第 2 讲 系统的典型环节

57
例
20( j 5)( j 40) G( j ) 2 j ( j 0.1)( j 20)
j j 100( 1)( 1) 5 40 G ( j ) j j 2 j ( 1)( 1) 0.1 20
0.1 5 20 40
58
化成标准形式
确定K和转折频率
4
例 跟踪直线飞行目标的伺服系统
arctan(at)
5
用来进行误差分析， 选定执行电机等
6
典型输入信号
7
1. 阶 跃 函 数 （ 位 置 函 数 ） A r(t) 0 记 为 1(t) t0 t0 令 A 1 称单位阶跃函数，
1 R(s) L1(t) s
c(t ) t T Te t / T
c(t) T
(t 0)
稳态分量（跟踪 项+常值）
c(t) = t ﹣T + Te﹣t/T
0
T
t
稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上 迟后了一个时间常数T的斜坡函数。
c() t T
24
表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位 置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。
37
二阶系统阶跃响应曲线
时间响应指标与极点位置的关系
38
39
系统极点和时间响应波形的关系
• 极点在虚轴上,响应为等幅振荡 • 极点在负实轴上,响应为无振荡衰减形 式 • 极点为实部为负的共轭复数,响应为振 荡衰减形式 • 极点在s平面右半平面,响应为发散形 式
40
衰减得快
频 率 变 大
41
2.3 系统的频率响应
单位脉冲响应 [R(s)=1]
C ( s) 1 Ts 1
h(t) 1/T 0.368/T 0.135/T 0.05/T
它恰是系统的闭环传函，这 时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以h(t)标志。
t T
0 T 2T 3T 1 h( t ) C脉冲 ( t ) e T 求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于
2 n
X o ( s) 1 G( s) 2 2 X i ( s) T s 2 Ts 1
69
X (s) 1 G( s) 2 U ( s) ms Bs K
70
U c (s) 1 G( s) 2 U i ( s) LCs RCs 1
71
振荡环节
dB
ω
18
系统的极点和响应波形之间存 在着直接的联系，研究系统极点的 分布是时间响应分析的重要内容。 零极点分布是控制系统设计的关键
19
2.2.2 一阶系统响应
1 Ts 1 1 T
20
单位阶跃响应 响应的拉氏变换
1 1 1 T C ( s ) G ( s ) R (s ) Ts 1 s s Ts 1
i di di i ni
积分环节
惯性环节
振荡环节
60
• 比例环节
X 0 ( s) G( s) K X i ( s)
输入转速与输出转速
流量与速度
61
比例环节
dB
ω
0°
-180°
62
• 微分环节
X o ( s) G(s) TD s X i ( s)
转角与转速
电压与电流
63
微分环节
dB
• Bode图上可以表示很大的频率范围
• 补偿校正设计可以通过Bode图来完成
55
绘制波德图的简化步骤
（1）典型环节串联形式 （2）转角频率小→大排列 （3）从低频开始绘制渐近线，转角 频率处改变斜率，斜率改变由环节 而定。
56
低频渐近线的型式
系统没有积分环节时 系统的低频渐近线为水平线，并 经过点（1，20lgK），在第一个转 折频率处发生斜率改变。 系统有积分环节时 系统的低频渐近线为-20vdb/dec, v为积分环节的个数，并经过点（1， 20lgk)
(t)
及

t dt 1

R( s) L (t ) 1
0
t
考查系统在脉冲扰动下的恢复情况
11
各函数间关系：
t
积 分 求导 1t 积 分 求导 t 1t 积 分 1 2 求导 t 2 1t
系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
d C阶跃 t ) C 斜坡 ( t ) ( dt
t
对应 r阶跃 ( t )
d r斜坡 ( t ) dt
d C 脉冲 ( t ) C阶跃 ( t ) dt d r脉冲 ( t ) r阶跃 ( t ) dt
26
线性定常系统的重要性质
1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系 统的输出则为原来输出的导数。
2.2 系统的时间响应
G(s)
C (s) R(s)G(s)
c(t ) L [C(s)]
16
1
2.2.1 系统的时域性能指标
17
• 上升时间tr: 曲线从０上升到稳态值的时间 快 • 峰值时间tp： 速 曲线达到第一个峰值的时间 性 • 调整时间ts: 曲线达到并保持在误差带内的时间 • 最大超调量Mp： 曲线的最大值与稳态值的差 稳 • 振荡次数： 定 调整时间内，响应曲线穿越稳态值的次数的一 性 半．
线性系统对正弦输入信号的响应特性 系统输出的傅里叶变换和输入的傅 里叶变换之比。
G( j ) G(s) |s j
42
特点
• 容易通过实验确定系统的频率响应 • 在设计时，能够控制带宽以满足快速
性和抗干扰的要求
• 图形表示利于分析设计 • 频域和时域之间缺乏直接联系
43
例子
1 G( s) ( s 1)( s a)
C ( s) GB ( s) R( s)
dr( t ) C1 ( s ) GB ( s ) L[ ] G B ( s ) sR( s ) sC ( s ) dt
dc( t ) c1 ( t ) dt

2. 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号
时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分， 积分常数由零初始条件决定。
R( s ) 1 C 2 ( s ) GB ( s ) L[ r ( t )dt] GB ( s ) C ( s) s s
y2 ( t ) y( t )dt
27
2.2.3 二阶系统的时间响应
G( s) 2 2 s 2n s n
2 n
特征方程
s 2n s 0
ω
90°
-180°
64
• 积分环节
X o ( s) K G( s) X i ( s) s
转速与位移
电流与电压
65
积分环节
dB
ω
-90°
-180°
66
• 惯性环节
X o ( s) K G( s) X i (s) Ts 1
F
67
惯性环节
dB
ω
-180°
68
• 振荡环节
X o ( s) G( s ) 2 2 X i (s) s 2n s n
比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：
c(t) 1.0 c(t) T
t t 0 0 T 在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小， 最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也 最大；无差跟踪。 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大， 最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等 于0。有差跟踪。 25
第2讲
系统的典型环节
1
概 览
典 型 信 号
典型环节
2
2.1 系统的典型信号
典型信号是指根据系统常遇到的输入 信号形式，在数学描述上加以理想化的 基本输入函数. 典型信号的选择原则： 能反映最常见的实际输入信号， 形式简单,使系统运行在最不利的工作 状态。
3
例 舰船随动系统
• 实际摇摆曲线
• 功率谱密度曲线 ω • 典型输入信号
1 2 At t0 r (t ) 2 0 t0
f(t)
A=1，称单位抛物线函数,记为
1 2 t 1( t ) 2
1 1 2 R( s ) L t 1t 3 2 s
0
t
考查系统的机动跟踪能力
10
4. 脉冲函数
并 有 t 0 t 0 t 0
决定衰减 速度 决定振荡 频率
c(t ) 1
e
n t 2
1
sin(d t )
31
Mp e


1 2

tp d
ts
3
n
( = 5%)
32
1
p1 p2 n
临界阻尼
特征方程为两个相等的负实根
β=0
ωd
33
-ω n
c(t ) 1 e
-180°
72
73
下次课内容
74
nt
(1 nt )
34
1
过阻尼
特征方程为两个不等的负实根
p1 n n 1
2
p2 n n 1
2
35
0
零阻尼，特征方程的根为一对共轭虚根
p1 jn p2 jn
ω d=ω n
36
c(t ) 1 cos(nt )
（5）正弦函数
r t A sint
A R( s ) L A sint 2 s 2
12
被测系统
13
讨论
14
• 阶跃信号由于频谱的高频部分衰减 很快，因此进行对象特性测试时， 只能得到低频的数学模型 • 实际脉冲信号的宽度越窄，越能提 供宽范围的频谱以激发对象
15
时域响应 c( s) L [C ( s)] 1 e
1 1 t T
21
单位阶跃响应曲线
22
• t=T时,响应曲线达到稳态的63.2%
• t=0处,曲线切线斜率为1/T
• T是一阶系统的性能参数, T越小,系 统的惯性越小,响应过程越快
23
单位斜坡响应 [ r(t) = t ]
1 1 1 T T C ( s) 2 2 Ts 1 s s s s 1 T
44
Step Response
300
250
200
Amplitude
150
100
50
0
0
50
100
150
Time (sec)
200
250
300
45
46
Step Response
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
Amplitude
0
2
4
6
Time (sec)
8
10
12
47
48
2 2 n
特征根（极点）
p1,2 n n 1
2
28
0 1
欠阻尼
特征方程的根是一对共轭复根
p1 n jn 1 p2 n jn 1
2 2
29
p1
ωd
β
-ξ ω n
d n 1
2
a
r
30
单位阶跃响应
40 40
j j 100( 1)( 1) 5 40 G ( j ) j j j ( 1)( 1) 2 0.1 20
59
2.4 典型环节及其描述
比例环节 一阶微分
2 2 di 2 2 ni
二阶微分
( s 1) ( s 2 s 1) G( s) K s (T s 1) (T s 2 T s 1)
f(t) 1
考查系统对恒值信号的跟踪能力
0 t
8
2. 斜坡函数 （等速度函数）
At t 0 r (t ) 0 t0
A=1，称单位斜坡函数,记为 t· 1(t)
f(t)
1 L[t 1( t )] 2 s
0 t
考查系统对匀速信号的跟踪能力
9
3. 抛物线函数（等加速度函数）
51
▲奈氏图
G( j ) U Vj
向量长度代表幅值 与正实轴夹角代表相位
52
▲Bode图
L[G( j)] 20log | G( j) |
[G( j)] arg G( j)
53
54
Bode 图特点
• Bode图可以通过实验的方法完成绘制 • Bode图可以通过简单的叠加而得到
Bode Diagram
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150
100
Magnitude (dB) Phase (deg)
50
0
-50
-100 0
-45
-90
-135
-180 -4 10
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
49
50
频率特性的表示
• 幅相频率特性曲线（极坐标图， 奈氏图） • 对数频率特性曲线（Bode图）