数字信号处理知识总结
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1. 傅里叶变换
有限长序列 可看成周期序列
的一个周期； 把 看成 的以N 为周期的周期延拓。 有限长序列的离散傅里叶变换（DFT ）：
① 长度为N 的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限
长序列；
② x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知x(n) 就能唯一地确定 X(k)；
同样已知X(k)也就唯一地确定x(n)。实际上x(n)与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N 个独立值，因而具有等量的信息； ③ 有限长序列隐含着周期性。
)(n x )(n x )(~n x )(~n x ⎩⎨⎧===)())(()()(~)())(()(~n R n x n R n x n x n x n x N N N N ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧====∑∑-=--=101
)(1)]([)()()]([)(N k nk N
N n nk N
W k X N k X IDFT n x W n x n x DFT k X
2.循环卷积（有可能会让画出卷积过程或结果）
循环卷积过程为：
最后结果为：
3.（见课本）
课本
3、线性卷积（有可能会让画出卷积过程或结果）
以下为PPT上的相关题目：
4.计算分段卷积：重叠相加法和重叠保留法（一定会考一
种）
重叠相加法解题基本步骤:
将长序列均匀分段，每段长度为M；
基于DFT快速卷积法，通过循环卷积求每一段的线性卷积；
依次将相邻两段的卷积的N-1个重叠点相加，得到最终的卷积结果。
4.级联、并联、直接形（画图） 以下为课后作业相关题目：
1. 已知系统用下面差分方程描述:
)
1(31
)()2(81)1(43)(-+--n x n x n y n y n y ＋－＝
试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x (n )和y (n )分别表示系统的输入和输出信号。
解： 将原式移项得
)
1(31
)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y
将上式进行Z 变换， 得到
1
21)(31)()(81)(43)(---+=+-z
z X z X z z Y z z Y z Y
2
11
8
1431311)(---+-+=
z z z z H
(1) 按照系统函数
H(z)， 根据Masson 公式， 画出直接型结构如
题1解图（一）所示。
(2) 将H (z )的分母进行因式分解：
)41
1)(211(31181431311)(111
211--------+=+-+=z z z z z z z H
按照上式可以有两种级联型结构:
画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示
画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示
(3) 将H (z )进行部分分式展开：
)
4
11)(211(3
1
1)(111
-----+=
z z z z H 4121)41)(21(31
)(-+-=--+
=z B z A z z z z
z H 4
137
21310)(-
--=z z z
z H 11411372113104137)21(3
10)(----
+-=---=z z z z z z z H
1
1141
11
211311)(----⋅-+
=z z z z H 11
14
11311 2111)(----+⋅-=z z z z H 11
14
11311 2111)(----+⋅-=z z z z H
根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。
3. 设系统的差分方程为
y(n)=(a+b)y(n－1)－aby(n－2)+x(n－2)+(a+b)x(n－1)+ab
式中, |a|<1，|b|<1, x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号, 试画出系统的直接型和级联型结构。
解：(1) 直接型结构。将差分方程进行Z变换，得到
Y(z)=(a+b)Y(z)z－1－abY(z)z－2+X(z)z－2－(a+b)X(z)z－1+ab
2
1
2
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
-
-
-
-
-
+
-
+
+
-
=
=
abz
z
b
a
z
z
b
a
ab
z
X
z
Y
z
H
按照Masson公式画出直接型结构如题3解图（一）所示。
(2) 级联型结构。将H(z)的分子和分母进行因式分解，得到
)
(
)
(
)
1
)(
1(
)
)(
(
)
(
2
1
1
1
1
1
z
H
z
H
bz
az
z
b
z
a
z
H=
-
-
-
-
=
-
-
-
-
按照上式可以有两种级联型结构:①
画出级联型结构如题3解图（二）(a)所示
画出级联型结构如题3解图（二）(b)所示
1
1
11
)
(
-
-
-
-
=
bz
a
z
z
H
1
1
21
)
(
-
-
-
-
=
az
b
z
z
H
1
1
11
)
(
-
-
-
-
=
az
a
z
z
H
1
1
21
)
(
-
-
-
-
=
bz
b
z
z
H