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根轨迹法
根轨迹法一、定义：〈①〉()()()01111*0=+++=+∏∏==nj imi ip s z s Ks G 。
其中*K 为根轨迹增益。
开环放大倍数∏∏===nj jmi ipzKK 11*闭环特征方程的根随参数*K 而变化的轨迹，称为根轨迹。
其符合两个条件：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∠+=∠=非最小相位系统或最小相位系统相角条件：幅值条件：,2,121000ππk s G k s G s G〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹 〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹 ②根轨迹条数=Max （n,m ），起点为开环极点（0=g K ），终点为开环零点（∞→g K ）③渐进线条数：（n-m ）条，与实轴交点坐标：mn --=∑∑零点极点1σ与实轴夹角：()mn k -+±=πϕ121。
④分离点与会合点：使0*=dsdK ，并使*K >0的点 ⑤复数极点出射角：∑∑-+︒=量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1801p θ对非最小相位系统∑∑-='量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1p θ 复数零点的入射角：∑∑+-︒=角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1801z θ对非最小相位系统∑∑+-='角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1z θ⑥与虚轴交点：（a ）用劳斯判据确定，用辅助方程求得（b ）ωj s =代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得例1：()()()210++=s s s Ks G解：渐进线（3条）：()()10321-=--+-=σ，()πππϕ,3312=+±=k由()()0211=+++s s s K，则()()21++-=s s s K ，()()026323223*=++-=++-=s s dsss s d ds dK ，得 ⎩⎨⎧-=-==-=385.0,577.1385.0,423.0*22*11K s K s 与虚轴的交点：方法一02323=+++K s s s ，劳斯阵：Ks K sKs s 0123323021-要与虚轴有交点，则有一行全零，即6032=⇒=-K K辅助方程：j s s 20632,12±=⇒=+ 方法二将ωj s =代入特征方程：()()()02323=+++K j j j ωωω2,60320332==⇒=-=-ωωωωK K 虚部：实部：，则与虚部的交点6,22,1=±=K j s 根轨迹如下图例2：()()32220+++=s s s K s G 解：渐进线一条。
自动控制第五章根轨迹法资料
8
绘制根轨迹的基本条件
根轨迹的幅值条件：
n
s pj
j 1
负反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为00根轨迹；
9
绘制根轨迹的基本条件
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
➢ 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分 布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。
➢ 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分 布，与开环根轨迹的增益K1无关。
2
第一章根轨迹的基本概念
根轨迹的概念的提出 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解
出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于 3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根 的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基 础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的 图解方法。
12
第二节 绘制根轨迹的基本规则
当K1 时，① s z j ( j 1 ~ m) ，上式成立。 z j 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在
利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应 有的结构和参数。
3
第一节 根轨迹的基本概念
第四章 根轨迹法
0 0
r 0,1,2,, n m 1
jω
5 3
r 0, 600 r 1, 1800 r 2, 3000
0
σ
五.实轴上的根轨迹 规则五：实轴右侧的开环零、极点个数总和为奇数时， 该实轴段属于根轨迹。
相角条件
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
求取分离点与会合点的方法
计算思想：寻找特征方程中k的极值。 闭环特征方程： 1 G ( s ) H ( s ) 0
k ( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) k N( s ) G(s) H (s) ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) D( s)
根轨迹终止于[s]平面的无穷远处。
闭环特征方程：
( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) 1 ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) k
当k→∞，得
( s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0
即 s z j ( j 1,2,..., m) 闭环极点就是开环零点。 说明根轨迹终止于开环零点。
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
j 1 i 1
m
n
r 0,1,2,
按相角条件绘制根轨迹图
具体方法是：在复平面上选足够多的试验点，对每 一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该 点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最 后将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。
k=2 k=0 －2 k=1 －1
K→∞
jω
j k=0 0
r 0,1,2,, n m 1
jω
5 3
r 0, 600 r 1, 1800 r 2, 3000
0
σ
五.实轴上的根轨迹 规则五：实轴右侧的开环零、极点个数总和为奇数时， 该实轴段属于根轨迹。
相角条件
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
求取分离点与会合点的方法
计算思想：寻找特征方程中k的极值。 闭环特征方程： 1 G ( s ) H ( s ) 0
k ( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) k N( s ) G(s) H (s) ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) D( s)
根轨迹终止于[s]平面的无穷远处。
闭环特征方程：
( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) 1 ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) k
当k→∞，得
( s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0
即 s z j ( j 1,2,..., m) 闭环极点就是开环零点。 说明根轨迹终止于开环零点。
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
j 1 i 1
m
n
r 0,1,2,
按相角条件绘制根轨迹图
具体方法是：在复平面上选足够多的试验点，对每 一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该 点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最 后将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。
k=2 k=0 －2 k=1 －1
K→∞
jω
j k=0 0
第4章 根轨迹法
i =1
m n
sk
s+
jω
s+p
s
j=1 n
=
1 ； K gk
−z j
z
j
i
αj
βi
σ
0
∑ α jk − ∑ βik = ±180 (1 + 2k) (k = 1, 2,⋯)
j=1 i =1
−p i
幅值条件为：
∏ s + zj ∏ s + pi
i =1 j=1 n
m
1 = Kg
幅角条件：
∑ α j − ∑ βi = ±180 (1 + 2k)
j=1 i =1
m
n
(k = 1, 2,⋯)
三、应用幅值条件确定 K g 值
jω
△
某控制系统的开环传递函数为
1 K g (s + ) K(8s + 1) 8 G(s)H(s) = 2 = s (2s + 1) s 2 (s + 1 ) 2
-0.5 L3
sk L 1,2 l 60° σ
1 8 1 p1 = − 2 z1 = −
可见，闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成， 闭环零极点放大系数等于前向通道零极点放大系数 K Gg 。
一、根轨迹的连续性 第二节 绘制根轨迹的一般规则 二、根轨迹的分支数 三、根轨迹的对称性 四、根轨迹的起点和终点
m m
j=1 lim n s→∞ i =1
∏ s + zj ∏ s + pi
六、根轨迹的分离点和会合点
D(s) K g (s) = − N(s)
dK g (s) ds
=0
D' (s)N(s) − N ' (s)D(s) = 0
m n
sk
s+
jω
s+p
s
j=1 n
=
1 ； K gk
−z j
z
j
i
αj
βi
σ
0
∑ α jk − ∑ βik = ±180 (1 + 2k) (k = 1, 2,⋯)
j=1 i =1
−p i
幅值条件为：
∏ s + zj ∏ s + pi
i =1 j=1 n
m
1 = Kg
幅角条件：
∑ α j − ∑ βi = ±180 (1 + 2k)
j=1 i =1
m
n
(k = 1, 2,⋯)
三、应用幅值条件确定 K g 值
jω
△
某控制系统的开环传递函数为
1 K g (s + ) K(8s + 1) 8 G(s)H(s) = 2 = s (2s + 1) s 2 (s + 1 ) 2
-0.5 L3
sk L 1,2 l 60° σ
1 8 1 p1 = − 2 z1 = −
可见，闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成， 闭环零极点放大系数等于前向通道零极点放大系数 K Gg 。
一、根轨迹的连续性 第二节 绘制根轨迹的一般规则 二、根轨迹的分支数 三、根轨迹的对称性 四、根轨迹的起点和终点
m m
j=1 lim n s→∞ i =1
∏ s + zj ∏ s + pi
六、根轨迹的分离点和会合点
D(s) K g (s) = − N(s)
dK g (s) ds
=0
D' (s)N(s) − N ' (s)D(s) = 0
根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
根轨迹法-精选文档
则根轨迹方程可表示为
180 ( 2 k 1 ), k 1 , 2 ,
i 1 zi j 1 pj
m
n
K
m
A zi A pj
i1 n
1
j1
5.3绘制根轨迹的基本法则
系统开环增益K变化时绘制根轨迹法则如下：
1)根轨迹的起点与终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如 果 开环零点数m小于开环极点数n，则有(n-m)条根 轨迹终止于无穷远处。
比较复杂，特别是当分析系统参数变化对整个系统的 影响时，就显得非常复杂与不便。根轨迹法是通过图
解法方便的表示闭环极点和系统某一参数变化的全部
关系，在工程上得到了较广泛的应用。
5.1根轨迹的概念
根轨迹是开环系统的某一参数从零变到无穷 时，闭环特征方程的根在s平面运行的轨迹。
根轨迹是通过系统开环传递函数和闭环传递 函数之间的关系来建立的，表现的是闭环极点随 系统某一参数变化而产生的变化，进而通过这些 变化来分析系统的性能。
根轨迹方程也可表示为： 相角条件
[ G ( s ) H ( s )] 180 ( 2 k 1 ), k 0 , 1 , 2 ,
幅值条件
G (s )H (s ) 1
传递函数也可写为如下形式： K ( s z )( s z ) ( s z ) 1 2 m G ( s ) H ( s ) ( s p )( s p ) ( s p ) 1 2 n 其向量表达式为： j j zm z 1 K A e A e 1 zm G ( s ) H ( s ) z j j p 1 pn A e A e p 1 pn
180 ( 2 k 1 ), k 1 , 2 ,
i 1 zi j 1 pj
m
n
K
m
A zi A pj
i1 n
1
j1
5.3绘制根轨迹的基本法则
系统开环增益K变化时绘制根轨迹法则如下：
1)根轨迹的起点与终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如 果 开环零点数m小于开环极点数n，则有(n-m)条根 轨迹终止于无穷远处。
比较复杂，特别是当分析系统参数变化对整个系统的 影响时，就显得非常复杂与不便。根轨迹法是通过图
解法方便的表示闭环极点和系统某一参数变化的全部
关系，在工程上得到了较广泛的应用。
5.1根轨迹的概念
根轨迹是开环系统的某一参数从零变到无穷 时，闭环特征方程的根在s平面运行的轨迹。
根轨迹是通过系统开环传递函数和闭环传递 函数之间的关系来建立的，表现的是闭环极点随 系统某一参数变化而产生的变化，进而通过这些 变化来分析系统的性能。
根轨迹方程也可表示为： 相角条件
[ G ( s ) H ( s )] 180 ( 2 k 1 ), k 0 , 1 , 2 ,
幅值条件
G (s )H (s ) 1
传递函数也可写为如下形式： K ( s z )( s z ) ( s z ) 1 2 m G ( s ) H ( s ) ( s p )( s p ) ( s p ) 1 2 n 其向量表达式为： j j zm z 1 K A e A e 1 zm G ( s ) H ( s ) z j j p 1 pn A e A e p 1 pn
根轨迹
2
G0 s
K ss 1s 2
2 j s2 2 j
求 s3 ?
4．3广义根轨迹 (前面按根轨迹方程K从0→∞变化时的根轨迹叫常规根轨迹) 除根轨迹增益K变化以外的根轨迹统称为广义根轨迹。 如：参数根轨迹，m>n时的根轨迹，零度根轨迹 一、参数根轨迹 以根轨迹增益K以外的参数为可变参数绘制的根轨迹，称为参数根轨迹。
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
倾角（方向角）为：
2k 1
nm
k 0,1,2,n m 1
5．实轴上的根轨迹仅决定于实轴上的开环极点和开环零点。若实轴上某线段右边的实零、极点总数
为奇数，则该线段是根轨迹，为偶数时不是。 6．根轨迹的分离点与分离角。两条或两条以上根轨迹分支在s平面相遇又立即分开的点，称为根轨 迹的分离点。根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向的夹角称为根轨迹的分离角。 m n m 1 ★无零点时， 分离点的坐标d满足方程： 1 1 0
k * k
(s )
=
(s p i ) k * (s z j )
i 1
j 1
n
k (s z i ) (s p j ) j 1
* G i 1
f
h
m
三、根轨迹方程
特征方程：
根轨迹方程
特征方程 1+GH = 0
1 Gs H s 0
1 K
s z
例：已知 G0 s s s 2
K s 4
,确定分离点或会合点,证明根轨迹在实轴外的部分是圆。
n m p a 2k 1 p a z j pa pi i 1 j 1 ia n m z a 2k 1 z a z j z a pi i 1 jj 1 a
根轨迹法
四．根轨迹法反馈系统的稳定性由系统的闭环极点确定。
研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，是分析系统和设计控制器的重要内容。
参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上。
对于高阶系统，用解析方法说明这种影响，很困难，且不易理解。
图解法是一种方便的近似方法。
4-1 根轨迹法的基本概念 1． 根轨迹概念根轨迹法：根据参数变化∞→0，研究系统闭环极点变化轨迹的一种图解方法。
即在参数变化时图解特征方程。
近似作图；重要区域，如与虚轴的交点与实轴的交点等，根轨迹要准确；依据根轨迹图，可以确定合适的系统参数，为设计控制器提供依据。
例图4-1，研究系统的开环增益K 的变化∞→0， 对闭环极点的影响。
开环传递函数)15.0()(+=s s Ks G ，闭环传递函数Ks s K s 222)(2++=Φ，特征方程0222=++K s s ，根轨迹方程1)2(-=+s s k ，∞→=0,2K k 。
该例的解析分析为2/11)21(1K s -+-=，2/12)21(1K s ---=。
参见图4-2。
开环极点X ，开环零点O ；根轨迹上的箭头表示参数增大的方向。
2． 根轨迹与系统性能 以图4-2为例，(1) 稳定性： 根轨迹始终都处于S 平面左半部，则无论参数取多大的值，闭环系统稳定；若在参数的某些取值范围，有根轨迹段(闭环极点)处于S 平面右半部，则闭环系统在该参数范围不稳定。
根轨迹与虚轴的交点出的参数值，为参数临界值。
(2) 稳态性能：在研究开环增益K 对闭环极点作用时，据在原点处的开环极点个数就可以知道系统的误差型别。
(3) 动态性能：从根轨迹上的共轭复数极点，能够知道该振荡模态的阻尼系数，对高阶系统的动态性能有粗略估计。
3． 根轨迹方程根轨迹方程实际上是便于应用规则绘制根轨迹图的标准形式的特征方程。
例 已知负反馈开环传递函数：∏∏==------=++++++++=ni i mj j nn n n mm m m p s z s k a s a s a s b s b s b s b s H s G 111111110)()()()( ；根轨迹方程1)()(11-=--∏∏==ni i mj j p s z s k 。
根轨迹法基本概念
KG0 (s)
则闭环特征方程为:
1 K num 0 den
特征方程旳根随参数K旳变化而变化,即为闭环根轨迹.
项目1:已知系统旳开环传递函数模型为：
K Gk (s) s(s 1)(s 2) KG0(G)
利用下面旳ＭＡＴＬＡＢ命令可轻易地绘制出系统旳根轨迹 >>G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);
引言
A.闭环系统旳稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程旳根。
B.当待定参数变化时特征根随之变 化，这个根旳变化轨迹就形成根轨迹。
C.用来研究根轨迹旳变化规律以及 和闭环系统性能间旳关系旳措施，称为 控制系统根轨迹分析法。
§4.2 根轨迹旳概念
要求： 1)掌握根轨迹旳概念 2)掌握根轨迹幅值条件和相角条件
2)相角条件是决定根轨迹旳充要条件， s平面上一点若满足相角条件,即为根轨迹 上旳一点。
3)幅值方程用于拟定根轨迹上一点旳K值;
根轨迹点
幅值方程
四. 根轨迹与系统性能
1.稳定性 假如系统特征方程旳根都位于S平面 旳左半部，系统是稳定旳，不然是不稳定旳。若
根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交
另一种问题是，经过解方程求得旳闭环 极点，是在系统参数一定旳情况下求得旳。 但当系统中旳参数变化时，如开环增益K变化 时，又得重新解方程求根，因而很不以便。
为了处理以上问题，1948年，伊万斯提 出了控制系统分析设计旳根轨迹法。
这种措施是根据反馈控制系统旳开环、闭 环极点传递函数之间旳关系，根据一定旳准 则，直接由开环传递函数旳零、极点，求出 闭环极点。从而，比较轻易旳得到系统旳性能.
要点： 1)根轨迹旳概念 2)闭环系统旳特征根旳根轨迹与开环 传递函数旳关系
根轨迹的基本概念
根轨迹分析法
根轨迹分析法就是利用根轨迹对系统进行分析 和设计的一种图解方法。该方法利用特征根在s平 面上的位置，分析系统参数变化对系统特征根的 影响，从而根据系统特征根位置与瞬态响应的关 系，可直观地分析系统参数与系统的稳态响应和 瞬态响应的关系。
第一节 根轨迹的基本概念
.一根轨迹的基本概念 1.定义：系统开环传递函数的某一参数变化 时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹，称 为根轨迹，一般取开环增益k为可变参数。
第一节 根轨迹的基本概念
特别是当系统高于三阶时，求解特征根是相当 困难的，尤其是当参数变化时，要求出特征方程 的根，就更加困难了。因此在实际中常用图解的 方法绘制根轨迹。
为了减少多次求解代数方程的工作量，1948 年埃文斯(W.R.Evans)提出了根轨迹分析法，这种 方法不直接求解特征方程，而是根据反馈控制系 统开、闭环传递函数之间内在联系，提出一种在s 平面上，根据系统开环零、极点的分布，用几何 作图的方法，确定闭环系统特征方程根的图解方 法。
由此可见，当 k由0至变化时，特征根s1,s2均 在s平面的左半平面，因此，系统对所有k值均是 稳定的。但是系统在不同的k值下，其动态特性不 同，为了使系统尽可能稳、准、快地结束，应多 次改变k值，以调节闭环极点在s平面的位置，达 到寻求理想的输出特性曲线的目的。但每改变一 次k值，需重新求解一次闭环特征方程，这使得系 统的分析、计算工作量很大。
第一节 根轨迹的基本概念
二.根轨迹与系统性能
有了根轨迹，就可以通过它对系统的控制性能进 行分析。 K=2
1.稳定性。
从图中可以看出，
k=0 -2 K=1 -1 k=0 0
当k由0∞变化时，
根轨迹均在s平面的左半平面，因此该系统对所有 的k值都是稳定的，这一结论与劳斯判据所得的一
根轨迹分析法就是利用根轨迹对系统进行分析 和设计的一种图解方法。该方法利用特征根在s平 面上的位置，分析系统参数变化对系统特征根的 影响，从而根据系统特征根位置与瞬态响应的关 系，可直观地分析系统参数与系统的稳态响应和 瞬态响应的关系。
第一节 根轨迹的基本概念
.一根轨迹的基本概念 1.定义：系统开环传递函数的某一参数变化 时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹，称 为根轨迹，一般取开环增益k为可变参数。
第一节 根轨迹的基本概念
特别是当系统高于三阶时，求解特征根是相当 困难的，尤其是当参数变化时，要求出特征方程 的根，就更加困难了。因此在实际中常用图解的 方法绘制根轨迹。
为了减少多次求解代数方程的工作量，1948 年埃文斯(W.R.Evans)提出了根轨迹分析法，这种 方法不直接求解特征方程，而是根据反馈控制系 统开、闭环传递函数之间内在联系，提出一种在s 平面上，根据系统开环零、极点的分布，用几何 作图的方法，确定闭环系统特征方程根的图解方 法。
由此可见，当 k由0至变化时，特征根s1,s2均 在s平面的左半平面，因此，系统对所有k值均是 稳定的。但是系统在不同的k值下，其动态特性不 同，为了使系统尽可能稳、准、快地结束，应多 次改变k值，以调节闭环极点在s平面的位置，达 到寻求理想的输出特性曲线的目的。但每改变一 次k值，需重新求解一次闭环特征方程，这使得系 统的分析、计算工作量很大。
第一节 根轨迹的基本概念
二.根轨迹与系统性能
有了根轨迹，就可以通过它对系统的控制性能进 行分析。 K=2
1.稳定性。
从图中可以看出，
k=0 -2 K=1 -1 k=0 0
当k由0∞变化时，
根轨迹均在s平面的左半平面，因此该系统对所有 的k值都是稳定的，这一结论与劳斯判据所得的一
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹的基本概念
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：kg称为根轨迹增益； zi，p j为开环零 、极点。
绘制根轨迹图的基本方法是根据系统的开环零点、极点以 及根轨迹增益kg来获得系统闭环极点的轨迹 。
闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：1 Gk (s) 0 的根。
m
(s zi )
换句话说，满足：Gk (s) 1或：kg
说明： 根据幅值条件和相角条件画出的曲线分别称为等幅值根轨迹 和等相角根轨迹。 等幅值根轨迹与等相角根轨迹是正交的。 每一个交点表示了相应的根轨迹增益对应的闭环特征根。 绘制根轨迹时，一般先用相角条件绘制出等相角根轨迹图， 然后利用幅值条件计算出根轨迹上各点对应的值，并标在该点 的旁边。
根轨迹的两种类型： 180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0) 的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的点 连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
根轨迹的幅值和相角条件:
系统的方块图如下：
R(s)
Y (s)
G(s)
-
H (s)
闭环传递函数为：(s) G(s)
1 G(s)H (s)
开环传递函数为：Gk (s) G(s)H (s)
将 Gk
(s)写成开环零、极点形式
m
得：
(s zi )
Gk (s) kg
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨迹 应满足的相应幅值和相角条件，完全可以确定s平面上的根轨 迹和根轨迹上各点对应的kg值。
4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点
利用试探法确定根轨迹上的点: 由于根轨迹上的点满足相角条件，所以可利用相角条件来判
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
根 轨迹法
第三章
(五) 《礼记》中说：“入境而问禁，入国而问
俗，入门而问讳。”俗话说“十里不同风、 百里不同俗”“到什么山唱什么歌”，这 些对劳动人民有益的格言都说明尊重各地 不同风俗与禁忌的重要性。尊重习俗原则
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第三章
1. 仪表是指人的容貌，是一个人精神面貌的
外观体现。一个人的卫生习惯、服饰与形 成和保持端庄、大方的仪表有着密切的关 系。清洁卫生是仪容美的关键，是礼仪的
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第三章
3. 放松。女性应两膝并拢；男性膝部可分开 一些，但不要过大，一般不超过肩宽。双 手自然放在膝盖上或椅子扶手上。在正式 场合，入座时要轻柔和缓，起座要端庄稳 重，如古人所言的“坐如钟”。若坚持这 一点，那么不管怎样变换身体的姿态，都 会优美、自然。不可随意拖拉椅凳，从椅 子的左侧入座，沉着安静地坐下。女士着
角均等于π。 四、根轨迹的渐近线 五、根轨迹的分离点
当K*由零至无穷大变化过程中，几条根轨迹在s平面某一点 相遇后立即分开，这一点称为分离点。最常见的分离点出现在 实轴上，实轴上的分离点有两种情况：i)实轴上的根轨迹相向 运动，在某一点相遇后进入复数平面，如图4-7的A点；ⅱ)复数 平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴上相遇，然后趋向实轴上
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第三章
2. 服饰是一种文化，反映一个民族的文化素
养、精神面貌和物质文明发展的程度；着 装是一门艺术，能体现个人良好的精神面 貌、文化修养和审美情趣。既要自然得体， 协调大方，又要遵守某种约定俗成的规范 或原则。不但要与自己的具体条件相适应， 还必须时刻注意客观环境和场合上一，页与下时一页间、返回
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§4-3 根轨及草图绘制举例
例4-7 若开环系统传递函数为