直线的一般式方程 教案 说课稿 教学设计
直线的一般式方程(教学设计)2022-2023学年高二数学 (人教A版2019选择性必修第一册)
2.2.3直线的一般式方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第二节《直线的方程》。
以下是本单元的课时安排：第二章直线和圆的方程课时内容 2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式所在位置 教材第51页教材第59页教材第70页新教材 内容 分析直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。
在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础. 围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点.“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．核心素养培养通过直线的倾斜角和斜率的求解，以及在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
通过直线方程的求法，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
通过直线交点的求法，距离公式的应用，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
教学主线 直线的方程的应用在学生亲身体验直线的一般式直线方程的求法，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系，培养数学抽象的核心素养．2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化，提升数学运算的核心素养.3.能运用直线的一般式方程解决有关问题，培养逻辑推理的核心素养.重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式难点：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化（一）新知导入由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形:(1)斜率是1,经过点A(1,8);(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为(1)y-8=x-1;(2)x-7+y7=1;(3)y-69−6=x+12+1;(4)y=x+7.如果我们画出这4条直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.（二）直线的一般式方程知识点1 一般式方程【探究1】观察我们已经学习的直线的四个方程，点斜式y－y0＝k(x－x0)，斜截式y＝kx＋b，两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，截距式xa＋yb＝1，你能发现它们都是什么样的方程？【提示】都是关于x，y的二元一次方程．◆直线的一般式方程把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【点睛】直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．【思考1】平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？【提示】都可以．原因如下：(1)任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0，y0)，当直线l的斜率为k 时(此时直线的倾斜角α≠90°)，其方程为y－y0＝k(x－x0)，这是关于x，y的二元一次方程．(2)当直线l 的斜率不存在，即直线l的倾斜角α＝90°时，直线的方程为x－x0＝0，可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.方程y－y0＝k(x－x0)和x－x0＝0都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．【思考2】任意一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？为什么？【提示】当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A B x －C B ，它表示过点(0，－C B )，斜率为－AB 的直线．当B ＝0时，A ≠0，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为x ＝－C A ，它表示过点(－CA ，0)，且垂直于x 轴的直线．由上可知，关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示一条直线．【做一做】(教材P66练习1改编)过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：由两点式可得，过A 、B 的直线方程为y －23－2＝x －34－3，即x －y －1＝0.答案：D【做一做2】 设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解析】(1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝3(舍)，m ＝－53.(2)∵直线l 的斜率为k ＝－m 2－2m －32m 2＋m －1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.【做一做3】(教材P65例5改编) 过点A (－1,2)，斜率为2的直线的一般式方程为__________．答案：2x －y ＋4＝0（三）典型例题 1.直线的一般式方程例1.写出满足下列条件的直线的方程：（1）经过点(8,2)A -3 （2）经过点(2,0)B -，且与x 轴垂直； （3）斜率是4-，在y 轴上的截距是7； （4）经过(1,8)A -，(4,2)B -两点； （5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行； （6）在x 轴、y 轴上的截距分别是4，3-．【分析】根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程．【解析】（1）经过点(8,2)A -3)328y x +=-338360x y --=（2）经过点(2,0)B -，且与x 轴垂直；则直线方程为2x =-（3）斜率是4-，在y 轴上的截距是7；则直线方程为47y x =-+，即470x y +-= （4）经过(1,8)A -，(4,2)B -两点；则斜率()28241k --==---，所以直线方程为()821y x -=-+，即260x y +-=（5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行；则直线方程为2y = （6）在x 轴、y 轴上的截距分别是4，3-．则直线方程为143x y +=-，即34120x y --=【类题通法】直线的一般式方程的特征求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x 的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x 项、含y 项、常数项的顺序排列.【巩固练习1】已知△ABC 的三个顶点分别为A （﹣3，0），B （2，1），C （﹣2，3），试求： （1）边AC 所在直线的方程；（2）BC 边上的中线AD 所在直线的方程； （3）BC 边上的高AE 所在直线的方程.【解析】（1）∵A （﹣3，0），C （﹣2，3），故边AC 所在直线的方程为3233x y+=-+，即3x ﹣y +9＝0，（2）BC 边上的中点D （0，2），故BC 边上的中线AD 所在直线的方程为132x y+=-， 即2x ﹣3y +6＝0， （3）BC 边斜率k 131222-==-+，故BC 边上的高AE 的斜率k ＝2， 故BC 边上的高AE 所在直线的方程为y ＝2（x +3），即2x ﹣y +6＝0.2.直线的平行与垂直例2. (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ 【解析】 (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0. ①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，则需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3. (2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【类题通法】利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.【巩固练习2】已知直线l 1:(m+2)x+(m+3)y -5=0和l 2:6x+(2m -1)y=5.当m 为何值时,有: (1)l 1∥l 2? (2)l 1⊥l 2?【解析】 (1)由(m+2)(2m -1)=6(m+3),得m=4或m=-52. 当m=4时,l 1:6x+7y -5=0,l 2:6x+7y=5,即l 1与l 2重合; 当m=-52时,l 1:-12x+12y -5=0,l 2:6x -6y -5=0,即l 1∥l 2. 故当m=-52时,l 1∥l 2.(2)由6(m+2)+(m+3)(2m -1)=0,得m=-1或m=-92. 故当m=-1或m=-92时,l 1⊥l 2.【例3】已知直线l 的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足 (1)过点(-1,3),且与l 平行; (2)过点(-1,3),且与l 垂直.【解析】(方法1)由题设l 的方程可化为y=-34x+3,∴l 的斜率为-34.(1)∵直线l'与l 平行,∴l'的斜率为-34.又∵直线l'过(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0. (2)由l'与l 垂直,∴l'的斜率为43,又过(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=43(x+1),即4x-3y+13=0.(方法2)(1)由l'与l 平行,可设l'方程为3x+4y+m=0. 将点(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直线方程为3x+4y-9=0. (2)由l'与l 垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13. ∴所求直线方程为4x-3y+13=0.【类题通法】与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【巩固练习3】过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：设直线方程式是x －2y ＋c ＝0，因为直线过点(－1,3)所以-1-6+c=0，解得c=7，故所求直线方程是x －2y ＋7＝0. 答案：B（四）操作演练 素养提升1.（多选）下列说法正确的是（ ）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 310x y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 【答案】ABD【解析】32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；310x y ++=可化为31y x =--，则该直线的斜率为3-120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k ，因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =-，则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确；故选ABD.2.已知00ab bc ＜，＜，则直线0ax by c通过( ) 象限A ．第一、二、三B ．第一、二、四C ．第一、三、四D ．第二、三、四3.直线134x y+=的一般式方程为 . 4.若直线()()22224450-+-+=a a x a y a 的倾斜角是4π，则实数a 是_______________. 答案：1.ABD 2.A 3.43120x y +-= 4.23-【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
直线的一般式方程教案
第3—4课时教学题目：直线的一般式方程教学目标：1、掌握直线的一般式方程；2、会灵活运用直线的一般式方程解答相关问题.教学内容：1、直线的一般式方程；2、运用直线的一般式方程解答相关问题.教学重点：运用直线的一般式方程解答相关问题.教学难点：运用直线的一般式方程解答相关问题.教学方法：讲授法、练习法.教学过程：一、创设情境，兴趣导入【问题】直线的点斜式方程：()00y y k x x -=-可化为()00y y k x x -=-；直线的斜截式方程：y kx b =+可化为0kx y b -+=.由此看到，直线的点斜式方程与斜截式方程都可化为二元一次方程的一般形式0Ax By C ++=．那么，能不能说，一般形式的二元一次方程0Ax By C ++=就是直线的方程呢？二、师生协作，探究新知（1）当0A ≠，0B ≠时，二元一次方程0Ax By C ++=可化为A C y x B B =--．表示斜率为A k B =-，纵截距C b B=-的直线． （2）当0A =，0B ≠时，方程为C y B =-，表示经过点0,C P B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于x 轴的直线（如图8－9）．（3）当0A ≠，0B =时，方程为C x A =-，表示经过点,0C P A ⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于y 轴的直线（如图8－10）． 所以，二元一次方程0Ax By C ++=（其中A 、B 不全为零）表示一条直线．图8－9 图8－10方程叫做直线的一般式方程．三、典型例题讲解例1、将方程()1212y x -=+化为直线的一般式方程，并分别求出该直线在x 轴与y 轴上的截距．解：由()1212y x -=+得3260x y -+=． 这就是直线的一般式方程．在方程中令0y =，则5x =-，故直线在x 轴上的截距为5-；令0x =，则52y =，故直线在y 轴上的截距为52． 另解为：由()1212y x -=+得3260x y -+=． 这就是直线的一般式方程．另外由()1212y x -=+得1522y x =+，所以直线在y 轴上的截距为52，令0y =，则5x =-，故直线在x 轴上的截距为5-. 【说明】今后如果不作特殊说明，作为结果，直线的方程都要求写成一般式方程0Ax By C ++=（其中A 、B 不全为零）．例2、写出满足下列条件的直线的方程.（1）、经过点()3,2M ，与x 轴平行；（2）、经过点()3,2M ，与y 轴平行.解：（1）、经过点()3,2M ，与x 轴平行的直线的方程为：2y =.（2）、经过点()3,2M ，与y 轴平行的直线的方程为：3x =.例3、求经过点()2,3且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.解：设直线方程为y kx b =+直线在两坐标轴上的截距相等∴直线的斜率为： 1k =-，∴直线的方程为：y x b =-+，直线过点()2,3，∴32b =-+，∴5b =，∴5y x =-+，即直线方程为：50x y +-=.综上所述：直线方程为50x y +-=.三、学生练习（一）、将下列直线方程化为一般方程：1、122y x =-；2、32(1)4y x -=-+． （二）、已知ABC ∆的三个顶点()3,0A -，()2,1B ，()2,3C -，求：1、BC 边所在直线的方程；2、BC 边上的中线的方程.（三）、求直线34120x y --=的斜率、在x 轴上的截距、y 轴上的截距、并计算该直线与坐标轴围成的三角形的面积．（四）、求直线3210x y +-=的斜率、在x 轴上的截距、y 轴上的截距、并计算该直线与坐标轴围成的三角形的面积．四、课堂小结（一）、直线的一般式方程0Ax By C ++=（其中A 、B 不全为零）叫做直线的一般式方程．（二）、直线的一般式方程的几种特殊情况1、当0A =，0B ≠时，方程为C y B =-，表示经过点0,C P B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于x 轴的直线. 2、当0A ≠，0B =时，方程为C x A =-，表示经过点,0C P A ⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于y 轴的直线.3、x 轴所在直线的方程：0y =；y 轴所在直线的方程：0x =.图8－9 图8－10五、作业布置（一）、一条直线的倾斜角为23π，纵截距为-3，求这条直线的方程，并画出图形. （二）、求直线280x y -+=的斜率、在x 轴上的截距、y 轴上的截距、并计算该直线与坐标轴围成的三角形的面积．（三）、已知直线3260x y +-=，试求出它的斜率、倾斜角、纵截距和横截距，画出图形，并计算该直线与坐标轴围成的三角形的面积.（四）、已知ABC ∆的三个顶点分别为(3,0)A -，(2,1)B -，(2,3)C -，求AC 边上的中线所在直线的方程．教学反思：本节课讲授了直线的一般式方程，并讲解了典型例题，并选取了针对性强、难度适中的练习题，锻炼了学生灵活运用直线的一般式方程解答求直线的倾斜角、斜率、在x 轴上的截距、y 轴上的截距等相关问题的能力，教学效果良好.。
《直线的一般式方程》教学设计
巩固概念
（4 分钟）
化为直线的一般式方程，并分别求出 该直线在 x 轴与 y 轴上的截距。
意图： 巩固化点 斜式、 斜截式为一 般式 以 及求 直线 的斜率 和截 距的 方法。
小结升华
（3 分钟）
让学生谈 谈本节课 的收获， 学 生自由发 言、 相互补 充。
意图： 把本节课 零碎的 知识 点进 行归纳整理， 梳理 成系统， 便于学生 整体把 握本 节课 的知识要点。
由下列条件，写出直线的方程，并说 出我们学过的什么形式的直线方程？
展示， 检查学生对 让 学 生 自 旧知的掌握情况， 我 展 示 用 同时给 学习 困难 旧 知 识 解 的同学 进行 临摹 决 问 题 的 指导， 为后面点斜 解答过程。 式、斜截式、一般 式的相 互转 化打 下坚实的基础。 意图： 培养学生
探索概念
（10 分钟）
（1）点斜式转化过程：
（2）斜截式转化过程：
3
表格式教学设计
问题 2： 对于任意一个二元一次方
意图：引导学
探索概念
程 Ax+By+C=0（A，B 不同时为零） ，是 小 组 合 作 生学会 正确 的分 斜截式方程）？再试一试： （1）当 A≠0、B≠0 时，可化为： 表示斜率为： 上截距为： 表示过点： 线。 （3）当 A＝0、B≠0 时，可化为： 表示过点： 线。 （4） 当 A＝0、 B=0 时， 还表示直线吗？ 由以上可知：二元一次方程 Ax+By+C=0 表示直线的条件和优点 有 哪些？ 学生先分 小组讨论、 选代表发 言， 教师引 导归纳得 出直线的 一般式方 程。 且 且 ， 的直线。 生 抢 答 并 分类讨论的思想。 给 出 转 化 为后面 归纳 直线 轴 的过程， 体 的一般式作铺垫。 会 二 元 一 同时也 为后 面比 次 方 程 ： 较一般 式的 优点 的直 Ax+By+C=0 作好储备。 表示直线 的条件和 的直 一 般 性 特 点。
直线的一般方程说课稿
直线的一般方程说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够： - 熟练掌握直线的一般方程的概念和基本性质； - 理解直线的一般方程和点斜式方程之间的转化关系； - 掌握求解直线与坐标轴的交点的方法； - 运用直线的一般方程解决实际问题。
二、教学重点•直线的一般方程的概念和性质；•直线与坐标轴的交点的求解方法；•直线的一般方程在实际问题中的应用。
三、教学内容1. 直线的一般方程直线是初中数学中的一个基础概念，直线的一般方程是直线的表达形式之一。
直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
2. 直线的一般方程与点斜式方程的转化关系直线的一般方程和点斜式方程是两种常见的表达形式，它们之间存在一定的转化关系。
点斜式方程可以表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中k是直线的斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。
通过对比直线的一般方程和点斜式方程的形式，可以得出它们之间的关系。
3. 直线与坐标轴的交点的求解直线与x轴的交点可以通过直线的一般方程解得。
当y = 0时，直线与x轴交点的横坐标x可以通过直线的一般方程求解得到。
同样地，直线与y轴的交点可以通过直线的一般方程解得。
当x = 0时，直线与y轴交点的纵坐标y可以通过直线的一般方程求解得到。
4. 直线的一般方程的应用直线的一般方程在实际问题中有着广泛的应用，例如地图上的道路、建筑物的设计等。
通过将实际问题转化为数学问题，可以利用直线的一般方程解决实际问题。
四、教学过程1. 导入与引导•利用教学课件或黑板，引导学生回顾直线的概念和斜率的概念。
•引导学生思考直线的方程有哪些不同的表达形式，以及它们之间的关系。
2. 讲解直线的一般方程•通过教师讲解，介绍直线的一般方程的定义和形式。
•举例说明直线的一般方程的应用场景，激发学生的学习兴趣。
3. 比较直线的一般方程和点斜式方程•通过教师的引导，让学生观察直线的一般方程和点斜式方程的形式。
3.2.3 直线的一般式方程(教案)
3.2.3直线的一般式方程教学目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.【教学重点】直线方程的一般式及各种形式的互化.【教学难点】在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程【教学方法】启发式、讲练结合【教学过程】㈠复习提问：①直线方程有几种形式？③每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0）都表示一条直线吗？㈡新课探讨：①任何一条直线的方程都是关于ｘ，ｙ的二元一次方程；②任何关于x，y的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）的图象是一条直线；定义：我们把x，y的一元二次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式.注：一般式适用于任何一条直线.对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项，含y 项、常数项顺序排列.探究： 在方程Ax+By+C=0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线为：①平行于x 轴； ②平行于y 轴； ③与x 轴重合 ； ④与y 轴重合.（三）例题讲解：例1：已知直线经过点A （6，- 4），斜率为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。
巩固训练1：若直线l 在x 轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值是-3/5，则直线l 的点斜式方程线l 的斜截式方程是；直线l 的一般式方程是__4x+3y+16=0_________例2：把直线L 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直线L 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画图。
巩固训练2：设直线l 的方程为Ax+By+c=0（A ，B 不同时为零），根据下列各位置特征，写出A ，B ，C 应满足的关系：直线l 过原点:___C=0_________；直线l 过点(1,1):____A+B+C=0 _______；直线l 平行于 轴:_A=0,B=0,C=0___；直线l 平行于轴:__A=0,B=0,C=0_______巩固训练31、若直线（2m2-5m -3)x -(m2-9)y+4=0的倾斜角为450，则m 的值是 （ ）（A ）3 （B ） 2 （C ）-2 （D ）2与32、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m 在x 轴上的截距为3，则m 的值是__________例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。
直线的一般式方程教案
教学目的：(1) 知识与技能明确直线的一般式方程的特征；会把直线一般式方程转化为斜截式，进而求直线的斜率与截距；会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
〔2〕过程与方法通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察，分析、归纳、进而得出直线的一般式方程，培养了学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题。
〔3〕情感、态度与价值观通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣。
同时，让学生认识事物之间的普遍联络与互相转化教学重点与难点重点：直线的一般式方程难点：理解直线的一般式方程教学流程设计一、创设问题情境【师生活动】平面内的直线，它们的直线方程有几种表示形式？学生完成表格和练习生：填表过点 与x 轴垂直的直线可表示成2.根据以下条件，写出适宜的直线的方程(1) 斜率是21-，经过点〔-1，3〕 〔2〕经过点〔1，2〕，平行于x 轴 〔3〕经过点〔2，1〕，斜率不存在 〔4〕经过原点，斜率是21、从上述几种形式的直线方程中，分析这四种直线的局限性，引出问题。
2、平面直角坐标系中的任何一条直线l 能不能用一种自然优美的“万能〞形式的方程来表示？【设计意图】-老师让学生回忆，观察，发表自己的见解。
学生可以积极主动地投入到课堂中，充分调动他们思维的活泼性。
二、探究新知【师生活动】老师给出问题，引导学生分析，师生共同完成讨论.【设计说明】学生对分类讨论思想还不能纯熟应用，所以老师引导学生考虑问题，给出必须讨论的理由及讨论的分类根据，逐步引导学生进展正确的分类讨论，掌握这种数学思想.问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x 、的二元一次方程表示吗？【设计意图】讨论每条直线是否对应一个二元一次方程.师：我们要求一条直线的方程可以利用直线上的一点和它的斜率来表示，那么需要注意什么问题？生：直线的斜率可能不存在.师：那么我们就需要分情况来讨论，分几种情况？哪几种？生：分成直线的斜率存在和不存在两种情况讨论.学生讨论完成两种情况的讨论，老师提问学生结果，并板书.生：假设直线l 的斜率存在，设直线l 上在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，那么直线l 的方程为b kx y +=.假设直线l 的斜率不存在，设直线l 上的一点),(x y P ，那么直线l 的方程为0x -x = 师：这两个方程是不是关于y x ,的二元一次方程？）（,y x生：是的.第二种情况可以看作是方程中y 的系数为0.问题2 每一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线吗？【设计意图】讨论每个二元一次方程是否对应一条直线.师：我们最熟悉的直线方程形式是哪一种？生：斜截式.师：那我们来讨论一个二元一次方程能不能化成直线的斜截式方程?转化过程中需要注意什么问题？学生讨论变化方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 为斜截式方程，老师最后纠错并板书讨论过程.生：方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 可以变形为BC x B A --y =,所以它表示过点)(0,-B C ，斜率为BA -的直线. 师：变形过程中系数B 一定不为0吗？你的结论严谨吗？ 生：不一定.系数B 为0时，A 一定不为0，方程可以变形为AC -x =.，可以表示一条斜率不存在的直线. 三、理解新知1.结论：(1)平面直角坐标系内的所有直线的方程都是一个二元一次方程.我们把关于y x ,的二元一次方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 叫做直线的一般式方程，简称一般式.(2)一个二元一次方程就是直角坐标平面上的一条确定的直线.二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成了一条直线.【设计意图】整理思路，得出结论，完善分类讨论思想的应用.2.考虑：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？【设计意图】理解一般式的特征，使学生理解一般式与其他形式的区别.3.探究：在方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 中，C A ，，B 为何值时，方程表示的直线：①平行于x 轴；②平行于y 轴；③与x 轴重合；④与y 轴重合；⑤经过原点；⑥与两坐标轴都相交【设计意图】熟悉一般式与斜截式的互相转化，加强对二元一次方程的几何意义的理解.四、运用新知1、根据以下各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－21，经过点A 〔８，－2〕； (2)经过点B (４，2〕，平行于x 轴； 〔3〕在x 轴和y 轴上的截距分别是23,－3； (4)经过两点1P 〔3，－2〕、2P 〔5，－４〕. 【设计说明】本例题由学生自主完成，让学生对一般式方程有更深入的理解.2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
《直线方程的一般形式》教案(公开课)
《直线方程的一般形式》教案一、教学目标(一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比．(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．二、教材分析1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．2．难点：与重点相同．3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。
它们都是二元一次方程．我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？(二)直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．反过来，对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0．(1)其中A、B不同时为零．(1)当B≠0时，方程(1)可化为这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为它表示一条与y轴平行的直线．这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．(三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0．把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．证法一直线AB的方程是：化简得 y=x+2．将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．∴A、B、C三点共线．∴A、B、C三点共线．∵|AB|+|BC|=|AC|，∴A、C、C三点共线．讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C 的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．代入x+2y-10=0有：解之得λ=-3．(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得．五、布置作业1．(1．6练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°．解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=0．3．(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角4．(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程．5．(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0．证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=0．6．过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线l：Ax+By+C=0于C，六、板书设计。
《直线的一般式方程》教案与导学案和同步练习
《2.2.3直线的一般式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.【教学目标与核心素养】【教学重点】：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式【教学难点】：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化【教学过程】1.在方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线(1)平行于x 轴;(2)平行于y 轴;(3)与x 轴重合;(4)与y 轴重合. 答案:当A=0时,方程变为y=-CB ,当C≠0时表示的直线平行于x 轴,当C=0时与x 轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA ,当C≠0时表示的直线平行于y 轴,当C=0时与y 轴重合.2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ; 化为截距式为 . 解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-13;方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x -12+y-13=1.答案:y=-23x-13; x -12+y-13=13.两条直线的位置关系3.判断下列两组直线是否平行或垂直:三、达标检测1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( ) 答案(1)√(2)√(3)×当C＝0时，直线与y轴重合．(4)×当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )解析:当a<0,b>0时,直线ax-by=1在x轴上的截距1a<0,在y轴上的截距-1b <0;bx-ay=1在x轴上的截距1b>0,在y轴上的截距-1a>0.只有B满足.故选B.答案:B3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0四、小结五、课时练【教学反思】通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。
直线的一般方程教学设计
直线的一般方程教学设计
一、教学目标
1. 掌握直线的一般方程的形式及其特点。
2. 学会根据已知条件求解直线方程。
3. 培养学生的数学思维能力和分析解决问题的能力。
二、教学内容
1. 直线的一般方程形式：Ax + By + C = 0 (A, B不同时为0)。
2. 直线一般方程的特点：常数项C为0时，表示的是平行于y轴的直线；B 为0时，表示的是平行于x轴的直线。
3. 根据已知条件求解直线方程的方法：代入法、消元法等。
三、教学难点与重点
难点：理解直线的一般方程的形式及其特点，掌握根据已知条件求解直线方程的方法。
重点：直线的一般方程及其应用。
四、教具和多媒体资源
1. 黑板和粉笔。
2. 投影仪和PPT。
3. 教学软件：几何画板。
五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾直线方程的几种形式，引出一般方程的概念。
2. 教学策略：采用讲解、示范、小组讨论和案例分析相结合的方法，引导学生理解直线的一般方程及其应用。
3. 学生活动：组织学生进行小组讨论，探究直线一般方程的应用，并安排适当的练习题进行巩固。
六、教学过程
1. 导入：通过展示实际生活中的一些直线图片，引导学生思考直线的表示方法，从而引出直线的一般方程。
2. 讲授新课：详细讲解直线的一般方程形式，特点以及求解方法，结合实例进行说明。
3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用所学知识求解直线的方程，加深对直线一般方程的理解。
4. 归纳小结：总结本节课的主要内容，强调直线一般方程的重要性以及应用价值。
直线的一般式方程教案
直线的一般式方程教案教案标题：直线的一般式方程教案教学目标：1. 理解直线的一般式方程的概念和含义。
2. 掌握如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。
3. 能够将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、直尺、教学投影仪（可选）。
2. 学生准备：铅笔、直尺、作业本。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 教师通过引导问题或展示实际生活中的直线图像，引起学生对直线的兴趣和思考。
2. 教师简要介绍直线的一般式方程的概念，并与学生分享直线方程的重要性和应用。
步骤二：讲解直线的一般式方程（15分钟）1. 教师通过示意图和实例，解释直线的一般式方程y = mx + c 中 m 和 c 的含义。
2. 教师详细讲解如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。
3. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。
步骤三：练习与巩固（15分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些基础练习题，以巩固直线的一般式方程的求解方法。
2. 教师提供反馈和指导，纠正学生可能存在的错误和困惑。
步骤四：转化为斜截式方程和截距式方程（15分钟）1. 教师讲解如何将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程，并解释它们的含义和应用。
2. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。
步骤五：拓展与应用（10分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些拓展练习题，以应用直线的一般式方程解决实际问题。
2. 教师鼓励学生分享解题思路和答案，并提供反馈和指导。
步骤六：总结与评价（5分钟）1. 教师与学生共同总结直线的一般式方程的求解方法和转化方法。
2. 学生回答教师提出的评价问题，以检查他们对所学内容的理解程度。
拓展活动：1. 学生可通过互动游戏或小组竞赛的形式，进一步巩固和应用所学内容。
2. 学生可自主探究其他类型的直线方程，并与同学分享他们的发现和思考。
教学反思：本教案通过引导学生理解直线的一般式方程的概念和求解方法，以及转化为斜截式方程和截距式方程的过程，培养了学生的数学思维和解决实际问题的能力。
直线的一般式方程 教案 说课稿 教学设计
直线的一般式方程教学目标1.知识与技能：（1）通过推导，了解直线都可以表示成一般式方程； （2）理解直线一般式方程系数的意义； （3）会判断一般式方程的平行垂直问题.2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想 重点难点1.教学重点：了解直线都可以表示成一般式方程，会判断一般式方程的平行垂直问题2.教学难点：理解直线一般式方程系数的意义. 教学过程（一）复习引入：1、直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的互相转化： 练习1：由下列条件，写出直线的方程： （1）经过点A （8，– 2），斜率是21-；（)8(212--=+x y ） （2）经过点B （4，2），平行于x 轴；（y – 2 = 0） （3）经过点P 1（3，– 2），P 2（5，– 4）；（353)2(4)2(--=-----x y ）（4）在x 轴，y 轴上的截距分别为23，– 3。
（1323=-+y x ）2、直线方程的几种形式：思考：以上方程有什么共同的特点？ （二）讲授新课：1、直线与二元一次方程的关系：问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x 、y 吗？对直线的倾斜角α进行讨论： ① 当︒≠90α时，直线斜率为αtan =k ，其方程可写成：b kx y +=，可变形为：0=++C By Ax ，其中：A = k ，B = – 1，C = b ；A 、B 不同时为零。
（如图） ② 当︒=90α时，直线斜率不存在，其方程可写成1x x =的形式， 也可以变形为：0=++C By Ax ，其中：A = 1，B = 0，1x C =。
直线的一般式方程 说课稿 教案 教学设计
直线的一般式方程一、教学目标1、知能目标（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、情感目标（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学过程问题师生活动1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于的二元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。
对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。
为此要对B分类讨论，即当时和当B=0时两种情形进行变形。
然后由学生去变形判断，得出结论：关于的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.2、直线方程的一般式与其他几种学生通过对比、讨论，发现直线方程师生活动直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线。
3、在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于轴；（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合。
教师引导学生回顾前面所学过的与轴平行和重合、与轴平行和重合的直线方程的形式。
然后由学生自主探索得到问题的答案。
4、例5的教学已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程。
学生独立完成。
然后教师检查、评价、反馈。
指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含项、含项、常数项顺序排列；项的系数为正；，的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式。
3.2.3直线的一般式方程的教学设计
3.2.3直线的一般式方程的教学设计3.2.3直线的一般式方程教学设计（3课时）主备教师谢太正一、教材分析通过研究直线方程的几种形式,指出它们都是关于x,y 的二元一次方程,然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系,使学生明确一个重要事实:在平面直角坐标系中,任何一条直线的方程,都可以写成关于x,y 的一二元次方程;反过来,任何一个关于x,y 的一次方程都表示一条直线,为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.因为这部分内容较为抽象,所以它是本节学习的难点. 二、目标及解析1. 理解直线方程和二元一次方程的关系,会求直线的一般式方程2. 通过直线方程几种形式的学习,初步体会知识发生、发展和运用的过程,培养学生多向思维的能力. 三、问题诊断分析对于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点,在论证直线和方程的关系时,一方面分斜率存在与斜率不存在两类,另一方面又分B ≠0与B=0两类.这种“两分法”的分类,科学严密,可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力. 四、教学设计（一）复习直线方程的四种形式:1、点斜式:当直线斜率存在时，过点),(000y x P ，斜率为k 的直线方程为)(00x x k y y -=-2、斜截式：当直线斜率存在时，设在y 轴上的截距为b ，则直线方程为y=kx+b.3、两点式：过点111222(,),(,)P x y P x y 其中1212(,)x x y y ≠≠的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--4、截距式：当直线在x 轴、y 轴上的截距存在（分别为a 、b ）且不为零时，直线方程为1x ya b+= （二）探究直线的一般式方程1．探究：直线的一般式方程的推导问题一：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x 、y 的二元一次方程表示吗？设计意图：使学生理解直线和二元一次方程的关系。
引导学生对字母A 、B 、C去讨论，从而也明确A 、B 的限定条件追问：每一个关于x 、y 的二元一次方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为0）都表示一条直线吗？设计意图：给出定义：把关于x 、y 的二元一次方程Ax+By+c=0（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.说明：任何一条直线都可以用一个关于x 、y 的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。
直线的一般式方程 优秀教案
直线l经过点P0（x0，y0），斜率为k，则直线的方程为： ①
当直线l的倾斜角为90°时，直线的方程为x－x0＝0②
二、预习检查、总结疑惑
任意一个二元一次方程：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）是否表示一条直线？
当B≠0时，上述方程可变形为：
它表示过点（0， ）斜率为 的直线。
探究二：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
答：直线与二元一次方程是一对多的对应，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程
探究三：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与 轴垂直的直线。
例1．已知直线的一般式方程
【教学目标】
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
【教学重难点】
重点：直线方程的一般式。
难点：对直线方程一般式的理解与应用。
【教学过程】
一、情景导入、展示目标。
1．直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围。
点评：考察对截距的理解，对式子进行变形，然后描点连续。
变式：已知直线 经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程。
四、反馈测试
五、总结反思、共同提高
【板书设计】
一、直线的一般式方程
定义
形式
二、探究问题
三、例题
例1
变式1
例2
变式爬黑板
【作业布置】
分析：直接用点斜式写出，然后化简。
解：所求的直线方程为：
直线的一般方程教学设计公开课教案教学设计课件案例试卷
直线的一般式方程授课人：授课时间:【教学目标】知识与技能：掌握直线的一般式方程，理解二元一次方程与直线的对应关系。
过程与方法：通过探究直线与二元一次方程的关系，得出直线的一般式方程。
培养学生利用分类讨论的思想解决问题.情感、态度与价值观：（1）感受利用代数的手段研究几何问题的认识过程，培养学生的辩证统一的思想.（2）经历直线一般式方程的讨论探究过程，培养学生的有序思考的良好习惯．【教学重点】直线的一般式方程以及各种形式之间的互相转化．【教学难点】掌握直线的一般式方程．【教学设计】直线的一般式方程的介绍，分两个层次来处理．首先，以例题的形式提出前面介绍的两种直线方程都可以化成二元一次方程的一般的形式，进一步提出任意直线的点斜式和斜截式方程都可以化成一般的二元一次方程的形式，然后按照二元一次方程0Ax By C++=的系数的不同取值，进行讨论，并对CyB=-与CxA=-数形结合的进行说明，得到一般的一元二次方程的形式都可以表示成直线方程。
从而理解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般式方程。
通过例题讲解掌握直线的一般式方程以及各种形式之间的互相转化。
【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(10分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间*揭示课题直线的一般式方程*知识回顾【问题】1、我们回顾一下我们学习过哪几种形式的直线方程。
其对应的几何条件和方程以及局限性又分别是什么呢？（完成表格）2、这些方程有什么特点？这些方程中的含有x 项，y 项都有什么位置特点？ （它们都是关于x,y 的二元一次方程）（y 都在等式左边系数为1，x 都在等式的右边） 3、那么直线的方程与二元一次方程有着怎样的关系？ 这几种直线方程是否可以整理成统一形式？介绍质疑引导 分析了解 思考 思考 回答引导学生 回顾 引出新知 铺垫2*探究新知一元二次方程的一般形式是如何的？ 将下列方程改写成一元二次方程的一般形式)2(33)1(-=-x y )5(32)2(-=-x y52)3(+=x y 54)4(+-=x y引导观察 求解特殊到一般的过渡过 程行为 行为 意图 间任意直线的点斜式和斜截式方程都可以化成一般的二元一次方程的形式吗？)(00x x k y y -=-00=-+-kx y y kxb kx y += 0=+-b y kx引领 分析思考引导 式启 发学 生得 出结 果 2*探究新知那么，能不能说，一般形式的二元一次方程 都可以转化为直线方程的形式呢？（1）当0A ≠，0B ≠时，二元一次方程0Ax By C ++=可化为A C y x B B =--．表示斜率为A k B =-，纵截距C b B =-的直线． 可以发现B 在分母的位置，当0B ≠，0A =时，会如何呢？ （2）当0A =，0B ≠时，方程为Cy B=-表示斜率为k=0,纵截距B C b -=的直线。
高中数学_直线的一般式方程高中数学邓慧教学设计学情分析教材分析课后反思
直线的一般式方程（教学设计）教学目标1、明确直线方程一般式的形式特征；2、会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式，会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3、通过探究直线各种方程形式之间的转化，锻炼观察、归纳、抽象的能力，感受分类讨论的思想方法；4、通过从特殊到一般的数学探究过程，体会数学研究的一般方法，感受其中严谨的态度与钻研精神。
教学重点、难点：1、重点：掌握直线方程的一般式及其它形式之间的转化.2、难点：直线方程一般式的理解与应用.教材分析本节内容是必修第二册第三章第二节直线的方程的第三课时内容。
本节课是在学习直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的基础上，引导学生认识它们的实质，即都是二元一次方程。
从而对直线与二元一次方程的关系进行探究，进而得出直线的一般式方程，这也为下一节学习做好准备，更为我们以后学习曲线方程做了铺垫。
解析几何有两项根本性的任务：一是求曲线的方程，二是用方程研究曲线。
本节内容就是讨论直线的一般式方程，因此是非常重要的内容。
一方面引导学生由具体条件选择恰当形式求出直线方程，并统一到一般式，另一方面因为一般式方程中A,B,C的几何意义并不明显，因此常常转化为斜截式和截距式，所以各种形式应会相互转化。
学情分析1、学生在学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式之后，有了一定的知识基础和认知能力，但是由于学生接触直线方程的概念不是太长时间，因此对于直角坐标系中直线与x 和y的二元一次方程的对应关系理解有一定困难。
2、学生们信任老师，合作精神积极，富有团队精神，希望得到他人的肯定，但性格多样化，有的活泼外向，有的内向沉默，需要老师合理调配积极引导，大部分同学能在老师引导下自主学习，合作学习，探究学习，并善于探索，敢于质疑，敢于创新。
本节课型新授课教学准备多媒体课件，几何画板程序，三角尺教学方法讲授法、讨论法、直观演示法、练习法、自主学习法教学过程一、复习引入【师生活动】1、课前根据学生座次顺序，基础知识掌握程度及性格等因素将全班同学分为“四大门派”，分别是“点斜派”、“斜截派”、“两点派”、“截距派”，分区做好，准备一次别开生面的比武大会。
直线的一般式方程(教案)精编版
3.2.3直线的一般式方程（教案）教学目标：1、知识与能力：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。
教学方法：引导探究法、讨论法教学过程：创设情境，引入新课：1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成 y=y0。
2、 问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？ 提 示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程） 猜 测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
新课探究： 问题：（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2), （2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1, （3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,思考1 ：以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示？答： 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。
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直线的一般式方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件．(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．(3)明确直线方程一般式的形式特点，会把直线方程的一般式同直线方程的其他形式互化．2．过程与方法(1) 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．(2)通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察、分析、归纳，进而得出直线的一般式方程，培养学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式、一般式．难点：两点式的适用条件及直线方程一般式的形式特征．重难点突破：以具体案例“求过两点的直线方程”为切入点，通过学生解答，发现知识之间的联系，然后通过观察、思考和互相交流，归纳出直线方程的两点式的形式．针对其适用条件，教学时可引导学生从两点式的形式给予突破；从直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式出发，采用由特殊到一般的方式，通过学生观察、师生交流，寻其共性，得出直线方程一般式的形式特征，最后通过典例训练，熟练掌握直线方程的各种形式，突出重点的同时化解难点．【课前自主导学】直线方程的两点式和截距式【问题导思】1．利用点斜式解答如下问题：(1)已知直线l 经过两点P 1(1,2)，P 2(3,5)，求直线l 的方程；(2)已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 【提示】 (1)y －2＝32(x －1)．(2)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用x 3＋y6＝1表示吗？ 【提示】 能．3．过点(2,3)和(2,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 【提示】 不能，因为2－2＝0，而0不能做分母．也不能． 直线方程的两点式和截距式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 斜率存在且不为0截距式在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋y b ＝1斜率存在且不为0，不过原点线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.直线的一般式方程【问题导思】我们已经学习了直线的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，直线的斜截式y ＝kx ＋b ，直线的两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，直线的截距式x a ＋yb ＝1，并且掌握了它们的适用条件． 1．上述方程的四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)来表示吗？ 【提示】 能．2．关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 【提示】 一定．3．当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？【提示】 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0得，y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－AB ，在y 轴上截距为－C B 的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0得x ＝－CA ，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线．直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB .当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率.【课堂互动探究】直线的两点式方程三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【思路探究】 由两点式直接求出三角形三边所在的直线的方程． 【自主解答】 由两点式，直线AB 所在直线方程为： y －－10－－1＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0. 同理，直线BC 所在直线方程为：y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为：y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.1．当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．2．由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．在题设条件不变的情况下，求AB 中点与点C 连线的方程． 【解】 设AB 边中点为D (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32＝1，y ＝0＋－12＝－12，C ，D 两点横坐标相同，所以直线CD 的方程为x ＝1.直线的截距式方程已知直线l 经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．【思路探究】思路一：利用直线的截距式方程求解，需分截距“为零”和“不为零”两类分别求解； 思路二：利用直线方程的点斜式求解．【自主解答】 设直线l 在两坐标轴上的截距均为a . ①若a ＝0，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若a ≠0，则l 的方程可设为x a ＋ya ＝1，因为直线l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a ＝1，即a ＝1， 所以直线l 的方程为x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0. 综上可知，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.1．如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．2．应用截距式方程处理截距相等问题的一般思路：已知直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程． 【解】 由题意可设A (a,0)，B (0，b )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋02＝4，0＋b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝8，b ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)．由直线方程的截距式得l 方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.直线的一般式方程根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点； (6)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【思路探究】 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． 【自主解答】 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0. (5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－12－－1，整理得2x ＋y －3＝0.(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.直线方程的五种形式的比较： 形式条件方程应用范围特 殊 形 式点斜式一般情况 过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0＝k (x －x 0) 不含与x 轴垂直的直线 斜截式 在y 轴上的截距为b ，斜率为ky ＝kx ＋b 不含与x 轴垂直的直线 两 点式 一般情况过两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2) y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x 1≠x 2，y 1≠y 2，即不含与x 轴或y 轴垂直的直线 截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a 与b (a ，b ≠0) x a ＋y b ＝1不含与x 轴或y 轴垂直的直线，不含过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)任何情况特殊的直线垂直于x 轴且过点(a,0) x ＝a ，y 轴的方程x ＝0 k 不存在 垂直于y 轴且过点(0，b ) y ＝b ，x 轴的方程y ＝0 k ＝0求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程． 【解】 法一 直线3x ＋4y ＋1＝0可化为y ＝－34x －14，∴斜率k ′＝－34，∵直线l 与已知直线平行，∴k ＝k ′＝－34，又直线l 过点(1,2)， ∴l ：y －2＝－34(x －1)，即：3x ＋4y －11＝0.法二 设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11.∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. 【思想方法技巧】利用坐标法解决实际问题(12分)如图3－2－1所示，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．(精确到1 m 2)图3－2－1【思路点拨】 本题考查坐标法的应用和二次函数的最值，关键是确定长方形中在AB 上的顶点的位置，可建立坐标系，运用直线的知识求解．【规范解答】 建立如图所示的坐标系，则B (30,0)，A (0,20)，∴由直线的截距式方程得到线段AB 的方程为：x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).3分设长方形中在AB 上的顶点为P ，点P 的坐标为(x ，y )，则有y ＝20－23x (0≤x ≤30).4分 ∴公寓的占地面积为：S ＝(100－x )·(80－y )＝(100－x )·⎝⎛⎭⎪⎫80－20＋23x ＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30).8分∴当x ＝5，y ＝503时，S 取最大值，最大值为S ＝－23×52＋203×5＋6 000≈6 017(m 2).10分 即当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，503时，公寓占地面积最大，最大面积约为6 017 m 2.12分【思维启迪】本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A ，P ，B 三点共线，二是矩形的面积最大．借助三点共线寻求x 与y 的关系，然后利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．【课堂小结】1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．3．直线方程的一般式同二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以应用方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题．。