直线的一般式方程 教案 说课稿 教学设计

直线的一般式方程

●三维目标

1．知识与技能

(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件．

(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．

(3)明确直线方程一般式的形式特点，会把直线方程的一般式同直线方程的其他形式互化．

2．过程与方法

(1) 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．

(2)通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察、分析、归纳，进而得出直线的一般式方程，培养学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题．3．情感、态度与价值观

(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．

(2)培养学生用联系的观点看问题．

●重点难点

重点：直线方程的两点式、一般式．

难点：两点式的适用条件及直线方程一般式的形式特征．

重难点突破：以具体案例“求过两点的直线方程”为切入点，通过学生解答，发现知识之间的联系，然后通过观察、思考和互相交流，归纳出直线方程的两点式的形式．

针对其适用条件，教学时可引导学生从两点式的形式给予突破；从直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式出发，采用由特殊到一般的方式，通过学生观察、师生交流，寻其共性，得出直线方程一般式的形式特征，最后通过典例训练，熟练掌握直线方程的各种形式，突出重点的同时化解难点．

【课前自主导学】

直线方程的两点式和截距式

【问题导思】

1．利用点斜式解答如下问题：

(1)已知直线l 经过两点P 1(1,2)，P 2(3,5)，求直线l 的方程；

(2)已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 【提示】 (1)y －2＝3

2(x －1)．(2)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．

2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用x 3＋y

6＝1表示吗？ 【提示】 能．

3．过点(2,3)和(2,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 【提示】 不能，因为2－2＝0，而0不能做分母．也不能． 直线方程的两点式和截距式

名称

已知条件

示意图

方程

使用范围

两点式

P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2

y －y 1y 2－y 1＝x －x 1

x 2－x 1 斜率存在且不为0

截距式

在x ，y 轴上的截距分

别为a ，b 且a ≠0，b ≠0

x a ＋y b ＝1

斜率存在且不为0，不过原点

线段的中点坐标公式

若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 1＋x 2

2，

y ＝y 1＋y 2

2.

直线的一般式方程

【问题导思】

我们已经学习了直线的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，直线的斜截式y ＝kx ＋b ，直线的两点式

y －y 1

y 2－y 1

＝

x －x 1x 2－x 1

，直线的截距式x a ＋y

b ＝1，并且掌握了它们的适用条件． 1．上述方程的四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)来表示吗？ 【提示】 能．

2．关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 【提示】 一定．

3．当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？

【提示】 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0得，y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－A

B ，在y 轴上截距为－

C B 的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0得x ＝－C

A ，所以该方程表示一条垂直

于x 轴的直线．

直线的一般式方程

(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．

(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－A

B ，在y 轴上的截距是－C

B .当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率.

【课堂互动探究】

直线的两点式方程

三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．

【思路探究】 由两点式直接求出三角形三边所在的直线的方程． 【自主解答】 由两点式，直线AB 所在直线方程为： y －－1

0－－1

＝x －3－1－3

，即x ＋4y ＋1＝0. 同理，直线BC 所在直线方程为：y －3－1－3＝x －1

3－1

，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为：y －30－3＝x －1

－1－1

，即3x －2y ＋3＝0.

1．当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．

2．由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错