0$。
答案：该方程的解为 $x=\frac{5}{2}$ 或 $x=-\frac{10}{3}$。
第三章几何作图1. 在数平面中，作出一个边长为3个单位的正方形。
答案：请参考以下代码，可作出该正方形：from sympy import *A = Point(0, 0)B = Point(0, 3)C = Point(3, 3)D = Point(3, 0)Polygon(A, B, C, D)2. 在坐标平面上，以原点为圆心，半径为2的圆。
答案：请参考以下代码，可作出该圆：from matplotlib import pyplot as pltimport numpy as nptheta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)x = 2 * np.cos(theta)y = 2 * np.sin(theta)plt.plot(x, y)plt.axis('equal')plt.show()以上是湘教版数学八年级上册的测试题及答案的一部分。
请根据需要逐步添加并完善。
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数(A 卷)一、选择题(每小题3分，共15分)1 .设A 、B 是任意n 阶方阵，那么下列等式必成立的是() (A) AB BA (B) (AB)2 A 2B 2 (C) (A B)2 A 2AB B 2 (D) A B B A2 .如果n 元齐次线性方程组 AX 0有基础解系并且基础解系含有 s(s n)个解向量，那1 0 0210, A *是A 的伴随矩阵，则(A*)4 .设向量 (1, 1,1)T 与向量 (2,5, t)T 正交，则t5 .设A 为正交矩阵，则A1 11 6 .设a,b,c 是互不相同的三个数，则行列式ab c2,22a b c7 .要使向量组 1 (1, ,1)T , 2 (1,2,3)T, 3 (1,0,1)T 线性相关，则8 .三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3,那么A 1的特征值分别为么矩阵A 的秩为((A) n (B) )s (C)n s (D)以上答案都不正确 3 .如果三阶方阵A (a j )3 3的特征值为1,2,5 ,那么ana 22a 33 及A 分别等于()(A) 10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,4 .设实二次型f(x 1,x 2)2 (X ,X 2)4X 1 X 2的矩阵为A, 那么()2 3(A) A3 1 ⑻(C)1 1(D)5.若方阵A 的行列式A0, 则((A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 二、填空题(每小题3分，共30分)(B)A (D)A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关 的列向量组线性相关，行向量组线性无关1如果行列式D 有两列的元对应成比例，那么该行列式等于2.设A3.设，是非齐次线性方程组AX b 的解若也是它的解，那么关组和秩. 四、(10分)设有齐次线性方程组X 1 ( 1)X 2 X 3 0, (1)X 1 X 2 X 3 0, X 1 X 2 ( 1)X 3 0.问当 取何值时，上述方程组（1）有唯一的零解；（2）有无穷多个解，并求出这些解. 五、（12分）求一个正交变换X PY ,把下列二次型化成标准形：、222f （X 1,X 2, X 3） X 1 X 2 X 3 4X 1X 2 4X 1X 3 4X 2X 3.六、（6分）已知平■面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c 0, 12 : bx 2cy 3a 0, 13 : cx 2ay 3b 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.线性代数(A 卷)答案1. D2. C3. B4. A5. A■-4*11.02. (A ) A3. 14. 35. 16. (c a)(c b)(b a)7. 08. 1,9.411 t 0 10. A I 5 42、1.解由AX(A I ) 1B . (2分)9 .若二次型 f(X i ,X 2,X 3)X 21 x 22 5x 23 2tX i X 2-2X 1X 3 4X 2X 3 是正定的，则 t 的取值范围10 .设A 为n 阶方阵，且满足A 2 2A 4I 0,这里I 为n 阶单位矩阵，那么A 1三、计算题（每小题9分，共27分）1 .已知A 1 00 1 ,求矩阵X 使之满足AX 0 0X B.2 .求行列式的值.3求向量组 (1,0,1,0), 2 ( 2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 （4, 3,1, 3,）的一个最大无或-1由于1 23 4 1 2 3 41 2 3 4 0 1 1 3 r r 0 1 1 3 「3 5r 2 0 1 1 3 1 3 01 UUuLu 0 5 3 3 LuiuiUj2 0 0 2 12 0 73 3 0 733424四、解 方程组的系数行列式卜面求 (A I ) 由于(4分）(A I)所以 (A I) (7分）2.解 10 10 10 1010(9 分)10(4 分）(8160 (9 分)3.解 故向量组的秩是UjuniUr31 2 03 12 0(6分)3是它的一个最大无关组。
线性代数练习册附答案
第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)⎩⎨⎧==011y x x ； (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求3AB -2A 和A TB .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换 32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E . 当f (x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O .(2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .7. 设方阵A 满足A 2-3A -2E =O ，证明A 及A -2E 都可逆，并用A 分别表示出它们的逆矩阵．8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2001Λ，求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .12. 设102212533A--⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭, 利用初等行变换求A-1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（ ）. (A) ACB =E ； (B) CBA =E ； (C) BAC =E ； (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； (C) P 1P 2A =B ； (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ，则C -1=（ ）. (A) A -1P 1P 2； (B) P 1A -1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（ ）. (A) A -E 不可逆 ； (B) A -2E 不可逆 ； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆. 5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A TB ，求C n.6. 证明：如果A k =O ，则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1，k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ，求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X （021≠n a a a ），求X -1.第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时，0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数：(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).4. 证明： 3232a cb a b a ac b a b a a c b a=++++++.5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------ (2) yxy x x yx y y x yx +++(3) 0111101111011110(4) 1222123312111x x x x x x（5）nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a ．7．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： |A*|=|A|n-1，(n ≥2)．8. 设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2，|B|=1，计算 |-2A*B-1|．9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ，利用公式求A -1.复习题二1．设A , B 都是n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A *、B *，证明：(AB )*= B *A *．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ，求A -1．3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是31矩阵，设A =( A 1, A 2, B 1,)，B =( A 1, A 2, B 2)，|A |=2，|B |=3，求|A+2B |．4．设A , B 都是n 阶方阵，试证：AB E E A B E-=．第3章向量空间习题1. 设α1=(1,-1,1)T, α2=(0,1,2)T, α3=(2,1,3)T，计算3α1-2α2+α3．2. 设α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,-1,1)T,且3(α1- x)+2(α2+x)=5(α3+x) ,求向量x.3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T, α2=(2,-6,-2)T, α3=(5,4,1)T；(2) β1=(2,3,0)T, β2=(-1,4,0)T, β3=(0,0,2)T .4. 设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．5. 设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.6. 求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.7. 设α1, α2,…, αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1, α2,…,αn线性无关．8. 设有向量组α1, α2, α3,α4, α5，其中α1, α2, α3线性无关，α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组α1, α3,α4, α5的秩．9. 设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1)，求秩R(A T B).10. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的秩，并写出A 的一个最高阶非零子式.11. 已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ，若A 的秩R (A )=2，求参数t 的值.12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ，求A 的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明：如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n ．14. 已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β，求由基α1, α2, α3到基β1, β2, β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ，已知A 的秩为3，求k 的值.2．设向量组A : α1, …,αs 与B : β1,…,βr ，若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )＝(α1, …,αs )K ，其中K 为r s ⨯矩阵, 试证：B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )＝r .3．设有三个n维向量组A：α1, α2, α3；B：α1, α2, α3,α4；C：α1, α2, α3,α5．若A组和C组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组α1, α2, α3,α4-α5线性无关．4．设向量组A: α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T和B:β1=(-1,1,0)T,β2=(1,1,1)T,β3=(0,1,-1)TR的基；(1) 证明：A组和B组都是三维向量空间3(2) 求由A组基到B组基的过渡矩阵；(3) 已知向量α在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求α在A组基下的坐标．第4章 线性方程组习 题1. 写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 43212321321x x x k x kx x x k x x ，讨论当k 为何值时， (1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-026 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解．7 .求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8. 设有向量组A ：12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 问向量β能否由向量组A 线性表示？9. 设η*是非齐次线性方程组AX=b的一个解，ξ1, ξ2,…, ξn-r是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）η*, ξ1, ξ2,…, ξn-r线性无关；（2）η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn-r线性无关．复习题四1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ，且方程组AX =θ的解空间的维数为2，则a = .2．设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零，则它的基础解系所含向量个数为 .3.设有向量组π：α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ，问a ,b 为何值时,（1）向量β不能由向量组π线性表示；（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．4．设四元齐次线性方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+004221x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系；(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．5．设矩阵A =(α1, α2, α3, α4)，其中α2, α3,α4线性无关，α1=2α2-α3，向量β=α1+α2+α3+α4，求非齐次线性方程组Ax= β的通解．6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关，且向量组γβα,,线性相关．第5章矩阵的特征值和特征向量习题1.已知向量α1=(1,-1,1)T，试求两个向量α2, α3，使α1, α2, α3为R 3的一组正交基．2.设A, B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵．3. 设A是n阶正交矩阵，且|A|=-1，证明：-1是A的一个特征值．4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，计算行列式|A 3-5A 2+7E |．6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似，求y x ,；并求一个正交矩阵P ，使P -1AP =Λ．7.将下列对称矩阵相似对角化：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004．8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值，证明：(1) A是A *的特征值．(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A *的特征值．9.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3，属于特征值λ1=6的特征向量为p1=(1,1,1)T，求矩阵A．复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 ．2.已知3阶矩阵A , A -E , E +2A 都不可逆，则行列式|A +E |= ．3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ，已知A 与B 相似，则a , b 满足 ．4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量，A α1=0, A α2=2α1+,α2，则A 的非零特征值为 .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，求x ．6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，证明A 的特征值只能是1或2．7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量． (1) 求参数a , b 及特征值λ； (2) 问A 能否相似对角化？说明理由．8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ，求φ(A )=A 10-5A 9．第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式：42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型．3. 已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为２，求a 的值．4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形．5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ，若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=，求a 的值．7. 判别下列二次型的正定性：（1）312123222122462x x x x x x x f ++---=（2）4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a 的取值范围．复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵，B =λE +A TA ，试证：λ>0时，矩阵B 为正定矩阵．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ，通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ，求b a ，的值．4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，2）（A E B +=k ，其中k 为实数，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并讨论k 为何值时，B 为正定矩阵．测试题一一、计算题：1.计算行列式111131112+=n D n . 2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ，计算T B A 3． 3．设A 、B 都是四阶正交矩阵，且0<B ，*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式 *2BAA -．4．设三阶矩阵A 与B 相似，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ，计算行列式 E B 22-． 5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ，且A 的秩为2，求常数b a ,的值． 二、解答题： 6．设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α，其中4321,,,t t t t 是各不相同的数，问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示？说明理由．7．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．8．问k 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解．9．已知四阶方阵A ＝（4321,,,αααα），其中321,,ααα线性无关，3243ααα-=，求方程组4321αααα+++=Ax 的通解．10．三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1.三、证明题:11．设2112ααβ+=，32223ααβ+=，13334ααβ+=，且321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关．12．设A 为实对称矩阵，且满足O E A A =--22，证明E A 2+为正定矩阵．。
高等代数Ⅰ第二章 线性方程组测试题
η1,η2 ,",ηn−1 线性无关。（10 分）
八、已知α1
=
(0,1,0),α 2
=
⎧
(−
3,2,2)
是方程组
⎪ ⎨
x1 − x2 + 2x3 = −1 3x1 + x2 + 4x3 = 1
的两个解，求此方程的
⎪⎩ax1 + bx2 + cx3 = d
一般解。（10 分）
九、设α1,α2 ,",αt 是齐次方程组②的基础解系， β1 = α2 + α3 + "+ αt , β2 = α1 + α3 +
β4
= α4
− α1 ，那么，
β
1
,
β
2
,
β
3
,
β
必线相关
4
。
⒉等价的向量组有相同的极大关组。
（） （）
⒊设 A是n级方阵, 那么A的行向量线性无关当且仅当 A 的列向量线性无关。（ ）
⒋如果非齐次线性方程组①的系数矩阵的秩小于 n ，那么①的基础解系一定存在，但未
必是唯一的。
（）
⒌非齐次线性方程组的任意两个解向量的和仍是它的解。
⒊设齐次线性方程组
⎪⎪⎨a21x1 ⎪
+
a22 x2 + "+ a2n xn """"
=
0
②
⎪⎩a s1 x1 + as2 x2 + "+ asn xn = 0
只有零解, A 表示其系数矩阵,那么( )
(A) A 的列向量线性相关;
(B) A 的列向量性无关;
线性分析测试题及答案
线性分析测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 线性方程组的解法中，使用高斯消元法的步骤不包括以下哪一项？A. 将方程组写成增广矩阵的形式B. 将矩阵进行行变换C. 将矩阵的列进行交换D. 将矩阵的行进行交换答案：C2. 线性相关和线性无关的概念中，以下说法正确的是？A. 线性相关是指一组向量中至少有一个向量可以由其他向量线性表示B. 线性无关是指一组向量中没有一个向量可以由其他向量线性表示C. 线性相关和线性无关是相同的概念D. 线性相关是指一组向量中所有向量都可以由其他向量线性表示答案：B3. 在线性代数中，以下哪个矩阵是可逆的？A. 对角矩阵B. 零矩阵C. 奇异矩阵D. 单位矩阵答案：D4. 线性空间的基具有以下性质？A. 基是线性空间中的一组线性无关的向量B. 基是线性空间中的一组线性相关的向量C. 基是线性空间中的一组向量，但不一定线性无关D. 基是线性空间中的一组向量，但不一定线性无关答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知数的个数，则该方程组有________解。
答案：唯一2. 线性方程组中，若系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则该方程组有________解。
答案：无3. 线性空间的维数是指基中向量的个数，也称为线性空间的________。
答案：维度4. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则它们构成的矩阵的行列式________。
答案：不为零三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述线性方程组解的存在性与系数矩阵的秩之间的关系。
答案：线性方程组的解的存在性与系数矩阵的秩密切相关。
如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且等于未知数的个数，则方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩但小于未知数的个数，则方程组有无穷多解。
2. 什么是线性空间？请给出一个例子。
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数习题大全试题与答案解析
3. 求实数a和b, 使向量组1 1,1,0,0,2 0,1,1,0 3 0,0,1,1与向量组1 1, a, b,1, 2 2,1,1,2, 3 0,1,2,1等价.
三、证明题 (每小题8分，共24分)．
1.设A为m n矩阵, B为n m矩阵,且m n,试证明
det(AB) 0.
1 2
1 4 7 2
1 10 17 4
4
1
3 3
2．求解下列线性方程组
1
23xx112xx2263xx3345xx4423xx55
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
x1 3 x2 3 x3 2 x4 x5 3
2
2 x1 6 x2 x1 3 x2 2 x3
有非零解？
四、证明(每小题8分，共24分)．
a2 b2 1. c2 d2
a 12 b 12 c 12 d 12
0;
a 22 b 22 c 22 d 22
a 32 b 32 c 32 d 32
2 cos
1
2. Dn
1
2 cos
1
sinn 1 ;
sin
1 1
1 2cos
10100 11000
5. 已知A 0 1 1 0 0则秩RA
00110 01011
6. 方程组AX 0以1 1,0,2,2 0,1,1为其基
础解系, 则该方程的系数矩阵为
7. 设
1
2,
1,2,3,
A
,则秩RA
3
8.向量组1 1,2,3,4,2 2,3,4,5,3 3,4,5,6
其余情形, 方程组无解.
通解为x
2 2
线性代数三四章复习试题 (1)
说明： 本试卷将作为样卷直接制版胶印，请命题教师在试题之间留足答题空间。
一、填空题1.设A 为33×矩阵,且线性方程组A x =0的基础解系含有两个线性无关的解向量,则()r A = ___________.2.已知A 有一个特征值－2，则B=A 2+2E 必有一个特征值为___________.3.方程组0321=−+x x x 的通解是______________________.4.向量组α1 =(1,0,0)T α2 =(1,1,0) T , α3 =(-5,2,0) T 的秩是___________.5.矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200020002的全部特征向量是______________________.6.若α=(1,-2,x )与),1,2(y =β正交,则x y=___________.7.矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤−301012121所对应的二次型是______________________.8.已知向量组⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4212,0510,2001321t ααα的秩为2，则数t =__________. 9.设向量α=（2，-1，21，1），则α的长度为__________. 10.设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β3等价，则向量组β1，β2，β3的秩为__________.11.设方程组⎩⎨⎧=+=+02022121kx x x x 有非零解，则数k =__________. 12.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为___________.13.已知向量α=（1，-2，3，4）与β=（3，a ，5，-7）正交，则数a =__________.14.设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则r （A ）=__________.15.已知3阶矩阵A 的3个特征值为1，2，3，则|A *|=__________.二、选择题说明： 本试卷将作为样卷直接制版胶印，请命题教师在试题之间留足答题空间。
线代第一章测试题及答案
线代第一章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是线性代数的研究对象？A. 向量空间B. 线性方程组C. 矩阵D. 微分方程答案：D2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行（或列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵答案：B4. 向量空间的基是指：A. 空间中的任意一组向量B. 空间中的一组线性无关的向量C. 空间中的一组线性相关的向量D. 空间中的一组正交向量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素个数称为矩阵的______。
答案：阶数2. 如果一个矩阵的行向量组线性无关，则该矩阵是______矩阵。
答案：满秩3. 向量空间中，一组向量如果满足线性组合的系数全为零，则称这组向量是______的。
答案：线性无关4. 一个n阶方阵的行列式等于______。
答案：0三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是线性方程组的解。
答案：线性方程组的解是指满足方程组中所有方程的未知数的取值。
2. 请解释什么是矩阵的转置。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行向量变成列向量，列向量变成行向量，即交换矩阵的行和列。
四、计算题（每题15分，共40分）1. 计算矩阵A的行列式，其中A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]。
答案：\[ \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 已知矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求B的逆矩阵。
答案：\[ B^{-1} = \frac{1}{(2)(2) - (1)(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\-2 & 1 \end{bmatrix} \]。
一、线性代数测试题及习题选解
第一章 行列式测试题一、填空题1. 排列134782695的逆序数为 .2. 已知2413201xx的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A . 3、________9124943332212441002700001300=--；4、设方程0111111211122221121112=-------n n n n n n n a a a a a a a a a xxx，其中()1,,2,1-=n i a i 互不相等，则方程的全部解为________；5、设3256411222245233355554321=D 则________333231=++A A A ；________3534=+A A ； ________3534333231=++++A A A A A ；二、选择题1、 n 阶行列式D 非零的充要条件是________；（a ）D 的所有元素非零； （c ）D 的任意两列元素之间不成比例 （b ）D 至少有n 个元素非零；（d ）以D 为系数行列式线性方程组有唯一解；2.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++c z y x b z y x az y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111cb a （ ）. （a ） 0 （b ） 1 （c ） -4 （d ） 4 3、 ______=xyyy x yyy x； （a ）()3y x - ； （b ）()()22y x y x ++； （c ）()()22y x y x -+ ； （d ）()()22y x y x +-4、若111213212223313233a a a D a a a a a a =，1112131212223313233222222222a a a D a a a a a a =，则1D =（ ）. （a ）2D ； （b ）-2D ； （C ）8D ； （d ）-8D三. 计算行列式1、6003003013952001992041001032、6142302151032121----3、yy x x -+-+1111111111111111 4、aa a a a a a a a ---------1111000110001100015、11111111111121+++n a a a，021≠n a a a四、证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑=ni i n n a a a a a a a a a D 102121010100101111；五.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+-=-+-=+-+44637232232432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x六、问λ、μ取何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？第二章 矩阵与向量测试题一. 填空题:1.设n 维向量321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα--- 的秩=r .2.向量组γβα,,线性相关的充分必要条件为 .3.设21,αα线性无关，而321,,ααα线性相关，则向量组3213,2,ααα 的极大无关组为 .4.已知)8,,6,2(),4,2,3,1(21k ==αα线性相关,则=k .5.已知向量组γβα,,线性相关，而向量组,,γβδ线性无关，则向量组γβα,,的秩为 .二. 判断题1.如果向量组,,αβγ只有一个极大无关组，则,,αβγ一定线性无关. ( )2.设,αβ线性相关，0γ≠，则α+γ与β+γ也线性相关. ( )3.如果20α-β+γ≠,则,,αβγ线性无关. ( )4.向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数. ( )5.如果向量组12(,),(,)a b c d α=α=线性无关，那么向量组1(,)a c β=,2β=(,)b d 一定线性无关. ( )三. 设向量(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0),α=β=γ=求α-β及32α+β-γ.四.判断下列向量组的线性相关性:1.)7,4,2(1=α,)5,2,0(2=α,)1,1,1(3=α2.),,(1z y x =β, ),,(2y z x =β,),,(3x z y =β,),,(4y x z =β五. c 取何值时，向量组111111(,,),(,,),(,,)222222c c c ------线性相关?六.求下列向量组的秩及一个最大无关组，并把剩余向量用最大无关组线性表示：1.1(1,2,1,4)=-α，2(9,100,10,4)=α，3(2,4,2,8)=---α2.123(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7)==---=---βββ七. .已知向量组123(1,2,3),(3,0,1),(9,6,7)'''α=-α=α=-与向量组1(0,1,1)'β=- ，23(,2,1),(,1,0)a b ''β=β=具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值.八. 已知321ααα,,是3R 的一组基,证明,21αα+,32αα+13αα+线性无关.九. 求矩阵310211211344⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩.十.对于λ的不同取值，矩阵11221511061Aλ-⎡⎤⎢⎥=-λ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩为多少？第三章 矩阵的运算测试题一． 判断题1．2222)(B AB A B A ++=+ （ ） 2．22))((B A B A B A -=-+ （ ） 3．若A A =2，则E A =或0=A （ ） 4．若AY AX =，且A 可逆，则Y X = （ ）二．填空题1．n 阶方阵A 可逆的充要条件是 _______________________________。
线性方程组测试题
线性方程组测试题在代数学中，线性方程组是由多个线性方程组成的一组方程。
解线性方程组意味着找到满足所有方程的变量值。
本文将提供一套线性方程组测试题，旨在帮助读者巩固对线性方程组求解的理解与应用。
1. 题目一解下列线性方程组：2x + 3y = 74x - y = 112. 题目二求解下列线性方程组：x + y + z = 62x - y + z = 1x + 2y - z = 33. 题目三给定以下线性方程组：3x - 4y = 1-2x + 5y = -3求该线性方程组的解。
4. 题目四考虑以下线性方程组：2x - y + 3z = 2-x + 2y - z = -4x + y + 2z = 5求解该线性方程组并判断解的类型。
5. 题目五解下列线性方程组：x + y = 52x - y = 1如果有解，请求解，并给出解的几何解释；如果无解，请说明原因。
6. 题目六给定以下线性方程组：x + 2y = 73x + 4y = 182x - y = 4通过矩阵的方法求解该线性方程组。
7. 题目七确定以下线性方程组的解集并解释几何意义： x + y + z = 0x - y + z = 2x + y - z = -28. 题目八解下列线性方程组，并判断解的类型：x + y - z = 22x - y + z = 1x + 2y = 5如果有解，请求解；如果无解，请说明原因。
9. 题目九给定以下线性方程组：x + 2y + 3z = 12x - y + z = 6x + 5y - z = 3通过高斯消元法求解该线性方程组。
10. 题目十解下列线性方程组：x + y + z = 22x + y - z = -13x - y + 3z = 10并判断解的类型。
通过完成以上线性方程组测试题，相信读者对线性方程组的求解已经有了一定的掌握。
在实际应用中，线性方程组是十分常见的数学工具，它能够描述和解决许多实际问题。
04184线性代数模拟测试题(二)
04184线性代数模拟测试题（二）一、单项选择题：（每小题4分，本题共32分）1.A*是A的伴随矩阵，且，刚A的逆矩阵才=( )。
A.AA*B.A*C.D.A′A*2．设2阶行列式＝－1，则=Α.-2B.-1C.1D.23.如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（）.A.相等;B.所含向量的个数相等；C.不相等;D.秩相等.4．设线性方程组有非零解，则k的值为（）A.-2B.-1C.1D.25.设向量组α＝（1，0，0）T，＝（0，1，0）T，下列向量中可以表为α，线性组合的是（）A.（2，1，0）TB.（2，1，1）TC.（2，0，1）TD.（0，1，1）T6．设A＝，且A的特征值为1，2，3，则x＝（）A.-2B.2C.3D.47．设矩阵Α＝，则二次型x TΑx的规范形为（）A.B.C.D.8.对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是（）.A.两矩阵的特征值相同;B.两矩阵的秩相等;C.两矩阵的特征向量相同;D.两矩阵都是方阵。
二、填空题：（每小题4分，本题共20分）1.若行列式：=0 ,则x=_______。
2.已知矩阵A＝（1，2，－1），B＝（2，－1，1），且C＝ΑT B，则C＝___________.3.设=(1 1 0),=(0 3 0),=(1 2 0)，则=_______。
4.设线性方程组有解，则数a，b，c应满足__________.5．二次型f（x1，x2，x3）＝x1x2＋x2x3的矩阵为__________.三、计算题：（每小题8分，本题共40分）1.设A＝，其中αi≠0（i＝1，2，3，4），求Α－1.2.设矩阵A＝，求A2－3A＋E.3.计算行列式:4.设线性方程组确定α，b为何值时方程组有无穷多解并求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.5.求向量组α1=（1，2，1，4）T，α2=（0，3，－1，－3）T，α3＝（1，-2，8，8）T，α4＝（2，3，8，9）T的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表出.四、证明题（本题共8分）1.设A,B为r阶矩阵，且证明：成立的充要条件是。
八年级数学线性方程专项练习题及答案
八年级数学线性方程专项练习题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性方程？A. 2x - 3y = 7B. 3x² + 4y = 5C. 5x + 2y = 0D. x + y = 9答案：B2. 解方程组 x + y = 10，x - y = 4，得出 x 和 y 的值分别为：A. x = 6, y = 4B. x = 7, y = 3C. x = 8, y = 2D. x = 9, y = 1答案：A3. 若 x = 3 是线性方程 2x + y = k 的解，则 k 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D二、填空题1. 解方程 4x - 6 = 10，得出 x 的值为 __________。
答案：42. 若解方程组 2x - 3y = 7，-5x + 4y = -2，得出 x = __________，y = __________。
答案：x = -1，y = -13. 若线性方程 3x + 2y = 12 的一个解为 (3, 2)，则这个线性方程的另一个解为 _________。
答案：(6, 0)三、解答题1. 解方程 2(x + 3) = 4x + 10。
解法：首先将方程中的括号去掉，得到 2x + 6 = 4x + 10。
然后移项，将含有 x 的项放在一起，得到 2x - 4x = 10 - 6。
简化得到 -2x = 4。
最后将方程两边除以 -2，得到 x = -2。
答案：x = -22. 解方程组 2x - y = 3，x + 2y = 4。
解法：首先使用第二个方程解出 x 的值，得到 x = 4 - 2y。
然后将 x 的值代入第一个方程，得到 2(4 - 2y) - y = 3。
化简得到 8 - 4y - y = 3。
合并同类项得到 8 - 5y = 3。
移项得到 -5y = -5。
最后将方程两边除以 -5，得到 y = 1。
将 y 的值代入 x = 4 - 2y，得到 x = 4 - 2(1) = 2。
《线性代数》练习题库参考答案
《线性代数》练习测试题库一.选择题1、=-0000000000121nn a a a a （ B ）A. n n a a a 21)1(-B. n n a a a 211)1(+-C. n a a a 212、n 阶行列式0000000000a a a a= （ B ）A.na B. (1)2(1)n n n a -- C. (1)n n a -3、n21＝ （ B ）A. (1)!nn - B. (1)2(1)!n n n -- C. 1(1)!n n +-4、 A 是n 阶方阵，m, l 是非负整数，以下说法不正确的是 （ C ）. A. ()m l mlA A = B. mlm lA A A+⋅= C. m m mB A AB =)(5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是 （ C ） A. C 为m t ⨯矩阵； B. C 为n t ⨯矩阵； C. C 为n s ⨯矩阵6、下面不一定为方阵的是 （C ）A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C. 线性方程组的系数矩阵.7、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是 （A ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 8、 分块矩阵 00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（其中A 、B 为可逆矩阵）的逆矩阵是 （ A ）A. 1100A B --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 00BA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是 （ A ）A.()()r A r A b A ==的列数B.()()r A r A b = .C.()()r A r A b A ==的行数10、线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是 （A ）A. 2,1-≠aB. 21-==a a 或.C. 1≠a11、 的是则下面向量组线性无关），，，＝（），，，＝（)6,2,4(054312--=--γβα（B ）A. 0，，βα B. γβ， C. γα， 12、设A 为正交矩阵，下面结论中错误的是 （ C ）A. A T 也为正交矩阵.B. A -1也为正交矩阵.C. 总有 1A =-13、二次型()233221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为 （ C ）A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000032002010011 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩，p 是二次型的正惯性指数，q 是二次型的负惯性指数，s 是二次型的符号差，那么 （ B ）A. q p r -=；B. q p r +=；C. q p s +=； 15、下面二次型中正定的是 （ B ）A. 21321),,(x x x x x f =B.2322213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f +=二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0. （ ⨯ ）2、A 与B 都是3×2矩阵，则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。
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课程名称： 工程数学 考试章节： 线性方程组 考生姓名：
一、单选（每题3分，共30分）
1. 1、向量组α1，α2，⋯αr 线性相关，且秩为
，则（ ）
A.s r = B ．s r ≤ C.r s
≤ D ．r s < 2. 已知向量T T
)0,3,4,1
(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α，则=β+α（ ）
A ．T
)1,1,2,0(-- B ．T
)1,1,0,2(-- C ．T )0,2,1,1(--
D ．T
)1,5,6,2(---
3. 下列命题中错误的是（ ）
A.只含有一个零向量的向量组线性相关
B.由3个2维向量组成的向量组线性相关
C.由一个非零向量组成的向量组线性相关
D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
4. 设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ） A.
21α+α
B. 21α-α
C. 21α+α+β
D. 213
231α+α+β
5. 对于同一矩阵,关于非齐次线性方程组
()和齐次线性方程组,
下列说法中正确的是( )
A. 无非零解时, 无解
B.有无穷多解时,有无穷多解
C.无解时, 无非零解
D. 有唯一解时, 只有零解 6. 设21,αα是⎩⎨
⎧=-=-+0
21
21321x x x x x 的二个解，则__________。
A. 21αα-是⎩⎨⎧=-=-+02021321x x x x x 的解
B. 21αα+是⎩⎨⎧=-=-+0
20
21321x x x x x 的解
C.
12α是⎩⎨⎧=-=-+02121321x x x x x 的解 D. 22α是⎩
⎨⎧=-=-+02121321x x x x x 的解
二、填空(35分)
1.设()0,2,11
=α,()3,0,12-=α,()4,3,23=α，则32132ααα-+=______________
2.
设
()0,0,11=α,()0,1,12=α,()1,1,13=α,()3,2,1=β，且有
332211αααβx x x ++=，则=1x ______，=2x ______，=3x ______
3. 对于m 个方程n 个未知量的方程组0=AX ，若有r A r =)(，则方程组的基础解系中有
________个解向量。
4. 已知A 是4×3矩阵，且线性方程组B AX =有唯一解，则增广矩阵A 的秩是_________。
三. 计算(20分)
1.(10分) 已知向量组[][][]
123=
1
01,=035,=237T T T
ααα，则求该向量
组的秩和一个极大线性无关组。
2. (5分) 设1α=（1，2，4），2α=(-1,-2,y)且1α与2α线性相关，则求y 的值
A =Ax b ≠0b =0Ax =0Ax =Ax b =0Ax =Ax b =Ax b =0Ax =Ax b =0Ax
4. (15分) 求解方程组135245234
000x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩的解
5. (15分) 求非齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=--+=+--=--+0
89544331
34321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解.;
6. (10分) 问a 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=+=++6
32222432321
32321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？
四. 证明(9分)
321,,ααα线性无关，证明312113,2,α+αα+αα也线性无关.。