1.1.1函数的平均变化率
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4．复合函数的导数
设u＝θ(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u＝θ(x)处可导，则
复合函数f[θ(x)]在点x处可导， f′(x)＝f′u·u′x
题型一 变化率与导数定义
例 1．设 f(x)＝x3－8x，
则 li m
Δx→0
f2＋ΔΔxx－f2＝__4____.
li m
x→2
fxx－－2f2＝___4___.
源自文库
【解析】 (1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝22＝4， ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0；
(2)设曲线y＝
1 3
x3＋
4 3
与过点P(2,4)的切线相切于点
A(x0，13x03＋43)，则切线的斜率k＝y′| x＝x0＝x02.
∴切线方程为y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)， 即y＝x20·x－23x30＋43. ∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即x03－3x20＋4＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0；
(3)设切点为(x0，y0)．故切线的斜率为k＝x
【解析】 由题意知，g(1)＝3，g′(1)＝2， ∴f′(1)＝g′(1)＋11＝3.
(2)求过点(1，－1)的曲线 y＝x3－2x 的切线方程．
【解析】 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 f′(x0)＝3x02－2，
故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)， 即y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)， 又知切线过点(1，－1)，代入上述方程， 得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)， 解得x0＝1或x0＝－12，
2. 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q* )
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
f(x)＝lnx
导函数
f′(x)＝___0_______ f′(x)＝__n__x_n－__1 ___
f′(x)＝___c_o_sx_____ f′(x)＝__－__si_n_x____
第1课时 变化率与导数
知识梳理
1．导数的定义 如果 Δx→0 时，Δy 与 Δx 的比ΔΔxy(也叫函数的平均变化 率)有极限(即ΔΔxy无限趋近于某个常数)，我们就把这个极限 值叫做 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ，记作 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝
li m Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
f′(x)＝__a_x_ln_a_____
f′(x)＝___e_x______
1
f′(x)＝__x_l_n_a_____
1
f′(x)＝____x______
3. 导数的运算法则
·法则 1：[u(x)±v(x)]′＝ u′(x)±v′(x)． ·法则 2：[u(x)v(x)]′＝ u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． ·法则 3：[uvxx]′＝ u′xvxv－ 2xuxv′x(v(x)≠0)
li m
k→0
f2－k2k－f2＝__－__2__.
题型二 导数运算
例 2 求下列函数的导数 (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝x2l＋ nx1 (5)y＝e2xcos3x； (6)y＝ln x2＋1
【解析】 (1)方法一 y＝(3x3－4x)(2x＋1)
(5)y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′ ＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x) ＝e2x(2cos3x－3sin3x)
(6)原式等价于 y＝12ln(x2＋1) y′＝12·x22＋x 1＝x2＋x 1.
题型三 导数的几何意义
例3 已知曲线y＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．
(3) y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xln3·ex＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
(4)y′＝lnx′x2＋x12＋－1ln2x·x2＋1′ ＝1x·x2＋ x21＋－1l2nx·2x＝x2＋x1x－2＋21x22·lnx.
＝6x4＋3x3－8x2－4x， ∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 方法二 y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2 ＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
2 0
＝1，解
得x0＝±1，故切点为(1，53)，(－1,1)；
故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1.
即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.
变式 (1)设函数 f(x)＝g(x)＋lnx，曲线 y＝g(x)在 x＝1 处的切线方程为 y＝2x＋1，则曲线 y＝f(x)在 x＝1 处切线 的斜率为________．
故所求的切线方程为y＋1＝x－1 或y＋1＝－54(x－1)， 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
小结
设u＝θ(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u＝θ(x)处可导，则
复合函数f[θ(x)]在点x处可导， f′(x)＝f′u·u′x
题型一 变化率与导数定义
例 1．设 f(x)＝x3－8x，
则 li m
Δx→0
f2＋ΔΔxx－f2＝__4____.
li m
x→2
fxx－－2f2＝___4___.
源自文库
【解析】 (1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝22＝4， ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0；
(2)设曲线y＝
1 3
x3＋
4 3
与过点P(2,4)的切线相切于点
A(x0，13x03＋43)，则切线的斜率k＝y′| x＝x0＝x02.
∴切线方程为y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)， 即y＝x20·x－23x30＋43. ∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即x03－3x20＋4＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0；
(3)设切点为(x0，y0)．故切线的斜率为k＝x
【解析】 由题意知，g(1)＝3，g′(1)＝2， ∴f′(1)＝g′(1)＋11＝3.
(2)求过点(1，－1)的曲线 y＝x3－2x 的切线方程．
【解析】 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 f′(x0)＝3x02－2，
故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)， 即y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)， 又知切线过点(1，－1)，代入上述方程， 得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)， 解得x0＝1或x0＝－12，
2. 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q* )
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
f(x)＝lnx
导函数
f′(x)＝___0_______ f′(x)＝__n__x_n－__1 ___
f′(x)＝___c_o_sx_____ f′(x)＝__－__si_n_x____
第1课时 变化率与导数
知识梳理
1．导数的定义 如果 Δx→0 时，Δy 与 Δx 的比ΔΔxy(也叫函数的平均变化 率)有极限(即ΔΔxy无限趋近于某个常数)，我们就把这个极限 值叫做 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ，记作 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝
li m Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
f′(x)＝__a_x_ln_a_____
f′(x)＝___e_x______
1
f′(x)＝__x_l_n_a_____
1
f′(x)＝____x______
3. 导数的运算法则
·法则 1：[u(x)±v(x)]′＝ u′(x)±v′(x)． ·法则 2：[u(x)v(x)]′＝ u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． ·法则 3：[uvxx]′＝ u′xvxv－ 2xuxv′x(v(x)≠0)
li m
k→0
f2－k2k－f2＝__－__2__.
题型二 导数运算
例 2 求下列函数的导数 (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝x2l＋ nx1 (5)y＝e2xcos3x； (6)y＝ln x2＋1
【解析】 (1)方法一 y＝(3x3－4x)(2x＋1)
(5)y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′ ＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x) ＝e2x(2cos3x－3sin3x)
(6)原式等价于 y＝12ln(x2＋1) y′＝12·x22＋x 1＝x2＋x 1.
题型三 导数的几何意义
例3 已知曲线y＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．
(3) y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xln3·ex＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
(4)y′＝lnx′x2＋x12＋－1ln2x·x2＋1′ ＝1x·x2＋ x21＋－1l2nx·2x＝x2＋x1x－2＋21x22·lnx.
＝6x4＋3x3－8x2－4x， ∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 方法二 y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2 ＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
2 0
＝1，解
得x0＝±1，故切点为(1，53)，(－1,1)；
故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1.
即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.
变式 (1)设函数 f(x)＝g(x)＋lnx，曲线 y＝g(x)在 x＝1 处的切线方程为 y＝2x＋1，则曲线 y＝f(x)在 x＝1 处切线 的斜率为________．
故所求的切线方程为y＋1＝x－1 或y＋1＝－54(x－1)， 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
小结