方阵的行列式 可逆矩阵与逆矩阵共33页文档
矩阵行列式与可逆矩阵
矩阵行列式与可逆矩阵一、n 阶矩阵行列式下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.定义2.9 对任一n 阶矩阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 用式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211表示一个与A 相联系的数，称为A 的行列式，记作A . 规定：当n = 1时，1111a a A ==； 当n = 2时，2112221122211211a a a a a a a a A -==；当n > 2时，∑==+++=nj j j n n A a A a A a A a A 1111112121111 ，其中j A 1=j j M 11)1(+-，称j M 1为A 中元素j a 1的余子式，它是A 中划去第一行、第j 列后剩下的元素按原来顺序组成的n – 1阶行列式；j A 1为A 中元素j a 1的代数余子式.（由定义可知，一个n 阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出.应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.）（下面通过例题简单介绍行列式的计算方法）例1 计算 =A 2112123212230121313231-----解 首先按性质5，从第一行提出公因子31，再从第四行提出21，即=A 12132122301231212131-----⨯⨯ 再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得12132122301231212131-----⨯⨯=505510013012312161---⨯再利用性质3按第3列展开，即505510013012312161---⨯=555101312)1(16131--⨯-⨯⨯+ 再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按第二行展开，即55510131261--⨯=105500111261--⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯-⨯⨯+10511)1(16112 =65)510(61=+-⨯-例2 计算 =A 3351110243152113------解 首先交换第一列与第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得=A 3315112043512131------=72160112064802131-----首先交换第二行与第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的变换，得72160112064802131-----=1510001080011202131----再作“第四行加上第三行的45倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即1510001080011202131----=25001080011202131---=4025821=⨯⨯⨯（关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.） 定理2.1 对于任意两个方阵A ，B ，总有B A AB = 即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.（在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.） 二、逆矩阵定义定义2.11 对于n 阶矩阵A ，如果有n 阶矩阵B ，满足 AB = BA = I （2-5-1）则称矩阵A 可逆，称B 为A 的逆矩阵，记作A -1. （由定义可知：）满足公式（2-5-1）的矩阵A , B 一定是同阶矩阵.例3 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112验证A 是否可逆？解 因为AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001BA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----123124112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012211110=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001即A , B 满足 AB = BA = I .所以矩阵A 可逆，其逆矩阵A -1=B .可以验证：单位矩阵I 是可逆矩阵；零矩阵是不可逆的.(1) 单位矩阵I 是可逆矩阵. 证 因为单位矩阵I 满足： II = I 所以I 是可逆矩阵，且I I -=1. (2)零矩阵是不可逆的. 证 设O 为n 阶零矩阵，因为对任意n 阶矩阵B ，都有 OB = BO = O ≠I 所以零矩阵不是可逆矩阵.可逆矩阵具有以下性质：(1) 若A 可逆，则1-A 是唯一的.证 设矩阵B 1 , B 2都是A 的逆矩阵，则B 1 A = I ，AB 2 = I ，且B 1 =B 1 I = B 1 (AB 2 )= (B 1 A )B 2 = I B 2 = B 2故1-A 是唯一的.(2) 若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A若A 可逆，则A -1也可逆，并且 ()A --11= A .证 由公式（2-5-1）可知，A A -1= A -1A = I ，故A -1是A 的逆矩阵，同时A是A -1的逆矩阵，即()A --11= A .(3) 若A 可逆，数k ≠0，则kA 也可逆，且 ()kA -1= 11-A(4) 若n 阶方阵A 和B 都可逆，则AB 也可逆，且()AB B A ---=111证 因为 A 和B 都可逆，即A -1和B -1存在，且(AB )(B -1A -1) = A ( B B -1)A -1= AI A -1= A A -1= I (B -1A -1)(AB ) = B ( A A -1)B -1= B I B -1= B B -1= I根据定义2.11，可知AB 可逆，且()AB B A ---=111.性质(4)可以推广到多个n 阶可逆矩阵相乘的情形，即当n 阶矩阵A 1 , A 2 , … , A m 都可逆时，乘积矩阵A 1A 2…A m 也可逆，且( A 1A 2…A m )-1= A A A m ---12111特别地，当m = 3时，有( A 1A 2A 3)-1= A A A 312111---问题：若n 阶方阵A 和B 都可逆，那么A +B 是否可逆？答：尽管n 阶矩阵A 和B 都可逆，但是A + B 也不一定可逆，即使当A + B 可逆（A B +-)1≠A B --+11，例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200010001， B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010001都是可逆矩阵，但是A +B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400000002是不可逆的.而A + A = 2A 可逆，但是（A A +-)1=（21A )-=211--A ≠A A --+11= 2A -1(5) 若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A .若A 可逆，则A '也可逆，且 1)(-'A = )(1'-A . 证 因为矩阵A 可逆，故A -1存在，且 )(1'-A A '=)(1'-AA =I '=IA ')(1'-A =)(1'-A A =I '=I 根据定义2.11，可知A '也是可逆的，且1)(-'A = )(1'-A .三、可逆矩阵的判定若方阵A 可逆，则存在1-A ，使I AA =-1.于是1=11--==A A AA I （定理2.1） 得 0≠A .把满足0≠A 的方阵A 称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的）.（由此可以得到定理2.2：）定理2.2 方阵A 可逆的必要条件为A 是非奇异的，即0≠A .（定理2.2结论是很重要的，但要注意，它是方阵A 可逆的必要条件，不是充分条件.因此，大家就会想到若0≠A ，方阵A 是否可逆呢？要回答这个问题，需要引进伴随矩阵的概念）定义2.12 对于n 阶方阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，称n 阶方阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n nn n A A A A A A A A A 212221212111 为A 的伴随矩阵，记作*A ，其中ij A 为行列式A 中元素ij a 的代数余子式.（注意：伴随矩阵中各元素的位置秩序与常规的不一样，是由常规秩序经过转置后获得的.）（利用伴随矩阵可以证明：）定理2.3 若方阵A 是非奇异的，即0≠A ，则A 是可逆矩阵，并且有*11A AA =- （定理2.3的证明请看教材.该定理不仅给出了可逆矩阵的一种判别方法，即当方阵A 的行列式0≠A 时，A 是可逆矩阵；若0=A ，则A 不是可逆矩阵.而且还给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法，即若A 可逆，那么只要求出它的伴随矩阵*A ，再除以它对应的行列式A 的值，就能获得逆矩阵*11A AA =-.）例4 设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012211110A 判别A 是否可逆？解 因为 012211110-=A =21100)1(112210⨯⨯----⨯⨯+⨯⨯+= 1即 0≠A ，所以A 是可逆矩阵.例5 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，问：当a , b , c , d 满足什么条件时，矩阵A 可逆？当A 可逆时，求1-A .解 因为 bc ad d c ba A -==当 0≠-bc ad 时，由0≠A ，（由定理2.3知道）得A 可逆.又 d A =11，c A -=12，b A -=21，a A =22⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a c b d A A A AA 22122111* （问题：2阶矩阵的伴随矩阵与原矩阵中的元素之间有什么联系？）所以，*11A A A =- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d（把定理2.2和定理2.3合在一起，得到判别矩阵A 是否可逆的充分必要条件.）定理2.4 矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，且有 *11A A A =-.。
矩阵可逆的条件
谢谢观看
Docs
矩阵秩的计算方法
• 矩阵秩的计算可以通过高斯消元法、初等变换等方法进 行 • 计算矩阵秩时，可以先将矩阵A化简为行阶梯形式或行最 简形式
矩阵秩的应用
• 矩阵秩在解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等方面具有 重要作用 • 矩阵秩还可以用于判断矩阵的性质，如线性无关性、秩 相等性等
05
线性方程组的解与矩阵可逆性
矩阵可逆条件的探讨
CREATE TOGETHER
DOCS
01
矩阵的基本概念及性质
矩阵的定义与类型
矩阵的定义
• 矩阵是一个线性方程组的系数和常数项组成的数组 • 矩阵中的每个元素都是一个数
矩阵的类型
• 数值矩阵：矩阵中的元素都是数值 • 符号矩阵：矩阵中的元素都是符号 • 对角矩阵：矩阵中对角线上的元素相等，其余元素都为零 • 单位矩阵：主对角线元素为1，其余元素为0的方阵 • 零矩阵：所有元素都为0的方阵
矩阵的基本性质
矩阵的加法
• 交换律：A+B=B+A • 结合律： (A+B)+C=A+(B+C) • 数乘律： k(A+B)=kA+kB
矩阵的减法
• 交换律：A-B=B-A • 结合律：(A-B)-C=A(B+C) • 数乘律：k(A-B)=kA-kB
矩阵的乘法
• 不满足交换律：AB≠BA • 结合律：(AB)C=A(BC) • 数乘律：k(AB)=kA(B)
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
• 矩阵A可逆时，线性方程组有唯一解 • 矩阵A不可逆时，线性方程组无解或无穷多解
线性方程组解的计算与矩阵可逆性的判断
第三节 逆矩阵
A21 A22 A2 n
An 1 An 2 * , 称 A 为 A 的伴随矩阵。 Ann
2012-6-16
定理2.3
A 0 A 可逆，且 A
1
A
*
A
其中
A 为 A 的伴随矩阵。
*
2012-6-16
证明
AA
1
A 显然 A 0， 有意义。 A
0 A 0 0 0 I A
AA
1
A 1 1 0 * AA A A 0
2012-6-16
定理2.4 定理2.5 定义2.13
若 若
2012-6-16
A可逆
A 0.
A不可逆 A 0 .
3 0 1 1 2 2 5 3
1
3 A 5
1 2
3 B 0 1
1 2 3
2 5 A A
*
1 ，从而 3
X BA
1
1 1 10 3 13
A 21 A A 22 A A 23 A
A 31 A A 32 A A 33 A
2012-6-16
8 5 1
29 18 3
A11 A 11 A 7 12 A 1 A13 A
* 1
2012-6-16
四、小结与思考
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 A 0 . 逆矩阵的计算方法
1 待定系数法 ;
2 利用公式 A 1
可逆矩阵与逆矩阵PPT精选文档
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
逆矩阵的概念矩阵可逆的条件逆矩阵的求法-毕业论文-全文在线阅读-
上页 下页 返回
例10 设
求矩阵X使满足AXB= C。 分析：
若A-1，B -1存在，则由A-1左乘AXB=C，又
用B-1右乘AXB= C，
有
A-1AXBB-1= A-1CB-1，
即
X = A-1CB-1。
上页 下页 返回
解
上页 下页 返回
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★ 矩阵与矩阵的加、减法； ★ 矩阵与数的乘积； ★ 矩阵与矩阵的乘积； ★ 方阵的行列式； ★ 逆矩阵； ★ 矩阵的转置。
Ex.4
解
又
上页 下页 返回
于是
上页 下页 返回
也可以直接按定义来验证这一结论。
上页 下页 返回
Ex.5 解
上页 下页 返回
Ex.6 解
上页 下页 返回
上页 下页 返回上页Fra bibliotek返回设给定一个线性变换： 它的系数矩阵是一个 n 阶方阵A，
上页 下页 返回
记
则线性变换(7)可记为 Y =AX.
逆矩阵。
例如
因为AB= BA= E，所以B是A的逆矩阵，同样A也 是B的逆矩阵。
上页 下页 返回
如果方阵A是可逆的，则 A的逆阵一定是唯一 的。 这是因为：设 B、C都是 A的逆矩阵， 则有
B=BE =B（AC）=（BA）C =EC =C， 所以 A的逆阵是唯一的。
A的逆阵记作A-1。 即若AB=BA=E，则 B=A-1。
§3 逆 阵
★ 逆矩阵的概念 ★ 矩阵可逆的条件 ★ 逆矩阵的求法
矩阵之间没有定义除法，而数的运算有 除法，本节相对于实数中的除法运算，引入 逆矩阵的概念。
下页 关闭
逆阵的概念
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
(优选)第四节可逆矩阵与逆矩阵
2、方阵行列式的性质 设 A ，B 均为n 阶方阵
（1） AT A （2） kA k n A （3） AB A B | BA |
推广： 若 A1, A2 , AS为同 阶方阵,则 A1 A2 AS A1 A2 AS
特别地： An A n
1 1 0 2 4 1
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
A11 A21 A31
A*
A12
A22
A32A13 A23 A来自3 5 2 110
2
2
7 2 1
例2: 设A 为n阶方阵, A* 是A 的伴随矩阵, 计算 A* A , AA* .
例3：设
1 0 1
A
2 3
1 2
0 5
,
判断A是否可逆？ 若可逆，求出 A1 .
解：因为
101
A 2 1 0 20
3 2 5
所以A可逆，且 A1 1 A* . A
因为
5 2 1
A*
10
2
2
,
7 2 1
1 0 1
A
2
1
0
,
3 2 5
所以 A1
5
1 A
A*
1 2
10 7
A11
A
A12
A1n
A21 A22
An1
An2 称为矩阵A 的伴随
矩阵.
A2n Ann
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2,, m; j 1,2,, n k 1
a1, a2 ,
bn n1
b1a1 b1a2 b1an
, an
1n
b2a1
bna1
b2a2
bna2
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的
分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉
的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：
3. 对于两个 n 阶矩阵，一般
ABk Ak B k . AB2 ABAB A2 B2
如
A
2 3
46,
B
2 1
42,
AB 00
00,
AB2
0 0
0 0
;
A2 128
16 24
,
B2
8 4
016,
A2 B 2
0 0
128 192
.
线性代数 第二章 矩阵及其运算
11
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
注4：方阵A的多项式定义：已知f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 则对应A的多项式为：f ( A) a0E a1 A a2 A2 an An;请看下例：
矩阵的逆矩阵与行列式计算
矩阵的逆矩阵与行列式计算矩阵是线性代数中的一项重要概念，它在各种领域中都有广泛的应用。
矩阵的逆矩阵和行列式是矩阵理论中的两个关键概念，本文将介绍逆矩阵和行列式的计算方法及其重要性。
一、逆矩阵逆矩阵是矩阵理论中非常重要的一个概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I表示单位阵），那么我们称B为A的逆矩阵，记作A的倒数。
对于可逆矩阵A，它的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的计算方法如下：设A为一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则B为A的逆矩阵。
求矩阵A的逆矩阵的方法有多种，以下是其中两个常用的方法：1. 初等行变换法通过利用矩阵初等行变换，将矩阵A变换成一个特殊形式，然后通过初等行变换得到B，使得AB=I。
具体步骤如下：a) 取A和单位阵I并排组成一个增广矩阵[A|I]；b) 对[A|I]做行变换，将矩阵A变换为n阶单位矩阵；c) 当[A|I]变为[I|B]时，B就是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法通过伴随矩阵的概念，求解矩阵A的逆矩阵。
设A为n阶方阵，A 的伴随矩阵记作Adj(A)，则A的逆矩阵B的表达式如下：B = (1/det(A)) * Adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式，Adj(A)表示A的伴随矩阵。
二、行列式行列式是矩阵理论中用于刻画矩阵性质的一种特殊函数。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其计算方法如下：1. 二阶方阵的行列式计算：A = [[a, b], [c, d]]det(A) = ad - bc2. 三阶方阵的行列式计算：A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh对于高阶方阵，通常使用行列式的性质和展开定理来计算。
行列式的计算过程相对繁琐，但是具有重要的应用价值。
行列式的性质有如下几个：a) 互换行列式的两行，行列式改变符号；b) 行列式某一行的公因子可以提到行列式的外面；c) 若行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为0；d) 行列式的某一行（列）可以表示成其他行（列）的线性组合。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
矩阵的逆和行列式的关系
矩阵的逆和行列式的关系一、引言矩阵是线性代数中的基本概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在矩阵的运算中，矩阵的逆和行列式是两个重要的概念。
本文将探讨矩阵的逆和行列式之间的关系，以及它们在解线性方程组和计算矩阵的秩等问题中的应用。
二、矩阵的逆2.1 定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称B为A的逆矩阵，记作A的逆（即A-1）。
2.2 逆矩阵的性质•若A是可逆矩阵，则A-1也是可逆矩阵，且(A-1)-1=A。
•若A是可逆矩阵，且c是一个非零标量，则cA也是可逆矩阵，且(cA)-1=(1/c)A-1。
•若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且(AB)-1=B-1A-1。
•若A是可逆矩阵，则A的转置矩阵也是可逆矩阵，且(AT)-1=(A-1)T。
三、行列式3.1 定义对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n，其中aij表示A的第i行第j列元素，Aij表示A中的余子式。
3.2 行列式的性质•若A是可逆矩阵，则|A|≠0。
•若A的某行（或某列）全为零，则|A|=0。
•若A的某两行（或某两列）成比例，则|A|=0。
•若A与B是相似矩阵，即存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，则|A|=|B|。
四、矩阵的行列式和逆矩阵的关系4.1 逆矩阵的求法设A为一个可逆矩阵，若要求A的逆矩阵A-1，可以使用伴随矩阵法。
首先，计算A的余子式矩阵，然后对其进行转置，得到A的伴随矩阵adj(A)，最后，将adj(A)的每个元素除以|A|，则得到A的逆矩阵A-1。
4.2 行列式和逆矩阵的关系对于一个可逆矩阵A，有以下关系成立：A-1 = (1/|A|)·adj(A)即可通过求A的行列式|A|和伴随矩阵adj(A)来求解A的逆矩阵。
五、应用5.1 解线性方程组假设有一个线性方程组Ax=b，其中A为n阶系数矩阵，x为未知向量，b为已知向量。
可逆矩阵一PPT课件
an1 an2 ... ann
称为方阵A的行列式，记为 A或det A。
第19页/共50页
对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？
第20页/共50页
例如：A
1 3
12,
B
4 3
12
第29页/共50页
2、 伴随矩阵
(1)定义2 对于n阶矩阵
a11 a12 ... a1n
A
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
，
设Aij是 A中元素aij的代数余子式，则矩阵
第30页/共50页
A11 A21 ... An1
A12
说明理解二可逆矩阵的性质1可逆矩阵a的逆矩阵a1也可逆并且ab3可逆矩阵a的转置矩阵a也可逆并且三矩阵可逆的条件1矩阵乘积的行列式定理1p197定理525设ab是任意两个n阶方阵那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积即2伴随矩阵1定义221221112性质3矩阵可逆的条件定理2矩阵a可逆的充分必要条件是
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a12 ... a1n a11b11 a11b12 ... a11b1n
a21 a22 ... a2n 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
2.2 行列式的性质
2
1
2
0
0 1
1 1 2
0 1 1
2 2 0
×1 ×(-2)
2 1 10
2 1 10
1 1 0 2
1 1 1 2
0 1 1 2
×1
×3
0 1 1 2
0 1 1 2
0 0 2 4 ×(-1)
0 3 1 4
0 0 2 2
二、行列式的计算举例
第2章 方阵的行列式 18
如 a1 b1 c1 2 1
a2 b2 c2 3 0
a3 b3 c3 1 5
a1 2 1
b1 2 1
a2 3 0 b2 3 0
a 3 1 5
b31 5
c1 2 1 c2 3 0
c3 1 5
一、行列式的性质
第2章 方阵的行列式 15
性 质5 行列式某一行(列)的所有元素乘以同一数，加到 另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变．
一、行列式的性质
第2章 方阵的行列式 16
证明
a11
L
ai1 kas1 L
as1 L
an1
a11 a12 LL
ai1 ai2
L L
as1 as 2 LL
an1 an 2
a12
L
a1n
LLL
ai2 kas2 L ain kasn LLL
as 2
L
asn
LLL
an 2
L
ann
L a1n LL
对列也成立
a1 b1 2 1 a2 b2 3 0 a3 b3 1 5
a1 2 1 b1 2 1 a2 3 0 b2 3 0
1-3 逆矩阵
1 4
1 1
| A|
5 3 1
所求逆变换为
x1 x2
2 6
y1 y1
y2 y3 4 y2 y3
x3 5 y1 3 y2 y3
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖ 定理1 设 A, B 为 n 阶方阵, 若 AB E, 则 A, B 可逆, 且
A1 B, B1 A
证明 由 AB E, 得 | A | | B | 1, 于是 | A | 0, | B | 0,
M M
ann
An1
L
An1
M | A|E
Ann
AA | A | E A A | A | E
A11 L
M
An1
L
An1 a11 L
M M
Ann
an1
L
a1n
M | A| E
ann
❖ 伴随矩阵
设 Aij 为 n 阶方阵 A 的 (i, j) 元的代数余子式, 记
A11 A21 L
例3
求线性变换
y1 y2
x1 x1
2 x2 3 x2
3 x3 4 x3
的逆变换.
y3 2 x1 x2 2 x3
解 线性变换的系数矩阵
1 2 3
2 1 1
A 1 3 4 , A 6 4 1
2 1 2
5 3 1
| A| 1 2 2 6 3 (5) 1
A1
1
2 A 6
从而 A O, 与 | A | 0 矛盾.
注: 当 | A | 0 时, A( 1 A ) ( 1 A )A E
| A|
| A|
记
A1
|
矩阵的行列式和逆矩阵
矩阵的行列式和逆矩阵矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学中。
在研究矩阵的性质和运算中，行列式和逆矩阵是两个关键的概念。
本文将详细介绍行列式和逆矩阵的定义、性质以及计算方法。
一、行列式的定义和性质行列式是矩阵非常重要的一个属性，它具有许多重要的性质。
一个n×n 矩阵 A 的行列式记作 |A| 或 det(A)，其中 n 表示矩阵的阶数。
行列式的定义有很多种，这里我们主要介绍按行或按列展开的定义方法。
对于 2×2 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22 - a12*a21对于 3×3 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 -a12*a21*a33 - a11*a23*a32行列式具有许多重要的性质，包括：1. 当矩阵的某一行（或某一列）全为零时，行列式的值为零。
2. 若矩阵的两行（或两列）互换，则行列式的值变号。
3. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素成比例，则行列式的值为零。
4. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素上下对称，那么行列式的值为零。
5. 二阶和三阶矩阵的行列式可以通过定义直接计算，高阶矩阵的行列式计算可以通过展开定理，将矩阵按任意一行（或一列）展开成余子式的乘积再求和来计算。
二、逆矩阵的定义和性质逆矩阵是矩阵论中的重要概念，用于解决线性方程组以及矩阵的运算问题。
对于 n 阶方阵 A，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = I (I 为单位矩阵)，则矩阵 B 称为矩阵 A 的逆矩阵，并记作 A^-1。
逆矩阵的定义表明，如果一个矩阵A 存在逆矩阵，则A 是可逆的；反之，如果矩阵 A 不可逆，则不存在 A 的逆矩阵。
逆矩阵具有一些重要的性质：1. 只有方阵才能有逆矩阵，即非方阵的矩阵不存在逆矩阵。
2. 如果矩阵 A 的逆矩阵存在，则它是唯一的。
矩阵的行列式与逆矩阵
矩阵的行列式与逆矩阵矩阵是线性代数中的一种基本概念，它是由数个数按照矩形排列而成的有限集合。
而矩阵的行列式与逆矩阵是矩阵运算中非常重要的概念与方法。
本文将详细介绍矩阵的行列式以及逆矩阵的定义、性质和计算方法。
1. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，它与矩阵的元素及其排列有关。
对于n 阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，行列式的定义如下：det(A) = ∑[(-1)^(i+j) * a_ij * det(A_ij)]其中A_ij表示将矩阵A的第i行和第j列剔除后的(n-1)阶矩阵，det(A_ij)表示该(n-1)阶矩阵的行列式。
该定义可以通过递推公式简化计算。
行列式具有很多重要的性质，比如：- 行列式的转置等于行列式本身的值：det(A) = det(A^T)- 行列式相等的矩阵具有相同的行列式：如果A=B，则det(A) = det(B)- 互换矩阵的两行（或两列）会改变行列式的符号：如果B是通过交换A的两行得到的，则det(B) = -det(A)行列式的计算方法包括拉普拉斯展开和三角形展开等，根据矩阵的性质选择最合适的方法进行计算。
2. 逆矩阵对于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
可逆矩阵一定是方阵。
逆矩阵是矩阵运算中的重要工具，具有以下性质：- 若A为可逆矩阵，则A^(-1)也是可逆矩阵，(A^(-1))^(-1) = A- 若A、B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)- 若A是可逆矩阵，则det(A)不等于0，且det(A^(-1)) = 1/det(A)逆矩阵的计算方法一般有初等变换法、伴随矩阵法和矩阵的分块法等。
其中初等变换法是最常用的方法，通过对矩阵A施行一系列初等行变换或初等列变换，将其化为阶梯形矩阵，再通过代换求解出逆矩阵。
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆与行列式矩阵是线性代数中重要的概念之一，它用于描述和解决各种数学和工程问题。
在矩阵运算中，矩阵的逆与行列式是两个关键概念。
本文将详细介绍矩阵的逆与行列式的概念、性质以及计算方法。
一、矩阵的逆1.1 概念在线性代数中，设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，那么B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A⁻¹。
1.2 逆矩阵的存在条件一个矩阵A存在逆矩阵的条件是其行列式不等于零，即|A| ≠ 0。
如果一个矩阵的行列式为零，则该矩阵不存在逆矩阵。
1.3 逆矩阵的性质(1) 若A存在逆矩阵A⁻¹，则A⁻¹也存在逆矩阵，且其逆矩阵为A。
(2) 对于一个n阶方阵A，如果A存在逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。
(3) 若A和B都是n阶方阵，且A和B都存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹。
1.4 逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵的方法。
伴随矩阵的计算方法是：先求出矩阵A的代数余子式，然后将代数余子式按一定顺序放置在原矩阵的转置矩阵上，最后将转置矩阵中的每个元素乘以(-1)^(i+j)，其中i和j分别表示元素在矩阵中的行和列的编号。
最后，将得到的矩阵除以矩阵A的行列式即可得到矩阵A的逆矩阵。
二、矩阵的行列式2.1 概念在线性代数中，对于一个n阶方阵A，记为|A|，被称为矩阵A的行列式。
行列式用于表示矩阵的某些性质，例如矩阵是否可逆、线性方程组是否有唯一解等。
2.2 行列式的性质(1) 若A是n阶方阵，且k是一个常数，则kA的行列式等于k的n次方乘以A的行列式，即|kA| = k^n |A|。
(2) 若A和B都是n阶方阵，则|AB| = |A| * |B|。
(3) 若A是n阶方阵，则|A| = |A^T|，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
(4) 若A是一个n阶方阵，并且存在某一行或某一列的元素全为零，则|A| = 0。
矩阵的行列式与逆阵
ai1
ai 2
ais
b1 j b2 j
bs j
cij
5
总结如下: 可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B
的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数.
6
7
8
9
10
运算性质: (A是mn的矩阵) (1)0 pm A 0 pn , A0nq 0mq (2)Em A = A , AEn = A (3) A(BC) ( AB)C (4) A(B + C ) AB + AC (B + C )A = BA + CA
A
A
定理 2设.2A 为数域 F 上 n 阶方阵,则
1. A 可逆 ｜A｜≠0 2. A 可逆时, A-1= 1 A*
A
证 若A可逆,则 AA1 = E AA1 = A A1 E 1
从而 |A| 0.必要性得证.
若 |A| 0, 则由
AA* A*Α | A | E
A( 1 A*) ( 1 A*)A E
4
4
例4 已知 A为方阵且 Ak 0, k N
证明 (E A)1 E + A + + Ak1. 证 因为 (E A)(E A Ak1) E Ak E
所以 E A 可逆，而且
(E A)1 E A Ak1
总结关于方阵 A :
A 可逆 |A| 0
AA*=A*A=|A| E
记作B = A-1.
注 定义中矩阵 A 与矩阵B的地位是相 同的,如果 A可逆,且B是 A的逆,则B 也可逆,且A 也是B的逆,即A与B互逆.
问题: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵,
行列式与逆矩阵的计算
在计算行列式时，可以将某一行或某一列去掉，然后求剩下的子矩阵的行列式，这个子 矩阵的行列式就是原行列式的代数余子式。利用代数余子式，可以更方便地计算行列式。
利用逆矩阵的性质简化计算
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A的逆矩阵存在，那么 这个逆矩阵乘以原矩阵A会得到单位 矩阵。利用这个定义，可以更方便地 计算逆矩阵。
逆矩阵与转置矩阵互为转置：$(A^{-1})'=(A')^{-1}$。
03
逆矩阵的计算方法
高斯消元法
通过消元法求解线性方程组，然后利 用求解结果构造逆矩阵。
伴随矩阵法
利用伴随矩阵和行列式的性质计算逆 矩阵。
迭代法
利用迭代公式不断逼近逆矩阵。
分块法
对于大型矩阵，可以将原矩阵分块， 然后分别求出各块的逆矩阵，再组合 成整体的逆矩阵。
02
逆矩阵的定义与性质
逆矩阵的定义
逆矩阵
设矩阵A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得$AB=BA=I$，则称A是可 逆的，并称B是A的逆矩阵。
逆矩阵的唯一性
一个n阶方阵A的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的性质
01
逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵：$AB=I$，其中I为单位矩阵。
02
逆矩阵的逆也是原矩阵：$B^{-1}A^{-1}=I$。
行列式的计算方法
总结词
行列式的计算方法包括展开法、递推法、化简法等。
详细描述
展开法是最基本的计算方法，通过将行列式按照某一行或某一列展开，将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算。 递推法是通过将高阶行列式转化为低阶行列式，再利用已知的低阶行列式的值计算高阶行列式的值。化简法是通 过数学变换将行列式化简为易于计算的形式，再进行计算。
逆矩阵和原矩阵的行列式的值
逆矩阵和原矩阵的行列式的值矩阵是线性代数中非常重要的概念，是许多数学问题中的核心。
在矩阵中，逆矩阵和行列式的值是两个非常重要的概念，它们在处理线性方程组、解析几何、微积分等领域中都有着重要应用。
首先，让我们来介绍什么是逆矩阵。
逆矩阵是指一个方阵，它与原矩阵相乘后所得的结果是一个单位矩阵。
这里，单位矩阵是指主对角线上的元素全都是1，其余元素均为0。
逆矩阵的存在性与唯一性是非常关键的，如果原矩阵存在逆矩阵，那么该原矩阵就是可逆矩阵，否则它就是奇异矩阵。
逆矩阵有许多应用，其中最重要的一项是解决线性方程组。
通过求逆矩阵，我们可以轻松地得到线性方程组的解。
接下来，我们来看看什么是行列式的值。
行列式的值是一个矩阵所包含的信息，它可以告诉我们这个矩阵的一些特殊性质如奇偶性、相似性等。
行列式的值是由矩阵中元素的组合产生的，具体的计算方法可以通过增广矩阵、辅助余子式、拉普拉斯展开等方式来实现。
行列式的值在解析几何中非常重要，可以用来计算物体的面积、体积等。
现在我们来谈谈逆矩阵与行列式的值之间的关系。
对于一个方阵，它存在逆矩阵的充分必要条件是它的行列式不为0。
这个结论是非常重要的，因为它意味着我们可以通过矩阵的行列式来判断该矩阵是否存在逆矩阵。
因此，如果我们想要求解一个可逆矩阵的逆矩阵，我们需要首先计算其行列式的值，以此来判断该矩阵是否存在逆矩阵。
总的来说，逆矩阵和行列式的值是矩阵理论中非常重要的概念，它们有着广泛的应用。
在解决线性方程组、解析几何、微积分等领域上，逆矩阵和行列式的值常常扮演着关键的角色。
因此，深入理解它们的概念和应用，以及它们之间的关系，对于我们理解矩阵理论和解决实际问题都具有非常重要的意义。