高等数学导数与微分试题

高等数学导数与微分试题

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作业习题

1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ； （2）x

x

y sin =

； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x

x

x y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)

cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数

2

2dx

y

d 。 4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ； （2）2

1arcsin x

x y -=

。

6、求双曲线122

22=-b

y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,

0,1sin )(2

x

x x f .0,

0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案：

1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin (

x

x

x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

（4）解：][1])[ln(222222'++++=

'++='a x x a x x a x x y

])(21

1[1222

22

2'+++

++=a x a x a x x

]2211[12

2

2

2

x a

x a

x x ⋅++++=

]1[122

2

2

a

x x a

x x ++++=2

2

1a

x +=。

（5）解：)11

()

1

1(11)1

1

(arctan

2'-+-++='-+='x x x x x x y 1

1

)1()1()1()1(2)1(2

222+-=-+--⋅+-=x x x x x x 。 （6）解：)(])1[(1ln '='+='+x x

x x

e x

x y ]1ln )1()1()1([)1(

2

x x x x x x x x x x x +-+-+⋅++= )1ln 11()1(x

x x x x x +-++=。

2、（1）解：两边直接关于x 求导得

0)1)(sin(cos sin ='++++'y y x x y x y )

sin(sin )

sin(cos y x x y x x y y ++++-

='。

（2）解：将0=x 代入原方程解得,1=y

原方程两边直接关于x 求导得 0='++'y x y y e y ， 上方程两边关于x 再次求导得 ,02)(2=''+'+''+'y x y y e y e y y 将0=x ，,1=y 代入上边第一个方程得1)0(--='e y ，

将0=x ，,1=y 1)0(--='e y 代入上边第二个方程得2)0(-=''e y 。

3、解：

),cos 1(t a dt dx -=t a dt

dy sin =； 2

cot )cos 1(sin t

t a t a dt dx dt dy dx dy =-==； 2csc 41)cos 1(1)212csc ()(4222t a t a t dx

dt dx dy dt d dx y d -=-⋅-=⋅=。

4、（1）解：1-='ααx y ；2)1(--=''αααx y ；……

依此类推)1(,)1()1()(≥+--=-n x n y n n ααααΛ。 （2）解：设,,2sin 2x v x u ==

则)50,,2,1)(2

2sin(2)(Λ=⋅+=k k x u k k π

，

),50,,4,3(0,2,2)(Λ===''='k v v x v k

代入萊布尼茨公式，得

2)2

482sin(2!249502)2

492sin(250)2502sin(2)2sin (4849250)

50(2)50(⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅+⋅+⋅⋅+==π

π

πx x x x x x x y )2sin 2

1225

2cos 502sin (2250x x x x x +

+-=。 5、（1）解：),1(ln )(ln +='='x x e y x x x dx x x dy x )1(ln +=. （2）解：]122arcsin 111

[

112

22

2x

x x x x x y --⋅

----=

'

2

322)

1(arcsin 1x x x x -+-=

；

=

'=dx y dy dx x x x x 2

322)

1(arcsin 1-+-。

6、解：首先把点)3,2(b a 代入方程左边得1343422

222222=-=-=-b b a a b y a x ，即点

)3,2(b a 是切点。

对双曲线用隐函数求导得,,0222222y

a x

b y b y y a x ='⇒='-