三角形的中线与面积的三个重要结论

三角形的中线与面积的三个重要结论
三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题.
一、三角形的中线与面积
1、三角形的一条中线与面积
如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形.
证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
则ABD S 三角形=
21×BD ×AE,ACD S 三角形=2
1×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论：
1、等底同高的两个三角形面积相等.
2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等.
2、三角形的二条中线与面积
如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=3
1ABC S 三角形.
证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1），
AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2），
（1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形；
如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形,
所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形. 由此得到如下结论：
1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等.
2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍.
3、三角形的三条中线与面积
如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =6
1S.
证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S .
因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S .
所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2
121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S =
6
1S. 由此我们得到如下结论：
三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面
积的六分之一.
二、结论在解题中的应用
例1 （2015•广东省）如图4，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若三角形ABC 的面积为12，则图中阴影部分面积是 .
分析：这是三条中线分割三角形的情形，每一个小三角形的面积是相等，且等于原来三角形面积的61，2个就是面积的3
1. 解：因为三角形ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为
31×12=4. 例2 三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题：
（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；
（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图5，现被两条中线分成4块， 则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊？
分析：抓住等底同高的两个三角形面积相等,依托三角形的中线性质，完成求解.
解：（1）此题的答案不是唯一的，只要分割的方法合理就可以，下面给出了几种分割方法，供同学们学习时，参考.
(2)根据中线分割图形与原来三角形面积之间关系知道，四边形的面积是整个图形面积的三分之一，因为是均匀分布，所以这块面积应该有 3
1×84=28（只）羊. 例3 如图6 所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且ABC S =42cm ，则S 阴影等于________．
解：因为点D 是BC 的中点，所以ACD ABD S S =12
ABC S =12×4=2. 因为点E 是AD 的中点，所以BED S S 12ABD S =12×2=1. 所以ED S S 12ACD S =12
×2=1. 所以BEC S =BED S +ED S =1+1=2,因为点F 是EC 的中点，所以S =12BEC S =12
×2=1. 所以S 阴影等于1. 例4 已知三角形ABC 的面积为a ，请边阅读，边完成问题的解答：
1、如图7，延长BC 到D ，使得CD=BC ，则阴影部分的面积为 .
2、如图8，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，则阴影部分的面积为 .
3、如图9，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，则阴影部分的面积为 .
4、如图10，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，,连接DF ，则阴影部分的面积为 ；三角形DEF 的面积是 .
分析：依据条件，结合三个结论，认真分析，就能轻松完成解答.
解：
1、如图7，AC是三角形ABD的中线，所以阴影面积与三角形ABC的面积相等，所以应该填a；
2、如图8，当我们连接AD时，不难发现三角形ACD的面积与三角形AED的面积相等，所以阴影部分的面积为2a；
3、如图9，三角形AEF的面积与三角形CDE的面积是相等，所以阴影部分的面积是4a；
4、如图10，三角形BFD的面积等于三角形CDE的面积，所以阴影部分的面积为6a；三角形DEF的面积为阴影部分的面积加三角形ABC的面积，所以是7a，也就是说此时三角形的面积是原来三角形ABC面积的7倍.
我们不妨把得到的三角形DEF叫做三角形ABC的膨胀三角形，当CD=BC 时，膨胀三角形的面积是原来三角形面积的7倍，这个数字7我们不妨叫做三角形DEF的膨胀系数，感兴趣的读者，可以思考当延长线段是已知边长的2倍时，膨胀三角形的面积多大，膨胀系数多大？其中一般性的规律是什么？。