1.1两个计数原理(2)

子模块3 28条执行路径
多少个测试数据。一般的，
一个程序模块由许多子模
A
块组成，它是一个具有许
多执行路径的程序模块。 问：这个程序模块有多少 条执行路径？另外为了减
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
少测试时间，程序员需要
设法减少测试次数，你能
帮助程序员设计一个测试
结束
方式，以减少测试次数吗？
100个4
例7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计 算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位，每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个 汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用 多少个字节表示？
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第二课时
复习回顾： 分类加法计数原理 完成一件事情有n类方案, 在第一 类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不 同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+m n
种不同的方法。
分步乘法计数原理 完成一件事情需要n个步骤, 在第1 步中有m1种不同的方法,在第2步中有m2种不同的方法 ，……，在第n步中有mn种不同的方法. 那么完成这件 事共有
开始
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
18+45+28+38+43=172。 再测试各个模块之间的信
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
息交流是否正常，需要测 试的次数为：3X2=6。 如果每个子模块都正常工 作，并且各个子模块之间 的信息交流也正常，那么 整个程序模块就正常。
例5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～ 9，问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步， 选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
18 45 28 38 43 9181 7371
2）在实际测试中，程序 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱，即通过只考 察是否执行了正确的子模 块的方式来测试整个模块。18条子执模行块路1 径 这样，他可以先分别单独 测试5个模块，以考察每 个子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为：
如00000000，10000000，
第1位 第2位 第3位
第8位
11111111.
28 256
……
2种
2种
Fra Baidu bibliotek
2种
2种
例8.计算机编程人员在编
写好程序以后要对程序进
开始
行测试。程序员需要知道
到底有多少条执行路径
（即程序从开始到结束的 子模块1 线），以便知道需要提供 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
(26 25 241098) 2 22464000
课堂练习
1、 用红、黄、蓝3种颜色给下图中① ② ③ ④ ⑤五个 区域涂色，要求相邻两个区域的颜色不同，有多少种不 同的涂法？ 解：涂色可分5步进行：
第一步：涂区域①，有3种选择； 第二步：涂区域② ，有2种选择； 第三步：涂区域③ ，有1种选择；
结束
这样，测试整个模块的次数就变为 172+6=178（次）
例9.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增 长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌 照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母 和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现， ３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽 车上牌照?
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成
这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 .
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得 其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种
故有n=5×５×５×５= 54 种 .
3．甲、乙两个正整数的最大公约数为60，求甲、乙 两数的公约数共有多个？
4．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同 的数作为抛物线方程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数， 如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物 线共有多少条？
5．A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，则从A到B的映射有
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
例6.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？
__8_1__个。
6．某镇有三家旅店，现有5名旅客住店，则不同的投宿方法
有243种。
7．现由某校高一年级四个班学生34人，其中一、二、三、四 班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小 组．
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ （2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？ （3）推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有 多少种不同的选法？
各类办法相互独立；各 类办法中的任何一种方 法都能独立地完成这件 事。
各步骤相互依存，缺一 不可；只有把各个步骤 全部完成，才能完成这 件事（每个步骤中的任 何一种方法都不能独立
地完成这件事）。
练. （1）五名学生报名参加四项体育比赛，每 人限报一项，报名方法的种数为多少？
（2）他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军 的可能性有多少种？
分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、
C、G、U中任选一个来占据。
第1位 第2位 第3位
第100位
……
4种
4种
4种
4种
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U
中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
444 4＝4100 种不同的RNA分子.
小结
用两个计数原理解决问题时，最重要的是在开始计算之前 要进行仔细分析---需要分类还是需要分步.
分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，
最后用分类加法原理求和，得到总数。
分步要做到“步骤完整”.完成了所有步骤，恰好完成任务，
当然步与步之间要相互独立。分步后再计算每一步的方法数， 最后根据分步乘法原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总 数。
N=m1×m2×…×m n
种不同的方法。
复习回顾：两个基本计数原理的联系和区别：
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系 都是研究完成一件事的不同方法种数的计数方法
区别1 方式不同
完成一件事，共有n类方案，完成一件事，共有n个步
方式是“分类”且“类类 骤，方式是“分步”且
相加”
“步步相乘”
区别2
各方法作用 不同
① ② ④⑤ ③
第四步：涂区域④ ，有1种选择；
第五步：涂区域⑤ ，有2种选择；
由分步计数原理得，涂法数为 3 × 2 × 1× 1× 2 = 12
2．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱， 其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信， 甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人 抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再 从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同 的结果？