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第六章线性离散系统分析

1.采样过程的数学表示从物理意义来看，采样过程可以理解为脉冲调制过程。在这里，采样开关起着单位脉冲发生器的作用，它好似一个脉冲调制器，通过它将连续函数f(t)调制成理想的脉冲序列f *(t)。
T (t )
f(t)
f (t )
-3T -T T 3T -2T 2T T (t ) f(t) f (t ) 脉冲调制器 0 t 0 t
用部分分式法求Z变换，是已知连续函数f(t)
的拉氏变换F(s),求该连续函数的Z变换F(z)。
F(s)
L-1
部分分式
采样
F(z)
Z
f(t)
f*(t)
a 例求 F ( s) 的Z变换 s( s a)
解：将F(s)展开成部分分式
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a
D/A转换器：把离散的数字信号转换成连续的模拟信号。
f (t )

f (t)
解码
f h(t)
信号复现
0111 1000 0010 0100 1001 0011 0 T 2T 3T 4T 5T (a) t 0 T 2T 3T 4T 5T (b) t 0 T 2T 3T 4T 5T (c) t
D/A转换过程 D/A转换过程可以用零阶保持器取代。
f (t ) f (t )
f h (t )
零阶 f h (t ) 保持器 2 3 4T T T
0
2 3 T 4T T T
t
0
T
t
T
＝
0 T t 0 t
+
1(t)
0
t
gh(t)
-1(t-T)
即：gh(t)=1(t)-1(t-T) 零阶保持器的传递函数为：

第六章信号与线性系统吴大正教材课件

3 | z | 2
第 6 章离散信号与系统的Z域分析 4. 序列域卷积定理若
f ( k m) z F ( z )
m
z z
f ( k m) z F ( z )
式中，m为正整数
m
第 6 章离散信号与系统的Z域分析根据双边Z变换的定义，则有
Z [ f (k m)]
令 n=k+m, 则有
k
f (k m) z k
1 f (k ) f1 (k ) 2
由于
k
z z F1 ( z ) Z [ f1 (k )] z z3 z3
2
3<|z|<∞
第 6 章离散信号与系统的Z域分析根据时域乘ak性质，得
1 k F ( z ) Z [ f（k） Z f1 (k ) F1 (2 z ) ] 2 (2 z )2 4z2 2z 3 2z 3

f 2 (k ) (k m), m为正整数 .
F1 ( z )
k
(k m) z k z m

z 0 z
F2 ( z )
k
(k m) z

k
z
m
第 6 章离散信号与系统的Z域分析 (3) f (k ) (k ).
f (k ) z

k
a k 0 z

k
所以，当|z|>|a|时F(z)收敛。于是得
a a z a F ( z) 1 z z za k 0 z
za
(6.1-12)

k
2
第 6 章离散信号与系统的Z域分析例 6.1 – 3 已知无限长反因果序列f(k)=bkε(-k-1)。求f(k)的双边 Z变换及其收敛域。 P274例6.1-3 解 f(k)的双边Z变换为

信号与线性系统分析第六章离散系统的Z域分析61 .2课件精品推荐

z 1
页
f ( M ) lim z M F ( z )
z
f ( M 1) lim[ z M 1 F ( z ) zf ( M )]
z
f ( M 2) lim[ z M 2 F ( z ) z 2 f ( M ) zf ( M 1)]
z
第 15 页
六、序列除 (k+m)（Z域积分）
若
页
f ( k ) F ( z ), z
F ( ) f (k ) m z d , m 1 z km
设有整数m，且k+m>0，则
z
若m=0且k>0，则
f (k ) k

z
F ( ) d ,

z
页
且有任意常数 a1 , a2有：
a1 f1 (k ) a2 f 2 (k ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
其收敛域为 F1（z）与 F2（z）收敛域的交集
1 k 第 P275 例6.2-1 f1 ( k ) ( k ), f 2 ( k ) 2 ( k 1) ( ) ( k ) 页 2 求f1 ( k ) f 2 ( k )的ZT
第 13
七、k域反转
若
则
页
f ( k ) F ( z ), z
f ( k ) F ( z ) ,
1
1

z
1

八、部分和
若
k
f ( k ) F ( z ), z
则：
z g( k ) f ( i ) F ( z ) , max( ,1) z z 1 i

信号与系统第6章离散信号与系统的时域分析PPT

x(n)
y(n)
n
0
N
x(n m)
n
0
m m N
h(n)
(b) 非时变特性图 6.1-2 线性非时变系统
n
0
N
y(n m)
n
0
m m N
第 6 章离散信号与系统的时域分析
离散时间信号与系统的分析，归根到底也是求解建立的常系数线性差分方程的过程，概括起来其方法包括以下几种：
1．递归迭代法递归迭代法包括手算逐次代入求解或利用计算机求解。这种方法简单、概念清楚，但是不易得到系统响应的数值解，一般很难给出一个完整的解析表达式。 2．时域经典法与连续时间系统微分方程的时域经典解法相类似。离散系统的经典解法也是先分别求齐次解和特解，然后代入边界条件求待定系数，这种方法便于从物理概念上说明各响应分量之间的关系，但求解过程相对比较麻烦。 3．时域近代解法该方法主要是分别求零输入响应和零状态响应，具体来说就是，利用类似经典法中求齐次解的方法求零输入响应，利用卷积(和)的方法求零状态响应。与连续时间系统的情况类似，卷积法在离散时间系统分析中占有十分重要的地位。 4．变换域求解法类似于连续时间信号与系统的傅立叶变换和拉普拉斯变换法，利用 z 变换法求解差分方程是实用中简便而有效的方法。在以上方法中，迭代法、经典时域法和时域近代解法都是时域分析方法，将在本章介绍，变换域法将在第 7 章中讨论，而零输入响应与零状态响应可以在时域求解，也可以在变换域求解。
fk={f(tk)} k=0, ±1, ±2, … 式中，k为整数，表示信号值在序列中出现的序号。
第 6 章离散信号与系统的时域分析
其中tk和tk-1之间的间隔(tk-tk-1)可以是常数，也可以随k变化。在实际应用中，一般取为常数。例如，对连续时间信号均匀取样后得到的离散时间信号便是如此。对于这类离散时间信号，若令tk-tk-1=T，则信号仅在均匀时刻t=kT(k=0,±1,±2,…)上取值。此时， {f(tk)}可以改写为{f(kT)}，为了简便，我们用序列值的通项f(kT)表示集合{f(kT)}，并将常数T省略，则简写为

离散信号与系统的 Z 域分析

第六章离散信号与系统的 Z 域分析引言与线性连续系统的频域分析和复频域分析类似，线性离散系统的频域分析是输入信号分解为基本信号e jΩk 之和,则系统的响应为基本信号的响应之和。

这种方法的数学描述是离散时间傅里叶变换和逆变换。

如果把复指数信号e jΩk 扩展为复指数信号Z k ,Z=re jΩ ,并以Zk 为基本信号，把输入信号分解为基本信号Z k 之和，则响应为基本信号Z k 的响应之和。

这种方法的数学描述为Z 变换及其逆变换,这种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法.如果把离散信号看成连续时间信号的抽样值序列，则Z 变换可由拉普拉斯变换引入.因此离散信号与系统的Z 域分析和连续时间信号与系统的复频域分析有许多相似之处.通过Z 变换，离散时间信号的卷积运算变成代算,离散时间系统的差分方程变成Z 域的代数方程,因此可以比较方便的分析系统的响应。

Z 变换从拉普拉斯变换到Z 变换对连续信号f(t)进行理想抽样，即f（t）乘以单位冲击序列δT （t），T 为抽样间隔，得到抽样信号为f s （t）=f（t）δT （t）= =对fs（t）取双边拉普拉斯变换，得F s （s）=￡[fs（t）]=令z=e sT , 则Fs（s）=F(z) ,得F（z）=因为T为常数,所以通常用f(k)表示f(kT),于是变为F(z)=称为f(k)的双边Z变换,z为复变量。

z和s的关系为:z=e sTs=（1/T）㏑z由复变函数理论,可以得到f(k)= ∮cF(z)z k-1 dz式(7.1-5)称为F(z)的双边Z逆变换(后面讨论).双边Z变换的定义和收敛域§双边 Z 变换的定义对于离散序列f(k)(k=0,±1,±2,┄),函数(z的幂级数)F(z)=称为f(k)的双边Z变换,记为F(z)=Z[f(k)].F(z)又称为f(k)的象函数,f(k)又称为F(z)的原函数.为了表示方便,f(k)与F(z)之间的对应关系可表示为 f(k)　F(z)§双边 Z 变换的收敛域f(k)的双边Z变换为一无穷级数,因此存在级数是否收敛的问题.只有当 (7.1-6)式的级数收敛,F(z)才存在.F(z)存在或级数收敛的充分条件是　∞在f(k)给定的条件下,式(7.1-6)级数是否收敛取决于z的取值.在z复平面上, 使级数收敛的z取值区域称为F(Z)的收敛域。

信号与系统PPT 第六章离散时域分析

…
例：求z(n)=x(n)·y(n)
解：
z(0)=x(0)·y(0) z(1)=x(1)·y(1) z(2)=x(2)·y(2)
…
例：当 m =3时
例：
5、序列的差分运算：一个序列与一个移位序列之差。
一阶前向差分： x[n] x[n 1] x[n] 一阶后向差分： x[n] x[n] x[n 1]
[n]
1
0
t
t
u(t) ( )d ------ 积分关系
u[n]
1
...
-2 -1 0 1 2 3 n
-2 -1 0 1 2 3 n
[n] u[n]u[n 1] ------ 差分关系
u[n] [n][n 1][n 2] [n m] ------ 求和关系 m0
（3）矩形序列
x(m)和h(m)如图所示
x(m) 3/2
1 1/2
0123
m
h(m) 1
01 2
m
h(0-m) 1 n=0反褶
-2 -1 0
m
h(-1-m) 1 n=-1左移
-3 -2 -1 0
m
反褶 .以m=0为对称轴，折叠h(m) 得到h(0-m)
可见，当n<1时，x(m)与 h(n-m)无交叠，相乘处处为零，即y(n)=0，n<1
若有两个序列 x1n和x2 n,定义和式
x1k x2n k
k
为x1n和x2 n的卷积和，记作1n x2 n
（２）计算方法：离散线性卷积的计算:图解法、解析法，对位相乘法
•图解法
卷积和的图解过程：换元反褶平移相乘取和
h[-m]、 h[n-m]、x[m] h[n-m]、 x[m]h[n m] m

信号与系统课件第六章(电子)

k 0 序列f(k)的双边z变换为：
F ( z )
f
k
(k)zk
z2
2z
3
2 z
1 z2
其单边z变换为： F ( z )
k0
f
(k)zk
3
2 z
1 z2
可见：*单边与双边z变换不同；
*对双边z变换，除z=0，和∞外对任意z，
F(z)有界，故其收敛域0＜|z|＜∞；
*对单边z变换，其收敛域|z|＞0。
第六章离散系统的z域分析
第三章中我们讨论了离散时间系统的时域分析法,重点介绍了差分方程的时域求解方法。在连续时间系统中,为避免求解微分方程的困难,可以通过拉氏变换把微分方程转换为复频域的代数方程。基于同样的理由,在离散时间系统中,为了避开求解差分方程的困难,也可以通过一种称为z变换的方法,把差分方程转换为z域的代数方程。
因此,z变换在离散系统分析中的地位和拉氏变换在连续系统分析中的地位是相似的。
z变换可以直接从数学角度进行定义；也可以利用拉普拉斯变换引出。
本章主要内容 6.1 z变换 6.2 z变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z域分析
§6.1 z变换
一、从拉普拉斯变换到z变换二、z变换三、收敛域
一、从拉普拉斯变换到z变换
（3）对于双边z变换必须标明收敛域，否则其对应序列将不是唯一的。
|b|
|a|
0
Re[z]
双边序列的收敛域
ak (k) z z a
za
bk (k 1) z z b
zb
bk (k 1) z z b
zb
若已知 Fz,则其原函数不唯一.如:
Fz z
z2
f k 2k k 或 f k 2k k 1

信号与系统第六章Z变换

差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的作用下，其输出信号不会无限增长，则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点位置和类型来分析系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如果两个信号在时间上相乘，那么它们的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因为它允许我们通过将两个信号相乘来得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领域的重要基础课程，其中第六章z变换是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数学工具，用于分析离散时间信号和系统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变换转换为复数序列，用于分析离散时间系统的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应，了解系统在不同频率下的性能表现。

《信号与系统》讲义教案第6章离散信号与系统的Z域分析

第 6 章离散信号与系统的Z 域分析6.0 引言与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z 变换是离散时间傅立叶变换的推广。

Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。

当然， Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。

6.1 双边 Z 变换6.1.1双边Z变换的定义前面讨论过，单位脉冲响应为h[n] 的离散时间 LTI 系统对复指数输入z n的响应y[n]为y[ n]H ( z) z n(6.1)其中H ( z)h[ n] z n(6.2)n式 (6. 2) 就称为 h[n] 的双边 Z 变换。

当 z= e j时， Z 变换就转变为傅立叶变换。

因此一个离散时间信号的双边Z 变换定义为：X ( z)x[ n]z n(6.3)n式中 z 是一个复变量。

而x[n]与它的双边z 变换之间的关系可以记做zx[n]X (z)6.1.2双边Z变换的收敛域x[n] 的双边 Z 变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的Z 变换都存在；另一方面即使某信号的Z 变换存在，但并非Z 平面上的所有点都能使X(z)收敛。

那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。

只有当式 (6.3) 的级数收敛，X (z) 才存在。

X ( z) 存在或级数收敛的充分条件是x[n]z n(6.4)n在 x[ n] 给定的条件下，式 (6.4)级数是否收敛取决于 z 的取值。

在 z 复平面上，使式 (6.4)级数收敛的 z取值区域就是 X(z)的收敛域。

6.1.3零极点图如果X(z) 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：N ( z)(z z i )X ( z)i(6.5)M(zD ( z)z p )p则由其全部的零极点即可表示出X ( z) ，最多相差一个常数因子。

在Z 平面上表示出全部的零极点，即构成X ( z) 的几何表示——零极点图。

《信号与系统》课件第6章离散系统的Z域分析

由冲击函数的性质可得：
x(n) x(t) (t nT ) n
x(n) x(nT ) (t nT )
▲
n
■
第3页
6.1.1 z变换的定义
根据拉普拉斯变换的基本定义式：
X (s) x(t)est dt
对离散时域信号 x(n) 进行双边变换：
X (s)
nx(nT
)
(t
nT
)est
dt
利用积分与冲击函数的性质可得：
X (s) x(nT )esnT n
令 z esT ，上式将成为复变量 z 的函数，用 X (z) 表示， x(nT ) x(n) ，则离散时间
序列转变成复变域即为 Z 域变换，得
X (z) x(n)zn n
（6.1.1）
X (z) x(n)zn n0
x(n)zn
n
（6.1.3）
时，其 z 变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列 x(n) 的 z 变换存在的充分且
必要条件。
Z 变换收敛域的定义：对于序列 x(n) ，满足（6.13）式，即使得其 Z 变换存在的所有 z 值组成的集合称为 z 变换 X (z) 的收敛域。
▲
■
第5页
6.1.1 z变换的定义
证明： Z[ak f (k)]
ak f (k)zk
f
(k )
z
k
F( z )
k
k
a
a
例 6-2-4：求 ak (k ) 的 Z 变换。
解：已知 (k)
z ，则根据
z 1
Z
变换的尺度性质可知： ak (k)
z
z a
▲
■
第 18 页

第六章离散系统的Z域分析

z z F (z) （ a z b ） za zb
a z 当 1且 1即a z b 收敛 z b
j Im [z ]
b
0
a
Re [ z ]
5
由上可知（1） z变换的收敛域与f(k) 与z值的范围有关，两个不同的序列由于收敛域不同可能对应于同一个z 变换，为了单值的确定z变换对应的序列，在给出序列的z变换式的同时，必须明确其收敛域。
m
n m
f (n)z
1
n m
f (n)z
n
1
n
]
]
14
z f ( k m ) ( k ) f ( k m )z
k 0

k
z
m
f (k m )z
k 0

( k m )
z
m
z [ f ( n)z
n 0
m m 1 n 0
据定义
zkf ( k )
k 1
z ( kz
k
d k d z z f (k ) z F ( z ) dz k dz
时域序列线性加权的z变换为原序列象函数微 20 分后乘以（z）
kf (k )z dz ) f ( k ) z [ dz
k k
k

k
] f (k )
推广：
m
d m k f ( k ) ( z ) F ( z ) ( 1 z 2 ) dz
d m ( z ) F ( z )表示对F ( z )求导并乘以 ( z )共m次 dz
z 例4、若已知 z[ ( k )] ,求斜变序列 k ( k )的z变换 z 1

信号与系统课件第六章-离散系统的Z域分析

域内都有 f kzk ；如果不能绝对收敛，就
认为该序列f(k)的z变换不存在。
上一页
2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
9
收敛域
设f(k)是一个因果信号［k < 0时f(k)≡0］，则F(z)是一个只
有z的负幂的级数，因此，在z平面上F(z)的绝对收敛区域是一
k 0
k 0
k 1,
z 0
指数序列 ak k
Fz
ak zk
k 0
1
a z
a z
2
若 a eb ，则 Fs z
z eb
1 z,
1
a z
za
a 1 z
za
若 a 1
，则
Fs
z z 1
（单位阶跃序列）
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2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
若 f k ，F则z
f k F z1
例：求 ak k 1 的 z 变换。 ∵ akk z
za
∴ ak k 1 a ak1 k 1 az1 z a
za za
ak k 1 a az
z1 a 1 az
上一页返回
23 2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
线性叠加特性移位（移序）特性 z 域尺度变换特性（序列）卷积定理
上一页返回
序列乘 k（z 域微分）特性序列除(k+m)（z 域积分）特性 k 域反转特性差分与求和特性初值定理和终值定理
2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
17

控制工程基础ppt课件第六章线性离散系统与Z变换.ppt

采用常规控制无法解决控制精度与动态性能之
间的矛盾，而采用采样控制将取得良好的控制
效果：可以取较大的开环增益保证稳态精度，
又可抑制系统调节过头产生大幅振荡。
10/14/2020
5
第六章线性离散系统与z变换
➢ 数字控制系统系统中含有数字计算机或数字编码元件。
xi(t)
(t)
*(t)
A/D
计算机
D/A
从而：
x*p (t) x(nT ) (t nT )
n0
x(nT ) (t nT )
10/14/2020
n0
15
第六章线性离散系统与z变换
令：
T
(t
)
(t
nT
)
n0
x*(t) x(nT ) (t nT ) x(t) (t nT ) x(t)T (t)
n0
n0
可见，采样过程可理解为脉冲调制过程，即连
n0
当 << T，且远远小于离散系统连续部分的时
间常数时，可近似认为 0。从而有：
10/14/2020
14
第六章线性离散系统与z变换
x*p
(t)
lim
0
n0
x(nT
)
[1(t
nT
)
1(t
nT
)]
注意到： lim 1(t nT) 1(t nT )
0
1(t nT ) 1(t nT )dt 1
q t t 0
编码
x(n)
011 010 001 000
数字信号 x(n)
n
7
第六章线性离散系统与z变换
➢ D/A转换
x(n)