二次函数与一元二次方程之间的关系

18
题型
2
二次函数的图象与x轴的交 点情况在求字母范围中应用
14．(中考•南京)已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．
(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是( D )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
19
(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝
(x＋1)2的图象上．
证∴把该 x明＝函：m数∵的y1＝图代－象入x2的y＋＝顶(m(点x－＋坐11)标)x2，＋为得m( ＝ym＝－2(1(xm－,（1m＋m2＋4111))）22＝2＋)（（. mm＋＋411））22
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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13
12．(中考•黄石)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b
－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的
取值范围是( A )
A．b≥
5 4
C．b≥2
B．b≥1或b≤－1 D．1≤b≤2
返回 14
题型
1
二次函数的图象与一次函数图象 的交点情况在求字母值中应用
7
6．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( D ) A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
返回 8
7．(中考•徐州)若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个
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交点，则b的取值范围是( A )
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
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3
2．(中考•苏州)若二次函数y＝ax2＋1的图象经过
点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的
实数根为( A )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝
3 2
，x2＝
5 2
D．x1＝－4，x2＝0
返回
4
3．(中考•荆门)若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴 是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为 ( D) A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
返回
12
11．(中考•广安)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B
(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之
间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；
③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的有( B )
16
y＝－x2＋2x＋3，
由
y＝－
3 2
x＋3，
得
x1＝0， y 1＝3，
∴D(
7 ，－ 9
2
4
.)
∵S△ABP＝4S△ABD，
∴
1 2
AB×|yP|＝4×
1 2
AB×
9 4
，
x2＝
7 2
，
y2＝－
9 4
，
17
∴|yP|＝9，即yP＝±9， 当y＝9时，－x2＋2x＋3＝9，无实数解； 当y＝－9时，－x2＋2x＋3＝－9， 解得x1＝1＋ 13 ，x2＝1－ 13， ∴点P的坐标为(1＋ 13 ，－9)或(1－ 13，－9)．
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之间的
关系
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
知识点 1 二次函数与一元二次方程之间的关系
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐 标就是求一元二次方程__a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0__的两个 根；一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的根 就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线 ____y_＝__0___的交点的___横___坐标．
13．(中考•黑龙江)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交
于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，抛
物线与直线y＝－
3 2
x＋3交于
C，D两点．连接BD，AD.
(1)求m的值；
返回
15
解：∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过点B(3，0)， ∴0＝－9＋3m＋3，∴m＝2.
(2)抛物线上有一点P，满足S△ABP＝4S△ABD， 求点P的坐标．
返回
5
4．(中考•牡丹江)将抛物线y＝x2－1向下平移8个单位
长度后与x轴的两个交点之间的距离为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
返回 6
知识点 2 二次函数图象与x轴的交点个数问题
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数与一元二 次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式的关系：
当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴____无____交点； 当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有__一__个____交点； 当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有___两__个___交点． 返回
， ，
2
2
4
则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的
图象上．
20
(3)当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围． 解：设z=（m＋1）2 ，
4
当m＝－1时，z有最小值为0； 当m＜－1时，z随m的增大而减小； 当m＞－1时，z随m的增大而增大， 当m＝－2时，z＝ 1 ；当m＝3时，z＝4. 则当－2≤m≤3时，该4 函数图象的顶点纵坐标的取值范围是返0回≤z≤4.
个交点，且过A(x1，m)，B(x1＋n，m)两点，则m，
n的关系为( D )
A．m＝ 1 n
2
C．m＝
1 2
n2
B．m＝ 1 n
4
D．m＝
1 4
n2
返回
11
10．(中考•陕西)下列关于二次函数y＝ax2－2ax＋1(a
＞1)的图象与x轴交点的判断，正确的是( D ) A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
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15．(中考•孝感)已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－ m＝0.
(1)试判断该方程根的情况． 【思路点拨】(1)利用Δ的符号判断方程根的情况； 解：Δ＝[－(m－3)]2－4(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8， ∵(m－1)2≥0，∴Δ＝(m－1)2＋8＞0. ∴原方程有两个不相等的实数根．
D．b＜1
返回 9
8．(中考•枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下
列结论正确的是( D )
A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)
B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
返回
10
9．(中考•资阳)已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一