2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷

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2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(1)

页脚内容12017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1）姓名_______一、填空题1、已知函数1)1(ln )(22+-+=ax x a x f )0(>a ，则=+)1(ln )(ln af a f ____________.2、A ,B 两点分别在抛物线x y 62=和1)2(:⊙22=+-y x C 上，则AB 的取值范围是____________.3、若⎪⎭⎫⎝⎛<≤<=20tan 3tan παβαβ，则βα-的最大值为____________.4、已知△ABC 等腰直角三角形，其中∠C 为直角，AC =BC =1，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得DB =1，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小值为____________.页脚内容25、已知函数x x x f 3)(3+=，对任意的[]2,2-∈m ，0)2()8(<+-xf mx f 恒成立，则正实数．．．x 的取值范围为____________.6、已知向量c ,b ,a 满足)(3::2||:||:||*N k k ∈=，且)(2-=-，若α为,的夹角，则αcos 的值为____________.7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________.8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________.页脚内容3二、解答题9.(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ，向量()B C A sin ,sin sin +=p ，向量),(a b c a --=q ，且满足q p ⊥.(Ⅰ)求△ABC 的内角C 的值；(Ⅱ)若c =2，2sin2A +sin(2B +C )=sin C ，求△ABC 的面积.10.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：n n n a a ,a a 22211+==+.(1)求证：数列{})1lg(+n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式;(2)若211++=n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1<n S .页脚内容411.(本小题满分14分)设a ax e x f x--=)(.（e 是自然对数的底数）(Ⅰ)若0)(≥x f 对一切1-≥x 恒成立，求a 的取值范围；(Ⅱ)求证：211008)20162015(-<e .页脚内容512.(本小题满分15分)设正数x ,y 满足y x y x -=+33，求使122≤+λy x 恒成立的实数λ的最大值.13.(本小题满分15分)已知椭圆12:22=+y x C 及点)21,1(P ，过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作C 的切线交于点Q .(1)求点Q 的轨迹方程； (2)求△ABQ 的面积的最小值.页脚内容62017年高中数学竞赛模拟试卷（1）答案1.【解析】22)1ln(2)1ln()1ln()()(22222222=+-+=++++-+=-+x a x a ax x a ax x a x f x f .2.【解析】由于1-=AC AB ，则只需要考虑AC 的范围.，故又2,0,3)1(426)2()2(min 222222=≥++=++=+-=+-=AC x x x x x x y x AC 故AB 的取值范围为[)∝+，1.3.【解析】()6tan 33tan 3tan 12tan 31tan 2tan tan 1tan tan tan 2πβββββαβαβ=≤+=+=+-=-α .2020παπαβ<-≤∴≤≤≤β，Θ.6π=-∴βα4.【解析】由题意可知，4π=∠CDB ，且∠BDA 与∠CDA 之和为2π.如图，将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面DA B 1和DC B 2，且与侧面ADC 位于同一个平面上.则△BEF 周长的最小值即面C DB AB 21上两点21,B B 之间的页脚内容7线段长.5.【解析】x x x f 3)(3+=为奇函数且为增函数0)2()8(<+-xf mx f 等价于)2()2()8(xxf f mx f -=-<-即xmx 28-<-即082<-+xmx 对任意的[]2,2-∈m 成立即⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<-+08220822xxx x ，所以⎩⎨⎧<<<<4020x x ，即0<x <2又3::2||:||:||k c b a =，所以]964,916[cos 9249402∈+=αk ，又*N k ∈，所以k =2，所以αcos 的值为61-.7.【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为36，故容器棱长的最小值为62436324+=⨯⨯+. 8.【解析】法1：如果只有2个小球（1黑1白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为21；如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为31；如果只有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为41；以此类推，可知将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为61；页脚内容8法2：直接从10个小球入手分类讨论.9.【解析】(Ⅰ)由题意q p ⊥，所以，()()()0sin sin sin =-++-B a b C A c a .由正弦定理，可得()()()0=-++-b a b c a c a .整理得ab b c a =+-222.由余弦定理可得，212cos 222=-+=ab c b a C ，又()π，C 0∈，所以，3πC = ……6分 (Ⅱ)由()C C B A sin 2sin 2sin 2=++可得，()()A B A πB A A +=-++sin sin cos sin 4. 整理得，()()A B A B A B A A cos sin 2sin sin cos sin 4=-++=.当0cos =A 时，2πA =，此时，3323cot 2==πb .0≠A 时，上式即为A B sin 2sin =，有正弦定理可得b =2a ，又422=-+ab b a ，解之得，332=a ，334=b ，所10.【解析】(1)由已知得n n n a a a 221+=+，()2111+=++n n a a ，因为21=a ，所以11>+n a ，两边取对数得()()n n a a +=++1lg 21lg 1，()}1lg +n a 为以lg3为首项，2为公比的等比数列，即()3lg 21lg 1-=+n n a ，即1312-=-n n a .……5分页脚内容9所以h (x )在()∝+，0上单调递增，h (x )在(-1,0)单调递减.所以()11)0()(->=≥x h x h ，由此得：1≤a .又x =-1时，()x e a x ≤+1即为10-≤⨯e a ，此时a 取任意值都成立. 综上得：1≤a .……8分(Ⅱ)201612016121100820161120162015)20162015(---<-⇔<⇔<e e e . 由(Ⅰ)知，当a =1时0)(≥x f 对一切1-≥x 恒成立，即1+≥x e x (x =0时取等号).2016120161-<-e .即证得：211008)20162015(-<e . ……14分页脚内容1012【解析】由正数x ,y 满足y x y x -=+33，知0>>y x .令1>=yxt . 不等式122≤+λy x 等价于y x y x λy x -+≤+3322，等价于 yx y y x x y x y x λy -+=--+≤322332，等价于()232y y x y y x λ-+≤等价于 112222-+=-+≤t t y xy y x λ.因为22212)1(2212)1(211)(2+=-⋅-+≥-+-+=-+=t t t t t t t f ，等号仅当121-=-t t ，即21+=t 时成立，所以，实数λ的最大值为222+.……15分13.【解析】(1)设),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ，则12:11=+y y x x QA 过Q ，有120101=+y y x x ；……①12:22=+y y xx QB ，有120202=+y y x x ，……②故直线12:00=+y y x x AB 过点)21,1(P ，则有21220000=+⇒=+y x y x ……③故Q 的轨迹方程为 x +y =2. ……5分(2)对直线AB ，当斜率不存在时，即为x =1，此时)0,2(),22,1(),22,1(Q B A -2008年内科护理工作总结页脚内容11。

浙江镇海镇海中学2017年高中数学竞赛模拟

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（2）姓名_______1.若集合：小-% 12 _ O , E - {工，［-0} , 7 .二工J 三:，则集合：（）A. -3.-1 1.4|B. -3.-1| I. 1.4|C. -3-1 '■ I 1.4|D. -3,-1| I. | 1.4|【答案】D【解析】依题意，几一 {" 一工-丄2 • 0} - I 一三」，F, _」；_ _、0} - i 1.1：'-由x 2.，知「x - 4; x f巳，知八1或x ■ 1 .所以，巳- X -丄或丄* —4，即「一二［| .故选D;2.若函数俶）=g】2］：,；「:爲（a a 0，且a h 1）的值域为卩、+ B）,则实数a的取值范围为（）A. l.SB. 1.3C. 3 -D. ［3.-丿【答案】A【解析】当兰•己时，函数f疋_才八• j _ x 「• .1的值域为［-■■ I当x - 2时，2 — gx - E,即工■■■巳时，1盟卫-丄；i • 1 ,且疋■-丄时工-门恒成立.•••「，「巳，J的取值范围为「和.故选A;3.如图，在四面体P心巳匚中，已知P心卩巳卩匚两两互相垂直，且F:A - FT'- - F:C.-.则在该四面体表面上与点&距离为2 2的点形成的曲线段的总长度为（）A.海B. bC.冷D. ；.【答案】B如图，设AE - AF - AG - 2 3 （二在AE 上, 1=在PF 上，D 在P 匸上）. 由 PA PE.PA n 匚 PBP 匸，P£ — PF ： - P 匸-,知F - _ PG --丄皿卜:，丄匕A 卜:] r••••在面P.i,E 内与点A 距离为2的点形成的曲线段（图中弧FF ）长为于：乙. 同理，在面PAC 内与点&距离为2己的点形成的曲线段长为'■>. 同理，在面代二内与点2距离为的点形成的曲线段长为_同理，在面PF ；匚内与点2距离为2己的点形成的曲线段长为-3 -.所以，该四面体表面上与点 2距离为1 - ■■的点形成的曲线段的总长度为 —故选B .点睛：想象出在每个截面上的弧线是一个个圆弧，找到相应的圆弧的圆心角，和半径，弧长就求出来了；4. △ ABC 中，“AwBcC ”是“ cos2A > cos2B > cos2C ^ 的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在空m 中，'卜、二."则sinA ■- siriB -。

浙江省镇海中学2017-2018学年第二学期期初考试高一数学(解析版)

浙江省镇海中学2017学年第二学期期初考试高一数学一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知数列，3，，，，那么9是数列的A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项【答案】C【解析】解：由．解之得由此可知9是此数列的第14项．故选：C．令通项公式，解出n，由此即可得到么9是数列的第几项．本题考查数列的概念及简单表示法，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．2.的值A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在【答案】A【解析】解：弧度大约等于57度，2弧度等于114度，弧度小于弧度，在第二象限弧度小于弧度，大于弧度，在第三象限故选：A．根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案．本题主要考查三角函数值的符号问题常常根据角所在的象限来判断函数值的正负．3.在中，A：B：：1：1，则a：b：A. 4：1：1B. 2：1：1C. 3：1：1D. ：1：1【答案】D【解析】解：：B：：1：1，，解得：，，由正弦定理可得：a：b：：：：：：1：1．故选：D．由已知利用三角形内角和定理可求A，B，C的值，利用正弦定理及特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.定义一种集合运算，且，设，，则表示的集合是A. B.C. D. ，【答案】B【解析】解：，，，，，且，，或，故选：B．由，，知，，由此利用，且，能求出．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意新定义的合理运用．5.给出四个函数，则同时具有以下两个性质：最小正周期是；图象关于点对称的函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数最小正周期是，所以，由选项可知，，所以，排除C．图象关于点对称，所以时，函数值为0显然A，B不满足题意，的对称中心是故选：D．利用周期求出，再利用图象关于点对称，判断选项．本题考查三角函数的周期性及其求法，正切函数的奇偶性与对称性，考查推理能力，计算能力，是基础题．6.若，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，则：，，解得：，．故选：A．由已知可得，利用同角三角函数基本关系式可求，根据二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.设函数，已知，则a的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：时，，或，故；时，．，故；时，无解．综上，a的取值范围是，故选：C．分三种情况讨论：a小于等于时，得到大于1；a大于小于1时，得到大于1；当a大于等于1时，得到大于1，分别求出三个不等式的解集，求出三个解集的并集即为a的取值范围．本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，得函数，即，故选：C．根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到，整理后答案可得．本题主要考查了三角函数的图象的变换要特别注意图象平移的法则．9.已知数列满足，，则A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】解：数列满足，，，，，，是以3为周期的周期数列，．故选：C．由数列满足，，推导出是以3为周期的周期数列，由此能求出的值．本题考查等差数列的第100项的求法，考查数列的周期、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.在中，a，b，c是角A，B，C的三边，给出下列结论：若，则若，则为等边三角形若，，，则必有两解，则的最小角小于其中，正确结论的编号为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：对于，若，即，即，即，故正确；对于，若，由正弦定理，可得，即，即为等腰直角三角形，故错误；对于，若，，，可得，又，即，则必有两解，故正确；对于，，即有，即有，即，，即有A最小，，则的最小角小于，故正确．故选：C．由三角形的边角关系和正弦定理可判断；由正弦定理和同角商数关系，可判断；由正弦定理和三角形的边角关系可判断；由向量的加减运算和余弦定理、结合余弦函数的性质可判断．本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理和余弦定理的运用、三角形的形状和个数的判断，以及向量的加减运算，考查判断能力、运算能力和推理能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，共32.0分）11.在等差数列中，，，则通项公式______；______．【答案】【解析】解：在等差数列中，，，，解得，，通项公式，．故答案为：，．利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出通项公式和前n项和的值．本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是______弧度，扇形面积是______．【答案】48【解析】解：圆心角，扇形面积．故答案为：，48．由弧长公式可直接得到答案．由扇形面积公式直接得到答案．本题主要考查弧长公式和扇形面积公式，属基础题．13.已知数列则______，______．【答案】【解析】解：数列则可得到，，，，，则，解得，，故答案为：，．根据数列的概念和找到其中的规律即可求出．本题考查了归纳推理和数列的概念，属于基础题．14.已知向量，若与垂直，则m的值为，若与平行，则m的值为______．【答案】【解析】解：，；若与垂直，则：；解得；若与平行，则；解得．故答案为：．可求出，，与垂直时，可得出进行数量积的坐标运算即可求出m的值；与平行时，可得出，解出m即可．考查向量垂直的充要条件，向量平行时的坐标关系，向量加法、减法、数乘和数量积的运算．15.已知，，则______．【答案】【解析】解：，，，平方可得解得，或，，，，，，；故答案为：由已知条件易得，结合角的范围和同角三角函数基本关系可得，由两角和的正弦公式可得．本题考查两角和与差的三角函数运算，涉及一元二次方程的解法和同角三角函数的基本关系，属中档题．16.设平面向量与的夹角为，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：设平面向量与的夹角为，，且，，，相减可得，，，，．则的取值范围是由题意利用两个向量的数量积的定义，基本不等式可得可得，，进而得到，由此得到的取值范围是．本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式，属于中档题．17.对于实数a和b，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是______．【答案】，【解析】解：，函数或．由图可知，当，，函数与的图象有两个公共点，的取值范围是，，故答案为，．根据定义的运算法则化简函数，的解析式，并画出的图象，函数的图象与x轴恰有两个公共点转化为，图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知是方程的根，是第三象限角，且的值．【答案】解：已知是方程的根，是第三象限角，可得，，．原式．【解析】解一元二次方程的解法，求得，可得的值，再利用诱导公式得到要求式子的值．本题主要考查一元二次方程的解法，诱导公式的应用，属于基础题．19.在公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列．求d，；若，求【答案】解：公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列．则：，解得：或，当时，．当时，．当时，．当时，，所以：，故：．当时，，所以：，，，．故．【解析】直接利用已知条件求出数列的通项公式．利用分类讨论思想，对数列的绝对值进行求和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，绝对值在数列的求和的应用．20.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．求的值若的面积为9，求a的值【答案】解：．，，，又，得，得，得．，，由正弦定理得，则，的面积为9，，即，即．【解析】由正弦定理进行化简，结合同角的三角函数关系式进行求解利用两角和差的正弦公式求出，结合正弦定理以及三角形的面积公式建立方程关系进行求解即可．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．21.已知函数为常数，若在区间上是增函数，求的取值范围设集合，，若，求实数m的取值范围．【答案】解：在上是增函数．，即，由得：，即，当时，恒成立．又时，；【解析】化简函数，然后利用是函数增区间的子集，解答即可．先求中的m的范围表达式，，m大于的最大值，小于的最小值，即可．本题考查正弦函数的定义域和值域，子集知识，是中档题．22.已知函数，，其中．设函数若在上有零点，求k的取值范围；设函数是否存在k，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：，，在上有零点，在上有零点．，解得，或．若在上有唯一零点，则，或，或，或．解得，解得，解得，解可得，或．当时，的零点是，不符合题意所以舍去．若在上有2个零点，则有，解得．综上所述，实数k的取值范围为．函数，即．显然，不满足条件，故．当时，．当时，．记，．当时，在上是增函数，要使，则，且，故；当时，在上是减函数，要使，则，且，故；综上可得，满足条件．故存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得【解析】由题意知在上有零点再由在上有唯一零点和在上有2个零点，进行分类讨论，由此能够求出实数k的取值范围．根据，知再由当时，在上是增函数，得到；当时，在上是减函数，得到，由此能求出k的值．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于难题．。

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题一

浙江省宁波市镇海区2021年高中数学竞赛模拟试题(一)一、填空题1、已知函数 f (x) = ln(Jl + a2x2— ax)+1 (a > 0) , 那么, , 1f ( a) + f n —) = n a2、A B两点分别在抛物线y2 =6x和.C : (x —2)2+y2 =1上,那么AB的取值范围是3、假设tan 口=3tan 0 0cp <«<—[,那么3 一P 的最大值为< 2；4、△ ABC等腰直角三角形,其中/ C为直角,AGBG1,过点B作平面ABC勺垂线DB 使得DB=1,在DA DC±分别取点E、F,那么^ BEF周长的最小值为 .5、函数f (x) =x3+3x,对任意的mwL2,2］,f (mx —8) + f (2x) < 0恒成立,那么正实数x的取值范围为.6、向量a,b,c满足|a|：|b|：|c|=2：k ：3(k w N ),且b-a = 2(c-b),假设b 为 a,c的夹角,那么cosa的值为.7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器,那么该容器棱长最小值为8、将10个小球(5个黑球和5个白球)排场一行,从左边第一个小球开始向右数小球,无论数几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为 .二、解做题9.(本小题总分值14分)在△ ABC中,内角A B, C对边的边长分别是a, b, c ,向量p = (sinA+sinC,sin B ),向量q = (a—c,b—a),且满足p_Lq .(I )求^ ABCW内角C的值；(n)假设c=2, 2sin2 A+sin(2 B+2)=sin C,求△ ABC勺面积.10.(本小题总分值14分)数列QJ满足：a1 =2,a9 =a；+2a n.⑴求证：数列如(a n+1)｝是等比数列,并求laj的通项公式；1 1(2)假设b n =——十 ---- ,且数列｛b n ｝的前n项和为S n ,求证：S n <1.a n a n - 211.(本小题总分值14分)设f (x) =e x—ax—a. (e是自然对数的底数)(I)假设f(x)之0对一切x±—1恒成立,求a的取值范围；2021 loos(n)求证：( ):二e202112 .〔本小题总分值15分〕设正数x ,y 满足x 3 +y 3 =x-y ,求使x 2 +入2 M1恒成立的实数九的最大值.2x 13 .〔本小题总分值15分〕椭圆C ： — 2于A 、B 两点,过A B 两点分别作C 的切线交于点 Q 〔1〕求点Q 的轨迹方程；〔2〕求^ ABQ 勺面积的最小值.2y 2 =1及点P 〔1,a 〕,过点P 作直线।与椭圆C 交数学竞赛模拟试卷〔1〕答案1 .【解析】f (x) f (-x) = ln(.. 1 a 2x 2 - ax) ln(.. 1 a 2x 2 ax) 2 = ln(1 a 2x 2 - a 2x 2) 2 = 22 .【解析】由于 AB = AC —1,那么只需要考虑 AC 的范围.AC 2 =(x —2)2 +y 2 =(x —2)2 +6x =x 2 +2x + 4=(x + 1)2 +3,Xx>O AC min =2, 故AB 的取值范围为1,+ oc)., 0 ^ ^w③工一,二0 芸 a —— .「. a — 0 =——. 2264 .【解析】由题意可知,/CDB =二,且/ BDA 与/ CDA4 n之和为万.如图,将侧面BD 寿口侧面CD 时另1J 折起至面 B 1DA 和B 2DC ,且与侧面ADO 于同一个平面上.那么^ BEF 周长的最小值即面AB 1DB 2c 上两点B 1,B 2之间的线段长.由前面的分析可知,B 1DB 2 -B 1DA ADC CDB 2由余弦7E 理可得, B 1B 2 = B 1D 2 B 2D 2 -2B 1D B 2D cos. B 1DB 2 =.11 -2 所以,△ BEF 周长的最小值为22 .3.【解析】 tan(a- P )=tan - -tan :1 tan tan :2 tan : 1 3tan 2 -2.. 3 ,二- ---------- - 一二 tan — 1 3 6 ----- 3tan -= 22.5.【解析】f(x) =x 3+3x 为奇函数且为增函数f (mx —8)+f(2x ) <0等价于 f(mx-8) c —f(2x ) = f(—2x )即 mx —8<—2、即 mx + 2x —8<0 对任意的 m e 匚2,2】成 12- -2 1 2 4 2 46 .【解析】由 b —a =2(c — b)得 b =-a 十一c 所以 b =-a +-c + —a c, 3 3 99 9---40 24 16 64_ * 又 |a|:|b|:|c|=2:k:3,所以 k = — +—cos .w [—,—],又 k w N ,所以 k =2,所以9 9 9 9cos a 的值为 ---- .67.【解析】这10个小球成棱锥形来放,第一层 1个,第2层3个,第3层6个,即每一条棱是3个小球,于是正四面体的一条棱长就应该是 4倍的小球的半径加上 2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度,又球心到顶点的距离为 3,正四面体的高和棱所成角 ............................. 6 ............................ .6_ .的余弦值为—,故容器棱长的最小值为 4 2 3 —=42.6.3 38.【解析】法1:如果只有2个小球〔1黑1白〕,那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为1 ;如果只有4个小球〔2黑2白〕,那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为1 ;如果只2 31 .......... 一公有6个小球〔3黑3白〕,那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为一；以此类推,可知将410个小球〔5个黑球和5个白球〕排成一行,从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几1个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为一；6法2:直接从10个小球入手分类讨论.9.【解析】〔I 〕由题意 p_Lq,所以,〔a —c 〔sin A + sinC 〕+〔b — a 〕sin B = 0 . 由正弦定理,可得〔a -c '〔a + c 广〔b -a b = 0.整理得a 2 — c 2 + b 2 = ab .a 2 +b 2 -c 2 1 一一兀由余弦定理可得, cosC =----------------- =—,又C = 〔0,冗〕所以 C= 一2ab 23(n )由 2sin2A+sin(2B +C )= sinC 可得,4sin AcosA + sin(B+ 九一 A)=sin(B + A) 整理得,4sinAcosA =sin B A 「sin B -A =2sinBcosA .. 一一, 一冗 2 2<3 . __当cos A = 0时, A =—,此时,b = 2 cot —= ----------------------- .所以△ ABC 的面积为23 3S.ABC =1bc = 2W 3当cosA ¥0时,上式即为sinB=2sinA,有正弦定理可得 b =2a,又 2 3 9 9 23 4】.3a +b -ab =4 ,解之得,a = -------------------------- , b = ---------- ,所以3 310.【解析】〔1〕由得an*=a ；+2an,an ++1 =区+1 f ,立即2x +2x —8 <0「2x+2x -8<0小“ f0<x<2 Rn所以」,即 0<x<40<x <2△ ABC 的面积为 SA ABC」absiC=R3 综上所述,△ ABC 勺面积为S AABCJabsinC=2 314分由于a1=2,所以%+1>1,两边取对数得lg〔1 + a n由〕=2lg〔1即晅虹)=2,故如(烝+1〉为以lg3为首项,2为公比的等比数列, lg 1 a n....... 5分1 1/1 1、=-I —— ,a n -+1 2 1an a n +2 ;1 1 八——,……10分a n 书」....... 14分h (x )在(-1,0)单调递减.所以 h(x)之 h(0)=1(x>—1),由此得：a M1.又x =-1时,(x +1 a We x 即为0Ma We 」,此时a 取任意值都成立/ n 、,2021、1008-12021 3^1 蓊(n ) ( ------ ) <e 2 u ---------- <e u 1 ---------- ------<e .2021 2021 2021由(I )知,当a=1时f (x) >0对一切x ±—1恒成立,即e x 2x+1(x=0时取等号). / / 1 L1取 x = -- ------ ,得 1 -- ------ <e 2021 .即证得：( ---------- )1008 <e 2.……14分2021 2021 202112【解析】由正数 x , y 满足x 3+y 3=x — y,知x 〉yA0.令t=~x>1等号仅当t —1= 2 ,即t=1+J2时成立, t -1所以,实数儿的最大值为2+215.13.【解析】⑴设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),Q(x 0,y O ),那么 QA : ：x +y 1y =1 过 Q,有“；° +y 1y 0 =1 ； .............. ① QB : xj x + y 2y = 1 ,有xxy …y 1十丫2丫.=1,……②故直线人8：-2-十丫.丫=1过点P(1,2),那么有即 lg(an+1 )=2nJL lg3,即 4 =3—1. (2)法1 ：由a nd1 =a ； +2a n 两边取倒数得一 1 1 2「1所以——= — - - ,即 b n =2 —一a n+2 a n a n 书 1a n故 S n =20_^^],故 S n <1.2 32 -1法 2： b n =1n nn n32 -1 321…n 12 3 2n32 -1=2(-271— --2^ -------------------- ),贝U S n = 21工32 - -1 32 -1 21 32n-111.【解析】(I ) f (x)之0n (x +1 a_e= axx令 h(x) =-e —,那么 h(x) = xex 1(x 1)2由 h(x) x<——(x > -1 ), x 1x=」^7>0得*>0.(x 1)2所以h(x)在(0,+比让单调递增, 综上得：a <1.……8分111+ Xy <1 等价y3322x yx 2X 2 - ------- —33二 2 :xy入y 三x-y2-x23xy+y ,等价于y 2 2xy - yx-y t 2 1 =——.由于t -1 x-y 23 X< x y yx - y y 2t 2 .12 f (t)=-——1 =2 - (t -1) ■ —2t -1t -1-1) ■— =2 +2 万, t -115分至十左=1= x0+y0=2……③故Q的轨迹方程为x+y=2.2 2...................................................................... .2 ,2 (2)对直线AR当斜率不存在时,即为x=1,此时A(1,—), B(1,- -),Q(2,0) 2 2S AABQ = —M V2 X 1 =--2 21 1斜率存在时,设直线AB : y =k(x-1)= y = kx k .2 2x22y2=21 1 联立, y = kx k2 消掉y 得(2k2+1)x2+2k(1 -2k)x + (2k2-2k--) = 0 .2于是有2k(2k -1)x〔x2 22k2 12k2 -2k -322= 22k2 1x. 4k 2又①-②,得到也+ky.=0与③式联立,可解得Q〔——,一^〕.2 2k -1 1 -2k10分。

浙江省镇海中学2017年高中数学竞赛模拟(四)试题 Word版含解析

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（4）姓名_______一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）1．若函数()3cos()sin()63f x x x ππωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为。

2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B x a x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为。

3．函数22()ln 2f x x x x =+-零点的个数为。

4．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1B AC D --的大小为。

5．在空间四边形ABCD 中，已知2AB =，3BC =，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅=uu u r uu u r。

6．已知直线l 过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。

O 为坐标原点，若OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为。

C 1B 1D 1C A BD A 1B DCA7．已知z C ∈，若关于x 的方程23204x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的模z 的最小值为。

8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为。

（用数字作答）9．()f x 是定义在R 的函数，若(0)1008f =，且对任意x R ∈，满足(4)()2(1f x f x x +-≤+，(12)()6(5)f x f x x +-≥+，则(2016)2016f = 。

10．当x ，y ，z 为正数时，2224xz yzx y z +++的最大值为。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程） 11．已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-（*n N ∈）。

浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷

浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷注意：(1) 试卷共有三大题35小题，满分200分，考试时间150分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、选择题（本题有11小题，每小题3分，共33分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则aa a a 1,,,33一定是 ( ) (A) a 1最小，3a 最大 , (B) 3a 最小，a 最大 (C)a 1最小，a 最大 , (D) a1最小， 3a 最大 4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（）(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1(C) AF 2= FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）（A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 4487、下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是【】8、下列命题中正确的个数有…【】① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 9、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。

浙江省2017自主招生数学模拟试卷(二)及答案

浙江省2017自主招生数学模拟试卷(二)姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.2016年5月24日《天津日报》报道，2015年天津外环线内新栽植树木6120000株，将6120000用科学记数法表示应为（）A．0.612×107B．6.12×106C．61.2×105D．612×1042.下列运算中，计算正确的是（）A．2a•3a=6a B．（3a2）3=27a6C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2 3.如图所示的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．4.若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．65.我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业迅猛发展，2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的年平均增长率为x,则下列方程正确的是（）A．1.4(1+x)=4.5 B．1.4(1＋2x)=4.5C.1.4(1＋x)2=4.5 D．1.4(1+x)＋1.4(1＋x)2=4.5x 中自变量x的取值范围为（）6.函数y＝1A．x≥0B．x≥-1 C．x＞-1 D．x≥17.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标：其中属于中心对称图形的有（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个8.在长方形ABCD 中AB =16，如图所示裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥（AB 和AE 重合），则此圆锥的底面半径为（）A ．4B ． 16C ． 4D ． 89.如图，直线l 1∥l 2，∠A =125°，∠B =85°，则∠1+∠2=（）A ．30°B ． 35°C ． 36°D ． 40°10.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不正确的是（） A ．甲先到达终点 B ．前30分钟，甲在乙的前面 C ．第48分钟时，两人第一次相遇; D ．这次比赛的全程是28千米11.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）O 14 12 1096 86 66 30 x /分y /千米 A BC D乙甲A ．64B ．77C ．80D ．8512.已知一次函数y 1=ax +c 和反比例函数y 2=的图象如图所示，则二次函数y 3=ax 2+bx +c 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.如果互为,a b 相反数，,x y 互为倒数，则()20142015a b xy +-的值是__________。

浙江省2017自主招生数学模拟试卷(一)及答案

浙浙江省2017自主招生数学模拟试卷(一)姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.一粒芝麻约有0.000002千克，0.000002用科学记数学法表示为（）千克．A．2×10﹣4B．0.2×10﹣5C．2×10﹣7D．2×10﹣62.随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C． D．3.下列计算正确的是（）A．（a4）3=a7B．3﹣2=﹣32C．（2ab）3=6a3b3D．﹣a5•a5=﹣a104.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx﹣k的大致图象是（）A． B．C．D．5.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（）6.下列命题中，真命题的个数是（）①同位角相等; ②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行;③长度相等的弧是等弧; ④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个7.在今年的中招体育考试中，我校甲、乙、丙、丁四个班级的平均分完全一样，方差分别为：S甲2=8.5，S乙2=21.7，S丙2=15，S丁2=17.2，则四个班体考成绩最稳定的是（）A．甲班B．乙班C．丙班D．丁班8.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4 D．59.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长10.梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x（单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克；②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折：其中正确的个数是( )．A．1个B．2个C．3个D．4个11.在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文的26个字母a、b、c，…，z依次对应1、2、3，…，26这26个自然数（见表格），当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号．按上述规定，将明码“bird”译成密码是（）A．bird B．nove C．sdri D．nevo12.已知函数y=，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.﹣1的相反数是__________，倒数是__________．14.若x＜2，化简+|3﹣x|的正确结果是．15.某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表．已知该校全体学生人数为1200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有人．16.已知在平面直角坐标系中，点A （﹣3，﹣1）、B （﹣2，﹣4）、C （﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC 缩小，位似比为1：2，则点B 的对应点的坐标为． 17.如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以A ．D 为圆心，1为半径画弧BD 、AC ，则图中阴影部分的面积__________________18.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F 处．若△FDE 的周长为5，△FCB 的周长为17，则FC 的长为__________．三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19.计算：60sin 32)2(201593⨯+-++20.先化简22522()443x x x x x x +++⨯+++，然后选择一个你喜欢的数代入求值.21.某人的钱包内有10元钱、20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．（1）求取出纸币的总额是30元的概率；（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．22.小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）23.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．24.观察下表：我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y.回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为__________，第n格的“特征多项式”为________________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16.①求x，y的值；②在此条件下，第n个特征多项式是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值．若没有，请说明理由．25.如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DA B．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．26.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y轴于点M.(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A．N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析一、选择题1．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000 002=2×10﹣6；故选：D．2．分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选C．3. 分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘可得（a4）3=a12；根据负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）可得3﹣2=；根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得（2ab）3=8a3b3，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得﹣a5•a5=﹣a10．解答：解：A．（a4）3=a12，故原题计算错误；B、3﹣2=，故原题计算错误；C、（2ab）3=8a3b3，故原题计算错误；D、﹣a5•a5=﹣a10，故原题计算正确；故选：D．4. 分析:首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，∴（﹣2）2﹣4（﹣k+1）＞0，即k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象位于一、三、四象限，故选B．5. 分析:设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC=x，PD=y，根据题意可得到x、y之间的关系式，可得出答案．解：设P点坐标为（x，y），如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，∵P点在第一象限，∴PD=y，PC=x，∵矩形PDOC的周长为10，∴2（x+y）=10，∴x+y=5，即y=﹣x+5，故选C．6. 分析:根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形．解：两直线平行，同位角相等，所以①错误；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确．故选A．7. 分析:直接根据方差的意义求解．解：∵S＞S＞S＞S，∴四个班体考成绩最稳定的是甲班．故选A．8. 分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．9. 分析：分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选：D．10. 分析: ①由图可知，购买10千克种子需要50元，由此求出一次购买种子数量不超过10千克时的销售价格；②由图可知，超过10千克以后，超过的那部分种子的单价降低，而由购买50千克比购买10千克种子多付100元，求出超过10千克以后，超过的那部分种子的单价，再计算出一次购买30千克种子时的付款金额；③根据一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以可以求出打的折数；④先求出一次购买40千克种子的付款金额为125元，再求出分两次购买且每次购买20千克种子的付款金额为150元，然后用150减去125，即可求出一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花的钱数．解：①由图可知，一次购买种子数量不超过10千克时，销售价格为：50÷10=5元/千克，正确；②由图可知，超过10千克的那部分种子的价格为：（150-50）÷（50-10）=2.5元/千克，所以，一次购买30千克种子时，付款金额为：50+2.5×（30-10）=100元，正确；③由于一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以打五折，正确；④由于一次购买40千克种子需要：50+2.5×（40-10）=125元，分两次购买且每次购买20千克种子需要：2×[50+2.5×（20-10）]=150元，而150-125=25元，所以一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱，正确．故选D．11. 分析:根据明码与密码的对应关系，分别求出bird四个字母所对应的密码字母，即可得解．解：b对应2，y=+13=14，对应的密码是n，i对应9，y==5，对应的密码是e，r对应18，y=+13=22，对应的密码是v，d对应4，y=+13=15，对应的密码是o，所以，明码“bird”译成密码是nevo．故选D．12. 分析：y=x2+1在x≥﹣1时的性质和y=在x＜﹣1时的性质，选出正确选项即可．解：y=x2+1，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），当x≥﹣1时，B、C、D正确；y=，图象在第一、三象限，当x＜﹣1时，C正确．故选：C．二、填空题13. 分析：根据相反数与倒数的概念解答即可．解：∵﹣1的相反数是1，∵﹣1=﹣，∴﹣1倒数是﹣．故答案为：1，﹣．14. 分析:先根据x的取值范围，判断出x﹣2和3﹣x的符号，然后再将原式进行化简．解：∵x＜2，∴x﹣2＜0，3﹣x＞0；∴+|3﹣x|=﹣（x﹣2）+（3﹣x）=﹣x+2+3﹣x=5﹣2x．15.分析：先求出每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生所占的百分比，再乘以全校的人数，即可得出答案．解答：解：根据题意得：1200×=240（人），答：估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有240人；故答案为：240．16. 分析:根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．解：∵点B的坐标为（﹣2，﹣4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，∴点B的对应点的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2），故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．17. 分析:过点F作FE⊥AD于点E，则AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S弓形AF=S扇形ADF﹣S△ADF可得出其面积，再根据S阴影=2（S扇形BAF﹣S弓形AF）即可得出结论．解：如图所示，过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为1，∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．∴S弓形AF=S扇形ADF﹣S△ADF=﹣×1×=﹣，∴S阴影=2（S扇形BAF﹣S弓形AF）=2（﹣+）=2（﹣+）=﹣．故答案为：﹣．18. 分析:根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AB +BC =11，此为解题的关键性结论；运用△FCB 的周长为17，求出FC 的长，即可解决问题．解：如图，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD =BC ，AB =DC ；由题意得：AE =FE ，AB =BF ；∵△FDE 的周长为5，△FCB 的周长为17， ∴DE +DF +EF =5，CF +BC +BF =17， ∴（DE +EA ）+（DF +CF ）+BC +AB =22，即2（AB +BC ）=22，∴AB +BC =11，即BF +BC =11； ∴FC =17﹣11=6，故答案为6．三、解答题19. 分析：根据0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义解答解：原式=3+1﹣8+2×=﹣1． 20.解：原式2522[]2(3)(2)x x x x x x ++=+⨯+++225222(3)(3)(2)x x x x x x x x x +++=⨯+⨯++++2(2)5(3)(2)(3)(2)x x x x x x x x ++=+++++ 3(3)(3)(2)x x x x +=++3(2)x x =+ 当1x =时，原式311(12)==⨯+(x 不能取0，，21.解：某人从钱包内随机取出2张纸币，可能出现的结果有3种，即（10，20）、（10、50）、（20，50），并且它们出现的可能性相等。

浙江省宁波市五校联考2017年提前招生考试试数学试题（无答案）

浙江省宁波市五校联考2017年提前招生考试试数学试题（无答案）全真考试卷(六)浙江省宁波市五校联考提前招生选拔考试卷数学满分100分，考试时间120分钟一、填空题(本题有11个小题，每小题2分，共22分)1．在同一平面内，两圆的半径分别为方程(x －1)(x＝0的两个不同实数根，两圆圆心距为2____．2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，对称轴是直线x ＝1，A (－2，y 1)，B (0，y 2)，C (2，y 3)在该抛物线上，则y 1，y 2，y 3大小的关系是．3．将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 正好是直角三角形三边长的概率是．4．如图所示，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝4，OB ＝2，点B 在反比例函数y ＝2x图象上，则图中过点A 的双曲线解析式是____．第4题图第5题图第6题图5．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝8，点E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，则△CEF 的面积是_ ． 6．如图，直线yxx 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，圆心P 的坐标为(1，0)，⊙P 与y 轴相切于点O ．若将⊙P 沿x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 有个．7．已知不等式ax ＋3≥0的正整数解为1，2，3，则a 的取值范围是．8．已知点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(2，0)．若二次函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋3的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是．9．如图，E 为平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果△BEG 的面积是1，则平行四边形ABCD 的面积是．CABEFGFEDACBGB DAECF第9题图第10题图10．如图，正方形ABCD 和正方形CGEF 的边长分别是2和3，且点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连结MF ，则MF 的长为．11．已知方程a 2x 2－(3a 2－8a )x ＋2a 2－13a ＋15＝0(其中a 为非负整数)至少有一个整数根．那么a ＝____．二、选择题(本题有6个小题，每小题3分，共18分)12．已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过一、二、三象限，且与x 轴交于点(－2，0)，则不等式ax >b 的解集为 ( )A ．x >－2B ．x <－2C ．x >2D ．x <213a 、x 、y 是两两不同的实数．则22223x xy y x xy y +--+的值是 ( )A ．3B ．13C ．2D ．5314．如图，把正△ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点F 上，若BC ＝6，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．4．5S 3=1S 2=3S 1=1RQO A BCP第14题图第15题图15．如图，正方形OPQR 内接于△ABC ．已知△AOR 、△BOP 和△CRQ 的面积分别是S 1＝1，S 2＝3和S 3＝1，那么正方形OPQR 的边长是 ( )A．B．C．2 D．316．若实数x，y满足条件2x2－6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是( ) A．14 B．15 C．16 D．不能确定17．正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连结PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ＝45°，则PB＋QD＝PQ；②若AP＝AQPCQ＝36°，则PC＋1；③若△PQC是正三角形，若PB＝1，则AP1，其中正确的说法有( )A．3个B．2个C．1个D．0个三、解答题(本题有4小题，共60分)18．(本题12分)如图，在直角坐标系xOy中，已知A(12，0)，B(0，9)，C(3，0)，D(0，4)，Q为线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P．问OP·OQ的值是否变化？证明你的结论；第18题图19．(本题12分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E、F分别是AB、AD的中点，直线EF分别交CB、CD的延长线于G、H，且BC：AD＝7：4，AC＝28，试求GH的长．GH ABF D E第19题图20．(本题18分)如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为(0，1)，直线x ＝1交x 轴于点B ．P 为线段AB 上一动点，作直线PC ⊥PO ，交直线x ＝1于点C ．过P 点作直线MN 平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线x ＝1于点N ． (1)当点C 在第一象限时，求证：△OPM ≌△PCN ．(2)当点C 在第一象限时，设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．(3)当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x ＝1上移动，△PBC 能否成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由，第20题图21．(本题18分)如图1，矩形铁片．ABCD 的长为2a ，宽为a ；为了要让铁片能穿过直径为的圆孔，需对铁片进行处理(规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔); (1)如图2，M ．N ．P ．Q 分别是AD ．AB ．BC ，CD 的中点，若将矩形铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ ，则此时铁片的形状是，给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔．(2)如图3，过矩形铁片ABCD 的中心作一条直线分别交边BC 、AD 于点E ．F (不与端点重合)，沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片．①当BE ＝DF ＝15a 时，判断直角梯形铁片EBAF 能否穿过圆孔，并说明理由．②为了能使直角梯形铁片EBAF 顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE 的长度的取值范围． ABCD图1 图2 图3 第21题图DBCAE FPD。

浙江省镇海中学自主招生数学试卷及答案

镇海中学跨区自主招生数学试题卷满分：120分时间：90分钟一、选择题（每题4分，共40分）1、把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组，现在还有5个字母D 、M 、Q 、X 、Z 请你按原规律补上，其顺序依次为 -------------------------------------------------------------------（）①FRPJLG ②HIO ③NS ④BCKE ⑤VATYWU (A )QXZMD (B )DMQZX (C )ZXMDQ (D )QXZDM2、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于------（）（A ）－4x ＋3（B ）5（C ）2x ＋3（D ）4x ＋33、若不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，则a+b =---------------------------------------------------------------------------------------------------------（）（A ）21（B ）23 （C ）21-（D ）23- 4、若m m m =-+-20082007，则=-22007m ---------------------------------------（）（A ）2007 （B ）2008 （C ）20082 （D ）-200825、方程07946=--+y x xy 的整数解的个数为 -------------------------------------------（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46、在平面直角坐标系中有两点A (–2，2)，B (3，2)，C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有----------------------------------------------------------------------------（）(A )1个 (B )2个 (C )4个 (D )6个7、一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m 、n ，得到一个点P (m ,n )，则点P 既在直线6+-=x y 上，又在双曲线xy 8=上的概率为------ ( ) (A )61 (B )91 (C )181 (D )3618、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论：①0>b ，②0<c ，③042>-ac b ，④0>++c b a ，⑤024>++c b a .其中正确的有---------------------------------------------------------------（）(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个第8题图9、如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ( )(A ) 2)21(+ (B)251+ (C )253+ (D ) 2537+10．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2(3)2y t =--+，则t 的取值范围为（）（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥３（D ）以上都不对．第9题图y o1=xFEMBC DA二、填空题（每题 6分，共30分）11、已知关于x 的不等式mx -2≤0的负整数解只有-1,-2，则m 的取值范围是 _____ . 12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为_______________. 13、如图，△OAP 、△ABQ 是等腰直角三角形，点P 、Q 在双曲线)0(4>=x y 上，直角顶点A 、B 均在x 轴上，则点Q 的坐标为_______________.第11题图第13题图 14、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解为⎩⎨⎧==65y x ，则方程组⎩⎨⎧=+=+222111435435c y b x a c y b x a 的解为____________.15、如图，墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你搬走其中部分小正方体，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走 __ ____ 个小正方体.三、解答题（共50分）16、（本题满分6分）如图，ABCD 是矩形纸片，E 是AB 上一点，且BE ：EA ＝5：3，EC =155，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设这个点为F ，求AB 、BC 的长．17、（本题满分8分）如图，已知四边形ABCD 内接于一圆，AB =BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM =DC +CM（图1）（图2）OM N Q PHK FEDCBAx18、（本题满分13分）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线21001x y =的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米.⑴ 如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？⑵ 如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱。

2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(3)

2017 年镇海中学数学比赛模拟试卷（ 3）姓名 _______一、填空题，每题 8 分1.设sin x cos x1，则 sin3 x cos3 x22. 设i为虚数单位，化简(i 1)2016(i 1)20163. 已知等差数列a1 , a2,L a1000的前100项之和为100，最后 100 项之和为1000，则a14.会合x2x3x x R I 1,2, L ,100 共有个元素，此中x 表示不超出x 的最大整数。

5. 若对于x的方程x2ae x有三个不一样的实根，则实数 a 的取值范围是6. 在如下图的单位正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，设 O 为正方体的中心，点 M ,N 分别在棱A 1 D 1,CC 1 上， A 1M1 2 OMNB 1 的体积等于,CN, 则四周体2 3D1C1MA1B1NDOCA B7. 已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心为焦点， P 经过 E 的两个焦点，而且 P 与 E 恰有三个交点，则E 得离心率等于二、简答题2a 2 3a n 19， n 2 。

用数学概括法证明：8. 已知数列n 1a n 知足 a 0 1,a 1 5, a n 2a n 2a n 2n 239. 证明：对随意的实数a,b,c都有a2ab b2a2ac c23a2( a b c) 2并求等号成立的充足必需条件。

10. 求知足1m n n m mn 的全部正整数对(m,n)2017 年高中数学比赛模拟试卷（3）答案三、填空题，每题8 分1. 设sin x cos x1，则 sin3 x cos3 x2解答：由 sin x cosx 12sin x cosx1，故 sin x cosx3，可得14，从而28sin 3 x cos3 x(sin x cosx)(sin 2 x cosxsin x cos2 x)1(13)11 28162. 设i为虚数单位，化简(i1)2016(i1)2016解答：由 (i1)22i，可得 (i1)201621008，同理可得 (i1)201621008故(i1)2016(i1)2016210093. 已知等差数列a1, a2,L a1000的前100项之和为100，最后100 项之和为1000，则a1解答：设等差数列的公差为d，则有100a14950 d100 ， 100a194950 d1000 解得a10.5054. 会合x2x3x x R I1,2, L,100共有个元素，此中 x表示不超出 x 的最大整数。

2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷

2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．B．C．x2•x3＝x6D．﹣|﹣2|＝﹣2 2．（3分）估计68的立方根的大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间3．（3分）分式值为零的条件是（）A．x≠﹣1B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝±14．（3分）甲、乙两人各射靶10次，他们命中环数的平均成绩为7环，但方差不同，S2甲＝2.5，S2乙＝1.8，那么（）A．甲的波动比乙的波动大B．乙的波动比甲的波动大C．甲、乙的波动大小一样D．甲、乙的波动大小无法确定5．（3分）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）A．对角相等B．对角线相等C．邻角互补D．内角和是360°6．（3分）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象，根据图象下列结论错误的是（）A．轮船的速度为20千米/小时B．快艇的速度为40千米/小时C．轮船比快艇先出发2小时D．快艇不能赶上轮船7．（3分）下面说法错误的是（）A．直线y＝x就是一、三象限的角平分线B．函数y＝3x﹣10的图象经过点（3，﹣1）C．函数中y随x的增大而减小D．抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线x＝18．（3分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为20cm，sin∠BAD＝，DE⊥AB于点E，下列结论中：①S ABCD＝15cm2；②BE＝1cm；③AC＝3BD．正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．D．11．（3分）《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是（）A．3步B．4步C．5步D．6步12．（3分）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）分解因式：a2﹣a＝．14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围为．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为．16．（3分）两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是．17．（3分）标有1，1，2，3，3，5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y，得到平面直角坐标系中的一个点（x，y）．已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为．18．（3分）如图，有任意四边形ABCD，A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D的对称点，设S表示四边形ABCD的面积，S′表示四边形A′B′C′D′的面积，则的值为．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．20．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD＝3，AC＝，求AB的长．21．（8分）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率；（2）搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？22．（8分）如图，线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．（1）请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点C的坐标为；（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域记为图形T，若将图形T 围成一个几何体的侧面，求该几何体底面圆的半径长．23．（8分）在刚刚结束的市中学生篮球比赛中，小明共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y，前5场比赛的平均得分x，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．（1）用含x的代数式表示y；（2）当y＞x时，小明在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？（3）小明在第10场比赛中，得分可达到的最小值为多少？24．（10分）已知：如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y＝x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）请判断△OP A的形状并说明理由；（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OP A重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值．25．（10分）矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；（2）如图2，，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；（3）如图3，，点D的对应点F在PQ上．①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；②当n越来越大时，AE的长越来越接近于．26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．B．C．x2•x3＝x6D．﹣|﹣2|＝﹣2【分析】根据二次根式的定义，二次根式的加法法则，同底数幂的乘法法则以及绝对值的性质，可求得的答案．【解答】解：A、＝2，故本选项错误；B、+≠，故本答案错误；C、x2•x3＝x5，故本选项错误；D、﹣|﹣2|＝﹣2，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，同底数幂的乘法，绝对值的性质等知识．题目比较简单，解题要注意细心．2．（3分）估计68的立方根的大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间【分析】由于43＝64，53＝125，所以68的立方根在4和5之间，由此即可判定选择项．【解答】解：∵43＝64，53＝125，而64＜68＜125，∴4＜＜5．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的估算，需掌握三次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3．（3分）分式值为零的条件是（）A．x≠﹣1B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝±1【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．故x2﹣1＝0且x+1≠0，解得x的值即可．【解答】解：由题意可得x2﹣1＝0且x+1≠0，解得x＝1．故选：B．【点评】本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．4．（3分）甲、乙两人各射靶10次，他们命中环数的平均成绩为7环，但方差不同，S2甲＝2.5，S2乙＝1.8，那么（）A．甲的波动比乙的波动大B．乙的波动比甲的波动大C．甲、乙的波动大小一样D．甲、乙的波动大小无法确定【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：由于S甲2＜S乙2，则成绩较稳定的同学是甲．故选：A．【点评】此题主要考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．（3分）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）A．对角相等B．对角线相等C．邻角互补D．内角和是360°【分析】此题可根据平行四边形的性质结合每个选项进行分析判断是否．【解答】解：平行四边形的性质有：①对角相等，②内角和是360°，③对边相等且平行，④邻角互补，⑤对角线互相平分，那么B、对角线相等是平行四边形不具有的．故选：B．【点评】此题考查了学生对平行四边形的性质的理解与掌握，解题的关键是根据平行四边形性质分析判断．6．（3分）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象，根据图象下列结论错误的是（）A．轮船的速度为20千米/小时B．快艇的速度为40千米/小时C．轮船比快艇先出发2小时D．快艇不能赶上轮船【分析】观察图象，该函数图象表示的是路程与之间的函数关系，可知轮船出发4小时后被快艇追上，在4小时时快艇和轮船行驶的路程相等．【解答】解：观察图象，可知轮船出发4小时后被快艇追上，所以错误的是第四个结论．故选D．【点评】本题考查学生观察图象的能力，需仔细分析，从中找寻信息．7．（3分）下面说法错误的是（）A．直线y＝x就是一、三象限的角平分线B．函数y＝3x﹣10的图象经过点（3，﹣1）C．函数中y随x的增大而减小D．抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线x＝1【分析】根据二次函数、一次函数和反比例函数的性质进行解答，对于反比例函数，首先系数k的正负，然后判断图象所在象限和单调性，判断二次函数的对称轴，要把二次函数化成顶点式的形式进行判断．【解答】解：A、直线y＝x就是一、三象限的角平分线，正确，B、把点（3，﹣1）代入y＝3x﹣10中，式子成立，正确，C、反比例函数系数k＝2，函数图象经过一三象限，在各个象限内，y随x增大而减小，在整个定义域内y不是随x增大而减小，故本选项错误，D、抛物线y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故可得对称轴为x＝1，正确．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数、反比例函数和一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握这些函数的性质，本题是道基础性比较强的习题，同学们做题时需要细心．8．（3分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）A．B．C．D．【分析】该几何体的俯视图为一个圆，正视图以及左视图都是三角形，故可判断该几何体为圆锥．由已知三角形的边长为1，易得底面半径以及母线长，可求出侧面积．【解答】解：由图片中的三视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且其底面圆半径为，母线长为1，因此它的侧面积＝π××1＝．故选D．【点评】本题要先判断出几何体的形状，然后根据该几何体侧面积的计算方法进行计算．本题要注意圆锥侧面积的计算方式是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长．9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为20cm，sin∠BAD＝，DE⊥AB于点E，下列结论中：①S ABCD＝15cm2；②BE＝1cm；③AC＝3BD．正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由菱形的性质和三角函数，可求出AE的长，即可求解．【解答】解：由题意可得，菱形的边长为5cm，又∵sin∠BAD＝＝，∴DE＝3，所以AE＝4，∴S菱形ABCD＝5×3＝15cm2，BE＝AB﹣AE＝1cm，∴BD＝＝，∴AC＝15×2÷＝3，∴AC＝3BD．故可得①②③正确，共三个．故选：D．【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相平分且相等；菱形的面积等于对角线积的一半．此题还要注意结合三角函数求解．10．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．D．【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O 相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；Rt△ACD中，CD＝1，AC＝OC+OA＝3；由勾股定理，得：AD＝2；∴S△ACD＝AD•CD＝；易证得△AOE∽△ADC，∴＝（）2＝（）2＝，即S△AOE＝S△ADC＝；∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C．【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．11．（3分）《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是（）A．3步B．4步C．5步D．6步【分析】首先根据题意画出图，观察发现直角三角形的内切圆半径，恰好是直角三角形内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，这一面积相等，求得内切圆的半径．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝15步，BC＝8步，内切圆半径为r．AC＝（勾股定理），，S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝＝，∴＝，∴r＝＝＝3．∴直径为6．故选：D．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理，解决本题的关键是将求内切圆半径转化为从不同角度求Rt△ABC的面积．12．（3分）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2【分析】若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC ＝CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE＝AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．【解答】解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）分解因式：a2﹣a＝a（a﹣1）．【分析】这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式．【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项．14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围为x≤3．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：3﹣x≥0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．【分析】根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，6）、（1，6）两点，∴对称轴x＝＝；点（﹣2，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．【点评】本题考查了二次函数的对称性．16．（3分）两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是3或7．【分析】分5为较大圆、较小圆两种情况求解．【解答】解：分两种情况：当5为较大的圆时，另一个圆的半径＝5﹣2＝3；当5为较小的圆时，另一个圆的半径＝5+2＝7．∴另一个圆的半径是3或7．【点评】本题用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差．注意其中一圆的半径可能在较大圆，也有可能在较小圆．17．（3分）标有1，1，2，3，3，5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y，得到平面直角坐标系中的一个点（x，y）．已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为．【分析】根据概率的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：每掷一次可能得到6个点的坐标分别是（其中有两个点是重合的）：（1，1），（1，1），（2，3），（3，2），（3，5），（5，3），通过描点和计算可以发现，经过（1，1），（2，3），（3，5），三点中的任意两点所确定的直线都经过点P（4，7），所以小明第三次掷得的点也在直线l上的概率是＝．故答案为：【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．18．（3分）如图，有任意四边形ABCD，A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D的对称点，设S表示四边形ABCD的面积，S′表示四边形A′B′C′D′的面积，则的值为5．【分析】根据C是BB′的中点，则根据三角形的面积公式可得△A′BC的面积＝△A′B′C的面积，则△AA′D′的面积、△C′D′D的面积、△B′C′C的面积即可求得．【解答】解：连接A'C、BD，∵C是BB′的中点．∴△A′BC的面积＝△A′B′C的面积．同理：△A′BC的面积＝△ABC的面积．∴△A′BB′的面积＝2△ABC的面积．同理：△AA′D′的面积＝2△ABD的面积，△C′D′D的面积＝2△ACD的面积，△B′C′C的面积＝2△BCD的面积．∵△ABC的面积+△ABD的面积+△ACD面积+△BCD的面积＝2S，∴△A′BB′的面积+△AA′D′的面积+△C′D′D的面积+△B′C′C的面积＝4S，∴S′＝5S，∴的值为5．【点评】本题考查轴对称的性质与三角形的面积的计算，正确理解三角形的面积公式是解题的关键．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．【分析】根据△＝0时，方程有两个相等的两个实数根列出方程，解方程求出m，利用因式分解法解方程求出方程的根．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，∴△＝42﹣4×1×（m﹣1）＝20﹣4m＝0，解得，m＝5，x2﹣4x+4＝0（x﹣2）2＝0，x1＝x2＝2．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．20．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD＝3，AC＝，求AB的长．【分析】（1）连接OC；根据切线的性质知：OC⊥CD；因此只需证OC∥AD即可．已知AC平分∠BAD，即∠DAC＝∠BAC，等腰△OAC中，∠OAC＝∠OCA，等量代换后可得出OC、AD的内错角相等，由此得证．（2）连接BC，证△ADC∽△ACB，根据相似三角形得出的对应边成比例线段，可将AB 的长求出．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC．∴∠DAC＝∠OCA．∴OC∥AD．∴AD⊥CD．（2）解：连接BC，则∠ACB＝90°．∵∠DAC＝∠OAC．∴△ADC∽△ACB．∴＝．∴AB＝＝＝5．【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．21．（8分）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率；（2）搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；（2）首先设应添加x个红球，根据概率公式即可列得方程，解方程即可求得答案．【解答】解：（1）树状图如图：∵一共有6种情况，两个球都是白球有2种，∴P（两个球都是白球）＝；（2）设应添加x个红球，由题意得：，解得x＝3，经检验是原方程的解，答：应添加3个红球．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，以及古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（8分）如图，线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．（1）请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点C的坐标为（5，0）；（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域记为图形T，若将图形T 围成一个几何体的侧面，求该几何体底面圆的半径长．【分析】（1）由旋转的性质可画出线段AC，点B经过的路径是以点A为圆心，AB长为半径的弧；（2）根据点AB的坐标建立直角坐标系，从而得出点C的坐标；（3）线段AB扫过的图形为扇形，它所围成的几何体为圆锥，可计算出圆锥的底面周长，从而求得底面半径．【解答】解：（1）如图；（2）C的坐标为（5，0）；（3）l＝＝，设该几何体底面圆的半径r，则2πr＝，解得r＝，该几何体底面圆的半径长为．【点评】本题考查了扇形面积的计算、坐标与图形的性质，以及圆锥的计算，解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．23．（8分）在刚刚结束的市中学生篮球比赛中，小明共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y，前5场比赛的平均得分x，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．（1）用含x的代数式表示y；（2）当y＞x时，小明在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？（3）小明在第10场比赛中，得分可达到的最小值为多少？【分析】（1）根据前5场比赛的平均得分x，以及第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，以及前9场比赛的平均得分y，可以得出等式求出即可；（2）根据x的最值，可以求出总分的最大值；（3）根据10场比赛的得分最小值可以求出第10场比赛的最小值．【解答】解：（1）根据题意得：y＝（5x+22+15+12+19），即y＝x+；（2）由题意有y＞x，即5x+68＞9x解得：x＜17，小明在前5场比赛中总分的最大值应为17×5﹣1＝84；（3）由题意，小明在这10场比赛中得分至少为18×10+1＝181，设他在第10场比赛中的得分为S，则有：84+（22+15+12+19）+S≥181，解得：S≥29，所以小明在第10场比赛中得分的最小值应为29．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一次函数与一次不等式的综合应用，根据不等式确定最值是初中阶段的难点问题，同学们应认真思考．24．（10分）已知：如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y＝x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）请判断△OP A的形状并说明理由；（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OP A重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值．【分析】（1）由两直线相交可列出方程组，求出P点坐标；（2）将y＝0代入y＝﹣x+4，可求出OA＝4，作PD⊥OA于D，则OD＝2，PD ＝2，利用tan∠POA＝，可知∠POA＝60°，由OP＝4．可知△POA是等边三角形；（3）①当0＜t≤4时，在Rt△EOF中，∠EOF＝60°，OE＝t，则EF＝，OF＝，则S＝•OF•EF＝t2；②当4＜t＜8时，如图，设EB与OP相交于点C，易知：CE＝PE＝t﹣4，AE＝8﹣t，可得AF＝4﹣，EF＝（8﹣t），有OF＝OA﹣AF＝4﹣（4﹣）＝，S＝（CE+OF）•EF＝﹣t2+4t﹣8．【解答】解：（1）由题意可得：，解得，所以点P的坐标为（2，2）；（2）将y＝0代入y＝﹣x+4，﹣x+4＝0，∴x＝4，即OA＝4，作PD⊥OA于D，则OD＝2，PD＝2，∵tan∠POA＝＝，∴∠POA＝60°，∵OP＝＝4，∴△POA是等边三角形；（3）①当0＜t≤4时，如图1，在Rt△EOF中，∵∠EOF＝60°，OE＝t，∴EF＝，OF＝，∴S＝•OF•EF＝t2．当4＜t＜8时，如图2，设EB与OP相交于点C，∵CE＝PE＝t﹣4，AE＝8﹣t，∴AF＝4﹣，EF＝（8﹣t），∴OF＝OA﹣AF＝4﹣（4﹣）＝，∴S＝（CE+OF）•EF＝（t﹣4+t）×（8﹣t），＝﹣t2+4t﹣8；②当0＜t≤4时，S＝，t＝4时，S最大＝2；当4＜t＜8时，S＝﹣t2+4t﹣8＝﹣（t﹣）2+，t＝时，S最大＝．∵＞2，∴当t＝时，S最大，最大值为．【点评】把动点问题与三角形的性质相结合，增加了难度，在解答时要注意t在三个取值范围内的情况，不要漏解．25．（10分）矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；（2）如图2，，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；（3）如图3，，点D的对应点F在PQ上．①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；②当n越来越大时，AE的长越来越接近于12．【分析】（1）根据P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中点，可得，从而可得∠AFP＝30°，∠F AD＝60°然后利用三角函数值即可求解．（2）根据，求得FP，利用DE＝EF，∠AED＝∠AEF，∠AED＝∠FGE，求证EF＝GF，设DE＝x，则GF＝x利用△APG∽△ADE的对应边成比例可求的AE．（3）①可得，②当n越来越大时，根据可判定AE的长．【解答】解：（1）∵P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中点，∴，∴∠AFP＝30°，∴，∴∠F AD＝60°，∴，∴，（2）∵，∴∴，∵DE＝EF，∠AED＝∠AEF，∠AED＝∠FGE，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，设DE＝x，则GF＝x∵△APG∽△ADE，∴，∴∴，∴，∴；（3）①可得，②∵，∴当n越来越大时，AE越来越接近于12．故答案为：12．【点评】此题涉及到相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）等知识点，综合性较强，特别是翻折变换（折叠问题）要求学生应具备一定的空间想象能力，因此此题有一定的拔高难度，属于难题．26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意与图象可得点C的坐标，根据圆的性质可得点B的坐标，根据对称轴方程与点B的坐标即可求得函数的解析式；（2）由抛物线的解析式可求得点A，E，B，C，D的坐标，判断Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin（α﹣β）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC＝；（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0），过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2（0，），过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0），故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点。

浙江省镇海中学自主招生数学试卷及答案

2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷

2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷一．选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y＝﹣x上B．抛物线y＝x2上C．直线y＝x上D．双曲线xy＝1上2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35B．30C．25D．203．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF 交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF＝：1C．AF2＝FH•FE D．FB：FC＝HB：EC5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF 的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22B．24C．36D．446．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30B．35C．56D．448二．填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sin A cos A+cos2A＝0，则tan A＝．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆∁k的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）三．解答题（本题有4个小题，共60分）13．（14分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD＝AE；（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面积．14．（14分）已知抛物线y＝x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．16．（16分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB＝3，AD＝2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y＝x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y＝ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y＝x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y＝﹣x上B．抛物线y＝x2上C．直线y＝x上D．双曲线xy＝1上【分析】根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可．【解答】解：A、y＝﹣x即表示x与y互为相反数，故本选项正确；B、例如（﹣1，1），就符合抛物线的解析式y＝x2，故本选项正确；C、当该点坐标为（0，0）时，该点就在直线y＝x上，故本选项正确；D、因为xy＝1，所以x和y同号，该点不在双曲线xy＝1上，故本选项错误．故选：D．【点评】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．根据函数不同特点，都对符号作出判断即可．2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35B．30C．25D．20【分析】设距离为S，原来速度为v．分别表示现在速度、时间、原来的时间，根据“时间可节省k%”列方程求解．【解答】解：设距离为S，原来速度为v．则原来行车时间为；现在速度为（1+25%）v，时间为．根据题意得＝k%．解得k＝20．故选：D．【点评】此题考查列分式方程解应用题，难度在设参数，解字母系数的方程．3．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．【解答】解：∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3＝﹣0.000 000 001，＝﹣0.1，＝﹣1000，∴最小，a3最大，故选：A．【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤．4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF 交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF＝：1C．AF2＝FH•FE D．FB：FC＝HB：EC【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．【解答】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF＝AE，∠F AB＝∠EAD，∠F AB+∠BAE＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°．∴AE⊥AF，所以A正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF＝：1，所以B正确；∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC＝HB：EC，所以D正确．∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2＝FH•FE不正确．故选：C．【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF 的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22B．24C．36D．44【分析】可设S△ADF＝m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．【解答】解：如图，连AF，设S△ADF＝m，∵S△BDF：S△BCF＝10：20＝1：2＝DF：CF，则有2m＝S△AEF+S△EFC，S△AEF＝2m﹣16，而S△BFC：S△EFC＝20：16＝5：4＝BF：EF，又∵S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝5：4，而S△ABF＝m+S△BDF＝m+10，∴S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝5：4＝（m+10）：（2m﹣16），解得m＝20．S△AEF＝2×20﹣16＝24，S ADEF＝S△AEF+S△ADF＝24+20＝44．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．6．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30B．35C．56D．448【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152＝105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3＝每天3个班再用105除以3＝35天．【解答】解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152＝105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105÷（24÷8）＝35（天）．故选：B．【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．二．填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sin A cos A+cos2A＝0，则tan A＝0.5．【分析】先根据解一元二次方程的配方法，得出2sin A﹣cos A＝0，再根据tan A的定义即可求出其值．【解答】解：由题意得：（2sin A﹣cos A）2＝0，解得：2sin A﹣cos A＝0，2sin A＝cos A，∴tan A＝＝＝0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及利用配方法解一元二次方程的知识，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解答】解：如下图所示，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，则BC＝3x，AC＝12x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2＝OB2；在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2＝AO2；在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2＝AB2＝（15x）2；∴122+（3x）2+122+（12x）2＝（15x）2，解得：x＝2或﹣2（舍去）．即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是y＝﹣x2﹣x+．【分析】根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，∴A点的坐标为：（﹣4，2），B点的坐标为：（﹣2，6），C点的坐标为：（2，4），将A，B，C代入y＝ax2+bx+c，，解得：，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+．故答案为：y＝﹣x2﹣x+．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20cm．【分析】首先根据题意作图，可得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC＝20cm，BD＝5cm，然后过点B作BE⊥AC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB 是矩形，则在Rt△AEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长．【解答】解：如图，根据题意得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC＝20cm，BD＝5cm，∴AB＝25cm，AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD＝∠BDC＝90°，过点B作BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴四边形ECDB是矩形，∴BE＝CD，EC＝BD＝5cm，∴AE＝AC﹣EC＝15cm，在Rt△AEB中，BE＝＝＝20（cm），∴CD＝20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是（﹣，﹣2）．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质B是物质A的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A 与物质B的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1，物质A行的路程为16×＝，物质B行的路程为16×＝，在BC边相遇；②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2，物质A行的路程为16×2×＝，物质B行的路程为16×2×＝，在DE边相遇；③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3，物质A行的路程为16×3×＝16，物质B行的路程为16×3×＝32，在A点相遇；④第四次相遇物质A与物质B行的路程和为16×4，物质A行的路程为16×4×＝，物质B行的路程为16×4×＝，在BC边相遇；⑤第五次相遇物质A与物质B行的路程和为16×5，物质A行的路程为16×5×＝，物质B行的路程为16×5×＝，在DE边相遇；…综上可得相遇三次一个循环，因为11＝3×3+2，即第11次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第11次相遇在边DE上，点的坐标是（﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】此题属于应用类问题，主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆∁k的半径为（﹣1 ）k﹣1 a（k为正整数，用a表示，不必证明）【分析】（1）连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，得到AC＝2a﹣2r，根据正方形的性质和勾股定理得到AC＝2r，推出方程2a﹣2r＝2r，求出即可；（2）求出r＝（﹣1）a，r3＝（﹣1）r＝a，r4＝，得出圆∁k 的半径为r k＝（﹣1 ）k﹣1 a即可．【解答】（1）解：连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，∴AC＝2a﹣2r，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，由勾股定理得：AC＝2r，∴2a﹣2r＝2r，解得：r＝（﹣1）a，故答案为：（﹣1）a．（2）解：由（1）得：r＝（﹣1）a，同理圆C3的半径是r3＝（﹣1）r＝a，C4的半径是r4＝，…圆∁k的半径为r k＝（﹣1 ）k﹣1 a，故答案为：r k＝（﹣1 ）k﹣1 a．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键．三．解答题（本题有4个小题，共60分）13．（14分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD＝AE；（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面积．【分析】（1）根据O为AD中点，OC∥AE，得到2OC＝AE，再根据AD是圆O的直径，得到2OC＝AD，从而得到AD＝AE；（2）根据平行四边形的性质得到BC∥AD，再根据C为中点，得到AB＝BE＝4，从而求得BC＝BE＝4，然后连接BD，得到∠DBE＝90°，进而得到BE＝BC＝CE＝4，然后求面积即可．【解答】解：（1）∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC＝AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC＝AD，∴AD＝AE．（2）连接BC，由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又AE＝2OC，∴AB＝BE＝4，∵AD＝AE，∴BC＝BE＝4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE＝90°，∴DB⊥AE，∵AB＝BE，∴DA＝DE＝AE，∴△AED是等边三角形，∴BC＝OA＝BE＝CE＝4，∴△BCE是等边三角形，∴所求面积为4．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理．14．（14分）已知抛物线y＝x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．【分析】（1）先判断出△的符号即可得出结论；（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b＝﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．【解答】解：（1）∵△＝4p2﹣8p+8＝4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2＝|x2﹣x1|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4p2﹣8p+8＝4（p﹣1）2+4，∴|AB|＝2．又设顶点M（a，b），由y＝（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．得b＝﹣（p﹣1）2﹣1．当p＝1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM＝|AB||b|取最小值1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．【分析】（1）首先假设A队胜x场，平y场，负z场，得出x+y+z＝12，3x+y＝19，即可得出y，z与x的关系，再利用x≥0，y≥0，z≥0，得出即可；（2）根据图表奖金与出场费得出W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z，进而得出即可．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x＝4时，y＝7，z＝1；当x＝5时，y＝4，z＝3；当x＝6时，y＝1，z＝5．（2）∵W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z＝﹣600x+19300当x＝4时，W最大，W最大值＝﹣600×4+19300＝16900（元）答：W的最大值为16900元．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识，利用已知得出x+y+z＝12，3x+y＝19，进而得出y，z与x的关系是解题关键．16．（16分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB＝3，AD＝2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y＝x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y＝ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y＝x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y＝x﹣1与C 点不过y＝x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y＝ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，即可求得a的取值范围；②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF＝n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y＝x﹣1下方．【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；若C点过y＝x﹣1；则2＝（m+3）﹣1，m＝﹣1与m＞0不合；∴C点不过y＝x﹣1；若点D过y＝x﹣1，则2＝m﹣1，m＝2，∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M（，0），由于y＝ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，∴，∴，∴y＝ax2﹣7ax+10a（也可得：y＝a（x﹣2）（x﹣5）＝a（x2﹣7x+10）＝ax2﹣7ax+10a）∴y＝a（x﹣）2﹣a；∴抛物线顶点P（，﹣a）∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，∴＜﹣a＜2，∴﹣＜a＜﹣．②设切线CF与⊙M相切于N，交AD于F，设AF＝n，n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴AF＝NF，CN＝BC＝2，∴CF＝n+2，DF＝2﹣n；在Rt△DCF中，∵DF2+DC2＝CF2；∴32+（2﹣n）2＝（n+2）2，∴n＝，∴F（2，）∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴﹣a＝，∴a＝﹣；∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x﹣5，抛物线与y轴的交点为Q（0，﹣5），又直线y＝x﹣1与y轴交点（0，﹣1）；∴Q在直线y＝x﹣1下方．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。

2017年镇海中学高三模拟考数学卷和答案

2017 届镇海中学高考模拟卷数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)= P(A)+ P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A•B)= P(A)•P(B) 柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 1 V= Sh 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p，那么 n 3 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. k k Pn(k)= Cn 球的表面积公式 p (1 p )n k (k 0,1, 2, , n) 台体的体积公式 V=
为 . 12．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的所有棱长之和为____ _ cm ，体积为_ ____ cm3 ．
13．已知随机变量的概率分布列为：
则 E ________
2 2
__， D ____
______.
14.已知圆 C : x y 2 x 4 y 1 0 上存在两点关于直线 l : x my 1 0 对称，经过点
别为 A1 B1 和 CC1 的中点， D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点)，若
GD EF ，则线段 DF 的长度的取值范围为（
A.
） D.
5 ,1 5
B.

5 ,1 5
C.
2 5 ,1 5

2

5
A. 5
B. 10

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