第十一章 概率统计
第十一章计数原理概率随机变量及其分布列
第十一章计数原理概率随机变量及其分布列计数原理是概率论中的重要概念之一，它是研究集合元素个数或事件发生次数的基础。
本章将介绍计数原理、概率、随机变量及其分布列的概念与性质。
首先，我们来介绍计数原理。
计数原理包括排列、组合和乘法原理。
排列是指从一组元素中选取若干元素，按一定顺序排列的方法数。
排列的基本公式为nPm=n!/(n-m)!(n≥m)，其中n为元素个数，m为选取个数，n!表示n的阶乘。
组合是指从一组元素中选取若干元素，不考虑其排列顺序的方法数。
组合的基本公式为nCm=n!/[m!(n-m)!]，其中n为元素个数，m为选取个数。
乘法原理是指若有多个相互独立的事件，每个事件发生的方法数分别为n1，n2，…，nk，则这些事件同时发生的方法数为n1·n2·····nk。
计数原理在概率论中有着重要的应用，它可以帮助我们计算事件发生的可能性。
接下来，我们来介绍概率的概念。
概率是指其中一事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
概率的计算可以使用频率法、古典概型和几何概率等方法。
频率法是通过大量实验的结果来估计概率，公式为P(A)=n/N，其中n 为事件A发生的次数，N为试验总次数。
古典概型是指每个事件发生的可能性相等的情况下，计算概率。
公式为P(A)=m/n，其中m为事件A包含的基本事件数，n为所有基本事件的总数。
几何概率是指利用几何方法计算概率。
例如，在正方形区域中随机选择一个点，落在一些子区域中的概率等于子区域的面积与正方形区域的面积之比。
随机变量是指对随机事件的其中一种度量或描述。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的值在其中一区间内只能取有限或可数个值。
离散型随机变量的分布列可以通过概率函数或分布列来描述。
概率函数表示离散型随机变量取值的概率。
例如，设X为一些离散型随机变量，其取值为x1，x2，…，xn，对应的概率为p1，p2，…，pn，则其概率函数为P(X=xi)=pi。
数学高考复习名师精品教案：第91课时：第十一章 概率与统计率-抽样方法、总体分布的估计
数学高考复习名师精品教案第91课时：第十一章概率与统计率——抽样方法、总体分布的估计课题：抽样方法、总体分布的估计一．复习目标：抽样方法、总体分布的估计1．会用简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法等常用方法从总体中抽取样本；2．了解统计的基本思想，会用样本频率估计总体分布．二．知识要点：1．（1）统计的基本思想是．（2）平均数的概念．（3）方差公式为．2．常用的抽样方法是．三．课前预习：1．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ B ）A分层抽样法，系统抽样法()B分层抽样法，简单随机抽样法()()C 系统抽样法，分层抽样法 ()D 简单随机抽样法，分层抽样法2．已知样本方差由102211(5)10ii sx ==-∑，求得，则1210x x x +++= 50．3．设有n 个样本12,,,n x x x ，其标准差为x s ，另有n 个样本12,,,n y y y ，且35kk y x =+(1,2,,)k n = ，其标准差为ys ，则下列关系正确的是 （ B ） ()A 35y x s s =+ ()B 3y xs s = ()C y x s =()D 5y x s =+4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ B ）()A 0.6小时 ()B 0.9小时 ()C 1.0小时 ()D 1.5小时5．x 是12100,,x x x 的平均数，a 是1240,,x x x 的平均数，b 是4142100,,x x x 的平均数，则x ，a ，b 之间的关系为4060100a b x +=．6．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n =112．7．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分时间(小时)0 1.0成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m k+的个位数字相同，若6m=，则在第7组中抽取的号码是63 ．8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面，且样本容量为160，则中间一组的频积等于其他10个小长方形的面积之和的14数为 32 ．四．例题分析：例1．某中学有员工160人，其中中高级教师48人，一般教师64人，管理人员16人，行政人员32人，从中抽取容量为20的一个样本．以此例说明，无论使用三种常用的抽样方法中的哪一种方法，总体中的每个个体抽到的概率都相同．解：（1）（简单随机抽样）可采用抽签法，将160人从1到160编号，然后从中抽取20个签，与签号相同的20个人被选出．显然每个个体抽到的概率为201=．1608（2）（系统抽样法）将160人从1到160编号，，按编号顺序分成20组，每组8人，先在第一组中用抽签法抽出k号（18+(1,2,3,19)k n≤≤），其余组的8kn= 也被抽到，显然每个个体抽到的概率为1．8（3）（分层抽样法）四类人员的人数比为3:4:1:2，又34⨯=⨯=206,208101012⨯=⨯=，所以从中高级教师、一般教师、管理人员、行政人员中分202,2041010．别抽取6人、8人、2人、4人，每个个体抽到的概率为18例2．质检部门对甲、乙两种日光灯的使用时间进行了破坏性试验，10次试验得到的两种日光灯的使用时间如下表所示，问：哪一种质量相对好一些？解：甲的平均使用寿命为：甲x =101214032130321202211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝2121（h ），甲的平均使用寿命为 ： 乙x ＝101214022130521201211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝2121（h ），甲的方差为：2甲S ＝101999191142122222+⨯+⨯+⨯+＝129（h 2），乙的方差为：2乙S ＝101214022130521201211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝109（h 2），∵甲x ＝乙x ，且2甲S ＞2乙S ，∴乙的质量好一些．例3．下表给出了某学校120名12岁男生的身高统计分组与频数（单位：cm）．（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；（2）画出频率分布直方图；（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．解：（1）样本的频率分布表与累积频率表如下：频率直方下：122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身高（cm）（3）根据累积频率分布，小于134的数据约占23100%19.2%120⨯≈．五．课后作业：1．一个单位有职工160人，其中业务人员96人,管理人员40人，后勤人员24人，为了解职工身体情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如用分层抽样,则管理人员应抽到多少个（）()A3()B12()C5()D102．欲对某商场作一简要审计，通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额.现采用如下方法：从某本50张的发票存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是（）()A简单随机抽样()B系统抽样()C分层抽样()D其它方式的抽样3．在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[,]a b是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则||a b-等于（）()A h m()B hm()Cmh()D与,m h无关4．一个总体的个数为n，用简单随机抽样的方法，抽取一个容量为2的样本，个体a 第一次未被抽到，个体a 第一次未被抽到第二次被抽到，以及整个过程中个体a 被抽到的概率分别是 . 5．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n = .6.有一组数据：)(,,,,321321n nx x x x x x x x ≤≤≤≤ ，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的n x ，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的1x ，余下数据的算术平均值为11,则1x 关于n 的表达式为 ；n x 关于n 的表达式为 .7．为了比较甲、乙两位划艇运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了6次测验，测得他们的平均速度（/m s ）分别如下：甲：2.7 3.8 3.0 3.7 3.5 3.1 乙：2.9 3.9 3.8 3.4 3.6 2.8 试根据以上数据，判断他们谁更优秀．8．有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30的概率．9．100名学生分四个兴趣小组参加物理、化学、数学、计算机竞赛辅导，人数别是30、27、23、20．（1）列出学生参加兴趣小组的频率分布表；（2）画出表示频率分布的条形图．。
高考文科数学第11章概率11.1 随机事件的概率
【答案】 B
高考总复习·数学文科（RJ）
第十一章 概率
3．(2015·湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米
谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米
内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批
米内夹谷约为( )
A．134石
B．169石
C．338石
D．1 365石
【解析】 因为样品中米内夹谷的比为22584，所以这批米内夹
③是互斥事件且是对立事件． “至少有1名男生”，即“选出的2人不全是女生”，它与 “全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所 以两个事件互斥且对立．
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第十一章 概率 题型二 随机事件的频率与概率 【例2】 (2015·北京)某超市随机选取1 000位顾客，记
录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如 下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
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第十一章 概率
【解析】 ①错，不一定是 10 件次品；②错，73是频率而非概 率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
【答案】 0
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第十一章 概率
5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3 个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和 全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有 1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的 为________．
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第十一章 概率
(3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、 “两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对 立事件，故选A.
第十一章 概率与统计
第十一章 概率与统计两个计数原理1．分类计数原理： 。
分步计数原理： 。
2．王云同学有参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读，若他从这些参考书中带一本去图书馆，有 种不同的方法；若带外语，数学，物理各一本，有 种不同的带法；若从这些参书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有种不同的带法。
3．设*,x y N ∈，且4x y +≤，则点(,)x y 共有 个.、4．设{1,2,3},{4,5}A B ==，从集合A 到集合B 共可建立不同的函数个数为 . 5．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数字号码。
6．11n mi ji j a b==⋅∑∑展开后共有 项.例1．（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军（无并列），有多少种不同的结果？ （3）某人要将4封不同的信投入3个不同信箱中，不同的投寄方法有多少种？（4）将3个不贩小球放入4个不同编号的盒子中（一个盒子只放一个小球），不同的放法有多少种？例2．在一次综艺节目的演出中，热心观众坐成四个方阵（如下图），现有4种不同颜色的T 恤衫，要求相邻方阵着不同颜色的T 恤，有多少种不同的着衣方法？例3．（1）用数字0，1，2，3，4可组成多少个不同的三位数？（2）甲、乙、丙3人互相传1只篮球，开始球在甲手中，经过5次传球后，球在甲手中，问共有多少种不同的传球方式？例4．（备选题）设整数4,(,)n P a b ≥是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,}a b n ∈L ，a b >.（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数，求n B .排列、组合的概念和运算1．排列的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2．排列数的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 表示.3．排列数公式：mn A = = ；m n A = = ；0!=4．组合的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出n 个元素的一个组合.5．组合数的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的给合数，用符号 表示.6．组合数公式：mn C = = = ；0n C = 7．组合数的两个性质：（1） （2）例1．（1）若17161554mn A =⨯⨯⨯⨯⨯L ，则n = ，m = .（2）若*n N ∈，则(55)(56)(57)(68)n n n n ----L 用排列数符号表示为（3）若33210n n A A =，则n =（4）若75589n nnA A A -=，则n = 例2．（1）若*x N ∈，求123231x x x x C A ---++的所有可能值.（2）求11224n nn n A A -++的值.例3．（1）化学：1!22!33!!n n +⋅+⋅++⋅L （2）化简：12312!3!4!!n n -++++L （3）化简：122nn n n C C nC +++L例4．（备选题）已知(2)p p ≥是给定的某个正整数，数列{}n a 满足：111,(1)()k k a k a p k p a +=+=-，其中1,2,3,,1k p =-L .（1）设4,p =求234,,a a a ； （2）求123p a a a a ++++L .二项式定理及通项公式的应用1．二项式定理：对于*n N ∈，()na b += ，二项式展开式的通项公式为 ，二项式展开式中第r 项的二项式系数为 ，要分清展开式中第一项的系数与该项的二项式系数.2．6(23)a b +的展开式的第3项是 ；6(32)b a +的展开式的第3项是 . 3．15(12)x -的展开式的第1r +项为 .4．37(2)x x +展开式的第4项的二项式系数是 ，第4项的系数是 .5．*n N ∈，式子01122(1)2(1)n n k k n k n n n n n C C C C ---++-++-L L = .例1．求10的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）含2x 的项及系数；（3）常数项、有理项.例2．（1）已知9a x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为94，求常数a 的值 （2）求2521(2)x x++的展开式中2x 项 （3）求64(1)(1)x x -+展开式中3x 的系数例3．（1）求100.998的近似值（精确到0.01） （2）当n 为正奇数时，求112215555n n n n n n n C C C ---++++L 被7除所得的余数.（3）当*3,n n N ≥∈，求证：221nn >+例4．（备选题）是否存在等比数列{}n a ，使12121(1)2nn nnn na C a C a C --+++=L 对一切*n N ∈都成立？如存在，求出n a ；如不存在，请说明理由.二项式系数的性质及应用1．二项式系数的性质（1）对称性：在()na b +展开式中， 的两项的二项式系数相等.（2）增减性与最大值；当12n k +<时，二项式系数是逐渐 的，由对称性知它的后半部分是逐渐的，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项 相等，且同时取得最大值.（3）二项式系数的和：012nn n n n C C C C ++++L = ；022135n n n n n n C C C C C C +++=+++L L = .2．在()nx y +的展开式中，若第7项的系数最大，则n 等于 .3．若29323636012,(2),n n n n n C C x a a x a x a x ++=-=++++L 则011n a a a -+++L = ；12323n a a a na ++++L = .4．函数1010()(1cos )(1cos )(0)f x x x x π=++-≤≤的最大值为 .5．若1)nx的展开式中各项系数和为P ，所有二项式系数和为2,272,r n S P S C +=最大，则r .例1．（1）求7(2)x y +展开式中系数最大的项；（2）求7(2)x y -展开工中系数最大的项.例2．求12(13)x -的展开式中 （1）各项二项式系数之和； （2）奇数项二项式系数和； （3）各项系数和； （4）各项系数绝对值的和.例3．已知数列{}n a 的首项为1，011222111231()(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n p x a C x a xC x a x C x a C x x a C x ----+=-+-+-++-+L .（1）若数列{}n a 是公比为2的等比数列，求(1)p -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：()p x 是关于x 的一次多项式.例4．（备选题）（1）当*k N ∈时，求证：(1(1k k ++-是正整数；（2）试证明大于2(1n +的最小整数能被12n +整除*()n N ∈ .排列、组合的应用题（1）1．特殊元素、特殊位置的“优先安排法” 2．正难则反：排除法（去杂法）3．相邻问题：捆绑法4．不相邻问题：插空法5．顺序一定问题：除法6．至多、至少问题：正面与反面的选择7．染色问题：“树型图法”、恰当的分类与准确的分步8．相同元素问题：隔板法例1．4男3女坐成一排，下列各小题分别有多少种排法？（1）某人必须在中间（2）某两人只能在两端（3）某人不在中间和两端（4）甲、乙两人必须相邻（5）甲、乙两人不相邻（5）甲、乙两人必须相隔1人（7）4男必须相邻（8）4男必须相邻，3女也必须相邻（9）3女不相邻（10）4男不相邻（11）4男不在两端（12）甲在乙左边（13）3男不等高，按高矮自左向右顺序排列例2．用0、1、2、3、4、5六个数字分别可以组成多少个符合下列条件的没有重复数字的自然数？（1）四位偶数（2）四位奇数（3）是25的倍数的六位数（4）比240135大的六位数（5）个位数字比十位数字小的五位数例3．某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语，现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游，则不同的选择方法有多少种？例4．（备选题）将4个编号1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中，（1）每盒子至多一球，有多少种放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种放法？（3）每个盒子放一球，并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒子，有多少种放法？（5）把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？排列、组合的应用题（2）1．某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有种不同的排法。
第十一章 概率与统计
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第十一章《概率统计》一、选择题（共11题）1．（安徽卷）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为A ．17 B ．27 C ．37 D ．47解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得38C 个三角形，要得直角非等腰．．三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得3824C ，故C 。
2．（福建卷）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 A.72 B.83 C.73 D.289 解析：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。
从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于21335338C C C P C +==27，选A 。
3．（湖北卷）甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么A. 甲是乙的充分但不必要条件B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立。
故选 B4．（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出y x -，设x=10+t, y=10-t, 24x y t -==，选D5．（江苏卷）右图中有一个信号源和五个接收器。
接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（A ）454 （B ）361 （C ）154 （D ）158 【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题. 【正确解答】将六个接线点随机地平均分成三组，共有2226423315C C C A =种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有1114218C C C =种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是158，选D 【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已6．（江西卷）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a 、p 的值分别为（ ）A ． a=105 p=521 B.a=105 p=421 C.a=210 p=521 D.a=210 p=421解：选A ，a ＝322742C C C 2！＝105，甲、乙分在同一组的方法种数有 （1） 若甲、乙分在3人组，有122542C C C 2！＝15种 （2） 若甲、乙分在2人组，有35C ＝10种，故共有25种，所以P ＝25510521＝ 7．（江西卷）袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 Ａ．12344812161040C C C C C Ｂ．21344812161040C C C C C Ｃ．23144812161040C C C C C Ｄ．13424812161040C C C C C 解：依题意，各层次数量之比为4:3:2:1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，故选A8．（四川卷）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（A ）1954 （B ）3554 （C ）3854 （D ）4160解析：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除。
(江苏版)备战高考数学模拟试卷分项 专题11 概率统计-人教版高三全册数学试题
第十一章 概率统计 1. 【南师附中2017届高三模拟二】从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为__________．【答案】112【解析】从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，有98362n ⨯==种情形，其中一个是另一个的三倍的事件有()()()1,3,2,6,3,9，共3种情形，所以由古典概型的计算公式可得其概率是313612P ==，应填答案112。
2. 【南师附中2017届高三模拟二】射击运动员打靶，射5发，环数分别为9，10，8，10，8，则该数据的方差为__________．【答案】45【解析】因为910810895x ++++==，所以[]2140111155s =++++=，应填答案45。
3. 【南师附中2017届高三模拟一】从2,3,4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是__________.【答案】124．【南师附中2017届高三模拟一】随机抽取年龄在[)[)[]10,20,20,30,......50,60年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[]50,60年龄段应抽取人数为__________.【答案】2【解析】由题设提供的直方图可以看出年龄在[]40,60内的人数为()0.0150.005100.02(n n n +⨯=是样本容量），则0.028400n n =⇒=，故年龄在[]50,60内的人数为0.005100.052n n ⨯==，应填答案2。
5. 【某某中学2018届高三10月月考】记函数定义域为，在区间上随机取一个数，则的概率是_______. 【答案】点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动X 围．当考察对象为点，点的活动X 围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．6. 【某某中学2018届高三上学期开学考试】某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示，则估计该校高三学生中数学成绩在之间的人数为__________．【答案】660【解析】由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成绩在之间的频率为：，∴估计该校高三学生中数学成绩在之间的人数为：.故答案为660.7. 【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知一个边长为2的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正方形内的概率为_________.【答案】8．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】某校高一年级共有800名学生，根据他们参加某项体育测试的成绩只做了如图所示的频率分布直方图，则成绩不低于80分的学生人数为_________.【答案】240【解析】由题设中提供的频率分布直方图可以看出：不低于80分的学生人数为()0.020.0110800240m=+⨯⨯=，应填答案240。
(上海专用)2018版高考数学总复习专题11概率与统计分项练习.
第十一章 概率与统计一．基础题组1. 【2017高考上海，9】已知四个函数：①y x =-；②1y x=-；③3y x =；④12y x =.从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点” 的概率为 . 【答案】13【解析】考查函数图象交点的个数：y x =- 与1y x=- 有2个交点；y x =- 与3y x = 有1个交点；y x =- 与12y x = 有1个交点； 1y x=-与3y x = 有0个交点；1y x=-与12y x = 有0个交点；3y x =与12y x = 有2个交点；结合古典概型公式可得：所选两个函数的图像有且仅有一个公共点的概率为2163p == . 2.【2016高考上海理数】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_________（米）． 【答案】1.76 【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76. 【考点】中位数的概念【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. 3.【2016高考上海理数】如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_____________.【答案】528【解析】试题分析：共有28C 28=种基本事件，其中使点P 落在第一象限的情况有23C 25+=种，故所求概率为528. 【考点】排列组合、古典概型、平面向量的线性运算【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能够准确地确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力、数形结合思想等.4.【2016高考上海文数】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 【答案】16【考点】古典概型【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.5. 【2015高考上海理数】赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）． 【答案】0.2【解析】赌金的分布列为所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望【名师点睛】一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，均值E (X )是一个实数，由x 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．6. 【2014上海,理10】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）. 【答案】115【考点】古典概型．7. 【2014上海,理13】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】0.2【解析】设ξ＝1,2,3,4,5的概率分别为12345,,,,P P P P P ，则由题意有123452345 4.2P P P P P ++++=，123451P P P P P ++++=，对于1234234P P P P +++，当4P 越大时，其值越大，又41P <，因此1234234P P P P +++4≤5(1)P -，所以554(1)5 4.2P P -+≥，解得50.2P ≥．【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．8. 【2014上海,文13】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）. 【答案】115【解析】任意选择3天共有310120C =种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为8112015P ==． 【考点】古典概型．9. 【2013上海,理8】盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)． 【答案】1318【解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1－2529C 13C 18=.10. 【2013上海,文6】某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为______． 【答案】78 【解析】平均成绩＝40607580100100⋅+⋅＝78. 11. 【2013上海,文11】盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．【答案】57【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。
高等数学 第十一章 电子课件
第一节
概率论
一、随机事件
（一）随机事件的概念
引例1 如果问“苹果从树上脱落，会往地上落吗？”，答案是“会”． 引例2 如果问“掷一枚骰子，能否出现7点？”，答案是“不能”． 引例3 抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上， 且事先无法确定抛掷的结果是什么． 引例4 在400 m短跑比赛前，运动员需通过抽签决定自己所在的跑道，且每 次抽签前都无法预测自己会在哪条跑道．
（二）概率的古典定义
在某些情况下，随机试验具有以下特征． 有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． 具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率 模型称为古典概率模型，简称古典概型，也称等可能概型．
（二）概率的古典定义
定义 3 对于古典概型，设试验含有 n 个基本事件，若事件 A 包含 m 个基本事件，则事件 A
第十一章
概率统计基础
导学
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的重要工具，其应用已 遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各领域，因 此掌握一定的概率统计知识十分必要．
本章主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的期 望与方差，数理统计的基础知识，参数估计，假设检验及回归分析．
随机试验的一切可能结果所组成的集合称为样本空间，记作 ．随机试验的每
一个可能结果称为样本点，样本空间就是全体样本点的集合．
（一）随机事件的概念
定义1 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件，简称事件．它通常用大写 英文字母A, B, C… 表示．
随机事件可分为基本事件和复合事件． 基本事件：在随机试验中，不可再分解的事件． 复合事件：在随机试验中，由若干个基本事件组合而成的事件．
第十一章 概率论初步
概率论在以下几个方面与其它数学课程不 同：
研究的现象更加接近日常生活 推理方法更加接近人类的真实思维模式 根据概率统计得出的结论：一个是告诉你将要发生的结果，再一 个是告诉你这个结果发生的可能性。实际上，它能够告诉你多种 可能的结果以及各种结果出现的可能性
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
写出例1、例2中各个随机试验的样本空间，并 用其相应的基本事件表示事件：“取得的球的 号数大于2”；“接到的电话查询次数大于 40”。 解：例1中，每次取得的球的号数是1，2，3， 4，5中的一个数，所以共有5个样本点，取得 的球的号数为i这一样本点，记为ωi（i=1，2， 3，4，5），因此样本空间为Ω={ω1，ω2， 第十一章 概率论初步 数据、模型与决策 (第二版) ω3，ω4，ω5}。
设事件A为“任取的一数是偶数”，求P（A）
设事件B为“任取的一数是5的倍数”求P（B）
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
袋内装有5个白球和5个黑球，从中任取两球 设事件A为“取到的都是白球”，求P（A）。
设事件B为“恰取到一只黑球”，求P（B）。
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
(AB)C=A(BC)
分配律：
(A B)C=AC BC
(AB) C=(A C)(B C)
对偶律：
=
AB
=
A B
第十一章 概率论初步
AB
AB 数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
高考数学一轮复习题库：第十一章概率与统计11.9回归分析与独立性检验
5.甲、乙、丙、丁四位同学各 自对 A，B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方 法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表：
甲
乙
丙
丁Hale Waihona Puke r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
则哪位同学的试验结果体现 A，B 两变量更强的线性相关性 ( )．
A．甲
随机抽取了 100 名观
众进行调查，其中女性有 55 名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间
的频率分布直方图：
将日均收看该体育节 目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中 有 10 名女性．
(1)根据已知条件完成下面的 2× 2 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有 关？
年份 /年
2007 2008 2009 2010 2011
收入 x/万元
11.5 12.1
13
13.3
15
支出 Y/万元
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料， 居民家庭年平均收入的中位数是 __________ ，家庭年平均收入与年平均
支出有 __________ 线性相关关系．
三、解答题
11．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
(2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育
迷”中有 2 名女性．若从“超级体育迷”中任意选取
附： K 2＝
n ad－ bc 2
.
a＋ b c＋ d a＋ c b＋ d
(整理版)高中数学第十一章概率
高中数学第十一章-概率考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．考试要求：〔1〕了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．〔2〕了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的根本公式计算一些等可能性事件的概率。
〔3〕了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．〔4〕会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．§11. 概率 知识要点1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个根本领件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率n m P(A)=. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ .②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃〞与抽到“黑桃〞互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌〞与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P 〔AB 〕等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌〔52张〕中任抽一张设A ：“抽到老K 〞；B ：“抽到红牌〞那么 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有可能不是独立事件，但261P(B)P(A),215226P(B),131524P(A)=⋅====.又事件AB 表示“既抽到老K 对抽到红牌〞即“抽到红桃老K 或方块老K 〞有261522B)P(A ==⋅，因此有)B P(A P(B)P(A)⋅=⋅. 推广：假设事件n 21,A ,,A A 相互独立，那么)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅. 注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个互斥对立事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.④独立重复试验：假设n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，那么称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P)(1P C (k)P --=. 4. 对任何两个事件都有)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+。
概率统计11图文.ppt
运算律 事件 对应 集合
运算
运算
吸收律 A A A
A A A
A ( AB) A A (A B) A
重余律 A A
幂等律 A A A A A A
差化积 A B AB A (AB)
交换律 A B B A AB BA
结合律 分配律
(A B) C A (B C) ( AB)C A(BC) (A B) C (AC) (B C) A (BC) (A B)(A C)
A1, A2,, An , 两两互斥
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B B A
—— A 与B 互相对立
A
每次试验 A、 B中
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(或逆事件)，
记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
Ai
i1
5. 事件的差
AB
A
—— A 与B 的差事件
B
AB
A B 发生
事件 A 发生，但
事件 B 不发生
6. 事件的互斥(互不相容)
AB —— A 与B 互斥
A
A、 B不可能同
时发生
B
AA1 A2
An
i1
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,,n
2.事件的关系和运算
随机事件的关系和运算 类同集合的关系和运算
文氏图 ( Venn diagram )
A
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
AB
2. 事件的相等
A B AB 且 B A
3. 事件的并
第十一章第三节概率与统计的综合问题课件共51张PPT
(2)设受访者购买 A 款饮料的可能性高于购买 B 款饮料的可能性为事件 C.
记购买 A 款饮料的可能性是 20%为事件 A1；购买 A 款饮料的可能性是 60%为事件 A2；购买 A 款饮料的可能性是 90%为事件 A3；购买 B 款饮料的可 能是 20%为事件 B1；购买 B 款饮料的可能性是 60%为事件 B2；购买 B 款饮 料的可能性是 90%为事件 B3.
所以 P(X＝65)＝C33
1 (3
)3＝217
，
P(X＝70)＝C23 (13 )2(23 )1＝29 ，
P(X＝75)＝C13
1 (3
)1(23
)2＝49
，
P(X＝80)＝C03
2 (3
)3＝287
.
X 的分布列为
X
65
70
75
80
P
1
2
4
27
9
9
8 27
所以 E(X)＝65×217 ＋70×29 ＋75×49 ＋80×287 ＝75.
(1)求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 x(同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)①由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正
态分布 N(μ，σ2)，利用该正态分布，求 Z 落在(14.55，38.45]内的概率；
②将频率视为概率，若某人从该市某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水 饺，记这 4 包速冻水饺中该项质量指标值位于(10，30]内的包数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
年龄大于 50 岁
12
40
52
年龄不大于 50 岁
18
20
38
总计
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题四概率与统计第十一章第四节 相互独立事件、条件概率与全概率公式
，
∴在第一次取得红球的条件下第二次取得白球的概率为 | =
选B.
=
= . .故
AB
5.（多选题）下列说法正确的有(
A. | ≥ B. | =
)
是可能的
C.0 < | < 1D. | = 0
[解析]由条件概率公式 | =
在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.
2.两个公式
（1）利用古典概型， | =______；
|
（2）概率的乘法公式： =____________.
三、全概率公式
一般地，设1 ，2 ，⋯， 是一组两两互斥的事件，1 ∪ 2 ∪ ⋯ ∪ = Ω，且
= . ， | = . ，因此由乘法公式可得
= | = . × . = . .
即这样的手机从 高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
故答案为0.15.
规律方法
求条件概率的常用方法
定义法 先求 和 ，再由 | =
∪ = + .
2.计算条件概率除了应用公式 | =
| =
数.
外，还可以利用缩减公式法，即
，其中 为事件包含的样本点数， 为事件包含的样本点
3.全概率公式的意义在于，当直接计算事件发生的概率 较为困难时，可以先找到样
一、相互独立事件
1.概念：对任意两个事件与，若 =__________，则称事件与事件相互独
立，简称为独立.
高二数学第十一章概率上课用PPT课件11.1(3)
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通过计算等可能性事件的概率， 通过计算等可能性事件的概率，可以看出 P(A) =
3 取出理科书”为事件A， P(A) 记“取出理科书”为事件 ，则 = 5
由此归纳出计算等可能性事件的概率的步骤 (l)计算所有基本事件的总结果数 ． 计算所有基本事件的总结果数n． 计算所有基本事件的总结果数 (2)计算事件 所包含的结果ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ． 计算事件A所包含的结果数 计算事件 所包含的结果数m． m (3)计算 P(A) = 计算 n
一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有1,2,3,4,5,6六个数， 六个数， 例3.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有 六个数 将这个正方体玩具先后抛掷2次 计算 计算： 将这个正方体玩具先后抛掷 次,计算： (1)一共有多少种不同的结果？ 一共有多少种不同的结果？ 一共有多少种不同的结果 (2)其中向上的数之和是 的结果有多少种？ 其中向上的数之和是5的结果有多少种 其中向上的数之和是 的结果有多少种？ (3)向上的数之和是 的概率是多少？ 向上的数之和是5的概率是多少 向上的数之和是 的概率是多少？ 将正方体玩具抛掷一次， 解：(1)将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数有 6 种结果 将正方体玩具抛掷一次 根据分步计数原理，先后将这种玩具抛掷 次 一共有： 根据分步计数原理，先后将这种玩具抛掷2次，一共有： 6×6＝36种不同的结果． × ＝ 种不同的结果 种不同的结果．
等可能事件概率的计算方法： 等可能事件概率的计算方法： ⑴基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称 基本事件： 基本事件 为一个基本事件。 为一个基本事件。 如抛掷硬币的试验中，由2个基本事件组成。抛掷一个均 匀的正方体玩具试验中，由6个基本事件组成。 ⑵如果一次试验由 个基本事件组成，而且所有的基本事件 如果一次试验由n个基本事件组成 如果一次试验由 个基本事件组成， 1 出现的可能性都相等， 出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 n ⑶如果一次试验中共有 种基本事件，而且所有的基本事件 如果一次试验中共有n种基本事件 如果一次试验中共有 种基本事件， 出现的可能性都相等，其中事件A包含的结果有 包含的结果有m种 出现的可能性都相等，其中事件 包含的结果有 种，那 m (m ≤ n) 么事件A的概率 么事件 的概率 P( A) = n 在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合 个结果组成一个集合I， 在一次试验中，等可能出现的 个结果组成一个集合 ， 包含m个结果的事件 对应于I的含有 个元素的子集A， 个结果的事件A对应于 的含有m个元素的子集 包含 个结果的事件 对应于 的含有 个元素的子集 ， Card （A） m ） P（A）= ——————— = —— （ ） Card （I） n ）
概率统计和随机过程课件第十一章：随机过程引论
随机过程的概率分布函数
定义
概率分布函数是描述随机过程取值范 围的函数，它给出了随机过程在任意 时刻取值小于或等于某个值的概率。
性质
计算方法
通过积分计算随机过程取某个区间的 概率，即概率分布函数的积分。
概率分布函数具有非负性、规范性和 单调不减性。
随机过程的数字特征
01
02
03
04
均值
描述随机过程的平均水平或中 心趋势的量。
独立性
如果两个随机过程在时间上互不相关，即它们的统计特性相互独立，则称这两个随机过程 为独立的。独立性是描述两个随机过程之间关系的重要性质。
遍历性
如果一个随机过程的统计特性在时间上趋于稳定，即随着时间的推移，该随机过程的概率 分布或均值等统计量趋于某个常数，则称该随机过程具有遍历性。遍历性是描述一个随机 过程长时间行为的重要性质。
04
随机过程的高频性质
随机过程的频谱分析
频谱分析
频谱分析是研究随机过程频率域特性的方法，通过将时间 域的随机过程转换为频率域进行分析，可以揭示随机过程 的频率结构和特征。
离散频谱与连续频谱
根据随机过程的时间离散程度，频谱可以分为离散频谱和 连续频谱。离散频谱对应于离散时间随机过程，连续频谱 对应于连续时间随机过程。
概率统计和随机过程课件 第十一章：随机过程引论
• 随机过程引论 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的变换与运算 • 随机过程的高频性质 • 随机过程的应用
01
随机过程引论
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是随机变量在时间或空间中的变化。它描述了一个随机现象在连续时间或离散时间下的变化规律。
分类
随机过程在信号处理中的应用
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要点·疑点·考点
1. 设Ω有n个基本事件，随机事件A包含m个基本事件， 则事件A的概率P(A)=mn. 对任何事件A：0≤P(A)≤1.
2. A与B为互斥事件，则A∩B=φ，且P(A+B)=P(A)+P(B) ，反之亦然．
课前热身
1. 2003年高考，江苏省实行“3+2”模式，“3”即语文、
能力·思维·方法
1.从男女同学共有36名的班级中，任意选出2名委员.任何 人都有同样的当选机会. (1) (2) (3)如果选得同性委员的概率等于0.5，求该班级男、女相 差几名? 【解题回顾】 (1)公式P(A+B)=P(A)+P(B)只有在A、B两事 件互斥时才使用，一定要注意此 前提；(2)此题目②还可 利用对立事件来解决
数学、外语为必考科目，“2”即考生从物理、化学、生 物、政治、历史、地理六门学科任选两门作为自己考 试科目，假定考生选择考试科目是等可能的，某考生 8 在理、化中仅选一门作为考试科目的概率为________. 15
2.A与B为互斥事件，则A∩B={}，表示事件A与不可能同时 发生，P(A+B)=P(A)+P(B)，表示事件__________________ A与B有一个可能发生的概率. _______________________
【提示】1)是互斥事件，不是对立事件. 道理是：从40张扑克 牌中任意抽取一张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生 的 ，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于 还可能抽出“方块”或者 “梅花”，因此，二者不是对立事件. (2) 既是互斥事件，又是对立事件. 道理：从40张扑克牌中，任意抽取1 张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可 能同时发生， 但其中必有一个所以它们既是互斥事件，又是对立事件. (3)不是互 斥事件，当然不可能是对立事件. 道理：从40张扑克牌中任意抽取1 张.“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9” 这两个事 件可能同时发生，如抽得10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能 是对立事件.
2. 某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码 是8，2，5，3，7，1.参加抽奖的每位顾客从0，1，2， 3，4，5，6，7，8，9这十个数码中任意抽出六个组成 一组，如果顾客抽 出的六个号码中至少有5个与中奖号 码相同(不计顺序)就可以得奖，则得奖的概率为( D ) 1 1 (A) (B) 7 32
6 (D) 1 与 6 7 7
6
6. 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20 个零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是 ( (A)C116C24C320 (C)C216C14+C316C320 (B)C116C219C320 (D)以上都错 D )
7.判断下列给出的每对事件，(1)是否为互斥事件，(2)是否 为对立事件，并说明道理. 从扑克牌40张(红桃、黑桃、方 块、梅花点数从1～10各10张) (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃” (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌 ” (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
3. 如果在一百张有奖储蓄的奖券中，只有一、二、三 等奖.其中有一等奖1个，二等奖5个， 三等奖10个，买
一张奖券，则中奖的概率为(
(A)0.10
C
)
(B)0.12
(C)0.16
(D)0.18
4. 有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数．从中 任取两数，则所取的两数和为偶数的概率为( C )
(A) 1 n生各3名，现从中任选 2名学生去参加校数学竞赛，求： (1)恰有一名参赛学生是男生的概率； (2)至少有一名参赛学生是男生的概率；
(3)至多有一名参赛学生是男生的概率.
【解题回顾】当一件事件所包含的基本事件个数的计 算情况较复杂时，不要急于求成，而是将它分为若干 步骤和类别，逐步计算，再用乘法原理(或加法原理).
4.某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检 验合格后方可出厂，质检办法规 定：从每盒10件A产品中作 任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合 格； 否则，就认为该盒产品不合格，已知某盒A产品中有2件 次品. (1) (2)若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果 不一致的概率.
1 (B) 2n
(D)
n -1 2n - 1
n 1 2n 1
5. 一个学生宿舍里有6名学生，则6人的生日都在星期 天的概率与6个人生日都不在星期天的概率分别为( D ) 1 6 (A) 6 与 6 7 7
6 6 6 (B) 6 与 7 7 7 6 6 (C) 6 与 7 7
【解题回顾】本题是等可能事件、互斥事件、独立 事件概率的综合题.
延伸·拓展
5. 在1，2，3，4，5五条线路汽车经过的车站上，有位 乘客等侯着1、3、4路车的到来，假如汽车经过该站的 次数平均来说，2、3、4、5路车是相等的，而1路车是
其他各路车的总和 .试求首先到站的汽车是这位乘客所
需线路的汽车的概率.
【解题回顾】(1)本例采取了整体思考法.把各路车停靠 在车站的五个基本事件Ai(i=1,2,3,4,5)组成一个基本事
件的全集 I Ai . 从而 P Ai 1. 再由P(A1)=P(A2)+
i 1 i 1
5
5
P(A3)+P(A4)+P(A5) ，求出 P(A1) 与 P(Ai)(i=2,3,4,5). 然后 计算P(A1+A2+A4) (2)在概率计算中用到解方程(组)知识.H=A1＋A3＋A4为 一复合事件，整个问题的解决过程体现了分析与综合 的相互结合.
4 (C) 35
5 (D) 42
【解题回顾】(1)利用概率的加法公式计算概率时，先 设所求事件为 A ，再将 A分解为几个互斥事件的和，然 后再用概率的加法公式计算. (2) 分解后的每个事件概率的计算通常为古典概率问 题 .m 与n的计算要正确应用排列组合公式 .如在本例中 中奖号码不计顺序，属组合问题，不是排列问题.