1.1.1函数的平均变化率
导数简单知识点总结归纳
导数简单知识点总结归纳一、导数的定义1.1 函数的平均变化率在介绍导数之前，我们先来了解一下函数的平均变化率。
对于函数y=f(x)，在区间[a,b]上的平均变化率可以用下式表示：\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]这个式子表示函数在区间[a,b]上的平均变化率，也就是在这个区间里函数值的变化程度。
1.2 导数的定义当我们希望了解函数在某一点的变化率时，平均变化率已经不能满足我们的需求了。
这时，我们需要引入导数的概念。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以用下式表示：\[f'(x)=lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这个式子表示函数在点x处的导数，也可以理解为函数在这一点的瞬时变化率。
导数的定义可以直观地理解为当自变量x的增量趋于0时，函数值的变化率。
1.3 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它可以表示函数在某一点的切线的斜率。
这个概念在几何学中有着很重要的作用，也为我们理解导数提供了一个直观的解释。
二、导数的计算方法2.1 导数的基本性质对于常见的基本函数，我们可以通过一些基本的求导规则来得到它们的导数。
常见的导数规则包括：(1) 常数函数的导数为0；(2) 幂函数的导数为幂函数的指数乘以常数；(3) 指数函数的导数为指数函数的底数乘以常数；(4) 对数函数的导数为分子的导数减去分母的导数的商。
这些基本的求导规则可以帮助我们快速求出一些常见函数的导数，后面我们将会介绍一些常见函数的导数。
2.2 链式法则和乘积法则在实际的求导过程中，有时候我们会遇到一些复合函数或者乘积函数，这时就需要用到链式法则和乘积法则来求导。
链式法则的表达式为：\[f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\]是说一个函数的导函数是以另一个函数的作为自变量，那么它的导数等于原函数对代入函数的导函数乘以代入函数的导数。
1.1.1变化率问题与导数概念
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度 统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还 快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪 录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度 究 怎样表示？ ？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度， 由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观 察 ？
当△t趋近于0时，平均 速度有什么样的变化趋 势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从 小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度 都趋近于一个确定 的值-13.1。
从物理的角度看： 时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。 所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2
(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(B版)
（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
1.1.1变化率问题学案
1.1.1变化率问题学案【学习目标】理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。
【学习重点】通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；1. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 【学习难点】平均变化率的概念．【自学点拨】一．阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？ 二、问题提出问题1气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________.如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________. ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? ___________. 问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度. 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以___________.， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）计算和思考，展开讨论；（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xf xy ___________.思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf 1212)()(x x x f x f --表示什么?（1） 一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量x=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)化率f x∆=∆注意：①Δ与x 相乘； ②x 2= x 1+Δx ； ③Δf=Δy=y 2-y 1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ．解：例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
1.1.1函数的平均变化率
x
x
2(2 x)
lim x0
y x
lim[1
x0
2(2
1
] x)
1
1 4
3 4
,
y
|x2
3 4
.
基本方法:
思考5：由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
1. 求函数的改变量 y f (x0 x) f (x0 );
2. 求平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) ;
思考3：同学们能用数 形给合的思想进行验
证吗？
探 究: h(t) 4.9t2 6.5t 10
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
lim 4.9(t)2 (9.8t0 6.5)t
t 0
t
lim (4.9t
t 0
9.8t0
6.5)
0 0.5 1.0
65 2.0
49
T 【s】
h(t) 4.9t2 6.5t 10
思考2：当△t趋近于 0时，平均速度有什 么样的变化趋势？
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051当△t = 0.01时, v 13.149
跳水运动中,运动员从t 到t 这段内的平均速度： 12
h(t) 4.9t2 6.5t 10 v h h(t2 ) h(t1)
H 【m】
t
t2 t1
当0 t 0.5时, v 4.05(m / s)
函数的平均变化率
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RB . 数学 . 选修2-2
求函数的平均变化率 已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g (x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率． 【思路探究】 后代入公式求解． 先求自变量的增量和函数值的增量，然
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f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表
示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐 标为(x1，y1)．
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RB . 数学 . 选修2-2
图 1－1－1
1．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变 量x和函数值y的改变量分别是多少？
【思路探究】 因为Δs 是质点在Δt 这段时间内的位移， Δs 所以 就是质点在Δt 这段时间内的平均速度． Δt
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RB . 数学 . 选修2-2
【自主解答】 (1)由题设知，Δt＝3 s， Δs＝s(3)－s(0)＝24 m， Δs ∴平均速度为 v＝ ＝8 m/s. Δt (2)由题设知：Δt＝3－2＝1 s，Δs＝s(3)－s(2)＝12 m. Δs ∴平均速度为 v＝ ＝12 m/s. Δt
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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两
点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平
选修2-2
1.1.1函数的平均变化率 1.1.2瞬时变化率与导数实验中学 崔明伟一、预习达标。
1.平均变化率就是 ，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为xy∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率 2.函数f （x ）在区间[x 1,x 2]上的平均变化率为 。
3.导数的定义：)(x f y =在0x 点附近有定义，对自变量任一改变量x ∆，函数改变量为 ，若极限 xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，称 。
二、课前达标。
1.已知函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量，那么函数y 相应地有增量⊿y=—————————比值————————叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+⊿x 之间的平均变化率。
如果当⊿x 0时————————————————我们就说函数y=f(x) 在x 0处可导，并把————————叫做函数y=f （x ）在x 0处的导数。
2.如果函数f(x)在开区间（a ，b ）内————————就说f(x)在开区间（a ，b ）内可导)在开区间（a ，b ）内得到一个新的函数f ′（x ）称为———————。
3.三、例题。
设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．1．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000；2．.2)()(lim000hh x f h x f h --+→3．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于（ ）A ．－1B ．－2C ．－1D ．21四、双基达标。
1. 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim 000等于（ ）A ．k 2B ．kC ．k 21D ．以上都不是2．已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0∈（a ，b ）则hh x f h x f h )()(000lim--+→的值为（ ）A 、)(0x f 'B 、)(20x f 'C 、)(20x f '-D 、0 3．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于（ ）A ．－1B ．－2C ．－21D ．214.已知曲线y=x 2+1在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标为（）A ．（1，3）B ．（-4，33）C ．（-1，3）D ．不确定5．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= 。
1[1].1.1变化率问题
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2
65 探究 计算运动员在0 t 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 2 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?
h t2 h t1 h v t t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 65 的图像，结合图形可知， h( ) h(0) ， 49 所以， h
65 探究 : 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度 49 并思考下面的问题 :
,
1 运动员在这段时间里是 静止的吗 ? 2你认为用平均速 度描述 运动员运 动状态有什么问
题吗 ?
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合 65 图形可知： h( ) h(0)
题型三：平均变化率的应用 例3：试比较正弦函数y=sinx在x=0和 x 附近的平均变化率哪一个大？
2
练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临 近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( A.3 )D
B 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx
第一章 导数及其应用
1.1.1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是V r r , 3
r 1 r 0 0.62cm ,
第1章 1.1.1 平均变化率
1．1 导数的概念 1．1.1 平均变化率学习目标 1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．知识点 平均变化率1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．特别提醒：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在区间[x 1，x 2]上有意义．(2)在式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (4)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．1．平均变化率一定为正值．( × )2．函数的平均变化率为零，说明函数没有发生变化．( × ) 3．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )4．函数在区间上的变化速度与平均变化率的绝对值大小有关．( √ )一、实际问题中的平均变化率例1 (1)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T ＝120t ＋5＋15，其中T 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，则t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为_______℃/min. 答案 －1.6解析 ΔT Δt ＝T (10)－T (0)10－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12010＋5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1200＋5＋1510＝－1.6(℃/min)，∴从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6℃/min.(2)某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率．解 前5年森林面积的平均变化率为6.5－2.55－0＝0.8(公顷/年)．后5年森林面积的平均变化率为14.5－6.510－5＝1.6(公顷/年)．反思感悟 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．跟踪训练1 某质点沿方程为y ＝f (x )＝5x 2＋3(x 表示时间，f (x )表示位移)的曲线运动，则该质点从x ＝10到x ＝11的平均速度等于________． 答案 105解析 因为f (x )＝5x 2＋3，则质点从x ＝10到x ＝11的平均速度为v ＝f (11)－f (10)11－10＝(5×112＋3)－(5×102＋3)11－10＝105.二、函数在某区间上的平均变化率例2 (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率． 解 (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为f (2.1)－f (2)2.1－2＝(3×2.12＋2)－(3×22＋2)0.1＝12.3.(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－2)(－1)－(－2)＝[3×(－1)－2]－[3×(－2)－2](－1)－(－2)＝(－5)－(－8)－1＋2＝3.反思感悟 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x 2－x 1. (2)求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)． (3)求平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练2 (1)计算函数y ＝f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为： ①2；②1；③0.1；④0.01；(2)思考：当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)因为f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12＝(Δx )2＋2Δx ， 所以f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2.①当Δx ＝2时，平均变化率Δx ＋2＝4， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,3]上的平均变化率为4； ②当Δx ＝1时，平均变化率Δx ＋2＝3， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3；③当Δx ＝0.1时，平均变化率Δx ＋2＝2.1，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1； ④当Δx ＝0.01时，平均变化率Δx ＋2＝2.01，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01.(2)当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 三、函数平均变化率的应用例3 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快．答案 一解析 ∵ΔW 1Δt 1＝11.25－3.7512－0＝0.625，ΔW 2Δt 2＝14.25－11.2524－12＝0.25， ∴ΔW 1Δt 1>ΔW 2Δt 2，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快． 反思感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化速度越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化速度越慢．跟踪训练3 汽车行驶的路程S 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是______________．答案 v 3>v 2>v 1解析 v 1＝S (t 1)－S (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝S (t 2)－S (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝S (t 3)－S (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC ， 所以v 3>v 2>v 1.1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B解析 平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.2．一物体的运动方程是S ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 答案 B解析 v ＝S (2.1)－S (2)2.1－2＝7.2－70.1＝2.3．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________． 答案 2 解析f (b )－f (a )b －a ＝(2b ＋4)－(2a ＋4)b －a ＝2(b －a )b －a＝2. 4．一个半径为r 的圆面，当半径增大Δr 时，面积S 的平均变化率为________． 答案 2πr ＋π·Δr解析 半径增大Δr 时，面积增加ΔS ＝π(r ＋Δr )2－πr 2 ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr ，所以ΔS Δr ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr Δr＝2πr ＋π·Δr .5．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________ ℃/h.答案 －14解析 Δy Δx ＝f (4)－f (0)4－0＝－14(℃/h)．1．知识清单： (1)平均变化率．(2)平均变化率的几何意义及应用． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错．1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．已知函数f (x )＝x 2＋2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 A解析 ∵f (3)＝11，f (1)＝3，∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝11－33－1＝4.3．某质点沿曲线运动的方程为f (x )＝－2x 2＋1(x 表示时间，f (x )表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 答案 D解析 由题意得该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为f (2)－f (1)2－1＝－8＋1－(－2＋1)1＝－6.4．一根金属棒的质量y (单位：kg)是长度x (单位：m)的函数，y ＝f (x )＝3x ，则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )A.25kg/m B.35kg/m C.34kg/m D.12kg/m 答案 B解析 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是 f (9)－f (4)9－4＝3(9－4)9－4＝35(kg/m)．5．质点运动规律的方程是S ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]内，相应的平均速度是( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt答案 A解析 平均速度为(3＋Δt )2＋3－32－3Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .6．国庆黄金周7天期间，某大型商场的日营业额从1 300万元增加到4 100万元，则该商场国庆黄金周期间日营业额的平均变化率是______万元/天． 答案 400解析 日营业额的平均变化率为4 100－1 3007＝400(万元/天)．7．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 答案 4解析 (a 3＋2)－(13＋2)a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21.解得a ＝4或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝4.8．函数y ＝f (x )＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为________． 答案 －8－2Δx解析 ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝－8－2Δx ，即平均变化率为－8－2Δx . 9．已知函数f (x )＝x 2＋3x 在[0，m ]上的平均变化率是函数g (x )＝2x ＋1在[1,4]上的平均变化率的3倍，求实数m 的值．解 函数g (x )在[1,4]上的平均变化率为g (4)－g (1)4－1＝9－33＝2.函数f (x )在[0，m ]上的平均变化率为f (m )－f (0)m －0＝m 2＋3mm ＝m ＋3.令m ＋3＝2×3，得m ＝3.10．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s 到0 m/s 花了5 s ，乙车从18 m/s 到0 m/s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能． 解 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m/s 2)．乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m/s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．11．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．3 B ．3Δx －(Δx )2 C ．3－(Δx )2 D ．3－Δx答案 D解析 ∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝3Δx －(Δx )2 ∴ΔyΔx＝3－Δx . 12．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度答案 BC解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s 0t 0，故A 错误，B 正确；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确，D 错误． 13．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值： t /min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c (t )/ (mg/mL) 0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)． 答案 －0.002 解析c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002mg/(mL·min)．14．如图是函数y ＝f (x )的图象．(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为______； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．答案 12 34解析 (1)函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数y ＝f (x )的图象知， f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3，所以函数y ＝f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.15．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 体积的增加量ΔV ＝4π3m 3－4π3＝4π3(m 3－1)，所以ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3，所以m 2＋m ＋1＝7，所以m ＝2或m ＝－3(舍)．16．圆柱形容器，其底面直径为2 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速率放出，求液面高度的平均变化率．解 设液体放出t 秒后液面高度为y m ， 则π·12·y ＝π·12×1－0.01t ， ∴y ＝1－0.01πt ，液面高度的平均变化率为 ΔyΔt ＝1－0.01π(t ＋Δt )－1＋0.01πtΔt ＝－0.01π，故液面高度的平均变化率为－0.01π.。
苏教版选修1-1《导数的概念》讲学案(有答案)-(高二数学)
3．1导数的概念3．1.1 平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：问题1：试比较时间x 从0 min 到20 min 和从20 min 到30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快？ 提示：从20 min 到30 min 变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正、可负、可为零．1．平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．平均变化率与曲线变化关系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．对平均变化率的理解(1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零． (2)平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．[对应学生用书P39][例1] 已知函数f (x )＝2x 2＋1.(1)求函数f (x )在区间[1,1.1]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率． [思路点拨] 直接利用平均变化率的定义求解即可． [精解详析] (1)f (1.1)－f (1)1.1－1＝2×1.12－2×120.1＝0.420.1＝4.2.(2)f (2.01)－f (2)2.01－2＝2×2.012－2×220.01＝8.080 2－80.01＝0.080 20.01＝8.02.[一点通] 求函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤： 第一步：求x 2－x 1； 第二步：求f (x 2)－f (x 1)； 第三步：由定义得出f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.1．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率．解：在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sinπ3π2－π3＝3(2－3)π.2.如图是函数y ＝f (x )的图像，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. (2)由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)34[例2] 已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 时半径r 的平均变化率，哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？[思路点拨] 首先由球的体积公式变形得到函数r (V )的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算． [精解详析] (1)∵V ＝43πr 3，∴r 3＝3V 4π，r ＝ 33V 4π，∴r (V )＝ 33V4π.(2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为r (1)－r (0)1－0＝33×14π－01≈0.62(dm/L)． 函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为r (2)－r (1)2－1＝－ 33×24π－33×14π≈0.16(dm/L)．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着体积的增加，气球的半径增加的越来越慢． [一点通] 平均变化率在实际问题中有很大作用，要把实际问题中的量与函数中的量对应起来，从而能利用平均变化率的定义来解决实际问题．3．已知某一细菌分裂的个数随时间t s 的变化满足函数关系式f (t )＝3t ＋1，分别计算该细菌在[1,2]，[3,4]，[5,6]时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？解：细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝32－3＝6， 细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为 f (4)－f (3)4－3＝34－33＝54. 细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为 f (6)－f (5)6－5＝36－35＝486. 由此得出随时间的增加，细菌分裂的个数增加速度越来越快．4．一底面半径为r cm ，高为h cm 的倒立圆锥形容器，若以n cm 3/s 的速率向容器里注水，求注水时前t s 水面上升的平均速率，并说明由此得出什么结论．解：设注水t s 时，水面高度为y cm ，此时水面半径为x cm. 则y h ＝x r ，∴x ＝r h y ， 由题意知nt ＝π3x 2y ＝πr 2y 33h2，∴y ＝33nh 2πr 2·3t ，在[0，t ]内水面上升的平均速率为：v －＝y (t )－y (0)t －0＝33nh 2πr 2·3t －0t －0＝33nh 2πr 2t 2(cm 3/s)，可见当t 越来越大时，水面上升的平均速率将越来越小．平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，平均变化率的绝对值反映了曲线在给定的区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，曲线在该区间上的变化越快；反之则慢．[对应课时跟踪训练(十五)]1．函数f (x )＝1x 在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为________．解析：f (2)－f (1)2－1＝12－11＝－12.答案：－122．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________． 解析：c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.答案：－0.0023．一棵树2011年1月1日高度为4.5 m,2012年1月1日高度为4.98 m ，则这棵树2011年高度的月平均变化率是________．解析：4.98－4.512＝0.04.答案：0.044．在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及邻近一点(1.1,2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________．解析：2.21－21.1－1＝0.210.1＝2.1.答案：2.15．如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t 0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．解析：在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v －＝s 0t 0，故①②错误；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故③正确，④错误． 答案：③6．已知正弦函数y ＝sin x ，求该函数在⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤π3，π2内的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明含义．解：当自变量从0变到π3时，函数的平均变化率为k 1＝sin π3－sin 0π3－0＝32π3＝3 32π. 当自变量从π3变到π2时，函数的平均变化率为k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝6(2－3)2π.易知3 3>6(2－3)，∴k 1>k 2，即函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π3内的平均变化率大于在⎣⎡⎦⎤π3，π2内的平均变化率，说明函数y ＝sin x 的图像在⎣⎡⎦⎤0，π3内比较陡峭，在⎣⎡⎦⎤π3，π2内比较平缓．7．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上射影点C 沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率．解：(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为xm ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BECD ，即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x .(2)在[0,10]上身影的平均变化率为： f (10)－f (0)10－0＝14×10－14×010＝14.即人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率为14.8．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？解：山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝15－1070－50＝14，∴h BC >h AB .∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．3．1.2 瞬时变化率——导数你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈，当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？问题1：陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗？ 提示：能．问题2：从数学的角度如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 提示：用曲线的切线的斜率表示．割线逼近切线的方法设曲线C 上有一点P ，Q 是曲线C 上的另一点，则直线PQ 称为曲线C 的割线；当点Q 沿曲线C 向点P 运动时，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．问题1：探究在y ＝12gt 2中，怎样求在t ＝3这一时刻的速度？提示：物体在t ＝3临近时间间隔内的平均速度可以看做物体在t ＝3这一时刻速度的近似值．取一小段时间[3,3＋Δt ]，在这段时间Δt 内，物体位置的改变量Δs ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32＝g 2(6＋Δt )Δt ，相应的平均速度v ＝Δs Δt ＝g2(6＋Δt )Δt Δt ＝g2(6＋Δt )．问题2：下表是Δt 选取不同数值时相应的平均速度.上表的平均速度中最接近t ＝3时这一时刻的速度的是哪一个？ 提示：Δt →0时的平均速度即这一时刻的速度，v ＝3.005 g .瞬时速度与瞬时加速度要刻画物体在某一时刻的运动速度，通常先计算物体的位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ，当Δt 无限趋近于0时，s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt ，如果Δt 无限趋近于0时，v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．在庆祝建国60周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队以“零米零秒”的误差通过天安门上空． 问题1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？ 提示：瞬时速度．问题2：瞬时变化率是导数吗？ 提示：是．1．导数的概念2．导函数的概念 (1)导函数的定义：若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称为f (x )的导数． (2)f ′(x 0)的意义：f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．1．求曲线上一点处的切线的关键是利用割线逼近切线的方法求出切线的斜率．2．瞬时速度为位移函数相对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度函数相对于时间的瞬时变化率． 3．“函数f (x )在点x 0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别：“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，是针对x 0而言的，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关；“导函数”简记为“导数”，是一个函数，它是对于一个区间而言的，是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，Δx 无关．[对应学生用书P42][例1] 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A ⎝⎛⎭⎫2，52，用切线斜率定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．[思路点拨] 先计算f (2＋Δx )－f (2)Δx ，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝⎛⎭⎫2＋12＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx (2＋Δx )＋Δx Δx ＝－12(2＋Δx )＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于________． 解析：∵y ＝2x 3，∴Δy Δx ＝2(1＋Δx )3－2·13Δx＝2(Δx 2＋3Δx ＋3) ＝2(Δx )2＋6Δx ＋6.当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于常数6，因而A 处切线斜率为6. 答案：62．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________． 解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)3．求曲线C ：y ＝13x 3＋43在x ＝2处的切线方程．解：把x ＝2代入y ＝13x 3＋43，得y ＝4，所以切点为P (2,4)，又Δy Δx ＝13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝4＋2Δx ＋13(Δx )2，当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于4.即切线斜率k ＝4.所以所求切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.[例2] 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，经过时间t 高度为s (t )＝v 0t －12gt 2.求物体在t 0时刻的瞬时速度．[思路点拨] 先求Δs ，再根据定义，当Δt →0时，ΔsΔt 趋近于常数来求．[精解详析] 由已知得：Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎫v 0t 0－12g t 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于v 0－gt 0.∴物体在时刻t 0时的瞬时速度为v 0－gt 0. [一点通](1)求瞬时速度的步骤：①求位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； ②求平均速度v －＝ΔsΔt；③求瞬时速度：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于v .(2)求瞬时加速度的步骤与上述求瞬时速度的步骤类似．4．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，所以Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt . 当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于常数－1. 故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.答案：－15．已知物体运动速度v 与时刻t 的关系为v (t )＝t 2＋t .求物体在t ＝2时的瞬时加速度．解：∵Δv ＝(2＋Δt )2＋(2＋Δt )－(22＋2)＝(Δt )2＋5Δt ，∴Δv Δt ＝Δt ＋5. 当Δt 趋近于0时，Δv Δt趋近于常数5. ∴物体在t ＝2时的瞬时加速度为5.[例3] 求函数f (x )＝1x2＋2在点x ＝1处的导数． [思路点拨]法一：求Δy ―→Δy Δx ―→Δx →0―→得导数 法二：求导函数―→求导函数的函数值[精解详析] 法一：由已知得Δy ＝1(1＋Δx )2＋2－⎝⎛⎭⎫112＋2 ＝1(1＋Δx )2－1＝－(Δx )2－2Δx (1＋Δx )2， ∴Δy Δx ＝－2－Δx (1＋Δx )2. ∴Δx →0时，Δy Δx→－2. ∴f ′(1)＝－2.法二：Δy ＝⎝⎛⎭⎫1(x ＋Δx )2＋2－(1x2＋2) ＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2. ∴f ′(x )＝－2x3.∴f ′(1)＝－2.[一点通]求函数在x ＝x 0处的导数的方法：确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．一般有两种方法，一是应用导数定义法，二是导函数的函数值法，求解时，Δy 要求准确，Δx 可正可负．6．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．解：法一：Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. 当Δx →0时，2Δx ＋16→16.∴f ′(3)＝16.法二：Δy Δx ＝2(x ＋Δx )2＋4(x ＋Δx )－(2x 2＋4x )Δx＝4x ·Δx ＋2(Δx )2＋4Δx Δx＝4x ＋2Δx ＋4， 当Δx →0,4x ＋2Δx ＋4→4x ＋4，∴f ′(x )＝4x ＋4，∴f ′(3)＝4×3＋4＝16.7．已知函数f (x )＝ax 2＋2x 在x ＝1处的导数为6，求a 的值．解：Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝a (1＋Δx )2＋2(1＋Δx )－(a ＋2)Δx＝a ·(Δx )2＋(2a ＋2)·Δx Δx＝a ·(Δx )＋2(a ＋1)．当Δx →0时，Δy Δx→2a ＋2，∴f ′(1)＝2a ＋2. 由条件知f ′(1)＝6，∴2a ＋2＝6，∴a ＝2.[例4] 已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．[思路点拨] 解答本题可先求l 1、l 2的方程，并求其交点，然后求围成的三角形面积．[精解详析] Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝2x ·Δx ＋(Δx )2＋Δx Δx＝2x ＋Δx ＋1， ∵Δx →0时，2x ＋Δx ＋1→2x ＋1，∴f ′(x )＝2x ＋1，由题意知，(1,0)在曲线上，∴f ′(1)＝2＋1＝3，l 1的方程为y ＝3x －3.设l 2过曲线上的点(b ，b 2＋b －2)，∴f ′(b )＝2b ＋1，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.由l 1⊥l 2，得2b ＋1＝－13，b ＝－23， ∴l 2的方程为y ＝－13x －229. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.∴直线l 1与l 2的交点为⎝⎛⎭⎫16，－52， l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0， 故所求三角形的面积为S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪－52＝12512. [一点通] 解决与导数的几何意义有关的综合题时，其关键是设出切点的横坐标，然后根据导数的几何意义，求出切线斜率，写出切线方程，然后综合有关知识解答．8．过曲线y ＝x 2上哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角？解：设P ()x 0，y 0是满足条件的点，Δy ＝(x 0＋Δx )2－x 20＝2x 0Δx ＋Δx 2，Δy Δx＝2x 0＋Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→2x 0， 即f ′(x 0)＝2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点． (3)∵切线与x 轴成135°的倾斜角，∴其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14， 即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点．若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，就是切线与y 轴平行或是y 轴或不存在；若f ′(x 0)>0，切线与x 轴正方向夹角是锐角；若f ′(x 0)<0，则切线与x 轴正方向夹角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行或是x 轴．[对应课时跟踪训练(十六)]1．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6. 答案：－62．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率k 为________．解析：∵f (x )＝x 2＋3x ，∴Δy Δx ＝[(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )]－10Δx＝Δx ＋7， ∴当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于7，从而A 点处的切线斜率k ＝7. 答案：73．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为________.解析：Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝a (1＋Δx )2＋c －a ×12－c Δx＝2a ＋a Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→2a ，∴2a ＝2，a ＝1. 答案：14．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 答案：35．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则在点P 处的切线的倾斜角为________． 解析：∵y ＝12x 2－2， ∴Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx＝12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝x ＋12Δx . ∴当Δx →0时，Δy Δx→x . ∴y ′|x ＝1＝1，∴在点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处的切线斜率为1， 切线倾斜角为45°.答案：45°6．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程．解：∵3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－(3×12－4×1＋2)Δx＝2Δx ＋3(Δx )2Δx＝2＋3Δx ， ∴当Δx 无限趋近于0时，2＋3Δx 无限趋近于2，∴f ′(1)＝2，所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.7．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f (6＋Δx )－f (6)Δx＝(6＋Δx )2－7(6＋Δx )＋15－(62－7×6＋15)Δx＝5Δx ＋(Δx )2Δx＝5＋Δx . 当x 趋近于6时，即Δx 无限趋近于0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5 ℃.8．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在求出实数a 的取值范围，若不存在，说明理由．解：存在．设切点为(t ，t 2＋1)，则Δy Δx ＝(t ＋Δx )2＋1－(t 2＋1)Δx＝Δx ＋2t ， 当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于2t ，即 切线斜率k ＝f ′(t )＝2t ，所以切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )，将(1，a )代入得t 2－2t ＋(a －1)＝0，因为有两条切线，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.。
2020版高中数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率
【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为
［(2 t)2 1］ 22 1 4t (t)2
v
4 t.
t
t
又 v≤5,即4+Δt≤5,
所以Δt≤1.
又Δt>0,
所以Δt的取值范围为(0,1]. 答案:(0,1]
【易错误区案例】 求解函数的平均变化率问题 【典例】函数y=2x2+3x在[1,2]内的平均变化率为_-_9_.
y x
f x2 f x1
x2 x1
公式中Δx与Δy可能同号,也可能异号.
(3)×.函数值的改变量应是f(x0+Δx)-f(x0).
2.若已知函数f(x)=x2-1的图象上一点(1,0)及附近一 点(1+Δx,Δy),则Δy的值为________. 【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)= (1+Δx)2-1=(Δx)2+2Δx. 答案:(Δx)2+2Δx
33 3
所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
【方法技巧】 比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两不同点处的平均变化率. (2)作差(或作商),并对差式(或商式)作合理变形,以 便探讨差的符号(或商与1的大小). (3)下结论.
【补偿训练】一质点做直线运动,其位移s与时间t的 关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的 平均速度不大于5,则Δt的取值范围是______.
为 f x1 f x2 ?
x1 x2
提示:能.若从x1变为x2,平均变化率为
若从x2变为x1,平均变化率为
而 f x2 =f x1 f x.1 f x2
f x1 f,
教学设计5：1.1.1变化率问题
说教学设计《平均变化率》大家好，我说课的题目是《平均变化率》，我将从教材、目标、教法、教学过程和评价反馈分析五个方面进行陈述。
一、教材分析《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。
新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式。
而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法，分别从代数上的减小区间长度,使区间长度逼近于一个点和几何上的减小割线两点间的距离,使割线逐渐逼近于切线,这两个数形结合的角度定义导数.这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，最重要的是能够突出了导数概念的本质。
而我今天说课的内容《平均变化率》又是《导数及其应用》的第一课时，对下一步瞬时变化率和导数概念的形成起到重要的奠基作用。
二、目标分析在讲课的过程中，我们要让学生有一个经历、体会、运用、感受的过程。
于是，我将本堂课的教学目标定为：（1）知识与技能目标要求学生能通过大量实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义.为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
（2）过程与方法目标通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；（3）情感、态度、价值观感受数学模型在刻画客观世界中的作用，进一步领会变量数学的思想方法，提高能力。
根据课标要求，结合实际情况，我确定平均变化率的概念及其形成过程为教学重点，通过实例理解平均变化率的实际意义和数学意义是本节课的难点。
三、教法分析启发式教学与探究式学习相结合。
通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
1.1.1函数的平均变化率
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx， x0])的平均变化率．
1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域
本 课
内不同的两点，记Δx＝ x1－x0 ，Δy＝y1－y0＝f(x1)－
A. 2Δt＋4 B. －2Δt＋4 C. 2Δt－4 D. －2Δt－4
解析：ΔΔst＝4－21＋ΔtΔ2t－4＋2×12
＝－4Δt－Δt 2Δt2
＝－2Δt－4. 答案：D
例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月 该婴儿体重的平均变化率．
本 课 时
y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x) 的平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1
栏 目
为割线 AB 的斜率．
开 关
x1，x2 是定义域内不同的两点，因此 Δx≠0，但 Δx 可正也可
负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应 Δx＝x2－x1 的改变量，Δy 的值可
你能从数学的角度来反映山坡的 平缓和陡峭程度吗？
怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A 是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在 的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).
(3)实质： 函数值 的改变量与 自变量 的改变量 之比 .
(4)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上变化的快慢.
1.1.1函数的平均变化率
以用起点、 以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之
由此我们引出函数平均变化率的概念。 由此我们引出函数平均变化率的概念。 函数平均变化率的概念
函数平均变化率的概念： 函数平均变化率的概念： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定 一般地，已知函数 ， 义域内不同的两点， 义域内不同的两点，记△x=x1－x0， △y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0). － △ － 则当△x≠0时 则当△x≠0时，商
= 2x0 + ∆x
由上式可以看出， 取定值时， 由上式可以看出，当x0取定值时，△x 取不同的值，函数的平均变化率不同， 取不同的值，函数的平均变化率不同，当 取定值， 取不同的值时， △x取定值，x0取不同的值时，该函数的平 取定值 均变化率也不一样。 均变化率也不一样。 例如， 取正值，并不断增大时， 例如，x0取正值，并不断增大时，该函 数的平均变化率也不断地增大， 数的平均变化率也不断地增大，曲线变得 越来越陡峭。 越来越陡峭。
2. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一 一质点运动的方程为 － 段时间[1， 内的平均速度为 内的平均速度为（ 段时间 ，2]内的平均速度为（ C ） A．－ ．－4 ．－ C． －6 ． B．－ ．－8 ．－ D．6 ．
3. 将半径为 的球加热，若球的半径增加 将半径为R的球加热 的球加热， 等于（ △R，则球的表面积增加△S等于（ B ） ，则球的表面积增加△ 等于 A． 8πR∆R ． B． 8πR∆R + 4π (∆R ) ．
1.1.1 函数的平均变化率
微积分主要与四类问题的处理相关: 微积分主要与四类问题的处理相关 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度 加速度等 速度与 求物体在任意时刻的速度与加速度等; 曲线的切线; 二、求曲线的切线 求已知函数的最大值与最小值 最大值与最小值; 三、求已知函数的最大值与最小值 四、求长度、面积、体积和重心等。 长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（ 函数增减、变化快慢、最大（小）值等问 题最一般、最有效的工具。 题最一般、最有效的工具。
高中数学 第1章 1.1第1课时 函数的平均变化率课件 新人教B版选修2-2
(3)平均变化率是指函数值的“增量”(即“改变量”)Δy与 相应的自变量的“增量”Δx的比，这也给出了平均变化率的 求法，可得平均变化率可正、可负，也可为零．
2．求函数平均变化率的步骤： 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0； (2)求函数的增量Δy＝f(x1)－f(x0)； (3)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0.当求函数在某点附近 的平均变化率时，可在函数图象上表示出来．
)
A．3
B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2
D．3－Δx
[答案] D
[解析] ∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx， ∴ΔΔyx＝－ΔxΔ2x＋3Δx＝－Δx＋3. 故选D.
求运动物体的平均速度
以初速度v0竖直上抛一物体的位移(单位：m)与 时间(单位：s)的关系为：s(t)＝v0t－12gt2.
成才之路 ·数学
人教B版 ·选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
导数及其应用 第一章
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本 方法．
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分 和积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的 阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线面 积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思 想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚 的论述．比如《庄子》一书中，记有“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”．
二、平均速度 设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，如图，从t0到t0＋ Δt这段时间内，物体的平均速度是v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝ΔΔst. 可见平均速度v0就是函数f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均变 化率．
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2 0
＝1，解
得x0＝±1，故切点为(1，53)，(－1,1)；
故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1.
即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.
变式 (1)设函数 f(x)＝g(x)＋lnx，曲线 y＝g(x)在 x＝1 处的切线方程为 y＝2x＋1，则曲线 y＝f(x)在 x＝1 处切线 的斜率为________．
＝6x4＋3x3－8x2－4x， ∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 方法二 y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2 ＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
【解析】 由题意知，g(1)＝3，g′(1)＝2， ∴f′(1)＝g′(1)＋11＝3.
(2)求过点(1，－1)的曲线 y＝x3－2x 的切线方程．
【解析】 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 f′(x0)＝3x02－2，
故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)， 即y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)， 又知切线过点(1，－1)，代入上述方程， 得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)， 解得x0＝1或x0＝－12，
f′(x)＝__a_x_ln_a_____
f′(x)＝___e_x______
1
f′(x)＝__x_l_n_a_____
1
f′(x)＝____x______
3. 导数的运算法则
·法则 1：[u(x)±v(x)]′＝ u′(x)±v′(x)． ·法则 2：[u(x)v(x)]′＝ u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． ·法则 3：[uvxx]′＝ u′xvxv－ 2xuxv′x(v(x)≠0)
第1课时 变化率与导数
知识梳理
1．导数的定义 如果 Δx→0 时，Δy 与 Δx 的比ΔΔxy(也叫函数的平均变化 率)有极限(即ΔΔxy无限趋近于某个常数)，我们就把这个极限 值叫做 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ，记作 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝
li m Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
(3) y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xln3·ex＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
(4)y′＝lnx′x2＋x12＋－1ln2x·x2＋1′ ＝1x·x2＋ x21＋－1l2nx·2x＝x2＋x1x－2＋21x22·lnx.
故所求的切线方程为y＋1＝x－1 或y＋1＝－54(x－1)， 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
小结
2. 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q* )
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
f(x)＝lnx
导函数
f′(x)＝___0_______ f′(x)＝__n__x_n－__1 ___
f′(x)＝___c_o_sx_____ f′(x)＝__－__si_n_x____
(5)y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′ ＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x) ＝e2x(2cos3x－3sin3x)
(6)原式等价于 y＝12ln(x2＋1) y′＝12·x22＋x 1＝x2＋x 1.
题型三 导数的几何意义
例3 已知曲线y＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．
4．复合函数的导数
设u＝θ(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u＝θ(x)处可导，则
复合函数f[θ(x)]在点x处可导， f′(x)＝f′u·u′x
题型一 变化率与导数定义
例 1．设 f(x)＝x3－8x，
则 li m
Δx→0
f2＋ΔΔxx－f2＝__4____.
li m
x→2
fxx－－2f2＝___4___.
li m
k→0
f2－k2k－f2＝__－__2__.
题型二 导数运算
例 2 求下列函数的导数 (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝x2l＋ nx1 (5)y＝e2xcos3x； (6)y＝ln x2＋1
【解析】 (1)方法一 y＝(3x3－4x)(3)＝x20(x－x0)， 即y＝x20·x－23x30＋43. ∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即x03－3x20＋4＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0；
(3)设切点为(x0，y0)．故切线的斜率为k＝x
【解析】 (1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝22＝4， ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0；
(2)设曲线y＝
1 3
x3＋
4 3
与过点P(2,4)的切线相切于点
A(x0，13x03＋43)，则切线的斜率k＝y′| x＝x0＝x02.