二次函数与一元二次方程之间的关系
九年级二次函数与一元二次方程的联系和区别
二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x =2ab-,。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。
当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。
2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。
④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。
二次函数与一元二次方程的关系
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、＝0 2a
x
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
二次函数与一元二次方程的关系
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式 中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－ 6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4 范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2 ＜4.
• (3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式 中试值．
• 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6 ＝0.562 5＞0； • 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范 围内，
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的根。
1 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象 如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
• 2．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A （﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 ．
• 3．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直 线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
二次函数与一元二次方程、不等式的关系二次函数的平移只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。
将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减1.抛物线y= －32x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
2.抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。
3.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
4.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
5.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .6.将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.函数的交点1. 抛物线372++=x x y 与直线92+=x y 的交点坐标为 。
2. 直线17+=x y 与抛物线532++=x x y 的图象有 个交点。
二次函数与方程、不等式的关系1如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可）2.二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为3.抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点4.如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.15.已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为 ，则m 的值为( )A.－2B.12C.24D.48 6.若二次函数y ＝(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是7.已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .8.关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；9.二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）A.0,0>∆>aB.0,0<∆>aC.0,0>∆<aD.0,0<∆<a2510.若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ） A.x ＝－3 B.x ＝－2 C.x ＝－1 D.x ＝111.已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。
浅谈二次函数与一元二次方程的联系
浅谈二次函数与一元二次方程的联系摘要：二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。
函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。
探索二次函数的图象的作法和性质的过程，能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质。
通过学生之间的交流互动，进行图象与图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系。
一元二次方程与二次函数之间的密切关系还有很多巧妙的用处，更多的地方需要在实践中去慢慢体会，并理解函数的意义,记住函数的几个表达形式，注意区分。
关于一元二次方程的学习任务，并要求学生们独立完成，从而让学生有针对性地进行课程学习，最终提高学生的学习效率和质量。
完善初中数学课程评价标准，从而提高数学课堂的教学质量，老师要根据每一位学生的心理特点、学习能力以及成果进行综合评价，并根据最终的评价结果给予学生适当的鼓励和支持，以增强学生的学习自信心。
关键词：动手实践自主探索合作交流自身思维营造高效一元二次方程与二次函数它们在形式上几乎相同，差别只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。
这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切，方程中的很多知识点可以运用在函数中。
函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。
它们在形式上几乎相同，二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。
初中数学课程标准指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。
(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一 二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ． 无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 ．例3图 变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 。
例析二次函数与一元二次方程的转化
例析二次函数与一元二次方程的转化山东 于秀坤二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0〔a ≠0〕密切相关，当函数值y=0时，可得到一元二次方程ax2+bx+c=0.从图象上看，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.对于二次函数y=ax2+bx+c 的图象和一元二次方程ax2+bx+c=0：当图象与x 轴有一个公共点时，方程有两个相等实数根，即Δ=b2-4ac=0；当图象与x 轴有两个公共点时，方程有两个不等的实数根，即Δ=b2-4ac>0;当图象与x 轴没有公共点时,方程没有实数根,即 Δ=b2-4ac<0.例1 〔2019•宿迁〕假设二次函数y=ax2-2ax+c 的图象经过点〔-1，0〕，那么方程ax2-2ax+c=0的解为〔 〕x1=-3，x2=-1 B 、x1=1，x2=3 C 、x1=-1，x2=3 D 、x1=-3，x 2=1解析：∵二次函数y=ax2-2ax+c 的图象经过点〔-1，0〕，∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1，∵抛物线的对称轴是x=-22a a-=1， ∴二次函数y=ax2-2ax+c 的图象与x 轴的另一个交点为：〔3，0〕. ∴方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1，x2=3．应选C 、例2〔2016•徐州〕假设二次函数y=x2+2x+m 的图象与x 轴没有公共点，那么m 的取值范围是______.解析：∵二次函数y=x2+2x+m 的图象与x 轴没有公共点，∴方程x2+2x+m=0没有实数根.∴∆=22-4×1×m ＜0，解得m ＞1.例3〔2019•南通〕关于x 的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不等的实数根都在-1和0之间〔不包括-1和0〕，那么a 的取值范围是__________解析：∵关于x 的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根,∴ =〔-3〕2-4×a×〔-1〕＞0，解得a＞−9 4.设y=ax2-3x-1，如图，∵实数根都在-1和0之间，[来源:学+科+网]∴-1＜−-32a＜0，解得a＜−32.当x=-1时,y<0，即a×〔-1〕2-3×〔-1〕-1＜0. 解得a＜-2.[来源:1ZXXK]综上可得−94＜a＜-2．[来源:1ZXXK]。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程是高中数学的重要内容之一。
本文将从概念解释、性质讨论以及实际应用等方面来探讨二次函数与一元二次方程的相关知识。
一、二次函数的定义和性质二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了抛物线的开口方向及大小，a>0时抛物线开口向上，a<0时抛物线开口向下；b决定了抛物线在x轴的位置，负责平移抛物线；c决定了抛物线与y轴的截距，负责上下平移。
二次函数的图象一定是一个抛物线，还可以根据抛物线的顶点、焦点等性质进行分类和推导。
例如，顶点坐标为（h，k），则对称轴方程为x = h；当a>0时，抛物线的最小值为k，焦点坐标为（h，k+p）；当a<0时，抛物线的最大值为k，焦点坐标为（h，k-p）。
二、一元二次方程的定义和性质一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数且a≠0。
一元二次方程在数学中具有广泛的应用，解一元二次方程的过程就是求解方程的根，即方程等式两边相等的值。
一元二次方程的解可以分为三种情况：①当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根；②当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；③当b^2 - 4ac < 0时，方程无实数根，但有复数根。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程有着密切的联系。
对于任意给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以用x代入函数中，得到一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，即将二次函数转化为一元二次方程。
反之，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求解方程的根，得到二次函数的图象的相关信息。
例如，根据二次函数的顶点和焦点的性质，可以通过一元二次方程的解来确定抛物线的开口方向、抛物线与x轴的交点等。
四、二次函数与一元二次方程的应用二次函数与一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用。
九年级数学二次函数与一元二次方程(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：二次函数与一元二次方程之间的关系:①一元二次方程的根是二次函数的图象与_____________；当时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当时，二次函数图象与x轴_______交点．②方程的根是对应的________________，求两个函数交点的坐标就是求对应方程组的解．问题2：结合一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，思考函数y值比大小，主要利用函数的________和数形结合；两函数值比大小，借助数形结合，_____________________．二次函数与一元二次方程一、单选题(共10道，每道10分)1.若关于x的二次函数的图象与x轴仅有一个公共点，则k的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式2.如图是二次函数（a，c为常数，）与一次函数（k，b为常数，）的图象，方程的解为_______；不等式的解集为_________．( )A.；B.；C.；D.；答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想3.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当时，x的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的对称性4.若一元二次方程的两个实数根分别为，则实数的大小关系为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象上点的坐标特征5.已知二次函数的图象与x轴交于两点，且，则实数的大小关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移6.方程的根有( )个．A.0B.1C.2D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想7.方程的根的个数为( )个A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想8.已知函数，当直线y=k与此图象有两个公共点时，k的取值范围是( )A. B.C. D.或k=-1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想9.关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想10.方程（k是实数）有两个实根，且，那么k的取值范围是( ) A. B. C. D.无解答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想第11页共11页。
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的
联系和区别
二次函数、一元二次不等式、一元二次方程都是关于二次方的数
学概念。
它们在形式和性质上各有不同，但都具有密切联系。
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。
其图像为一个开口向上或向下的抛物线，与x轴交点为其根。
一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
其解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
这个方程的解
决了抛物线与x轴交点的问题。
一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数。
这个式子就是要解出抛物线的正负。
因此，从几何角度来看，二次函数和一元二次不等式都与抛物线
的开口方向和根相关。
一元二次方程和二次函数的解方程式中的x为
根有关。
而一元二次不等式则是解出某个范围内x的取值。
同时，这些概念还有着实际意义。
二次函数的图像在物理学中很
常见，比如抛物线运动。
而一元二次方程在物理学和工程学中也有广
泛的应用。
在学习过程中需要注意，这些概念虽然看似相似，但细节处的不同很重要。
需要分类讨论、注意符号、掌握解法等，才能真正理解这些概念并活用于实际问题中。
二次函数与一元二次方程不等式的关系表格
二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系可以通过表格的形式进行总结。下面是一个简单的表格：
概念
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
定义
y = ax^2 + bx + c
ax^2 + bx + c = 0
ax^2 + bx + c > 0 (a > 0)或ax^2 + bx + c < 0 (a < 0)
图像Байду номын сангаас
抛物线
交点或无实根
与x轴的交点或区间
根的性质
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时在区间内恒成立，有时不恒成立
判别式
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
根与系数的关系
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
无特定关系(但与方程的根有关)
最值问题
可能存在最小值或最大值，取决于a的正负和Δ的值
无特定最值问题(但与方程的解有关)
可能存在区间内的不等式恒成立问题，取决于a的正负和Δ的值
这个表格简要概述了二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系。
二次函数与一元二次方程的关系以及实际应用
【知识清单】1、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系,,a b c 决定开口方向0,0,a a >⎧⎨<⎩开口向上;开口向下. ,,a b c 与b 决定对称轴位置,,a b a b ⎧⎨⎩同号,在轴左侧;异号,在轴右侧.c 决定抛物线与y 轴交点的位置0,0,0,c c c >⎧⎪=⎨⎪<⎩交点在y 轴的正半轴上;交点在原点;交点在y 轴的负半轴上. 式子c b a ++的正负就是当x=1时，对应的函数值y=c b a ++的正负。
2、二次函数与一元二次方程的联系（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为()0c ，. （2）抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，就是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点的个数可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.（3）平行于x 轴的直线与抛物线的交点．可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx ck ++=的两个实数根.（4）抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭（非重点）3、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.【巩固练习】1、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图26-2所示，则下列结论中正确的判断是（ ）①0a < ② 0b > ③0c < ④240b ac -> A ．①②③④ B ．④ C ．④②③ D ．①④2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图26-3所示,下列结论中: ①0abc > ② 2b a =③0a b c ++< ④0a b c -+> 正确的是【典型例题】【例1】 小明、小亮、小梅、小丽四人共同探究代数式245x x -+的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x 的值，小亮负责找值为0时x 的值，小梅负责找最小值，小丽负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A.小明认为只有当2x =时，245x x -+的值为1. B.小亮认为找不到实数x ，使245x x -+的值为0.C.小梅发现245x x -+的值随x 的变化而变化，因此认为没有最小值D.小丽发现当x 取大于2的实数时，245x x -+的值随x 的增大而增大，因此认为没有最大值.【例2】 已知二次函数2y x x a =-+(0)a >，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0， 那么下列结论中正确的是（ ） A .1m -的函数值小于0 B .1m -的函数值大于0C .1m -的函数值等于0D .1m -的函数值与0的大小关系不确定【例3】 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值围. 【例4】图26-4，图中抛物线的解析式为2y ax bx c =++，根据图象判断下列方程根的情况。
二次函数,与一元二次方程的关系
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果 相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在 轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0
（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点。
一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交 点坐标分别是A（ x1，0）， B（ x2，0） y
x1 O A
一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函 数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。 判别式Δ ＝b2-4ac y=ax2+bx+c(a ax2+bx+c=0(a≠0) ≠0)
43.二次函数与一元二次方程的关系(一)
问题探究
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取常数（定值）时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程联系密切 已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二 次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值 为0，求自变量x的值． 既然联系密切，我们可以运用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论 一元二次方程ax2+bx+c=0
0个 1个
2个 y = x2－x＋1
3
-2, 1
y = x2＋x－2
1
知识梳理
以上是运用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0
反过来，由一元二次方程根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象
与x轴的位置关系.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与 一元ห้องสมุดไป่ตู้次方程ax2+bx+c=0根的关系
问题2.下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是 多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一 元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表 二次函数 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 抛物线与x轴 公共点 公共点个数 横坐标 当x取公共点横坐标 相应的一元二次方 程的根 时，函数值是多少？ x2-x+1=0没有实数根 0 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 0 y = x2－6x＋9
二次函数与一元二次方程间的关系教案(完美版)
21.3.1 二次函数与一元二次方程间的关系教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程关系的过程,体会函数、方程之间的联系. 【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解.【难点】用数形结合的思想解方程.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.让每个人平等 由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间. 先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表: x …-2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04…观察上表可以发现,当x 分别取-2.5和-2.4时,对应的y 由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x 使y=0,即有方程x 2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x 2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根. 方程x 2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x 2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A 、B 的横坐标就是方程x 2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是 .【答案】x 1=1,x 2=-5 2.判断下列二次函数的图象与x 轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.(1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性质去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.。
二次函数与一元二次方程的关系
解：（1）-1 x 3．
（2）设y=x2 -1，则y是x的二次函数．
a=1 0,抛物线开口向上．
又 当y=0时，x2 -1=0，
∴
＞0
∴△＞0，
∴无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.
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能力提升
5.已知二次函数 y kx2 6x 7 的图像与X轴
ห้องสมุดไป่ตู้
有两个不同的交点.
（1） 求k的取值范围
（2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等
可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x 轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。
在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函 数图象解方程。
课后练习
1.已知抛物线y x2 6x a与x轴有两个交点,则a的取值范围是多少? 2.已知抛物线y=x2 px q与x轴的两个交点为(2, 0), (3, 0),则p、q的 值分别是多少? 3.已知二次函数y x2 kx k 2. (1)判别上述抛物线与x轴的交点情况; (2)设抛物线与x轴交点之间的距离为2 5,求k的值. 4.设二次函数的图象与x轴交于A, B两点,与y轴交点点C,线段OA与OB 的长的积等于60(点O是坐标原点), 求m的值.
解得x =-1,x =1．
1
2
由此得抛物线的大致图象如图所示:
观察函数图象可知：
当x -1或x 1时，
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题型
2
二次函数的图象与x轴的交 点情况在求字母范围中应用
14．(中考•南京)已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．
(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是( D )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
19
(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝
(x＋1)2的图象上．
证∴把该 x明＝函：m数∵的y1＝图代－象入x2的y＋＝顶(m(点x－＋坐11)标)x2，＋为得m( ＝ym＝－2(1(xm－,（1m＋m2＋4111))）22＝2＋)（（. mm＋＋411））22
7
6．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( D ) A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
返回 8
7．(中考•徐州)若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个
交点，则b的取值范围是( A )
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
返回 9
8．(中考•枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下
列结论正确的是( D )
A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)
B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
返回
10
9．(中考•资阳)已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一
16
y＝－x2＋2x＋3，
由
y＝－
3 2
x＋3，
得
x1＝0， y 1＝3，
∴D(
7 ，－ 9
2
4
.)
∵S△ABP＝4S△ABD，
∴
1 2
AB×|yP|＝4×
1 2
AB×
9 4
，
x2＝
7 2
，
y2＝－
9 4
，
17
∴|yP|＝9，即yP＝±9， 当y＝9时，－x2＋2x＋3＝9，无实数解； 当y＝－9时，－x2＋2x＋3＝－9， 解得x1＝1＋ 13 ，x2＝1－ 13， ∴点P的坐标为(1＋ 13 ，－9)或(1－ 13，－9)．
21
15．(中考•孝感)已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－ m＝0.
(1)试判断该方程根的情况． 【思路点拨】(1)利用Δ的符号判断方程根的情况； 解：Δ＝[－(m－3)]2－4(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8， ∵(m－1)2≥0，∴Δ＝(m－1)2＋8＞0. ∴原方程有两个不相等的实数根．
返回
3
2．(中考•苏州)若二次函数y＝ax2＋1的图象经过
点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的
实数根为( A )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝
3 2
，x2＝
5 2
D．x1＝－4，x2＝0
返回
4
3．(中考•荆门)若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴 是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为 ( D) A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7
13．(中考•黑龙江)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交
于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，抛
物线与直线y＝－
3 2
x＋3交于
C，D两点．连接BD，AD.
(1)求m的值；
返回
15
解：∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过点B(3，0)， ∴0＝－9＋3m＋3，∴m＝2.
(2)抛物线上有一点P，满足S△ABP＝4S△ABD， 求点P的坐标．
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
返回
12
11．(中考•广安)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B
(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之
间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；
③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
返回
13
12．(中考•黄石)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b
－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的
取值范围是( A )
A．b≥
5 4
C．b≥2
B．b≥1或b≤－1 D．1≤b≤2
返回 数图象 的交点情况在求字母值中应用
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之间的
关系
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
知识点 1 二次函数与一元二次方程之间的关系
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐 标就是求一元二次方程__a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0__的两个 根；一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的根 就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线 ____y_＝__0___的交点的___横___坐标．
， ，
2
2
4
则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的
图象上．
20
(3)当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围． 解：设z=（m＋1）2 ，
4
当m＝－1时，z有最小值为0； 当m＜－1时，z随m的增大而减小； 当m＞－1时，z随m的增大而增大， 当m＝－2时，z＝ 1 ；当m＝3时，z＝4. 则当－2≤m≤3时，该4 函数图象的顶点纵坐标的取值范围是返0回≤z≤4.
返回
5
4．(中考•牡丹江)将抛物线y＝x2－1向下平移8个单位
长度后与x轴的两个交点之间的距离为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
返回 6
知识点 2 二次函数图象与x轴的交点个数问题
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数与一元二 次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式的关系：
当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴____无____交点； 当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有__一__个____交点； 当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有___两__个___交点． 返回
个交点，且过A(x1，m)，B(x1＋n，m)两点，则m，
n的关系为( D )
A．m＝ 1 n
2
C．m＝
1 2
n2
B．m＝ 1 n
4
D．m＝
1 4
n2
返回
11
10．(中考•陕西)下列关于二次函数y＝ax2－2ax＋1(a
＞1)的图象与x轴交点的判断，正确的是( D ) A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧